第六章习题答案数值分析

第六章习题解答
2、利用梯形公式和Simpson 公式求积分2
1
ln xdx ⎰
的近似值，并估计两种方法计算值的最大
误差限。

解：①由梯形公式：
21ln 2
()[()()][ln1ln 2]0.3466222
b a T f f a f b --=
+=+=≈ 最大误差限
3''2
()111
()()0.0833********
T b a R f f ηη-=-=≤=≈ 其中，(1,2)η∈ ②由梯形公式：
13()[()4()()][ln14ln()ln 2]0.38586262
b a b a S f f a f f b -+=
++=++≈ 最大误差限
5(4)4()66
()()0.0021288028802880
S b a R f f ηη-=-=≤≈，
其中，(1,2)η∈。

4、推导中点求积公式
3''()()()()()
()224
b
a
a b b a f x dx b a f f a b ξξ+-=-+<<⎰
证明：构造一次函数P （x ），使'',()()2222a b a b a b a b P f P f ++++⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
则，易求得'
()(
)()()222
a b a b a b
P x f x f +++=-+ 且
'()()()()222b
b
a
a a b
a b a b P x dx f x f dx +++⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦
⎰
⎰
0(
)()()22
b
a a
b a b
f dx b a f ++=+=-⎰，令()b a P x dx Z =⎰
现分析截断误差：令'()()()()(
)()-()222
a b a b a b r x f x P x f x f x f +++=-=-- 由'''()()()2a b r x f x f +=-易知2a b x +=为()r x 的二重零点，
所以可令2
()()()2
a b r x x x ϕ+=-，
构造辅助函数2
()()()()()2
a b K t f t P t x t ϕ+=---
，则易知： ()02a b K x K +⎛⎫
== ⎪
⎝⎭其中2a b t +=为二重根()K t ∴有三个零点 ∴由罗尔定理，存在''''
''
()
(,)()0
()2()0
()2
f a b K f K x K x ηηηη∈=-=∴=使即
从而可知''2
()()()()()22f a b r x f x P x x η+=-=- ∴截断误差
[]''2
()()()()()()()22
b b
b b
a
a
a a
f a b R f f x dx Z f x P x dx r x dx x dx η+=-=-==-⎰⎰
⎰⎰ 2
()2
a b x +-
Q 在(a,b)区间上不变号，且连续可积，由第二积分中值定理 ''''322''
()()()()()()()(,)222224
b b a
a f a
b f a b b a R f x dx x dx f a b ηξξξ++-=-=-=∈⎰
⎰
综上所述
3''
()()()()()()224
b
a
a b b a f x dx Z R f b a f f ξ+-=+=-+⎰
证毕
6、计算积分
1
x e dx ⎰
，若分别用复化梯形公式和复化Simpson 公式，问应将积分区间至少
剖分多少等分才能保证有六位有效数字？
解：①由复化梯形公式的误差限
32''5
22()1()()101212122
T b a b a e R f h f e n n η---=-≤=≤⨯
可解得：212.85n ≥
即至少剖分213等分。

②由复化梯形公式的误差限
4(4)5
4
11()()10288028802
S b a R f h f e n η--=-
≤≤⨯ 可解得： 3.707n ≥
即至少剖分4等分。

7、以0，1，2为求积节点，建立求积分3
()I f x dx =
⎰
的一个插值型求积公式，并推导此
求积公式的截断误差。

解：在0，1，2节点构造二次lagrange 插值多项式，则有
2012()()(0)()(1)()(2)P x l x f l x f l x f =++
(1)(2)(0)(2)(1)(0)
(0)(1)(2)(01)(02)(10)(12)(21)(20)
x x x x x x f f f ------=
++------
则(3)233()
()()()()(1)(2)3!
f f x P x x x x x x ξωω=+
=--
对上式在[0，3]上求积分，则有
(3)3
33
230
()
()()()3!
f f x dx P x dx x dx ξω=+⎰
⎰⎰
其中
3
33322
22000032332332300
0(0)(2)()(32)((1))(2)()22(0)131(2)11[2](1)[][]2323232
(0)3(2)9+222239
(0)+(2)44f f P x dx x x dx f x x dx x x dx
f f x x x f x x x x f f f f =-++--+-=-+--+-=⨯⨯=⎰⎰⎰⎰
插值型求积公式33
210
39
()()(0)(2)=44
I f x dx P x dx f f I =≈=
+⎰⎰ 34319
()=3244
2.
f x x =⨯≠⨯=取，代入求积公式，左边右边
代数精度为 由于(1)(2)x x x --在[0，3]上不保持常号，
故考虑构造一个二次多项式2()P x 满足下列插值条件：
222(0)(0),(2)(2),'(2)'(2)P f P f P f ===
由Hermite 插值方法，有
(3)2()23!
()()(2),
f f x P x x x a b ξξ-=
-≤≤
对上式在[0，3]上求积分，则有
(3)23
3
3()
23!0
()()(2)f f x dx P x dx x x dx ξ-=-⎰
⎰⎰
因为2()P x 为二次多项式，所以
3
2220
3939
()(0)(2)(0)(2)4444
P x dx P P f f =
+=+⎰
(3)3
210(3)(3)32(3)0()
(2)3!()()93(2)()
3!3!48
f I I x x dx
f f x x dx f ξξξη-=-=-==⎰⎰
8、（1）试确定下列求积公式中的待定系数，指出其所具有的代数精度。

)](')0('[)]()0([2
)(20
h f f h h f f h
dx x f h
-++≈⎰
α
解：分别将1)(=x f ，x 代入求积公式，易知求积公式精确成立。

代入2
)(x x f =，令求积公式精确成立，于是有：
3
3
3
23
,
3
h h h α-==右左 可解得：12
1=
α 代入3
)(x x f =，于是有
4
42,
4
4
444
h h h h =
-==右左 左=右，求积公式成立。

代入4
)(x x f =，于是有
6
32,
5
5
555
h h h h =
-==右左 右左≠，求积公式不精确成立。

综上可知，该求积公式具有三次代数精度。

9、对积分
dx x x f ⎰
-1
2)1)((，求构造两点Gauss 求积公式，要求：
（1）在[0,1]上构造带权2
1)(x x -=ρ的二次正交多项式； （2）用所构造的正交多项式导出求积公式。

解：（1）构造在[0,1]上构造带权函数2
1)(x x -=ρ的正交多项式)(0x Q 、)(1x Q 、)(2x Q ，取1)(0=x Q 、)()()(011x Q x x Q α-= ，
其中8
3)1()1()]
(),([)]
(),([10
2
1
0200001=
--==
⎰⎰dx
x
dx
x x x Q x Q x Q x xQ α， 则8
3)(1-
=x x Q 。

同理，95
11
1916)(2
2+
-
=x x x Q ，求)(2x Q 的零点得： 17306907.00=x ，66903619.01=x
求积系数：
39523617.0)(1
00≈=⎰dx x l A ρ
27143053.0)(1
11≈=⎰dx x l A ρ
（2）求（1）可导出求积公式：
)()()1)((11001
2x f A x f A dx x x f +≈-⎰
)66903619.0(27143053.0)17306907.0(39523617.0f f +=
11、试用三点Gauss-Legendre 公式计算
dx x
⎰
3
1
1
并与精确值比较。

解：设三点Gauss-Legendre 求积节点为：
5150-
=t ，01=t ，5
152=t 相应求积系数为：
950=
A ，981=A ，95
2=A ，1=a ,3=b ， x x f 1)(=，令t a b b a x 2
2-++=
则dt t a b b a f a b dx x ⎰⎰--++-=1131)2
2(21 09803922
.1)22(220≈-++-≈∑=i i i t a b b a f A a b 精确值为：ln3=1.09861229， 二者误差：R ≈5.7307×10-4。

13、对积分
1
1()ln f x dx x
⎰导出两点Gauss 求积公式 解：在[0，1]上构造带权1
()ln x x
ρ=的正交多项式0()x ϕ、1()x ϕ、2()x ϕ
0()x ϕ=1，1
000110110001ln ((),())1
()()()1((),())4ln x dx
x x x x x x x x x dx x
ϕϕϕαϕαϕϕ=-====⎰⎰
11
()4
x x ϕ∴=-
同理可得2
2517()7252
x x x ϕ=-+
求2()x ϕ的零点可得010.112008810.60227691x x ==
以0x 、1x 作为高斯点
两点高斯公式，1n =，应有3次代数精度，求积公式形如
1
00110
1
()ln ()()f x dx A f x A f x x
=+⎰
将()1,f x x =代入上式两段，
101
01
0011
1ln 1ln dx A A x
x dx x A x A
x ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩⎰⎰ 联立解出：010.71853932,0.28146068A A ≈≈ 所以所求两点Gauss 求积公式
1
00110
1
()ln ()()0.71853932(0.11200881)0.28146068(0.60227691)
f x dx A f x A f x f f x
=+=+⎰
15、利用三点Gauss-Laguerre 求积公式计算积分
2
1
1dx x
+∞
+⎰
解：原积分20
01()1x
I dx e f x dx x
+∞
+∞-=
=+⎰
⎰，其中2()1x e f x x =+ 由三点Gauss-Laguerre 求积节点：
0130.4157745568, 2.2942803063, 6.2899150829x x x ===
相应求积系数0120.7110930099,0.2785177336,0.010*******A A A === 则2
() 1.49790652K
K K I A
f x ==
≈∑
16、设()f x 四阶连续可导，0,0,1,2i x x ih i =+=。

试推导如下数值微分公式的截断误差。

'0122()4()3()
()2f x f x f x f x h
-+≈
解：设2()L x 是()f x 的过点012,,x x x 的2次插值多项式，由Lagrange 插值余项（n=2）有，
(3)2312()()()()
3!
x f f x L x x x x ξωξ=+<<
其中3012()()()()x x x x x x x ω=---
若取数值微分公式''
2()()f x L x ≈
则截断误差(3)(3)'
'
''222
2
33()()
()()()()()3!3!
f df R x f x L x x x dx ξξωω=-=+⨯ 将2x x =代入得'
0122()4()3()
()2f x f x f x f x h
-+≈
误差项中，32()0x ω=
(3)(3)'
'(3)(3)222
2322021()()21
()()()()()()()
3!3!3!3
f f h h R x x x x x x f f h O h ξξωξξ∴==--===
g 所以截断误差为
(3)
21()3
f h ξ，即2()O h。