习题选解10

第10章习题选解

5．甲乙两炮同时向一架敌机射击，已知甲炮的命中率是0.5，乙炮的命中率是0.6，甲乙两炮都命中的概率是0.3，求飞机被击中的概率是多少？

解 设=A {甲命中}，=B {乙命中}，则=+B A {飞机被击中}，根据题意知

3.0)(,6.0)(,5.0)(===AB P B P A P

于是

.8.03.06.05.0)()()()(=-+=-+=+AB P B P A P B A P

6．设有100个圆柱形零件，其中95个长度合格，92个直径合格，87个长度直径都合格.现从中任取一件该产品，求：

（1）该产品是合格品的概率；

（2）若已知该产品直径合格，求该产品是合格品的概率；

（3）若已知该产品长度合格，求该产品是合格品的概率.

解 设=A {长度合格}，=B {直径合格}，=C {合格品}，则AB C =，根据题意知87.0)(,92.0)(,95.0)(===AB P B P A P ，于是

（1）该产品是合格品的概率.87.0)()(==AB P C P

（2）若已知该产品直径合格，该产品是合格品的概率为

.946.092

.087.0)()()()()|(≈===B P C P B P BC P B C P （3）若已知该产品长度合格，该产品是合格品的概率为

.916.095

.087.0)()()()()|(≈===A P C P A P AC P A C P 7．已知随机事件21)|(,31)(,21)(,,===

A B P B P A P B A ，求)(),(B A P AB P +， ).|(B A P

解 .4

12121)|()()(=?=

=A B P A P AB P .583.0413121)()()()(=-+=-+=+AB P B P A P B A P .4

31341)()()|(=?==B P AB P B A P 10．一个人看管三台机床，设在任一时刻机床不需要人看管正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.85，求任一时刻

（1）三台机床都正常工作的概率；

（2）三台机床至少有一台正常工作的概率.

解 设C B A ,,分别表示三台机床不需要人看管正常工作的事件，根据题意知C B A ,,相互独立，且85.0)(,8.0)(,9.0)(===C P B P A P ，于是

（1）三台机床都正常工作的概率为

.612.085.08.09.0)()()()(=??==C P B P A P ABC P

（2）三台机床至少有一台正常工作的概率为

)()()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=++

)()()()()()()()()(C P A P C P B P B P A P C P B P A P ---++=

)()()(C P B P A P +

612.085.09.085.08.08.09.085.08.09.0+?-?-?-++= .997.0=

11．假设有甲乙两批种子，发芽率分别是0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：

（1）两粒都发芽的概率；

（2）至少有一粒发芽的概率；

（3）恰有一粒发芽的概率.

解 设=A {甲发芽}，=B {乙发芽}，则.7.0)(,8.0)(==B P A P

{两粒都发芽}AB =，{至少有一粒发芽}B A +=，{恰有一粒发芽}B A B A +=. 于是

（1）两粒都发芽的概率为

.56.07.08.0)()()(=?==B P A P AB P

（2）至少有一粒发芽的概率为

.94.056.07.08.0)()()()(=-+=-+=+AB P B P A P B A P

（3）恰有一粒发芽的概率为

)()()()()()()(B P A P B P A P B A P B A P B A B A P +=+=+

.38.0)8.01(7.0)7.01(8.0=-?+-?=

13．某集体有50名同学，求其中至少有2人是同一天生日的概率.

解 设=A {50人中至少有两人是同一天生日}，=0A {50人中没有两人同一天生日}，则A A =0，于是

).(1)(1)(0A P A P A P -=-=

1年按365天计算，每个人可以在这365天里的任一天出生，于是全部可能的情况共有

50)365(365365365=???

种情况. 没有二人生日相同就是365中取50的排列50365P ，这就是0A 包含的基本事件数，于

是

365

365365)(503650???= P A P .0365316365363365364365365≈??

? ??????? ?????? ??????

??= 因此得 .1)(1)(0≈-=A P A P

即50人中至少2人是同一天生日的概率几乎是1.

15．一批产品共50件，其中46件合格品，4件废品，从中任取3件，其中有废品的概率是多少？废品不超过2件的概率是多少？

解 设=i A {3件中有i 件废品})3,2,1,0(=i ，则

,5774.0)(350

043460=?=C C C A P ,2211.0)(350

142461=?=C C C A P .014.0)(350

241462=?=C C C A P {取出的3件产品中有废品}0321A A A A =++=，

P {取出的3件产品中有废品}.5225.05774.01)(10=-=-=A P

{取出的3件产品中废品不超过2件}21A A +=，

P {取出的3件产品中废品不超过2件}2225.0014.02211.0)()(21=+=+=A P A P .

17．某一车间里有12台车床，由于工艺上的原因，每中车床时常要停车. 设各台车停车（或开车）是相互独立的，且在任一时刻处于停车状态的概率为0.3，计算在任一指定时刻里有2台车床处于停车状态的概率.

解 这是伯努利概型问题，.2,12==k n 则

P （有2台车床处于停车状态）.8167.0)3.01(3.0102212=-??=C

19．两台车床加工同样的零件，第一台加工的零件废品率是3%，第二台的废品率2%，加工出来的零件放在一起，并已知第一台加工的零件的数量是第二台的两倍.求任取一个零件是合格品的概率.

解 设=i A {第i 台加床加工的零件}，==B i ),2,1({合格品}，则

3

1)(,32)(,98.0)|(,97.0)|(2121==

==A P A P A B P A B P ， 由于21,A A 互不相容，且U A A =+21，故 ∑==2

1)|()()(i i i A B P A P B P

.973.03

198.03297.0≈?+?= 21．某人从广州回天津，他乘火车、乘船、乘汽车、乘飞机的概率分别是0.3，0.2，0.1和0.4，已知他乘火车、乘船、乘汽车而迟到的概率分别是0.25，0.3，0.1，而乘飞机不会迟到. 问这个人迟到的可能性有多大？

解 用4321,,,A A A A 分别表示他乘火车、乘船、乘汽车、乘飞机回天津，=B {他迟到了}。

由条件知

4.0)(,1.0)(,2.0)(,3.0)(4321=====A P A P A P A P ，

.0)|(,1.0)|(,3.0)|(,25.0)|(4321====A B P A B P A B P A B P

由于4321,,,A A A A 互不相容，且U A A A A =+++4321，故

∑==4

1)|()()(i i

i A B P A P B P .145.004.01.01.03.02.025.03.0=?+?+?+?=