七年级数学角度旋转题
人教版七年级上册数学期末角的旋转问题压轴题
人教版七年级上册数学期末角的旋转问题压轴题1．如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，∠A =30°，∠C =45°△COD固定不动，△AOB绕着O点逆时针旋转α°（0°< α< 180°）（1）若△AOB绕着O点旋转图2的位置，若∠BOD=60°，则∠AOC = ________；（2）若0°< α < 90°，在旋转的过程中∠BOD+∠AOC的值会发生变化吗?若不变化，请求出这个定值；（3）若90°< α< 180°，问题（2）中的结论还成立吗?并说明理由；2．已知∠AOB＝110°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（1）如图1，当OB、OC重合时，求∠AOE﹣∠BOF的值；（2）如图2，当∠COD从图1所示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒（0＜t＜10），在旋转过程中∠AOE ﹣∠BOF的值是否会因t的变化而变化？若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由．（3）在（2）的条件下，当∠COF＝14°时，t＝秒．3．如图，已知∠AOB=120°，射线OP从OA位置出发，以每秒2°的速度顺时针向射线OB旋转；与此同时，射线OQ以每秒6°的速度，从OB位置出发逆时针向射线OA旋转，到达射线OA后又以同样的速度顺时针返回，当射线OQ返回并与射线OP重合时，两条射线同时停止运动. 设旋转时间为t秒．（1）当t=2时，求∠POQ的度数；（2）当∠POQ=40°时，求t的值；∠AOQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（3）在旋转过程中，是否存在t的值，使得∠POQ=124．如图，O为直线AB上的一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角板（∠M=30°），的直角顶点放在O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方，将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．（1）几秒后ON与OC重合？（2）如图2，经过t秒后，OM恰好平分∠BOC，求此时t的值．（3）若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间OC 平分∠MOB？请画出图并说明理由．5．如图，将45°角三角板绕直角顶点旋转．（1）问∠AOC与∠BOD大小关系，并说明理由；（2）∠AOD与∠BOC的数量关系，并说明理由；（3）若∠AOD=3∠BOC，求∠AOC的大小．6．如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为垂角，例如：∠1＝120°，∠2＝30°，|∠1﹣∠2|＝90°，则∠1和∠2互为垂角，（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）（1）如图1所示，O为直线AB上一点，OC⊥AB，OE⊥OD，图中哪些角互为垂角？（写出所有情况）（2）如图2所示，O为直线AB上一点，∠AOC＝60°，将∠AOC绕点O顺时针旋转n°（0°＜n＜120），OA旋转得到OA′，OC旋转得到OC′，当n为何值时，∠AOC′与∠BOA′互为垂角？7．（1）如图1，∠AOC＝α，∠BOC＝β，若OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON＝（用含α、β的式子表示）；（2）如图2，若将∠BOC绕点O逆时针旋转30°后得到∠EOD，OM平分∠AOD，ON平分∠COE，求∠MON的度数（用含α、β的式子表示）；（3）若∠BOC旋转90°至图3的位置，其他条件不变，则∠MON的度数是（用含α、β的式子表示）．8．如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠BOC＝60°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OB上，另一边OM在直线AB的上方．（1）在图1中，∠COM＝度；（2）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得ON在∠BOC的内部，如图2，若∠NOC＝15∠MOA，求∠BON的度数；（3）将图1中的三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当直线ON恰好平分∠BOC时，旋转的时间是秒．9．已知∠AOB＝110°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（1）如图，求∠EOF的度数．（2）如图，当OB、OC重合时，求∠AOE﹣∠BOF的值；（3）当∠COD从图的位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒（0＜t＜10）；在旋转过程中∠AOE﹣∠BOF的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由．10．如图，已知∠AOB=30°，∠AOE=130°，OB平分∠AOC，OD平分∠AOE．（1）求∠COD的度数；（2）若以O为观测中心，OA为正东方向，则射线OD的方位角是；（3）若∠AOC、射线OE分别以每秒5°、每秒3°的速度同时绕点O逆时针方向旋转，其他条件不变，当OA回到原处时，全部停止运动，则经过多长时间，∠BOE=28°？11．如图，已知∠AOB=90，射线OC绕点O从OA位置开始，以每秒4的速度顺时针方向旋转；同时，射线OD 绕点O从OB位置开始，以每秒1的速度逆时针方向旋转．当OC与OA成180时，OC与OD同时停止旋转．（1）当OC旋转10秒时，∠COD=___．（2）当OC与OD的夹角是30时，求旋转的时间．（3）当OB平分∠COD时，求旋转的时间．12．如图1，射线OC，OD在∠AOB的内部，且∠AOB=150°，∠COD=30°，射线OM，ON分别平分∠AOD，∠BOC．（1）若∠AOC=60°，试通过计算比较∠NOD和∠MOC的大小；（2）如图2，若将图1中∠COD在∠AOB内部绕点O顺时针旋转．①旋转过程中∠MON的大小始终不变．求∠MON的值；②如图3，若旋转后OC恰好为∠MOA的角平分线，试探究∠NOD与∠MOC的数量关系．13．如图所示，将两块三角板的直角顶点重合．（1）写出以C为顶点的相等的角；（2）若∠ACB=150°，请直接写出∠DCE的度数；（3）写出∠ACB与∠DCE之间所具有的数量关系；（4）当三角板ACD绕点C旋转时，你所写出的（3）中的关系是否变化？请说明理由．14．将一副三角板60°角的顶点与45°角的顶点重合，如图①②，60AOB ∠=︒，45COD ∠=︒，OE 平分AOB ∠，OF 平分COD ∠，COD △绕着点O 旋转；（1）旋转过程中，当点C 在射线OB 上时，如图①，求EOF ∠的度数： （2）旋转过程中，当点D 在射线OB 上时，如图②，求EOF ∠的度数；15．如图，90AOB ∠=︒，AOB ∠绕顶点O 按逆时针方向旋转45°得到MON ∠．求：（1）AON ∠的度数 （2）MOB ∠的度数答案第1页，共1页参考答案1．（1）120°;（2）∠BOD+∠AOC=180° 2．（1）35°；（2）∠AOE ﹣∠BOF 的值是定值；（3）4．3．（1）∠POQ =104°；（2）当∠POQ =40°时，t 的值为10或20；（3）存在，t =12或18011或1807，使得∠POQ =12∠AOQ ． 4．（1）10秒；（2）5秒；（3）703秒． 5．（1）∠AOC=∠BOD （2）∠AOD+∠BOC=180°；（3）45°. 6．（1）互为垂角的角有4对：∠EOB 与∠DOB ，∠EOB 与∠EOC ，∠AOD 与∠COD ，∠AOD 与∠AOE ；（2）当n ＝15°或n ＝105°，∠AOC′与∠BOA′互为垂角． 7．（1）2αβ+；（2）2αβ+；（3）2αβ+8．（1）30；（2）52.5°；（3）3或219．（1）∠EOF ＝75°；（2）∠AOE ﹣∠BOF ＝35°；（3）∠AOE ﹣∠BOF=35°. 10．（1）∠COD= 5°；（2）北偏东25°；（3）经过36秒或者64秒 11．（1）40°；（2）12秒或24秒；（3）30秒．12．（1）NOD MOC ∠=∠；（2）①60︒；②4NOD MOC ∠=∠．13．（1）∠ACD=∠BCE ；∠ACE=∠BCD （2）∠DCE=30°；（3）∠ACB+∠DCE=180°；（4）不变14．（1）52.5︒；（2）7.5︒； 15．（1）45︒；（2）135︒。
11-2旋转-练习-七年级数学沪教版(上海)上册
11.2旋转一、单选题1．四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，逆时针旋转α∠，要使这个α∠最小时，旋转后的图形也能与原图形完全重合，则这个图形是（ ） A ． B ． C ．D ． 2．如图，三角形ABC 绕点O 顺时针旋转后得到三角形A B C '''，则下列说法中错误的是（ ）A ．OA OB =B ．OC OC '=C ．AOA BOB ''∠=∠D ．ACB A C B '''∠=∠3．如图，将三角形ABC 绕点A 旋转到三角形11AB C ，下列说法正确的个数有（ ） （1）AC AB =；（2）11BC B C =；（3）11BAC B AC ∠=∠；（4）11CAC BAB ∠=∠．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．下列现象中属于旋转的是（ ）A ．鼠标在鼠标垫上滑动B ．拧开冰红茶瓶盖C ．一轮红日缓缓升起 D ．空中下落的硬币 5．如图，将Rt ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到A B C ''△，连接AA '，若120∠=︒，则B 的度数是（ ）A．70°B．65°C．60°D．55°6．观察下列图案，能通过左图顺时针旋转90°得到的（）A．B．C．D．7．如图的图案是由一个菱形通过旋转得到的，每次旋转角度是（）A．30B．45C．60D．908．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B＇位置，A点落在A′位置，若AC△A′B′，则△BAC的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°9．在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图所示，现又出现一小方格体正向下运动，为了使所有图案消失，你必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整图案，使其自动消失（）A．顺时针旋转90，向右平移B．逆时针旋转90，向右平移C．顺时针旋转90，向下平移D．逆时针旋转90，向下平移10．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则△CAD的度数为（）A ．90°﹣αB ．αC ．180°﹣αD ．2α二、填空题 11．旋转的性质是对应点到旋转中心的__________相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于__________；旋转前、后的图形之间的关系是__________．12．如图，三角形ABC 中，60BAC ∠=︒，D 是BC 上一点，三角形ABD 逆时针旋转后到达三角形ACE 的位置．（1）旋转中心是_________；（2）旋转了_________度．13．如图所示的图形是旋转对称图形，它是绕它的旋转中心至少旋转_______度后与自身重合的？14．如图，在正方形网格中，格点ABC ∆绕某点顺时针旋转角()0180αα<<︒得到格点111A B C ∆，点A 与点1A ，点B 与点1B ，点C 与点1C 是对应点，则α=_____度．15．如图所示，在ABC ，4AB =，6BC =，60B ∠=，将ABC 沿射线BC 的方向平移，得到A B C '''，再将A B C '''绕点A '逆时针旋转一定角度后，点B '恰好与点C 重合，则平移的距离为__________，旋转角的度数为__________．三、解答题16．在图中，画出ABC绕点O逆时针旋转90︒后的图形.17．如图，将∆ABC 沿着射线AC 方向平移1 个AC长度，得到∆A' B'C '，再将∆A' B'C '绕点C '顺时针旋转90°，得到∆A"B"C" ，请你画出∆A' B'C ' 和∆A"B"C" （不要求写画法）18．如图，在一个10×10的正方形网格中有一个△ABC．（1）在网格中画出△ABC向下平移4个单位，再向右平移2个单位得到的△A1B1C1；（2）在网格中画出△ABC绕点P逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；（3）在（1）（2）的画图基础上，联结B1C2、A2C1，若小正方形的单位长度为1，请求出四边形A2C2B1C1的面积.参考答案1．A2．A3．C4．B5．B6．A7．C8．C9．A10．C11．距离旋转角全等12．点A6013．45.14．90︒15．2 60°16．如图，17．如图所示：∆A' B'C ' 和∆A"B"C"就是所求的图形.18．（1）（2）如下图所示；（3）()22111111555222122223234A C B C ---=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯四边形的面积＋ 319536=2=225----.。
湘教版数学七年级下册_《旋转》提高训练
《旋转》提高训练一、选择题1．如图，将方格纸中的图形绕点O顺时针旋转90°后得到的图形是（）A．B．C．D．2．如图，把△AOB绕点O顺时针旋转得到△COD，则旋转角是（）A．∠AOC B．∠AOD C．∠AOB D．∠BOC3．在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）绕坐标原点O顺时针旋转90°，所得到的对应点P'的坐标为（）A．（﹣2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣3，﹣2）D．（3，2）．4．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2，5），把OA绕点O 逆时针旋转90°，那么A点旋转后所得到点的坐标是（）A．（﹣5，2）B．（﹣5，﹣2）C．（﹣2，5）D．（﹣2，﹣5）5．如图，∠AOB=90°，把∠AOB顺时针旋转50°得到∠COD，则下列说法正确的是（）A．∠AOC与∠BOD互余B．∠BOC=50°C．∠BOC的余角只有∠AOC D．∠AOD=140°二、填空题6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，CB=5，点D是CB边上的一个动点，将线段AD绕着点D顺时针旋转90°，得到线段DE，连结BE，则线段BE的最小值等于．7．将点B（﹣3，1）绕坐标原点O旋转180°，则点B的对应点B1的坐标为．8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B（0，4），如果将线段AB 绕点B顺时针旋转90°至CB，那么点C的坐标是．9．如图，OA⊥OB，Rt△CDE的边CD在OB上，∠ECD=45°，CE=4，若将△CDE 绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则OC的长度为．10．如图，在平面内将△ABC绕点B旋转至△A'BC'的位置时，点A'在AC上，AC ∥BC'，∠ABC=70°，则旋转的角度是．三、解答题11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8．线段AD由线段AB绕点A 按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D．（1）求证：AD⊥EF；（2）求CG的长．12．如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合，连接CD．（1）试判断△CBD的形状，并说明理由；（2）求∠BDC的度数．13．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）写出A，B，C三点的坐标；（2）将△ABC绕着点C顺时针方向旋转90°后得到△A1B2C，画出旋转后的△A1B1C，并写出A1，B1的坐标．14．如图，△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，得到△DEC（其中点D、E分别是A、B两点旋转后的对应点）．（1）请画出旋转后的△DEC；（2）试判断DE与AB的位置关系，并证明你的结论．15．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：（1）将△ABC沿x轴向右平移4个单位，在图中画出平移后的△A1B1C1（2）作△ABC关于坐标原点成中心对称的△A2B2C2．（3）求B1的坐标，C2的坐标．《旋转》提高训练参考答案与试题解析一、选择题1．如图，将方格纸中的图形绕点O顺时针旋转90°后得到的图形是（）A．B．C．D．【分析】利用已知将图形绕点O顺时针旋转90°得出符合题意的图形即可．【解答】解：如图所示：将方格纸中的图形绕点O顺时针旋转90°后得到的图形是，故选：B．【点评】本题考查了生活中的旋转现象，在找旋转中心时，要抓住“动”与“不动”，熟悉图形的性质是解题的关键．2．如图，把△AOB绕点O顺时针旋转得到△COD，则旋转角是（）A．∠AOC B．∠AOD C．∠AOB D．∠BOC【分析】根据旋旋转角的定义即可判断；【解答】解：如图，把△AOB绕点O顺时针旋转得到△COD，旋转角是∠AOC或∠BOD，故选：A．【点评】本题考查旋转变换，旋转角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．3．在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）绕坐标原点O顺时针旋转90°，所得到的对应点P'的坐标为（）A．（﹣2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣3，﹣2）D．（3，2）．【分析】根据旋转中心为点O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，作出点P的对称图形P′，可得所求点的坐标．【解答】解：如图所示，由图中可以看出点P′的坐标为（2，3）．故选：B．【点评】本题考查了坐标与图形的变换﹣旋转，熟练掌握关于原点的对称点的坐标特征是解决问题的关键．4．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2，5），把OA绕点O 逆时针旋转90°，那么A点旋转后所得到点的坐标是（）A．（﹣5，2）B．（﹣5，﹣2）C．（﹣2，5）D．（﹣2，﹣5）【分析】首先根据旋转的性质作图，利用图象则可求得点B的坐标．【解答】解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点B作BC⊥y轴于点F，∵点A的坐标为（2，5），将OA绕原点O逆时针旋转90°到OB的位置，∴BC=2，CO=5∴点B的坐标为：（﹣5，2），故选：A．【点评】此题考查了旋转的性质，解题的关键是数形结合思想的应用得出BC，BF的长．5．如图，∠AOB=90°，把∠AOB顺时针旋转50°得到∠COD，则下列说法正确的是（）A．∠AOC与∠BOD互余B．∠BOC=50°C．∠BOC的余角只有∠AOC D．∠AOD=140°【分析】根据旋转变换的性质得到∠BOD=∠AOC=50°，根据余角和补角的概念判断即可．【解答】解：由旋转变换的性质可知，∠BOD=∠AOC=50°，∵∠AOB=90°，∴∠COB=40°，∴∠AOC与∠BOD相等，不互余，A错误；B错误；∠BOC的余角有∠AOC和∠BOD，C错误；∠AOD=∠AOB+∠BOD=140°，D正确；故选：D．【点评】本题考查的是旋转的性质、余角和补角的概念，掌握旋转变换的性质、认识旋转角是解题的关键．二、填空题6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，CB=5，点D是CB边上的一个动点，将线段AD绕着点D顺时针旋转90°，得到线段DE，连结BE，则线段BE的最小值等于．【分析】过E作EF⊥BC于F，根据余角的性质得到∠DEF=∠ADC，根据全等三角形的性质得到DF=AC=3，EF=CD，设CD=x，根据勾股定理得到BE2=x2+（2﹣x）2=2（x﹣1）2+2，于是得到结论．【解答】解：过E作EF⊥BC于F，∵∠C=∠ADE=90°，∴∠EFD=∠C=90°，∠FED+∠EDF=90°，∠EDF+∠ADC=90°，∴∠DEF=∠ADC，在△EDF和△DAC中，，∴△EDF≌△DAC（AAS），∴DF=AC=3，EF=CD，设CD=x，则BE2=x2+（2﹣x）2=2（x﹣1）2+2，∴AD2的最小值是2，∴AD的最小值是，故答案为：．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，旋转的性质，二次函数的最值，勾股定理的应用，关键是得出二次函数的解析式．7．将点B（﹣3，1）绕坐标原点O旋转180°，则点B的对应点B1的坐标为（3，﹣1）．【分析】根据题意可得，点B和点B的对应点B1关于原点对称，据此求出B1的坐标即可．【解答】解：∵将点B（﹣3，1）绕坐标原点O旋转180°后，得到的对应点B1，∴点B和点B1关于原点对称，∵点B的坐标为（﹣3，1），∴B1的坐标为（3，﹣1）．故答案为：（3，﹣1）．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B（0，4），如果将线段AB 绕点B顺时针旋转90°至CB，那么点C的坐标是（﹣4，1）．【分析】作CD⊥y轴于点D，如图，根据旋转的性质得∠ABC=90°，BC=BA，再利用等角的余角相等得到∠CBD=∠A，则可证明△ABO≌△BCD得到BD=OA=3，CD=OB=4，然后根据第二象限内点的坐标特征写出C点坐标．【解答】解：如图，作CD⊥y轴于点D，∵A（3，0），B（0，4），∴OA=3，OB=4，∵线段AB绕点B顺时针旋转90°至CB，∴∠ABC=90°，BC=BA，∵∠ABO+∠A=90°，∠ABO+∠CBD=90°，∴∠CBD=∠A，在△ABO和△BCD中，∴△ABO≌△BCD（AAS），∴BD=OA=3，CD=OB=4，∴OD=OB﹣BD=4﹣3=1，∴C点坐标为（﹣4，1）．故答案为：（﹣4，1）．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．解决本题的关键是作CD⊥y 轴于点D后求出CD和OD的长．9．如图，OA⊥OB，Rt△CDE的边CD在OB上，∠ECD=45°，CE=4，若将△CDE 绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则OC的长度为2．【分析】根据旋转得出∠NCE=75°，求出∠NCO，根据直角三角形30度角的性质可得：OC=CN，可得结论．【解答】解：∵将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，∴∠ECN=75°，CN=CE=4，∵∠ECD=45°，∴∠NCO=180°﹣75°﹣45°=60°，∵AO⊥OB，∴∠AOB=90°，∴∠ONC=30°，∴OC=CN=2，故答案为：2．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形性质，旋转性质，三角形的内角和定理等知识点，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好．10．如图，在平面内将△ABC绕点B旋转至△A'BC'的位置时，点A'在AC上，AC ∥BC'，∠ABC=70°，则旋转的角度是40°．【分析】根据旋转前后的两个图形全等，则：∠A=∠BA'C'，∠ABC=∠A'BC'=70°，AB=A'B，所以∠A=∠AA'B=70°，根据三角形的内角和定理可得∠ABA'=40°．【解答】解：由旋转得：∠A=∠BA'C'，∠ABC=∠A'BC'=70°，AB=A'B，∵AC∥BC'，∴∠AA'B=∠A'BC'=70°，∴∠A=∠AA'B=70°，∴∠ABA'=180°﹣70°﹣70°=40°，即旋转角是40°，故答案为：40°．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，明确对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理．三、解答题11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8．线段AD由线段AB绕点A 按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF 过点D．（1）求证：AD⊥EF；（2）求CG的长．【分析】（1）由平移的性质可知：AB∥DF，再利用平行线的性质即可证明；（2）先判断出∠ADE=∠ACB，进而得出△ADE∽△ACB，得出比例式求出AE，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵线段AD是由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，∴∠DAB=90°，∵△EFG是△ABC沿CB方向平移得到，∴AB∥EF，∴∠ADF+∠DAB=180°∴∠ADF=90°，∴AD⊥EF．（2）由平移的性质得，AE∥CG，AB∥EF，∴∠DEA=∠DFC=∠ABC，∠ADE+∠DAB=180°，∵∠DAB=90°，∴∠ADE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ADE=∠ACB，∴△ADE∽△ACB，∴=，∵AC=8，AB=AD=10，∴AE=12.5，由平移的性质得，CG=AE=12.5．【点评】此题主要考查了图形的平移与旋转，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，判断出△ADE∽△ACB 是解本题的关键．12．如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合，连接CD．（1）试判断△CBD的形状，并说明理由；（2）求∠BDC的度数．【分析】（1）根据图形旋转不变性的性质得出△ABC≌△EBD，故可得出BC=BD，由此即可得出结论；（2）根据图形选旋转不变性的性质求出∠EBD的度数，再由等腰三角形的性质即可得出∠BDC的度数．【解答】解：（1）∵△EBD由△ABC旋转而成，∴△ABC≌△EBD，∴BC=BD，∴△CBD是等腰三角形．（3）∵△ABC≌△EBD，∴∠EBD=∠ABC=30°，∴∠DBC=180﹣30°=150°，∵△CBD是等腰三角形，∴∠BDC===15°．【点评】本题考查的是旋转的性质，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．13．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）写出A，B，C三点的坐标；（2）将△ABC绕着点C顺时针方向旋转90°后得到△A1B2C，画出旋转后的△A1B1C，并写出A1，B1的坐标．【分析】（1）根据平面坐标系得出A、B、C三点的坐标即可；（2）分别画出A，B的对应点A1，B2，写出A1，B1的坐标即可．【解答】解：（1）如图所示：A、B、C三点的坐标分别为：（﹣1，2），（﹣3，1），（0，﹣1）；（2）△A1B2C如图所示，A1，B1的坐标分别为（3，0），（2，2）．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．如图，△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，得到△DEC（其中点D、E分别是A、B两点旋转后的对应点）．（1）请画出旋转后的△DEC；（2）试判断DE与AB的位置关系，并证明你的结论．【分析】（1）根据要求画出△DCE即可；（2）利用“8字型”证明∠AFE=∠DCE即可解决问题；【解答】解：（1）旋转后的△DEC如图所示．（2）结论：DE⊥AB．理由：延长DE交AB于点F．由旋转不变性可知：∠A=∠D，∠ACB=∠DCE=90°，∵∠AEF=∠DEC，∠∠AFE=∠DCE=90°，∴DE⊥AB．【点评】本题考查旋转变换，解题的关键是熟练掌握利用“8字型”证明角相等，属于中考常考题型．15．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：（1）将△ABC沿x轴向右平移4个单位，在图中画出平移后的△A1B1C1（2）作△ABC关于坐标原点成中心对称的△A2B2C2．（3）求B1的坐标（2，﹣2），C2的坐标（4，1）．【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）分别作出A，B，C的对应点△A2，B2，C2即可；（3）根据B1，C2，的位置写出坐标即可；【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示；（2）△A2B2C2如图所示；（3）求B1的坐标（2，﹣2），C2的坐标（4，1）．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．。
2023七年级数学下册第10章轴对称平移与旋转10
形成轴对称图形时,符合条件的角α有
个.
答案
4.3 如图,满足条件的α的值为90°或180°或270°.故符合条件的角α有3个.
5. 如图,正五边形ABCDE绕点A顺时针旋转后得到正五边形AB'C'D'E',旋转角为
α(0°≤α≤90°).若DE⊥B'C',则α=
°.
答案
5.54 设DE与B'C'相交于O点,如图,∵五边形ABCDE为正五边形,∴∠B=∠BAE=∠E=(5 −2) ABCDE绕点A顺时针旋转后得到正五边形AB'C'D'E',旋转角为 α(0°≤α≤90°),∴∠BAB'=α,∠B'=∠B=108°.∵DE⊥B'C', ∴∠B'OE=90°,∴∠B'AE=360°-∠B'-∠E-∠B'OE=360°-108°-108°-90°=54°,∴∠BAB 54°=54°, ∴α=54°.
课时2 旋转 的特征
知识点1 旋转 的特征
1. 如图,将直角三角形ABC绕着直角顶点C逆时针旋转90°得到直角三角形EFC.若AC=2,
()
A.1
B.1
C.3
D.2
2
2
答案
1.B 根据旋转的特征,得CF=BC=1,所以AF=AC-CF=2-1=1.
知识点1 旋转 的特征
2. 如图,将△ABC绕点A旋转之后得到△ADE,则下列结论不一定正确的是 ( )
2. 如图,直线x⊥y,直线x,y交于点O,点B,C,E在直线y上,直角三角形ABC经过变换得到直 角三角形ODE.若OC=1,AC=2,则这种变换可以是 ( ) A.△ABC绕点C顺时针旋转90°,再向下平移3 B.△ABC绕点C顺时针旋转90°,再向下平移1 C.△ABC绕点C逆时针旋转90°,再向下平移1 D.△ABC绕点C逆时针旋转90°,再向下平移3
七年级数学角度旋转题
七年级数学角度旋转题已知角度，求解角度之间的关系和值。
1.当OB和OC重合时，∠EOF的度数为80°，因为OE和OF分别平分∠AOC和∠BOD，所以∠XXX∠BOF=50°，又因为OB和OC重合，所以∠EOC+∠EOF+∠BOF=180°，解得∠EOF=80°。
2.当∠COD从图1所示的位置绕点O顺时针旋转n°时，AOE BOF的值为定值，因为∠AOC和∠BOD是定值，∠AOE=1/2∠AOC，∠BOF=1/2∠BOD，所以∠AOE-∠BOF=1/2(∠AOC-∠BOD)=1/2∠COD，是一个定值。
3.当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0<n<180）时，满足∠AOD+∠BOF=6∠COD，解得n=30°。
4.当OB绕点O在∠AOD内旋转时，∠MON=60°，因为OM和ON分别平分∠AOB和∠BOD，所以∠MOB=∠DON=30°，又因为∠MON=∠MOB+∠MON=∠DON+∠MON=∠AOD/2=80°/2= 40°。
5.当∠BOC=20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD时，当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时，∠MON的大小为50°，因为∠AOC和∠BOD是定值，∠MON=∠MOB+∠DON=1/2∠AOC+1/2∠BOD-∠BOC=1/2(∠AOC+∠BOD-2∠BOC)=1/2(160°-2∠BOC)，∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时，∠BOC的大小是定值，所以∠XXX的大小也是定值。
6.当∠AOB=10°，当∠BOC在∠AOD内绕点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM：∠DON＝2：3，求t的值。
根据∠AOM：∠DON＝2：3可得∠AOM=2/5∠AOD，∠DON=3/5∠AOD，又因为OM和ON分别平分∠AOB和∠BOD，所以∠MOB=∠DON=3/5∠AOD，∠MON=∠MOB+∠DON=6/5∠AOD，∠BOC在∠AOD内绕点O旋转的角度为2t°，根据∠BOC=∠AOD-∠AOB-∠BOA可得∠AOD-10°-2t°=∠BOA，又因为∠AOM+∠MOB+∠BOA=180°，代入可得2/5∠AOD+3/5∠AOD+∠AOD-10°-2t°=180°，解得t=35秒。
华师大版数学七年级下册_《旋转》拓展练习
《旋转》拓展练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，直线c与直线a相交于点A，与直线b相交于点B，∠1＝130°，∠2＝60°，若要使直线a∥b，则将直线a绕点A按如图所示的方向至少旋转（）A．10°B．20°C．60°D．130°2．（5分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°3．（5分）如图，在△ABC中，∠CAB＝75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝（）A．30°B．35°C．40°D．50°4．（5分）如图，五角星绕着它的旋转中心旋转，使得△ABC与△DEF重合，那么旋转角的度数至少为（）A．60°B．120°C．72°D．144°5．（5分）如图，将Rt△ABC（∠B＝35°，∠C＝90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角等于（）A．55°B．70°C．125°D．145°二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），使得点B、A、C′在同一直线上，则α＝．7．（5分）如图，直线PQ∥MN，点A在PQ上，直角△BEF的直角边BE在MN上，且∠B＝90°，∠BEF＝30°．现将△BEF绕点B以每秒1°的速度按逆时针方向旋转（E，F 的对应点分别是E′，F′），同时，射线AQ绕点A以每秒4°的速度按顺时针方向旋转（Q的对应点是Q′）．设旋转时间为t秒（0≤t≤45）．（1）∠MBF′＝．（用含t的代数式表示）（2）在旋转的过程中，若射线AQ′与边E′F′平行时，则t的值为．8．（5分）如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为．9．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是AC的中点，将CD绕着点C逆时针旋转，在旋转过程中点D的对应点为点E，连接AE，BE，则△AEB 的面积的最大值是．10．（5分）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起，三角尺AOB不动，将三角尺COD的OD边与OA边重合，然后绕点O按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当∠AOC（0°＜∠AOD＜90°）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出∠AOC角度所有可能的值是．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．12．（10分）如图，∠BAD＝90°，AB＝AD，CB＝CD，一个以点C为顶点的45°角绕点C旋转，角的两边与BA，DA交于点M，N，与BA，DA的延长线交于点E，F，连接AC．（1）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA＝∠ECA时，如图1，求证：AE＝AF；（2）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA≠∠ECA时，如图2，如果∠B＝30°，CB＝2，用等式表示线段AE，AF之间的数量关系，并证明．13．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，将△CDB 绕点C顺时针旋转到△CEF的位置，点F在AC上．（1）△CDB旋转的度数；（2）连结DE，判断DE与BC的位置关系，并说明理由．14．（10分）将一副直角三角板如图（1）放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的直角边完全重合．（1）直接写出∠ADC的度数为；（2）含30°角的三角板位置保持不变，将含45°角的三角板绕点O顺时针方向旋转．①如图2，射线BA与射线DC交于点E，∠BED的平分线与∠BOD的平分线交于点F，求∠EFO的度数；②若将含45°角的三角板绕点O顺时针方向旋转一周至图2位置，在这一过程中，存在△COD的其中一边与AB平行，请你直接写出所有满足条件的平行关系及相应的旋转角度．15．（10分）（1）如图（1），AB∥CD，点P在AB、CD外部，若∠B＝60°，∠D＝15°，则∠BPD＝；（2）如图（2），AB∥CD，点P在AB、CD内部，则∠B，∠BPD，∠D之间有何数量关系？证明你的结论；（3）在图（2）中，将直线AB绕点B按逆时针方向旋转一定角度交，直线CD于点M，如图（3），若∠BPD＝90°，∠BMD＝40°，求∠B+∠D的度数．《旋转》拓展练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，直线c与直线a相交于点A，与直线b相交于点B，∠1＝130°，∠2＝60°，若要使直线a∥b，则将直线a绕点A按如图所示的方向至少旋转（）A．10°B．20°C．60°D．130°【分析】根据平行线的判定可得，当c与a的夹角为60°时，存在b∥a，由此得到直线a绕点A顺时针旋转60°﹣50°＝10°．【解答】解：∵∠2＝60°，∴若要使直线a∥b，则∠3应该为60°，又∵∠1＝130°，∴∠3＝50°，∴直线a绕点A按顺时针方向至少旋转：60°﹣50°＝10°，故选：A．【点评】本题主要考查了旋转的性质以及平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行．2．（5分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°【分析】由旋转性质知△ABC≌△DEC，据此得∠ACB＝∠DCE＝30°、AC＝DC，继而可得答案．【解答】解：由题意知△ABC≌△DEC，则∠ACB＝∠DCE＝30°，AC＝DC，∴∠DAC＝＝＝75°，故选：D．【点评】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．3．（5分）如图，在△ABC中，∠CAB＝75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝（）A．30°B．35°C．40°D．50°【分析】旋转中心为点A，B与B′，C与C′分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角∠BAB′＝∠CAC′，AC＝AC′，再利用平行线的性质得∠C′CA＝∠CAB，把问题转化到等腰△ACC′中，根据内角和定理求∠CAC′，即可求出∠BAB′的度数．【解答】解：∵CC′∥AB，∠CAB＝75°，∴∠C′CA＝∠CAB＝75°，又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，∴AC＝AC′，即△ACC′为等腰三角形，∴∠BAB′＝∠CAC′＝180°﹣2∠C′CA＝30°．故选：A．【点评】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．4．（5分）如图，五角星绕着它的旋转中心旋转，使得△ABC与△DEF重合，那么旋转角的度数至少为（）A．60°B．120°C．72°D．144°【分析】由于五角星的五个角可组成正五边形，根据正五边形的性质得到正五边形的中心角为72°，然后可判断要使△ABC与△DEF重合，旋转角的度数至少为2个72°．【解答】解：五角星的五个角可组成正五边形，而正五边形的中心角为＝72°，所以五角星绕着它的旋转中心至少顺时针旋转2个72°，使得△ABC与△DEF重合．故选：D．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正五边形的性质．5．（5分）如图，将Rt△ABC（∠B＝35°，∠C＝90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角等于（）A．55°B．70°C．125°D．145°【分析】首先根据三角形的内角和定理，求出∠BAC的度数是多少；然后根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，可得旋转角的度数等于∠BAB1的度数，据此解答即可．【解答】解：∵∠B＝35°，∠C＝90°，∴∠BAC＝180°﹣35°﹣90°＝55°，∵点C，A，B1在同一条直线上，∴∠BAB1＝180°﹣∠BAC＝180°﹣55°＝125°，即旋转角等于125°．故选：C．【点评】此题主要考查了旋转的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），使得点B、A、C′在同一直线上，则α＝150°．【分析】根据旋转的性质得出∠BAC＝∠B′AC′＝30°，求出∠BAB′即可．【解答】解：∵将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），使得点B、A、C′在同一直线上，∴∠BAC＝∠B′AC′＝30°，∴∠BAB′＝180°﹣∠B′AC′＝180°﹣30°＝150°，即α＝150°，故答案为：150°．【点评】本题考查了旋转的性质和邻补角的定义，能根据旋转的性质求出∠B′AC′的度数是解此题的关键．7．（5分）如图，直线PQ∥MN，点A在PQ上，直角△BEF的直角边BE在MN上，且∠B＝90°，∠BEF＝30°．现将△BEF绕点B以每秒1°的速度按逆时针方向旋转（E，F 的对应点分别是E′，F′），同时，射线AQ绕点A以每秒4°的速度按顺时针方向旋转（Q的对应点是Q′）．设旋转时间为t秒（0≤t≤45）．（1）∠MBF′＝（90﹣t）°．（用含t的代数式表示）（2）在旋转的过程中，若射线AQ′与边E′F′平行时，则t的值为6°或42°．【分析】（1）直接根据速度和时间可得：∠FBF'＝t°，所以根据余角的定义可得结论；（2）有两种情况：利用数形结合，画图后作辅助线，构建平行线的性质和外角的性质可得结论．【解答】解：（1）如图1，由题意得：∠FBF'＝t°，∠FBM＝90°，∴∠MBF'＝90°﹣t°＝（90﹣t）°，故答案为：（90﹣t）°；（2）①如图2，AQ'∥E'F'，延长BE'交AQ'于C，则∠F'E'B＝∠ACB＝30°，由题意得：∠EBE'＝t°，∠QAQ'＝4t°，∴t+4t＝30，t＝6°；②如图3，AQ'∥E'F'，延长BE'，交PQ于D，交直线AQ'于C，则∠F'E'B＝∠ACD＝30°，由题意得：∠NBE'＝t°，∠QAQ'＝4t°，∴∠ADB＝∠NBE'＝t°，∵∠ADB＝∠ACD+∠DAC，∴30+180﹣4t＝t，t＝42°，综上，在旋转的过程中，若射线AQ′与边E′F′平行时，则t的值为6°或42°；故答案为：6°或42°．【点评】本题考查的是旋转变换和平行线的性质，熟练掌握旋转的性质是关键，在解答（2）时，要采用分类讨论的思想，作延长线构建出平行线的截线，从而可得同位角相等解决问题．8．（5分）如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为9．【分析】根据旋转的性质得到BC≌△A1BC1，A1B＝AB＝6，所以△A1BA是等腰三角形，依据∠A1BA＝30°得到等腰三角形的面积，由图形可以知道S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC＝S△A1BA，最终得到阴影部分的面积．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，∴△ABC≌△A1BC1，∴A1B＝AB＝6，∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°，∴S△A1BA＝×6×3＝9，又∵S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC，S△A1BC1＝S△ABC，∴S阴影＝S△A1BA＝9．故答案为：9．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键．9．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是AC的中点，将CD绕着点C逆时针旋转，在旋转过程中点D的对应点为点E，连接AE，BE，则△AEB 的面积的最大值是44．【分析】作CH⊥AB于H，如图，先利用勾股定理计算出AB＝10，再利用面积法计算出CH＝，再根据旋转的性质得CE＝4，然后利用点E点在HC的延长线上，点E到AB 的距离最大，从而可计算出△AEB的面积的最大值．【解答】解：作CH⊥AB于H，如图，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝10，∵CH•AB＝AC•BC，∴CH＝＝，∵点D是AC的中点，∴CD＝4，∵将CD绕着点C逆时针旋转，在旋转过程中点D的对应点为点E，∴CE＝4，即点E在以C为圆心，4为半径的圆上，∵点E点在HC的延长线上，点E到AB的距离最大，∴△AEB的面积的最大值为×（4+）×10＝44．故答案为44．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理．10．（5分）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起，三角尺AOB不动，将三角尺COD的OD边与OA边重合，然后绕点O按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当∠AOC（0°＜∠AOD＜90°）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出∠AOC角度所有可能的值是120°、135°、165°、45°、30°．【分析】分别利用OD⊥AB、CD⊥OB、CD⊥AB、OC⊥AB分别求出即可．【解答】解：当OD⊥AB时，∠AOC＝30°+90°＝120°，当CD⊥OB时，∠AOC＝90°+45°＝135°，当CD⊥AB时，∠AOC＝90°+75°＝165°，当OC⊥AB时，∠AOC＝30°，当OA⊥CD时，∠AOC＝45°或135°，即∠AOC角度所有可能的值为：120°、135°、165°、45°、30°．故答案为120°、135°、165°、45°、30°．【点评】本题考查了旋转的性质，互补、互余的定义等知识，解决本题的关键是理解重叠的部分实质是两个角的重叠以及分类讨论思想．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．【分析】（1）根据旋转的性质解答；（2）运用全等三角形和相似三角形的性质，求出＝（）2＝（）2＝，进而解决问题；（3）过点B作BD⊥AC，D为垂足，因为△ABC为锐角三角形，所以点D在线段AC上，在Rt△BCD中，BD＝BC×sin45°＝；然后进行讨论，求得线段EP1长度的最大值与最小值．【解答】解：（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B＝∠ACB＝45°，BC＝BC1，所以∠CC1B＝∠C1CB＝45°，所以∠CC1A1＝∠CC1B+∠A1C1B＝45°+45°＝90°．（2）因为△ABC≌△A1BC1，所以BA＝BA1，BC＝BC1，∠ABC＝∠A1BC1，，∠ABC+∠ABC1＝∠A1BC1+∠ABC1，所以∠ABA1＝∠CBC1，所以△ABA1∽△CBC1．所以，＝（）2＝（）2＝，因为S△ABA1＝4，所以S△CBC1＝；（3）如图，过点B作BD⊥AC，D为垂足，因为△ABC为锐角三角形，所以点D在线段AC上，在Rt△BCD中，BD＝BC×sin45°＝；①当P在AC上运动与AB垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为：EP1＝BP1﹣BE＝BD﹣BE＝﹣2；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1＝BC+BE＝2+5＝7．【点评】分析图形，根据图形特点运用旋转的性质，以及三角函数等知识，解决问题．12．（10分）如图，∠BAD＝90°，AB＝AD，CB＝CD，一个以点C为顶点的45°角绕点C旋转，角的两边与BA，DA交于点M，N，与BA，DA的延长线交于点E，F，连接AC．（1）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA＝∠ECA时，如图1，求证：AE＝AF；（2）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA≠∠ECA时，如图2，如果∠B＝30°，CB＝2，用等式表示线段AE，AF之间的数量关系，并证明．【分析】（1）首先证明△ABC≌△ADC（SSS），推出∠BAC＝∠DAC＝45°，推出∠F AC＝∠EAC＝135°，再证明△ACF≌△ACE（ASA）即可解决问题；（2）由△ACF∽△AEC，推出＝，可得AC2＝AE•AF，求出AC即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC＝∠DAC＝45°，∴∠F AC＝∠EAC＝135°，∵∠FCA＝∠ECA，∴△ACF≌△ACE（ASA），∴AE＝AF．（2）证明：作CG⊥AB于G．∵BC＝2，∠B＝30°，∴CG＝BC＝1，∵AG＝AC＝1，∴AC＝，∵∠F AC＝∠EAC＝135°，∴∠ACF+∠F＝45°，∵∠ACF+∠ACE＝45°，∴∠F＝∠ACE，∴△ACF∽△AEC，∴＝，∴AC2＝AE•AF，∴AE•AF＝2．【点评】本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．13．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，将△CDB 绕点C顺时针旋转到△CEF的位置，点F在AC上．（1）△CDB旋转的度数；（2）连结DE，判断DE与BC的位置关系，并说明理由．【分析】（1）根据旋转的性质确定旋转角的度数；（2）先利用旋转的性质得∠DCE＝∠BCF＝90°，CD＝CE，则可判断△CDE为等腰直角三角形，所以∠CDE＝45°，再利用角平分线定义得到∠BCD＝45°，则∠CDE＝∠BCD，然后根据平行线的判定方法可判断DE∥BC．【解答】解：（1）∵将△CDB绕点C顺时针旋转到△CEF的位置，点F在AC上，∴旋转角为∠BCF，即旋转角为90°；（2）DE∥BC．理由如下：∵将△CDB绕点C顺时针旋转到△CEF的位置，点F在AC上，∴∠DCE＝∠BCF＝90°，CD＝CE，∴△CDE为等腰直角三角形，∴∠CDE＝45°，∵CD平分∠ACB交AB于点D，∴∠BCD＝45°，∴∠CDE＝∠BCD，∴DE∥BC．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质．14．（10分）将一副直角三角板如图（1）放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的直角边完全重合．（1）直接写出∠ADC的度数为135°；（2）含30°角的三角板位置保持不变，将含45°角的三角板绕点O顺时针方向旋转．①如图2，射线BA与射线DC交于点E，∠BED的平分线与∠BOD的平分线交于点F，求∠EFO的度数；②若将含45°角的三角板绕点O顺时针方向旋转一周至图2位置，在这一过程中，存在△COD的其中一边与AB平行，请你直接写出所有满足条件的平行关系及相应的旋转角度．【分析】（1）依据∠CDO＝45°，即可得到∠ADC的度数；（2）①设AO、EF相交于G，然后根据三角形的内角和定理以及四边形内角和，列式整理即可得解．②将三角板△COD继续绕O顺时针旋转，根据平行线的性质即可求出相应的旋转角度．【解答】解：（1）由题可得，∠CDO＝45°，∴∠ADC＝180°﹣45°135°，故答案为：135°；（2）①如图2，∵EF平分∠BED，OF平分∠BOD，∴∠AEF＝∠BED，∠BOF＝∠BOD，∵∠AGE＝∠FGO，∴∠GAE+∠AEG＝∠F+∠FOG，即150°+∠BED＝∠F+90°+∠BOD，∴∠F＝60°﹣（∠BOD﹣∠BED），∵四边形AOCE中，∠AEC＝360°﹣∠EAO﹣∠ECO﹣∠AOC＝360°﹣150°﹣135°﹣（360°﹣90°×2﹣∠BOD）＝∠BOD﹣105°，∴∠BOD﹣∠AEC＝105°，∴∠F＝60°﹣（∠BOD﹣∠BED）＝60°﹣×105°＝7.5°；②分5种情况进行讨论：如图，当OC∥AB时，旋转角度＝∠BOC＝120°；如图，当CD∥AB时，旋转角度＝∠BOC＝165°；如图，当OD∥AB时，旋转角度＝360°﹣90°﹣60°＝210°；如图，当OC∥AB时，旋转角度＝360°﹣60°＝300°；如图，当CD∥AB时，旋转角度＝360°﹣15°＝345°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定与性质，解题的关键是分情况画出图形，根据三角形外角性质以及平行线的性质进行求解．15．（10分）（1）如图（1），AB∥CD，点P在AB、CD外部，若∠B＝60°，∠D＝15°，则∠BPD＝45°；（2）如图（2），AB∥CD，点P在AB、CD内部，则∠B，∠BPD，∠D之间有何数量关系？证明你的结论；（3）在图（2）中，将直线AB绕点B按逆时针方向旋转一定角度交，直线CD于点M，如图（3），若∠BPD＝90°，∠BMD＝40°，求∠B+∠D的度数．【分析】（1）由AB∥CD，∠B＝60°，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠BOD 的度数，又由三角形外角的性质，可求得∠BPD的度数；（2）首先过点P作PE∥AB，由AB∥CD，可得AB∥PE∥CD，然后由两直线平行，内错角相等，即可证得∠BPD＝∠1+∠2＝∠B+∠D；（3）首先延长BP交CD于点E，利用三角形外角的性质，即可求得∠B+∠D的度数．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∠B＝60°，∴∠BOD＝∠B＝60°，∴∠P＝∠BOD﹣∠D＝60°﹣15°＝45°．故答案为：45°；（2）∠BPD＝∠B+∠D．证明：过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠1＝∠B，∠2＝∠D，∴∠BPD＝∠1+∠2＝∠B+∠D；（3）延长BP交CD于点E，∵∠1＝∠BMD+∠B，∠BPD＝∠1+∠D，∴∠BPD＝∠BMD+∠B+∠D，∵∠BPD＝90°，∠BMD＝40°，∴∠B+∠D＝∠BPD﹣∠BMD＝90°﹣40°＝50°．【点评】此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．。
七年级角旋转的经典例题
七年级角旋转的经典例题
一、七年级角旋转的概念
在初中数学课程中，角旋转是图形的变换之一。
它指的是在平面内，将一个角绕着其顶点旋转一定角度，使其边的位置发生变化。
角旋转可分为正旋转和逆旋转两种。
七年级的学生需要掌握基础的角旋转概念，以便能在实际问题中灵活运用。
二、七年级角旋转的性质
1.角旋转前后，旋转角的大小和形状不变。
2.角旋转前后，顶点位置不变。
3.角旋转前后，旋转轴不变。
4.角旋转可以沿着任意一条射线进行。
三、七年级角旋转的经典例题解析
例题1：已知角α的顶点为O，边分别为OA、OB，α的旋转轴为OC，旋转角度为90°，求角α的旋转后的角α"的度数。
解：根据角旋转的性质，旋转前后角的大小不变，故α"的度数为90°。
例题2：已知角α的顶点为O，边分别为OA、OB，α的旋转轴为OC，旋转角度为180°，求角α"的度数。
解：根据角旋转的性质，旋转前后角的大小不变，故α"的度数为180°。
四、解题思路与技巧总结
1.熟记角旋转的性质，灵活运用旋转前后角的大小、形状不变这一关键点。
2.根据题目所给条件，判断旋转角度，从而求得旋转后的角。
3.在解题过程中，注意画图，直观地展示角旋转的过程。
通过以上四个步骤，我们可以更好地理解和解决七年级角旋转的经典例题。
人教版七年级数学上册期末压轴题专项突破：数轴动点类和角度的旋转 含答案
人教版七年级数学上册期末压轴题专项突破数轴动点类和角度的旋转数轴动点：１．点Ａ，Ｂ为数轴上的两点，点Ａ对应的数为ａ，点Ｂ对应的数为３，ａ３＝﹣８．（１）求Ａ，Ｂ两点之间的距离；（２）若点Ｃ为数轴上的一个动点，其对应的数记为ｘ，试猜想当ｘ满足什么条件时，点Ｃ到Ａ点的距离与点Ｃ到Ｂ点的距离之和最小．请写出你的猜想，并说明理由；（３）若Ｐ，Ｑ为数轴上的两个动点（Ｑ点在Ｐ点右侧），Ｐ，Ｑ两点之间的距离为ｍ，当点Ｐ到Ａ点的距离与点Ｑ到Ｂ点的距离之和有最小值４时，ｍ的值为．２．已知Ａ，Ｂ，Ｃ三点在数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是ａ，ｂ，ｃ．（１）填空：ａｂｃ０，ａ＋ｂ０：（填“＞”，“＝”或“＜”）（２）若ａ＝﹣２且点Ｂ到点Ａ，Ｃ的距离相等，①当ｂ２＝１６时，求ｃ的值；②Ｐ是数轴上Ｂ，Ｃ两点之间的一个动点，设点Ｐ表示的数为ｘ，当Ｐ点在运动过程中，ｂｘ＋ｃｘ＋｜ｘ﹣ｃ｜﹣１０｜ｘ＋ａ｜的值保持不变，则ｂ的值为．３．已知数轴上两点Ａ，Ｂ对应的数分别为﹣８和４，点Ｐ为数轴上一动点，若规定：点Ｐ到Ａ的距离是点Ｐ到Ｂ的距离的３倍时，我们就称点Ｐ是关于Ａ→Ｂ的“好点”．（１）若点Ｐ到点Ａ的距离等于点Ｐ到点Ｂ的距离时，求点Ｐ表示的数是多少；（２）①若点Ｐ运动到原点Ｏ时，此时点Ｐ关于Ａ→Ｂ的“好点”（填是或者不是）；②若点Ｐ以每秒１个单位的速度从原点Ｏ开始向右运动，当点Ｐ是关于Ａ→Ｂ的“好点”时，求点Ｐ的运动时间；（３）若点Ｐ在原点的左边（即点Ｐ对应的数为负数），且点Ｐ，Ａ，Ｂ中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“好点”，请直接写出所有符合条件的点Ｐ表示的数．４．如图，在数轴上，点Ａ表示﹣１０，点Ｂ表示１１，点Ｃ表示１８．动点Ｐ从点Ａ出发，沿数轴正方向以每秒２个单位的速度匀速运动；同时，动点Ｑ从点Ｃ出发，沿数轴负方向以每秒１个单位的速度匀速运动．设运动时间为ｔ秒．（１）当ｔ为何值时，Ｐ、Ｑ两点相遇？相遇点Ｍ所对应的数是多少？（２）在点Ｑ出发后到达点Ｂ之前，求ｔ为何值时，点Ｐ到点Ｏ的距离与点Ｑ到点Ｂ的距离相等；（３）在点Ｐ向右运动的过程中，Ｎ是ＡＰ的中点，在点Ｐ到达点Ｃ之前，求２ＣＮ﹣ＰＣ的值．５．如图所示，在数轴上点Ａ表示的数是４，点Ｂ位于点Ａ的左侧，与点Ａ的距离是１０个单位长度．（１）点Ｂ表示的数是，并在数轴上将点Ｂ表示出来．（２）动点Ｐ从点Ｂ出发，沿着数轴的正方向以每秒２个单位长度的速度运动．经过多少秒点Ｐ与点Ａ的距离是２个单位长度？（３）在（２）的条件下，点Ｐ出发的同时，点Ｑ也从点Ａ出发，沿着数轴的负方向，以１个单位每秒的速度运动．经过多少秒，点Ｑ到点Ｂ的距离是点Ｐ到点Ａ的距离的２倍？６．如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动２个单位长度，再向左移动５个单位长度，可以看到终点表示是﹣３，已知Ａ、Ｂ是数轴上的点，请参照图并思考，完成下列各题．（１）如果点Ａ表示的数﹣３，将点Ａ向右移动５个单位长度，那么终点Ｂ表示的数是．Ａ、Ｂ两点间的距离是．（２）如果点Ａ表示的数３，将点Ａ向左移动３个单位长度，再向右移动６个单位长度，那么终点Ｂ表示的数是．Ａ、Ｂ两点间的距离是．（３）如果点Ａ表示的数ｘ，将点Ａ向右移动ｐ个单位长度，再向左移动ｎ个单位长度，那么请你猜想终点Ｂ表示的数是．Ａ、Ｂ两点间的距离是．７．如图，将一条数轴在原点Ｏ和点Ｂ处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点Ａ表示﹣１０，点Ｂ表示１０，点Ｃ表示１８，我们称点Ａ和点Ｃ在数轴上相距２８个长度单位．动点Ｐ从点Ａ出发，以２单位／秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点Ｏ运动到点Ｂ期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Ｑ从点Ｃ出发，以１单位／秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点Ｂ运动到点Ｏ期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为ｔ秒．问：（１）动点Ｐ从点Ａ运动至Ｃ点需要多少时间？（２）Ｐ、Ｑ两点相遇时，求出相遇点Ｍ所对应的数是多少；（３）求当ｔ为何值时，Ｐ、Ｏ两点在数轴上相距的长度与Ｑ、Ｂ两点在数轴上相距的长度相等．８．阅读下面的材料：如图１，在数轴上Ａ点所示的数为ａ，Ｂ点表示的数为ｂ，则点Ａ到点Ｂ的距离记为ＡＢ．线段ＡＢ的长可以用右边的数减去左边的数表示，即ＡＢ＝ｂ﹣ａ．请用上面的知识解答下面的问题：如图２，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动１ｃｍ到达Ａ点，再向左移动２ｃｍ到达Ｂ点，然后向右移动７ｃｍ到达Ｃ点，用１个单位长度表示１ｃｍ．（１）请你在数轴上表示出Ａ．Ｂ．Ｃ三点的位置：（２）点Ｃ到点Ａ的距离ＣＡ＝ｃｍ；若数轴上有一点Ｄ，且ＡＤ＝４，则点Ｄ表示的数为；（３）若将点Ａ向右移动ｘｃｍ，则移动后的点表示的数为；（用代数式表示）（４）若点Ｂ以每秒２ｃｍ的速度向左移动，同时Ａ．Ｃ点分别以每秒１ｃｍ、４ｃｍ的速度向右移动．设移动时间为ｔ秒，试探索：ＣＡ﹣ＡＢ的值是否会随着ｔ的变化而改变？请说明理由．角度的旋转：９．已知Ｏ为直线ＡＢ上的一点，∠ＣＯＥ是直角，ＯＦ平分∠ＡＯＥ（图中所说的角都是小于平角的角）．（１）如图１，若∠ＣＯＦ＝５８°，求∠ＢＯＥ的度数；（２）将∠ＣＯＥ绕点Ｏ顺时针旋转到如图２所示的位置时，若∠ＣＯＦ＝ｍ°，求∠ＢＯＥ的度数（用含字母ｍ的代数式表示）．１０．如图，以点Ｏ为端点按顺时针方向依次作射线ＯＡ、ＯＢ、ＯＣ、ＯＤ．（１）若∠ＡＯＣ、∠ＢＯＤ都是直角，∠ＢＯＣ＝６０°，求∠ＡＯＢ和∠ＤＯＣ的度数．（２）若∠ＢＯＤ＝１００°，∠ＡＯＣ＝１１０°，且∠ＡＯＤ＝∠ＢＯＣ＋７０°，求∠ＣＯＤ的度数．（３）若∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＤ＝α，当α为多少度时，∠ＡＯＤ和∠ＢＯＣ互余？并说明理由．１１．已知∠ＡＯＢ＝９０°，ＯＣ是一条可以绕点Ｏ转动的射线，ＯＮ平分∠ＡＯＣ，ＯＭ平分∠ＢＯＣ．（１）当射线ＯＣ转动到∠ＡＯＢ的内部时，如图１，求∠ＭＯＮ的度数．（２）当射线ＯＣ转动到∠ＡＯＢ的外时（９０°＜∠ＢＯＣ＜∠１８０°），如图２，∠ＭＯＮ的大小是否发生变化？变或者不变均说明理由．１２．如图，Ｏ为直线ＡＢ上一点，过点Ｏ作射线ＯＣ，∠ＡＯＣ＝３０°，将一直角三角板（∠Ｍ＝３０°）的直角顶点放在点Ｏ处，一边ＯＮ在射线ＯＡ上，另一边ＯＭ与ＯＣ都在直线ＡＢ的上方．（１）将图１中的三角板绕点Ｏ以每秒３°的速度沿顺时针方向旋转一周．如图，经过ｔ秒后，ＯＭ恰好平分∠ＢＯＣ．求ｔ的值；并判断此时ＯＮ是否平分∠ＡＯＣ？请说明理由；（２）在（１）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线ＯＣ也绕Ｏ点以每秒６°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图，那么经过多长时间ＯＣ平分∠ＭＯＮ？请说明理由．１３．如图，已知∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＤ＝１２０°，∠ＢＯＣ＝∠ＡＯＤ．（１）求∠ＡＯＤ的度数；（２）若射线ＯＢ绕点Ｏ以每秒旋转２０°的速度顺时针旋转，同时射线ＯＣ以每秒旋转１５°的速度逆时针旋转，设旋转的时间为ｔ秒（０＜ｔ＜６），试求当∠ＢＯＣ＝２０°时ｔ的值；（３）若∠ＡＯＢ绕点Ｏ以每秒旋转５°的速度逆时针旋转，同时∠ＣＯＤ绕点Ｏ以每秒旋转１０°的速度逆时针旋转，设旋转的时间为ｔ秒（０＜ｔ＜１８），ＯＭ平分∠ＡＯＣ，ＯＮ平分∠ＢＯＤ，在旋转的过程中，∠ＭＯＮ的度数是否发生改变？若不变，求出其值：若改变，说明理由．14．已知∠ＡＯＢ＝９０°，∠ＣＯＤ＝６０°，按如图１所示摆放，将ＯＡ、ＯＣ边重合在直线ＭＮ上，ＯＢ、ＯＤ边在直线ＭＮ的两侧：（１）保持∠ＡＯＢ不动，将∠ＣＯＤ绕点Ｏ旋转至如图２所示的位置，则①∠ＡＯＣ＋∠ＢＯＤ＝；②∠ＢＯＣ﹣∠ＡＯＤ＝．（２）若∠ＣＯＤ按每分钟５°的速度绕点Ｏ逆时针方向旋转，∠ＡＯＢ按每分钟２°的速度也绕点Ｏ逆时针方向旋转，ＯＣ旋转到射线ＯＮ上时都停止运动，设旋转ｔ分钟，计算∠ＭＯＣ﹣∠ＡＯＤ（用ｔ的代数式表示）．（３）保持∠ＡＯＢ不动，将∠ＣＯＤ绕点Ｏ逆时针方向旋转ｎ°（ｎ≤３６０），若射线ＯＥ平分∠ＡＯＣ，射线ＯＦ平分∠ＢＯＤ，求∠ＥＯＦ的大小．１５．已知直角三角板ＡＢＣ和直角三角板ＤＥＦ，∠ＡＣＢ＝∠ＥＤＦ＝９０°，∠ＡＢＣ＝６０°，∠ＤＥＦ＝４５°．（１）如图１．将顶点Ｃ和顶点Ｄ重合．保持三角板ＡＢＣ不动，将三角板ＤＥＦ绕点Ｃ旋转，当ＣＦ平分∠ＡＣＢ时，求∠ＡＣＥ的度数；（２）在（１）的条件下，继续旋转三角板ＤＥＦ，猜想∠ＡＣＥ与∠ＢＣＦ有怎样的数量关系？并利用图２所给的情形说明理由；（３）如图３，将顶点Ｃ和顶点Ｅ重合，保持三角板ＡＢＣ不动，将三角板ＤＥＦ绕点Ｃ旋转．当ＣＡ落在∠ＤＣＦ内部时，直接写出∠ＡＣＤ与∠ＢＣＦ之间的数量关系．１６．已知：Ｏ为直线ＡＢ上的一点，以Ｏ为观察中心，射线ＯＡ表示正北方向，ＯＮ表示正东方向（即ＡＢ⊥ＭＮ），射线ＯＣ，射线ＯＥ的方向如各图所示．（１）如图１所示，当∠ＣＯＥ＝９０°时：①若∠ＡＯＥ＝２０°，则射线ＯＥ的方向是．②∠ＡＯＥ与∠ＣＯＮ的关系为．③∠ＡＯＣ与∠ＥＯＮ的关系为．（２）若将射线ＯＣ，射线ＯＥ绕点Ｏ旋转至图２的位置，另一条射线ＯＦ恰好平分∠ＣＯＭ，旋转中始终保持∠ＣＯＥ＝９０°．①若∠ＡＯＦ＝２４°，则∠ＥＯＦ＝度．②若∠ＡＯＦ＝β，则∠ＣＯＮ＝（用含β的代数式表示）．（３）若将射线ＯＣ，射线ＯＥ绕点Ｏ旋转至图３的位置，射线ＯＦ仍然平分∠ＣＯＭ，旋转中始终保持∠ＣＯＥ＝９０°，则∠ＣＯＮ与∠ＡＯＦ之间存在怎样的数量关系，并说明理由．参考答案数轴动点１．解：（１）∵ａ３＝﹣８．∴ａ＝﹣２，∴ＡＢ＝｜３﹣（﹣２）｜＝５；（２）点Ｃ到Ａ的距离为｜ｘ＋２｜，点Ｃ到Ｂ的距离为｜ｘ﹣３｜，∴点Ｃ到Ａ点的距离与点Ｃ到Ｂ点的距离之和为｜ｘ＋２｜＋｜ｘ﹣３｜，当距离之和｜ｘ＋２｜＋｜ｘ﹣３｜的值最小，﹣２＜ｘ＜３，此时的最小值为３﹣（﹣２）＝５，∴当﹣２＜ｘ＜３时，点Ｃ到Ａ点的距离与点Ｃ到Ｂ点的距离之和最小，最小值为５；（３）设点Ｐ所表示的数为ｘ，∵ＰＱ＝ｍ，Ｑ点在Ｐ点右侧，∴点Ｑ所表示的数为ｘ＋ｍ，∴ＰＡ＝｜ｘ＋２｜，ＱＢ＝｜ｘ＋ｍ﹣３｜∴点Ｐ到Ａ点的距离与点Ｑ到Ｂ点的距离之和为：ＰＡ＋ＱＢ＝｜ｘ＋２｜＋｜ｘ＋ｍ﹣３｜当ｘ在﹣２与３﹣ｍ之间时，｜ｘ＋２｜＋｜ｘ＋ｍ﹣３｜最小，最小值为｜﹣２﹣（３﹣ｍ）｜＝４，①﹣２﹣（３﹣ｍ）＝４，解得，ｍ＝９，②（３﹣ｍ）﹣（﹣２）＝４时，解得，ｍ＝１，故答案为：１或９．２．解：（１）由ａ，ｂ，ｃ．在数轴上的位置可知，ａ＜０，０＜ｂ＜ｃ，∴ａｂｃ＜０，ａ＋ｂ＞０，故答案为：＜＞，（２）①ｂ２＝１６，ｂ＞０，∴ｂ＝４，∵ａ＝﹣２，ＢＣ＝ＡＢ，∴ｃ﹣４＝４﹣（﹣２），∴ｃ＝１０；②设点Ｐ表示的数为ｘ，点Ｐ在ＢＣ上，因此ｂ＜ｘ＜ｃ，∴ｂｘ＋ｃｘ＋｜ｘ﹣ｃ｜﹣１０｜ｘ＋ａ｜＝ｂｘ＋ｃｘ＋ｃ﹣ｘ﹣１０ｘ﹣１０ａ＝（ｂ＋ｃ﹣１０﹣１）ｘ＋ｃ﹣１０ａ，∵结果与ｘ无关，∴ｂ＋ｃ＝１１，又∵ｃ﹣ｂ＝ｂ＋２，即，ｃ＝２ｂ＋２，∴ｂ＝３，故答案为：３．３．解：（１）∵数轴上两点Ａ，Ｂ对应的数分别为﹣８和４，∴ＡＢ＝４﹣（﹣８）＝１２，∵点Ｐ到点Ａ、点Ｂ的距离相等，∴Ｐ为ＡＢ的中点，∴ＢＰ＝ＰＡ＝ＡＢ＝６，∴点Ｐ表示的数是﹣２；（２）①当点Ｐ运动到原点Ｏ时，ＰＡ＝８，ＰＢ＝４，∵ＰＡ≠３ＰＢ，∴点Ｐ不是关于Ａ→Ｂ的“好点”；故答案为：不是；②根据题意可知：设点Ｐ运动的时间为ｔ秒，ＰＡ＝ｔ＋８，ＰＢ＝｜４﹣ｔ｜，∴ｔ＋８＝３｜４﹣ｔ｜，解得ｔ＝１或ｔ＝１０，所以点Ｐ的运动时间为１秒或１０秒；（３）根据题意可知：设点Ｐ表示的数为ｎ，ＰＡ＝ｎ＋８或﹣ｎ﹣８，ＰＢ＝４﹣ｎ，ＡＢ＝１２，分五种情况进行讨论：①当点Ａ是关于Ｐ→Ｂ的“好点”时，｜ＰＡ｜＝３｜ＡＢ｜，即﹣ｎ﹣８＝３６，解得ｎ＝﹣４４；②当点Ａ是关于Ｂ→Ｐ的“好点”时，｜ＡＢ｜＝３｜ＡＰ｜，即３（﹣ｎ﹣８）＝１２，解得ｎ＝﹣１２；或３（ｎ＋８）＝１２，解得ｎ＝﹣４；③当点Ｐ是关于Ａ→Ｂ的“好点”时，｜ＰＡ｜＝３｜ＰＢ｜，即﹣ｎ﹣８＝３（４﹣ｎ）或ｎ＋８＝３（４﹣ｎ），解得ｎ＝１０或１（不符合题意，舍去）；④当点Ｐ是关于Ｂ→Ａ的“好点”时，｜ＰＢ｜＝３｜ＡＰ｜，即４﹣ｎ＝３（ｎ＋８），解得ｎ＝﹣５；或４﹣ｎ＝３（﹣ｎ﹣８），解得ｎ＝﹣１４；⑤当点Ｂ是关于Ｐ→Ａ的“好点”时，｜ＰＢ｜＝３｜ＡＢ｜，即４﹣ｎ＝３６，解得ｎ＝﹣３２．综上所述：所有符合条件的点Ｐ表示的数是：﹣４，﹣５，﹣１２，﹣１４，﹣３２，﹣４４．４．解：（１）根据题意得２ｔ＋ｔ＝２８，解得ｔ＝，∴ＡＭ＝＞１０，∴Ｍ在Ｏ的右侧，且ＯＭ＝﹣１０＝，∴当ｔ＝时，Ｐ、Ｑ两点相遇，相遇点Ｍ所对应的数是；（２）由题意得，ｔ的值大于０且小于７．若点Ｐ在点Ｏ的左边，则１０﹣２ｔ＝７﹣ｔ，解得ｔ＝３．若点Ｐ在点Ｏ的右边，则２ｔ﹣１０＝７﹣ｔ，解得ｔ＝．综上所述，ｔ的值为３或时，点Ｐ到点Ｏ的距离与点Ｑ到点Ｂ的距离相等；（３）∵Ｎ是ＡＰ的中点，∴ＡＮ＝ＰＮ＝ＡＰ＝ｔ，∴ＣＮ＝ＡＣ﹣ＡＮ＝２８﹣ｔ，ＰＣ＝２８﹣ＡＰ＝２８﹣２ｔ，２ＣＮ﹣ＰＣ＝２（２８﹣ｔ）﹣（２８﹣２ｔ）＝２８．５．解：（１）１０﹣４＝６，∵点Ｂ位于点Ａ的左侧，∴点Ｂ表示的数是﹣６，故答案为：﹣６．在数轴上将点Ｂ表示如图所示：（２）设经过多少秒点Ｐ与点Ａ的距离是２个单位长度，∴２ｔ＋２＝１０或２ｔ﹣２＝１０∴ｔ＝４或ｔ＝６∴经过４秒或６秒点Ｐ与点Ａ的距离是２个单位长度；（３）设经过ｔ秒，点Ｑ到点Ｂ的距离是点Ｐ到点Ａ的距离的２倍，∴２（１０﹣２ｔ）＝１０﹣ｔ或２（２ｔ﹣１０）＝１０﹣ｔ∴ｔ＝或ｔ＝６∴经过秒或６秒，点Ｑ到点Ｂ的距离是点Ｐ到点Ａ的距离的２倍．６．解：（１）∵﹣３＋５＝２，∴Ｂ表示的数为２，Ａ、Ｂ两点间的距离为２﹣（﹣３）＝５，故答案为：２，５；（２）∵３﹣３＋６＝６，∴Ｂ表示的数为６，Ａ、Ｂ两点间的距离为６﹣３＝３，故答案为：６，３；（３）根据题意，点Ｂ表示的数为ｘ＋ｐ﹣ｎ，Ａ、Ｂ两点间的距离为｜ｘ＋ｐ﹣ｎ﹣ｘ｜＝｜ｐ﹣ｎ｜，故答案为：ｘ＋ｐ﹣ｎ，｜ｐ﹣ｎ｜．７．解：（１）点Ｐ运动至点Ｃ时，所需时间ｔ＝１０÷２＋１０÷１＋８÷２＝１９（秒），（２）由题可知，Ｐ、Ｑ两点相遇在线段ＯＢ上于Ｍ处，设ＯＭ＝ｘ．则１０÷２＋ｘ÷１＝８÷１＋（１０﹣ｘ）÷２，解得ｘ＝．故相遇点Ｍ所对应的数是．（３）Ｐ、Ｏ两点在数轴上相距的长度与Ｑ、Ｂ两点在数轴上相距的长度相等有４种可能：①动点Ｑ在ＣＢ上，动点Ｐ在ＡＯ上，则：８﹣ｔ＝１０﹣２ｔ，解得：ｔ＝２．②动点Ｑ在ＣＢ上，动点Ｐ在ＯＢ上，则：８﹣ｔ＝（ｔ﹣５）×１，解得：ｔ＝６．５．③动点Ｑ在ＢＯ上，动点Ｐ在ＯＢ上，则：２（ｔ﹣８）＝（ｔ﹣５）×１，解得：ｔ＝１１．④动点Ｑ在ＯＡ上，动点Ｐ在ＢＣ上，则：１０＋２（ｔ﹣１５）＝ｔ﹣１３＋１０，解得：ｔ＝１７．综上所述：ｔ的值为２、６．５、１１或１７．８．解：（１）如图所示：（２）ＣＡ＝４﹣（﹣１）＝４＋１＝５（ｃｍ）；设Ｄ表示的数为ａ，∵ＡＤ＝４，∴｜﹣１﹣ａ｜＝４，解得：ａ＝﹣５或３，∴点Ｄ表示的数为﹣５或３；故答案为：５，﹣５或３；（３）将点Ａ向右移动ｘｃｍ，则移动后的点表示的数为﹣１＋ｘ；故答案为：﹣１＋ｘ；（４）ＣＡ﹣ＡＢ的值不会随着ｔ的变化而变化，理由如下：根据题意得：ＣＡ＝（４＋４ｔ）﹣（﹣１＋ｔ）＝５＋３ｔ，ＡＢ＝（﹣１＋ｔ）﹣（﹣３﹣２ｔ）＝２＋３ｔ，∴ＣＡ﹣ＡＢ＝（５＋３ｔ）﹣（２＋３ｔ）＝３，∴ＣＡ﹣ＡＢ的值不会随着ｔ的变化而变化．角度的旋转９．解：（１）∵∠ＣＯＥ是直角，∠ＣＯＦ＝５８°，∴∠ＥＯＦ＝９０°﹣５８°＝３２°．∵ＯＦ平分∠ＡＯＥ，∴∠ＡＯＥ＝２∠ＥＯＦ＝６４°，∴∠ＢＯＥ＝１８０°﹣６４°＝１１６°．答：∠ＢＯＥ的度数为１１６°；（２）∵∠ＣＯＦ＝ｍ°，∴∠ＥＯＦ＝ｍ°﹣９０°．又∵ＯＦ平分∠ＡＯＥ，∴∠ＡＯＥ＝２∠ＥＯＦ＝２ｍ°﹣１８０°，∴∠ＢＯＥ＝１８０°﹣（２ｍ°﹣１８０°）＝３６０°﹣２ｍ°．答：∠ＢＯＥ的度数为３６０°﹣２ｍ°．１０．解：（１）∵∠ＡＯＣ＝９０°，∠ＢＯＤ＝９０°，∠ＢＯＣ＝６０°，∴∠ＡＯＢ＝∠ＡＯＣ﹣∠ＢＯＣ＝９０°﹣６０°＝３０°，∠ＤＯＣ＝∠ＢＯＤ﹣∠ＢＯＣ＝９０°﹣６０°＝３０°；（２）设∠ＣＯＤ＝ｘ°，则∠ＢＯＣ＝１００°﹣ｘ°，∵∠ＡＯＣ＝１１０°，∴∠ＡＯＢ＝１１０°﹣（１００°﹣ｘ°）＝ｘ°＋１０°，∵∠ＡＯＤ＝∠ＢＯＣ＋７０°，∴１００°＋１０°＋ｘ°＝１００°﹣ｘ°＋７０°，解得：ｘ＝３０即，∠ＣＯＤ＝３０°；（３）当α＝４５°时，∠ＡＯＤ与∠ＢＯＣ互余；理由是：要使∠ＡＯＤ与∠ＢＯＣ互余，即∠ＡＯＤ＋∠ＢＯＣ＝９０°，∴∠ＡＯＢ＋∠ＢＯＣ＋∠ＣＯＤ＋∠ＢＯＣ＝９０°，即∠ＡＯＣ＋∠ＢＯＤ＝９０°，∵∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＤ＝α，∴∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＤ＝４５°，即α＝４５°，∴当α＝４５°时，∠ＡＯＤ与∠ＢＯＣ互余．１１．解：（１）如图１所示：∵ＯＮ平分∠ＡＯＣ，∴∠ＣＯＮ＝，又∵ＯＭ平分∠ＢＯＣ，∴∠ＣＯＭ＝，又∵∠ＡＯＢ＝∠ＡＯＣ＋∠ＢＯＣ＝９０°，∴∠ＭＯＮ＝∠ＣＯＮ＋∠ＣＯＭ＝＝＝４５°；（２）∠ＭＯＮ的大小不变，如图２所示，理由如下：∵ＯＭ平分∠ＢＯＣ，∴∠ＭＯＣ＝，又∵ＯＮ平分∠ＡＯＣ，∴∠ＡＯＮ＝，又∵∠ＭＯＮ＝∠ＡＯＮ＋∠ＡＯＭ，∴∠ＭＯＮ＝＝＝＝４５°．１２．解：（１）旋转前∠ＭＯＣ＝９０°﹣∠ＡＯＣ＝６０°，当ＯＭ平分∠ＢＯＣ时，，３ｔ＝７５°﹣６０°，ｔ＝５ｓ，结论：ＯＮ平分∠ＡＯＣ，理由：∵∠ＣＯＮ＝９０°﹣∠ＭＯＣ，∠ＡＯＣ＝１８０°﹣∠ＢＯＣ＝２（９０°﹣∠ＭＯＣ），∴∠ＡＯＣ＝２∠ＣＯＮ，∴ＯＮ平分∠ＡＯＣ（２）∠ＭＯＣ＝∠ＡＯＭ﹣∠ＡＯＣ＝（３ｔ＋９０°）﹣（３０°＋６ｔ）＝６０°﹣３ｔ若ＯＣ平分∠ＭＯＮ则，∴６０°﹣３ｔ＝４５°，∴ｔ＝５．１３．解：如图所示：（１）设∠ＡＯＤ＝５ｘ°，∵∠ＢＯＣ＝∠ＡＯＤ∴∠ＢＯＣ＝•５ｘ°＝３ｘ°又∵∠ＡＯＣ＝∠ＡＯＢ＋∠ＢＯＣ，∠ＢＯＤ＝∠ＤＯＣ＋∠ＢＯＣ，∠ＡＯＤ＝∠ＡＯＢ＋∠ＢＯＣ＋∠ＤＯＣ，∴∠ＡＯＣ＋∠ＢＯＤ＝∠ＡＯＤ＋∠ＢＯＣ，又∵∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＤ＝１２０°，∴５ｘ＋３ｘ＝２４０解得：ｘ＝３０°∴∠ＡＯＤ＝１５０°；（２）∵∠ＡＯＤ＝１５０°，∠ＢＯＣ＝∠ＡＯＤ，∴∠ＢＯＣ＝９０°，①若线段ＯＢ、ＯＣ重合前相差２０°，则有：２０ｔ＋１５ｔ＋２０＝９０，解得：ｔ＝２，②若线段ＯＢ、ＯＣ重合后相差２０°，则有：２０ｔ＋１５ｔ﹣９０＝２０解得：，又∵０＜ｔ＜６，∴ｔ＝２或ｔ＝；（３）∠ＭＯＮ的度数不会发生改变，∠ＭＯＮ＝３０°，理由如下：∵旋转ｔ秒后，∠ＡＯＤ＝１５０°﹣５ｔ°，∠ＡＯＣ＝１２０°﹣５ｔ°，∠ＢＯＤ＝１２０°﹣５ｔ°∵ＯＭ、ＯＮ分别平分∠ＡＯＣ、∠ＢＯＤ∴∠ＡＯＭ＝∠ＡＯＣ＝，∠ＤＯＮ＝＝∴∠ＭＯＮ＝∠ＡＯＤ﹣∠ＡＯＭ﹣∠ＤＯＮ＝１５０°﹣５ｔ°﹣﹣＝３０°．１４．解：（１）①∠ＡＯＣ＋∠ＢＯＤ＝∠ＡＯＣ＋∠ＡＯＤ＋∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ＋∠ＡＯＢ＝６０°＋９０°＝１５０°；②∠ＢＯＣ﹣∠ＡＯＤ＝（∠ＡＯＢ﹣∠ＡＯＣ）﹣（∠ＣＯＤ﹣∠ＡＯＣ）＝∠ＡＯＢ﹣∠ＡＯＣ﹣∠ＣＯＤ＋∠ＡＯＣ＝∠ＡＯＢ﹣∠ＣＯＤ＝９０°﹣６０°＝３０°；故答案为：１５０°、３０°；（２）设运动时间为ｔ秒，０＜ｔ≤３６，∠ＭＯＣ＝（５ｔ）°，①０＜ｔ≤２０时，ＯＤ与ＯＡ相遇前，∠ＡＯＤ＝（６０＋２ｔ﹣５ｔ）°＝（６０﹣３ｔ）°，∴∠ＭＯＣ﹣∠ＡＯＤ＝（８ｔ﹣６０）°；②２０＜ｔ≤３６时，ＯＤ与ＯＡ相遇后，∠ＡＯＤ＝［５ｔ﹣（６０＋２ｔ）］°＝（３ｔ﹣６０）°，∴∠ＭＯＣ﹣∠ＡＯＤ＝（２ｔ＋６０）°；（３）设ＯＣ绕点Ｏ逆时针旋转ｎ°，则ＯＤ也绕点Ｏ逆时针旋转ｎ°，①０＜ｎ°≤１５０°时，如图４，射线ＯＥ、ＯＦ在射线ＯＢ同侧，在直线ＭＮ同侧，∵∠ＢＯＦ＝［９０°﹣（ｎ﹣６０°）］＝（１５０﹣ｎ）°，∠ＢＯＥ＝（９０﹣ｎ）°＝（１８０﹣ｎ）°，∴∠ＥＯＦ＝∠ＢＯＥ﹣∠ＢＯＦ＝１５°；②１５０°＜ｎ°≤１８０°时，如图５，射线ＯＥ、ＯＦ在射线ＯＢ异侧，在直线ＭＮ同侧，∵°，∠ＢＯＥ＝（９０﹣ｎ）°＝（１８０﹣ｎ）°，∴∠ＥＯＦ＝∠ＢＯＥ＋∠ＢＯＦ＝１５°；③１８０°＜ｎ°≤３３０°时，如图６，射线ＯＥ、ＯＦ在射线ＯＢ异侧，在直线ＭＮ异侧，∵°，°，∴∠ＥＯＦ＝∠ＤＯＦ＋∠ＣＯＤ＋∠ＣＯＥ＝１６５°；④３３０°＜ｎ°≤３６０°时，如图７，射线ＯＥ、ＯＦ在射线ＯＢ同侧，在直线ＭＮ异侧，∵∠ＤＯＦ＝［３６０﹣（ｎ﹣１５０）］°＝（５１０﹣ｎ）°，°，∴∠ＥＯＦ＝∠ＤＯＦ﹣∠ＣＯＤ﹣∠ＣＯＥ＝１５°；综上，∠ＥＯＦ＝１５°或１６５°．１５．解：（１）∵ＣＦ平分∠ＡＣＢ，∴∠ＢＣＦ＝∠ＡＣＦ＝∠ＡＣＢ＝×９０°＝４５°，∴∠ＡＣＥ＝∠ＥＣＦ﹣∠ＡＣＦ＝９０°﹣４５°＝４５°；（２）∠ＡＣＥ＝∠ＢＣＦ，∵∠ＢＣＦ＋∠ＡＣＦ＝９０°＝∠ＡＣＥ＋ＡＣＦ，（３）∠ＢＣＦ﹣∠ＡＣＤ＝４５°，∵∠ＡＣＦ＋∠ＢＣＦ＝９０°，∠ＡＣＤ＋∠ＡＣＦ＝∠ＤＣＦ＝４５°，∴（∠ＡＣＦ＋∠ＢＣＦ）﹣（∠ＡＣＤ＋∠ＡＣＦ）＝９０°﹣４５°，即：∠ＢＣＦ﹣∠ＡＣＤ＝４５°．１６．解：（１）如图１①由方位角的表示方法得，射线ＯＥ的方向是北偏东２０°，故答案为：北偏东２０°；②∵∠ＡＯＥ＋∠ＥＯＮ＝∠ＣＯＮ＋∠ＥＯＮ＝９０°，∴∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＮ；故答案为：∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＮ；③∵∠ＡＯＥ＋∠ＥＯＮ＝∠ＣＯＮ＋∠ＢＯＣ，∴∠ＥＯＮ＝∠ＢＯＣ，∵∠ＡＯＣ＋∠ＢＯＣ＝１８０°，∴∠ＡＯＣ＋∠ＥＯＮ＝１８０°，故答案为：∠ＡＯＣ＋∠ＥＯＮ＝１８０°，（２）如图２，①∵∠ＣＯＥ＝９０°．∴∠ＡＯＣ＋∠ＡＯＥ＝９０°＝∠ＡＯＥ＋∠ＥＯＭ，∴∠ＡＯＣ＝∠ＥＯＭ，∵ＯＦ恰好平分∠ＣＯＭ，∴∠ＭＯＦ＝∠ＯＣＦ，即：∠ＭＯＥ＋∠ＥＯＦ＝∠ＡＯＣ＋∠ＡＯＦ，∴∠ＥＯＦ＝∠ＡＯＦ＝２４°故答案为：２４°②∵∠ＣＯＮ＋∠ＡＯＣ＝９０°＝∠ＡＯＣ＋∠ＡＯＥ，∴∠ＣＯＮ＝∠ＡＯＥ，∵∠ＥＯＦ＝∠ＡＯＦ＝β，∴∠ＣＯＮ＝２∠ＡＯＦ＝２β；故答案为：２β．（３）如图３，由同角的余角相等可得∠ＣＯＭ＝∠ＢＯＥ，∴∠ＣＯＮ＝∠ＡＯＥ，∵ＯＦ平分∠ＣＯＭ，∴∠ＣＯＮ＝∠ＡＯＥ＝２∠ＣＯＦ＋２∠ＡＯＣ＝２∠ＡＯＦ，∴∠ＣＯＮ＝２∠ＡＯＦ．。
七年级数学下册 10.3 旋转(第3课时)旋转对称图形同步跟踪训练 (新版)华东师大版-(新版)华东
旋转对称图形一．选择题（共10小题）1．下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（）A．B．C．D．2如图是一个旋转对称图形，要使它旋转后与自身重合，至少应将它绕中心逆时针方向旋转的度数为（）A．30°B．60°C120°D．180°3．把图中的五角星图案，绕着它的中心旋转，旋转角至少为（）时，旋转后的五角星能与自身重合．A．30°B．45°C．60°D．72°4．下列图形中，是旋转对称但不是中心对称图形的是（）A．线段B．正五边形C．正八边形D．圆5．分别以正方形的各边为直径向其内部作半圆得到的图形如图所示．问：将该图形绕其中心旋转多少度后会与原图形重合？甲答：45度乙答：90度丙答：180度丁答：270度则甲、乙、丙、丁中谁的回答是错误的？（）A．甲B．乙C．丙D．丁6．如图，该图形绕点O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（）A．72°B．108°C．144°D．216°7．将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转90°，所得图形一定与原图形重合的是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形8．如果正五边形绕着它的中心旋转α角后与它本身重合，那么α角的大小可以是（）A．36°B．45°C．72°D．90°9．如图，该图形围绕其的旋转中心，按下列角度旋转后，能与自身重合的是（）A．150°B．120°C．90°D．60°10．若一个图形绕着一个定点旋转一个角α（0°＜α≤180°）后能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形．例如：等边三角形绕着它的中心旋转120°（如图），能够与原来的等边三角形重合，因而等边三角形是旋转对称图形．显然，中心对称图形都是旋转对称图形，但旋转对称图形不一定是中心对称图形．下面四个图形中，旋转对称图形个数有（）A． 1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共7小题）11．一个正五边形绕它的中心至少要旋转_________ 度，才能和原来五边形重合．12．分别以正方形的各边为直径向其内部作半圆得到的图形如图所示．将该图形绕其中心旋转一个合适的角度后会与原图形重合，则这个旋转角的最小度数是_________ 度．13如图，某某特别行政区区旗中央的紫荆花团由5个相同的花瓣组成．它是由其中的一瓣经过4次旋转得到的，每次旋转的角度是_________ °．14．把图中的五角星图案，绕着它的中心点O进行旋转，那么至少旋转_________ 度，才能与自身重合．15．要使正六边形旋转后能与自身重合，至少应将它绕中心逆时针方向旋转_________ 度．16．如下图是由三个叶片组成的，绕点O旋转120°后可以和自身重合，若每个叶片的面积为5cm2，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积之和为_________ cm2．17．如图所示的五角星绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为_________ 度．三．解答题（共3小题）18．想一想：如图称为太极图，圆形图案由两条形状和大小完全一样的白鱼和黑鱼组成，也称为“阴阳鱼”，若太极图的直径为，你能算出一条白鱼或黑鱼的面积吗？旋转对称图形参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（）A．B．C．D．考点：旋转对称图形．分析：求出各旋转对称图形的最小旋转角度，继而可作出判断．解答：解：A、最小旋转角度==120°；B、最小旋转角度==90°；C、最小旋转角度==180°；D、最小旋转角度==72°；综上可得：顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是A．故选：A．点评：本题考查了旋转对称图形的知识，求出各图形的最小旋转角度是解题关键．2．如图是一个旋转对称图形，要使它旋转后与自身重合，至少应将它绕中心逆时针方向旋转的度数为（）A．30°B．60°C．120°D．180°考点：旋转对称图形．分析：根据旋转对称图形的旋转角的概念作答．解答：解：正六边形被平分成六部分，因而每部分被分成的圆心角是60°，因而旋转60度的整数倍，就可以与自身重合．则α最小值为60度．故选B．点评：本题考查旋转对称图形的旋转角的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．3．把图中的五角星图案，绕着它的中心旋转，旋转角至少为（）时，旋转后的五角星能与自身重合．A．30°B．45°C．60°D．72°考点：旋转对称图形．分析：五角星图案，可以被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．解答：解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而A、B、C都错误，能与其自身重合的是D．故选D．点评：本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．4．下列图形中，是旋转对称但不是中心对称图形的是（）A．线段B．正五边形C．正八边形D．圆考点：旋转对称图形；中心对称图形．分析：根据旋转对称图形和中心对称图形的概念即可作出判断．解答：解：A、线段是旋转对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；B、正五边形是旋转对称图形，不是中心对称图形，故本选项正确；C、正八边形是旋转对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；D、圆是旋转对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．故选：B．点评：本题考查了旋转对称图形和中心对称图形的概念．中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．旋转对称图形的概念：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．5．分别以正方形的各边为直径向其内部作半圆得到的图形如图所示．问：将该图形绕其中心旋转多少度后会与原图形重合？甲答：45度乙答：90度丙答：180度丁答：270度则甲、乙、丙、丁中谁的回答是错误的？（）A．甲B．乙C．丙D．丁考点：旋转对称图形．分析：观察图形可得，图形有四个形状相同的部分组成，从而能计算出最小旋转角度．解答：解：图形可看作由一个基本图形每次旋转90°，旋转4次所组成，故最小旋转角为90°．则该图形绕其中心旋转90°n（n取1，2，3…）后会与原图形重合．故甲、乙、丙、丁中谁的回答是错误的是甲．故选A．点评：本题考查了旋转对称图形的知识，先求出最小旋转角度是解题的关键．6．如图，该图形绕点O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（）A．72°B．108° C 144°D．216°考点：旋转对称图形．专题：常规题型．分析：该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．解答：解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而A、C、D都正确，不能与其自身重合的是B．故选B．点评：本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．7．将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转90°，所得图形一定与原图形重合的是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形考点：旋转对称图形．分析：根据旋转对称图形的性质，可得出四边形需要满足的条件，结合选项即可得出答案．解答：解：由题意可得，此四边形的对角线互相垂直、平分且相等，则这个四边形是正方形．故选D．点评：本题主要考查了旋转对称图形旋转的最小的度数的计算方法，把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．8．如果正五边形绕着它的中心旋转α角后与它本身重合，那么α角的大小可以是（）A．36°B．45°C．72°D．90°考点：旋转对称图形．分析：连接OA、OB，根据正五边形的性质求出∠AOB，即可得答案．解答：解：连接OA、OB，∵O是正五边形的中心，∴∠AOB=360°÷5=72°，即正五边形ABCDE绕着它的中心旋转72°后与它本身重合，即α角的大小可以是72°．故选C．点评：本题主要考查对正多边形与圆，旋转对称图形等知识点的理解和掌握，能运用性质进行说理是解此题的关键．9．如图，该图形围绕其的旋转中心，按下列角度旋转后，能与自身重合的是（）A．150°B．120°C．90°D．60°考点：旋转对称图形．专题：应用题．分析：该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是120°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转120度的整数倍，就可以与自身重合．解答：解：该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是120°，旋转120°的整数倍，就可以与自身重合，因而A、C、D都不正确，不能与其自身重合；能与自身重合的是B．故选B．点评：本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．10．若一个图形绕着一个定点旋转一个角α（0°＜α≤180°）后能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形．例如：等边三角形绕着它的中心旋转120°（如图），能够与原来的等边三角形重合，因而等边三角形是旋转对称图形．显然，中心对称图形都是旋转对称图形，但旋转对称图形不一定是中心对称图形．下面四个图形中，旋转对称图形个数有（）A． 1 B．2 C．3 D．4考点：旋转对称图形．专题：压轴题．分析：根据题中条件，旋转某个角度后可重合的就是旋转对称图形．解答：解：图1绕中心旋转60°后能够与原来的图形重合，所以这个图形是旋转对称图形；图2中，无论怎么样旋转都无法重合，除非旋转360度，但超出条件X围，故图2不是旋转对称图形；图3绕中心旋转120°后能够与原来的图形重合，所以这个图形是旋转对称图形；图4绕中心旋转72°后能够与原来的图形重合，所以这个图形是旋转对称图形．故选C．点评：考查了旋转对称图形的定义：若一个图形绕着一个定点旋转一个角α（0°＜α≤180°）后能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形．二．填空题（共7小题）11．一个正五边形绕它的中心至少要旋转72 度，才能和原来五边形重合．考点：旋转对称图形．分析：要与原来的五边形重合．可用一个圆周角的度数（即360度）除以5，便可知道至少要旋转多少度才能和原来的五边形重合．解答：解：要与原来五边形重合，故为360÷5=72°．故一个正五边形绕它的中心至少旋转72°才能和原来的五边形重合．点评：本题主要考查旋转对称图形的性质以及几何体度数的计算方法，难度一般．12．分别以正方形的各边为直径向其内部作半圆得到的图形如图所示．将该图形绕其中心旋转一个合适的角度后会与原图形重合，则这个旋转角的最小度数是90 度．考点：旋转对称图形．专题：数形结合．分析：观察图形可得，图形有四个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度．解答：解：图形可看作由一个基本图形每次旋转90°，旋转4次所组成，故最小旋转角为90°．故答案为：90．点评：本题考查了观察图形，确定最小旋转角度数的方法，需要熟练掌握．13．如图，某某特别行政区区旗中央的紫荆花团由5个相同的花瓣组成．它是由其中的一瓣经过4次旋转得到的，每次旋转的角度是72 °．考点：旋转对称图形．分析：根据旋转的性质和周角是360°求解即可．解答：解：观察图形可知，中心角是由五个相同的角组成，∴旋转角度是360°÷5=72°，∴这四次旋转中，旋转角度最小是72°．故答案为：72°．点评：本题把旋转的性质和一个周角是360°结合求解．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．注意结合图形解题的思想．14．把图中的五角星图案，绕着它的中心点O进行旋转，那么至少旋转72 度，才能与自身重合．考点：旋转对称图形．分析：角星能被从中心发出的射线平分成相等的5部分，再由一个周角是360°即可求出最小的旋转角度．解答：解：五角星可以被中心发出的射线平分成5部分，那么最小的旋转角度为：360°÷5=72°．故答案为：72°．点评：本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．15．要使正六边形旋转后能与自身重合，至少应将它绕中心逆时针方向旋转60 度．考点：旋转对称图形．分析：正六边形的中心与各顶点的距离相等，相邻顶点与中心连线的夹角相等，将圆周六等分，可求旋转角．解答：解：根据正六边形的性质可知，相邻的对应点与中心连线的夹角为：360°÷6=60°，即至少应将它绕中心逆时针方向旋转60°．点评：本题考查了图形的旋转变化，学生主要要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大，但易错．16．如下图是由三个叶片组成的，绕点O旋转120°后可以和自身重合，若每个叶片的面积为5cm2，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积之和为5 cm2．考点：旋转对称图形．分析：根据旋转的性质和图形的特点解答．解答：解：每个叶片的面积为5cm2，因而图形的面积是15cm2，图形中阴影部分的面积是图形的面积的，因而图中阴影部分的面积之和为5cm2．点评：考查图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．【】根据旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．17．如图所示的五角星绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为72 度．考点：旋转对称图形．分析：根据旋转的性质和五角星的特点解答．解答：解：五角星绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为=72度．点评：本题考查旋转对称图形的概念，旋转的最小度数是解决本题的关键．【】旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．三．解答题（共3小题）18．想一想：如图称为太极图，圆形图案由两条形状和大小完全一样的白鱼和黑鱼组成，也称为“阴阳鱼”，若太极图的直径为，你能算出一条白鱼或黑鱼的面积吗？考点：旋转对称图形．专题：计算题．分析：如果不考虑颜色，太极图是旋转对称图形，则一条白鱼和黑鱼的面积相等，然后根据圆的面积公式计算．解答：解：一条白鱼和黑鱼的面积相等，所以一条白鱼或黑鱼的面积=2=π（m2）．点评：本题考查了旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．。
三角形角度旋转问题数学七年级下册
三角形角度旋转问题数学七年级下册
在数学七年级下册中，有关三角形角度旋转的问题主要包括以下几个方面：
1. 三角形角度和问题：学生需要计算给定三角形的三个角度之和。
根据三角形内角和定理，三个角的和始终为180度。
2. 三角形旋转问题：学生需要根据给定的旋转角度和旋转中心，计算经过旋转后的三角形各个顶点的坐标。
通过旋转公式和坐标变换，解决问题。
3. 判断三角形相似问题：学生需要根据给定的图形信息，判断两个三角形是否相似。
相似的三角形具有相等的对应角和对应边的比例关系。
4. 利用三角形相似问题：学生需要利用相似三角形的性质，解决一些实际问题。
例如，通过测量阴影的长度和高度，可以计算出高楼的实际高度。
以上是数学七年级下册关于三角形角度旋转问题的一些例子，具体的难度和题型会根据教材的不同而有所变化。
建议学生通过反复练习，掌握相关的概念和解题方法。
三角形角度旋转问题数学七年级下册
三角形角度旋转问题数学七年级下册三角形是几何学中的基本形状之一，它具有许多有趣的性质和定理。
在数学七年级下册的学习中，我们将接触到三角形的角度旋转问题，这是一个非常重要的内容，也是我们对三角形理解的深入之处。
让我们来了解一些基本概念。
三角形是由三条边和三个角组成的图形。
其中，三角形的内角和总是等于180度，这是一个非常重要的性质。
而在角度旋转问题中，我们主要涉及到三角形围绕某一点进行旋转的情况。
这种旋转会改变三角形的位置和朝向，但并不会改变三角形的大小和形状。
接下来，我们可以从简单的情况开始，逐步深入理解角度旋转问题。
让我们考虑围绕顶点旋转的情况。
假设我们有一个三角形ABC，我们围绕顶点A进行逆时针旋转一个角度α，那么三角形的顺序就变成了ABC'。
在这种情况下，我们可以利用三角形的性质和角度的加法性质来解决问题。
如果我们知道了三角形ABC的三个角的大小，我们就可以通过加上或减去α来得到三角形ABC'的三个角的大小。
这是一个相对简单的角度旋转问题，但它为我们理解更复杂的情况打下了基础。
让我们考虑围绕一个点旋转的情况。
假设我们有一个三角形ABC，我们围绕点O进行逆时针旋转一个角度α，那么三角形的位置和朝向就会发生改变。
在这种情况下，我们需要考虑三角形的每个顶点的坐标变化。
通过坐标变化的计算，我们可以得到旋转后三角形的新坐标，从而确定旋转后的位置和朝向。
这是一个相对复杂的角度旋转问题，但它是我们理解角度旋转问题的重要步骤。
在理解了以上两种情况后，我们可以进一步考虑更复杂的情况，例如围绕一条直线旋转或者围绕一个中心进行旋转。
通过逐步深入的学习和实践，我们可以逐渐掌握三角形的角度旋转问题，并将其运用到更广泛的数学和实际问题中。
总结回顾一下，通过本文的学习，我们对三角形角度旋转问题有了更全面、深刻和灵活的理解。
我们从简到繁地探讨了围绕顶点和围绕点旋转的情况，并逐步引入了更复杂的情况。
在学习的过程中，我们不仅掌握了解决问题的方法，也提高了数学建模和问题解决的能力。
专题06 几何图形初步—角度问题压轴真题(解析版)-初中数学七年级上学期重难点题型必刷题(人教版)
专题06 高分必刷题-几何图形初步—角度问题压轴题真题（解析版）专题简介：本份资料专攻《几何图形初步》这一章中求角度的压轴题，所选题目源自各名校月考、期末试题中的压轴题真题，大都涉及到角度的旋转问题，难度较大，适合于想挑战满分的学生考前刷题使用，也适合于培训机构的老师培训尖子生时使用。
1.（明德）已知120AOB ∠=，60COD ∠=，OE 平分∠BOC .(1)如图①，当∠COD 在∠AOB 的内部时.①若∠AOC =40°，则∠COE =_________；∠DOE =_________.②若∠AOC =α，则∠DOE =_________（用含α的代数式表示）；（2）如图②，当∠COD 在∠AOB 的外部时①请写出∠AOC 与∠DOE 的度数之间的关系，并说明理由.②在∠AOC 内部有一条射线OF ，满足∠AOC +2∠BOE =4∠AOF ，写出∠AOF 与∠DOE 的度数之间的关系，并说明理由.【解答】解：（1）①∵∠AOB ＝120°，∠AOC ＝40°，∴∠BOC ＝80°，∵OE 平分∠BOC ， ∴∠COE ＝∠BOC ＝40°，∵∠COD ＝60°，∴∠DOE ＝∠COD ﹣∠COE ＝60°﹣40°＝20°．故答案为：40°，20°．②∵∠AOB ＝120°，∠AOC ＝α，∴∠BOC ＝120°﹣α，∵OE 平分∠BOC ，∴∠COE ＝∠BOC ＝60°﹣α，∵∠COD ＝60°，∴∠DOE ＝∠COD ﹣∠COE ＝60°﹣（60°﹣α）＝α．故答案为：α．（2）①∵OE 平分∠BOC ，∴∠BOC ＝2∠COE ，∵∠AOC ﹣∠AOB ＝∠BOC ，∠DOE ﹣∠COD ＝∠EOC ，∴∠AOC ﹣∠AOB ＝2（∠DOE ﹣∠COD ），∵∠AOB ＝120°，∠COD ＝60°，∴∠AOC ﹣120°＝2（∠DOE ﹣60°），化简得：2∠DOE ＝∠AOC ．②∠DOE ﹣∠AOF ＝30°，理由如下：∵∠AOC ＝∠AOB +∠BOC ，∠BOC ＝2∠BOE ，∠AOC +2∠BOE ＝4∠AOF ，∴4∠AOF ＝∠AOB +4∠BOE ，∵∠DOE ＝∠COD +∠COE ，∠COE ＝∠BOE ，∴4∠DOE ＝4∠COD +4∠BOE ，∴4∠AOF ﹣4∠DOE ＝∠AOB ﹣4∠COD ，∵∠AOB ＝120°，∠COD ＝60°，∴4∠AOF ﹣4∠DOE ＝﹣120°，∴∠DOE ﹣∠AOF ＝30°．2.（长梅）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1：2的两个角的射线，叫作这个角的三分钱，显然，一个角的三分线有两条.(1)如图①，已知OC 是∠AOB 的一条三分钱，且BOC AOC ∠>∠，若75AOB AOC ∠=︒∠=， ；(2)如图②，已知90AOB ∠=︒，若OC ，OD 是∠AOB 的两条三分线.①求∠COD 的度数；②在①的基础上，现以O 为中心，将∠COD 顺时针旋转n °得到C OD ''∠.当OA 恰好是C OD ''∠的三分线时，求n 的值.图① 图②【解答】解：（1）已知OC 是∠AOB 的一条三分钱，且∠BOC ＞∠AOC ，若∠AOB ＝75°， ∴∠AOC ＝∠AOB ＝25°，故答案为：25°．（2）①如图2，∵∠AOB ＝90°，OC ，OD 是∠AOB 的两条三分线，∴∠COD ＝∠AOB ＝30°；②分两种情况：当OA 是∠C 'OD '的三分线，且∠AOD '＞∠AOC '时，∠AOC ′＝10°， ∴∠DOC '＝30°﹣10°＝20°，∴∠DOD '＝20°+30°＝50°；当OA 是∠C ′OD '的三分线，且∠AOD '＜∠AOC 时，∠AOC '＝20°，∴∠DOC ′＝30°﹣20°＝10°，∴∠DOD '＝10°+30°＝40°；综上所述，n ＝40°或50°．3．（师大）若A 、O 、B 三点共线，∠BOC ＝50°，将一个三角板的直角顶点放在点O 处（注：∠DOE ＝90°，∠DEO ＝30°）．（1）如图1，使三角板的短直角边OD 在射线OB 上，则∠COE ＝ ；（2）如图2，将三角板DOE 绕点O 逆时针方向旋转，若OE 恰好平分∠AOC ，则OD 所在射线是∠BOC 的 ；（3）如图3，将三角板DOE 绕点O 逆时针转动到使∠COD ＝∠AOE 时，求∠BOD 的度数；（4）将图1中的三角板绕点O 以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，OE 恰好与直线OC 重合，求t 的值．【解答】解：（1）∵∠DOE ＝90°，∠BOC ＝50°，∴∠COE ＝40°，故答案为40°；（2）∵OE 平分∠AOC ，∴∠AOE ＝∠COE ，∵∠COE +DOC ＝∠DOE ＝90°，∴∠AOE +∠DOB ＝90°，∴∠DOC ＝∠DOB ，∴DO 平分∠BOC ，∴DO 是∠BOC 的角平分线，故答案为：角平分线；（3）∵∠COD ＝∠AOE ，∠COD +∠DOE +∠AOE ＝130°，∴5∠COD ＝40°，∴∠COD ＝8°，∴∠BOD ＝58°；（4）当OE 与射线OC 的反向延长线重合时，5t +40＝180，∴t ＝28，当OE 与射线OC 重合时，5t ＝360﹣40，∴t ＝64，综上所述：t 的值为28或64．4.（雅礼）如图1，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使130BOC ∠=︒。
七年级数学动角问题专项训练
1.已知∠AOB = 40°，射线OC在∠AOB的内部，且∠BOC = 25°，若射线OD平分∠AOC，则∠AOD的度数为：A.15°B.22.5°C.30°D.32.5°2.钟表上，分针每分钟转动的角度是：A.30°B.6°C.360°D. 5.5°3.已知∠1与∠2互补，∠1 = 70°，若∠3 = ∠1 + ∠2，则∠3的度数为：A.110°B.140°C.160°D.180°4.一个直角三角形的两个锐角的角平分线相交于点P，则∠P的度数为：A.45°B.60°C.67.5°D.90°5.若∠AOB = 60°，射线OC从OB出发，绕点O按逆时针方向旋转至与OA重合，则旋转过程中∠BOC的度数变化范围是：A.0°< ∠BOC < 60°B.0°< ∠BOC < 120°C.60°< ∠BOC < 180°D.0°< ∠BOC < 360°6.已知∠1 = 2x°，∠2 = 3x°- 10°，且∠1与∠2互为补角，则x的值为：A.20B.22C.24D.267.钟表上，从3时整到4时整，分针转过的角度是：A.30°B.60°C.180°D.360°8.若∠AOB = ∠BOC + ∠COD，且∠AOB = 120°，∠COD = 30°，则∠BOC的度数为：A.30°B.60°C.90°D.120°9.一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是：A. 4B. 5C. 6D.710.已知∠AOB = 90°，射线OC平分∠AOB，射线OD从OB出发，绕点O按顺时针方向旋转至与OA重合，若∠COD = 35°，则∠AOD的度数为：A.55°B.65°C.125°D.155°。
部编数学七年级上册专题13与角相关的旋转(翻折)问题专项讲练(解析版)含答案
专题13 与角相关的旋转（翻折）问题专项讲练与角有关的旋转（翻折）问题属于人教版七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重要内容，对考生的综合素养要求较高。
绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问题需要自己画出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难度大。
本专题重点研究与角有关的旋转问题（求值问题；定值问题；探究问题；分类讨论问题）和与角有关的翻折问题。
【与角相关的旋转问题】【解题技巧】1、角度旋转问题解题步骤：①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度：1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间；2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间；3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大：变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角③列——根据题意列方程求解。
注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。
常见的三角板旋转的问题：三角板有两种，一种是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一种是特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。
三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。
总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。
抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。
【重要题型】题型1：求值问题例1．（2022·江苏·七年级期中）已知∠AOB和∠COD均为锐角，∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，将∠COD绕着点O逆时针旋转，使∠BOC=α（0≤α＜180°）（1）若∠AOB=60°，∠COD=40°，①当α=0°时，如图1，则∠POQ= ；②当α=80°时，如图2，求∠POQ 的度数；③当α=130°时，如图3，请先补全图形，然后求出∠POQ的度数；（2）若∠AOB=m°，∠COD=n°，m＞n，则∠POQ= ，（请用含m、n的代数式表示）．【答案】（1）①50°；②50°；③130°；（2）12m °+12n °或180°-12m °-12n °【分析】（1）根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论；（2）根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论．【详解】解：（1）①∵∠AOB =60°，∠COD =40°，OP 平分∠AOC ，OQ 平分∠BOD ，∴∠BOP =12∠AOB =30°，∠BOQ =12∠COD =20°，∴∠POQ =50°，故答案为：50°；②解：∵∠AOB =60°，∠BOC =α=80°，∴∠AOC =140°，∵OP 平分∠AOC ，∴∠POC =12∠AOC =70°，∵∠COD =40°，∠BOC =α=80°，且OQ 平分∠BOD ，同理可求∠DOQ =60°，∴∠COQ =∠DOQ -∠DOC =20°，∴∠POQ =∠POC -∠COQ =70°-20°=50°；③解：补全图形如图3所示，∵∠AOB =60°，∠BOC =α=130°，∴∠AOC =360°-60°-130°=170°，∵OP 平分∠AOC ，∴∠POC =12∠AOC =85°，∵∠COD =40°，∠BOC =α=130°，且OQ 平分∠BOD ，同理可求∠DOQ =85°，∴∠COQ =∠DOQ -∠DOC =85°-40°=45°，∴∠POQ =∠POC +∠COQ =85°+45°=130°；（2）当∠AOB =m °，∠COD =n °时，如图2，∴∠AOC = m °+ a °，∵OP 平分∠AOC ，∴∠POC =12(m °+ a °)，同理可求∠DOQ =12(n °+ a °)，∴∠COQ =∠DOQ -∠DOC =12(n °+ a °)- n °=12(-n °+ a °)，∴∠POQ =∠POC -∠COQ =12(m °+ a °)-12(-n °+ a °) =12m °+12n °，当∠AOB =m °，∠COD =n °时，如图3，∵∠AOB =m °，∠BOC =α，∴∠AOC =360°-m °-a °，∵OP 平分∠AOC ，∴∠POC =12∠AOC =180°12-(m °+ a °)，∵∠COD =n °，∠BOC =α，且OQ 平分∠BOD ，同理可求∠DOQ =12(n °+ a °)，∴∠COQ =∠DOQ -∠DOC =12(n °+ a °)-n °=12(-n °+ a °)，∴∠POQ =∠POC +∠COQ =180°12-(m °+ a °)+12(-n °+ a °) =180°-12m °-12n °，综上所述，若∠AOB =m °，∠COD =n °，则∠POQ =12m °+12n °或180°-12m °-12n °．故答案为：12m °+12n °或180°-12m °-12n °．【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．变式1．（2022•高新区期末）已知∠AOB ＝90°，∠COD ＝60°，按如图1所示摆放，将OA 、OC 边重合在直线MN 上，OB 、OD 边在直线MN 的两侧：（1）保持∠AOB 不动，将∠COD 绕点O 旋转至如图2所示的位置，则①∠AOC +∠BOD ＝ ；②∠BOC ﹣∠AOD ＝ ．（2）若∠COD按每分钟5°的速度绕点O逆时针方向旋转，∠AOB按每分钟2°的速度也绕点O逆时针方向旋转，OC旋转到射线ON上时都停止运动，设旋转t分钟，计算∠MOC﹣∠AOD（用t的代数式表示）．（3）保持∠AOB不动，将∠COD绕点O逆时针方向旋转n°（n≤360），若射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD，求∠EOF的大小．【解题思路】（1）①将∠AOC+∠BOD拆分、转化为∠COD+∠AOB即可得；②依据∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC、∠AOD＝∠COD﹣∠AOC，将原式拆分、转化为∠AOB﹣∠COD计算可得；（2）设运动时间为t秒，0＜t≤36，∠MOC＝（5t）°，只需表示出∠AOD即可得出答案，而∠AOD在OD与OA相遇前、后表达式不同，故需分OD与OA相遇前后即0＜t≤20和20＜t≤36两种情况求解；（3）设OC绕点O逆时针旋转n°，则OD也绕点O逆时针旋转n°，再分①射线OE、OF在射线OB同侧，在直线MN同侧；②射线OE、OF在射线OB异侧，在直线MN同侧；③射线OE、OF在射线OB异侧，在直线MN异侧；④射线OE、OF在射线OB同侧，在直线MN异侧；四种情况分别求解．【解答过程】解：（1）①∠AOC+∠BOD＝∠AOC+∠AOD+∠AOB＝∠COD+∠AOB＝60°+90°＝150°；②∠BOC﹣∠AOD＝（∠AOB﹣∠AOC）﹣（∠COD﹣∠AOC）＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD+∠AOC＝∠AOB﹣∠COD＝90°﹣60°＝30°；故答案为：150°、30°；（2）设运动时间为t秒，0＜t≤36，∠MOC＝（5t）°，①0＜t≤20时，OD与OA相遇前，∠AOD＝（60+2t﹣5t）°＝（60﹣3t）°，∴∠MOC﹣∠AOD＝（8t﹣60）°；②20＜t≤36时，OD与OA相遇后，∠AOD＝[5t﹣（60+2t）]°＝（3t﹣60）°，∴∠MOC﹣∠AOD＝（2t+60）°；（3）设OC 绕点O 逆时针旋转n °，则OD 也绕点O 逆时针旋转n °，①0＜n °≤150°时，如图4，射线OE 、OF 在射线OB 同侧，在直线MN 同侧，∵∠BOF =12[90°﹣（n ﹣60°）]=12（150﹣n ）°，∠BOE ＝（90−12n ）°=12（180﹣n ）°，∴∠EOF ＝∠BOE ﹣∠BOF ＝15°；②150°＜n °≤180°时，如图5，射线OE 、OF 在射线OB 异侧，在直线MN 同侧，∵∠BOF =12(n−150)°，∠BOE ＝（90−12n ）°=12（180﹣n ）°，∴∠EOF ＝∠BOE +∠BOF ＝15°；③180°＜n °≤330°时，如图6，射线OE 、OF 在射线OB 异侧，在直线MN 异侧，∵∠DOF =12(n−150)°，∠COE =12(360−n)°，∴∠EOF ＝∠DOF +∠COD +∠COE ＝165°；④330°＜n °≤360°时，如图7，射线OE 、OF 在射线OB 同侧，在直线MN 异侧，∵∠DOF =12[360﹣（n ﹣150）]°=12（510﹣n ）°，∠COE =12(360−n)°，∴∠EOF ＝∠DOF ﹣∠COD ﹣∠COE ＝15°；综上，∠EOF ＝15°或165°．变式2.（2022•浙江七年级期中）如图1，O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，30AOC Ð=°，将一直角三角板（30M Ð=°）的直角顶点放在点O 处，一边ON 在射线OA 上，另一边OM 与OC 都在直线AB 的上方．（注：本题旋转角度最多180°．）（1）将图1中的三角板绕点O 以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过t 秒后，AON Ð=______度（用含t 的式子表示），若OM 恰好平分BOC Ð，则t =______秒（直接写结果）．（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC 也绕O 点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转，如图3，经过t 秒后，AOC Ð=______度（用含t 的式子表示）若OC 平分MON Ð，求t 为多少秒？（3）若（2）问的条件不变，那么经过秒OC 平分BOM Ð？（直接写结果）【答案】（1）3t ，5；（2）306t +，5；（3）经过703秒OC 平分BOM Ð【解析】（1）3AON t Ð=，∵30AOC Ð=°，∴150BOC Ð=°∵OM 平分BOC Ð，90MON Ð=°，∴75COM Ð=°，∴15CON Ð=°∴301515AON AOC CON Ð=Ð-Ð=-=°°°，解得：1535t =¸=°°秒（2）()306AOC t Ð=+度∵90MON Ð=°，OC 平分MON Ð，∴45CON COM Ð=Ð=°∴45AOC AON CON Ð-Ð=Ð=°，∴306345t t +-=解得：5t =秒（3）如图：∵90AON BOM Ð+Ð=°，BOC COMÐ=Ð由题可设AON Ð为3t ，AOC Ð为()306t +°，∴()19032COM BOC t Ð=Ð=-°∵180BOC AOC Ð+Ð=°，()()130********t t ++-=，解得：703t =秒答：经过703秒OC 平分BOM Ð．题型2：定值问题（角度不变问题）例2．（2022·江苏南京·七年级期末）如图，两条直线AB ，CD 相交于点O ，且∠AOC ＝∠AOD ，射线OM 从OB 开始绕O 点逆时针方向旋转，速度为15°/s ，射线ON 同时从OD 开始绕O 点顺时针方向旋转，速度为12°/s ，运动时间为t 秒（0＜t ＜12，本题出现的角均小于平角）（1）图中一定有 个直角；当t＝2时，∠MON的度数为 ，∠BON的度数为 ；（2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，当∠EOF为直角时，请求出t的值；（3）当射线OM在∠COB内部，且7COM2BONMONÐ+ÐÐ是定值时，求t的取值范围，并求出这个定值．变式1．（2022•渝中区七年级期中）如图1，∠AOB＝40°，∠COD＝60°，OM、ON分别为∠AOB和∠BOD的角平分线．（1）若∠MON＝70°，则∠BOC＝ °；（2）如图2，∠COD从第（1）问中的位置出发，绕点O 逆时针以每秒4°的速度旋转；当OC与OA重合时，∠COD立即反向绕点O顺时针以每秒6°的速度旋转，直到OC与OA互为反向延长线时停止运动．整个运动过程中，∠COD的大小不变，OC旋转后的对应射线记为OC′，OD旋转后的对应射线记为OD′，∠BOD′的角平分线记为ON′，∠AOD′的角平分线记为OP．设运动时间为t秒．①当OC′平分∠BON′时，求出对应的t的值；②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不变？若存在，请直接写出这个定值及其对应的t的取值范围（包含运动的起止时间）；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）根据角平分线的定义结合图形根据已知条件求角的大小；（2）①分类讨论顺时针、逆时针转两种情况，根据角平分线的定义用t 表示出角的度数，列出等量关系式求出t ；②分类讨论顺时针、逆时针转两种情况，当C ′在B 下方时，当C ′在B 上方时，根据角平分线的定义用t 表示出角的度数，求在某个时间段使得|∠BOP ﹣∠MON ′|的值不变，求出这个定值及其对应的t 的取值范围．【解答过程】解：（1）∵OM 为∠AOB 的角平分线、∠AOB ＝40°，∴∠MOB ＝20°．∵∠MON ＝70°，∴∠BON ＝∠MON ﹣∠MOB ＝50°．∵ON 为∠BOD 的角平分线，∴∠BON ＝∠DON ＝50°．∴∠CON ＝∠COD ﹣∠DON ＝10°∴∠BOC ＝∠DON ﹣∠CON ＝40°．故答案为：40°．（2）如图①：①逆时针旋转时：当C ′在B 上方时，根据题意可知，∠BOC ′＝40°﹣4t ，∠BOD ′＝∠BOD ﹣4t ＝100°﹣4t ．∠BON ′=12∠BOD ′=12(100°−4t)=50°﹣2t ，∵OC ′平分∠BON ′，∴∠BOC ′=12∠BON′，即40°﹣4t =12（50°﹣2t ），解得：t ＝5（s ）．当C ′在B 下方时，此时C ′也在N ′下方，此时不存在OC ′平分∠BON ′．顺时针旋转时：如图②，同理当C ′在B 下方时，此时C ′也在N ′下方，此时不存在OC ′平分∠BON ′．当C ′在B 上方时，即OC ′与OB 重合，由题意可求OC ′与OB 重合用的时间＝∠AOC ÷4+∠AOB ÷6＝（∠AOB +∠BOC ）÷4+∠AOB ÷6=803（s ）．∴OC ′与OB 重合之后，∠BOC ′＝6（t −803）（s ）．∴∠BOD ′＝∠BOC ′+60°＝6（t −803）+60°＝6t ﹣100°．∴∠BON ′=12∠BOD′=12（6t ﹣100°）＝3t ﹣50°，∵OC ′平分∠BON ′，∴∠BOC ′=12∠BON′，∴6（t −803）=12（3t ﹣50°），解得：t ＝30（s ）综上所述t 的值为5或30．②逆时针旋转时：当C ′在B 上方时，如图③根据①可知，∠BOC ′＝40°﹣4t ，∠BOD ′＝100°﹣4t ，∠BON ′＝50°﹣2t ．∴∠AOD ′＝∠AOB +∠BOD ′＝140°﹣4t ，∴∠AOP =12∠AOD′=12∠(140°−4t)=70°﹣2t ，∴∠BOP ＝∠AOP ﹣∠AOB ＝30°﹣2t ，∵∠MON ′＝∠MOB +∠BON ′＝70°﹣2t ，∴|∠BOP ﹣∠MON ′|＝|30°﹣2t ﹣70°+2t |＝40°，此段时间0≤t ≤10s ；如图④当C ′在B 下方时，设经过OB 后运动时间为t 2，同理可知，∠BOC ′＝4t 2，∠BOD ′＝60°﹣4t 2，∴∠MON′=12∠BON′=30−2t 2，∴∠AOD ′＝∠AOB +∠BOD ′＝100°﹣4t 2，∴∠AOP =12∠AOD′=50°−2t 2，∴∠BOP ＝∠AOP ﹣∠AOB ＝10°﹣2t 2，∵∠MON ′＝∠MOB +∠BON ′＝50°﹣2t 2，∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|10°﹣2t2﹣50°+2t2|＝40°．此时：10＜t≤20；顺时针旋转时：当C′在B下方时，如图⑤，设经过OB后运动时间为t1，同理可知：∠BOC′＝40°﹣6t1，∠BOD′＝20°+6t1，∴∠BON′=12∠BOD′=10°+3t1，∴∠AOD′＝60°+6t1，∠AOP＝30°+3t1，∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝3t1﹣10°，∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝30°﹣3t1，∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|3t1﹣10°﹣30°﹣3t1|＝40°，此时：20＜t≤803；当C′在B上方时，如图⑥，设经过OB后运动时间为t3，同理可知：，∠BOC′＝60°+6t3，∠BOD′＝100°+6t3，∴∠BON′=12∠BON′=50°+3t3，∴∠AOD′＝140°+6t3，∴∠AOP＝70°+3t3，∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝30°+3t3，∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝70°+3t3，∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|30°+3t3﹣70°﹣3t3|＝40°，此时：803＜t≤50．综上所述：存在且定值为40°，0≤t≤50．变式2．（2022•碑林区七年级开学）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线ON是否平分∠AOC？请直接写出结论：直线ON 平分 （平分或不平分）∠AOC．（2）将图1中的三角板绕点O按每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 10或40 ．（直接写出结果）（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转，请探究，当ON始终在∠AOC的内部时（如图3），∠AOM与∠NOC的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明．【解题思路】（1）设ON的反向延长线为OD，由角平分线的性质和对顶角的性质可求得∠BON＝∠AOD＝∠COD＝30°；（2）由直线ON恰好平分锐角∠AOC可知旋转60°或240°时直线ON平分∠AOC，根据旋转速度可求得需要的时间；（3）由∠MON＝90°，∠AOC＝60°，可知∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON，最后求得两角的差，从而可做出判断．【解答过程】解：（1）直线ON平分∠AOC．理由如下：设ON的反向延长线为OD，∵OM平分∠BOC，∠BOC＝120°，∠BOC＝60°，∴∠MOC＝∠MOB=12又∠MOD＝∠MON＝90°，∴∠COD＝90°﹣∠MOC＝30°，∵∠AOC＝180°﹣∠BOC＝60°，∠AOC，∴OD平分∠AOC，∴∠COD=12即直线ON平分∠AOC，故答案为：平分；（2）∵∠BOC＝120°，∴∠AOC＝60°．∴∠BON＝∠COD＝30°．即旋转60°或240°时直线ON平分∠AOC．由题意得，6t＝60或240．解得：t＝10或40，故答案为：10或40；（3）∠AOM﹣∠NOC的差不变．∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，∴∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON．∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．∴∠AOM与∠NOC的差不变，这个差值是30°．题型3：探究类问题（判断角的数量之间的关系）例3．（2022·四川·成都市七年级期末）如图所示：点P是直线AB上一点，∠CPD是直角，PE平分∠BPC．（1）如图1，若∠APC=40°，求∠DPE的度数；（2）如图1，若∠APC=a，直接写出∠DPE的度数（用含a的代数式表示）；（3）保持题目条件不变，将图1中的∠CPD按顺时针方向旋转至图2所示的位置，探究∠APC和∠DPE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．变式1．（2022·广东七年级期中）如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．（1）若∠DCE=25°，∠ACB等于多少；若∠ACB=130°，则∠DCE等于多少；（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；（3）如图（b），若是两个同样的三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的大小有何关系，请说明理由；（4）已知∠AOB=α，∠COD=β（α、β都是锐角），如图（c），若把它们的顶点O重合在一起，则∠AOD与∠BOC的大小有何关系，请说明理由．【答案】（1）∠ACB=155°；∠DCE=50°；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析；（3）∠DAB+∠CAE=120°，理由见解析；（4）∠AOD+∠BOC=α+β，理由见解析．【分析】（1）先求出∠BCD，再代入∠ACB=∠ACD+∠BCD求出即可；先求出∠BCD，再代入∠DCE=∠BCE﹣∠BCD求出即可；（2）根据∠ACB=∠ACE+∠DCE+∠DCE求出即可；（3）根据∠DAB=∠DAE+∠CAE+∠CAB求出即可；（4）根据∠AOD=∠AOC+∠COB+∠BOD求出即可．【详解】解：(1)∵∠BCE=90°，∠DCE=25°，∴∠BCD=∠BCE﹣∠DCE=65°，∵∠ACD=90°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°+65°=155°；∵∠ACB=130°，∠ACD=90°，∴∠BCD=∠ACB﹣∠ACD=130°﹣90°=40°，∵∠BCE=90°，∴∠DCE=∠BCE﹣∠BCD=90°﹣40°=50°，故答案为：155°，50°；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由如下：∵∠ACB=∠ACE+∠DCE+∠DCE，∴∠ACB+∠DCE=∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠DCE=∠ACD+∠BCE=180°；（3）∠DAB+∠CAE=120°，理由如下：∵∠DAB=∠DAE+∠CAE+∠CAB，∴∠DAB+∠CAE=∠DAE+∠CAE+∠CAB+∠CAE=∠DAC+∠BAE=120°；（4）∠AOD+∠BOC=α+β，理由如下：∵∠AOD=∠AOC+∠COB+∠BOD，∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COB+∠BOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=α+β．【点睛】本题考查了角的运算，理解角的和差运算是解题的关键．变式2．（2022•喀喇沁旗七年级期中）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使点N在OC的反向延长线上，请直接写出图中∠MOB 的度数；（2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；（3）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图4，使ON在∠AOC内部，请探究∠AOM 与∠NOC 之间的数量关系，并说明理由．【解题思路】（1）根据对顶角求出∠BON ，代入∠BOM ＝∠MON ﹣∠BON 求出即可；（2）求出∠BOC ＝120°，根据角平分线定义请求出∠COM ＝∠BOM ＝60°，代入∠CON ＝∠MON +∠COM 求出即可；（3）用∠AOM 和∠CON 表示出∠AON ，然后列出方程整理即可得解．【解答过程】解：（1）如图2，∵∠AOC ＝60°，∴∠BON ＝∠AOC ＝60°，∵∠MON ＝90°，∴∠BOM ＝∠MON ﹣∠BON ＝30°，故答案为：30°；（2）∵∠AOC ＝60°，∴∠BOC ＝180°﹣∠AOC ＝120°，∵OM 平分∠BOC ，∴∠COM ＝∠BOM ＝60°，∵∠MON ＝90°，∴∠CON ＝∠MON +∠COM ＝90°+60°＝150°；（3）∠AOM ﹣∠NOC ＝30°，理由是：∵∠MON ＝90°，∠AOC ＝60°，∴∠AON ＝90°﹣∠AOM ，∠AON ＝60°﹣∠NOC ，∴90°﹣∠AOM ＝60°﹣∠NOC ，∴∠AOM ﹣∠NOC ＝30°，故∠AOM 与∠NOC 之间的数量关系为：∠AOM ﹣∠NOC ＝30°．题型4：分类讨论问题例4．（2022·成都市七中育才学校七年级月考）一副三角板（直角三角板OAB 和直角三角板OCD ）如图1所示放置，两个顶点重合于点O ，OC 与OB 重合，且60AOB Ð=°，30A Ð=°，45OCD ODC Ð=Ð=°，90COD ABO Ð=Ð=°．将三角板OCD 绕着点O 逆时针旋转一周，旋转过程中，OE 平分BOC Ð，OF 平分AOD Ð，（AOD Ð和BOC Ð均是指小于180°的角）探究EOF Ð的度数．（1）当三角板OCD 绕点O 旋转至如图2的位置时，OB 与OD 重合，AOC Ð=______°，EOF Ð=______°．（2）三角板OCD 绕点O 旋转过程中，EOF Ð的度数还有其他可能吗？如果有，请研究证明结论，若没有，请说明理由．（3）类比拓展：当COD Ð的度数为a ()0180a °<<°时，其他条件不变，在旋转过程中，请直接写出EOF Ð的度数．（用含a 的式子来表示）【答案】（1）150；75 （2）有，105° （3）1302EOF a =°+或11502a °-【分析】（1）利用两个角的和的定义,角的平分线的定义计算即可； （2）利用分类思想， 确定不同方式计算即可；（3）利用特殊与一般的思想，分类将问题抽象即可．【详解】（1）如图，由OB 与OD 重合，∵60AOB Ð=°，90COD BOC Ð=Ð=°，∴6090150AOC AOB BOC Ð=Ð+Ð=°+°=°．又∵OE 平分BOC Ð，OF 平分AOD Ð，∴1452BOE BOC Ð=Ð=°，1302DOF AOD Ð=Ð=°，∴453075EOF BOE EOF Ð=Ð+Ð=°+°=°．故答案为：150°；75°；（2）如图，∵OE 平分BOC Ð，OF 平分AOD Ð，∴12BOE BOC Ð=Ð()12AOC AOB =Ð+Ð()1602AOC =Ð+°1302AOC =Ð+°()13602COD AOD =°-Ð-Ð+30°()1360902AOC =°-°-Ð+30°()12702AOD =°-Ð+30°11652AOD =°-Ð．∴EOF BOE AOF AOB Ð=Ð+Ð-Ð，∴111656010522EOF AOD AOD Ð=Ð+°-Ð-°=°．（3）如图，∵OE 平分BOC Ð，OF 平分AOD Ð，∴12BOE BOC Ð=Ð()12AOC AOB =Ð+Ð()1602AOC =Ð+°1302AOC =Ð+°，()1111++2222AOF AOD COD AOC AOC a Ð=Ð=ÐÐ=Ð，∴EOF AOF AOB BOE Ð=Ð+Ð-Ð=11+22AOC a Ð+60°-1-302AOC а=1302a °+；如图，∵OE 平分BOC Ð，OF 平分AOD Ð，∴12BOE BOC Ð=Ð()12AOC AOB =Ð+Ð()1602AOC =Ð+°1302AOC =Ð+°，()()1111136036018022222AOF AOD COD AOC AOC AOC a a Ð=Ð=°-Ð-Ð=°--Ð=°--Ð∴EOF BOE AOF AOB Ð=Ð+Ð-Ð111130180601502222AOC AOC a a =Ð+°+°--Ð-°=°-．综上所述，1302EOF a Ð=°+或11502a °-．【点睛】本题考查了两个角的和，角的平分线，周角的定义，灵活运用分类思想，角的平分线定义，角的和，差定义计算是解题的关键．变式1.（2022•广东七年级期末）如图（1），∠BOC 和∠AOB 都是锐角，射线OB 在∠AOC 内部，AOB a Ð=，BOC b Ð=．（本题所涉及的角都是小于180°的角）(1)如图（2），OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ，填空：①当40a =°，70b =°时，COM Ð=______，CON Ð=______，MON Ð=______；②MON Ð=______（用含有a 或b 的代数式表示）．(2)如图（3），P 为∠AOB 内任意一点，直线PQ 过点O ，点Q 在∠AOB 外部：①当OM 平分∠POB ，ON 平分∠POA ，∠MON 的度数为______；②当OM 平分∠QOB ，ON 平分∠QOA ，∠MON 的度数为______；（∠MON 的度数用含有a 或b 的代数式表示）(3)如图（4），当40a =°，70b =°时，射线OP 从OC 处以5°/分的速度绕点O 开始逆时针旋转一周，同时射线OQ 从OB 处以相同的速度绕点O 逆时针也旋转一周，OM 平分∠POQ ，ON 平分∠POA ，那么多少分钟时，∠MON 的度数是40°？【答案】(1)135,55,20,2°°°a ；(2)12a ，11802a °-；(3)48分钟时，∠MON 的度数是40°【解析】(1)①Q OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ，当40a =°，70b =°时，COM Ð=113522BOC Ð=b =°，CON Ð=()111()55222AOC AOB BOC Ð=Ð+Ð=a +b =°，MON Ð=()11120222CON COM a b b a Ð-=+-==°②MON Ð()111222CON COM =Ð-=a +b -b =a ，故答案为：135,55,20,2°°°a (2)①Q OM 平分∠POB ，ON 平分∠POA ，\()12MON POB POA Ð=Ð+Ð 1122AOB =Ð=a ②Q OM 平分∠QOB ，ON 平分∠QOA ，\()12MON BOQ QOA Ð=Ð+Ð()1136018022AOB =°-Ð=°-a 故答案为：12a ，11802a °-(3)根据题意POQ BOC Ð=Ð=bQ OM 平分∠POQ ，113522POM POQ \Ð=Ð=b =°如图，当OP 在AOB Ð的外部时，Q MON 的度数是40°MON PON POM Ð=Ð+Q 5PON \Ð=°Q ON 平分∠POA ，210POA PON \Ð=Ð=°，120POC \Ð=°，则OP 旋转了360120240°-°=°240548\¸=分，即48分钟时，∠MON 的度数是40°如图，OP 在AOB Ð的内部时，MON POM PON Ð=Ð-ÐQ 即4035PON °=°-Ð5PON \Ð=-°此情况不存在，综上所述，48分钟时，∠MON 的度数是40°变式2．（2022·成都市七年级阶段练习）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角，如图1，若12COD AOB Ð=Ð，则COD Ð是ACB Ð的内半角．（1）如图1，已知80AOB °Ð=，25AOC °Ð=，COD Ð是AOB Ð的内半角，则BOD Ð=________；（2）如图2，已知68AOB °Ð=，将AOB Ð绕点O 按顺时针方向旋转一个角度()060a a °<<得COD Ð，当旋转的角度a 为何值时，COB Ð是AOD Ð的内半角；（3）已知30AOB °Ð=，把一块含有30°角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点O 以3度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，射线OA ，OB ，OC ，OD 能否构成内半角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由．如图2，∵BOC Ð是AOD Ð的内半角，AOC BOD a Ð=Ð=，如图4，∵AOD Ð是BOC Ð的内半角，360AOC BOD a Ð=Ð=-，【折叠（翻折）问题】【解题技巧】折叠前后对应角、对应边相等；出现角的比值或无角的具体度数却求度数常设x 列方程。
【初中数学】人教版七年级上册思维特训（二十） 角的运动问题(练习题)
人教版七年级上册思维特训（二十）角的运动问题(270)1.将一副直角三角板如图所示摆放在直线AD上(直角三角板OBC和直角三角板MON，∠OBC=90∘，∠BOC=45∘，∠MON=90∘，∠MNO=30∘)，保持三角板OBC不动，将三角板MON绕点O以每秒10∘的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒．(1)当t=时，OM平分∠AOC，如图②，此时∠NOC−∠AOM=；(2)继续旋转三角板MON，如图③，使得OM，ON同时在直线OC的右侧，猜想∠NOC 与∠AOM有怎样的数量关系，并说明理由；(3)若在三角板MON开始旋转的同时，另一个三角板OBC也绕点O以每秒5∘的速度顺时针旋转，当OM旋转至射线OD上时同时停止(自行画图分析)．①当t=时，OM平分∠AOC？②请直接写出在旋转过程中，∠NOC与∠AOM的数量关系．2.O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=65∘，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．(1)如图①，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC=；(2)如图②，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的平分线，求∠BON和∠CON的度数；(3)将三角板MON绕点O逆时针旋转至图③的位置时，∠NOC=∠AOM，求∠NOB的度数．3.解答下列各题：(1)如图①，OC是∠AOB内的一条射线．将OB，OA向∠AOB内部翻折，使射线OA，OB都与射线OC重合，折痕分别为OE，OF，∠EOF=25∘，求∠AOB的度数；(2)如图②，∠MON=20∘，OC是∠MON内部的一条射线，第一次操作分为两个步骤：第一步：将OC沿OM向∠MON外部翻折，得到OM1，第二步：将OC沿ON向∠MON 外部翻折，得到ON1；第二次操作也分为两个步骤：第一步：将OC沿OM1向∠MON 外部翻折，得到OM2；第二步：将OC沿ON1向∠MON外部翻折，得到ON2；…依此类推，在第次操作的第步恰好第一次形成一个周角，并求∠MOC的度数．4.如图，已知∠AOB=90∘，射线OC绕点O从OA位置开始，以每秒4∘的速度按顺时针方向旋转；同时，射线OD绕点O从OB位置开始，以每秒1∘的速度按逆时针方向旋转．当OC与OA成180∘角时，OC与OD同时停止旋转．(1)当OC旋转10秒时，∠COD=∘；(2)当OC与OD的夹角是30∘时，求旋转的时间；(3)当OB平分∠COD时，求旋转的时间．5.如图,已知∠AOB=20∘，∠AOE=100∘，OB平分∠AOC，OD平分∠AOE．(1)求∠COD的度数；(2)若以O为观察中心，OA为正东方向，则射线OD的方向角是；(3)若∠AOE的两边OA，OE分别以每秒5∘、每秒3∘的速度，同时绕点O逆时针方向旋转，当OA回到原处时，OA，OE停止运动，则经过几秒，∠AOE=42∘？6.如图①，射线OC，OD在∠AOB的内部，且∠AOB=150∘，∠COD=30∘，射线OM，ON分别平分∠AOD，∠BOC．(1)求∠MON的度数；(2)如图②，若∠AOC=15∘，将∠COD绕点O以每秒x∘的速度逆时针旋转10秒，此时∠BON，如图③所示，求x的值．∠AOM=711参考答案1(1)【答案】2.25；45∘【解析】:∵∠AOC=45∘，OM平分∠AOC，∴∠AOM=1∠AOC=22.5∘，2∴t=2.25.∵∠MON=90∘，∠MOC=22.5∘，∴∠NOC−∠AOM=∠MON−∠MOC−∠AOM=45∘.故答案为：2.25，45∘(2)【答案】解：∠NOC−∠AOM=45∘.理由：∵∠AON=90∘+(10t)∘，∴∠NOC=90∘+(10t)∘−45∘=45∘+(10t)∘.∵∠AOM=(10t)∘，∴∠NOC−∠AOM=45∘【解析】:解：∠NOC−∠AOM=45∘.理由：∵∠AON=90∘+(10t)∘，∴∠NOC=90∘+(10t)∘−45∘=45∘+(10t)∘.∵∠AOM=(10t)∘，∴∠NOC−∠AOM=45∘(3)【答案】解：①如图,∵∠AOB=(5t)∘，∴∠AOC=45∘+(5t)∘.∵OM平分∠AOC，∴∠AOM=1∠AOC，2而∠AOM=(10t)∘,∴10t=1(45+5t)，2∴t=3.②∠NOC−1∠AOM=45∘.2理由：∵∠AOB=(5t)∘，∠AOM=(10t)∘，∠MON=90∘，∠BOC=45∘，∴∠AON=90∘+∠AOM=90∘+(10t)∘，∠AOC=∠AOB+∠BOC=45∘+(5t)∘，∴∠NOC=∠AON−∠AOC=90∘+(10t)∘−45∘−(5t)∘=45∘+(5t)∘，∴∠NOC−1∠AOM=45∘2【解析】:解：①如图,∵∠AOB=(5t)∘，∴∠AOC=45∘+(5t)∘.∵OM平分∠AOC，∴∠AOM=1∠AOC，2而∠AOM=(10t)∘,∴10t=1(45+5t)，2∴t=3.②∠NOC−1∠AOM=45∘.2理由：∵∠AOB=(5t)∘，∠AOM=(10t)∘，∠MON=90∘，∠BOC=45∘，∴∠AON=90∘+∠AOM=90∘+(10t)∘，∠AOC=∠AOB+∠BOC=45∘+(5t)∘，∴∠NOC=∠AON−∠AOC=90∘+(10t)∘−45∘−(5t)∘=45∘+(5t)∘，∴∠NOC−1∠AOM=45∘22(1)【答案】25∘【解析】:∵∠MON=90∘，∠BOC=65∘，∴∠MOC=∠MON−∠BOC=90∘−65∘=25∘(2)【答案】解：∵∠BOC=65∘，OC是∠MOB的平分线，∴∠MOB=2∠BOC=130∘.∴∠BON=∠MOB−∠MON=130∘−90∘=40∘.∴∠CON=∠BOC−∠BON=65∘−40∘=25∘【解析】:解：∵∠BOC=65∘，OC是∠MOB的平分线，∴∠MOB=2∠BOC=130∘.∴∠BON=∠MOB−∠MON=130∘−90∘=40∘.∴∠CON=∠BOC−∠BON=65∘−40∘=25∘(3)【答案】解：∵∠BOC=65∘，∴∠AOC=∠AOB−∠BOC=180∘−65∘=115∘.∵∠MON=90∘，∴∠AOM+∠NOC=∠AOC−∠MON=115∘−90∘=25∘.又∵∠NOC=∠AOM,∴2∠NOC=25∘.∴∠NOC=12.5∘.∴∠NOB=∠NOC+∠BOC=77.5∘【解析】:解：∵∠BOC=65∘，∴∠AOC=∠AOB−∠BOC=180∘−65∘=115∘.∵∠MON=90∘，∴∠AOM+∠NOC=∠AOC−∠MON=115∘−90∘=25∘.又∵∠NOC=∠AOM,∴2∠NOC=25∘.∴∠NOC=12.5∘.∴∠NOB=∠NOC+∠BOC=77.5∘3(1)【答案】解：∵将OB，OA向∠AOB内部翻折，使射线OA，OB都与射线OC重合，折痕分别为OE，OF，∠EOF=25∘，∴∠AOB=2∠COE+2∠COF=2(∠EOC+∠COF)=50∘【解析】:解：∵将OB，OA向∠AOB内部翻折，使射线OA，OB都与射线OC重合，折痕分别为OE，OF，∠EOF=25∘，∴∠AOB=2∠COE+2∠COF=2(∠EOC+∠COF)=50∘.(2)【答案】五；一【解析】:在第五次操作的第一步恰好第一次形成一个周角．设∠MOC=x∘，则16×20∘+16x∘=360∘，解得x=2.5，所以∠MOC=2.5∘4(1)【答案】40【解析】:∵射线OC绕点O从OA位置开始，以每秒4∘的速度按顺时针方向旋转，射线OD绕点O从OB位置开始，以每秒1∘的速度按逆时针方向旋转，∴当OC旋转10秒时，∠COD=90∘−4∘×10−1∘×10=40∘，故答案为：40(2)【答案】解：设旋转t秒时，OC与OD的夹角是30∘.如图①，则4t+t=90−30，解得t=12；如图②，则4t+t=90+30，t=24.∴旋转的时间是12秒或24秒．【解析】:解：设旋转t秒时，OC与OD的夹角是30∘.如图①，则4t+t=90−30，解得t=12；如图②，则4t+t=90+30，t=24.∴旋转的时间是12秒或24秒．(3)【答案】解：如图③，设旋转m秒时，OB平分∠COD，则4m−90=m，解得m=30，∴旋转的时间是30秒．【解析】:解：如图③，设旋转m秒时，OB平分∠COD，则4m−90=m，解得m=30，∴旋转的时间是30秒．5(1)【答案】解：∵∠AOB=20∘，∠AOE=100∘，∴∠EOB=∠AOE−∠AOB=80∘.又∵OB平分∠AOC，OD平分∠AOE，∴∠AOC=2∠AOB=40∘，∠AOD=1∠AOE=50∘，2∴∠COD=∠AOD−∠AOC=50∘−40∘=10∘【解析】:解：∵∠AOB=20∘，∠AOE=100∘，∴∠EOB=∠AOE−∠AOB=80∘.又∵OB平分∠AOC，OD平分∠AOE，∴∠AOC=2∠AOB=40∘，∠AOD=12∠AOE=50∘，∴∠COD=∠AOD−∠AOC=50∘−40∘=10∘(2)【答案】北偏东40∘【解析】:由(1)知∠AOD=50∘，∴射线OD的方向角为北偏东40∘(3)【答案】解：设经过x秒，∠AOE=42∘，则3x−5x+100=42或5x−(3x+100)=42，解得x=29或x=71.即经过29秒或71秒，∠AOE=42∘【解析】:解：设经过x秒，∠AOE=42∘，则3x−5x+100=42或5x−(3x+100)=42，解得x=29或x=71.即经过29秒或71秒，∠AOE=42∘6(1)【答案】解：因为∠AOB=150∘，∠COD=30∘，OM，ON分别平分∠AOD，∠BOC，所以∠MON=∠MOD+∠NOC−∠COD=12(∠AOD+∠BOC)−∠COD=12(∠AOB+∠COD)−∠COD=60∘【解析】:解：因为∠AOB=150∘，∠COD=30∘，OM，ON分别平分∠AOD，∠BOC，所以∠MON=∠MOD+∠NOC−∠COD=12(∠AOD+∠BOC)−∠COD=12(∠AOB+∠COD)−∠COD=60∘(2)【答案】解：由题意，得∠BOD=105∘−10x∘，∠AOC=15∘+10x∘，所以∠BOC=135∘−10x∘，∠AOD=45∘+10x∘.又因为∠AOM=711∠BON，且OM，ON分别平分∠AOD，∠BOC，所以∠AOD=711∠BOC，即45∘+10x∘=7(135∘−10x∘)，11解得x=2.5【解析】:解：由题意，得∠BOD=105∘−10x∘，∠AOC=15∘+10x∘，所以∠BOC=135∘−10x∘，∠AOD=45∘+10x∘.又因为∠AOM=7∠BON，且OM，ON分别平分∠AOD，∠BOC，11所以∠AOD=7∠BOC，11即45∘+10x∘=7(135∘−10x∘)，11解得x=2.5。
七年级数学角的旋转压轴题
七年级数学角的旋转压轴题（实用版）目录1.题目背景及要求2.角的旋转概念及应用3.压轴题的特点及解题思路4.解题步骤及示例5.总结及学习建议正文1.题目背景及要求七年级数学角的旋转压轴题，主要是针对初中一年级学生的数学题目。
这类题目涉及到角的旋转概念，要求学生在理解角的旋转的基础上，运用相关知识解决实际问题。
这类题目通常难度较高，作为压轴题出现，旨在考查学生的综合运用能力。
2.角的旋转概念及应用角的旋转是指将一个角从一个位置旋转到另一个位置，旋转过程中，角的大小和形状保持不变，但方向可能会发生改变。
在实际生活中，角的旋转应用广泛，例如风车的旋转、钟表指针的运动等。
在数学中，角的旋转常和向量、三角形等知识结合，形成较复杂的题目。
3.压轴题的特点及解题思路压轴题的特点是题目难度较高，需要学生具备较强的逻辑思维能力和综合运用能力。
在解决这类题目时，学生需要先理清题意，找出题目中的关键信息，然后根据所学知识进行分析，逐步推导出答案。
具体解题思路如下：（1）认真阅读题目，理解题意，找出题目中的已知条件和所求问题。
（2）根据已知条件和所求问题，分析题目，确定解题思路。
（3）运用相关知识，逐步推导出答案。
在解题过程中，注意画图辅助分析，以便更直观地理解问题。
4.解题步骤及示例以下为一个七年级数学角的旋转压轴题的示例及解题步骤：题目：如图，已知点 A、B、C 在同一平面上，∠ABC = 90°，点 D 在AB 上，且 BD = AB的1/3，点E在AC上，且AE = AC的1/2。
求∠AED 的度数。
（1）根据题意，画出图形，并标出已知条件。
（2）利用三角函数知识，求出∠BAE 和∠CAD 的度数。
（3）根据角的旋转概念，分析∠AED 与∠BAE、∠CAD 的关系。
（4）利用三角形内角和公式，求出∠AED 的度数。
5.总结及学习建议在解决七年级数学角的旋转压轴题时，学生需要具备较强的逻辑思维能力和综合运用能力。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
F
E
D (C)B A N M
O D B A N
M O D
C B A N M O
D (C)B A N M O D C B
A A
A B
角度旋转题
已知∠AOB ＝100°，∠COD ＝40°，OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOD （本题中得角均为大于0°且小于180°得角）（1）如图1，当OB ，OC 重合时，求∠EOF 得度数；（2）当∠COD 从图1所示得位置绕点O 顺时针旋转n °（0<n<90）时，AOE BOF ∠-∠得值就是否为定值？若就是定值，求出AOE BOF ∠-∠得值，若不就是说明理由；（3）当∠COD 从图1所示位置绕点O 顺时针旋转n °（0<n<180）时，满足6AOD BOF COD ∠+∠=∠，求n 得值。
已知∠AOD ＝160°，OB 、OC 、OM 、ON 就是∠AOD 内得射线；（1）如图1，若OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOD ，当OB 绕点O 在∠AOD 内旋转时，则∠MON ＝_________。
（2）如图2，若∠BOC ＝20°，OM 平分∠AOC ，ON 平∠BOD ，当∠BOC 绕点O 在∠AOD 内旋转时，求∠MON 得大小。
（3）在（2）得条件下，若∠AOB ＝10°，当∠BOC 在∠AOD 内绕点O 以2°/秒得速度逆时针旋转t 秒时，∠AOM ：∠DON ＝2：3，求t 得值。
已知∠AOD ＝α，射线OB ，OC 在∠AOD 得内部，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOD ，（1）如
图1，当射线OB ，OC 重合时，求∠MON 得度数；（2）在（1）得条件下，OC 绕点O 逆时针旋转一定角度，如图2，求∠MON 得度数；（3）在（2）得条件下，射线OC 绕点O 继续逆时针，旋转到与射线OA 得反向延长线重合为止，在这一旋转过程中，∠ MON ＝
_________。
将一副直角三角板如图1摆放在直线AD 上（直角三角板OBC 与直角三角板MON ，∠OBC ＝90°，∠BOC ＝45°，∠MON ＝90°，∠MNO ＝30°）保持三角板OBC 不动，将三角板
MON 绕点O 以每秒10°得速度顺时针旋转，旋转时间为t 秒。
（1）当t=_______秒时，OM 平分∠AOC ？如图2，此时NOC AOM ∠-∠=____________;（2）继续旋转三角板MON ，如图3，使得OM ，ON 同时在直线OC 得右侧，猜想∠NOC 与∠AOM 有怎样得数量关系？并说明理由。
（3）若在三角板MON 开始旋转得同时，另一个三角板OBC 也绕点O 以每秒5°得速度顺时针旋转，当OM 旋转至射线OD 上时同时停止（自行画图分析）。
①当t=_______秒时，OM 平分∠AOC ？②在旋转过程中，直接写出12
NOC AOM ∠-∠得大小就是___________。
1，
BOC
＝60°；②30COM BON ∠-∠=°，③OB 平分∠MON ，④∠AOC 得 平分线在直线ON 上。
数学思考：同学们在操作中发现，当三角板绕点Ｏ旋转时，如果直角三角板得ＯＭ边在∠ＢＯＣ得内部且另一边ＯＮ在直线ＡＢ得下方；⑴求COM BON ∠-∠得大小，请您说明理由；⑵如果直角三角板得OM 、ON 边都在∠ＢＯＣ得内部，请直接写出COM BON ∠+∠得大小
类比探索：如图３，三角板绕点Ｏ继续旋转，当直角三角板得ＯＮ边在∠ＡＯＣ得内部时，求AOM CON ∠-∠得度数。
B。