补充习题1.1.1

导数在求值(极值、最值)中的应用

一、预备知识

1．若函数f(x)在闭区间〔a，b〕上连续，根据闭区间连续函数的性质，函数f(x)

在闭区间〔a，b〕上必取到最大值与最小值．而最大点或最小点可能在区间端点a或b 上；也可能取在开区间(a，b)内部某点上，此时的最大点即为极大点；最小点即为极小点．因此，函数f(x)在闭区间〔a，b〕上连续，在开区间(a，b)内可导，且x1，x2，…，x n是函数f(x)在开区间(a，b)内的所有驻点(隐定点)，则函数值

f(a)，f(x1)，f(x2)，…f(x n)，f(b)

中最小者就是函数f(x)的最小值；最大者就是函数f(x)的最大值．

2．若函数f(x)在有界开区间(a，b)或无界开区间(a，+∞)(或(－∞，b))上可导，且x1，x2，…，x n是函数f(x)在开区间(a，b)或(a，+∞)(或(－∞，b))的所有驻点(隐定点)，设

存在；

f(x i)=max{f(x1)，f(x2)，…，f(x n)}，

f(x j)=min{f(x1)，f(x2)，…，f(x n)}．

则f(x i)为最大值，

则f(x j)为最小值．

二、应用例题

f(x)=(x+b+c)3－(x+b－c)3－(b+c－x)3－(c+x－b)3．f′(x)=3〔(x+b+c)2－(x+b－c)2+(b+c－x)2－(c+x－b)2〕=24bc．

对上式求原函数，有

f(x)=∫24bcdx=24xbc+c1.

则c1=f(0)=(b+c)3－(b－c)3－(b+c)3+(b－c)3=0，

从而f(x)=24xbc或f(a)=24abc．

为定值．

证明设M(x，y)是星形线上任一点，将星形线方程对x求导，得

过点M的切线l方程为

令Y=0，则得l在x轴上截距

令X=0，则得l在y轴上截距

于是，二坐标轴所截线段长为

例3已知p1，p2，…，p n∈N，a1，a2，…，a n∈R+，且p1a1+p2a2+…

解不失一般性，令a1=min{a1，a2，…，a n}，a n=max{a1，a2，…，a n}，p=p1+p2+…+p n，则

将a2，a3，…，a n看作常量，a1看作变量，设函数(将a1用x表示)

则

为所求的最小值．

例6从半径为R的圆形铁片中剪去一个扇形(如图)，将剩余部分围成一个圆形漏斗，问剪去的扇形的圆心角多大时，才能使圆锥形漏斗的容积最大？

解设剪后剩余部分的圆心角是x(θ≤x≤2π)．圆锥形漏斗的斜高是R，圆

是

圆锥的底面积S是

于是，圆锥的体积是

下面求函数V(x)在〔0，2π〕上的最大值．

例7测量某个量A，由于仪器的精度和测量的技术等原因，对量A做了n次测量，测量的数值分别为

a1，a2，…，a n

取数x作为量A的近似值，问x取何值才能使x与a i(i=1，2，…，n)之差的平方和为最小？

解由题意，求函数

f(x)=(x－a1)2+(x－a2)2+…+(x－a n)2

的最小值．

f′(x)=2(x－a1)+2(x－a2)+…+2(x－a n)

=2〔nx－(a1+a2+…+a n)〕

f″(x)=2n＞0，

值作为量A的近似值，才能使函数f(x)取最小值．

例8一个容器，下半部是圆柱，上半部是半球，且圆柱底面半径和半球的半径相等，设容器表面积为S，问圆柱的高与底面半径之比为何值时，容器的容积最大．

解设圆柱的高为h，底面半径为r，则

容器的容积为

将(*)式代入上式，整理得

例9设有底为等边三角形的直柱体，体积为V，要使其总面积为最小，问底边的长应为多少？

等边三角形的直柱体总面积为

例10求内接于半径为R的球的体积最大的圆柱体的高．

解设球的内接圆柱体的高为h(如图)，则圆柱体底面半径

圆柱体体积为

例11要使内接于一个半径为R的球内的圆锥体的侧面积为最大，问圆锥体的高应为多少？

解设球的内接锥体的高为h(如图)，则锥体底面的圆半径

所以圆锥体的侧面积为

例12平面上通过一个已知点P(1，4)引一条直线，要使它在两个坐标轴上的截距都为正，且它们的和为最小，求这直线的方程．

解过点p(1，4)且斜率为k的直线方程为

设两截距之和为S，则

所以极小值即为最小值，故所求的直线方程为

例13求内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的边长．

例14要做一个圆锥形漏斗，其母线长20厘米，要使其体积为最大，问其高应为多少？

漏斗的体积为

例15 三个点A、B和C不在同一直线上，∠ABC=60°，汽车以80公里/小时的速度由A向B行驶，同时火车以50公里/小时的速度由B向C行驶．如果AB=200公里，问运动开始几小时后汽车与火车的距离为最短？

解设运动t小时后，汽车行至D点，火车行至E点，两车的距离为DE=S(如图)，则

例16在一半径为R的圆形广场中心挂一灯，问要挂多么高，才能使广场周围的路上照得最亮？(灯光的亮度与光线投射角的余弦成正比，与光源距离的平方成反比，而投射角是经过灯所作垂直于地面的直线与光线所夹的角)．

解设灯位于Q点离地面的高度为h(如图)，则广场周围的路上，灯光的亮度为

例17有甲乙两城，甲城位于一直线形的河岸，乙城离岸40公里，乙城到岸的垂足与甲城相距50公里，两城在此河边合建一水厂供水，从水厂到甲城与乙城安装水管费用分别为每公里500元与700元，问此水厂建在河边何处，才能使安装水管费最省？

解设水厂建在离甲城x公里(如图)，则安装水管费为