初中(中考)数学常见解题模型及思路(压轴题题眼全覆盖)
中点四大模型-【压轴必刷】中考数学压轴大题之经典模型(解析版)
中点四大模型解题策略模型1倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形模型分析如图1，AD 是△ABC 的中线，延长AD 至点E 使DE =AD ，易证：△ADC ≌△EDB (SAS )如图2，D 是BC 中点，延长FD 至点E 使DE =FD ,易证：△FDB ≌△EDC (SAS )模型2已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”.模型分析等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到：“边等、角等、三线合一”.图1AABCD EB CD倍长中线ABCDEF ABCDF 倍长类中线构造全等图2ABCDABCD连接中线模型3已知三角形一边的中点，可考虑中位线定理模型分析：在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理：DE ∥BC ，且DE =12BC 来解题，中位线定理中既有线段之间的位置关系又有数量关系，该模型可以解决角问题，线段之间的倍半、相等及平行问题.模型4已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线模型分析：在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD =12BC ，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形；△ACD 和△BCD ，该模型经常会与中位线定理一起综合应用。
A BCD A BC D E 取另一边中点构造中位线ABCDABCD构造直角三角形斜边上的中线经典例题【例1】(2022·江苏·南通市通州区育才中学八年级阶段练习)已知，在△ABC中，∠ACB=90°，AC= BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．(1)如图1，求证：AD=CE；(2)如图2，点O为AB的中点，连接OD，OE．请判断△ODE的形状？并说明理由．【答案】(1)见解析(2)△DOE等腰直角三角形，理由见解析【分析】(1)根据垂直的定义及直角三角形中两个锐角互余得出∠EBC=∠DCA，再由全等三角形的判定和性质即可证明；(2)连接OC，根据等腰直角三角形的性质及斜边上的中线的性质得出AO=BO=CO，∠CAB=∠CBA=45°，CO⊥AB，再由全等三角形的判定得出△DCO≌△EBO(SAS)，△ADO≌△CEO，最后结合图形证明即可．【详解】(1)证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E=∠ADC=90°，∴∠EBC+∠BCE=90°．∵∠BCE+∠ACD=90°，∴∠EBC=∠DCA．在△CEB和△ADC中，∠E=∠D，∠EBC=∠DCA，BC=AC，∴△CEB≌△ADC(AAS)，∴AD=CE．(2)△DOE等腰直角三角形，理由如下：连接OC，如图所示：∵AC=BC，∠ACB=90°，点O是AB中点，∴AO=BO=CO，∠CAB=∠CBA=45°，CO⊥AB，∴∠AOC=∠BOC=∠ADC=∠BEC=90°，∵∠BOC+∠BEC+∠ECO+∠EBO=360°，∴∠EBO +∠ECO =180°，且∠DCO +∠ECO =180°，∴∠DCO =∠EBO ，且DC =BE ，CO =BO ，∴△DCO ≌△EBO (SAS )，∴EO =DO ，∠EOB =∠DOC ，同理可证：△ADO ≌△CEO ，∴∠AOD =∠COE ，∠AOD +∠DOC =90°，∴∠DOC +∠COE =90°，∴∠DOE =90°，且DO =OE ，∴△DOE 是等腰直角三角形．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．【例2】(2022·重庆市合川中学九年级阶段练习)在△ABC 中，∠ABC =45°，D 为BC 上一动点．(1)如图1，当∠ADC =75°时，若AB =3+3，求AD 的长；(2)如图2，当AC =AD 时，点P 为AB 的中点，且AB =2CD ，求证：AC =PC ；(3)如图3，在(2)的条件下，将△BCP 绕点P 旋转180°，得到△AC P ，连接DC ，直接写出CC 'C 'D的值．【答案】(1)AD =23(2)见解析(3)102【分析】(1)过点D 作DH ⊥AB 于点H ．由三角形外角的性质易求∠DAH =30°．根据题意可求∠DBH =∠BDH =45°，即得出BH =DH ．设BH =DH =x ，则AD =2x ，根据勾股定理可求出AH =AD 2-DH 2=3x ．从而可列出关于x 的方程，解出x ，即可求出AD 的长；(2)连接DP ，过点A 作AQ ⊥BC 于点Q ．易得出AQ =BQ ，根据勾股定理可得出AB =2AQ =2BQ ．结合题意又可得出CD =AQ =BQ ．设CD =AQ =BQ =2a ．根据等腰三角形的性质可得CQ =DQ =12CD =a =BD ，即点D 为BQ 中点．结合题意利用三角形中位线定理可得PD ∥AQ ，PD =12AQ =a ，从而可证PD ⊥BC ，最后根据勾股定理可求出PC =5a =AC ；(3)在(2)的基础上，过点C 作C T ⊥BC 交CB 的延长线于点T ，由旋转的性质可知AC =BC =3a，∠AC P=∠PCB，即易证四边形AC TQ是矩形，得出TQ=AC =3a，C T=AQ=2a，进而可求出BT=TQ-BQ=a，DT=TQ-DQ=2a=C T，CT=TQ+CQ=4a，最后根据勾股定理求出C C和C D的长，作比即可．【详解】(1)如图，过点D作DH⊥AB于点H．∵∠ADC=∠ABC+∠BAD，∠ABC=45°，∠ADC=75°，∴∠BAD=30°，即∠DAH=30°．∵DH⊥AB，∴∠DBH=∠BDH=45°，∴BH=DH．设BH=DH=x，则AD=2x，∴AH=AD2-DH2=3x．∴AB=AH+BH=x+3x=3+3，解得：x=3，∴AD=23；(2)如图，连接DP，过点A作AQ⊥BC于点Q．∵∠ABC=45°，∴∠BAQ=∠ABC=45°，∴AQ=BQ，∴AB=2AQ=2BQ．∵AB=2CD，∴CD=AQ=BQ．设CD=AQ=BQ=2a．∵AD=AC，AQ⊥CD，∴CQ=DQ=12CD=a=BD，即点D为BQ中点．∵点P为AB的中点，即AP=BP，∴PD∥AQ，PD=12AQ=a，∴PD⊥BC，∴PC=PD2+CD2=a2+4a2=5a，AC=AQ2+CQ2=4a2+a2=5a，∴PC=AC；(3)如图，在(2)的基础上，过点C 作C T⊥BC交CB的延长线于点T，由旋转的性质可知AC =BC=3a，∠AC P=∠PCB，∴AC ∥CT ．∵C T ⊥BC ，AQ ⊥BC ，∴四边形AC TQ 是矩形，∴TQ =AC =3a ，C T =AQ =2a ，∴BT =TQ -BQ =3a -2a =a ，DT =TQ -DQ =3a -a =2a =C T ，CT =TQ +CQ =3a +a =4a ，∴C D =2DT =22a ，C C =C T 2+CT 2=2a2+(4a )2=25a ，∴C C C D =25a 22a=102．【点睛】本题考查三角形外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，矩形的判定和性质等知识，综合性强，较难．正确的作出辅助线是解题关键．【例3】(2022·河南·嵩县教育局基础教育教学研究室一模)如图，Rt △ABC 的中，∠BAC =90°，AB =4cm ，AC =3cm ，点G 是边AB 上一动点，以AG 为直径的⊙O 交CG 于点D ，E 是边AC 的中点，连接DE ．(1)求证：DE 与⊙O 相切；(2)填空：①当AG =___________cm 时，⊙O 与直线BC 相切；②当点G 在边AB 上移动时，△CDE 面积的最大值是___________cm 2【答案】(1)见解析(2)①3，②98【分析】(1)证明DE 是圆的切线，即连接OD ，再由直径AG 和中点E 想到连接AD 、OE ，则可知DE =AE ，最后证明ΔODE ≌ΔOAE 即可求证；(2)①由⊙O 与BC 相切，故结合ΔABC 的面积等于ΔAOC 的面积与ΔBOC 的面积之和即可求解；②结合(1)中分析可知CE =12AC =32，再结合三角形的面积公式，即可分析求解．【详解】(1)连接OE ，OD ，AD ∵AG 是⊙O 的直径，∴∠ADG =∠ADC =90°，即ΔADC 是直角三角形．∵E 是斜边AC 的中点，∴DE =AE ．在ΔODE 和ΔOAE 中，OD =OADE =AEOE =OE∴△ODE ≌△OAE SSS ∴∠ODE =∠BAC =90°．∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 与⊙O 相切．(2)①设⊙O 与BC 相切与点F ，⊙O 的半径为r 连接OC 则OF =OA =r =12AG ∵AB =4，AC =3，∠BAC =90°∴BC =32+42=5，S ΔAOC =12×AC ×OA =12×3×r =32r ，S ΔABC =12×AB ×AC =12×4×3=6∵⊙O 与BC 相切与点F ∴S ΔBOC =12×BC ×OF =12×5×r =52r ∵S ΔABC =S ΔAOC +S ΔBOC ∴6=32r +52r ，即r =32∴AG =2r =32×2=3故答案是：3．②由(1)可知DE =CE =12AC =32，设CE 边上的高为h ，则S ΔCDE =12×CE ×h =34h ∴当h 取最大值时，S ΔCDE 的值最大结合题意可知，当h =DE =32时最大，即DE ⊥AC 时，∴S ΔCDE 的最大值为34h =34×32=98故答案是：98．【点睛】本题主要考查圆的性质、切线的证明、直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、面积最值问题、线段长度问题等知识点，属于综合几何证明题，具有一定难度．解题的关键是熟练掌握圆和直角三角形的相关性质，并根据题意画出辅助线，即线段OD ，AD ．【例4】(2021·广西·南宁二中八年级期中)在平面直角坐标系中有一等腰三角形ABC ，点A 在y 轴正半轴上，点B 在x 轴负半轴上．(1)如图1，点C 在第一象限，若∠BAC =90°，A 、B 两点的坐标分别是A (0,4)，B (-2,0)，求C 点的坐标；(2)如图2，点C 在x 正半轴上，点E 、F 分别是边BC 、AB 上的点，若∠AEF =∠ACB =2∠OAE ．求证：BF =CE ；(3)如图3，点C 与点O 重合时点E 在第三象限，BE ⊥AE ，连接OE ，求∠BEO 的度数．【答案】(1)C 4，2 ；(2)见解析；(3)135°．【分析】(1)过点C 作CM ⊥OA ，垂足为M ，则∠AMC =90°，求出∠ABO =∠CAM ，证明△ABO ≌△CAM AAS ，得出MC =AO =4，AM =BO =2，则可得出答案；(2)证明∠BEF =∠EAC ，∠FAE =∠AFE ，可得AE =EF ，利用AAS 证明△AEC ≌△EFB ，则可得出BF =CE ；(3)过点O 作OG ⊥AE 于点G ，OH ⊥BE 交BE 的延长线于点H ，AE 与OB 交于点M ，证明△AOG ≌△BOH AAS ，由全等三角形的性质得出OG =OH ，证明EO 平分∠AEH ，求出∠OEH =∠AEO =45°，则可得出答案．【详解】(1)解：如图1中，过点C 作CM ⊥OA ，垂足为M ，则∠AMC =90°，∵∠BAC =∠AOB =90°，∴∠BAO +∠CAM =90°，∠BAO +∠ABO =90°，∴∠ABO =∠CAM ，∵△ABC 是等腰三角形，∠BAC =90°，∴AB =CA ，在△ABO 和△CAM 中，∠ABO =∠CAM ∠AOB =∠CMA AB =CA，∴△ABO ≌△CAM AAS ，∴MC =AO ，AM =BO ，∵A (0,4)，B (-2,0)，∴AO =4，BO =2，∴MC =4，AM =2，∴MO =AO -AM =2，∴C 4，2 ；(2)证明：设∠OAE =α，则∠AEF =∠ACB =2α，∵∠AEF +∠BEF +∠AEC =180°，∠ACB +∠EAC +∠AEC =180°，∴∠BEF =∠EAC ，由图2可知，等腰三角形ABC 中，AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ，∵OA ⊥BC ，∴∠BAO =∠CAO ，∵∠FAE =∠FAO +∠OAE =∠OAC +α=α+∠EAC +α=2α+∠EAC ，∠AFE =∠FBE +∠BEF =2α+∠BEF ，∴∠FAE =∠AFE ，∴AE =EF ，∴△AEC ≌△EFB AAS ，∴BF =CE ；(3)解：∵点C 与点O 重合，∠AOB =90°，∴OA =OB ，如图3，过点O 作OG ⊥AE 于点G ，OH ⊥BE 交BE 的延长线于点H ，AE 与OB 交于点M ，∵BE ⊥AE ，∴∠AEB =90°，∵∠AOB =90°，∠AMO =∠BME，∴∠MAO=∠OBH，又∵∠AGO=∠BHO=90°，OA=OB，∴△AOG≌△BOH AAS，∴OG=OH，又∵OG⊥AE，OH⊥BE，∴EO平分∠AEH，∴∠OEH=∠AEO=45°，∴∠BEO=∠AEB+∠AEO=90°+45°=135°．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的判定，三角形内角和定理，坐标与图形的性质等知识，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．培优训练一、解答题1.(2021·湖北武汉·九年级阶段练习)△ABC中，BC=4，AC=6，∠ACB=m°，将△ABC绕点A顺时针旋转n°得到△AEF，E与B是对应点，如图1．(1)延长BC、EF，交于点K，求证：∠BKE=n°；(2)当m=150，n=60时，求四边形CEFA的面积；(3)如图3．当n=150时，取BE的中点P和CF的中点Q，直接写出PQ2的值．【答案】(1)见解析；(2)12+93；(3)8-43【分析】(1)根据旋转的性质可得∠AEF=∠B，利用三角形的外角性质可得∠BKE=∠KPA-∠AEF，从而得到∠BKE=∠BAE=n°；(2)连CF，作FH⊥AC于H，根据条件得到ΔACF是等边三角形，则∠EFC=90°，从而根据S四边形CEFA=SΔCEF+SΔACF计算即可；(3)取CE中点G，连接PG，QG，构造△GPQ为等腰三角形，并结合中位线定理以及旋转的性质求解∠PGQ=30°，再作CN⊥FA于N点，结合旋转的性质求解出sin15°=6-24，最后在△GPQ中运用“三线合一”的性质求解出PQ的长度得出结论．【详解】(1)设CK、AE交于点P，∵ΔAEF是ΔABC旋转所得，∴ΔAEF≅ΔABC，∴∠AEF=∠B，∵∠BKE=∠KPA-∠AEF，∠BAE=∠KPA-∠B，∴∠BKE=∠BAE=n°；(2)连CF，作FH⊥AC于H，∵ΔAEF≅ΔABC，∴EF=BC=4，AF=AC=6，∠AFE=∠ACB=150°，∴ΔACF是等边三角形，∴∠AFC=60°，∴∠EFC=∠AFE-∠AFC=150°-60°=90°，∴SΔCEF=12CF⋅EF=12×6×4=12，∵AH=12AC=3，FH=AF2-AH2=36-9=33，∴SΔACF=12AC⋅FH=12×6×33=93，=SΔCEF+SΔACF=12+93；∴S四边形CEFA(3)如图，取CE中点G，连接PG，QG，则PG，QG为△BCE和△FCE的中位线，∴PG=12BC=2，QG=12EF=2，△GPQ为等腰三角形，根据中位线定理可得：∠BCE=∠PGE，∠CEF=∠CGQ，∴∠PGQ=∠PGE+∠CGQ-180°=∠BCE+∠CEF-180°，又∵∠BCE+∠CEF=∠BCE+∠CEA+∠AEF=∠BCE+∠CEA+∠ABC，∴在四边形ABCE中，∠BCE+∠CEA+∠ABC=360°-∠BAE=360°-150°=210°，∴∠BCE+∠CEF=210°，∠PGQ=∠PGE+∠CGQ-180°=210°-180°=30°，作CN⊥FA于N点，根据旋转可知，∠CAF=150°，AC=AF=6，∠AFC=15°，∴∠CAN=30°，在Rt△CAN中，AC=6，∠CAN=30°，∴CN=3，AN=33，∴NF=AN+AF=6+33由勾股定理得：FC=CN2+NF2=36+32，∴sin∠CFN=CNCF=336+32=6-24，即：sin15°=6-2 4，此时，作GM⊥PQ，则根据“三线合一”知GM平分∠PGQ，∠MGQ=15°，PM=QM，∴MQ=GQ·sin15°=2×6-24=6-2 2，∴PQ=2MQ=6-2，∴PQ2=6-22=8-43．【点睛】本题考查图形旋转的综合问题，包括全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，以及运用三角函数解直角三角形等，熟练根据题意灵活构造辅助线是解题关键．2.(2022·四川·石室中学八年级期中)已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：(1)如图1，若点P在线段AB上，且AC=6+2，PA=2，求PB的长度；(2)在(1)的条件下，猜想PA、PB、PQ三者之间的数量关系并证明；(3)如图2，若点P在AB的延长线上，求证：PA2+PB2=PQ2．【答案】(1)23(2)PA2+PB2=PQ2，证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得AB，由PB=AB-PA可求得PB；(2)过C作CD⊥AB于点D，则△ADC是等腰直角三角形，则可求得AD=CD=12AB=1+3，进而得出PD的长，在Rt△PCD中利用勾股定理可求得PC的长，进而求出PQ的长即可得到结论；(3)过C作CD⊥AB于点D，把PA2和PB2都用PC和CD表示出来，在Rt△PCD中，由勾股定理得到PC和PD、CD的关系，从而可证得结论；【详解】(1)解：∵△ABC是等腰直角三角形，AC=6+2，∴AB=AC2+BC2=6+22=23+2，2+6+2∵PA=2，∴PB=AB-PA=23+2-2=23，(2)解：PA2+PB2=PQ2，证明如下：如图1，过C作CD⊥AB于点D，则△ADC是等腰直角三角形，∴AD=CD=12AB=1+3，∴PD=AD-PA=3-1，在Rt△PCD中，PC=CD2+PD2=3+12=22，2-3-1∵△PCQ是等腰直角三角形，∠PCQ=90°，∴PC=QC=22，∴PQ=PC2+QC2=4，∵PA2=4,PQ2=16，PB2=12，∴PA2+PB2=PQ2；(3)证明：如图2，过C作CD⊥AB于点D，∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，∴CD=AD=DB，∵PA2=AD+PD2=CD2+2CD⋅PD+PD2，2=CD+PDPB2=PD-BD2=CD2-2CD⋅PD+PD2，2=PD-CD∴PA2+PB2=2CD2+2PD2=2CD2+PD2，在Rt△PCD中，由勾股定理可得PC2=CD2+PD2，∴PA2+PB2=2PC2，∵△PCQ为等腰直角三角形，且∠PCQ=90°，∴PQ2=PC2+CQ2=2PC2，∴PA2+PB2=PQ2．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．3.(2022·广东·惠州市惠阳区朝晖学校九年级阶段练习)阅读理解：如图，等腰直角△ABC中，∠ABC =90∘，AB=BC，点A，B分别在坐标轴上．(1)如图①，过点C作CG⊥y轴于点G，若点C的横坐标为5，求点B的坐标．(2)如图②，将△ABC摆放至x轴恰好平分∠BAC，BC交x轴于点M，过点C作CD⊥x轴于点D，求CDAM的值．(3)如图③，若点A坐标为(-4,0)，分别以OB，AB为直角边在第一、第二象限作等腰Rt△OBF与等腰Rt△ABE，连接EF交y轴于点P．当B点在y轴正半轴上移动时，PB的长度是否会发生改变？若改变，请说明理由，若不改变，请直接写出PB的长度．【答案】(1)(0，5)(2)12(3)2【分析】(1)过点C作CG⊥y轴于点G，根据余角的性质，得出∠ABO=∠BCG，证明△ABO≌△BCG，得出BO=CG=5，即可得出答案；(2)分别延长AB，CD相交于点H，根据“AAS”证明△ABM≌△CBH，得出AM=CH，根据等腰三角形的性质，得出CD=DH，即可得出答案；(3)作EG⊥y轴于G，证明△BAO≌△EBG，得到BG=AO=4，EG=OB，证明△EGP≌△FBP，得到PB=PG，得到答案．【详解】(1)解：∵∠ABC=90∘，CG⊥y轴，∴∠1+∠ABO=90∘，∠1+∠BCG=90∘，∴∠ABO=∠BCG(同角的余角相等)，∵∠ABC=90∘，CG⊥y轴，∠ABO=∠BCG，AB=BC，∴△ABO≌△BCG(两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等)，∴BO=CG(全等三角形的对应边相等)，∵C点的横坐标为5，∴CG=5，∵CG=5，BO=CG，B点在y轴上，∴B点的坐标是0,5．(2)解：分别延长AB，CD相交于点H，如图所示：∵∠ABC=90∘，CH⊥x轴，∴∠1+∠A MB=90∘，∠3+∠CMD=90∘，∠CBH=90∘，∵∠A MB=∠CMD，∴∠1=∠3(等角的余角相等)，∵∠ABC=∠CBH=90∘，∠1=∠3，AB=BC，∴△ABM≌△CBH(两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等)，∴AM=CH(全等三角形的对应边相等)，∵AD平分∠BAC，CH⊥x轴，∴∠1=∠2，∠ADH=∠ADC=90°，∵AD=AD，∴△ADH≅△ADC，∴DH=DC，∴AM=CH=2CD，∴CD AM=1 2．(3)解：PB的长度不变，作EG⊥y轴于G，如图所示：∵点A的坐标为-4,0，∴OA=4，∵∠BAO+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBG=90°，∴∠BAO=∠EBG，在△BAO 和△EBG 中∠AOB =∠BGE∠BAO =∠EBG AB =BE，∴△BAO ≌△EBG AAS ，∴BG =AO =4，EG =OB ，∵OB =BF ，∴BF =EG ，在△EGP 和△FBP 中∠EPG =∠FPB∠EGP =∠FBP EG =FB，∴△EGP ≌△FBP AAS ，∴PB =PG ，∴PB =12BG =2．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．4.(2022·河北·八年级期中)如图，在△ABC 中，已知AB =AC ，∠ABC =∠ACB =45°，AH 是△ABC 的高，BC =10cm ，射线CM ⊥BC ，动点D 从点C 开始沿射线CB 的方向以每秒2厘米的速度运动，动点E 也同时从点C 开始在射线CM 上以每秒1厘米的速度运动，连接AD 、AE ，设运动时间为t t >0 s ．(1)请直接写出CD 、CE 的长度(用含有t 的式子表示)：CD =______cm ，CE =______cm ；(2)当点D 到点H 的距离为2cm 时，求t 的值；(3)请直接写出当t =103s 时，△ABD 与△ACE 是否全等？【答案】(1)2t ，t (2)32s 或72s (3)全等，理由见解析【分析】(1)直接根据路程=速度×时间可得结论；(2)分当点D 位于点H 右边时；当点D 位于点H 左边时，两种情况进行讨论即可；(3)分别求出BD ,CD 的长度，然后根据“SAS ”证明全等即可．【详解】(1)解：根据题意可得CD =2t cm ，CE =t cm ，故答案为：2t ，t ；(2)解：∵AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∵AH是△ABC的高，BC=10cm，∴BH=CH=5，当点D位于点H右边时，CD=CH-HD=5-2=2t，解得：t=3 2；当点D位于点H左边时，CD=CH+DH=5+2=7=2t，解得：t=7 2，综上所示：当点D到点H的距离为2cm时，t的值为32s或72s；(3)解：△ABD与△ACE全等，理由如下：当t=103s时，CD=2t=2×103=203cm，CE=t=103cm，∴BD=BC-CD=10-203=103cm，∴BD=CE，∵CM⊥BC，∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ACE=45°，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠B=∠ACEBD=CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)．【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质，一元一次方程的应用，等腰直角三角形的性质，灵活运用相关知识点列方程求解是关键．5.(2022·江苏徐州·八年级期中)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是斜边AB的中点，点E、F分别在边AC、BC上，且DE⊥DF，垂足为D．(1)如图1，当DE⊥AC时，DE、DF的大小关系是______；(2)如图2，将∠EDF绕点D点旋转，(1)中的关系还成立吗？请说明理由；(3)如图3，连接EF，试探究AE、BF、EF之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)DE=DF(2)成立，理由见解析(3)EF2=AE2+BF2，证明见解析【分析】(1)连接CD，由DE⊥AC，得∠DEC=90°=∠ACB=∠EDF，可得DF⊥BC，而AC= BC，D为AB中点，知CD是∠ACB的平分线，即得DE=DF；(2)过D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，同(1)可得DM=DN，由∠DMC=∠DNC=∠ACB= 90°，可得∠MDN=90°=∠EDF，从而∠MDE=∠NDF，可证△DME≌△DNF(AAS)，故DE= DF；(3)过D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，由(2)知△DME≌△DNF，可得ME=NF，DE=DF，DM=DN，即可得EF2=2DE2，而AC=AB，∠ACB=90°，有∠A=∠B=45°，从而AM=DM= DN=BN，设ME=NF=x，则AM=AE-x=DM，BN=BF+x=DN，由AM=BN，得AE-x=BF+x，x=AE-BF2，即ME=AE-BF2，DM=AE-x=AE+BF2，又DE2=DM2+ME2，即可得EF2=2DE2=AE2+BF2．【详解】(1)解：DE=DF，理由如下：连接CD，如图：∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°=∠ACB=∠EDF，∴∠DFC=90°，即DF⊥BC，∵AC=BC，D为AB中点，∴CD是∠ACB的平分线，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE=DF(角平分线上的点到两边的距离相等)；故答案为：DE=DF；(2)将∠EDF 绕点D 点旋转，(1)中的关系还成立，理由如下：过D 作DM ⊥AC 于M ，DN ⊥BC 于N ，如图：同(1)可得DM =DN ，∵∠DMC =∠DNC =∠ACB =90°，∴∠MDN =90°=∠EDF ，∴∠MDN -∠EDN =∠EDF -∠EDN ，即∠MDE =∠NDF ，∵∠DME =90°=∠DNF ，∴△DME ≌△DNF (AAS )，∴DE =DF ；(3)EF 2=AE 2+BF 2，证明如下：过D 作DM ⊥AC 于M ，DN ⊥BC 于N ，如图：由(2)知△DME ≌△DNF ，∴ME =NF ，DE =DF ，DM =DN ，∵∠EDF =90°，∴DE 2+DF 2=EF 2，∴EF 2=2DE 2，∵AC =AB ，∠ACB =90°，∴∠A =∠B =45°，∵DM ⊥AC 于M ，DN ⊥BC 于N ，∴AM =DM =DN =BN ，设ME =NF =x ，则AM =AE -x =DM ，BN =BF +x =DN ，∵AM =BN ，∴AE -x =BF +x ，∴x =AE -BF 2，即ME =AE -BF 2，∴DM =AE -x =AE +BF 2，∵DE 2=DM 2+ME 2=AE +BF 2 2+AE -BF 2 2=AE 2+BF 22，∴EF 2=2DE 2=AE 2+BF 2．【点睛】本题考查等腰直角三角形中的旋转问题，涉及三角形全等的判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．6.(2022·湖北·武汉市黄陂区教学研究室八年级期中)如图，点D ，E 在△ABC 的边BC 上，AB =AC ，AD =AE ．(1)如图1，求证：BD =CE ；(2)如图2，当AD =CD 时，过点C 作CM ⊥AD 于点M ，如果DM =2，求CD -BD 的值．【答案】(1)见解析(2)4【分析】(1)过A 作AH ⊥BC 于点H ，根据三线合一可得：BH =CH ，DH=EH ，即可证明；(2)过A 作AH ⊥BC 于点H ，易证△AHD ≌△CMD ，可得MD =DH ，即可求解．【详解】(1)证明：如图过A 作AH ⊥BC 于点H ，∵AB =AC ，AH ⊥BC ，∴BH =CH ，∵AD =AE ，∴DH =EH ，∴BD =CE ；(2)解：过A 作AH ⊥BC 于点H ，在△AHD 和△CMD 中，∠CDM =∠ADH∠CMD =∠AHD =90°CD =AD∴△AHD ≌△CMD AAS ，∴DH =MD ，∴CD -BD =CH +DH -BH -DH =2DH =2MD =4．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质“三线合一”，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．7.(2022·浙江·杭州市大关中学九年级期中)如图，在△ABC 中，AB =AC ,∠A =30°,AB =10，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，交AC 于点E ，连接DE ，过点B 作BP 平行于DE ，交⊙O 于点P ，连接CP ,OP ．(1)求证：点D 为BC的中点；(2)求AP 的长度．【答案】(1)见解析(2)5π2【分析】(1)连接AD ，可得AD ⊥BC ，再由等腰三角形的性质，即可求证；(2)由等腰三角形的性质，可得∠ABC =75°，再根据四边形ABDE 为⊙O的内接四边形，可得∠EDC =∠BAC =30°，然后根据BP ∥DE ，可得∠PBC =∠EDC =30°，从而得到∠OBP =∠ABC -∠PBC =45°，然后根据圆周角定理可得∠AOP =90°，再根据弧长公式计算，即可求解．【详解】(1)证明：如图，连接AD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，即AD ⊥BC ，∵AB =AC ，∴BD =CD ，即点D 为BC 的中点；(2)解：∵∠BAC =30°，AB =AC ，∴∠ABC =12×180°-30° =75°，∵四边形ABDE 为⊙O 的内接四边形，∴∠EDB +∠BAC =180°，∵∠EDB +∠EDC =180°，∴∠EDC =∠BAC =30°，∵BP ∥DE ，∴∠PBC =∠EDC =30°，∴∠OBP =∠ABC -∠PBC =45°，∵OB =OP ，∴△OBP 为等腰直角三角形，∴∠BOP =90°，∴∠AOP =90°，∵AB =10，∴半径OA =5，∴AP 的长度为90π×5180=5π2．【点睛】本题主要考查了求弧长，圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握弧长公式，圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．8.(2022·湖北黄石·九年级期中)如图，△ABC 中，AB =AC ，AH ⊥BC 于H ，BD ⊥AC 于D ，AH ，BD 相交于点O ，以O 为圆心、OD 为半径的⊙O 交BC 于点E 、F ，已知AD =6，BD =8．(1)求证：AB 是⊙O 的切线；(2)求⊙O 的半径；(3)求弦EF 的长．【答案】(1)见解析；(2)3；(3)4．【分析】(1)过点O 作OM ⊥AB 于点M ，利用角平分线的性质得到OM=OD ，即可；(2)利用勾股定理求得AC =AB =10，从而得到CD =4，再由勾股定理求得BC =45，则BH =CH =25，再由勾股定理得到AH =45，由△AOD ∽△ABH 得到AD AH=OD BH ，即可求解；(3)连接OE ，求得OH ，利用勾股定理得到EH ，即可求解．【详解】(1)证明：过点O 作OM ⊥AB 于点M ，如图∵AH ⊥BC ，AB =AC∴AH 平分∠BAC又∵OM ⊥AB ，OD ⊥AC∴OM =OD∴AB 是⊙O 的切线；(2)解：由勾股定理可得，AB =AD 2+BD 2=10，AC =10，则CD =4，由勾股定理可得：BC =BD 2+CD 2=45，由题意可得：AH 为中线，∴BH =CH =25由勾股定理可得：AH =AB 2-BH 2=45由(1)可得∠BAH =∠OAD ，又∵∠ADB =∠AHB =90°∴△AOD ∽△ABH ，∴AD AH =OD BH ，即645=OD 25解得：OD =3，即半径为3．(3)连接OE ，如下图：由题意可得：OE =3，OH ⊥EF∴EH =HF在Rt △AOD 中，由勾股定理可得：AO =OD 2+AD 2=35∴OH =AH -AO =5，在Rt△OEH中，由勾股定理可得：EH=OE2-OH2=2∴EF=2EH=4【点睛】此题考查了切线的判定，垂径定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质．9.(2022·江苏·泰州中学附属初中八年级阶段练习)按要求作图．(1)如图(1)，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，AC=BC,AE是△ABC的中线．①在AD取一点F使得EF∥CD；(仅使用无刻度的直尺画图)．②画出△ABC的高CH．(仅使用无刻度的直尺画图)．(2)如图(2)，四边形ABCD是平行四边形，在线段CD找一点E，使得BE平分∠AEC．(仅使用圆规画图)【答案】(1)①见解析；②见解析(2)见解析【分析】(1)①连接BD交AC于O点，则OB=OD，则OE为△BCD的中位线，可得OE∥CD，延长EO交AD于F，则EF满足条件；②设BD交AE于P点，则P点为△ABC的三条中线的交点，然后延长CP交AB于H，CH为AB边上的中线，再由AC=BC，根据等腰三角形的性质得到CH⊥AB；(2)以A点为圆心，AB为半径画弧交DC于E点，则AE=AB，可得∠AEB=∠ABE，再根据CD∥AB，可知∠ABE=∠CEB，从而得到∠CEB=∠AEB，即可．【详解】(1)解：①如图1，连接BD交AC于O点，并延长EO交AD于F，F点即为所作；理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，∵AE是△ABC的中线．∴OE为△BCD的中位线，∴OE∥CD，即EF∥CD；②如图1，设BD交AE于P点，延长CP交AB于H，CH即为所作；理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵AC=BC,AE是△ABC的中线．∴P点为△ABC的三条中线的交点，∴CH为AB边上的中线，∴CH⊥AB，即CH是△ABC的高；(2)解：如图2，以A点为圆心，AB为半径画弧交DC于E点，则线段BE为所作．理由：根据作法得：AE=AB，∴∠AEB=∠ABE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABE=∠CEB，∴∠CEB=∠AEB，即BE平分∠AEC．【点睛】本题考查了作图--复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，等腰三角形的性质以及平行线的性质．10.(2022·湖南长沙·九年级期中)如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O，与AB边相交于点D，与BC边相交于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F．(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)求证：点E是CD的中点；(3)若⊙O的直径为18，BC=12，求AD的长．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)AD的长为14．【分析】(1)连接OE，利用等腰三角形的性质，证明OE∥AB即可证明；(2)利用圆周角定理以及等腰三角形三线合一的性质即可证明；(3)连接AE、CD，利用直径所对的圆周角是直角、等腰三角形三线合一以及证明△ABE∽△CBD，即可解答．【详解】(1)证明：连接OE，∵EF⊥AB，∴∠EFD=∠EFB=90°，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵OC=OE，∴∠C=∠OEC，∴∠OEC =∠B ，∴OE ∥AB ，∴∠OEF =∠EFB =90°，∵OE 是⊙O 的半径，∴EF 是⊙O 的切线；(2)证明：如图，连接AE ，∵AC 是直径，∴AE ⊥BC ，∵AB =AC ，∴∠BAE =∠CAE ，∴DE =CE ，∴点E 是CD 的中点；(3)解：连接AE 、CD ，∵AC 是⊙O 的直径，AB =AC ，BC =12，∴∠CDB =∠AEC =∠AEB =90°，BE =CE =6，∵∠B =∠B ，∴△ABE ∽△CBD ，∴AB CB=BE BD ，即1812=6BD ，解得：BD =4，∴AD =AB -BD =18-4=14，故AD 的长为14．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．11.(2022·广东·广州市白云区白云实验学校八年级期中)在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，BD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ．(1)如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；(2)点M是AC边上一个动点(不与点D重合)，以BM为一边，在BM的下方作∠BMG=60°，MG 交射线DE于点G．请画出完整图形，探究MD，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．【答案】(1)见详解(2)画图见详解，当分M点在线段AD上时，AD+MD=DG；当M点在线段DC上时，AD-MD= DG．【分析】(1)根据含30°角的直角三角形的性质可得∠ABC=60°，BC=12AB，根据BD是△ABC的角平分线，可得∠ABD=∠CBD=30°，即有可得△ABD是等腰三角形，结合DE⊥AB和DE是△ABD的中线，可得AE=BE=12AB，问题随之得解；(2)分M点在线段AD上和M点在线段DC上两种情况来补全图形：当分M点在线段AD上时，延长BD至N点，使得MD=ND，连接MN，先证明△MND是等边三角形，再证明△MNB≌△MDG ASA，即可得解；当M点在线段DC上时，延长GD至H，使得DH=MD，连接HM，BD与MG交于点Q，先证明△MDH是等边三角形，再证明△HMG≌△D MB AAS，即可得解．【详解】(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°，BC=12AB，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠CBD=30°，∴∠ABD=∠A，∴AD=BD，∴△ABD是等腰三角形，∵DE⊥AB，∴DE是△ABD的中线，∴AE=BE=12AB，∵BC=12AB，∴BC=BE，∵∠ABC=60°，∴△EBC是等边三角形；(2)补全图形如下：(分M点在线段AD上和M点在线段DC上两种情况)当分M点在线段AD上时，延长BD至N点，使得MD=ND，连接MN，如图，在(1)中求得：∠ABD=∠CBD=30°=∠A，∵∠DEA=∠DEB=90°，∴∠EDA=∠EDB=60°，∵∠BMG=60°，∴∠EDA=∠EDB=60°=∠BMG，∴∠NDM=180°-∠EDB-∠EDA=60°，∵MD=ND，∴△MND是等边三角形，∴MD=ND=MN，∠NMD=60°=∠N，∴∠N MB=∠NMD+∠D MB=∠G MB+∠D MB=∠GMD，∵∠ADE=60°=∠N，MD=MN，∴△MNB≌△MDG ASA，∴NB=DG，∴DB+ND=DG，根据(1)可知AE=BE=12AB，DE⊥AB，∴DG是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵MD=ND，∴AD+MD=DG；当M点在线段DC上时，延长GD至H，使得DH=MD，连接HM，BD与MG交于点Q，如图，∵∠EDA=∠EDB=60°=∠BMG，∴∠HDM=∠EDA=60°，∠MDB=180°-∠EDA-∠EDB= 60°，∵DH=MD，∴△MDH是等边三角形，∴DM=HM，∠H=60°，∵∠EDB=60°=∠BMG，∠DQG=∠BQM，∴∠DGQ=∠QBM，∵∠H=∠MDB，DM=HM，∴△HMG≌△D MB AAS，∴HG=BD，∵HD=MD，AD=BD，∴AD=BD=HG=HD+DG=MD+DG，∴AD-MD=DG；综上：当分M点在线段AD上时，AD+MD=DG；当M点在线段DC上时，AD-MD=DG．【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知正确作出辅助线是解题关键．12.(2022·福建·上杭县教师进修学校八年级期中)数学活动课上老师出示如下问题，供同学们探究讨论：如图，在△DEF中，DE=DF，点B在EF边上，且∠EBD=60°，C是线段BD上的一个动点(不与点B重合，且BC≠BE)，在线段BE上截取BA=BC，连接AC．试探究线段AE,BF,CD之间的数量关系．小敏与同桌小聪经过深入的思考讨论后，进行了如下探究：特殊入手，探索结论：(1)①如图，若点C与点D重合，即线段CD=0，观察此时线段AE,BF之间的数量关系是AE=BF，即有：AE=BF+CD，请你说明AE=BF的理由；特例启发，猜测结论：②若点C不与点D重合，猜测线段AE,BF,CD之间的数量关系是___________，并给予证明；完成上面的问题后，老师继续提出下列问题，请同学们探究讨论：深入探究，拓展结论：(2)在上面的问题中，若把“点C是线段BD上的一个动点”改为“点C是射线BD上的一个动点，其它条件都不变．”，则当点C在线段BD的延长线上时，请你用等式表示线段AE,BF,CD之间的数量关系(自行画图探究，直接写出结果，不需要证明)．【答案】(1)①见解析，②AE=BF+CD，见解析(2)当BC<BE时，数量关系是：BF=AE+CD，当BC>BE时，数量关系是：CD=AE+BF，见解析【分析】(1)①过D作DG⊥EF于G，利用等腰和等边三角形的性质，即可得证；②在BE上截取BG =BD，连接DG，利用等腰和等边三角形的性质，即可得证；(2)分BC<BE和BC>BE两种情况分类讨论，求解即可．【详解】(1)证明：①∵BA=BC，∠EBD=60°，∴△ABC是等边三角形过D作DG⊥EF于G，则有：EG=FG；AG=BG∴EG-AG=FG-BG，∴AE=BF；②数量关系为：AE=BF+CD，证明如下：在BE上截取BG=BD，连接DG，∵BA=BC∴BG-BA=BD-BC，∴AG=CD∵∠EBD=60°，BG=BD，∴△GB D是等边三角形∴由①的结论可得：EG=BF∴AE=EG+AG=BF+CD。
中考数学压轴题解题方法大全和技巧
中考数学压轴题解题技巧湖北竹溪城关中学明道银解中考数学压轴题秘诀（一）数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。
（一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。
初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线；③二次函数，它所对应的图像是抛物线。
求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。
此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。
（二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。
求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。
一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。
找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。
求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。
而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。
初中数学动点最值问题19大模型+例题详解,彻底解决压轴难题
动点最值问题永远都是中考最难的压轴类题目，很多同学都反应不知道该怎么下手寻找思路。
其实这类题目的题型有限，全部总结归纳就是这19种，希望同学们对每一种都能掌握技巧，再遇见类似的就能及时找到思路。
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1、将军饮马模型（对称点模型）
2、利用三角形两边差求最值
3、手拉手全等取最值
4、手拉手相似取最值
5、平移构造平行四边形求最小
6、两点对称勺子型连接两端求最小
7、两点对称折线连两端求最小
8、时钟模型，中点两定边求最小值
9、时钟模型，相似两定边求最小值
10、转化构造两定边求最值
11、面积转化法求最值
12、相似转化法求最值
13、相似系数化一法求最值
14、三角函数化一求最值
15、轨迹最值
16、三动点的垂直三角形
17、旋转最值
18、隐圆最值-定角动弦
19、隐圆最值-动角定弦。
中考数学压轴题解题方法大全及技巧【范本模板】
专业资料整理分享中考数学压轴题解题技巧湖北竹溪城关中学明道银解中考数学压轴题秘诀（一)数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。
(一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式(即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。
初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数,它所对应的图像是双曲线；③二次函数，它所对应的图像是抛物线。
求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。
此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现.(二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段)运动,对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知)函数的解析式（即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线(圆)与圆的相切时求自变量的值等。
求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程)，变形写成y ＝f（x）的形式。
一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法(列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x)的形式)，当然还有参数法,这个已超出初中数学教学要求。
找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。
求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置)和根据解析式求解。
而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究,用几何和代数的方法求出x的值.几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现,满分14分,一般分三小题呈现。
中考数学压轴题的常见类型与解题思路
中考数学压轴题的常见类型与解题思路
中考数学压轴题是考试中最难的题型，涉及的内容相对较为复杂，解题思路也较为繁琐。
以下是一些中考数学压轴题的常见类型和解题思路。
常见类型一：应用题
应用题是中考数学压轴题中最常见的类型之一。
这类题目通常涉及实际问题，需要运用数学知识进行分析和计算。
解题思路：
1. 仔细阅读题目，理解问题的背景和要求。
2. 分析问题，确定解题的核心思路和步骤。
3. 运用所学的数学知识和技巧，进行计算和推理。
4. 对结果进行合理性检验，确保解答的准确性和完整性。
解题思路：
1. 仔细观察图形，寻找图形的性质和特点。
2. 运用几何性质和定理，进行推理和证明。
3. 利用几何性质，绘制等边、等腰和直角三角形等特殊图形进行推理和计算。
4. 运用实际问题，将几何题转化为代数问题，从而更好地解决问题。
总结：
中考数学压轴题的常见类型包括应用题、几何题、代数题和概率题等。
解题时需要仔细阅读题目、分析问题、运用所学的数学知识和技巧进行计算和推理，并对结果进行合理性检验。
通过充分的准备和练习，掌握解题的方法和技巧，就能够更好地应对中考数学压轴题。
中考数学压轴题的两大解题思路图与例题详解，为孩子打印收藏！
中考数学压轴题的两大解题思路图与例题详解，为孩子打印收藏！思路图一：【说明】此思路图主要是利用“点的坐标”建立起“函数”与“图形”之间的关系，通过运用“点的坐标”的代数意义和几何意义，可以将“函数”条件下的问题转化解决有关“图形”的问题；同样，也可以将“图形”条件下的问题转化解决有关“函数”的问题。
压轴题常用的数学知识与方法有：直角三角形勾股定理、三角函数定义、全等与相似三角形的判定与性质、相关特殊平面图形的判定与性质；一元一次方程的解法、一元二次方程的解法、二元一次方程组的解法、待定系数法等。
1、解题方法：若已知函数表达式，先确定有关特殊点的坐标，再转化为相应线段的长度并计算有关线段的长度，最后联系动点坐标、面积公式或特殊图形有关知识解答相关问题。
2、常用技能：1、解题中需要用动点的坐标时应直接设出[如：设动点P （m,n）],先不要考虑动点所在图象的函数表达式。
这样便于分析问题和书写过程，到最后确定关系后再考虑函数表达式进行字母间的转化。
2、解题中需要某点坐标或需要利用某点坐标时，通常过该点向x 轴（或y轴）作垂线，进而把点的坐标问题转化为线段即图形问题（如：涉及图形面积时，通常先过不在坐标轴上的点分别向x轴作垂线，把图形面积分割为直角三角形和直角梯形的面积和差关系）。
3、有关图形计算的常用知识与方法：①把相关条件化入某个直角三角形中，利用直角三角形相关定理和三角函数，计算相关边与角进而解决问题。
这是关于图形计算的核心方法；②判断两个三角形的相似关系（一般情况下确定不变直角三角形与变化直角三角形的相似），利用三角形相似的性质计算相关线段长度或周长进而解决问题。
这是图形计算的疑难之处（若是直角三角形相似两种方法都可以用时，建议选择三角函数比较方便便于理解掌握）。
4、在综合题中，寻找两个三角形相似常用的方法是：通过观察图形若发现有下列三个图形时或存在共锐角的直角三角形，可思考三角形相似解决问题。
中考数学各题型考试常用技巧及压轴题
中考数学各题型考试常用技巧及压轴题选择题的解法1根据选择题的题设条件，通过计算、推理或判断，最后得到题目的所求。
2（特殊值淘汰法）有些选择题所涉及的数学命题与字母的取值范围有关；在解这类选择题时，可以考虑从取值范围内选取某几个特殊值，代入原命题进行验证，然后淘汰错误的，保留正确的。
3把题目所给的四个结论逐一代回原题的题干中进行验证，把错误的淘汰掉，直至找到正确的答案。
4如果我们在计算或推导的过程中不是一步到位，而是逐步进行，既采用“走一走、瞧一瞧”的策略；每走一步都与四个结论比较一次，淘汰掉不可能的，这样也许走不到最后一步，三个错误的结论就被全部淘汰掉了。
5根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义；使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解题思路，使问题得到解决。
常用的数学思想方法1就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义；使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解体思路，使问题得到解决。
2事物之间是相互联系、相互制约的，是可以相互转化的。
数学学科的各部分之间也是相互联系，可以相互转化的。
在解题时，如果能恰当处理它们之间的相互转化，往往可以化难为易，化繁为简。
如：代换转化、已知与未知的转化、特殊与一般的转化、具体与抽象的转化、部分与整体的转化、动与静的转化等等。
3在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查；这种分类思考的方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略。
4当我们所研究的数学式子具有某种特定形式时，要确定它，只要求出式子中待确定的字母得值就可以了。
为此，把已知条件代入这个待定形式的式子中，往往会得到含待定字母的方程或方程组，然后解这个方程或方程组就使问题得解决。
就是把一个代数式设法构造成平方式，然后再进行所需要的变化。
配方法是初中代数中重要的变形技巧，配方法在分解因式、解方程、讨论二次函数等问题，都有重要的作用。
初中数学压轴题常见解题模型及套路
初中数学压轴题常见解题模型及套路
初中数学压轴题常见解题模型及套路初中数学的压轴题往往是学生们最为担心的，因为这些题目难度较高，需要运用多种解题技巧。
以下是几种常见的解题模型及套路。
1. 分类讨论法
这种方法适用于需要分类讨论的题目，如排列组合、几何题等。
首先将题目分成不同的情况，然后分别解决每种情况，最后将答案综合起来即可。
2. 反证法
反证法是通过假设结论不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原结论成立的方法。
这种方法适用于需要证明某个结论的题目，如证明两个角相等、证明两个数相等等。
3. 数学归纳法
数学归纳法是一种递推证明方法，适用于需要证明某个结论对于所有自然数都成立的题目。
首先证明该结论对于某个自然数成立，然后证明该结论对于下一个自然数也成立，最后通过归纳证明该结论对于所有自然数都成立。
4. 等式变形法
等式变形法是通过对等式进行变形，从而达到解题的目的。
这种方法适用于需要利用等式求解的题目，如方程、不等式等。
以上是初中数学压轴题常见解题模型及套路，希望能对学生们在解题时有所帮助。
数学中考压轴题题型及解题技巧(一)
数学中考压轴题题型及解题技巧(一)
数学中考压轴题题型及解题技巧
1. 单选题
•理解题意：仔细阅读题目，确保理解题目的要求和限制条件。
•画图辅助分析：针对几何题目，可以通过画图来帮助理解和解答问题。
•排除法：通过逐个排除选项，找出符合题目要求的答案。
2. 多选题
•筛选关键信息：将题目中的关键信息提取出来，对比选项中的信息，选择合适的答案。
•逻辑推理：通过逻辑分析，推断出哪些选项是肯定正确的，哪些是肯定错误的。
•试验法：将选项应用到一些具体的例子中进行试验，排除不符合题目要求的选项。
3. 填空题
•空中填数法：根据已知条件和问题要求，将空缺处需要填写的数进行逐步推导，不断试错，找出符合题目要求的答案。
•利用关系式：通过已知的关系式或者公式，将题目中的其他已知条件和空缺的部分进行联立，解方程求解空缺处的答案。
4. 解答题
•分析问题：对于解答题，首先要充分理解问题的要求和限制条件，有针对性地进行分析。
•简洁明了的表达：在解答问题时，要尽量用简洁明了的语言和符号，避免冗长和歧义。
•举例和论证：通过举例和论证来证明所给答案的正确性，增加解答的可信度。
5. 解题策略
•看清关键信息：题目中常常会有一些关键信息，通过仔细阅读题目，抓住这些关键信息来辅助解题。
•分析题目结构：将问题分解为更小的问题，并且对每个小问题进行分析和解答。
•多角度思考：尝试从不同的角度和方法来考虑问题，增加解题的灵活性和创造力。
通过以上的解题技巧和策略，在数学中考中解答压轴题将会更加
得心应手。
希望同学们能够充分理解和掌握这些技巧，取得好的成绩！。
中考数学4类压轴题型,5种解题思路你一定要了解
中考数学4类压轴题型，5种解题思路你一定要了解中考数学必定有压轴题，选择、填空、大题都会有，大题往往是最后一题，初中阶段，压轴题大致有4类题型，今天，我们来看一看应该怎么去应对压轴题。
几何图形归纳、猜想此类题多见于填空题中，考查考生的猜想、归纳、总结的能力，解这一类题，思考方法很重要。
几何与函数几何与函数相结合的题目很常见，但也是难点，通常有两类问题：一是代数综合，二是几何综合题。
但基本上都是动态几何的问题，也就是动点的问题，以此为引入点，根据几何图形与限制条件构建函数，做这一类题要谨记分类讨论，限定条件，会转化，非常考验考生的综合分析能力。
图形位置关系考查点、线、三角形、矩形以及圆几类图形之间的关系，初中阶段，圆这一块儿知识较复杂，所以也常常通过圆与其他图形的关系来考查，还有可能会把图像与函数联系起来。
新概念题型给一段材料，或者介绍一个从未学习过的知识，亦或是针对某一题目的解法，然后出题，要求证明或者求解得数。
这类题很活，考查考生的阅读理解能力，能读懂题，把握解题条件成为了关键。
初中阶段数学难度并不是十分大，难点知识点也不多，所以压轴题多见于几何题，或者几何与函数相结合的题，解这些压轴题时要掌握下面5种解题思维。
分类讨论分类讨论是解数学题时一个非常重要的思想，解题要综合考虑题目的多种条件，尤其是题目条件没有明确的限定性的时候，如果不注意分类讨论，那肯定会失分。
初中阶段数学压轴题几乎都是几何与函数相结合的题目，基本上都要分类讨论。
列方程设定未知数，结合题目条件或公式定理转换成方程或者方程组，解出未知数，方程思想的应用范围很广，解题必备。
数形结合将数量关系转换为图形，可以是几何图形，也可以是函数图像，有一些题目，画出图像，解题就变得简单许多。
转化转化思想是一种重要的数学思想，有一些压轴题正面无法突破时，就需要转换一下思想，寻找另外一种角度。
将未知问题转化为已知问题，复杂问题转化为简单问题……抢分解中考数学压轴题要学会抢得分点，一般来说，压轴题都会分为1—3个小题，第1小题不会太难，分数一定要拿到；第2小题稍有难度，争取拿到分；第3小题难度较高，努力拿一点分，哪怕是与正确方法相关的几个步骤都是可以得分的。
中考数学4类压轴题型,5种解题思路你一定要了解
中考数学4类压轴题型，5种解题思路你一定要了解中考数学必定有压轴题，选择、填空、大题都会有，大题往往是最后一题，初中阶段，压轴题大致有4类题型，今天，我们来看一看应该怎么去应对压轴题。
几何图形归纳、猜想此类题多见于填空题中，考查考生的猜想、归纳、总结的能力，解这一类题，思考方法很重要。
几何与函数几何与函数相结合的题目很常见，但也是难点，通常有两类问题：一是代数综合，二是几何综合题。
但基本上都是动态几何的问题，也就是动点的问题，以此为引入点，根据几何图形与限制条件构建函数，做这一类题要谨记分类讨论，限定条件，会转化，非常考验考生的综合分析能力。
图形位置关系考查点、线、三角形、矩形以及圆几类图形之间的关系，初中阶段，圆这一块儿知识较复杂，所以也常常通过圆与其他图形的关系来考查，还有可能会把图像与函数联系起来。
新概念题型给一段材料，或者介绍一个从未学习过的知识，亦或是针对某一题目的解法，然后出题，要求证明或者求解得数。
这类题很活，考查考生的阅读理解能力，能读懂题，把握解题条件成为了关键。
初中阶段数学难度并不是十分大，难点知识点也不多，所以压轴题多见于几何题，或者几何与函数相结合的题，解这些压轴题时要掌握下面5种解题思维。
分类讨论分类讨论是解数学题时一个非常重要的思想，解题要综合考虑题目的多种条件，尤其是题目条件没有明确的限定性的时候，如果不注意分类讨论，那肯定会失分。
初中阶段数学压轴题几乎都是几何与函数相结合的题目，基本上都要分类讨论。
列方程设定未知数，结合题目条件或公式定理转换成方程或者方程组，解出未知数，方程思想的应用范围很广，解题必备。
数形结合将数量关系转换为图形，可以是几何图形，也可以是函数图像，有一些题目，画出图像，解题就变得简单许多。
转化转化思想是一种重要的数学思想，有一些压轴题正面无法突破时，就需要转换一下思想，寻找另外一种角度。
将未知问题转化为已知问题，复杂问题转化为简单问题……抢分解中考数学压轴题要学会抢得分点，一般来说，压轴题都会分为1—3个小题，第1小题不会太难，分数一定要拿到；第2小题稍有难度，争取拿到分；第3小题难度较高，努力拿一点分，哪怕是与正确方法相关的几个步骤都是可以得分的。
中考数学压轴题的常见类型与解题思路
中考数学压轴题的常见类型与解题思路【摘要】本文将介绍中考数学压轴题的常见类型与解题思路。
选择题是中考数学中常见的题型，需要注意题目中的陷阱和解题技巧，如排除法和代入法。
填空题需要根据题目的要求进行计算和推算，不能掉以轻心。
解答题则需要理清思路，注重计算和推导过程，避免粗心错误。
应用题则需要将数学知识与现实生活情境相结合，灵活运用所学知识解决问题。
解题技巧包括拓展思维、灵活运用公式和多角度思考等。
通过学习不同类型的题目和解题思路，加上合理的复习建议和备考策略，可以在中考数学中取得更好的成绩。
【关键词】中考数学压轴题、常见类型、解题思路、选择题、填空题、解答题、应用题、解题技巧、总结、复习建议、备考策略。
1. 引言1.1 中考数学压轴题的常见类型与解题思路中考数学是学生们备战中考的关键科目之一，而数学压轴题往往是考试中最具挑战性的部分。
在备考过程中，掌握数学压轴题的常见类型和解题思路是非常重要的。
本文将介绍中考数学压轴题的常见类型和解题思路，帮助学生们更好地备战中考数学考试。
在中考数学压轴题中，选择题往往是占据较大比重的一个部分。
选择题包括单选题和多选题，学生需要在有限的时间内准确把握题意，运用所学知识和解题技巧进行答题。
填空题则要求学生灵活运用所学知识，准确填写答案。
解答题通常会考察学生对知识的深层理解和应用能力，需要学生具备一定的逻辑思维能力。
应用题则是将知识与实际问题相结合，考察学生解决实际问题的能力。
除了不同类型的题目，解题技巧也是备战数学压轴题的关键。
学生可以通过画图、列方程、逆向推理等方法帮助解题。
掌握常见的数学定理和方法也是解题的关键。
通过本文的介绍，希望学生们能够更好地理解中考数学压轴题的类型和解题思路，为备战中考数学考试提供帮助。
在备考过程中，学生们应该多做练习，巩固知识，掌握解题技巧，提高解题能力，从而取得优异的成绩。
祝所有参加中考数学考试的学生考试顺利，取得好成绩！2. 正文2.1 选择题选择题是中考数学试卷中常见的题型之一，通常占据试卷总分的一大部分。
初中(中考)数学常见解题模型及思路(压轴题题眼全覆盖)
初中数学常见解题模型及思路（自有定理）
A． 代数篇：
1．循环小数化分数:设元—扩大——相减（无限变有限）相消法。
例.把 0.108108108化为分数。
设 S= 0.108108108 （1） 两边同乘 1000 得：1000S=108.108108 （2） （2）-（1）得：999S=108 从而：S= 108 余例仿此——
1
上下：2.04 左右：2.17
⑴．对称式：变和积。 x2
y2；1 x
1 ；1 y x2
1 y2
；xy2 +x2y等（x、y
为一元二次方程方程的两
根）
⑵．非对称式：根的定义—降次—变和积（一代二韦）。
10. 三大非负数：三大永正数；
11．常用最值式：（x y）2 正数 等（非负数+正数）。
12．换元大法。
③∠DCA=∠EBF=45°∴B、C、F、H
四点共圆（双八字）！！∠BHF=90°
∴△BHF 为等腰直角三角形！！！
④同上：∠DAC=∠EBF=45°B、K、E、A 四点共圆（双八字），
∠BKE=90°△BKE 为等腰直角三角形！
24．正方形内含半角模型的推广及等腰直角三角形内含半角图。
①正方形内含 45°模型推广到圆内接四边形（对角互补的四边形），有一组邻边相
75 度的正切值为 2+根号 3 15 度的正切值为 2-根号 3
B． 几何篇：
O
1．两套：等线套；等角套。
O D
A
CB
D
C
A
B
①等角套（如图所示）：条件 ： ∠AOB＝∠COD 结论：∠AOC＝∠BOD 说明：
初中数学几何压轴题模型与构造方法附解题技巧
初中数学几何压轴题模型与构造方法附解题技巧全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
自旋转模型构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“8”字模型可以证明。
模型变换说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
中点旋转：说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
几何最终模型对称最值(两点间线段最短)对称最值(点到直线垂线段最短)说明：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。
初中数学 中考常考最值类压轴题11大解题模型归类 典型例题解析!
目录1.把线段的最小值转化为垂线段最短型 (1)2.线段和的最小值转化为最短线段的和型 (2)3.剩余面积的最小值转化为减去面积的最大值型 (4)4.把线段的最小值转化为点到圆的距离最小型 (5)5.把线段和的最小值转化为对称型 (7)6.把线段的最小值转化为平方和最小型 (8)7.把圆半径的最小值转化为平方和相等型 (9)8.把线段的最小值转化为平行线间的距离型 (10)9.把线段的最大值转化为二次函数最值型 (12)10.把线段的最小值转化为点与圆的关系定理型 (13) (15)中考数学最值问题的类型归纳与求解思路最值是中考一个永恒的主题，也是一个重大的难题，解答最值问题不仅要准确理解题意，更要准确找到取得最值的方式，最后才是运用数学知识给出数值.下面就把最值的题型归纳一下，解答的思路梳理一下，供学习时借鉴.1.把线段的最小值转化为垂线段最短型例1如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＞AB，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是_____________．分析：根据平行四边形的性质，得到DE=2OD，而点O是AC的中点，是一个定点，点D是直线BC上的动点，要想使得OD最短，问题就转化成了垂线段最短原理，找到了最短的方式，接下来就是综合所学知识求出这个最短距离即可.解析：根据“垂线段最短”，可知：当OD⊥BC时，OD最短，此时DE的值最小.当OD⊥=AB DE的最小值为：点评：将求DE的最小值转化为求DO的最小值，DO的最小值就是点D到BC的距离，这种求解思路，同学们一定要熟练掌握，并灵活加以运用.2.线段和的最小值转化为最短线段的和型3.例2由6根钢管首尾顺次铰接而成六边形钢架ABCDEF，相邻两钢管可以转动.已知各钢管的长度为AB=DE=1米，BC=CD=EF=FA=2米.（铰接点长度忽略不计）（1）转动钢管得到三角形钢架，如图2,则点A，E之间的距离是米.（2）转动钢管得到如图3所示的六边形钢架，有∠A=∠B=∠C=∠D=120°，现用三根钢条连接顶点使该钢架不能活动,则所用三根钢条总长度的最小值是米.分析：第二问：要想使得三条线段的和最小，只要我们确定出符合题意的三条最短的线段，问题就可以的解.如图3，很显然，在A,B,C,D,E,F中，连接AC,CE,BF是符合题意的最短的连接方式之一，找到了最短的连接方式，求解就轻松了.解析：（1）因为FA:AB=FE:ED,所以AE∥BD，所以=,,得AE=（2）如图3，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线与点G，则∠GBC=60°，因为BC=2,所以BG=1,CG=，根据勾股定理，得AC==,所以三条线段和的最小值为3.点评：把线段和的最小值转化成最短线段的和是解题的关键.3.剩余面积的最小值转化为减去面积的最大值型例3如图4，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6．将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是（）A．6B．3C．2.5D．2分析：要想使得剩余的面积最小，就要保证剪去的三角形的面积最大，要想使得剪去得每以BC为斜边作等腰直角三角形△EBC，此时三角形的面积为×3×6=9；2、以最长的边为直角边构造等腰直角三角形延长BE交AD于F，得△ABF是等腰直角三角形，此时三角形的面积为×4×4=8；3、以最长的边为斜边构造等腰直角三角形作EG⊥CD于G，得△EGC是等腰直角三角形，此时三角形的面积为×3×3=4.5；因为剪去得等腰直角三角形的面积都是当时条件下最大的，所以在矩形ABCD中剪去△ABF，△BCE，△ECG得到四边形EFDG，是剩余部分面积的最小的.解析：在矩形ABCD中剪去△ABF，△BCE，△ECG得到四边形EFDG，此时剩余部分面积的最小=4×6﹣×4×4﹣×3×6﹣×3×3=2.5．所以选C．点评：遇到最小值不好求时，我们可以逆向思维，去思索如何剪得到的图形的面积最大，这也是解题中常用的方法，要在平时多加训练.4.把线段的最小值转化为点到圆的距离最小型例4如图5，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（）A.B.分析：如图5，动点P在以AB为直径的圆上运动，根据点与圆的关系，知道，当O,P，C三点共线时，CP最短.解析：因为∠PBA+∠PBC=90°，∠PAB=∠PBC，所以∠PBA+∠PAB=90°，所以∠APB=90°，所以点P在以AB为直径的圆上，当O,P，C三点共线时，CP最短，因为AB=6,所以OB=3,因为BC=4，所以OC=5，所以CP=OC-OP=5-3=2,所以CP的最小值为2，所以选B.点评：构造辅助圆，把不容易确定的线段的最小值问题转化为点与圆的关系是解题的关键，要学会这门技巧.5.把线段和的最小值转化为对称型例5如图6，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是．分析：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+解析：MP+PQ+QN的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°，所以△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，所以∠N′OM′=90°，所以在Rt△M′ON′中，M′N′==.所以应该填：．点评：根据轴对称的定义，找到线段和最小时对应的相等的线段，是解题的关键.6.把线段的最小值转化为平方和最小型例6如图7，已知AB=10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB 为边作等边△APC和等边△BPD，则CD长度的最小值为.分析：如图7，过点C作CE⊥AB，垂足为E,过点D作DF⊥AB，垂足为F,过点D作DG⊥CE，垂足为G,根据三角形APC和三角形APD都是等边三角形，利用等腰三角形的三=5，这样=+，是定值，所以也是定值，所以的大小取决于CG最小时，取的最小值，从而CD取的最小值，根据图形的特点，知CG=0时，CD最小，此时=，也即是CD=DG=EF，所以CD的最小值为5.解析：CD的最小值为5.点评：构造直角三角形，把线段的最小值转化成线段平方的最小值时解题的关键所在，根据条件，可以适时选用.7.把圆半径的最小值转化为平方和相等型例7如图8是由两个长方形组成的工件平面图(单位，mm)，直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是mm.分析：根据对称性，知道覆盖圆的圆心一定在直线l上，且圆心到点B，点A的距离一定解析：，解得x=40,所以圆的半径为50mm.点评：根据对称性，假定圆心，利用勾股定理建立等式求解是解题的关键.8.把线段的最小值转化为平行线间的距离型例8如图9，在△ABC中，AB=10,AC=8,BC=6,以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P,Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值和最小值的和是（）A.6B.2+1C.9D.分析最小值在什么位置上取的，并能求得，和自然就得到.解析：如图9，当点Q与点E重合，点P与点B重合时，线段PQ有最大值，设半圆与AC的切点为D，连接OD，则OD⊥AC，因为AB=10,AC=8,BC=6,所以BC⊥AC，所以OD∥BC，因为OA=OB，所以OD是三角形ABC的中位线，所以AD=DC=4,OD=OE=OF=3,所以AE=OA-OE=5-3=2,所以线段PQ的最大值为PQ=10-2=8；过点O作ON⊥BC，交半圆于点M，过点M作GH∥BC,所以当点Q与点M重合，点P与点N重合时，线段PQ有最小值，PQ=MN=CH=DC-DH=4-3=1,,所以线段PQ的最小值为PQ=1；所以PQ的最大值与最小值的和为8+1=9，所以选C.点评：能顺利找到PQ取的最大值与最小值时，线段所对应的位置和条件，是解题关键.9.把线段的最大值转化为二次函数最值型例9如图10，抛物线y=﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E（1）求直线BC的解析式；（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．分析：第一问：利用坐标轴上点的特点求出A、B、C点的坐标，再用待定系数法求得直线BC，），E点的坐标为（-()，从而把线段的最值转化成关于横坐标m的二次函数的最值加以求解.解析：（1）因为抛物线y=x²﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，令y=0，可得x=或x=,所以点A的坐标为（，0），点B的坐标为（，0），令x=0，则y=,所以点C的坐标为（0，），设直线BC的解析式为：y=k x+b，则有，解得：，所以直线BC的解析式为y=-x+；（2）设点D的横坐标为m，则点D的坐标为（m，），E点的坐标为（m,-m+），因为点D是直线BC下方抛物线上一点，设DE之间的距离为d，则DE两点间的距离为d=(-m+)-()=-，因为a=﹣1＜0，所以当m=-=-=，=-，所以D点的坐标为（，-）.点评：设出D的坐标，利用平行y轴直线上两点之间的距离等于两点纵坐标的差的绝对值，把线段的最值转化成二次函数最值是解答的关键．10.把线段的最小值转化为点与圆的关系定理型例10如图11，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点，BP=3，Q是CD 边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A′，当CA′的长度最小时，CQ 的长为（A.5C.D.分析：当点Q在运动时，不难发现点A的对称点在以P为圆心，PA为半径的圆上，由BP=3，知道PA=5，连接PC与圆交于点F，由点C是圆P外的一点，根据点与圆的关系知道，当与点F重合时，CF=C最短，找到了最短位置，接下来就是求CQ的数值了.根据图形对称性知：∠QPA=∠CPQ，根据菱形的性质，知道：AB∥CD，所以∠QPA=∠CQP，所以∠CPQ=∠CQP，，所以CQ=CP.过点C作CE⊥AB，垂足为E，根据三角形ABC是等边三角形，且AB=8，所以EB=4,AE=4,CE=4,因为BP=3，所以EP=1，在直角三角形CEP中，CF==7,所以CQ=7.解析：选B.点评：巧妙把线段的最小值转化成圆外一点与圆的关系是解题的关键，也是一种常用的方法，希望平时学习时多加练习.11.把线段的最大值转化为切线长最短型例11如图12，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．分析为半径的圆上运动，当F和点M 重合，BN最小，也就是CF最小，从而DF最大.解析：第一问，第二问，我们就不再详细解了，重点看一下第三问：显然BN=CF==,所以DF的最大值为4-.点评：灵活转化是解题的关键.。
人教部编版初中数学中考压轴题做题思路及解题技巧
人教部编版初中数学中考压轴题做题思路及解题技巧通常来说，压轴题难度也是有约定的：历年中考，压轴题一般都由3个小题组成。
第1题容易上手，得分率在0.8以上第2题稍难，一般还是属于常规题型，得分率在0.6与0.7之间第3题较难，能力要求较高，但得分率也大多在0.3与0.4之间而从近几年的中考压轴题来看，大多不偏不怪，得分率稳定在0.5与0.6之间，即考生的平均得分在7分或8分。
由此可见，压轴题也并不可怕。
中考数学常考压轴题类型1、线段、角的计算与证明中考的解答题一般是分两到三部分的。
第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。
第二部分往往就是开始拉分的中难题了。
对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。
2、一元二次方程与函数在这一类问题当中，尤以涉及的动态几何问题最为艰难。
几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。
相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。
中考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。
一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。
但是在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合。
3、多种函数交叉综合问题初中数学所涉及的函数就一次函数，反比例函数以及二次函数。
这类题目本身并不会太难，很少作为压轴题出现，一般都是作为一道中档次题目来考察考生对于一次函数以及反比例函数的掌握。
所以，在中考中面对这类问题，一定要做到避免失分。
4、列方程(组)解应用题在中考中，有一类题目说难不难，说不难又难，有的时候三两下就有了思路，有的时候苦思冥想很久也没有想法，这就是列方程或方程组解应用题。
方程，可以说是初中数学当中最重要的部分，所以也是中考中必考内容。
初中数学常见模型及解题思路(九年级)
初中数学常见模型解题思路代 数 篇1、循环小数化分数：(1)设元(2)扩大(3)相减相消法【等式性质的运用】例：把0.108108108...化为分数.设a =0.108108108...①两边同时乘以1000，得 1000a =108.108108...②②-①，得999a =108，从而得a =108/999.2、对称式计算技巧：“平方差公式、完全平方公式”【整体思想的结合】 22,,,y x xy y x y x +-+中，知二求二. (加减配合，灵活变形.)如xy y x y x 2)(222++=+⇒xy y x y x 2)(222-+=+；xy y x xy y x y x 4)(2)(2222-+=-+=-.3、特殊公式21)1(222±+=±xx x x 的变型及应用. 4、立方和/差公式：).)(())((22332233y xy x y x y x y xy x y x y x ++-=-+-+=+；5、等差数列求和的法：首尾相加法. (方法+公式)例：计算1+2+3+4+ (2018)6、等比数列求和法：(1)设元(2)乘等比(3)相减(4)求解.例：计算1+2+4+8+...+2n . 【这两种数列均可用等式性质进行推导】7、mnm n n m mn m n n m +=+-=-11;11的灵活应用. 例：计算(1)3801...3012011216121++++++；(2).171532151328...97167512538314⨯-⨯++⨯-⨯+⨯-⨯ 8、韦达定理求关于两根的代数式的值.(1) 对称式：变和积..1111222222yx y x y x xy y x ++++；；；(x 、y 为一元二次方程的两根) (2) 非对称式：根的定义 降次 变和积(一代入二韦达)9、三大非负数、三大永正数.10、常用最值式：正数+±2)(y x 等11、换元大法.12、自圆其说加减法与两肋插刀法。
初中数学最全答题模板+真题压轴练(附版)
初中数学最全答题模板+真题压轴练！（附打印版）答题模板九种题型1.线段、角的计算与证明问题中考的解答题一般是分两到三部分的。
第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。
第二部分往往就是开始拉分的中难题了。
对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。
线段与角的计算和证明，一般来说难度不会很大，只要找到关键“题眼”，后面的路子自己就“通”了。
2.图形位置关系中学数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形/正方形以及圆这么几类图形之间的关系。
在中考中会包含在函数，坐标系以及几何问题当中，但主要还是通过圆与其他图形的关系来考察，这其中最重要的就是圆与三角形的各种问题。
3.动态几何从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。
动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。
另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。
所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。
4.一元二次方程与二次函数在这一类问题当中，尤以涉及的动态几何问题最为艰难。
几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。
相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。
中考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。
一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。
但是在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合。
5.多种函数交叉综合问题初中数学所涉及的函数就一次函数，反比例函数以及二次函数。
这类题目本身并不会太难，很少作为压轴题出现，一般都是作为一道中档次题目来考察考生对于一次函数以及反比例函数的掌握。
中考数学压轴题解题方法大全和技巧[整理版]精品文档67页
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中考数学压轴题解题技巧湖北竹溪城关中学明道银解中考数学压轴题秘诀（一）数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。
（一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。
初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线；③二次函数，它所对应的图像是抛物线。
求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。
此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。
（二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。
求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。
一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。
找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。
求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。
而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。
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18.|a|=|b|,则a=±b在动点问题中的巧妙应用（避免烦琐的因为点的相对位置变化起的符号变化问题（平面直角坐标系中动态问题之“坐距互变”时巧施绝对值的代数解法）。
19.四个角的正切值：22.5度的正切值为：根号2-1 67.5度的正切值为根号2+1
加减配合，灵活变型。
3．特殊公式 的变型几应用。
4．立方差公式：
5．等差数列求和的三种方法：首尾相加法；梯形大法；倒序相加法。
例.求：1+2+3+···+2017的和。三种方法举例：略
6．等比数列求和法：方法+公式：设元—乘等比—相减—求解。
例.求1+2+4+8+16+32+··· 令S=1+2+4+8+16+32+···+ （1）
结论：∠DAE=
②条件：BE、CF为三角形的中线，且BE⊥CF
结论：
③如图ห้องสมุดไป่ตู้∠D=∠A+∠B+∠C
9．三角形一分为二面积的比及其推广到蝴蝶面积。
①在三角形 中， ， ， 相交于同一点 ，
那么 ．
②任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：
或者
10．等腰三角形三线合一的逆定理：两线合一亦等腰；；一垂两等变等腰；一垂三等变等直。
重要推论：已知三角形中一个角的余弦：这个角的一边×这个角的余弦=另一边的一半，此三角形为等腰三角形（一边为腰，另一边为底）。
如图： （BC为底）
11．直角三角形斜高的求法。斜高=
12．等边三角形面积的求法。
13．求面积的套路：
⑴．复杂图形：一拆用加；二放用减。
⑵．三角形：①面积公式；②两边与夹角正弦的
10.三大非负数：三大永正数；
11．常用最值式： 等（非负数+正数）。
12．换元大法。
13．自圆其说加减法与两肋插刀法。代数式或函数变型（如配方）只能加一个数，同时减去同一个数；如果是方程则只需要两边同时加上或者减去同一个数即可。
14．拆项法；配方法。原理同上。
15．十字相乘法。
16．统计概率：两查（抽样；普查）；三事（必然；不可能；随机）；四图（折线；条形；扇形；直方）；三数；三差；两频（频数、频率）一率（概率）等。
条件：AB∥CD结论：∠P＝∠AEP＋∠PFC
3．平行线夹等（同）底三角形：面积相等。同底三角形面积相等，则过顶点的直线与底所在直线平行。
若：m∥n则 反之：若 则：m∥n（反比例模型中的“垂平”模型的证明用之）
4．已知三角形两边定一边的范围。“大于两边的差，小于两边的和”。
5．三角形的角分线角：
⑴两内角平分线交角：∠I=
积的一半（遇钝变补）；③铅垂线法（宽高法）；
④等边三角形的面积。⑤利用：相似比的平方
=面积比（借助面积可求的三角形的面积和
相似比求解）。⑥让出去：化归。
⑶．共（有一个角相等）角三角形：面积的比等于等角两边乘积的比（鸟头定理）。
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
∠AKB=60°CK平分∠BKD∠BKC=60°=∠DKC K、F、C、G四点共圆。
⑵一个三角形两等边。
条件：以△ABC的两边AB、AC为边向外作
等边三角形ADB和等边三角形ACE
则有：△ADC≌△ABE（SAS）∴CD=BE
∠DGB=60°∠DGE=120°又 分别作高AM、AN，
则AM=AN（面积相等，底等，则高等），∴AG是∠DGE的平分线！
两边同乘2得: 2S=2+4+8+32+64+···+ + （2）
（2）-（1）得：2S-S= - 1从而求得S。
7． 的灵活应用：如： 等。
8．用二次函数的待定系数法求数列（图列）的通项公式f（n）。
9．韦达定理求关于两根的代数式值的套路：
⑴．对称式：变和积。 （x、y为一元二次方程方程的两根）
⑵．非对称式：根的定义—降次—变和积（一代二韦）。
⑵一内一外角分线交角：∠I=
⑶两外平分线交角：∠I=
5.三角形的角平分线：
两边的比=分线段（第三边）的对应比。
条件：AD为角平分线结论：
6．三角形中线性质定理；三中线交点分中线为 两部分。
条件：AD、BE、CF为中线
结论：AK=2KD= AD BK=2KE= BE。
CK=2KF= CF
7．大名鼎鼎的等面积法：底与高的积相等。三高造相似。三高造辅助圆。
75度的正切值为2+根号3 15度的正切值为2-根号3
B． 几何篇：
1．两套：等线套；等角套。
①等角套（如图所示）：条件：∠AOB＝∠COD结论：∠AOC＝∠BOD说明：②可以视做由旋转产生的“共点等角”
等线套（如图所示）：条件：AB=CD结论：AC=BD说明：可以看做由平移产生。
2．两条平行线夹一角。一角=两旁角的和。
条件：AD、BE、CF为三角形的高——
结论：AD·BC=BE·AC=CF·AB
△ADB∽△CFB等。
B、C、E、F、四点共圆等。
8．高与角分线的夹角等于另外两角差的一半。(两中线垂直的三角形叫做：中垂三角形—— 其中a、b为中线所在的边)
①条件：AD、AE分别为三角形的角平分线和高，
（AB≠AC）。
∠DGA=∠EGA=60°
⑶一个三角形两个正方形。
条件：四边形GBAF和正方形ACDE
结论：FC=BE FC⊥BE AH是∠FHE的
角平分线（∠FHA=∠EHA=45°）
A、F、B、F四点共圆。
15．平行四边形的面积关系。平行四边形的对角顶点到过对称中心的任意一条直线（一般找平行于两轴的直线）的距离相等。
初中数学常见解题模型及思路（自有定理）
A．代数篇：
1．循环小数化分数:设元—扩大——相减（无限变有限）相消法。
例.把 化为分数。
设S= （1）两边同乘1000得：1000S= （2）
（2）-（1）得：999S=108从而：S= 余例仿此——
2．对称式计算技巧：“平方差公式—完全平方公式”—整体思想之结合：x+y；x-y；xy； 中，知二求二。
如图在 中， 分别是 上的点如图 (或 在 的延长线上， 在 上)，
则
14．三大蝴蝶：
⑴一线两等边。
条件：△ABC、△ECD为等边三角形，B、C、D共线
则有：△BCE≌△ACD
△DCG≌△ECF△BCF≌△ACG
旋转60°形成的全等三角形∴△CGF也是等边三角形。
还有：AB∥CE DE∥AC等结论成立！