坐标正算反算公式讲解

一 方位角：
在高斯直角坐标系中，由坐标纵轴方向的北端起，顺时针量到直线间的夹角，称为该直线的坐标方位角，常简称方位角，用a 表示。

1、第一象限的方位角
Y
X
第一象限第二象限
第三象限
第四象限
o
A
a
图1
2、第二象限的方位角
Y X
第一象限
第二象限第三象限
第四象限
o
A
a
图2
3、第三象限的方位角
Y
X
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
o A
a
图3
4、第四象限的方位角
Y
X
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
o
A
a
图4
方位角计算公式：
x
=a -1
tan
A Y O Y -A
X O
X
-
方位角的计算器计算程序：Pol(X A -X O ,Y A -Y O )
直线OA 方位角度值赋予给计算器的字母J ，0≤J ＜360。

直线段OA 的距离值赋予给计算器的字母I,I ＞0 直线OA 与直线AO 的方位角关系： 1、
当直线OA 的方位角≤180°时，其反方位角等于a+180°。

2、 当直线
OA 的方位角＞180°时，其反方位角等于a-180°。

二 方位角的推算 （一）几个基本公式 1、坐标方位角的推算
或：
注意：若计算出的方位角>360°，则减去360°；若为负值，则加上360°。

例题:方位角的推算
已知：α12=30°，各观测角β如图，求各边坐标方位角α23、α34、α
45
、α51。

13
图5
解： α23= α12-β2+180°=30°-130°+180°=80°
α34= α23-β3+180°=80°-65°+180°=195°
α45=α34-β4+180°=195°-128°+180°=247°
α51=α45-β5+180°=247°-122°+180°=305°
α12=α51-β1+180°=305°-95°+180°=30°（检查）
三坐标正算
一、直线段的坐标计算
o
B D
A
C
E
a
a
p
图6
设起点O的坐标（X O,Y O）,直线OP的方位角为F op，求A、C、E点的坐标
1、设直线段OA长度为L,则A点坐标为
X A=X O+L×Cos(F op)
Y A=Y O+L×Sin(F op)
2、设直线段OB长度为L OB,直线段BC长度为L BC,则C点坐标为
X B=X O+L OB×Cos(F op)
Y B=Y O+L OB×Sin(F op)
直线BC的方位角F BC=F op+a
IF F B C＞360°:Then F BC-360°→F BC:IfEnd
X C=X B+L BC×Cos(F BC)
Y C=Y B+L BC×Sin(F BC)
3、设直线段OD长度为L
,直线段DE长度为L DE,则E点坐标为
OD
X D=X O+L OD×Cos(F op)
Y D=Y O+L OD×Sin(F op)
直线DE的方位角F DE=F op-a
IF F DE＜0°:Then F DE+360°→F DE:IfEnd
X E=X D+L DE×Cos(F DE)
Y E=Y D+L DE×Sin(F DE)
二、缓和曲线段的坐标计算
x Y 00=L- +=L 40R L 52s 2L
3456R L 9
4s 4
L 6R L 3s L 336R L 7
s 33
-90 L πRL s
O
2
切线角=
设完整缓和曲线起点O 的坐标为O （XO,YO ）,方位角为F ，曲线长度为L S ,曲线上任一
点的曲线长度为L,
当线路右转时直线CP 的方位角Fcp=F+90°
IF F cp ＞360°:Then F cp-360°→F cp :IfEnd
当线路左转时直线CP 的方位角Fcp=F-90°
IF F cp＜0°:Then F cp+360°→F cp:IfEnd
X P=X O+Abs(x O)×Cos(F)+Abs(y O)×COS(F CP)
Y P=Y O+Abs(x O)×Sin(F)+Abs(y O)×Sin(F CP)
三、圆曲线段的坐标计算
圆曲线的已知点数据为起点S的桩号K s、走向方位角αs、起点S 坐标为（X o,Y o）、圆曲线半径为R与曲线长为L。

设半径为R的圆曲线中线上任意点j的桩号为K j,求Z j点的坐标？
x
解：
弦长sj的弦切角与弦长为
弦切角θsj=(L j/(2R))×(180°/π)=(90°×L j)/(πr) 弦长C sj=2Rsin(θsj)
则弦长sj的方位角为αsj=αs±θsj
圆曲线上任意j点的方位角为αj=αs±2θsj
求得圆曲线上任意点j的计算公式为
X j=X O+C sj×Cos(αsj)
Y j=Y O+C sj×Sin(αsj)
四坐标反算
1、直线段坐标反算
x
图9
反算原理
如图9所示，直线 se的点斜式为
y-y p=tanαs(x-x p) (公式1)
将起点S 的坐标代入解得
y p = y s - tan αs (x s -x p ) (公式2)
因直线jp 垂直于直线sp ，故p 点中桩坐标因满足垂线jp 的下列点斜式方程 y p -y j = -(x p -x j ) / tan αs (公式3) 将公式2代入公式3得
y s - tan αs (x s -x p )- y j =-(x p -x j ) / tan αs tan αs (y s -y j )- tan 2αs x s + tan 2αs x p =-x p +x j 简化后得
=x tan 2+1j
+a s
tan 2a s
x s
-tan a(y -y )s
j
p
x
=p
y j
y -j
y j
y -tan
a s
2、圆曲线段坐标反算原理
x
图10
反算原理
如图10所示，设j点为圆曲线附近任意边桩点，坐标为j(X,Y)，已知点S点坐标为（X0，Y0），则圆心点C的坐标为
X c=X0+R×COS(αs±90°)
Y c=Y0+ R×sin(αs±90°)
再根据圆心点C与j点的坐标算出直线cj的方位角αcj与距离d cj,则j点的边距为dj=R-d cj,由圆心点坐标反算垂足点p的中桩坐标为
X P=X C+R×COS(αcj)
Y P=Y C+ R×sin(αcj)
再根据S 点的坐标和P 点的坐标求出弦长SP 的距离
Csp=√((X 0-X P )2+(Y 0-Y P )2
)
再根据弦长SP 的距离和反三函数的关系，求出弦切角θsp 值(单位为度)。

=sp
θ-1
sin sp
c
2R
求出弦切角后就可以求出弧长sp 的值及P 点的走向方位角αp 的值：
=sp
L
360
sp θ20
×2πR
αp =αs ±2θsp。