第五章(流体波动)解析

波长： L 2 / K
y
Ly 2 / k y
二维为例
L 2 / K
Lx 2 / kx x
定义
r
xi
yj
zk
K
r
t
等位相面： K r t =常数
相速度：
C
(dr
/
dt)
K C
C
/
K
K2
K
注意： K、C 共线，均为波移动的方向。
而x，y，z方向上的移速：C x , C y , C z
（3）波长 L ：波动在一个周期中传播的距离，固定时 刻相邻的两同位相质点间的距离。
L
L
（4）位相：表示流体波动状态的物理量。
kx t
等位相面：位相相等的各点所构成的平面（波面 或波阵面）。
kx t =常数
等位相面是平面，称为平面波；等位相面是球面 的，称为球面波。
等位相面
（5）波数 k ：以相角 2 表示的单位距离内含有波长
自由表面形式的不可压缩流体的连续方程为：
h •
hV
0
t
h
V
•
h
h
•V
0
t
h u h h u 0 t x x
描写波动运动的基本方程组
u u u w u g h
t x z
x
h u h h u 0 t x x
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问题：
波动的研究对象是物理变量的扰动部分；
方程是非线性的。
（方程的线性化问题－－－小扰动线性化方法）
三、二维、三维波动
上面讨论的波动局限于一维情况，实际上，大多数波 动并非是一维的，这涉及到二维、三维波动的问题。
同样，可以把二维、三维波动表示为如下的形式：
S二维 Acos(kx x k y y t)
S三维 Acos(kx x k y y kz z t)
位相的普遍形式：
kx x ky y kz z t (x, y, z, t)
小（微）扰动线性化方法： ①任何物理量可以表示为：
为 L 的波的数目。
kx t 2 kx Lt
kL 2 k 2 / L
（6）圆频率：以 2 相角表示的单位时间内振动的次数。
2 /T
（7）相速 c ：等位相（波面）的传播速度。
kx t =常数
dx c
dt k
相速 c
波参数是表征波动的重要参数。因此，研究波动主要在 于求解各种表征波动的参数及其形成机制。
y Acoskx t 波动的一般形式。
物理参数---波参数表示了什么含义？
y Acoskx t
（1）振幅A：质点离平衡位置的最大距离位移。物理量距 平衡状态的最大距离。
（2）周期T：完成一次全振动所需要时间，或波向前传 播一个波长距离所需时间。
频率 f ：单位时间内的振动次数，与周期互为倒数： T=1/f
其中： / t kx / x k y / y kz / z
圆频率 x 方向的波数 y 方向的波数 z 方向的波数
定义波数矢量为：
y 二维为例
K kxi k y j kzk
垂直等位相面（波面）。
ky K
（即为波动传播的方向）
kx
x
定义其模称为全波数：
K K k2x k2y k2z
hx,t H hx,t
水面的扰动高度，或者是相对于平静水面的偏差。
hx, t 可以为正也可以为负，并满足：
hx, t hx, t H
1
H
H
也就是认为水面受到扰动后产生的起伏是很小的。
流体波动是流体的一种特定的运动形态，应该遵循流 体运动所满足的基本方程。
不计粘性和旋转效应，不可压缩流体的一维波动水平
C x (dx / dt) y,z, const / k x C y (dy / dt) x,z, const / k y C z (dz / dt) x, y, const / kz
显然 C Cxi C y j Czk 不满足矢量运算法则。
第二节 重力表面波和界面波
日常生活中，最形象且最直观的波动，就是由于
第一节 波动的基本概念
一、波动的数学模型
重力 浮力
一维水面波（微扰动）简介：
hx, t H hx, t
H 辐合 辐散
振动—改变周围流体的受力情况—振动传播
hx, t hx, t H
1
微扰动
H
H
扰动高度 hx, t
扰动高度是一个波动函数正弦波（简谐波）的形式
大家熟悉的简谐振动：
d2y dt 2
波动 横波：振动方向与传播方向垂直(垂直和水平横波)。
垂直横波：垂直方向振动，水平方向传播，如重力波。 水平横波：水平方向振动（南北振动），水平方向传播
（东西传播），例如大气长波。
二、波参数
引入波动的概念之后，如果描述波动？
波参数 广义上：任何物理量在空间上、时间上的周期变化，均 可称为波动，并可以将其表示为波动函数的形式：
运动方程为：
du 1 p dt x
垂直方向近似满足静力平衡， z 流体压力可近似地表示为：
p( x, z, t) gh( x, t) z p0
p0
z hx, t - z
进一步有：
x
1 p g h x x
流体压力梯度力可用自由表面高度的梯度来表示。
水平运动方程变化为：
du g h dt x
2y
0
其波动解为：
y Acost
一维简谐波的形式： y Acoskx t
波动图象：反映了不同质点同一时刻分布图象。 同样，任何物理量的扰动可表示成波动的形式，即：
h(x, t) Acoskx t 1 Asinkx t 2
波动与振动密切相关，在此基础上对波动进行划分： 纵波：流体质点振动方向与传播的方向一致。如声波。
第五章 流体波动
波动是流体运动的一种重要形式；尤其是地球物 理流体力学和大气动力学中的一种最为重要的流体运 动形式。
流体的波动，是流体微团由于受力的作用，偏离 平衡位置，并围绕某个平衡位置产生振动，振动在空 间的传播而形成的。
重力水面波
大气500hPa等压面高度的扰动
主要内容 第一节 波动的基本概念 第二节 重力表面波和界面波
重力作用所产生的水面波动（重力表面波）以及
发生于不同性质流体界面的界面波，下面详细地
讨论此类波动。
空气
流体1
水
流体2
重力水面波
界面波
一、水面（表面）重力波
hx, t
考虑一维水面波（水渠波 z
）。假设水面平静时水面
高度为H（为一常数。
hx, t
H
x
一旦给水面一个小的扰动，水面将不会再保持平静的状态 ，而要发生起伏不平的变化，水面高度 h 将随空间位置和 时间而变化，即：