一元二次方程根与系数关系及应用题(习题及答案)

6. 设 x1，x2 是方程 3x2 6x 2 0 的两个根，利用根与系数的关
系，求下列各式的值．
（1） (x1 1)(x2 1) ；
（2） x12 x2 x1x22 ；
（3） 1 1 ； x1 x2
（4） (x1 x2 )2 ．
7. 关于 x 的一元二次方程 x2 (2k 1)x k 2 1 0 有两个不相等 的实数根 x1，x2． （1）求实数 k 的取值范围． （2）若方程两实数根 x1，x2 满足 x1 x2 x1 x2 ，求 k 的值．
调查，每件降价 2 元时，平均每天可多卖出 3 件．若商场要求该
服装部每天盈利 1 200 元，每件衬衫应降价多少元？
解：设衬衫应降价 x 元，根据题意，得 (40 x)(30 3 x) 1 200
2 解得：x1=20，x2=0（不合题意，舍去） ∴每件衬衫应降价 20 元．
巩固练习
1. 某品牌服装原售价为 173 元，经过连续两次降价后售价为 127 元，设平均每次降价 x%，则所列方程为_______________．
2. 结合本章知识图梳理本章知识，并回答下列问题：
①解一元二次方程的基本思想是___________，即通过_____ 或_____把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解． ②一元二次方程的解法中，_______是由________推导而来． ③一元二次方程___________可以用来快速检验方程的解的 正确性．
的百分率相同，则这个百分率为_______________． 4. 若 x1，x2 是一元二次方程 3x2 5x 4 0 的两个根，则 x1+x2
与 x1 x2 的值分别是_____________．
1
5. 若关于 x 的方程 2x2 x a 5 0 有两个正根，则 a 的取值范
围是_______________．
2. 小丽要在一幅长为 80 cm，宽为 50 cm 的矩形风景画的四周外 围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图，使整 幅挂图的面积是 5 400 cm2，设金色纸边的宽度为 x cm，则 x 满足的方程是_______________．
3. 一种商品经连续两次降价后，价格是原来的 1 ，若两次降价 4
பைடு நூலகம்
9. 小明家有一块长为 8 m，宽为 6 m 的矩形空地，妈妈准备在 该空地上建造一个花园，并使花园面积为空地面积的一半．小 明设计了如下的两种方案供妈妈挑选，请你选择其中的一种 方案帮小明求出图中的 x 值．
方案一
方案二
3
10. 某商店进购某种商品出售，若按每件盈利 2 元售出，每天可 售出 200 件．现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加 利润，如果这种商品每件的售价每提高 0.5 元，其销售量就减 少 5 件，则将每件商品提高多少元出售时，才能使每天的利 润为 1 210 元？
一元二次方程根与系数关系及应用题（习题）
例题示范
例 1：设 x1，x2 是方程 x2 7x 6 0 的两个根，利用根与系数的
关系，求 1 1 的值． x12 x22
解：这里 a=1，b=7，c=6．
b2 4ac 72 41 6 49 24 25 0
∴x1+x2=-7，x1·x2=6
4
思考小结
1. 从应用题处理框架角度来回顾经济型应用题： ①理解题意，梳理信息（列表、画图） 借助_____方式梳理信息，注意从变化基础，变化关系，目标 情形三个层面来进行分别梳理，操作时注意边写边进行表达． ②建立数学模型 根据题目中蕴含的经济关系或其他增长变化关系建立数学模型． 若满足等量关系，则建立_______模型． 若满足不等关系，则建立_______模型． 若描述的是两个变量的关系，则建立_______模型．通常利用 函数性质来求解最大最小，最多最少的问题． ③求解验证 数据是否异常，结果是否符合题目要求及取值范围；结果是 否符合实际意义．
5
【参考答案】
巩固练习
1. 173(1-x%)2=127
2. (50+2x)(80+2x)=5 400
3. 50%
4. 5， 4 33
5. 5 a ≤ 41 8
6. （1） 5 ； 3
（2） 4 ； 3
（3）3；
（4） 20 ． 3
7. （1） k 3 4
（2）k=2
8. （1）10%
（2）2 928.2 万元
∵ 1 1 x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2
x12 x22
x12 x22
(x1x2 )2
∴ 1 1 (7)2 2 6 37
x12 x22
62
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例 2：某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天售出 30 件，每
件盈利 40 元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经
9. 方案一中 x=2，方案二中 x=2．
10. 将每件商品提高 9 元出售时，才能使每天的利润为 1 210 元．
11. 每千克这种水果盈利了 15 元．
思考小结
1. ①列表；②方程；不等式；函数； 2. ①降次；配方；因式分解；②公式法；配方法；③根与系数
关系
6
11. 汽车站水果批发市场经销一种水果，如果每千克盈利 10 元， 每天可售出 500 千克．经市场调查发现，在进价不变的情况 下，若每千克这种水果在原售价的基础上每涨价 1 元，日销 售量将减少 20 千克．如果市场每天销售这种水果盈利了 6 000 元，同时顾客又得到了实惠，那么每千克这种水果盈利了多 少元？
2
8. 某市为争创全国文明卫生城市，2012 年市政府对市区绿化工程 投入的资金是 2 000 万元，2014 年投入的资金是 2 420 万元， 且从 2012 年到 2014 年，每年投入资金的年平均增长率相同． （1）求该市政府对市区绿化工程投入资金的年平均增长率； （2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该市政府在 2016 年需投入多少万元？