热力学统计物理试题及其完整答案版(新)

《热力学统计物理》试题参考解答及评分标准

一、1. B, 2. B, 3. A, 4. D, 5. B, 6. A, 7. C, 8. C, 9. A, 10. A. 评分标准：本题共20分， 每个答案2分。

二、 1. 状态， 2. 态， 系统从外界吸收， 3. p -, 4. ω )2

1

(+n , ,2,1,0=n , 5. l

e

a l l βεαω--=, 6. 0, 7. T V F )(∂∂-, 8. 负温度状态, 9. n p T G ,)(∂∂-， 10. n p S

H

,)(∂∂。

评分标准：本题共20分， 每个答案2分。

三、 1. 正确。 理由：pdV SdT dF --=。 2. 错误。 理由：T

V F p ⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂-=。 3. 错误。 理由：自由粒子为不受外力的作用而作自由运动的粒子。

4. 错误。 理由：组成玻色系统和费米系统的粒子是不可分辨的，而组成玻耳兹曼系统的

粒子是可以分辨的。

评分标准：每小题2.5分。其中判断1分，理由1.5分。

四、1．证: 由正则分布Es

s e Z

βρ-=

1，得 s s E Z βρ--=ln ln . （1） 将上式代入广义熵的表示式，得 ][ln ln s s

s s

s s

E Z k k

S βρρρ

+=-=∑∑

]ln [ln ][ln β

ββ∂∂-=+=Z

Z k U Z k . （2） 上式即正则系综中系统熵的表示式。 或者，由正则分布中熵的表示式出发 ][ln ]ln [ln U Z k Z

Z k S ββ

β+=∂∂-= ][ln s

s

s E

Z k

βρ+=∑, （3）

利用（1）式，由上式得熵的普遍表示式

∑-=s

s s k S ρρln . (4)

评分标准：（1），（2）式各5分。

2. 证明：理想气体的热容量为n C ，则đdT C Q n =。由热力学第一定律得

pdV dT C dT C V n +=,

0)(=--pdV dT C C V n . (1) 将理想气体状态方程RT pV =微分，有

RdT Vdp pdV =+. (2)

由（1）式和（2）式消去dT ，得

0)()(=-+-pdV C C Vdp C C p n V n ,

或

0=+p

dp

V dV n

. （3） 式中

V

n p n C C C C n --=

. (4)

若V p n C C C ,,均为常数, 由（4）式知n 为常数，积分（3）式得 =n

pV 恒量. （5）

此即多方过程方程。

评分标准：（1）-- （5）式各2分。

3. 证明：设固体共有A N 个A 种原子和 B N 个B 种原子，原子总数为 N =A N +B N ，设x 为A 种原子的百分比(N N x A =

), （1-x ）为B 种原子的百分比(1-x )= N

N

B , 所以 A N =Nx , B N =N x )1(-. （1）

N =A N +B N 个原子在晶体格点上作随机分布方式的总数为

()!

!!

B A B A N N N N +=

Ω=

]!

)1[(]![!

N x xN N -. （2）

所以A,B 两种原子在晶体格点上的随机分布引起的熵为

S = k ln ln

k =Ω[]()[]!

1!!

N x xN N - 。 （3）

利用斯特林公式简化上式，可得

[])1ln()1(ln }]!)1ln[()!ln(!{ln x x x x Nk N x xN N k S --+-=---=. （4）

注意到0

S>0． (5)

评分标准：（1）-- （5）各2分。

五、计算题：

1。解： 范氏方程可表为

2V

a

b V RT p --=

对范氏方程取导数得

,)(

b V R

T p V -=∂∂ 2

3)(2)(b V RT V a V

p T --=∂∂ （1） 按循环关系式，我们有

2

33)(2)

()()()(b V a RTV b V RV V p T p T V T V p ---=∂∂∂∂-=∂∂ （2）

因此

V 1=α2

32)(2)()()()(b V a RTV b V RV V p V T p T V

T V p ---=∂∂∂∂-=∂∂ (3)

p 1=β)()()(2

2b V a RTV RV b V p R T p V --=-=∂∂ (4)

V T 1-=κ2

3

222

3)(2)()(211)(b V a RT V b V V b V RT V a V p V

T ---=--

-=∂∂. (5)

评分标准：（1）-- （5）式各2分。

2．解：用能量均分定理求粒子的平均能量。

a

b a b x a P P p m z y x 4)2()(21222

22-++++=ε. （1） 上式中2

)2(a

b x a +

是独立平方项，从而有 a

b a b x a p p p m z y x 4)2()(21222

22-

++++=ε

=a

b kT a b kT kT 42421232

2-=-+ （2）

评分标准：（1）式和（2）式各5分。