八下数学第一章导学案

1、1等腰三角形（1）
一、学习目标： 1、
巩固等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质，并能灵活应用等腰三角形的性质解决
一些实际问题。

2、 通过独立思考，交流合作，体会探索数学结论的过程，发展推理水平。

3、
激情投入，收获成功。

二、重点难点
学习重点：等腰三角形性质的探索及应用 学习难点：等腰三角形性质的应用
三、合作学习（学生合作学习，教师积极参与）
1、复习引入：○1.三角形全等的判定方法 ○2.有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形,相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角
2、用剪刀按照教科书介绍的方法，剪出一个等腰三角形，想一想，它是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
3、将2中的等腰三角形沿对称轴对折，找出重合的线段和角，由此你发现了等腰三角形的哪些性质？
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 你能证明这两个性质吗？ 4、填空：如图1，在△ABC 中
○
1∵AB=AC ，∠BAD=∠CAD ∴BD = ， ⊥ 。

○
2∵AB=AC ，BD=CD ∴∠BAD= ， ⊥ . ○
3∵AB=AC ，AD ⊥BC ∴∠BAD= ， BD= . 四、精讲精练
例1、如图2，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD. 求△ABC 各角的度数。

.
例2、已知一个等腰三角形两个内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为 。

C D
图1 图2
C
例3、如图3，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，
且AD=AE.
求证：BD=CE
练习：1、如图4，AB=AE，BC=DE,∠B=∠E,AM⊥CD，垂足为点M 求证：CM=DM
2、等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为40o，则底角为。

3、如图5，在△ABC中，AB=AC，∠A=30o，BF=CE，BD=CF，
求∠DFE的度数。

五、小结：腰三角形的哪些性质？
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．”）；
性质2：等腰三角
．．．．形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

图4
E
D
C
B
A
M
图5
C
1、1等腰三角形（2）
一、学习目标： 1、 掌握等腰三角形的判定方法，并能灵活使用解决实际问题；
2、 通过独立思考，交流讨论，发展推理水平和使用数学知识解决实际问题的水平；
3、
极度热情，高度责任，享受学习的快乐；
二、重点难点
学习重点：等腰三角形的判定方法
学习难点：等腰三角形的判定和性质的区别，等腰三角形的判定的应用。

使用说明：先由学生自学教科书，经历自主探索总结的过程，然后独立认真完成学案，用红笔标记出疑点与盲点，以备上学时展示和质疑。

三、合作学习（学生合作学习，教师积极参与）
1、复习引入回顾：等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形全等的判定
2、用直尺和量角器画△ABC ，使∠B=∠C ，再用刻度尺量一量线段AB 、AC 的长，你有什么发现？
猜想：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也想等。

3、你能验证2中的猜想吗？ 已知：如图 在△ABC 中，∠B=∠C 求证：AB=AC
等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也想等（简．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．写成．．：．等角对等边”）。

．．．．．．．．
等腰三角形的性质与判定有什么区别和联系？
区别： 联系： 四、精讲精练
例1.如图，AC 和BD 相交于点O ，且AB ∥DC ，OC=OD ， 求证：OA=OB
例2.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。

A
B C D
O
精练：
1.如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠B=36O
，D 、E 是BC 上的两点， 且∠ADE=∠AED=2∠BAD ，则图中的等腰三角形共有（ ）个。

A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2.如图，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点O ，过点O 作EF ∥BC ，交AB 于点E ，交AC 于点F 求证：EF=EB+FC.
五、小结：等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也想等（简写成：等角对等边）
补充如图：E 在△ABC 的AC 边的延长线上，D 点在AB 边上，DE 交BC 于点F ，DF=EF ，BD=CE 。

求证：△ABC 是等腰三角形(提示：过点D 作AE 的平行线)。

B
A
C
B
F E
O
1、1等腰三角形（3）
一、学习目标：
1、理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法
2、能够用等边三角形的知识解决相对应的数学问题
二、重点难点
学习重点：等边三角形判定定理的发现与证明
学习难点：等边三角形性质和判定的应用
学习方法：探索、归纳、交流、练习
三、合作学习（学生合作学习，教师积极参与）
1、等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的相等
（2）等腰三角形、、互相重合
2、等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形是三角形，即
叫等边三角形。

3、思考：
（1）把等腰三角形的性质（等腰三角形的两个底角相等）用到等边三角形，能得到什么结论？（2）一个三角形满足什么条件就是等边三角形？
（3）你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？
归纳：
（1）等边三角形的性质：等边三角形的每条边都相等，每个角都等于60度。

（2）等边三角形的判定：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形：三边都相等的三角形是等边三角形：有两个角等于60度的三角形是等边三角形。

四、精讲精练
精讲：
例1、如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，交AB，
AC于D，E。

求证△ADE是等边三角形。

例2、探究：等边三角形三条中线相交于一点。

画出
图形，找出图中所有的全等三角形，并证明它们全等。

E D
C
A
B
精练：
教材练习第1、2题（完成于书上）
五、小结：等边三角形的性质、判定
六、作业
1、如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，
求证BE＝DC
2、如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求∠DBC的度数。

1、1等腰三角形（4）
一、学习目标： 1. 掌握含30o
角的直角三角形的性质，并能灵活使用这个性质解决实际问题。

2. 培养学生的推理水平和数学语言表达水平． 3.
感受数学的严谨性，激发学生的好奇心和求知欲。

二、重点难点：
重点：含30°角的直角三角形的性质定理的证明与使用． 难点：含30°角的直角三角形的性质定理的证明。

三、合作学习 1. 复习引入回顾：等边三角形的性质与判定
2.
问题：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？•能拼出一
个等边三角形吗？说说你的理由． 3.
由2你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能
用不同于教科书上的方法证明你的结论吗？ 4.
由3，我们得到下面的性质定理：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

5.
填空：如右图，在△ABC 中，
∵∠C=90o
，∠A=30o
∴
（ ） 四精讲精练
例1、如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC 、DE 垂直于横梁AC ，AB=7.4m ，∠A=30°，立柱BC 、DE 要多长？
例2、等腰三角形的底角为15°，腰长为2a ，则腰上的高为 。

D C
A
E
B D C
B
C B
A
精练： 1.
已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，
∠A=30°． 求证：BD=1
4
AB ． 2. 如图， △ABC 为等边三角形，D 、E 分别是AC 、BC 上的点， 3.
且AD=CE ，AE 与BD 相交于点P ，BF ⊥AE 于点F
求证：BP=2PF 五、小结
直角三角形中，．．．．．．．30．．度角所对直角边等于斜边的一半．．．．．．．．．．．．．． 六、作业
1、如图：等边三角形ABC 的边长为4cm ，点D 从点C 出发沿CA 向A 运动，点E 从B 出发沿AB 的延长线BF 向右运动，已知点D 、E 都以每秒0.5cm 的速度同时开始运动，运动过程中DE 与BC 相交于点P
(1). 运动几秒后，△ADE 为直角三角形？
（2）.求证：在运动过程中，点P 始终为线段DE 的 中点。

(提示：过点D 作AF 的平行线)
E
1、2直角三角形（1）
学习目标：
1、掌握有一个锐角是30º的直角三角形的性质定理及其应用。

2、体会从“一般到特殊”的思维方法和“逆向思维”方法。

预习导航：
1、什么是直角三角形？
2、直角三角形的两个锐角有怎样的关系？
一、个人自学
1、在△ABC中，如果∠A：∠B：∠C = 1：1：2，那么这个三角形是（）
A、等腰三角形
B、等腰直角三角形
C、等边三角形
D、有一个角是30 º的直角三角形
二、合作探究対学群学
1、动手做做14页观察与思考
你发现了什么结论？将你的结论与大家交流.
2、在Rt△ABC中，∠ACB=90º，D为AB的中点，则CD= AB。

3、通过预习教材的内容，完成下面各题：
（1）如图，在△ABC中，AB=AC， A
∠BAC=120 ºAD AC ，DC = 5，
则AD = B D C
（2）在△ABC中，若∠C = 90º，BC = 1/2 AB ，那么∠A 的度数是
三、知识拓展展示提升
1、如果三角形的三个内角的比是3：4：7，那么这个三角形是（）
A.锐角三角形 B 直角三角形
C钝角三角形 D 锐角三角形或钝角三角形
2、在直角三角形中，斜边和斜边上的中线的长的和为9，则斜边上的中线的长为
3、如图，在△ABC中，AB = 4 ，
∠ABC=60 º，∠A= 90º，求BC。

C
A
4、149页A组2、3题
四、知识梳理
五、达标检测
1、一艘轮船由南向北航行，在A处测得小岛P在北偏西15o的方向上，两个小时后，轮船在B处测得小岛P在北偏西30º上，在小岛周围18海里内有暗礁，若轮船仍按15海里/小时的速度向前航行，轮船会不会触礁？为什么？
D C
B A 直角三角形（2）
一、自主学习 1、复习思考
(1)、判定两个三角形全等的方法： 、 、 、 (2)、如图，Rt △ABC 中，直角边是 、 ，斜边是 (3)、如图，AB ⊥BE 于B ，DE ⊥BE 于E ，
①若∠A=∠D ，AB=DE ，
则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ） 根据 （用简写法）
②若∠A=∠D ，BC=EF ，
则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ） 根据 （用简写法）
③若AB=DE ，BC=EF ，
则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）
④若AB=DE ，BC=EF ，AC=DF
则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法） 2、如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？ (1)动手试一试。

已知：Rt △ABC
求作：Rt △'''A B C ， 使'C ∠=90°，''A B =AB, ''B C =BC 作法：
(2) 把△'''A B C 剪下来放到△ABC 上，观察△'''A B C 与△ABC 是否能够完全重合？ (3)归纳；由上面的画图和实验能够得到判定两个直角三角形全等的一个方法 斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形 （能够简写成“ ”或“ ”） (4)用数学语言表述上面的判定方法
在Rt △ABC 和Rt '''A B C ∆中, ∵''
BC B C AB =⎧⎨
=
⎩ ∴Rt △ABC ≌Rt △
（5）直角三角形是特殊的三角形，所以不但有一般三角形判定全等的方法 “ ”、 “ ”、 “ ”、 “ ”、 还有直角三角形特殊的判定方法 “ ” 二、合作探究
1、如图，AC=AD ，∠C ，∠D 是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC 与BD 相等吗？
2、如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC 和∠DFE 的大小有什么关系？
A
B
C
A 1
1
C 1
1.下列条件中不能说明△ABC 是直角三角形的是（ ） A ．∠A=27°,∠C=63° B. ∠A=∠B+∠C
C. ∠A=2∠B=3∠C
D. ∠A ︰∠B ︰∠C =1︰2︰3 2.下列条件中不能说明△ABC 是直角三角形的是（ ） A.AB=6,BC=8,AC=10 B. AB=13,BC=12,AC=5
C.AB ︰BC ︰AC =3︰4︰5
D. ∠A ︰∠B ︰∠C =3︰4︰5 3.如图在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥BA ， 则图中互为余角的角有（ ） A ．2对 B.3对 C.4对 D.5对
4.在下列条件中，不能说明Rt △ABC 与Rt △A ′B ′C ′ (其中∠C=∠C ′=90°)全等的是（ ）
A ．AC=A ′C ′,∠A=∠A ′ B. AC= A ′C ′, BC=
B ′
C ′ C.∠A=∠A ′, ∠B=∠B ′ D. AC= A ′C ′, AB=A ′B ′ 5.下列各组图形中,一定全等的是( )
A.所有的直角三角形
B.任意两个等边三角形
C. 底边相等的两个等腰三角形
D.斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形
6.已知某直角三角形有两边长分别为3和4,则其第三边长是
7.已知直角三角形的两条直角边分别为6和8,那么斜边上的高为__________. 有一张直角三角形纸片,两直角边AC=3㎝,BC=4㎝, 将△ABC 折叠,使点B 与点A 重合,折痕为DE (如图),
则CD 的长等于 cm
8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长是cm 7，则正方形A 、B 、C 、
D 的面积和是 2
cm 四、水平提升：（学有余力的同学完成）
如图1，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E
点，BF ⊥AC 于F 点，若AB=CD,AF=CE,BD 交AC 于M 点。

（1）
求证：MB=MD,ME=MF;(2)当E 、F 两点移动至图2所示的位置时，其余条件不变，上述结论是否成立？若成立，给予证明。

D
C
B A
7cm
1.3线段的垂直平分线（1）
学习目标：
1、证明线段垂直平分线的性质和判定定理。

2、会用尺规作图画线段的垂直平分线、能规范的已知、求作和作法。

并能将作图方法
的准确性加以证明。

3、使学生理解线段的垂直平分线的性质定理及定理的应用。

重点、难点：
线段的垂直平分线的性质及性质的证明及应用。

预习导学：
任务一：
1、线段是轴对称图形吗？对称轴是什么？
2、通过折纸的方法我们还得到了线段的垂直平分线有哪些性质？
3、你能证明“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”这个结论吗？
由此我们得到了线段垂直平分线的性质定理：
————————————————-
4，推理格式是：∵
∴
任务二、
1、你能写出上面这个定理的逆命题吗？想一想它是真命题吗？如果是，请证明它。

由此我们得到了线段垂直平分线的判定定理：
——————————————
2、推理格式是：∵
∴
任务三、
1、问题分析：用尺规怎样画线段的垂直平分线呢？
已知：线段AB
求作：线段AB的垂直平分线。

作法：
2、为什么这样作出的直线就是线段的垂直平分线呢？设所作直线EF 与线段AB 交点为O,请根据全等三角形的判定定理给出证明：
任务四、课堂巩固训练：
1、已知直线MN 是线段AB 的垂直平分线，垂足为D ，点P 是MN 上一点，若AB=10 cm ，则BD=__________cm ；若PA=10 cm ，则PB=__________cm ；
2．如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，△ABD 的周长是12 cm ，AC=5cm ，则AB+BD+AD=________cm ；AB+BD+DC=__________cm ；△ABC 的周长是__________cm ． 3、习题P25页 1
任务五、课堂检测
1、线段的垂直平分线上的点和这条线段两个端点的_________相等。

2、三角形三边的垂直平分线交于一点，且这点到三个顶点的距离_________． 3．如图 在△ABC 中，AB=AC=6 cm ，AB 的垂直平分线与AC 相交于E 点，且△BCE 的周长为10 cm ，则BC=______ cm ． 4．下列命题中准确的命题有_________．
①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分
线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P 在线段AB 外且PA=PB ，过P 作直线MN ，则MN 是线段AB 的垂直平分线；⑤过线段上任一点能够作这条线段的中垂线．
E
D
A
1.3线段的垂直平分线（2）
学习目标
1．经历折纸和作图、猜想、证明的过程，能够证明三角形三边垂直平分线交于一点．2．经历猜想、探索，能够作出以a为底，h为高的等腰三角形．
学习过程
●任务一：自主学习
1例题2：利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，当作完此题时你发现了什么？
2、但这仅仅用我们的眼睛观察到的，我们还需使用公理和已学过的定理实行推理证明，这样的发现才更有意义．
这节课我们来学习探索和线段垂直平分线相关的结论．
●任务二：新课探究
1、现在我们就来从理论上说明这个结论，也就是证明“三线共点”，这是我们没有遇到过的．不妨我们再来看一下演示过程，你从中受到什么启示？
※2、证明“三线共点”的基本思路是：其中两直线必交于一点，那么只要证第三条直线过这个交点或者说这个点在第三条直线上即可．
3、怎么知道这个交点在第三边的垂直平分线上呢？
已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP．
求证：P点在AC的垂直平分线上．
证明：
4、从证明三角形三边的垂直平分线交于一点，你还能得出什么结论？
5、巩固练习
（1）．分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置．
（2）．已知：△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AB的垂直平分线交AD于O．求证：OA＝OB＝OC．
●任务三：问题探究：
（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出这个三角形吗？，作出的三角形有多少个？已知：三角形的一条边a和这边上的高h．
求作：△ABC，使BC＝a，BC边上的高为h．
（2）已知底边及底边上的高，求作等腰三角形．这样的等腰三角形你能做出多少个？
已知：线段a、h．
求作：△ABC，使AB＝AC，BC＝a，高AD＝h．
课堂小结：本节课你的收获是什么？
布置作业：
必做：习题1.8第1、2题选作：第3、4题
1、4角的平分线的性质（1）
一、学习目标
1、经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理．
2、能使用角的平分线性质定理解决简单的几何问题.
3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。

二、重点难点
教学重点：掌握角的平分线的性质定理 教学难点： 角平分线定理的应用。

三、合作学习、
1、复习引入(由学生独立完成)
什么是角的平分线？怎样画一个角的平分线？
2．OC 是∠AOB 的平分线，点P 是射线OC 上的任意一点，操作测量：取点P 的三个不同的位置，分别过点P 作PD ⊥OA ，PE ⊥OB,点D 、E 为垂足，测量PD 、PE 的长.将三次数据填入下表：观察测量结果,猜想线段PD 与PE 的大小关系，写出结论
PD PE 第一次 第二次 第三次
3、命题：角平分线上的点到这个角的两边距离相等．．．．．．．．．．．．．．．．．．.． 题设：一个点在一个角的平分线上 结论：这个点到这个角的两边的距离相等
结合第2题图形请你写出已知和求证，并证明命题的准确性
解后思考：证明一个几何命题的步骤有那些？ 4、用数学语言来表述角的平分线的性质定理：
如右上图，∵OC 是∠AOB 的平分线，点P 是 OC 上的一点， PA ⊥OB 、PD ⊥OA ∴ PD=PE 四、精讲
1、如图所示OC 是∠AOB 的平分线,P 是OC 上任意一点, 问PE=PD?为什么?
O
A B
E
D C P
2、如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；
求证：CF=EB
精练(由学生合作学习，教师积极参与、指正)
1、在Rt△ABC中，BD平分∠ABC， DE⊥AB于E，则
⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？
⑵哪条线段与DE相等？为什么？
⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6，
求BE，AE的长和△AED的周长。

2、如图,在△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的长
五、小结
这学时你有什么收获呢？与你的同伴实行交流
角平分线上的点到角两边的距离相等……E
D
C
A
E
D B
A
1、4角的平分线的性质（2）
一、学习目标
1、会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．
2、能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．
3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。

二、重点难点
教学重点：角平分线的性质及其应用 教学难点： 灵活应用两个性质解决问题。

三、合作学习
1、复习引入思考（学生合作、教师引导） （1）、画出三角形三个内角的平分线
你发现了什么特点吗？
（2）、如图，△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P ，求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相
等。

2、求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

（提示：先画图，并写出已知、求证，再加以证明）（学生合作、教师引导）
P
N
M
C
B
A
四、精讲
例1、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，
求证∠1＝∠2
精练
1、课本练习
2、水平提升(*)
如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC,BD平分∠ABC,
求证：∠A+∠C=180°
五、小结
1、这学时你有什么收获呢？与你的同伴实行交流
2、角平分线上的点到角两边的距离相等
．．．．．．．．．．．．．．．．
3．、．到角两边距离相等的点在角的平分线上．．．．．．．．．．．．．．．．．
D
C B
A。