固体物理第4章 固体电子论 2011 参考答案
固态电子论-第四章习题参考解答
E EF k0T
泡利不相容原理的限制作用可以忽略不计（在
E 附近，存在大量的没有被粒子填充的
空状态，当少量粒子填充这些状态时，发生泡利不相容的几率很小），由费米统计分布 给出的几率值与波费米统计分布退化为玻尔兹曼统计分布给出的几率值非常接近。
E EF 1 exp k0T E EF 1 exp k0T E A exp k T 0
第10题
砷化镓的导带电子有效状态密度，
2 m k T 2
n 0 3/2
Nc
h3
2 0.068 9.1 10 1.38 10 2 6.62 10
31 34 3
23
300
3/2
6.46 1077 2 4.45 1023 / m3 4.45 1017 / cm3 100 2.90 10
n 0 3 3/2
h
2.8 1019 cm3
19 1017 cm3、 10 cm3 费米能级分别为， 当 ND 1015 cm3、 ，
Nc Ec EF k0T ln ND Nc Ec EF k0T ln ND N Ec EF k0T ln c ND
19
0.2 0.026
1.3 1016 cm 3
掺施主杂质的浓度为：
N D 2.3 1016 cm 3
第7题
Ec
Ei
强 P型
由 EF
Ec
Ei
弱 P型
EF
Ec
Ei
EF
EcEF
Ei
E
E
弱 N型
E
E
固体物理金属电子论作业答案
解：Na电子的费米速度：
2 EF 0 2 3.2 1.60 1019 J vF 1.06 106 m/s 1.06 108 cm/s m 9.111031 kg
由： vF (3 2 n)1/ 3 m
由：
n q 2 m
得： n
3 m 3v F
3 2 3
2. 已知KCl晶体的摩尔体积为3.7110-5m3。在可见光频率，钾 离子和氯离子的极化率分别为1.48和3.29（单位10-40 F· 2）。 m （1）计算KCl晶体的光频介电常数；（2）计算在105V/m的 有效电场下， KCl晶体正负电荷的位移。
解：KCl分子密度为：
6.02 1023 n 1.62 1028 3.7110-5
3） 费米速度
0 2 EF k F 1.05 10 34 J s vF 1.20 1010 m 1 m m 9.1110 31 kg
1.38 106 m / s 1.38 108 cm / s
3.用a3代表每个原子占据的体积，若金属中的自由电子气体在温 度为0K时能级被填充到kF0=(62)1/3/a，试计算每个原子的价电子 数目？并导出电子气在温度0K时的费米能的表达式？ 解：假设价电子数位Z，则电子浓度为： n
r
室温本征电阻l（室温）可认为仅与金属类型有关，与杂质 含量无关。金属纯度越高，剩余电阻越低，电阻率比越大； 反之，金属杂质含量多，则剩余电阻较大，电阻率比较小。
故金属电阻率比可近似表征一个金属样品的纯度。
•试解释为什么金刚石静态介电常数与光频介电常数几乎相等，但氧化 钛的静态介电常数远大于光频介电常数 （具体值见讲义）。 答：固体静态介电常数来自偶极子取向极化、离子极化和电子极化等不同 极化机制，而光频介电常数主要来自电子极化。金刚石只存在电子极化， 故静态介电常数与光频介电常数相等。而氧化钛低频时三种极化同时存在， 介电常数相对光频时（电子极化主导）较大。
固体物理第四章
Chapter 4 能带理论（energy band theory ） 一、简要回答下列问题（answer the following questions ）1、波矢空间与倒格子空间有何关系？为什么说波矢空间内的状态点是准连续的？ ［答］波矢空间与倒格子空间处于统一空间，倒格子空间的基矢分别为321,,b b b ，而波矢空间的基矢分别为321332211,,;/,/,/N N N N N N b b b 分别是沿正格子基矢321,,a a a 方向晶体的原胞数目。
倒格空间中一个倒格点对应的体积为 *)(321Ω=⨯•b b b 波矢空间中一个波矢点对应的体积为NN N N *)(332211Ω=⨯•b b b 即波矢空间中一个波矢点对应的体积, 是倒格空间中一个倒格点对应的体积的1/N 。
由于N是晶体的原胞数目，数目巨大，所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的。
也就是说，波矢点在倒格子空间是极其稠密的。
因此，在波矢空间内作求和处理时，可以把波矢空间的状态点看成是准连续的。
2、在布里渊区边界上电子的能带有何特点？［答］电子的能带依赖波矢的方向，在任一方向上，在布里渊区的边界上，近自由电子的能带一般会出现禁带。
若电子所处的边界与倒格矢G h 正交，边界是G h 的中垂面，则禁带的宽度Eg=2|Vn|，Vn 是周期势场的付里叶级数的系数。
不论何种电子，在布里渊区的边界上，其等能面在垂直于在布里渊区的边界上的斜率为零，即电子的等能面与布里渊区的边界正交。
3、带顶和带底的电子与晶格的作用各有什么特点？［答］能带顶部是能带的极大值的位置，所以 022<∂∂kE其有效质量 0)/(*222<∂∂=k Em ；说明此时晶格对电子作负功，即电子要供给晶格能量，而且电子供给晶格的能量大于外场对电子所作的功。
原因是：有效质量概括了晶格对电子的作用，因此有 mm m jgwai wai F F F +=* 将上式分子上变成能量的形式，则有 mdtm dt m dt jg wai wai v F v F v F •+•=•*能带顶部是能带的极小值的位置，所以 022>∂∂kE，晶格对电子作正功，有效质量大于零。
固体物理学：第4章 金属自由电子论
1、费米分布的性质
FFD
1
FFD
1 e / kT
1
1T 0 f FFD 1
f
FFD 0
εf ε
T 0 时所有粒子排满费米能级以下的能级，
费米能级以上能级全空。
UESTC
FFD
1
（2）T 0
f
1 FFD 2
1/2
随着温度升高，有部分粒子
获得能量从 f以下能态跃迁到 f
0
1 p 1
p 1 f
n1
2
kT
2n
1
1 22n1
2n
d 2n
d
2n f
p 1 f
2 2
6
4
4
9
UESTC
应用积分公式
E
3 5
NE
f
0
1
5
12
2
kT Ef0
2
电子平均能量
E
E N
3 5
EF 0
2
4
kT
kT EF 0
UESTC
4、费米面
k空间中，能量为EF，即半径为 KF
以上能态。但无论温度多高，
T=0 T >0
εf ε
在
能态被粒子占据的几率始终为 1
f
2
。
UESTC
2、电子能量
dE FFD g d
T = 0 电子总能量
EF0
1
5
E0
c
2 d
22 5 cEF0
0
UESTC
T ≠0
积分公式
E
0
e
1 EF / kT 1
c 1 / 2d
固体物理 课后习题解答(黄昆版)第四章
4.1，根据 k黄昆 固体物理 习题解答第四章 能带理论= ± π 状态简并微扰结果，求出与 E − 及 E +相应的波函数ψ − 及ψ+?，并说明它 a们的特性．说明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布 ψ2说明能隙的来源(假设V n =V n *)。
＜解＞令 k= + π ， k ′ = − π ，简并微扰波函数为ψ=A ψk( ) + B ψk( )a*a⎡E k ( ) − E A V B n= 0( )V A n+ ⎡E k − E B =取 E E +带入上式，其中 E += E k0( )+ V nV(x)<0,V n < 0 ,从上式得到 于是A ⎡ n π− n π ⎤πψ = A ⎡ψ 0( )−ψk0′( )⎤ =ixe a − e i x a =2A sin n x+⎣k⎢ L ⎣⎥ ⎦L a 取 E E − ， E −=E k0( )− V nV A n= −V B n,得到A BA ⎡ i nπx−i n πx⎤πψ = A ⎡ψ 0( )−ψk0′( )⎤ =e a − ea=2A cos n x−⎣ k⎦⎢ ⎣L a由教材可知，Ψ+及 Ψ − ν ( ) 为零．产生驻波因为电子波矢n kπ=时，电子波的波长aλ =2π=2a ，恰好满足布拉格发射条件，这kn时电子波发生全反射，并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同代入 能量。
4.2,写出一维近自由电子近似，第 n 个能带(n=1，2，3)中，简约波数 k π= 的 0 级波函数。
2a11r2π1π 2π1i2π1xi mx i x i mx(m+ )ψ* ＜解＞( ) = ikx=eikx ae e= e2a⋅ea= e a 4k L⋅π=L*Lπ1 i2xL第一能带：m0, m = 0,ψ( ) = e a2ab b′则b′ →,k2π⋅= −L2π, m= −1,i2πx i π∴ψ *( )= 13πi xe第二能带：a a即（e a=e ）2a k L2a2π2π 1 π2π 1 5π第三能带：c′ →, ⋅=aa即m =,*1,ψk( ) = Li x i xe2a⋅ea= L i xe2a解答（初稿）作者季正华- 1 -4.3 电子在周期场中的势能．黄昆 固体物理 习题解答1 2 2 2 2 m ω ⎡b − −( x na ⎤) ,当na b x na b + V x ( ) =0 ，当(n-1)a+b ≤ ≤x na b −其中 d ＝4b ， ω 是常数．试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带 度．＜解＞(I)题设势能曲线如下图所示．(2)势能的平均值：由图可见， V x ( ) 是个以 a 为周期的周期函数，所以V x ( )= 1∫ V x L( )=1∫a( )=1a b( )L a ba ∫−b题设 a = 4b ，故积分上限应为 a b − = 3b ，但由于在 [b b ,3 ] 区间内[− , ] 区间内积分．这时， n = 0 ，于是V x ( ) 0=，故只需在= 1∫b= m ω2∫b22=m ω2 ⎡ 2b− 1x 3b ⎤ = 1m ωb 2V( )b − x dx )( b x ⎢ −b −b⎥ 。
2010-2011(1)《固体物理》试卷B附答案
c/2 a 2r
原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应 该和内部原子有所差别。考虑到边界对内部原子振动状态的影响，波恩 和卡门引入了周期性边界条件。其具体含义是设想在一长为的有限晶体 边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子 的运动情况一样，即第个原子和第个原子的运动情况一样，其中＝1， 2，3…。 引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢只能取一些分立的 不同值。 如果晶体是无限大，波矢的取值将趋于连续。 4、金属自由电子论作了哪些假设？得到了哪些结果？ 解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如 同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来 描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量 子的费米－狄拉克统计。根据这个理论，不仅导出了魏德曼－佛兰兹定 律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。 5、简立方、面心立方、体心立方的基本特征： 简立方的基本特征：晶胞常数为a，包括一个原子，半径为r，点阵内最 近原子距离为a，配位数为6。故，则致密度为： 面心立方基本特征： 晶胞常数为a，包括四个原子，半径为r，点阵内最近原子距离为，配位 数为12。故，则致密度为： 体心立方基本特征： 晶胞常数为a，包括两个原子，半径为r，点阵内最近原子距离为，配位 数为8。故，则致密度为： 密排六方基本特征：晶胞常数为a，包括六个原子，半径为r，点阵内最 近原子距离为 a=2r，配位数为12。，则， 则致密度为：
三、已知由个相同原子组成的一维单原子晶格格波的态密度可表示为
（15） 。 式中是格波的最高频率。求证它的振动模总数恰好等于。 解：由题意可知该晶格的振动模总数为 (3分) （2分） （5分） 四、由个原子（离子）所组成的晶体的体积可写成。式中为每个原子 （离子）平均所占据的体积；为粒子间的最短距离；为与结构有关的常 数。试求下列各种结构的值：求：简单立方点阵；面心立方点阵；体心 立方点阵；金刚石点阵； NaCl点阵；（15分） 解：（1）在简单立方点阵中，每个原子平均所占据的体积，故； （2）在面心立方点阵中，每个原子平均所占据的体积，故； （3）在体心立方点阵，每个原子平均所占据的体积，故； （4）在金刚石点阵中，每个原子平均所占据的体积，故； （5）在NaCl点阵中，每个原子平均所占据的体积；故。
固体物理吴代鸣第四章习题答案
23
1300
1 . 79 10
8
二者差约
Байду номын сангаас
3 个量级。
4 2 试求产生 热容的贡献。
解：产生
n 个肖脱基缺陷后晶体体
积的变化以及对晶体
n 个肖脱基缺陷就意味着
有 n 个原子从晶体内移动 N 个增加到 N n 个，
到表面上，这样，晶格
的格点就由原来的
令原来的晶体体积为
V 0，那么每个原子所占的
4－ 1铜的空位形成能约为 试估计接近熔点（ 两者的数量级。
1 . 26 eV ，间隙原子的形成能约
为 4 eV ，
1300 K ）时空位和间隙原子的
浓度，并比较
解：对于空位，主要由
u k BT
肖脱基缺陷引起，
n 空 Ne
空位浓度
n空 N
u k BT
e
e
1 . 26 1 . 6 10 1 . 38 10
体积为
V0 N
，
后来的体积
n V V0 n V0 1 N N V0
体积变化为
V V0
V0 N
n
能量变化为 nu ，
产生 n 个肖脱基缺陷，晶体的
而 CV
E T V
CV
n E nu u T T V T V
23
19
1300
1 . 32 10
5
对于间隙原子，由夫伦
1 u 2 k BT
克尔缺陷引起：
u 2 k BT
n 间 ( NN ) 2 e
'
固体物理答案第四章1
化简为习惯的表示式
E0
3 5
EF0
4.8 对于单位面积的样品，二维电子气的状态密度为g 4m
h2
试求二维电子气的比热。
解： 设g(E)为单位体积样品的状态密度，当系统由0K加热直至 温度T时， 它的总能量
ET
4m
Ef (E)g(E)dE
0
h2
2m
Ef (E)dE
0
h2
E 2 f (E) dE
k 空间中，状态密度等于V，计入自旋，在波矢 k ~ k dk
的球壳内的状态数为 2V 4k 2dk ， 由此得到，费密球内
电子的总能量
E0
k kF
h2k 2 2m
2V
4k 2dk
式中 kF 是费密球半径。当V比较大时，波矢 k 在 k 空间的
分布非常密集，可以看作准连续，上式的求和可用积分代替，
L 因而在波矢空间每个状态的代表点占有面积为
2π
2
。
L
在k
~
k
dk 面积元
dk
dk x dk y
中含有的状态数为
L 2π
2
dk 。
每个波矢状态可容纳自旋相反的两个电子，则在面积元 dk 中
容纳电子数为
dz 2
L
2
dk
2
L
2 2 π kdk
2π
2π
又
E 2k2 2m
dE 2k dk m
所以E到E+dE之间的状态数
4π
L 2
2π
m 2
dE
L2m π 2
dE
（2）在E到E+dE内的电子数为dN
dN f Edz
固体物理第四章答案
y
b1+b2 b2 3 2 1 b1
2 a
-b1
2 a
-b2
x
-b1-b2
4.11设一维晶体晶格常数为a，系统的哈密顿量为 其中
H
2 d2
2m dx
2
V ( x),
V ( x) A ( x la)
l 1
N
若已知孤立原子的势和波函数为
Va A ( x la), a a e
J1 * [V ( x) Va ]a dx a
Na
* ( x na)[ A ( x na) A ( x na a )] a ( x na a )dx a
Na n 1
N
* ( x na)[ a
Na
n n1
1一维周期场中电子的波函数
满足 k ( x ) Bloch定理，若晶格常数为a的电子波函数为：
(a) k ( x) sin
x
a 3 x a
(b) k ( x) i cos (c) k ( x)
l
f ( x la)
试求电子在这些态的波失。
jka 解：根据Bloch定理 k ( x a) e k ( x) 可得：
Na N Na n 1 N
* ( x na)[ A ( x na) A ( x na)]a ( x na)dx a * ( x na)[ A ( x na) ]a ( x na)dx a
Na n n
根据 函数的性质，上式的值为0。而积分
=-U 上面计算中取 kn (
2 2 , ) ，Brayy 反射出现的第一布里渊区的四个顶点处。能隙为 2U。
固体物理 4 2011
4.3 金属中电子气的热容量 洛伦兹把金属中的自由电子看作是理想气体，服从经典 的统计规律(麦克斯韦-玻耳兹曼分布)。按能量均分定理， N个自由电子有3N个自由度，它们对热容量的贡献是 3NkB/2，同晶格振动的贡献相比是同数量级的。 但是，实验上金属的电子比热只有这个数值的百分之一 左右。这个困难是索末菲解决的，困难的由来是自由电子 并不服从经典的麦克斯韦-玻耳兹曼分布，故应当用费密狄喇克分布。
該波函數的邊界條件定位在金屬表面。若我們將金屬表面的 位置設定成波函數之值為零的話﹐我們將可以得到一個駐波 之條件。 由於晶格的周期特質﹐我們通常用周期性边界条件，
(2)
駐波條件 在駐波條件下，电子的波函数是
Asin k x x sin k y y sin k z z
式中A是归一化常数。电子的能量
Vc L dZ 2 dk dk 3 4 2
3
其中Vc是晶体的体积
自由电子的能量
2 k 2 2 2 2 E kx k y k z2 2m 2m
(8)
在k空间，自由电子能量等于某个定值的曲面是一个球面， 其 半径是 2m E k 在能量 E 到 E+dE 之间的区域 是半径为 k 和 k+dk 两个球面之 间的球壳层，它的体积是 4k2dk 其中的状态数目为
Vc 2 dZ 4 k dk 3 4
能级密度
dZ 2m 4Vc dE
3/ 2
E1/ 2
(10)
自由电子气的能级密度和能量的关系显然这是一条抛物线
4.2 电子气的费密能量 电子气体中的电子满足泡利不相容原理，它们服从费密-狄 喇克统计，即在热平衡时，电子处在能量为E的状态的几率 是
春季-固体物理-第四章习题解答参考解析PPT精品课件
k 2 a n 1 ,n 0 , 1 , 2 ,
k 2 n 1 , n 0 , 1 , 2 , a
在第一布里渊区内，ka，,a得到，
0
2021/3/1
k
a
a
k
a
1
（2）
电子波函数 k(x)ico3sax
k(xa)icos3a(xa)icos3ax3
ico3sxco3sisin3xsin3
一组 (k1,k2代,k表3一) 个电子状态点，波矢点均匀分布。
b3
b2
b1 波矢空间原胞体积，
k N b 1 1 N b 2 2 N b 3 3 N 1 ( 2 ) 3 ( 2 V ) 3
波矢密度，
2021/3/1
k
V
(2 )3
9
4.4 用能带图说明导体、绝缘体、半导体的导电性质
电阻率 半导体
价带
0
T1
T2
温度 14
4.5
E (k)m 2 2 8 7 a co k)s a8 1 (co 2 ks ) a (
（1） 由极值条件找到极值点，
d d E k m 2 2 a a sikn ) a a 4 ( si2 k n ) a (0
sikn ) a ( 1 si2 k n)a (sikn ) a ( 1 2 sikn )c a (o k)a s(
i 1,2,3
7
eikNiai 1
kN ia i2h i
k1
2 h1
N1a
k2
2 h2
N2a
k3
2 h3
N3a
(h1 0, 1, 2, ) (h2 0, 1, 2, ) (h3 0, 1, 2, )
固体物理(2011) - 第4章 能带论 2 近自由电子近似方法
没有具体势能形式的推导
1d
缺点：抽象，不适合于多数同学。
3d
微扰论
能带结构，能隙
与布洛赫定理的吻合
重要实例：1d Kronig-Penney model严格解
新的思路：从傅里叶分解的第一个开始做起！
推导的故事梗概
1d， H = H0 + V, H0 为自由电子, 解为平面波, 能谱 E0(k) ~ k 2 微扰论求 V 的贡献，一阶、二阶修正, 能看见"布洛赫定理" 非简并微扰论在1st BZ边界出了问题？？？能量修正出现发散！！
电子的k不在pna附近时与k状态相互作用的其它态的能量与k状态的零级能量相差大即满足抛物线当电子的两种情形时微扰计算中只考虑以上两种状态之间的相互作用存在一个的态和状态能量相近存在一个的态状态能量相同由于周期性势场的微扰能量本征值在处断开能量本征值在断开两个态的能量间隔电子波矢取值对于一个l有一个量子态k能量本征值当n很大时e视为准连续由于晶格周期性势场的影响晶体中电子准连续的能级分裂为一系列的能带能量本征值在处断开于金属中势场的形式能带及一般性质自由电子的能谱是抛物线型晶体弱周期性势场的微扰电子能谱在布里渊边界产生了宽度在远离布里渊区边界近自由电子的能谱和自由电子的能谱相近每个波矢k有一个量子态当晶体中原胞的数目趋于无限大时波矢k变得非常密集这时能级的准连续分布形成了一系列的能带各能带之间是禁带在完整的晶体中禁带内没有允许的能级能带序号k的范围k的长度一维布喇菲格子能带序号能带所涉及波矢k的范围和布里渊区的对应关系一维布喇菲格子能带序号波矢k和布里渊区对应关系每个能带中包含的量子态数目波矢k的取值k的数目每个能带对应k的取值范围各个能带k的取值数目原胞的数目计入自旋每个能带中包含2n个量子态近自由电子中电子的波矢在一维情形中m为整数简约波矢的取值范围平移算符本征值量子数k简约波矢计为和电子波矢k之间的关系ikxikx电子的波函数可以表示为晶格周期性函数利用电子波矢和简约波矢的关系电子在周期性势场中的波函数为布洛赫函数用简约波矢来表示能级电子的能级m为整数第一能带位于简约布里渊区其它能带可以通过倒格矢移到简约布里渊区每一个能带在简约布里渊区都有各自的图像得到所有能带在简约布里渊区的图像简约波矢的取值被限制在简约布里渊区要标志一个状态需要表明
固体物理第四章习题及答案
第四章 晶体的缺陷思 考 题1.设晶体只有弗仑克尔缺陷, 填隙原子的振动频率、空位附近原子的振动频率与无缺陷时原子的振动频率有什么差异？[解答]正常格点的原子脱离晶格位置变成填隙原子, 同时原格点成为空位, 这种产生一个填隙原子将伴随产生一个空位的缺陷称为弗仑克尔缺陷. 填隙原子与相邻原子的距离要比正常格点原子间的距离小，填隙原子与相邻原子的力系数要比正常格点原子间的力系数大. 因为原子的振动频率与原子间力系数的开根近似成正比, 所以填隙原子的振动频率比正常格点原子的振动频率要高. 空位附近原子与空位另一边原子的距离, 比正常格点原子间的距离大得多, 它们之间的力系数比正常格点原子间的力系数小得多, 所以空位附近原子的振动频率比正常格点原子的振动频率要低.2.热膨胀引起的晶体尺寸的相对变化量L L /∆与X 射线衍射测定的晶格常数相对变化量a a /∆存在差异， 是何原因？[解答]肖特基缺陷指的是晶体内产生空位缺陷但不伴随出现填隙原子缺陷, 原空位处的原子跑到晶体表面层上去了. 也就是说, 肖特基缺陷将引起晶体体积的增大. 当温度不是太高时, 肖特基缺陷的数目要比弗仑克尔缺陷的数目大得多. X 射线衍射测定的晶格常数相对变化量a a /Δ, 只是热膨胀引起的晶格常数相对变化量. 但晶体尺寸的相对变化量L L /Δ不仅包括了热膨胀引起的晶格常数相对变化量, 也包括了肖特基缺陷引起的晶体体积的增大. 因此, 当温度不是太高时, 一般有关系式L L Δ>a aΔ.3.KCl 晶体生长时，在KCl 溶液中加入适量的CaCl 2溶液，生长的KCl 晶体的质量密度比理论值小，是何原因？[解答]由于+2Ca 离子的半径(0.99o A )比+K 离子的半径(1.33oA )小得不是太多, 所以+2Ca 离子难以进入KCl 晶体的间隙位置, 而只能取代+K 占据+K 离子的位置. 但+2Ca比+K 高一价, 为了保持电中性(最小能量的约束), 占据+K 离子的一个+2Ca 将引起相邻的一个+K 变成空位. 也就是说, 加入的CaCl 2越多, +K 空位就越多. 又因为Ca 的原子量(40.08)与K 的原子量(39.102)相近, 所以在KCl 溶液中加入适量的CaCl 2溶液引起+K 空位, 将导致KCl 晶体的质量密度比理论值小.4.为什么形成一个肖特基缺陷所需能量比形成一个弗仑克尔缺陷所需能量低?[解答]形成一个肖特基缺陷时，晶体内留下一个空位，晶体表面多一个原子. 因此形成形成一个肖特基缺陷所需的能量, 可以看成晶体表面一个原子与其它原子的相互作用能, 和晶体内部一个原子与其它原子的相互作用能的差值. 形成一个弗仑克尔缺陷时，晶体内留下一个空位，多一个填隙原子. 因此形成一个弗仑克尔缺陷所需的能量, 可以看成晶体内部一个填隙原子与其它原子的相互作用能, 和晶体内部一个原子与其它原子相互作用能的差值. 填隙原子与相邻原子的距离非常小, 它与其它原子的排斥能比正常原子间的排斥能大得多. 由于排斥能是正值, 包括吸引能和排斥能的相互作用能是负值, 所以填隙原子与其它原子相互作用能的绝对值, 比晶体表面一个原子与其它原子相互作用能的绝对值要小. 也就是说, 形成一个肖特基缺陷所需能量比形成一个弗仑克尔缺陷所需能量要低.5.金属淬火后为什么变硬?[解答]我们已经知道 晶体的一部分相对于另一部分的滑移, 实际是位错线的滑移, 位错线的移动是逐步进行的, 使得滑移的切应力最小. 这就是金属一般较软的原因之一. 显然, 要提高金属的强度和硬度, 似乎可以通过消除位错的办法来实现. 但事实上位错是很难消除的. 相反, 要提高金属的强度和硬度, 通常采用增加位错的办法来实现. 金属淬火就是增加位错的有效办法. 将金属加热到一定高温, 原子振动的幅度比常温时的幅度大得多, 原子脱离正常格点的几率比常温时大得多, 晶体中产生大量的空位、填隙缺陷. 这些点缺陷容易形成位错. 也就是说, 在高温时, 晶体内的位错缺陷比常温时多得多. 高温的晶体在适宜的液体中急冷, 高温时新产生的位错来不及恢复和消退, 大部分被存留了下来. 数目众多的位错相互交织在一起, 某一方向的位错的滑移, 会受到其它方向位错的牵制, 使位错滑移的阻力大大增加, 使得金属变硬.6.在位错滑移时, 刃位错上原子受的力和螺位错上原子受的力各有什么特点?[解答]在位错滑移时, 刃位错上原子受力的方向就是位错滑移的方向. 但螺位错滑移时, 螺位错上原子受力的方向与位错滑移的方向相垂直.7.试指出立方密积和六角密积晶体滑移面的面指数.[解答]滑移面一定是密积面, 因为密积面上的原子密度最大, 面与面的间距最大, 面与面之间原子的相互作用力最小. 对于立方密积, {111}是密积面. 对于六角密积, (001)是密积面. 因此, 立方密积和六角密积晶体滑移面的面指数分别为{111}和(001).8.离子晶体中正负离子空位数目、填隙原子数目都相等, 在外电场作用下, 它们对导电的贡献完全相同吗?[解答]由(4.48)式可知, 在正负离子空位数目、填隙离子数目都相等情况下, −+B A 离子晶体的热缺陷对导电的贡献只取决于它们的迁移率μ. 设正离子空位附近的离子和填隙离子的振动频率分别为+v A ν和+i A ν, 正离子空位附近的离子和填隙离子跳过的势垒高度分别为+v A E 和+i A E , 负离子空位附近的离子和填隙离子的振动频率分别为−v B ν和−i B ν, 负离子空位附近的离子和填隙离子跳过的势垒高度分别−v B E 为−iB E , 则由(4.47)矢可得 T k E B A A B v A v v e Tk ea /2+++−=νμ, Tk E B A A B i A i i e T k ea /2+++−=νμ,T k E B B B B v B v v e Tk ea /2−−−−=νμ, Tk E B B B B i B i i e T k ea /2−−−−=νμ.由空位附近的离子跳到空位上的几率, 比填隙离子跳到相邻间隙位置上的几率大得多, 可以推断出空位附近的离子跳过的势垒高度, 比填隙离子跳过的势垒高度要低, 即+v A E <+i A E , −v B E <−i B E . 由问题 1.已知, 所以有+v A ν<+i A ν, −v B ν<−i B ν. 另外, 由于+A 和−B 的离子半径不同, 质量不同, 所以一般−+≠B A E E , −+≠B A νν.也就是说, 一般−−++≠≠≠i v i vB B A A μμμμ. 因此, 即使离子晶体中正负离子空位数目、填隙离子数目都相等, 在外电场作用下, 它们对导电的贡献一般也不会相同.9.晶体结构对缺陷扩散有何影响?[解答]扩散是自然界中普遍存在的现象, 它的本质是离子作无规则的布郎运动. 通过扩散可实现质量的输运. 晶体中缺陷的扩散现象与气体分子的扩散相似, 不同之处是缺陷在晶体中运动要受到晶格周期性的限制, 要克服势垒的阻挡, 对于简单晶格, 缺陷每跳一步的间距等于跳跃方向上的周期.10.填隙原子机构的自扩散系数与空位机构自扩散系数, 哪一个大? 为什么？[解答]填隙原子机构的自扩散系数 Tk E u B ae D /)(0222221+−=ν,空位机构自扩散系数Tk E u B ae D /)(0111121+−=ν.自扩散系数主要决定于指数因子, 由问题4.和8.已知, 1u <2u ,1E <2E , 所以填隙原子机构的自扩散系数小于空位机构的自扩散系数.11.一个填隙原子平均花费多长时间才被复合掉? 该时间与一个正常格点上的原子变成间隙原子所需等待的时间相比, 哪个长?[解答]与填隙原子相邻的一个格点是空位的几率是N n /1, 平均来说, 填隙原子要跳1/n N 步才遇到一个空位并与之复合. 所以一个填隙原子平均花费T k E u B e n N t /)(0221211+==ντ的时间才被空位复合掉.由(4.5)式可得一个正常格点上的原子变成间隙原子所需等待的时间T k E u u B e n n N P /)(022********++===νττ.由以上两式得2/2n Ne t T k u B ==τ>>1.这说明, 一个正常格点上的原子变成间隙原子所需等待的时间, 比一个填隙原子从出现到被空位复合掉所需要的时间要长得多.12.一个空位花费多长时间才被复合掉？[解答]对于借助于空位进行扩散的正常晶格上的原子, 只有它相邻的一个原子成为空位时,它才扩散一步, 所需等待的时间是1τ. 但它相邻的一个原子成为空位的几率是N n /1, 所以它等待到这个相邻原子成为空位, 并跳到此空位上所花费的时间T k E u B e n N t /)(0111111+==ντ.13.自扩散系数的大小与哪些因素有关?[解答]填隙原子机构的自扩散系数与空位机构自扩散系数可统一写成RTN T k e a e a D B /20/2002121εενν−−==.可以看出, 自扩散系数与原子的振动频率0ν, 晶体结构(晶格常数a ), 激活能(ε0N )三因素有关.14.替位式杂质原子扩散系数比晶体缺陷自扩散系数大的原因是什么?[解答]占据正常晶格位置的替位式杂质原子, 它的原子半径和电荷量都或多或少与母体原子半径和电荷量不同. 这种不同就会引起杂质原子附近的晶格发生畸变, 使得畸变区出现空位的几率大大增加, 进而使得杂质原子跳向空位的等待时间大为减少, 加大了杂质原子的扩散速度.15.填隙杂质原子扩散系数比晶体缺陷自扩散系数大的原因是什么?[解答]正常晶格位置上的一个原子等待了时间τ后变成填隙原子, 又平均花费时间21τn N后被空位复合重新进入正常晶格位置, 其中2τ是填隙原子从一个间隙位置跳到相邻间隙位置所要等待的平均时间. 填隙原子自扩散系数反比于时间21ττn N t +=.因为τ>>21τn N ,所以填隙原子自扩散系数近似反比于τ. 填隙杂质原子不存在由正常晶格位置变成填隙原子的漫长等待时间τ, 所以填隙杂质原子的扩散系数比母体填隙原子自扩散系数要大得多.16.你认为自扩散系数的理论值比实验值小很多的主要原因是什么？[解答]目前固体物理教科书对自扩散的分析, 是基于点缺陷的模型, 这一模型过于简单, 与晶体缺陷的实际情况可能有较大差别. 实际晶体中, 不仅存在点缺陷, 还存在线缺陷和面缺陷, 这些线度更大的缺陷可能对扩散起到重要影响. 也许没有考虑线缺陷和面缺陷对自扩散系数的贡献是理论值比实验值小很多的主要原因.17.−+B A 离子晶体的导电机构有几种?[解答]离子晶体导电是离子晶体中的热缺陷在外电场中的定向飘移引起的. −+B A 离子晶体中有4种缺陷: +A 填隙离子, −B 填隙离子, +A 空位, −B 空位. 也就是说, −+B A 离子晶体的导电机构有4种. 空位的扩散实际是空位附近离子跳到空位位置, 原来离子的位置变成了空位. −+B A 离子晶体中, +A 空位附近都是负离子, −B 空位附近都是正离子. 由此可知, +A 空位的移动实际是负离子的移动, −B 空位的移动实际是正离子的移动. 因此, 在外电场作用下, +A 填隙离子和−B 空位的漂移方向与外电场方向一致, 而−B 填隙离子和+A 空位的漂移方向与外电场方向相反.。
固体物理基础(第2版) 第4章
4.1 经典自由电子论
人们在金属的使用过程中很早就发现金属是热和电 的良导体。1826年， 德国物理学家欧姆（G.S.Ohm）在 研究不同金属丝导电性的强弱时发现了欧姆定律， 1853 年， 德国物理学家维德曼（G.H.Wiedemann）和夫兰兹 （R.Franz）发现， 在一定温度下， 许多金属的热导率 和电导率的比值都是一个常数（维德曼—夫兰兹定律）。 金属为什么容易导电和导热， 如何解释所发现的这些定 律， 都成了当时物理学家极其关心的问题。
4.1.2 欧姆定律的解释 经典自由电子论认为，在无外电场的情况下，金属中的 每个电子作无规则的热运动，同时不断地与离子实发生碰撞。 由于电子与离子实碰撞后的运动方向是随机和杂乱无章的， 因此金属中不存在电流。 若将金属置于外电场E中，金属中的自由电子就会在外 电场作用下，不断沿电场方向加速运动，同时也不断地受到 离子实的碰撞而改变运动方向，结果，电子只能在原有的平 均热运动速度的基础上沿电场方向获得一个额外的附加平均 速度v（漂移速度）。这时，作用在每个电子上的力除电场 力(－eE)外，还有由于碰撞机制所产生的平均阻力－(mv/τ)， 其中，e、m分别是电子的电量与质量，τ是电子两次碰撞之 间的平均自由时间。根据牛顿定律, 有
固体物理(2011) - 第4章 能带论 5 能带电子的态密度
X射线光电子能谱（X-ray photoelectron spectroscopy，XPS）
X射线光电子能谱（X-ray photoelectron spectroscopy，XPS）
是一种用于测定材料中元素构成、实验式，以及其中所 含元素化学态和电子态的定量能谱技术。这种技术用X 射线照射所要分析的材料，同时测量从材料表面以下1 纳米到10纳米范围内逸出电子的动能和数量，从而得到 X射线光电子能谱。X射线光电子能谱技术需要在超高 真空环境下进行。
1914年开始，西格班从对电磁学的研究转向X射线光谱学。为此， 他在隆德大学创建了著名的光谱学实验室。1921年，他设计了研 究光谱用的真空分光镜。他先把要分析鉴定的材料涂在X射线管 的阳极板上做为靶标，再用阴极发出的电子去冲击阳极板，使其 受激发，发出标识X射线。然后，用他所发明的分光镜来观察X 射线光谱，并用摄谱仪摄下光谱照片。利用这种方法，他测量、 分析并确定了92种元素的原 子所发射的标识X射线。这些元素的 X射线标识谱间的相对简易性和紧密相似性使他确信这些辐射起 源于原子内部而与外围电子结构所支配的复杂光谱线及化学性质 无关。他证明了巴克拉发现的K辐射与L辐射的确存在。另外，他 还发现了另一谱线系，即M系。西格班光谱仪的高度分辨率显示 了莫塞莱所发现的K谱线为双线。他在L系中发现了28条谱线， 在M系中发现了24条谱线。他的工作支持波尔等科学家关于原子 内电子按照壳层排列的观点。
V Z dSdk 3 ( 2 )
两个等能面间垂直距离 dk
V dS 能态密度 N ( E ) (2 )3 k E
V dS 考虑到电子的自旋，能态密度 N ( E ) 2 (2 )3 k E
公式的来源：
• 求解热力学量时需要
固体物理 第四章(1)Bloch定理
i
ˆ H i i r i Ei i r i
（4-9）
所有电子都满足薛定谔方程，可略去下标。只要解得 i r i , Ei ，便可得
到晶体电子体系的电子状态和能量，使一个多电子体系的问题简化成一 个单电子问题，所以上述近似也称为单电子近似。
周期势场假设
而并不考虑其它电子的具体运动情况
单电子近似并非所研究的系统只有一个电子。系统可以有多个 电子，但是波函数十单电子的波函数，多个单电子方程。但所 有单电子都满足同样的方程，因此这个单电子方程的解对所有 电子都适用，是所有电子的解。 如果该近似用到不满足这个近似的体系——强关联体系，会出 现反常现象。
4.2 能带理论的基本假设
假设在体积V=L3中有N个带正电荷Ze的离子实，相应地有NZ个价电 子，那么该系统的哈密顿量为：
2 2 1 / e2 ˆ H i 2 i , j 4 0 r i r j i 1 2m
NZ NZ N 2 2 1 ( Ne) 2 Ze 2 / n 2 i , j 4 0 R n R m i 1 n 1 4 0 r i R n i 1 2 M ˆ ˆ Te U ee r i r j Tn U nm R n R m U en r i R n N
（4-12）
的本征函数是按布拉菲格子周期性调幅的平面波，即
k
且
ik r r e uk r
（4-13）
在周期势场中运动的单电子的波函数不再 是平面波，而是调幅平面波，其振幅不再
uk r R n uk r
固体物理第二、四、五章-电子论复习与习题
(kBT
)2
'
(
EF0
)
1
一维： ( E )
dZ ( E)
L(2m) 2
1
E2
1
CE 2
dE
'
(
E
)
1
CE
3 2
2
3
三维： ( E )
dZ ( E ) dE
V (2m)2 2 23
1
E2
1
CE 2
'(E)
1
1
CE 2
2
EF
EF0
6(
2
EF0
)
(kBT
体中狭窄的内壳层能带的粗略近似，例如，过渡金属的3d能带。
电子论复习 第四章 电子能带论
3、紧束缚近似
（2）紧束缚的计算
例：用紧束缚方法处理体心立方晶系，求出： 1）s态电子能带；2）画出第一布里渊区[111]方向的能带曲线； 解：对于体心立方，参考点为（0，0，0），则有8个最近邻
( a , a , a) 222
（3）T=0K时的计算
系统的自由电子总数为
N
0
f
E
E
dE
系统的总能量：
U0
Ef E E dE
0
EF0
h2 2m
3
2
N V
2
3
h2 2m
3 2n
2 3
电子论复习 第二章 自由电子论
2、Sommerfeld展开的应用
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第四章 固体电子论 参考答案
1. 导出二维自由电子气的能态密度。
解：
二维情形，自由电子的能量是：
2
2
2
22
()()
22x y k E k k m
m
=
=
+k
2πL
x x
k n =
，
2πL
y y
k n =
在/k =
到d k k +区间：
22
2
2
2
d 2d 2π(2π)
2π
πS L
m L Z kdk dE
=⋅
=
⋅=
k
那么：2d ()d Z Sg E E
=
其中：22
()πm g E =
2. 若二维电子气的面密度为n s ，证明它的化学势为：
2π()ln exp 1s B B n T k T m k T μ⎡⎤⎛⎫
=-⎢⎥
⎪⎝⎭⎣⎦
解：由前一题已经求得能态密度：
22
()πm g E =
电子气体的化学势μ由下式决定：
()()2
2
2
E-/E-/0
1d ()d πe
1
e
1
B B k T
k T
L m
E N g E L
E μμ∞∞=
=++⎰
⎰
令()/B E k T
x
μ-≡，并注意到：
2
s N
n L =
()1
2
/1d πB x
B s k T
k T m
n e
x
μ-∞-=
+⎰
()
2
/d π1B x B x
x
k T
k Tm e e
e μ∞
-=
+⎰
2
/ln
π1
B
x
B x
k T
k T m e
e μ∞
-=
+
()/2
ln 1πB k T
B k T m e
μ=
+
那么可以求出μ：
2π()ln exp 1s B B n T k T m k T μ⎡⎤⎛⎫
=-⎢⎥
⎪⎝⎭⎣⎦
证毕。
3. He 3是费米子，液体He 3
在绝对零度附近的密度为0.081 g ／cm 3。
计算它的费米能E F 和费米温度T F 。
解：He 3
的数密度：
N N M N n V M V
M
m
ρ
ρ=
=⋅=⋅
=
其中m 是单个He 3
粒子的质量。
()1
1
23
2
3
3π3πF k n m ρ⎛⎫== ⎪⎝⎭
可得：
2
2
22
322/3
3π(3)
22F E n m
m m ρπ⎛⎫=
= ⎪⎝⎭
代入数据，可以算得： E F ＝6.8x 10-16
erg = 4.3x 10-4
eV .
则：F
F E T k =＝4.97 K.
4.已知银的密度为3
10.5/g cm ，当温度从绝对零度升到室温（300K ）时，银金属中电子的费米能变化多少？
解：银的原子量为108，密度为3
10.5/g cm ，如果1个银原子贡献一个自由电子，1摩尔
物质包含有6.022x 1023
个原子，则单位体积内银的自由电子数为
223
23
10.5
5.910()
108/6.02210
n cm
m
ρ
-=
=
=⨯⨯
在T=0K 时，费米能量为
2
02/3
328F
h
n
E
m π
=
（）
代如相关数据得
2/3
2722273
028
12
(6.6310
)()3 5.910()29.110()8 3.148.8710
() 5.54()
F
erg s cm
E
g erg eV -----⎛⎫
⨯⋅⨯⨯=
⎪⨯⨯⨯⎝
⎭
≈⨯≈
在≠T
0K
时，费米能量
2
02
0]12B F F
F
K T
E E E π
=[1-（）
所以，当温度从绝对零度升到室温（300K ）
时, 费米能变化为
2
02
012B F F
F
k T
E E E π
-=-（）
代如相关数据得
4
F F
E E -⨯⨯-⨯≈⨯≈2-16
2
-12
-16
3.14(1.3810300)
=-12
8.8710
-1.610(erg)-10（eV ）
可见，温度改变时，费米能量的改变是微不足道的。
5. 已知锂的密度为3
0.534/g cm
，德拜温度为
370K ，试求
（1）室温（300K ）下电子的摩尔比热； （2）在什么温度下，锂的电子比热等于其晶格比热？
解：（1）金属中每个电子在常温下贡献的比热
2
'0(
)
2
B V
B F
k T C
k E
π
=
（1）
式中0
F
E 为绝对零度下的费米能：
2
02/3
3(
)
28F
h
n
E
m π
=
（2）
锂的密度3
0.534/g cm ，原子量6.94，每立方厘米锂包含的摩尔数为0.534/6.94，1摩尔物
质中包含6.022x 1023个原子，每个锂贡献一个电子，则每立方厘米中的电子数
2
3
223
0.5346.022
104.6310
(
6.94
n c m -
=⨯⨯=⨯
已知
28
27
9.110
6.6310
m g h erg s
--=⨯=⨯⋅
将数据代入（2）得
2
7
222
2812
(6.6310)3 4.6310
29.1108 3.147.5710() 4.7()
F
E erg eV ---⎛⎫
⨯⨯⨯= ⎪⨯⨯⨯⎝
⎭
≈⨯≈
在室温（300K ）下，0.026B
k T eV =，由（1）式可以求得电子的摩尔比热
2
'000(
)2
e B V
V
B F
k T C
N C
k N E
π
==
代入相关数据得 0.23(/)e V
C J m ol K ≈⋅
（2）电子比热只在低温下才是重要的。
在低温下，由德拜理论知道，晶格比热 ''4
3
12(
)
5
V
B D
T C k π=
Θ
依题设，'''
V
V
C
C = 把（1）式代入，即得
3
1/2
5(
)
24B D F k T E
π
Θ=
代入相关数据得 T=4.42（K ）
6. 已知长为L 的一维方阱中有N 个电子，电子的能级为
2
22
8n n h
E m L
=
.
证明，T=0K 时电子的平均能量 0
013
F
E E =
式中0
F
E 为绝对零度下的费米能。
解：
电子在能级上的填充要受泡利原理的限制。
从n=1的基态起，每个能级只能填充自旋相反的2个电子，N 个电子将填满N/2个能级。
这个最后填充的能级是绝对零度下的费米能级，因此，
2
2
2
/032⎪⎭
⎫
⎝⎛==L N m h
E E
N F
（1）
电子的平均能量总等于总能量除以电子数。
n
E 写成
222
12
8n n h
E n E m L =
=
212
8h
E m L
=
则平均能量
/2
2
011
12N n E n E N
==
∑
因N//2远大于1，我们可以用一积分代替上面的求和，并将（1）代入，即得
2
/2
2
30
101
10
2211()32323
N F
E N N E E n dn E E N
N ⎛⎫=
=== ⎪⎝⎭⎰。