您的位置：360文档中心› 线性代数第一章习题集

线性代数第一章习题集

合集下载

线性代数习题集(带答案)

线性代数习题集(带答案)

. .. .. .第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数1323211112)(x x xxx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题. .. .. .1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6．行列式=-000100002000010n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .. .. .. .16．已知行列式nn D001030102112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1. cb a db a dc a dc bd c b a d c b a d c b a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x；5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)；6. bn b b ----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 21000120000021001210001211．aa a aa a a a aD ---------=1101100011000110001.. .. .. .四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a dcbad c b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni in nn n n n n n nna aa aaaa a aa a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ;12.2-; 13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ;18.7=k 三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4. ∏-=-11)(n k k a x5. )111()1(00∑∏==-+-nk knk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ; 7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略). .. .. .第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。

线性代数第一章题库及解答

线性代数第一章题库及解答

第一章会计算反序数，掌握行列式的性质，会计算行列式，掌握克莱姆法则 第22页2.计算下列各行列式. （1）|1232121−11|=|132230100|=|323|=−6 （2）307220583 =|307−2201303| =2⋅（−1）2+2⋅|37133| =2(3×3−7×13)=−164.（3）|20000−1000030000−5|=2×(−1)×3×(−5)=30（4）|1111123413610141020|=|11110123013601410|=|111101230013014|=|1111012300130001|=1 （5）5042111141201121=|5114121301−10010| =|54231−1010|=−|523−1| =11 （6）|11111−11111−11111−1|=|11110−20000−20000−2|=−8（第一行乘-1加到下面各行）4、k 取何值时，下列齐次线性方程组仅有零解？（系数行列式不等于0） （1）{3x +2y −z =0kx +7y −2z =02x −y +3z =0 D =|32−1k7−22−13|=|32−1k −6301150|=-|k −63115|=−(5k −30−33)=−(5k −63)≠0 所以k ≠635(2){kx 1+x 2+x 3=0x 1+kx 2−x 3=02x 1−x 2+x 3=0 D =|k 111k −12−11|=|k 11k +1k +102−k −20|=(k +1)|112−k−2|=(k +1)(−2−2+k )=(k +1)(k −4)≠0 所以k ≠−1并且k ≠−4第25页4、（1）|21413−12112325062|=|2141506212325062|=0 （将第一行加到第二行后，第二行和第四行元素对应相等） （2）方法一：|1201135001561234|=|100111500156134|=|100111000106134|=3⋅(−1)4+3|101110016|=−3|10101−1016|=−3|1−116|=−21方法二：|1201135001561234|=|1201015−10156033|=|15−1156033|=3|15−1007011|=−21|1501|=−21（3）a b b bb a b b b b a bb b b a=|a +3bbb b a +3b a b b a +3b b a b a +3b b b a | =|a +3b bb b 0a −b 0000a −b 0000a −b| =(a +3b)(a −b)3 （4）x yyxx x y y yx x y+++ =|2x +2y y x 2x +2y x +y y 2x +2yx x +y |=|2(x +y)y x0x y −x 0x −y y | =2(x +y )|x y −x x −y y|=2(x +y )[xy +(x −y )2] =2(x 3+y 3) 或者：x yy x x x y y yxx y+++=1213222222x y y x c c x y x y y c c x yxx y+++++++11(22)1(22)010y x y x x y x yy x y xy x xx yx yy=++=+-+-2233(22)2()()2()x y x x y x y x xy y x y x yy-=+=+-+=+-单项选择题（1） 关于行列式，下列命题错误的是（B ）.A. 行列式第一行乘以2，同时第二列除以2，行列式的值不变 B ．互换行列式的第一行和第三行，行列式的值不变 C ．互换行列式的任意两列，行列式仅仅改变符号 D ． 行列式可以按任意一行展开（2） 关于行列式，下列命题正确的是（A ）. A. 任何一个行列式都与它的转置行列式相等B ．互换行列式的任意两行所得到的行列式一定与原行列式相等C ．如果行列式有一行的所有元素都是1，则这个行列式等于零D ． 以上命题都不对（3）下列命题错误的是（ B ）.A. 如果线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组有唯一解 B ．如果线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组无解C ．如果齐次线性方程组的系数行列式等于零，则该方程组有非零解D ．如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组只有零解 （4）排列1 6 5 3 4 2的逆序数是（ B ）.0+0+1+2+2+4=9 A. 8 B ．9 C ．7 D ． 6（5）212431235-的代数余子式12A 是（ C ）.A. 2143-- B ．2143- C ．4125--D ．4125- 2.填空题.（1）|1−221|= 5（2）|123045006|=1×4×6=24（3）若52k 74356=，则k =_7_________.（4）212431235-的余子式32M =|22−41|，代数余子式32A =−|22−41|.（5）若a c 3b d =，则2a 2c2b 2d -=--12，a 2c b 2d --=--6，2a 2cb d=---6. （6）已知k341k 000k 1-=，则k =_1或3_________.3、在四阶行列式中，确定下列各项的符号.a13a24a31a42t（3412）=2+2=4 所以a13a24a31a42的符号是正号.a34a23a41a12将行标按自然顺序排列a12a23a34a41t（2341）=1+1+1=3 所以a34a23a41a12的符号是负号.。

线性代数章节练习题

线性代数章节练习题
bc
b b2 ac
c
a
c2 a2
ab abc
b b2 abc
c c2 abc
abc
111
(a b c) a2 b2 c2 (a b c) a b c
111
a2 b2 c2
(a b c)(b a)(c a)(c b)
246 427 327 1000 427 327 1000 100 327 （2） 1014 543 443 2000 543 443 2000 100 443
D 2 0
2 7
2 0
2 0
5 3 2 2
求第四行各元素的余子式之和的值。
8 计算 n 阶行列式
x y 00 0 0 x y0 0 Dn 0 0 0x y y 0 00 x
3 1 1 9 计算行列式 D 1 5 1 。
1 1 3
3 2 2 10 计算三阶行列式 D k 1 k 。
（C） C PT AP
（D） C PAPT
13 计算
0 1 0 2007 1 2 3 0 1 0 2006 1 0 0 4 5 61 0 0 0 0 1 7 8 9 0 0 1
14 设 A 为 n 阶可逆阵，交换 A 的第 i 行与第 j 行后得到 B。 （1）证明 B 可逆；（2）求 AB-1
（C）当 n m 时，必有 AB 0
（D）当 n m 时，必有 AB 0 18 证明 R( A B) R( A) R(B)
4 1 41 则
R(BA 2A)
19 A 为 m p 矩阵，B 为 p n 矩阵，若 AB=0 证明： R( A) R(B) P
20 设 A 为 n 阶矩阵，且 A2=A，若 R( A) . 证明 R( A E) n r ，其中 E 为 n 阶单位阵

线性代数同步练习册第一章(15题,18页)

线性代数同步练习册第一章(15题,18页)

第一章 行列式1、利用对角线法则计算行列式.(1)abn b a m -.(2) 40230120.(3)38114112---. (4) 321a a a aaa .(5)yxyx x y x y y x y x+++.２、利用行列式的性质计算行列式．(1)004003002001000.（2）10315398122299331201221---.(3) 1132211313213211------.（4）3214214314324321.(5) 2100032000002100032100032.(6)vu d c y x b a 00000000.（7）yy x x -+-+1111111111111111.(8）33221111110011001b b b b b b ------.3、计算n 阶行列式(1）....0010...3010...021...321nn .（2）xa a a a x aaa a x a a a a x ............................(3) xa x a x a x a a D nn n 0...01...00..................00...000...100 (011321)---=-.4、证明：(1) 设c b a ,,为互异实数, 证明行列式:ba a c cbc b a cb aD +++=222为零的充要条件是0=++c b a .(2) 0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a .(3）bz ay by ax bx az by ax bx az bzay bxaz bz ay by ax +++++++++yxzx z yz y x b a )(33+=.5、设行列式 aa a a a a a a a D 20...0012...0000......... (000)...120000...012000 (00122)222=证明 n n a n D )1(+=.6、设5021011321011111---=D ，求14131211432A A A A +++，其中j i A 为行列式中元素j i a 的代数余子式.7、求行列式 2235007022220403--=D 的第四行各元素的余子式之和.8、如果齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧===+++++000433322111kx kx kx x x x x 有非零解, k 应取什么值?9、λ为何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧===+---++0002333222111x x x x x x x x x λλ只有零解.10、问μλ,取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧===++++++002333222111x x x x x x x x x μμλ有非零解.11、解方程02002003211121=xx x .12、利用范德蒙行列式计算行列式 （1）27181914131211111--.(2) 2222................3 (33)2 (22)1 (11)n n nD n n n =.13、用克莱姆法则解下列线性方程组 （1）⎩⎨⎧=+=+273152y x y x .(2) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+--=-+44522272532z y x z y x z y x .14、求三次多项式)(x f ，使得16)3(,3)2(,410(,0)1(====-f f f f .15、已知m 阶行列式,a A =n 阶行列式,b B =求*B AO D =的值.第一章 行列式 自测题一、选择题： 1、行列式01221≠--k k 的充分必要条件是（ ）.(A)1-≠k （B ）3≠k(C)1-≠k 且3≠k (D) 1-≠k 或3≠k2、行列式01110212=-kk的充要条件是（ ）.(A)2-=k （B ）3=k(C)2-=k 且3=k (D) 21-=k 或3=k 3、设四阶行列式0=A ，则A 中（ ）.(A) 必有一行元素全为零； (B) 必有两行元素对应成比例；(C) 必有一行元素可以表示为其余各行对应元素的线性关系； (D) 对角线上元素全为零.4、行列式8040703362205010的值为 ( ). (A) 72-； (B) 24-； (C)36-； (D)12-.二、填空题 1、设行列式12211=b a b a ，22211=c a c a ，则=++222111c b a c b a .2、设三阶行列式22=-A ，则=A .3、若三阶行列式6222321332211321=---c c c a b a b a b a a a ， 则行列式 =321321321c c c b b b a a a . 4、设100100200001000-=aa ，则=a . 5、若行列式1333231232221121211==a a a a a a a a a D ， 则行列式=---333231312322212112121111324324324a a a a a a a a a a a a .6、设3214214314324321=A , 则=+++24232221432A A A A .三、计算四阶行列式（1）dcd c b a b a 00000000.（2）1111111111111111--+---+---x x x x四、计算n 阶行列式1...12...1..................3 (11)2 (211)1...3211 (4321)x xxx x x n x x n x n n---.五、设347534453542333322212223212)(---------------=x x x x x x x x x x x x x x x x x f ，求方程0)(=x f 根的个数？六、求方程08814412211111)(32=--=x xxx f 的根.七、如果齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧===+-+++-0002333222111x x x x kx x kx x x 有非零解, k 应取什么值?八、判定方程组;.0)2(03)3(5;02)2(32132213212⎪⎩⎪⎨⎧=++=-++-=-+-x a x x x a x x x x a 是否只有零解.九、证明等式 ∑∏=≤≤≤-==414144434241242322214321)(1111i i i j j i x x x x x x x x x x x x x x x A .十、用克莱姆法则解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++1132132523z y x z y x z y x .。

线性代数习题集[带答案解析]教学提纲

线性代数习题集[带答案解析]教学提纲

线性代数习题集[带答案解析]仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢1第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数1323211112)(x x xxx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢31. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6．行列式=-000100002000010n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢410．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢516．已知行列式nn D001030102112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a db a dc a dc bd c b a d c ba d cb a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x ；仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢65. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)； 6. bn b b----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn 321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 21000120000021001210001211．aa a a a a aa a D ---------=110001100011000110001.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b adc b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢8参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4. ∏-=-11)(n k k a x5. )111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢9第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。

线性代数习题集及其答案

线性代数习题集及其答案

第一章行列式一.填空题1.四阶行列式中带有负号且包含a 12和a 21的项为______.解.a 12a 21a 33a 44中行标的排列为1234,逆序为0;列标排列为2134,逆序为1.该项符号为“－”,所以答案为a 12a 21a 33a 44.2.排列i 1i 2…i n 可经______次对换后变为排列i n i n －1…i 2i 1.解.排列i 1i 2…i n 可经过1+2+…+(n －1)=n(n －1)/2次对换后变成排列i n i n －1…i 2i 1.3.在五阶行列式中3524415312)23145()15423()1(a a a a a ττ+-=______3524415312a a a a a .解.15423的逆序为5,23145的逆序为2,所以该项的符号为“－”.4.在函数xx x x x x f 21112)(---=中,x 3的系数是______.解.x 3的系数只要考察234222x x xxx x +-=--.所以x 3前的系数为2.5.设a ,b 为实数,则当a =______,且b =______时,010100=---a b b a .解.0)(11010022=+-=--=---b a ab ba ab b a .所以a =b =0.6.在n 阶行列式D =|a ij |中,当i <j 时a ij =0(i ,j =1,2,…,n ),则D =______.解.nnn n a a a a a a a a 221121222111000=7.设A 为3×3矩阵,|A |=－2,把A 按行分块为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321A A A A ,其中A j (j =1,2,3)是A 的第j 行,则行列式=-121332A A A A ______.解.=-121332A A A A 6||33233211213=-=-=-A A A A A A A A .二．计算证明题1.设4322321143113151||-=A 计算A 41+A 42+A 43+A 44=?,其中A 4j (j=1,2,3,4)是|A |中元素a 4j 的代数余子式.解.A 41+A 42+A 43+A 441111321143113151-=210320206)1(000121013201206114--=-=+=62103202061=--2.计算元素为a ij =|i －j |的n 阶行列式.解.111111110021201110||--------=n n n n n A 每行减前一行由最后一行起，)1(2)1(1000201201121--=--------n n n n n n n列每列加第3.计算n 阶行列式nx x x nx x x nx x x D n n n n +++++++++=212121222111(n ≥2).解.当2>n n x x x n x x x n x x x D n n n n ++++++=222222111+n x x n x x n x x n n ++++++ 2121212211=n x x x x n x x x x n x x x x n n nn++++++ 33322221111+nx x x n x x x n x x x n n n++++++ 323232222111+nx x x n x x x n x x x n n n ++++++ 313131222111+nx x n x x n x x n n ++++++ 32132********=－n x x x n x x x n x x x n n n++++++ 313131222111=－n x x x n x x x n x x x n n n+++ 111222111－nx x nx x n x x n n+++ 3131312211=0当2=n 2122112121x x x x x x -=++++4.证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零.证明:||||)1(||||||,A A A A A A A nTT-=-=-==-=(n 为奇数).所以|A |=0.5.试证:如果n 次多项式nn x C x C C x f ++=10)(对n +1个不同的x 值都是零,则此多项式恒等于零.(提示:用范德蒙行列式证明)证明:假设多项式的n +1个不同的零点为x 0,x 1,…,x n .将它们代入多项式,得关于C i 方程组0010=++nn x C x C C 01110=++n n x C x C C …………10=++n n n n x C x C C 系数行列式为x 0,x 1,…,x n 的范德蒙行列式,不为0.所以010====n C C C 6.设).(',620321)(232x F xx x x x xx F 求=解.x x x x x x x F 620321)(232==x x x x x x 3103211222=x x x x x x 310201222=xxx x x 3102101222=32220021012xxx x x x =26)('x x F =第二章矩阵一.填空题1.设α1,α2,α3,α,β均为4维向量,A =[α1,α2,α3,α],B =[α1,α2,α3,β],且|A |=2,|B |=3,则|A －3B |=______.解.βαααα3222|3|321----=-B A =βαααα38321-⨯-=αααα321(8⨯-56|)|3|(|8)3321=--=-B A βααα2.若对任意n ×1矩阵X ,均有AX =0,则A =______.解.假设[]m A αα 1=,αi 是A 的列向量.对于j =1,2,…,m ,令⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010 j X ,第j 个元素不为0.所以[]m αα 10010==⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡j α (j =1,2,…,m ).所以A =0.3.设A 为m 阶方阵,存在非零的m ×n 矩阵B ,使AB =0的充分必要条件是______.解.由AB =0,而且B 为非零矩阵,所以存在B 的某个列向量b j 为非零列向量,满足Ab j =0.即方程组AX =0有非零解.所以|A |=0;反之:若|A |=0,则AX =0有非零解.则存在非零矩阵B ,满足AB =0.所以,AB =0的充分必要条件是|A |=0.4.设A 为n 阶矩阵,存在两个不相等的n 阶矩阵B ,C ,使AB =AC 的充分条件是______.解.0||0)(=⇔-=-⇔=≠A C B C B A AC AB C B 非零且且5.[]42121b b b a a a n ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=______.解.[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b a a a 212221212111421216.设矩阵12,23,3211-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=B E A A B A 则=______.解.=2A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3211⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--7841E A A B 232+-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡--7841－⎥⎦⎤⎢⎣⎡-9633+⎥⎦⎤⎢⎣⎡2002=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021221||*1==-B B B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2210=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--112107.设n 阶矩阵A 满足12,032-=++A E A A 则=______.解.由,0322=++E A A 得E E A A 3)2(-=+.所以0|3||2|||≠-=+E E A A ,于是A 可逆.由,0322=++E A A 得)2(31,03211E A A AE A +-==++--8.设)9()3(,10002010121E A E A A -+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-则=______.解.=2A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100020101⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100020101=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100040201=-E A 92⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---800050208,=+E A 3⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡400050104→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001400050104 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4100010001100050104 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-41000104101100050004 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-41000510161041100010001 ,⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=+-4100051161041)3(1E A )9()3(21E A E A -+-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-4100051161041⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---800050208=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---2000101029.设.______])2[(______,)(_______,,3342122111*1*1=-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=---A A A A 则解.|A|=－3－12+8+8+6－6=1→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----100010001334212211 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----104012001570230211 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------104031320015703210211 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----137320313203131310032103401 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----137322524933100010001 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------372252493100010001 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-3722524931A ====---||)(,||,||1*1**1A AA A A A A AA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----3342122111131*4)2(||)2()2(|2|)2(---=--=--=-A A A A A A 414)4(])2[(111*===----A A A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----33421221110.设矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=3111522100110012A ,则A 的逆矩阵1-A =______.解.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-211111121,⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-215331521使用分块求逆公式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----1111100B CAB A BC A －⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--11212153⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1173019所以⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-21117533019002100111A 二.单项选择题1.设A 、B 为同阶可逆矩阵,则(A)AB =BA(B)存在可逆矩阵P ,使B AP P =-1(C)存在可逆矩阵C ,使BAC C T=(D)存在可逆矩阵P 和Q ,使BPAQ =解.因为A 可逆,存在可逆E AQ P Q P A A A A =使,.因为B 可逆,存在可逆E BQ P Q P B B B B =使,.所以A A AQ P =B B BQ P .于是BQ AQ P P B A A B =--11令A B P P P 1-=,1-=BA Q Q Q .(D)是答案.2.设A 、B 都是n 阶可逆矩阵,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1002B A T等于(A)12||||)2(--B A n(B)1||||)2(--B A n(C)||||2B A T-(D)1||||2--B A 解.121||||)2(002---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-B A B A n T.(A)是答案.3.设A 、B 都是n 阶方阵,下面结论正确的是(A)若A 、B 均可逆,则A +B 可逆.(B)若A 、B 均可逆,则AB 可逆.(C)若A +B 可逆,则A －B 可逆.(D)若A +B 可逆,则A ,B 均可逆.解.若A 、B 均可逆,则111)(---=A B AB .(B)是答案.4.设n 维向量)21,0,,0,21( =α,矩阵ααTE A -=,ααT E B 2+=其中E 为n 阶单位矩阵,则AB =(A)0(B)－E(C)E(D)ααTE +解.AB =)(ααTE -)2(ααT E +=ααT E -+2ααT －2ααT ααT =E .)21(=ααT (C)是答案.5.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211a a a a a a a a a A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=233322322131131211232221a a a a a a a a a a a a B ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1000010101P ,设有P 2P 1A =B ,则P 2=(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101010001(B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101010001(C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010101(D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100010101解.P 1A 表示互换A 的第一、二行.B 表示A 先互换第一、二行,然后将互换后的矩阵的第一行乘以(－1)加到第三行.所以P 2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101010001.(B)是答案.6.设A 为n 阶可逆矩阵,则(－A )*等于(A)－A *(B)A *(C)(－1)n A *(D)(－1)n －1A *解.(－A )*=*111)1()1(1||)1()(||A A A A A n n ----=--=--.(D)是答案.7.设n 阶矩阵A 非奇异(n ≥2),A *是A 的伴随矩阵,则(A)A A A n 1**||)(-=(B)A A A n 1**||)(+=(C)AA A n 2**||)(-=(D)AA A n 2**||)(+=解.1*||-=AA A AA A A A A A A A A A A A n n 211111*1**||||||||)|(|||||)|(|)(-------====(C)是答案.8.设A 为m ×n 矩阵,C 是n 阶可逆矩阵,矩阵A 的秩为r 1,矩阵B =AC 的秩为r,则(A)r >r 1(B)r <r 1(C)r =r 1(D)r 与r 1的关系依C 而定解.n C r C A B n n n m ==⨯⨯)(,,所以1)()()(r n C r A r AC r r =-+≥=又因为1-=BC A ,于是rn C r B r BC r r =-+≥=--)()()(111所以r r =1.(C)是答案.9.设A 、B 都是n 阶非零矩阵,且AB =0,则A 和B 的秩(A)必有一个等于零(B)都小于n (C)一个小于n ,一个等于n(D)都等于n解.若0,0.,)(1===-B AB A n A r 得由存在则,矛盾.所以n A r <)(.同理n B r <)(.(B)是答案.三.计算证明题1.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=243121013A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=143522011B .求:i.AB －BA ii.A 2－B 2iii.B T A T解.=-BA AB ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1618931717641,=-22B A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1326391515649=T T A B ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--2211531517652.求下列矩阵的逆矩阵i.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------111111*********1ii.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1000cos sin 0sin cos ααααiii.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001001001001000iv.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-110210000120025解.i.→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------10000100001000011111111111111111 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------1010101001100010220202022001111 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------1001001102102100010220220010101111 →⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------110000110210210210212200220010100101 →⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----1100002121021021021021220011010100101 →⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----11110021210210210212104000110010101001→⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----414141410021210210210212101000110010101001 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------414141414141414141414141414141411000010000100001 ,⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-414141414141414141414141414141411A ii.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--ααααααααcos sin sin cos cos sin sin cos 1.由矩阵分块求逆公式:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---1110000B A B A 得到:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-100cos sin 0sin cos 1ααααA iii.⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-011001101.由矩阵分块求逆公式:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---0000111A B B A 所以⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-00010010010010001A iv.由矩阵分块求逆公式:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---111000B A B A 得到:⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-313100323100005200211A 3.已知三阶矩阵A 满足)3,2,1(==i i A i i αα.其中T)2,2,1(1=α,T )1,2,2(2-=α,T )2,1,2(3--=α.试求矩阵A .解.由本题的条件知:=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---212122221A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---622342641→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---100010001212122221 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----102012001630360221 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----0313231032001120210221 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----3231323103232031300210201 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----9291923103232031100210201 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---929192919292929291100010001 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=232323235032037929192919292929291622342641A 4.k 取什么值时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=11100001k A 可逆,并求其逆.解.01110001||≠=-=k k A →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-10011101000001001 k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--101110010010001001 k →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-111100010010001001k k 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1110100011k k A 5.设A 是n 阶方阵,且有自然数m ,使(E +A )m =0,则A 可逆.解.因为)(1=+==+∑∑==mi i i m mi iimmA c E A c A E所以∑=-=-mi i im E A c A 11)(.所以A 可逆.6.设B 为可逆矩阵,A 是与B 同阶方阵,且满足A 2+AB +B 2=0,证明A 和A +B 都是可逆矩阵.解.因为022=++B AB A ,所以2)(B B A A -=+.因为B 可逆,所以0||)1(||22≠-=-B B n所以0|||)(|2≠-=+B B A A .所以B A A +,都可逆.7.若A ,B 都是n 阶方阵,且E +AB 可逆,则E +BA 也可逆,且AAB E B E BA E 11)()(--+-=+解.AAB E B BA E BA E A AB E B E BA E 11)()())()((--++-+=+-+=AAB E AB E B BA E A AB E BAB B BA E 11))(())((--++-+=++-+=E BA BA E =-+所以A AB E B E BA E 11)()(--+-=+.8.设A ,B 都是n 阶方阵,已知|B |≠0,A －E 可逆,且(A －E )－1=(B －E )T ,求证A 可逆.解.因为(A －E )－1=(B －E )T ,所以(A －E )(B －E )T =E 所以E E B E B A T T =+--)(,TT B E B A =-)(由|B |≠0知11)(--TB B ，存在.所以E B E B A T T =--1))((.所以A 可逆.9.设A ,B ,A +B 为n 阶正交矩阵,试证:(A +B )－1=A－1+B －1.解.因为A ,B ,A +B 为正交矩阵,所以111,,)()(---==+=+B B A A B A B A TTT所以111)()(---+=+=+=+B A B A B A B A T T T 10.设A ,B 都是n 阶方阵,试证明:||E AB BE EA -=.解.因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡AB E B E B E E A E A E E E 0000所以ABE BEB E E A E A E E E -=-0000||)1(01)1(2E AB AB E BEB E E A n n --=-=⋅⋅-因为n n )1()1(2-=-,所以||E AB BE EA -=11.设A 为主对角线元素均为零的四阶实对称可逆矩阵,E 为四阶单位矩阵)0,0(00000000000000>>⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=l k l k B i.试计算|E +AB |,并指出A 中元素满足什么条件时,E +AB 可逆;ii.当E +AB 可逆时,试证明(E +AB )－1A 为对称矩阵.解.i.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=44342414342313242312141312000a a a a a a a a a a a a a A ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=l k a a a a a a a a a a a a a AB 000000000000000044342414342313242312141312⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000000000343424231413ka la la ka la ka AB E +⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1001001001343424231413ka la la ka la ka ,2341||kla AB E -=+所以当2341a kl≠时,E +AB 可逆.ii.11111)()]([)(-----+=+=+B A AB E A A AB E 因为A ,B 为实对称矩阵,所以B A +-1为实对称矩阵,所以(E +AB )－1A 为对称矩阵.12.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=λλλ100100A ,求A n .解.使用数学归纳法.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2222210200100100100100λλλλλλλλλλλA =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλλλλλ1001002102002223A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+323233)21(0300λλλλλλ假设k A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++---k k k k k kk k k λλλλλλ121)11(000则1+k A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++---k k k k k k k k k λλλλλλ121)11(000⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡λλλ100100=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++-++1111)1()1(0)1(00k k k k k k k k k λλλλλλ 所以n A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++---nn n n n n n n n λλλλλλ121)11(000=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----n n n n n nn n n n λλλλλλ1212)1(00013.A 是n 阶方阵,满足A m =E ,其中m 是正整数,E 为n 阶单位矩阵.今将A 中n 2个元素a ij 用其代数余子式A ij 代替,得到的矩阵记为A 0.证明E A m=0.解.因为A m =E ,所以1||=m A ,所以A 可逆.11*0)(||]|[|)(--===T T T A A A A A A 所以EE A A A A A A m T m m m T m ====---1110||])[(||])(|[|14.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010101001A i.证明:n ≥3时,E A A A n n-+=-22(E 为三阶单位矩阵)ii.求A 100.解.i.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010*******A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010101001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101011001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1010110013A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010101001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=011102001+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-+010*******E A A -⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101011001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0111020013A =所以E A A A -+=-2233假设EA A A k k -+=-22则=-+=-+A A A A k k 311A E A A A k --++-21=EA A k -+-+221）（所以EA A A n n -+=-22ii.=-+=E A A A298100E A E A A 4950222296-==-+ -⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=50050050500050⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡490004900049⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1050015000115.当⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=21232321A 时,A 6=E .求A 11.解.121232321||=-=A ,所以==-||*1A A A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-21232321因为1112116--===EA A A A E A ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=2123232116.已知A ,B 是n 阶方阵,且满足A 2=A ,B 2=B ,与(A －B )2=A +B ,试证:AB =BA =0.解.因为(A －B )2=A +B ,所以))(())(()(3B A B A B A B A B A -+=+-=-于是2222B AB BA A B AB BA A --+=-+-,所以BAAB =BA B BA AB A B A B A +=+--+=-222,)(因为A 2=A ,B 2=B ,所以2AB =0,所以0==BA AB .第三章向量一.填空题1.设)1,2,0,1(),,1,0,1(),0,3,2,4(),5,0,1,2(4321-=-=--=-=ααααk ,则k =______时,α1,α2,α3,α4线性相关.解.考察行列式1102131181105213000011182105213000211142k k k -----=-----=-----316102038++-+--=k k =13k +5=0.135-=k 2.设)0,,3,1(),4,3,5,0(),2,0,2,1(),0,3,1,2(4321t -=-=-=-=αααα,则t =______时,α1,α2,α3,α4线性相关.解.考察行列式4243355504243335551000042030335211012---=----=----t tt t 0603020306020=--+++-=t t .所以对任何t ,α1,α2,α3,α4线性相关.3.当k =______时,向量β=(1,k ,5)能由向量),1,1,2(),2,3,2(21-=-=αα线性表示.解.考察行列式,012513211=--k 得k =－8.当k =－8时,三个向量的行列式为0,于是21,,ααβ线性相关.显然21,αα线性无关,所以β可用21,αα线性表示.4.已知)1,4,0,1,1(),3,1,3,0,2(),10,5,1,2,0(),1,2,2,1,1(4321-=-=-==αααα,则秩(α1,α2,α3,α4)=______.解.将α1,α2,α3,α4表示成矩阵→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---131********210211201→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------21102550211002201201⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------211052110211001101201⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→20052000200001101201.所以r (α1,α2,α3,α4)=35.设⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=3224211631092114047116A ,则秩(A)=______.解.→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=3224211631092114047116A →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----3224211631711614040921⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------3408012550755110140800921⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------→8351051510117510815100921⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→410004030008845000815100921所以r (A )=3.6.已知),2,0,1,0(,)2,1,0,1(=-=βαT矩阵A =α·β,则秩(A )=______.解.A =α·β=()→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-402020100000201020102101⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0020000000002010所以r (A )=1.7.已知向量),6,5,4(),6,5,4,3(),5,4,3,2(),4,3,2,1(4321t ====αααα,且秩(α1,α2,α3,α4)=2,则t =______.解.A =(α1,α2,α3,α4)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=t 654654354324321⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=16630642032104321t ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=700000032104321t 所以当t =7时,r (A )=2.二.单项选择题1.设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线性相关的是(A)α1+α2,α2+α3,α3+α1(B)α1,α1+α2,α1+α2+α3(C)α1－α2,α2－α3,α3－α1(D)α1+α2,2α2+α3,3α3+α1解.由0)()()(133322211=-+-+-ααααααk k k 得)()()(323212131=-+-+-αααk k k k k k 因为向量组α1,α2,α3线性无关,所以得关于321,,k k k 的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-000322131k k k k k k 321,,k k k 的系数行列式为011110011101=-=---.所以321,,k k k 有非零解,所以α1－α2,α2－α3,α3－α1线性相关.(C)是答案.2.设矩阵A m ×n 的秩为R (A )=m <n ,E m 为m 阶单位矩阵,下列结论正确的是(A)A 的任意m 个列向量必线性无关(B)A 的任意一个m 阶子式不等于零(C)若矩阵B 满足BA =0,则B =0(D)A 通过行初等变换,必可以化为(E m ,0)的形式解.(A),(B)都错在“任意”;(D)不正确是因为只通过行初等变换不一定能将A 变成(E m ,0)的形式;(C)是正确答案.理由如下:因为BA =0,所以0)()()()()(B r m m B r m A r B r BA r =-+=-+≥=.所以)(B r =0.于是B =0.3.设向量组(I):T T T a a a a a a a a a ),,(,),,(,),,(332313332221223121111===ααα;设向量组(II):T T T a a a a a a a a a a a a ),,,(,),,,(,),,,(433323133423222122413121111===βββ,则(A)(I)相关⇒(II)相关(B)(I)无关⇒(II)无关(C)(II)无关⇒(I)无关(B)(I)无关⇔(II)无关解.由定理:若原向量组线性无关,则由原向量组加长后的向量组也线性无关.所以(B)是答案.4.设β,α1,α2线性相关,β,α2,α3线性无关,则(A)α1,α2,α3线性相关(B)α1,α2,α3线性无关(C)α1可用β,α2,α3线性表示(D)β可用α1,α2线性表示解.因为β,α1,α2线性相关,所以β,α1,α2,α3线性相关.又因为β,α2,α3线性无关,所以α1可用β,α2,α3线性表示.(C)是答案.5.设A ,B 是n 阶方阵,且秩(A )=秩(B ),则(A)秩(A －B )=0(B)秩(A +B )=2秩(A)(C)秩(A －B )=2秩(A)(D)秩(A +B )≤秩(A )+秩(B )解.(A)取B A ≠且|A |≠0,|B |≠0则A －B ≠0,则r (A －B )≠0.排除(A);(B)取A =－B ≠0,则秩(A +B )≠2秩(A);(C)取A =B ≠0,则秩(A －B )≠2秩(A).有如下定理:秩(A +B )≤秩(A )+秩(B ).所以(D)是答案.三.计算证明题1.设有三维向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111k α,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=112k α,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2113α,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21k k β问k 取何值时i.β可由α1,α2,α3线性表示,且表达式唯一;ii.β可由α1,α2,α3线性表示,但表达式不唯一;iii.β不能由α1,α2,α3线性表示.解.)1(22221111112-=-=k k k k k k i.10≠≠k k 且时,α1,α2,α3线性无关,四个三维向量一定线性相关,所以β可由α1,α2,α3线性表示,由克莱姆法则知表达式唯一;ii.当k =1时→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡121111111111 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010********* .系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩为2.所以所以β可由α1,α2,α3线性表示,但表示不惟一;iii.当0=k 时→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡021********* ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡021********* ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→011011100101 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→100011100101 .系数矩阵的秩等于2,增广矩阵的秩为3,所以所以β不能由α1,α2,α3线性表示.2.设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,问i.α1能否由α2,α3线性表出?证明你的结论;ii.α4能否由α1,α2,α3线性表出?证明你的结论解.i.α1不一定能由α2,α3线性表出.反例:T )1,1(1=α,T )0,1(2=α,T )0,2(3=α.向量组α1,α2,α3线性相关,但α1不能由α2,α3线性表出;ii.α4不一定能由α1,α2,α3线性表出.反例:T )0,0,2(1=α,T )0,0,1(2=α,T )0,1,0(3=α,T )1,0,0(4=α.α1,α2,α3线性相关,α2,α3,α4线性无关,α4不能由α1,α2,α3线性表出.3.已知m 个向量α1,α2,…αm 线性相关,但其中任意m －1个都线性无关,证明:i.如果存在等式k 1α1+k 2α2+…+k m αm =0则这些系数k 1,k 2,…k m 或者全为零,或者全不为零;ii.如果存在两个等式k 1α1+k 2α2+…+k m αm =0l 1α1+l 2α2+…+l m αm =0其中l 1≠0,则mm l k l k l k === 2211.解.i.假设k 1α1+k 2α2+…+k m αm =0,如果某个k i =0.则k 1α1+…+k i －1αi －1+k i+1αi+1…+k m αm =0因为任意m －1个都线性无关,所以k 1,k 2,…k i －1,k i+1,…,k m 都等于0,即这些系数k 1,k 2,…k m 或者全为零,或者全不为零;ii.因为l 1≠0,所以l 1,l 2,…l m 全不为零.所以m m l l l l ααα12121---= .代入第一式得:0)(2212121=+++---m m m m k k l l l l k αααα 即0)()(1122112=+-+++-m m m k k l l k k l l αα 所以02112=+-k k l l ,…,011=+-m m k k l l 即mm l k l k l k === 22114.设向量组α1,α2,α3线性无关,问常数a ,b ,c 满足什么条件a α1－α2,b α2－α3,c α3－α1线性相关.解.假设0)()()(133322211=-+-+-ααααααc k b k a k 得)()()(323212131=-+-+-αααk c k k b k k a k 因为α1,α2,α3线性无关,得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-000322131ck k bk k k ak当行列式0100110=---cba 时,321,k k k 有非零解.所以1=abc 时,a α1－α2,b α2－α3,c α3－α1线性相关.5.设A 是n 阶矩阵,若存在正整数k ,使线性方程组A k x =0有解向量α,且A k －1α≠0,证明:向量组α,A α,⋯,A k －1α是线性无关的.解.假设01110=+++--αααk k A a A a a .二边乘以1-k A 得010=-αk A a ,0=a 由0111=++--ααk k A a A a .二边乘以1-k A 得011=-αk A a ,1=a ………………………………最后可得011=--αk k A a ,1=-k a 所以向量组α,A α,⋯,A k －1α是线性无关.6.求下列向量组的一个极大线性无关组,并把其余向量用极大线性无关组线性表示.i.)3,2,1,2(),7,4,3,1(),6,5,1,4(),3,1,2,1(4321=----=---==αααα.ii.).10,5,1,2(),0,2,2,1(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(54321=-===-=ααααα解.解.i.→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------3763245113122141→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------34180039031902141⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---3200320031902141⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→0000320031902141所以321,,ααα是极大线性无关组.由3322114ααααk k k ++=得方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+=-+323924332321k k k k k k 解得2331-==k k ,212=k 所以3214232123αααα-+-=ii.→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--1001424527121203121301→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--24220101103133021301⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--24220313301011021301⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→04000010001011021301所以421,,ααα是极大线性无关组.由4322115ααααk k k ++=得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-==+0401233231k k k k k 解得21=k ,12=k ,03=k 所以421502αααα++=由4322113ααααk k k ++=得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-==+0401333231k k k k k 解得31=k ,12=k ,03=k 所以421303αααα++=7.已知三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x yyy x y y yxA ,讨论秩(A)的情形.解.i.0==y x ,)(=A r ii.0,00,0=≠≠=y x y x 或,3)(=A r iii.0≠=y x ,1)(=A r iv.0≠-=y x ,3)(=A r iv.yx y x ±≠≠≠,0,0⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x y y y x yy yxA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→2222x xyxy xy x xy y y xy ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→2222222200y x y xy y xy y x y y xy ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++→y x yy y x y yx00⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++→)2(00y x x yy x y y x 所以,当y x 2-=时,2)(=A r ;当y x 2-≠时,3)(=A r 8.设三阶矩阵A 满足A 2=E(E 为单位矩阵),但A ≠±E ,试证明:(秩(A －E )－1)(秩(A +E )－1)=0解.由第十一题知3)()(=-++E A r E A r 又因为A ≠±E ,所以0)(≠+E A r ,0)(≠-E A r 所以)(E A r +,)(E A r -中有一个为1所以(秩(A －E )－1)(秩(A +E )－1)=09.设A 为n 阶方阵,且A 2=A ,证明:若A 的秩为r ,则A －E 的秩为n －r ,其中E 是n 阶单位矩阵.解.因为A 2=A ,所以)(=-E A A 所以n E A r A r E A A r --+≥-=)()())((0所以nE A r A r ≤-+)()(又因为n E r A E A r A E r A r E A r A r ==-+≥-+=-+)()()()()()(所以n E A r A r =-+)()(.所以rn E A r -=-)(10.设A 为n 阶方阵,证明:如果A 2=E ,则秩(A +E )+秩(A －E )=n.解.因为A 2=E ,所以))((0E A E A +-=所以n E A r E A r E A E A r --++≥-+=)()()))(((0所以nE A r E A r ≤-++)()(又因为n E r A E E A r A E r E A r E A r E A r ==-++≥-++=-++)2()()()()()(所以n E A r E A r =-++)()(.第四章线性方程组一.填空题1.在齐次线性方程组A m ×n x =0中,若秩(A)=k 且η1,η2,…,ηr 是它的一个基础解系,则r =_____;当k =______时,此方程组只有零解.解.k n r -=,当n k =时,方程组只有零解.2.若n 元线性方程组有解,且其系数矩阵的秩为r,则当______时,方程组有唯一解;当______时,方程组有无穷多解.解.假设该方程组为A m ×n x =b,矩阵的秩r A r =)(.当n r =,方程组有惟一解;当n r <,方程组有无穷多解.3.齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=++0302032321321x kx x x x x kx x 只有零解,则k 应满足的条件是______.解.03011211≠kk ,53,0623≠≠--+k k k k 时,方程组只有零解.4.设A 为四阶方阵,且秩(A)=2,则齐次线性方程组A *x =0(A *是A 的伴随矩阵)的基础解系所包含的解向量的个数为______.解.因为矩阵A 的秩31412)(=-=-<=n A r ,所以0)(*=A r ,A *x =0的基础解系所含解向量的个数为4－0=4.5.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=112011121A ,则A x =0的通解为______.解.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=000110101110110121112011121A 2)(=A r ,基础解系所含解向量个数为3－2=1.⎩⎨⎧=-=-003231x x x x ,取1,1123===x x x 则.基础解系为(1,1,1)T.A x =0的通解为k (1,1,1)T,k 为任意常数.6.设α1,α2,…αs 是非齐次线性方程组A x =b 的解,若C 1α1+C 2α2+…+C s αs 也是A x =b 的一个解,则C 1+C 2+…+C s =______.解.因为A b A i 且,=α(C 1α1+C 2α2+…+C s αs )=b,所以b b C C s =++)(1 ,11=++s C C .7.方程组A x =0以TT)1,1,0(,)2,0,1(21-==ηη为其基础解系,则该方程的系数矩阵为___.解.方程组A x =0的基础解系为TT)1,1,0(,)2,0,1(21-==ηη,所以2)(=-A r n ,即2)(3=-A r ,)(A r =1.所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22111αααk k A ,假设),,(1312111a a a =α.由01=ηA ,得02201),,(1311131211=+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡a a a a a 由02=ηA ,得0110),,(1312131211=-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-a a a a a 取2,1,0111213-===a a a 得.所以)1,1,2(1-=α,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22111αααk k A (其中2,1k k 为任意常数).8.设A x =b,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=112210321A ,则使方程组有解的所有b 是______.解.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=112210321A ,05112210321||≠=-=A ,所以)(A r =3.因为A x =b 有解,所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-b r r 112210321112210321所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=123112201321k k k b ,其中321,,k k k 为任意常数.9.设A,B 为三阶方阵,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=110121211A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=11202314k B ,且已知存在三阶方阵X ,使得B AX =,则k =___________.解.由题设B X A =⨯⨯3333,又因为0110121211||=-=A ,所以0||||||==X A B ,即0266411202314=+--=--k k k ,2-=k .二.单项选择题1.要使ξ1=(1,0,1)T ,ξ2=(－2,0,1)T 都是线性方程组0=Ax 的解,只要系数矩阵A 为(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡112213321(B)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-211121(C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡123020010(D)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-020010解.因为21,ξξ的对应分量不成比例,所以21,ξξ线性无关.所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数大于2.(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=112213321A ,3)(,0112213321||=≠=A r A .因为A 是三阶矩阵,所以0=Ax 只有零解,排除(A);(B)2)(,211121=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=A r A .所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数:3－1)(=A r .排除(B);(C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=123020010A ,2)(=A r .所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数:3－1)(=A r .排除(C);(D)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=020010A ,1)(=A r .所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数:3－2)(=A r ,(D)是答案.2.设0,,321=Ax 是ξξξ的基础解系,则该方程组的基础解系还可以表成(A)321,,ξξξ的一个等阶向量组(B)321,,ξξξ的一个等秩向量组(C)321211,,ξξξξξξ+++(C)133221,,ξξξξξξ---解.由0)()(321321211=+++++ξξξξξξk k k ,得0)()(332321321=+++++k k k k k k ξξξ.因为0,,321=Ax 是ξξξ的基础解系,所以321,,ξξξ线性无关.于是⎪⎩⎪⎨⎧==+=++000332321k k k k k k ,所以0321===k k k ,则321211,,ξξξξξξ+++线性无关.它也可以是方程组的基础解系.(C)是答案.(A)不是答案.例如321,,ξξξ和21321,,,ξξξξξ+等价,但21321,,,ξξξξξ+不是基础解系.3.n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是(A)任一行向量都是非零向量(B)任一列向量都是非零向量(C)b Ax =有解(D)当0≠x 时,0≠Ax ,其中Tn x x x ),,(1 =解.对(A),(B):反例⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2121A ,不可逆;对于(C)假设A 为n×n 矩阵,A 为A 的增广矩阵.当n A r A r <=)()(时,b Ax =有无穷多解,但A 不可逆;(D)是答案,证明如下:当0≠x 时,0≠Ax ,说明0=Ax 只有零解.所以1,0||-≠A A 存在.4.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r,则0=Ax 有非零解的充分必要条件是(A )n r =(B )n r ≥(C )n r <(D )n r >解.(C )为答案.5.设n m A ⨯为矩阵,m n B ⨯为矩阵,则线性方程组0)(=x AB (A )当m n >时仅有零解.(B )当m n >时必有非零解.(C )当n m >时仅有零解.(D )当n m >时必有非零解.解.因为AB 矩阵为m m ⨯方阵,所以未知数个数为m 个.又因为n A r AB r ≤≤)()(,所以,当n m >时,m n A r AB r <≤≤)()(,即系数矩阵的秩小于未知数个数,所以方程组有非零解.(D )为答案.6.设n 阶矩阵A 的伴随矩阵0*≠A ,若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组b Ax =的互不相等的解,则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系(A )不存在(B )仅含一个非零解向量(C )含有二个线性无关解向量(D )含有三个线性无关解向量解.因为⎪⎩⎪⎨⎧-<-===1)(,01)(,1)(,*)(n A r n A r n A r n A r 因为0*≠A ,所以1)(-≥n A r ;又因为4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组b Ax =的互不相等的解,所以b Ax =的解不唯一,所以1)(-≤n A r ,所以1)(-=n A r .于是:基础解系所含解向量个数1)1()(=--=-=n n A r n (B )为答案.三.计算证明题1.求方程组⎪⎩⎪⎨⎧=----=+-+-=-+-174952431132542143214321x x x x x x x x x x x 的通解,并求满足方程组及条件16354321-=-++x x x x 的全部解.解.将条件方程与原方程组构成矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------56144280287214028721401132511163517409152413113251⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→0000000000287214017409100000000002872140113251 i.条件方程与原方程组兼容,即加上条件后的方程组与原方程组有相同的通解;ii.2)()(==A r A r ,方程组有解.齐次方程组的基础解系含解向量的个数为2)(4=-A r ;iii.齐次方程的基础解系:⎩⎨⎧=-+-=++07214049432421x x x x x x 令27,41,03142=-===x x x x 得令7,90,13142=-===x x x x 得基础解系为:T T)0,7,1,9(,)1,27,0,4(--iv.非齐次方程的通解:⎩⎨⎧=-+--=++2872141749432421x x x x x x 令2,10,02143-====x x x x 得所以全部解为:⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-127040719002121k k 2.设有线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++--=++=++kmx x x x x x x x x 3213213214132303,问m,k 为何值时,方程组有惟一解?有无穷多组解?有无穷多组解时,求出一般解.解.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--110010700131170107001314113230131k m k m k m i.当3)()(,1==-≠A r A r m 时,方程组有惟一解;ii.当)()(,1,1A r A r k m ≠≠-=时,方程组无解;iii.当32)()(,1,1<===-=A r A r k m 时,方程组有无穷多解.此时基础解系含解向量个数为1)(3=-A r 齐次方程组:⎩⎨⎧==++07032321x x x x ,所以02=x .令1,113-==x x 得.基础解系解向量为:T)1,0,1(-.非齐次方程组:⎩⎨⎧==++17032321x x x x ,所以712=x .令73,013-==x x 得.非齐次方程特解为:T)0,71,73(-.通解为:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10107173k x 3.问λ为何值时,线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=++=+324622432132131λλλx x x x x x x x 有解,并求出解的一般形式.。

《线性代数》课后习题集与答案第一章B组题

《线性代数》课后习题集与答案第一章B组题

《线性代数》课后习题集与答案第一章B组题基础课程教学资料第1章矩阵习题一(B)1、证明：矩阵A 与所有n 阶对角矩阵可交换的充分必要条件是A 为n 阶对角矩阵. 证明：先证明必要性。

若矩阵A 为n 阶对角矩阵. 即令n 阶对角矩阵为：A =??n a a a 00000021,任何对角矩阵B 设为n b b b0000021，则AB=??n n b a b a b a000002211，而BA =??n n a b a b a b000002211，所以矩阵A 与所有n 阶对角矩阵可交换。

再证充分性，设 A =??nn n n n n b b b b b b b b b 212222111211，与B 可交换，则由AB=BA ，得：nn n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 221122222111122111=nn n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 212222221211121111，比较对应元素，得0)(=-ij j i b a a ，)(j i ≠。

又j i a a ≠，)(j i ≠，所以0=ij b ，)(j i ≠，即A 为对角矩阵。

2、证明：对任意n m ?矩阵A ，T AA 和A A T均为对称矩阵. 证明：(TAA )T =(A T )T A T =AA T，所以，TAA 为对称矩阵。

(A A T)T =A T (A T )T =A T A ，所以，A A T 为对称矩阵。

3、证明：如果A 是实数域上的一个对称矩阵，且满足O A =2 ，则A =O . 证明：设A =??nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211，其中，ij a 均为实数，而且ji ij a a =。

由于O A =2，故A 2=AA T =nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211nn nnn n a a a a a a a a a 212221212111=0。

线性代数第一章行列式练习题

线性代数第一章行列式练习题

线性代数第一章行列式练习题(总13页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--班级__________ 姓名__________ 学号_______第一章第一次练习题一）填空题1）计算(1465372)τ＝________；[135(21)246(2)]n n τ-＝________；2）写出四阶行列式中含有因子1123a a 的项及符号__________； 3）在四阶行列式中，21143243a a a a 的符号为__________；4）设12134453k l a a a a a 在五阶行列式中带有负号，则k ＝________；l ＝________.二）解答题5）计算三阶行列式 222111ab c a b c .6）用定义证明1(1)212100000(1)0000n nn nnλλλλλλ--=-.7）设n阶行列式中有多于2n n-个元素为零，证明这个行列式为零.班级__________ 姓名__________ 学号_______第一章第二次练习题一）填空题1）把行列式111222a b c a b c ++定出两个行列式之和______________________； 2）把行列式132412340000a a a a x yb b z wb b 写成两个行列式之积_________________________________；3）提取行列式第二行公因子后111213212223313233333a a a a a a a a a ＝__________________________； 4）行列式223456789a b c d a ab ac ad＝_________________________________.二）解答题5）化简行列式111122223333x y x a z x y x a z x y x a z +++6）计算行列式5222 2522 2252 22257）计算行列式3112 5134 2011 1533------班级__________ 姓名__________ 学号_______第一章第三次练习题一）填空题1）将行列式123123123x x xy y yz z z按第三列展开为__________________________________；2）已知四阶行列式D中第三行元素依次为2，5，3，4；它们的余子式分别为3，1，2，4；则D＝__________；3）计算1111234549162582764125＝__________；4）设3961246812035436D=，则41424423A A A++＝__________.二）解答题5）计算行列式100 110 011 001abcd ---.6）当λ为何值时，线性方程组12312330(3)22040x x x x x x x λλ++=⎧⎪--+=⎨⎪=⎩有非零解7）设曲线230123y a a x a x a x =+++通过四个点(1,3)，(2,4) ，(3,4) ， (4,3)-；求系数0123,,,a a a a .班级__________ 姓名__________ 学号_______第一章复习题1） 按定义计算行列式0001000200200100000n n n--2）计算行列式ab b b ba b b bb a b bbba3）计算行列式01000 00100 00010 a b c d e e d c b a4）计算行列式1231111 1111 11111111n aaaa ++++5）问,λμ取何值时，齐次线性方程组12312312320x x xx x xx x xλμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解6）解非齐次线性方程组12341241341234 2583692254760 x x x xx x xx x xx x x x+-+=⎧⎪--=⎪⎨-+=-⎪⎪+-+=⎩。

线性代数习题集第一章

线性代数习题集第一章

线性代数习题集第⼀章第⼀章：⾏列式I.单项选择题 1.排列1,3,,(2n 1),2,4,,(2n)-的逆序数为（）(1) n 1- (2) (n 1)n - (3) (n 1)n + (4) (n 1)/2n - 2.排列1,3,,(21),(2),(22),,2n n n --的逆序数为（）(1) n (2) (n 1)n - (3) (n 1)n + (4) (n 1)/2n - 3．四阶⾏列式中含有因⼦1123a a 的项是（）(1) 11233442a a a a (2) 11233344a a a a (3)11233342a a a a (4) 11233442a a a a -4.⾏列式abac aebdcd de bfcfef---的值是（） (1) 2abcdef (2) 4abcdef (3) 6abcdef (4) 8abcdef 5. 设A 为n 阶⽅阵，λ为数，则A λ等于（） (1) A λ (2) A λ (3) n A λ (4) 2A λ6.设ab cD de f g hi=，则元素h 的代数余⼦式为（） (1)a c gi(2) a cdf -(3) a c g i - (4)a c df7.设⾏列式000000a bcD d e f g h i j=，则D 的值等于（） (1) abdg - (2) abdg (3) abdg ceh fi j -+- (4) abdg ceh fi j ++- 8.设A 为n 阶矩阵，则（）(1) A A -= (2) A A -=- (3) (1)n A A -=- (4) 1A A --=9.设A 为n 阶矩阵，且A 的⾏列式0A a =≠，⽽A *是A 的伴随矩阵，则A *等于（）(1) a (2) 1/a (3) n a (4) 1n a -10.若12312,,,,αααββ都是四维列向量，且1231m αααβ=，1223n ααβα=四阶⾏列式，则32112()αααββ+四阶⾏列式等于（） (1) n m - (2) m n - (3) m n + (4) ()m n -+11.设44? 矩阵[]234,,,A αγγγ= ，[]234,,,B βγγγ=，其中234,,,,αβγγγ均为４维列向量，且已知⾏列式1,1A B ==，则⾏列式A B +等于（） (1)５ (2)10 (3)30 (4)4012.设设A 为m 阶⽅阵，设B 为n 阶⽅阵，且,A a B b ==，00AC B =，则C 等于（）(1) ab (2) ab - (3) (1)nm - (4) (1)nm ab -13.设⾏列式D aba b b a b a a b ab+=++，则D 的值为（）(1) 332()a b -+ (2) 332()a b + (3) 332()a b - (4) 33()a b -+ 14.元素是0和1的三阶⾏列式D 之值只能是（） (1) 3 (2) 3- (3) 4 (4) 0,1,2±± II.填空题1.n 阶⾏列式的完全展开式，应由________项组成，每项位于⾏列式中________的n 个元素的乘机，⽽且项1212n j j nj a a a 的符号为_____.2. n 阶⾏列式1111nn nna a A a a =，则按第i ⾏的展开式为__________;按第j ⾏展开式为__________.3.当A 可逆是1A -=____________.4.设A 是⼀个n 阶⽅阵，k 是⼀个有理数，则kA =________,5.在⾏列式2121113211x x x x j j x-的展开式中，3x 的系数为________,4x 的系数为_________.6.三⾓⾏列式110nn nna a a =_________ 7.⾏列式2111131111411115A ==__________ 8.⾏列式11101210011000000111002A --==--__________ III.判断题1.交换⾏列式中任意两⾏的位置，⾏列式的值不变。

线性代数练习册第一章部分答案(本)

线性代数练习册第一章部分答案(本)
AAT AA A2 E
1 .AAT E; 3 . A2 E 2. AT A
AAT E A1 AT ; A2 E A1 A AT A1 A
或 或
AAT E AAAT AE AT A
AAT E, A2 E A( AT A) 0, A可逆 A1 A( AT A) A1 0 AT A
2 −3 1 r2 − 2 r1 0 0 1 3 0 2r2 0 −1 −3 r − 2r 0 4 1
2 0 0
−3 1 10
2 −3 1 r1 + 3r2 0 1 0 1 3 0 r1 0 0 0 0 2 −4 −4 −2 −2 3 5 3 4 3 1 0 −1 −4 3 −4 1 −2 0 −2 −1
而 B11 所以，
(1)11 0 1 0 1 0 ， 11 211 0 2 0 2 0
11
1 4 1 0 1 1 4 A11 PB11 P 1 11 1 1 0 2 3 1 1 4 213 1 1 213 1 4 1 1 213 3 1 211 1 1 3 1 211 4 211 2731 2732 683 684
1 0 0
0 5 1 3 0 0
1 （2）B = 3 2 3 解：
−1 −3 −2 −3
3 5 3 4 −1 −3 −2 −3
1 B= 3 2 3 r2 − 3r1 r3 − 2r1 r4 − 3r1
1 0 0 0
3 −1 3 − 4 −8 0 −4 8 0 −3 6 −6 0 −5 10 −10 3 1 0 0 0 1 0 0 −4 −2 0 0 2 −2 0 0 3 2 0 0 −3 2 0 0

线性代数习题册(答案)

线性代数习题册(答案)

线性代数习题册答案第一章 行列式练习 一班级 学号 姓名1．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）τ(3421)= 5 ; （2）τ(135642)= 6 ;（3）τ(13…(2n-1)(2n)…42) = 2+4+6+…+（2 n-2）= n （n-1）.2．由数字1到9组成的排列1274i56j9为偶排列，则i= 8 、j= 3 .3．在四阶行列式中，项12233441a a a a 的符号为 负 .4．00342215= －24 .5．计算下列行列式：（1）122212221-----= －1＋（－8）＋（－8）－（－4）－（－4）―（－4）= －5或（2）111111λλλ---= －3λ＋1＋1－（－λ）－（－λ）―（－λ） = －3λ＋3λ+2=2(2)(1)λλ-+练习 二班级 学号 姓名 1．已知3阶行列式det()ij a =1，则行列式det()ij a -= －1 . 3(1)11-⋅=-2． 1112344916= 2 .3．已知D=1012110311101254--,则41424344A A A A +++= —1 .用1，1，1，1替换第4行4． 计算下列行列式： (1)111ab c a b c abc +++= 13233110110011,0110111111r r r r c c a b c bcabcabc-----+-==++++++(2) xy x y y x y x x yxy+++(3)130602121476----(4)1214012110130131-5．计算下列n 阶行列式：(1)n xa a a x a D aax=（每行都加到第一行，并提公因式。

）(2)131111n +(3) 123123123n n n a ba a a a ab a a a a a a b+++练习 三班级 学号 姓名 1．设线性方程组123123123111x x x x x x x x x λλλ--=⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩有惟一解，则λ满足的条件是什么？1,0,1λλλ≠-≠≠2. 求解线性方程组12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩3.已知齐次线性方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ--=⎧⎪-++=⎨⎪--+=⎩有非零解，求λ的值。

线代第一章测试题及答案

线代第一章测试题及答案

线代第一章测试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个选项不是线性代数的研究对象？A. 向量空间B. 线性方程组C. 矩阵D. 微分方程答案：D2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中非零行（或列）的最大数目D. 矩阵的元素个数答案：C3. 以下哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 奇异矩阵D. 任意矩阵答案：B4. 向量空间的基是指：A. 空间中的任意一组向量B. 空间中的一组线性无关的向量C. 空间中的一组线性相关的向量D. 空间中的一组正交向量答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 矩阵的元素个数称为矩阵的______。

答案：阶数2. 如果一个矩阵的行向量组线性无关，则该矩阵是______矩阵。

答案：满秩3. 向量空间中，一组向量如果满足线性组合的系数全为零，则称这组向量是______的。

答案：线性无关4. 一个n阶方阵的行列式等于______。

答案：0三、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述什么是线性方程组的解。

答案：线性方程组的解是指满足方程组中所有方程的未知数的取值。

2. 请解释什么是矩阵的转置。

答案：矩阵的转置是指将矩阵的行向量变成列向量，列向量变成行向量，即交换矩阵的行和列。

四、计算题（每题15分，共40分）1. 计算矩阵A的行列式，其中A = \[\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\]。

答案：\[ \text{det}(A) = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2 \]2. 已知矩阵B = \[\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2\end{bmatrix}\]，求B的逆矩阵。

答案：\[ B^{-1} = \frac{1}{(2)(2) - (1)(4)} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -0.5 \\-2 & 1 \end{bmatrix} \]。

线性代数第一章习题及解答

线性代数第一章习题及解答
T
n(n−1) 2
D. a11 . . . a1n ··· ··· ··· D an1 . . . ann
因为 D = D , 而 D =
T
对 DT 作上述行交换得, 于是
D2 = (−1)
n(n−1) 2
D = (−1)
T
n(n−1) 2
5
对 D2 依次进行相邻列交换， 然后转置得
D2 = (−1)
4
a+b 1 Dk = 0 ··· 0 0
ab a+b 1 ··· 0 0 1
0 ab a+b ··· 0 0 a+b 0 ··· 0 0 a+b 1 0 ··· 0 0
··· ··· ··· ··· ··· ··· ab a+b 1 ··· 0 0 ab a+b 1 ··· 0 0
0 0 0 ··· a+b 1 0 ab a+b ··· 0 0 0 ab a+b ··· 0 0
··· ··· ··· ···
(a − n)n (a − n)n−1 . . . a−n
1 1 ··· 1 解：将 Dn 一次进相邻行交换， 然后进行相邻列交换得 1 1 ··· 1 a−n a−n+1 ··· a 2 2 (a − n + 1) · · · a2 (xj = a − j, j = 0, 1, . . . , n) Dn = ( a − n ) . . . . . . . . ··· . (a − n)n (a − n + 1)n ∏ = (xj − xi ) 0≤i<j ≤n ∏ = (i − j )
a a . . . x ··· a 0 . . . x−a (rj − r1 , j = 1, 2, . . . , n)

线性代数1-5章习题1

线性代数1-5章习题1

线性代数习题集第一章行列式一、判断题1．行列式如果有两列元素对应成比例，则行列式等于零. ( )2. 213210 124121 012342=-.( )3. 13434121.42042=-( )4.123213123213123213.a a ab b bb b b a a ac c c c c c=( )5.123123123123123123.a a a a a ab b b b b bc c c c c c---------=---( )6. n阶行列式n D中元素ij a的代数余子式ij A为1n-阶行列式. ( )7. 312143 245328 836256=.( )8.111213212223313233a a aa a aa a a122r r+111213211122122313313233222+++a a aa a a a a aa a a( )9．如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必等于零. ( )10. 如果方程个数与未知数个数相等，且系数行列式不为零，则方程组一定有解. ( )二、选择题1．若12532453r sa a a a a是5阶行列式中带正号的一项，则,r s的值为（）．A.1,1r s ==B.1,4r s ==C.4,1r s ==D.4,4r s ==2.下列排列是偶排列的是（ ）A. 4312B. 51432C. 45312D. 6543213.若行列式210120312x --=-， 则x =( ).A.–2B. 2C. -1D. 14.行列式0000000000a bc d e f的值等于（ ）. A. abcdef B. abdf - C. abdf D. cdf5.设abc ≠0，则三阶行列式00000d c b a的值是（ ）.A ．aB ．-bC ．0D ．abc 6.设行列式2211b a b a =1，2211c a c a =2，则222111c b a c b a ++=（ ）.A ．-3B ．-1C ．1D ．37.设非齐次线性方程组123123123238223105ax x x ax x x x x bx ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解，则,a b 必须满足（ ）..0,0A a b ≠≠ 2.,03B a b ≠≠ 23.,32C a b ≠≠ 3.0,2D a b ≠≠ 8. 215152521112223030223-=---是按（ ）展开的.A ．第2列B ．第2行C ．第1列D ．第1行9.设111211212ni i inn n nna a a D a a a a a a =则下式中（ ）是正确的. 1122.0i i i i in in A a A a A a A +++= 1122.0i j i j ni nj B a A a A a A +++=1122.i i i i in ni C a A a A a A D +++= 1122.i j i j ni nj D D a A a A a A =+++10. 349571214的23a 的代数余子式23A 的值为（ ）.A. 3B. -3C. 5D. -5 三、填空题1． 排列36715284的逆序数是________.2． 四阶行列式中的一项14322341a a a a 应取的符号是_______. 3.若,0211=k 则k=___________. 4.行列式1694432111中32a 元素的代数余子式A 32=____________.5.598413111=__________. 6.行列式0001001010000100=______.7.行列式0004003002001000=__________. 8.非零元素只有1n -行的n 阶行列式的值等于__________.9. 1231231238,a a a b b b c c c =则123123123222c c c b b b a a a ---=__________. 10.n 阶行列式nD 中元素ij a 的代数余子式ij A 与余子式ij M 之间的关系是ij A =__________，n D 按第j 列展开的公式是n D =__________.四、计算题1.写出五阶行列式中含1325a a 并带有正号的所有项.2.计算四阶行列式1002210002100021的值.3.求4阶行列式1111112113114111的值.4.计算行列式D =1111123414916182764的值.5. 计算行列式122224242λλλ--+---+6.计算n 阶行列式011110111101111.7. 计算n 阶行列式 00 n a D a⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0;8. 计算n 阶行列式 n x a a a xaD a ax⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅五、证明题1.33()ax byay bz az bx x y z ay bzaz bx ax by a b yz x az bx ax byay bzzxy++++++=++++2.2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b cc c cd d d d ++++++=++++++六.用克拉默法则解方程1. 12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩； 2.121232343454556156056056051x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎪+=⎩.七. 问λ取何值时, 齐次线性方程组123123123(1)2402(3)0(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩有非零解？第二章 矩 阵一、判断题1.若A 是23⨯矩阵，B 是32⨯矩阵，则AB 是22⨯矩阵. ( )2.若,AB O =且,A O ≠则.=B O ( )3. 12103425X ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解110122534X -⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. ( ) 4.若A 是n 阶对称矩阵，则2A 也是n 阶对称矩阵. ( ) 5. n 阶矩阵A 为零矩阵的充分必要条件是0.A = ( )6. 若,A B 为同阶可逆矩阵，则11()kA kA --=. ( )7. 42042069126232110110⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭. ( )8. n 阶矩阵A 为逆矩阵的充分必要条件是0.A ≠ ( )9.设,A B 为同阶方阵，则 A B A B +=+. ( )10.设 ,A B 为n 阶可逆矩阵，则 111A O A O O B OB ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.( ) 二、选择题1. 若,A B 为n 阶矩阵，则下式中（ ）是正确的.22.()()A A B A B A B -+=- .(),=.-=≠B A B C O A O B C 且，必有222.(+)+2+B A B A AB B = .D AB A B =2.若,s n n l A B ⨯⨯，则下列运算有意义的是（ ）..T T A B A .B BA .+C A B .+T D A B3.若,m n s t A B ⨯⨯，做乘积AB 则必须满足（ ）..=A m t .=B m s .=C n s .=D n t4.矩阵1111A --⎛⎫=⎪⎝⎭的伴随矩阵*=A （ ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11115.设2阶矩阵a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则*=A （ ） A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b d B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b c d C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb dD ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b c d 6. 矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0133的逆矩阵是（ ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3310B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3130C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-13110 D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-01311 7. 设2阶方阵A 可逆，且A -1=⎪⎭⎫ ⎝⎛--2173，则A=（ ）.A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--3172 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3172 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--3172 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21738. n 阶矩阵A 行列式为,A 则kA 的行列式为（ ）.A. kA B. n k A C. k A D. -k A9. 设,A B 为n 阶矩阵满足=,AB A 且A 可逆，则有（ ）..==A A B E .=B A E .=B B E .,D A B 互为逆矩阵10.设A 是任意阶矩阵，则（ ）是对称阵..(+)T T A A A .+T B A A .T C AA .T T D A AA三、填空题1.设矩阵120210001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100021013B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则2+=A B _____________2.设A=⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤411023，B=,010201⎢⎣⎡⎥⎦⎤则AB =___________. 3.设矩阵A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21，B=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛31，则A TB =____________. 4.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321(1，2，3)=__________. 5.n1111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=__________. 6.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0410******** ＝______________________. 7.设2阶矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛3202，则A *A =_____________.8.设矩阵A=⎪⎭⎫⎝⎛4321，则行列式|A 2|=__________. 9.设A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a ，且det(A)=ad-bc≠0，则A -1=__________ .10. 设 ,A B 为n 阶可逆矩阵，则 1O A B O -⎛⎫= ⎪⎝⎭_______________.四、计算题1．已知110123011,124,111021A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦求()TA B +.2.计算下列乘积1).431712325701⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭;2).3(123)21⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭；3).)21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛；4).13121400121134131402⎛⎫⎪-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎪-⎝⎭；5).111213112312222321323333()a a a xx x x a a a xa a a x⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭.3.求矩阵方程.1)25461321X-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;2)211113210432111X-⎛⎫-⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭⎪-⎝⎭;3)142031121101X⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭;4）010100143100001201001010120X-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.4.设矩阵21=53A⎛⎫⎪⎝⎭，13=20B⎛⎫⎪⎝⎭，求矩阵方程=XA B的解X.5.设321=111101A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦⎣，求-1A .6.设101=210,325A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭求-1A7.设101=210325A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭，求-1A .8.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2500380000120025A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2600140000540023B . 求：AB BA 和9. 设A 为3阶矩阵, , 求-1(2)-5A A *.10.设(1,2,1),28,A diag A BA BA E *=-=- 求.B11.设34432022O A O ⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 求8A |及4A .五、证明题1. 设,A B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明TB AB 也是对称矩阵.2.设,A B 为n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB BA =.3.设为n 阶矩阵A 满足235,A A E O --=试证A E +可逆，且()14A E A E -+=-.4. 设A 为n 阶矩阵，且2,A A =且A E ≠，证明A 是不可逆矩阵.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组一、选择题1．设n 元齐次线性方程组0AX =的系数矩阵的秩为r ，则0AX =有非零解的充分必要条件是（ ）(A) r n = (B) r n <(C) r n ≥ (D) r n >2．设A 是m n ⨯矩阵，则线性方程组AX b =有无穷解的充要条件是（ ）(A) ()r A m < (B) ()r A n < (C) ()()r Ab r A m =< (D) ()()r Ab r A n =<3．设A 是m n ⨯矩阵，非齐次线性方程组AX b =的导出组为0AX =，若m n <，则（ ）(A) AX b =必有无穷多解 (B) AX b =必有唯一解 (C) 0AX =必有非零解 (D) 0AX =必有唯一解4．已知12,ββ是非齐次线性方程组AX b =的两个不同的解，12,αα是导出组0AX =的基础解系，12,k k 为任意常数，则AX b =的通解是（ ） (A) 1211212()2k k ββααα-+++(B) 1211212()2k k ββααα++-+(C) 1211212()2k k ββαββ-+++ (D) 1211212()2k k ββαββ++-+5．设A 为m n ⨯矩阵，则下列结论正确的是（ ）(A) 若0AX =仅有零解 ，则AX b =有唯一解 (B) 若0AX =有非零解 ，则AX b =有无穷多解 (C) 若AX b =有无穷多解 ，则0AX =仅有零解(D) 若AX b =有无穷多解 ，则0AX =有非零解6．线性方程组123123123123047101x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ （ ）(A) 无解 (B) 有唯一解 (C) 有无穷多解 (D) 其导出组只有零解 二、判断题1．若,αβ是线性方程组Ax b =的两个解向量， 则αβ-是方程组0Ax =的解。

线性代数(含全部课后题详细答案)1第一章一元多项式习题及解答.docx

线性代数(含全部课后题详细答案)1第一章一元多项式习题及解答.docx

A 组1.判别Q (厉)二｛0 +勿亦|0,处0｝是否为数域？解是.2.设/(x) = x3 4-x2 4-x+l, g(兀)=兀2+3兀+ 2,求 /(兀)+ g(x)，/(x)-g(x), f(x)g(x). 解/(x) + g (x) = x3 4- 2x2 + 4x + 3 ,/(兀)-g(x)"-2x-l,f(x)g(x) = x5 +4x4 +6兀'+6兀$ +5x + 2 .3.设/(%) = (5x-4),993(4x2 -2x-l),994 (8x3 -1 lx+2)'995,求 /(%)的展开式中各项系数的和.解由于/(兀)的各项系数的和等于/⑴，所以/(I) = (5-4严3(4-2- 1尸94(8-11 + 2)1995 =-1.4.求g(兀)除以/(兀)的商q(x)与余式心).(1)f (x) —— 3%2— x — 1, g(兀)=3F - 2兀+1 ；(2)/(x) = x4 -2x4-5, g(x) = x2 -x + 2 .解（1）用多项式除法得到x 73x~ — 2x +13_93X + 3—x —x-i3 37 ° 14 7-- 无_+ —x --3 9 926 2-- X ---9 9所以'恥）十岭心）W（2）用多项式除法得到x4— 2x + 5兀4 —”丫" + 2 兀2— 2x~ — 2 兀+5 jy?—兀~ + 2 兀-x2-4x4-5-兀? + X - 2—5x + 7所以，q(x) = x2 +x-l, r(x) = -5x + 7 .5.设是两个不相等的常数，证明多项式/(兀)除以(x-a)(x-b)所得余式为af(b)_bg)a-b a-h证明依题意可设/(x) = (x - a)(x - b)q(x) + cx+d,则”(a) = ca + d,[f(b) = cb + d.解得F=(/a) --,\d = (af(b)-bf(a))/(a-b).故所得余式为a-b a-b6.问m,p,q适合什么条件时，/(兀)能被g(x)整除？(1) /(x) = x3 + px + q , g(x) = x2 + nvc-1；(2) f(x) = x4 + px2 +q , g(兀)=x2 + mx+l.解(1)由整除的定义知，要求余式r(x) = 0 .所以先做多项式除法,3x2 + mx -1x-in“+ “X + q3 2x + mx^ - x-mx1 +(〃 + l)x + g2 2一 mx_ — m^x + m°(# +1 + 加〜)兀 + (g —m)要求厂(x) = (/? + l +加2)兀+ (§ —加)=0 ,所以(“ + 1 +加2) = 0, q-m = 0.即p = -l-m2, q - m时, 可以整除.（2）方法同上.先做多项式除法，所得余式为厂（兀）=加（2 — ”一nr ）兀+ （1 + @ —卩一加〜），所以 m （2-p-/772） = 0, 1 + ^ - p - m 2= 0 ,即 m = 0, p = q + \ 或“二 2— 加［q = l 时，可以整除.7. 求/（兀）与gCr ）的最大公因式:(1) f (x) — x 4 + — 3%2 — 4x — 1, g (x)=兀彳 + — x — 1 ； (2) f(x) = x 4— 4x 3+ 1, g(x) = x 3— 3x 2+1 ；(3) /(x) = x 4 -10x 2 +1, g(x) = x 4 -4A /2X 3 +6X 2 +4A /2X +1 .解（1）用辗转相除法得到用等式写出來，就是所以(/(x),g(x)) = x + l ・（2）同样地,<8 4 / 3 3= -X + — — -X-—(3 344-2x 2-3x-l1 1 --- X 4——2 -- 4 X 3+ X 2- X - 1 x 4 + x 3- 3x 2- 4x- 11 2 3 , -2x 2 — 3兀—12 21 2 3 1 -- X ----- X ---—2兀~ — 2兀2 4 433-- X ----X -144一丄 184—X H - 3 3 0心宀丄兀2 24 3 2牙+牙-X - Xf(x) = xg(x)^(-2x 2-3x-l),g(x) =所以(/⑴,g (兀)) = 1.⑶ 同样用辗转相除法，可得(/(x),g(x)) = F —2血兀一1.8.求 w(x),仄兀)使 w(x) f\x) + v(x)g(ji) = (/(x), g(%))：(1) f (x) = %4 4- 2x^ — %2 — 4x — 2, (x) = %4 + x — x~ — 2x — 2 : (2) /(x) = 4x 4-2x 3-16x 2+5x4-9, g(x) = 2兀3-x 2-5x+4:(3) /(x) = x A-x 3-4x 2 +4x + l, g (兀)=x 2 -x-l.解(1)利用辗转相除法，可以得到/(x) = g (A ：) + (x 3-2x)'g (兀)=(x+l)(x 3 - 2x) + (x 2 -2),x — 2兀=x(^x~ — 2).因而，(/(x),g(x)) = x 2-2,并且(/(兀),g (兀))=/ 一 2 = g (兀)_ (兀+1)(疋 _ 2兀) =g (兀)一(X +1) (f(x) -g (兀))=(一兀 一 1)/(兀)+ (兀+2)g(x),所以 u(x) = -x-\, v(x) = x + 21 10 -- X H --- 3 9x 3 - 3x 2x-13 1 2 2X H —X X 3 3 10 2 2~~'- ---- X H 兀+ 13 -- 3 10 ° 10 20 X --- 兀 3 9 916~~1T —X ------ 9 927 441 --------- X ---------------16 256-3x 2+—x1649一一539 兀+ --- 27 256(2)利用辗转相除法，可以得到/(x) = 2xg(x)-(6x 2 +3兀-9),(\ 1Ag(x) = —(6x_ + 3兀一9) ——% + — — (% — 1), —(6x - + 3x — 9) = —(x —1)(6% + 9).因而，(/⑴,g(Q) = x-1，并且(1 1 …厶— —X + _ f (x) + _兀_—x~\ I 3 3丿 (3 3丿] 1 2 7 2fi/f 以 W (X )= X H —, V (X )= — --- X — \ •3 3 3 3(3) 利用辗转相除法，可以得到fM = X —3)g(x) + (x — 2),g(x) = (x+l)(x-2) + l ・因而( f(x), g(x)) = 1 ,并且(/(兀),g(x)) = 1 = g(x) - (x+1)(兀一 2)=g (兀)-(兀+1)(/(兀)-(x 2 一3)gCr))—(—兀―1) f (x) + (兀'+ 兀2 — 3兀—2)g(x),所以u (兀)= -x-l, v(x) = x 3 +x 2 -3x-2.9.设/(x) = %3+ (14-t)x 2+ 2x + 2w, g(x)二F+zx + u 的最大公因式是一个二次多项式，求/，凤的值.解利用辗转相除法，可以得到/(%) = g(x) + (l + /)兀2 +(2-/)兀 + « ,(/(x), g(x)) = x-l = -(6x 2+ 3x-9)+ | _g(x)I d J J(I ] \= (/(x)-2xg(x)) --x+- -g(x)\ 3丿 <2 o 2 d ,、 U 3 广—---- 兀+ (1 + r t-2(l +r)2(尸 + r—w)(i+r) + (t— 2)~u[(l + t)2 — (r —2)]由题意，/(x)与g(Q的最大公因式是一个二次多项式，所以(广 + / —w)(l + /) + (f— 2)~(T H?皿(l + r)2-(r-2)] A ；=0,(l + O2解得u = o^t = -4.10.设(x —I)[(A/+ B F+I),求A和B.由题意要求知解用(兀一1)2 去除f\x) = Ar4 + Bx2 +1 ,得余式”(x) = (4A + 2B)兀+1 -3人一B,斤（兀）=0,即4A + 2B = 0,1-3A-B = O,解得A = l,B = -2.11.证明:如果(/(x),g(x)) = l, (/(x),/z(x)) = l,那么(/(x), g(x)/z(x)) = l. 证明由条件可知,存在络(兀)和片⑴ 使得旳(兀)/(兀)+岭⑴g(x) = l,存在如(兀)和卩2(兀)使得u2(x)f(x) + v2(x)h(x) = 1.用/?(兀)乘以第一式得坷(x)f(x)h(x) + V, (x)g(x)h(x) = h(x),代入第二式得u2(x)f(x) + v2 (x) [u t (x)f(x)h(x) 4-Vj (x)g(x)/z(x)] = 1, 即[w2(兀)+ u\ (x)v2(x)h(x)]f(x) + [v, (x)v2(x)]g(x)h(x) = 1,所以(/(x),g(x)/z(x)) = l.12.证明：如果/(x)与g(x)不全为零，且/心)/(兀)+ 咻)g(兀)=(/(%), g(Q)，证明由于w(x)/(x) + v(x)g(x) = (/(x),g(x)), /(X )与 g(x)不全为零，所以(/(x)，g(x))HO.两 边同时除以(/(Hg(Q)HO,有所以(弘(兀),咻)) = 1 .13.证明：如果〃(兀)|/(兀),〃(兀)|g(x),且〃(兀)为/(兀)与g(x)的一个组合，那么〃(兀)是/G)与 g(x)的一个最大公因式.证明由题意知d(x)是/(X )与g(x)的公因式.再由条件设d(x) = w(x)/(x) + v(x)^(x) •又设h(x) 为/(x)与g(x)的任一公因式，即/z(x)|/(x), h(x)\g(x),则由上式有h(x)\d(x).故而”(兀)是/(兀)与 g(x)的一个最大公因式.14.证明：(.fO)/2(X ), gO)/2(X )) = (.f(X ), g(x))〃(x),其中力(兀)的首项系数为 1.证明显然(/(x), g(x))/?(x)是f{x)h{x)与g(x)h(x)的一个公因式.下面來证明它是最大公因式. 设 /心),v(x)满足 w(x)/(x) + v(x)g(x) = (/(x), g(X>),贝iJu(x)f(x)h(x) + v(x)g(x)h(x) = (/(x),g(x))/z(x).由上题结果知，(/(兀),g(X ))/7(X )是/(X )/?(X )与g(JC”7(X )的一个最大公因式，又首项系数为1,所以(/(x)A(x), ^(%)/?(%)) = (/(x), ^(x))/i(x)・/⑴ g (兀)、(/(兀),g (兀))’(f(x),g(x))丿证明设〃(兀)=(/(兀),g(x)),则存在多项式M (x), v(x),使d(x) = u(x)f(x) + v(x)g(x)・因为/(X )与g (尢)不全为零，所以d(x)HO.上式两边同时除以〃(兀)，有故 /(兀) _____________ g (x)l (/(x),g(x))‘(/(x),g(x))‘u(x) /(X ) (/(%), g(x)) + v(x) g(x) (y (x ),^(x ))15.设多项式/(x)与gS)不全为零，证明1 = u(x)/(兀)(/(兀),g(x))+咻)g(x) (/(兀),g(x))=1成立.16. 分别在复数域、实数域和有理数域上分解兀4+ 1为不可约因式之积.在有理数域上兀°+1是不可约多项式.否则，若+ +1可约，有以下两种可能.(1) 兀4+1有一次因式，从而它有有理根，但/(±1)工0,所以卍+1无有理根.(2) x 4+ 1 无一次因式，设x 4+1 = (x 2+处 +方)(F +cx + d),其中 a,b y c,cl 为整数.于是a + c = O, b+ 〃 + ac = O, cut + be = 0 , bd = \,又分两种情况：① b = d = \,又 a = —c,从而由 b + 〃 + ac = O,得 a 2=2,矛盾； ② b = d = — \,则 a 2= —2 ,矛盾.综合以上情况，即证.17. 求下列多项式的有理根： (1) /(x) = x 3-6x 2+15兀一 14 ；(2) ^(X ) = 4X 4-7X 2-5X -1；(3) /z(x) = x 5+ %4— 6x^ — 14x~ — 1 lx — 3 ・解(1)由于/(x)是首项系数为1的整系数多项式，所以有理根必为整数根，且为-14的因数.-14的 因数有：±1, ±2, ±7, ±14,计算得到:/(D = -4, /(-1) = -36, /(2) = 0, /(-2) = -72,/(7) = 140, /(-7) = -756, /(14) = 1764, /(一 14) = —4144,故x = 2是/(兀)的有理根.再由多项式除法可知，x = 2是于(兀)的单根.⑵ 类似(1)的讨论可知，g(x)的可能的有理根为:故x = --是巩兀)的有理根.再由多项式除法可知，兀二-丄是/(劝的2重根.2 2⑶ 类似地，加兀)的可能的有理根为：±1,±3,计算得到解在实数域上的分解式为X4+ 1 = (X 2 + 1)2-2X 2 =(X 2+V2X + 1)(X 2-V2X +1).在复数域上的分解式为x + ----------1 2 2%4+ 1 = f亠迈亠近、X ---------- 12 2/±1, ±1 ±?计算得到g(l) = -9,g(-1) = 1, g(］、r 、171=-5, g —=0, g — 一 —‘ g —〔2< 264 ,4丿11A(l) = -28, /?(-l) = 0,(3) = 0,加一3) = -96.故x = -l, x = 3是//(兀)的有理根.再由多项式除法可知，x = -\是/z(x)的4重根，兀=3是//(兀)的单根.18.若实系数方程x34- px + q = 0有一根a + bi (a,b为实数，/?工0),则方程x3 + px-q = 0有实根2—证明设原方程有三个根不失一般性，令=a + bi,从而有a2 =a-bi,由根与系数的关系可知0 = $ + 冬 + 他=(° + 勿)+ (a - bi) + ,所以冬二-2d，即(-2a)‘ + /?(-2a) + g = 0，故(2a)' + p(2a)-q = 0.这说明x3 + /zr-g = 0有实根2a .19.证明：如果(%-i)|/(r),那么证明因为u-i)|/(z),所以/(r)= /(i)= 0.因此，令y(x)=(x-i)g(x),则有E =(*-i)g(;),即(伙-1)|/(疋).20.下列多项式在有理数域上是否可约？(1)土 (%) = F+1；(2)/；(X)= X4-8?+12X2+2；(3)人(x) = x" +『+1 ；(4)厶(无)=* + "； + 1,门为奇素数；(5)厶(兀)=兀°+4尬+ 1, A为整数.解(1) ./；(兀)的可能的有理根为：±1,而/(±1) = 2,所以它在有理数域上不可约.(2)由Eisenstein判别法，取素数p = 2,则2不能整除1,而2|(-8), 2|12, 2|2,但是2?不能整除2,所以该多项式在有理数域上不可约.(3)令x=y + l,代入厶(x) = P+x'+l有^(y) = ^(y + l) = / + 6/+15/+21/+18y24-9y4-3.取素数0 = 3,由Eisenstein判别法知，g(y)在有理数域上不可约，所以/(兀)在有理数域上不可约.(4)令兀= y_l,代入f4(x) = x p 4-px + 1,得g(y)=厶(y j) = -+ cy~2——C；-2y2 + (Cf* + p)y-p，取素数p,由Eisenstein判别法知，g(y)在有理数域上不可约，所以£(兀)在有理数域上不可约.(5)令x=y + l,代入农(兀)=兀4+4Ax+l,得g(.y)=厶(y +1) = y" + 4y‘ + 6y2 + (4k + 4)y + 4R + 2 ,収素数p = 2,由Eisenstein判别法知，g(y)在有理数域上不可约，所以点(兀)在有理数域上不可约.1•设/(X)，g(X)，加兀)是实数域上的多项式，(1)若/2U) = xg2(x) + x/z2(x),则/(x) = g(x) = h{x) = 0 .(2)在复数域上，上述命题是否成立？证明(1)当g(兀)=/2(兀)=0时，有严⑴=0,所以/(%) = 0 ,命题成立.如果g(x), /z(x)不全为零，不妨设g(x)H0・当h(x) = 0时，a(xg2(x) + x/i2U)) = l + 2a^(x)为奇数；当加兀)工0时，因为g(x),瓜兀)都是实系数多项式，所以Xg2(x)与兀胪(兀)都是首项系数为正实数的奇次多项式，于是也有d(xg2(x) + x/『(x))为奇数.而这时均有/2(x)^0 ,且df\x) = 2df(x)为偶数,矛盾.因此有g(兀)=力(兀) = 0,从而有f(x) = 0 .(2)在复数域上，上述命题不成立.例如，设f(x) = 0 , g(x) = x\ h(x) = ix,1,其中斤为自然数, 有/2 (x) = xg2 (x)xh2 (x),但g(x) / 0 ,力(兀)工0.2.设/(x), g(x)9 h(x)e P[x],满足(x2 4-l)h(x)4-(x-l)/(x) + (x+2)g(x) = 0,(x2 + l)/?(x) + (x+ l)/(x) + (x - 2)^(%) = 0.证明(X2+1)|(/U), g(X))・证明两式相加得到2(x2 + l)h(x) + 2x(/(x) + g(兀))=0.由(x2+l,兀)=1可知(x2 + l)|(/(x) + g(x)).两式相减得到-2f(x) + 4g(x) = 0, f(x) = 2g(x).故(x2 + l)|/(x), (x2+l)|g(x), BP(X2+1)|(/(X),g(x)).3・设gi(x)g2(x)\f{(x)f2(x),证明(1)若/(x)|g](x)，/(X)H0,则g2(x)\f2(x)；(2)若g2(x)|/；(x)/；(x),是否有g2(x)\f2(x)?解(1)因为gi(兀)g2(兀)庞(兀)£(兀)，/O)|gi(X)，故存在多项式h(x), h}(x)使得fl(x)f 2(x) = g](x)g 2(x)h(x\ g](兀)=Z (x)h }(x).于是/；(兀)£(兀)=/(兀)人(兀)g2(x)力(兀)•由于 土(兀)工0,故有 f 2(x) = h l (x)g 2(x)h(x),即g 2(x)\f 2(x).(2)否•例如取 g {(x) = x-2 , ^2(X ) = X 2-1 , (x) = (x-l)(x-2), (x) = (x + l)(x4-2).虽 然 gSx)g 2(x)\f^x)f 2(x)且 g 2(x)\f {(x)f 2(x),但 g 2(x)不能整除 f 2(x).4.当R 为何值时，/(x) = X 2 +伙+ 6)x + 4k + 2和g(x) = F+(£ + 2)x + 2R 的最大公因式是一次 的？并求出此吋的最大公因式.解 显然 g(x) = (x + £)(x+2).当(/(x),g(Q) = x + 2时'/(一2) = 4 — 2伙+ 6) + 4£ + 2 = 0‘ 则k = 3.当(于(兀),g(Q )=兀 + £ 时’/(一灯=k 2 - k(k + 6) + 4Z: + 2 = 0 ‘ 则 k = l.这时(/(x), g(x))=兀+1. 5.证明：对于任意正整数斤，都有(/(x),g(Q)"=(/"(x),g"(x))・证明 由题意可知/(%)与&(兀)不全为零.令(/(x), g(x)) = d(x),Z 、” g(x) 、d(x)丿/心)/"(兀)+ 咚)g"(兀)=d\x).又由 d(x)\f(x), d(x)|g(x),有 d n (x) f l \x), d"(x) g"(x),因此 d"(x)是厂(x)与 g"(x)的首项系数为1的最大公因式，从而有(广(x),g"(x))= 〃"(兀)=(/(x),g(x))" •6.设 / (x) = af(x) + bg(x), g[ (x) = c/(x) + dg(x),且 ad - be H 0 ,证明(/(x),g(x)) = (/](x), g](X ))・证明设(/(x), g(x)) = d(x),则 d(x)\f(x\d(x)\g(x).由于 “所以对任意正整如，有爲J 寫〕"卜 于是有u{x) +咻) 则〃(兀)工0,从而fi (兀)=妙(x) + bg(x) , g] (x) = (x) + dg (x),故d (x)| (x), d (x)|g t (x).又设h(x)\ (x), /z(x)|(x),由上式及ad-bc^O ,可得从而/?(x)|/(x), h(x)\g(x),于是h(x)\d(x),即〃(兀)也是/；(兀)和g|(x)的最大公因式，即(/(x), g(x)) = (/；(x),&(兀))・7.设 /(x) = t/(x)/(x), g(Q 二 dCr)g](x),且/O)与 gd)不全为零，证明〃(兀)是/O)与 gCO的一个最大公因式的充分必要条件是(/(劝,g|(x)) = 1.证明必要性.若〃(x)是/(兀)与g (兀)的一个最大公因式，则存在多项式w(x),v(x)使W (x)/(x) +v(x)g(x) = d(x),于是u(x)d(x)f t (x) + v(x)d(x)g l (x) = d(x).由/(力与g (兀)不全为零知如工0,因此有u(x)f l (x) + v(x)g l (x) = l f 即(土(兀),g©))i •充分性.若(f l (x),g l (x)) = l ,则存在多项式u(x),v(x),使 u(x)f l (x)+ v(x)g l (x) = l. 两边同吋乘〃(兀)有u(x)f(x) + v(x)g(x) = d(x)・由d(x)是/(x)与g(x)的一个公因式知，d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式.8.设于(兀)和g(x)是两个多项式，证明(f(x), g(x)) = l 当且仅当(f(x)-l-g(x), f(x)g(x)) = l. 证明 必要性.设(f(x)9g(x)) = l,若f(x) + g(x)与/⑴g(x)不互素，则有不可约公因式p(x), 使p(x)lf(x)g(x)f所以 p(x)| /(X )或 0(x)|g(x).不妨设 p(x)\ /(x),由 P (x)|(/(x) + g (兀))可知 p(x)|g(x),因此 P (兀)是 /(兀)和g“)的公因式,与/(%), g (x)互素矛盾,故 蚀+g (兀)与蚀g (兀)互素.充分性.设(/(兀)+ gO) J(x)g (兀)) = 1,则存在w(x), v(x)使(/(兀)+ g (兀))心)+ /(x)g(x)v(x) = 1 , f(x)u(x) + g (兀)(臥兀)+d ad-be zw- h ad 一gi (兀)， g(x) -c ad -be a ad -be g](x)，/(x)v(x)) = 1, 上式说明(/(兀),g(兀)) = 1.9.如果(x2 +x + l)|/j(x3) + x/^(x3),那么(x-l)|/；(x), 0 — 1)|/；(兀)・T；®所以，^3=£23 = 1.证明X2+X + l的两个根为£\= 士护和£2=因为U2+x+l)|(/；(^3) + x/；(^3)),所以(兀一£|)(x - £2)|/；(X')+/(F)，故有y 窗)+ £/(郃)=0,［爪哥)+ £2£(哥)=0,即解得/(l) = /；(l) = o,从而(兀—1)|久(兀)，(x-1)|/；(%).10.若f(x)\f(x H),则/(x)的根只能是零或单位根.证明因为f(x)\f(x n),故存在多项式g(x),使/(x n) = /(x)^(x).设。

线性代数第一章作业及其答案

线性代数第一章作业及其答案

第一章行列式一、单项选择题1.行列式D 非零的充分条件是（）(A)D 的所有元素非零(B)D 至少有n 个元素非零(C)D 的任何两行元素不成比例(D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解2．二阶行列式1221--k k ≠0的充分必要条件是（）A．k≠-1B．k≠3C．k≠-1且k≠3D．k≠-1或≠33．已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=（）A.m -nB.n -mC.m +nD.–(m +n )4.设行列式==1111034222,1111304zy x zyx则行列式（）A.32B.1C.2D.385．下列行列式等于零的是（）A .100123123- B.031010300-C．100310-D．261422613-6．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（）A．-2B．-1C．1D．27．如果方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则k=（）A.-2B.-1C.1D.28．（考研题）行列式0000000ab a bc dc d=（）A.()2ad bc - B.()2ad bc -- C.2222a db c- D.2222b c a d-二、填空题1.四阶行列式中带负号且含有因子12a 和21a 的项为。

2.行列式1112344916中位于（3，2）元素的代数余子式A 32=。

3.设1578111120963437D --=--，则1424445A A A ++=。

4．已知行列式212300111a=-，则数a =。

5．若a ,b 是实数，则当a =且b =时，有000101ab ba-=--。

6.设13124321322)(+--+-+=x x x x f ，则2x 的系数为。

7.五阶行列式000130003201830207530026=。

线性代数第一章习题答案

线性代数第一章习题答案

线性代数第一章习题答案习题1：向量空间的定义向量空间是一个集合V，配合两个运算：向量加法和标量乘法，满足以下公理：1. 向量加法的封闭性：对于任意的u, v ∈ V，有u + v ∈ V。

2. 向量加法的结合律：对于任意的u, v, w ∈ V，有(u + v) + w = u + (v + w)。

3. 向量加法的交换律：对于任意的u, v ∈ V，有u + v = v + u。

4. 存在零向量：存在一个向量0 ∈ V，使得对于任意的v ∈ V，有v + 0 = v。

5. 每个向量都有一个加法逆元：对于任意的v ∈ V，存在一个向量w ∈ V，使得v + w = 0。

6. 标量乘法的封闭性：对于任意的实数k和向量v ∈ V，有k * v∈ V。

7. 标量乘法的结合律：对于任意的实数k, l和向量v ∈ V，有(k * l) * v = k * (l * v)。

8. 标量乘法与向量加法的分配律：对于任意的实数k和向量u, v ∈ V，有k * (u + v) = k * u + k * v。

9. 单位标量乘法：对于任意的向量v ∈ V，有1 * v = v。

习题2：线性组合与线性无关线性组合是指由向量空间中的向量，通过加法和标量乘法组合而成的向量。

如果一组向量\{v_1, v_2, ..., v_n\}的任何非平凡线性组合（即不是所有标量系数都是零的组合）都不能得到零向量，那么这组向量就是线性无关的。

习题3：基与维数基是向量空间中的一组线性无关的向量，任何该空间中的向量都可以唯一地表示为这组向量的线性组合。

向量空间的维数是其基中向量的数量。

习题4：线性映射的定义与性质线性映射是一个函数T: V → W，它将向量空间V中的向量映射到向量空间W中的向量，并且满足以下性质：1. 对于任意的u, v ∈ V，有T(u + v) = T(u) + T(v)。

2. 对于任意的实数k和向量v ∈ V，有T(k * v) = k * T(v)。

线性代数第一章习题及答案

线性代数第一章习题及答案

第一章 行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）381141102---； （2）b a c a c b cb a （3）222111c b a c b a； （4）yxy x x y x yy x y x+++.解 （1）=---381141102811)1()1(03)4(2⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯)1()4(18)1(2310-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯-=416824-++- =4-（2）=ba ca cbc b a ccc aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3）=222111c b a c b a222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4）yxyx x y x y yx y x+++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+--33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2（3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3（5）逆序数为2)1(-n n ：3 2 1个 5 2，54 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n)1(-n 个（6）逆序数为)1(-n n3 2 1个 5 2，54 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n)1(-n 个4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.4.计算下列各行列式：（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢71100251020214214； （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-2605232112131412； （3）⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c b a100110011001 解(1)7110025102021421434327c c c c --0100142310202110214---=34)1(143102211014+-⨯--- =143102211014--321132c c c c ++141717201099-=0(2)2605232112131412-24c c -260532122130412-24r r -0412032122130412-14r r -0000032122130412-=0(3)ef cfbfde cd bdaeac ab ---=ecb ec b ec badf ---=111111111---adfbce =abcdef 4(4)d cb a 10110011001---21ar r +d cb a ab 10011011010---+=12)1)(1(+--d c a ab 101101--+ 23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明:(1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -;(2)bz ay by ax bxaz by ax bxaz bzay bxaz bz ay by ax +++++++++=yxzx z yz y xb a )(33+; (3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a dcbad c b a))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +----- n n n n a x a x a x ++++=--111 .证明(1)0122222221312a b a b aa b a ab a c c c c ------=左边 ab a b ab a ab 22)1(22213-----=+ 21))((ab a a b a b +--=右边=-=3)(b a (2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax zx bxaz y z bz ay x a 分别再分bzay y xby ax x zbxaz z y b +++ zyx y x zx z y b y x zx z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yxz x z y zy x b yxzx z yz y x a (3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c964496449644964422222++++++++d d dd c c c cb b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a949494949464222224232423dd c cb b a ac c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+d dd c c c b b b a a a(4) 444444422222220001a d a c ab a ad ac ab aa d a c ab a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b --------- =)()()(111))()((222a d d a c c a b b ad ac ab a d ac a b ++++++---=⨯---))()((a d a c a b)()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b)()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++ =))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即 ,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x x a xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依 副对角线翻转，依次得n nnn a a a a D 11111=， 11112n nn n a a a a D = ，11113a a a a D n nnn =， 证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnn n n n nnnn a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴=--=--nnn n nn n n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn nn n a a a a111121)1()1()1(---=-- D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-=同理可证nnnn n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n T n n 2)1(2)1()1()1(---=-=D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)aaD n 11=,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xa a ax a aa x D n =;(3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n n n n n ------=---+; 提示：利用范德蒙德行列式的结果．(4) nnnnn d c d c b a b a D000011112=;(5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121,021≠n a a a 其中.解(1) aa aa a D n 00010000000000001000=按最后一行展开)1()1(100000000010000)1(-⨯-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--⋅-+n n n a aa(再按第一行展开)n n n nn a a a+-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax x a a x xa a x x a a a a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得ax a x a x a a a an x D n ----+=0000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=-(3)从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得nn nn n n n n n n a a a n a a a n a a a D )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-∙-∙-=---=1121)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) nnnnn d c d c b a b a D 0011112=n n n n n nd d c d c b a b a a 00000011111111----展开按第一行0000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开 由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D 即 ∏=-=ni i i i i n D c b d a D 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)j i a ij -=432140123310122210113210)det(--------==n n n n n n n n a D ij n,3221r r r r --0432111111111111111111111--------------n n n n ,,141312c c c c c c +++1524232102221002210002100001---------------n n n n n=212)1()1(----n n n(6)n n a a a D +++=11111111121,,433221c c c c c c ---nn n n a a a a a a a a a a +-------10000100010000100010001000011433221展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------0000000000000000000000022433221n n n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------0000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---)11)((121∑+==n i in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(5454343232121x x x x x x x x x x x x x 解 (1)11213513241211111----=D 8120735032101111------=14508130032101111---=14214205410032101111-=---=112105132412211151------=D 11210513290501115----=112123313090509151------=233130905112109151------=1202300461000112109151-----=14238100112109151----=142-=112035122412111512-----=D 811507312032701151-------=31390011230023101151-=28428401910023101151-=----=42611135232422115113-=----=D14202132132********4=-----=D1,3,2,144332211-========∴DD x D D x D D x DD x(2)510006510006510065100065=D 展开按最后一行61000510065100655-'D D D ''-'=65D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019D D ''''-'''=1146566551141965=⨯-⨯=(,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',) 5100165100065100650000611=D 展开按第一列6510065100650006+'D46+'=D 460319+''''-'''=D 1507=5101065100065000601000152=D 展开按第二列5100651006500061-6510065*********-365510651065⨯-=1145108065-=--=5110065000060100051001653=D 展开按第三列51006500061000516500061*********+6100510656510650061+=703114619=⨯+= 5100060100005100651010654=D 展开按第四列61000510065100655000610005100651--51065106565--=395-=110005100065100651100655=D 展开按最后一列D '+1000510********12122111=+=665212;665395;665703;6651145;665150744321=-==-==∴x x x x x ． 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 μλμμμλ-==12111113D ，齐次线性方程组有非零解，则03=D 即 0=-μλμ 得 10==λμ或不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.10.齐次线性方程组取何值时问,λ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？ 解λλλ----=111132421D λλλλ--+--=101112431)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-= 3)1(2)1(23-+-+-=λλλ 齐次线性方程组有非零解，则0=D 得 32,0===λλλ或不难验证，当32,0===λλλ或时，该齐次线性方程组确有非零解.。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

一. 判断题（正确打√，错误打×）1. n 阶行列式ij a 的展开式中含有11a 的项数为1-n .( × ) 正确答案：)!1(-n解答：方法1因为含有11a 的项的一般形式是nnjj a a a 2211，其中n j j j 32是1-n 级全排列的全体，所以共有)!1(-n 项. 方法2 由行列式展开定理=nnn n n n a a a a a a a a a 212222111211n n A a A a A a 1121211111+++ ，而n n A a A a 112121++ 中不再含有11a ，而11A 共有)!1(-n 项，所以含有11a 的项数是)!1(-n .注意：含有任何元素ij a 的项数都是)!1(-n .2. 若n 阶行列式ij a 中每行元素之和均为零，则ij a 等于零.( √ )解答：将nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211中的n 、、、 32列都加到第一列，则行列式中有一列元素全为零，所以ij a 等于零.3.33224411443322110000000a b b a a b b a a b a b b a b a =.( √ ) 解答：方法1按第一列展开332244114411414133224133224144332211)(0000000a b b a a b b a a b b a b b a a a b b a b b a b b a a a a b a b b a b a =-=-=.方法2 交换2，4列，再交换2，4行2233441144332211443322110000000000000000000000a b b a a b b a a b b a a b b a a b a b b a b a =-==33224411a b b a a b b a . 方法 3 Laplace 展开定理：设在n 行列式D 中任意取定了)11(-≤≤n k k 个行，由这k 行元素所组成的一切k 阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D 。

所以按2，3行展开323244332211)1(0000000+++-=a b a b b a b a 33224411a b b a a b b a =33224411a b b a a b b a . 4. 若n 阶行列式ij a 满足ij ij A a =,n j i ，， ,2,1=,则0≥ij a .(√)解答：由行列式展开定理nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211n n A a A a A a 1121211111+++=021212211≥+++=n a a a .5. 若n 阶行列式ij a 的展开式中每一项都不为零,则0≠ij a .( × ) 解答：反例如04221=. 二. 单项选择题1. 方程0881441221111132=--x xx的根为（B ）.（A ）3,2,1； （B ）2,2,1-； （C ）2,1,0； （D ）2,1,1-. 解答：（范德蒙行列式）0)2)(2)(1)(22)(12)(12(881441221111132=-+-+---=--x x x x x x ，所以根为2,2,1-.2. 已知a a a a a a a a a a =333231232221131211,那么=+++323133312221232112111311222a a a a a a a a a a a a （D ）. （A ）a ； （B ）a -； (C)a 2； （D ）a 2-.解答： =+++323133312221232112111311222a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -22323331222321121311=。

3. 已知齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++0030z y z y x z y x λλλ仅有零解，则（A ）.（A ）0≠λ且1≠λ；（B ）0=λ或1=λ；（C ）0=λ；（D ）1=λ.解答：因为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++0030z y z y x z y x λλλ仅有零解，所以02-21-02-20111-01-311≠==）（λλλλλλλ， 所以0≠λ且1≠λ.4.下列行列式中不一定等于n λλλ 21的是（B ）.（A ）nnn a a a λλλ 00221121； （B ）nnn nna a a2221λλλ；（C ）nn n a a a λλλ2122110； （D ）00000000000000121n n λλλλ---- . 解答： 注意nnn nna a a2221λλλ=2)1()1(--n n n λλλ 21；而0000000000000121n n λλλλ----=n n n λλλ 2111)1()1(----=n λλλ 21. 5.n 阶行列式ij a D =展开式中项12,12,31,21n n n n n a a a a a --- 的符号为(D). （A ）- ； （B ）+； （C ）2)1()1(+-n n ； （D ）2)1()1(--n n .三. 填空题1. 已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++c z y x b z y x az y x 有唯一解,且1=x ,那么=--111111c b a 4 .解答：系数行列式4112110110111111111-=--=--=D ， 而4111DD D x -===,所以41-=D ,所以41111111111111111111=-=---=--=--D c b a c b a c b a . 2. 已知4阶行列式中第3行的元素依次为-1，0，2，4，第4行的余子式依次为10，5,a ,2则a = 9 . 解答：因为10280a -+=，所以9a =.3. 若V 为n 阶范德蒙行列式,ij A 是代数余子式，则=∑=nj i ij A 1,V .解答：V V AA A A A nj i ijn nj i ij =+=++++=∑∑===01,2112111, .4. =56789012011400103002001000120 .解答：方法1 12056789012011400103020010005541322314==a a a a a .方法2 12024501141030200-5120114010300200100055678901201140010302001000=⨯===. 5. 设xx x x xD 111123111212-=，则D 的展开式中3x 的系数为 -1 .解答：D 的展开式中有一项是344332112x a a a a -=-. 或者按第一行展开：11123112111231111131111112112111123111212x x xx xx x xx x x x x x x x D ---+---=-=， 由此可以看出3x 的系数为-1. 四. 计算题1.已知4521011130112101--=D ，计算44434241A A A A +++.解答：方法144434241A A A A +++1111011130112101-=11111002011110112011011001131112001-=--=-=-=. 方法2=++434241A A A 00111011130112101=-=，所以14444434241-==+++A A A A A .方法3 1172544434241-=-+--=+++A A A A .2. 计算行列式2116415012051422------2116211641506403016050165021201205120560156151422520105210---------===-=----------3. 计算行列式1322340922623383----解答：12811-1201565-022312383313119043223123833262290432231-=----=----50754602515-01281-215651121281-2-=-=--=. 4. 计算行列式1111111111111111--+---+---x x x x解答：（行和相等）11111111111111111111111111111111-----+---=--+---+---x x x xx x x x.0000011110000011114x xx x x x x xxx x x x x x=------=-----=5. 计算行列式cc b b a a ------11110011001解答：110001000100011100100010001110011001001110110011001==--=----=------c b a ccba cc b ba cc b ba a6. 计算行列式ba a a a a ab a a a a a b a n n n +++321321321解答：（行和相等）ba a a a ab a a a a a b ba a a a a ab a a a a a b a n nn ni i n nn +++=+++∑=3232321321321321111)（.)0000001)11321-==∑∑+=+=n ni i n ni i b a b bba a a ab （（7. 计算行列式n222232222222221.解答：当2=n 时：22221-=；当2>n 时：22-≠i i 行，行得到 )!.2(22-0000122220001-222232222222221--==n n n五．证明题1. 设1121()12321343x x f x x x x x --=----，证明：存在(0,1),ξ∈使得()0f ξ'=.证明：因为111(0)1220133f --=--=--，101(1)1110121f =-=-，所以(0)(1)f f =，而()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)可导，所以由Rolle 定理知存在(0,1),ξ∈使得()0f ξ'=.2.证明当1=λ时，行列式074717171616361615151525141414141=----λλλλ.证明：0.3-1113-10113-0111084013-11113-11113-11113-840174717171616361615151525141414141===----λλλλ3.333111,,00a b c abc a b c a b c =++=设是互异的实数，证明的充分必要条件是.证明：方法一设222233331111()a b c x f x abcxa b c x =，将其按第4例展开得到2314243444()f x A A x A x A x =+++，由于()()()0f a f b f c ===，且,,a b c 是互异的实数，由方程根与系数的关系知3444A a b c A ++=-，而44()()()A c b c a b a =---，于是 34333111abc M a b c ==()()()c b c a b a ---a b c ++， 所以33311100ab c a b c a b c =++=的充分必要条件是. 注 ，该方法具有一般性，利用它可以证明12322221231122221231231111()()n nni j i i j i nn n n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x =≤<≤----=-∑∏.方法二333333333333222222222211110011()()()()()()()()()(){()()()}()()()()b ac a a b c a b a c a b ac a a b c a b a c a b a c a a ab b a ac c b a c a a ac c a ab b b a c a ac c ab b b a c a a c b c b c b b a c a c b a b c --=--=----=--++++=--++---=--+--=---+-+=---++六.000i i i i a x b y c z d i x y +++求四个平面=0(=1,2,3,4)相交于一点(,,z )的充要条件.解答想法：三个平面相交于一点，第四个平面过该点：方程组111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d +++⎧⎪+++⎨⎪+++⎩=0=0=0有唯一解000x y (,,z )，当且仅当1112223330a b c a b c a b c ≠，第四个平面过000x y (,,z )点当且仅当4040404a x b y c z d +++=0，所以3124444D D Da b c d D D D+++=0， 于是4142434a D b D c D d D +++=0，即11112222333444440a b c d a b c d a b c d a b c d =， 所以000i i i i a x b y c z d i x y +++四个平面=0(=1,2,3,4)相交于一点(,,z )的充要条件是1112223330a b c a b c a b c ≠ 并且11112222333444440a b c d a b c d a b c d a b c d =.。

相关文档
最新文档