第八章知识点和练习题

= 2t(1+ sin t + sin t cos t) + t2[(1+ cos t) cos t − sin t sin t]
= 2t(1+ sin t + sin t cos t) + t2[(cos t + cos 2t] ．
13. 解： ∂z = yexy ， ∂x
∂z = cos y + xexy ∂y 于是 dz = yexydx + (cos y + xexy )dy .
因此在 M(−3,3) 点，有 A = 2, B = 1,C = 2, AC − B2 = 3 > 0 ，
知点 M (−3,3) 是函数的极值点，又 A = 2 > 0 ，是极小值点，
且极小值为 f (−3,3) = −5 .
24.
⎧⎪ ⎨ 解：解方程组 ⎪⎩
fx′( x, fy′( x,
y) y)
= =
3x2 3y2
+ 3y + 3x
= =
0 0
得驻点 M1(0, 0), M 2 (−1, −1), 又 fx′x′ ( x, y) = 6x ， fx′y′ ( x, y) = 3， fy′y′ ( x, y) = 6 y ，
因此在 M1(0, 0) 点，有 A = 0, B = 3,C = 0, AC − B2 = −9 < 0 ， 知点 M1(0, 0) 不是函数的极值点；
14. 解： ∂z = ln(xy) + x ⋅ y = ln(xy) + 1 ；
∂x
xy
∂2z = y = 1 ； ∂x2 xy x
∂3z ∂x2∂y
=
0
.
15.
解：
∂z ∂x
=
− ye−xy ez − 2
．
16. 解：方程两边对 x 求偏导，得
1 z
+
x(−
1 ∂z z2 ) ∂x
=
y z
1 y
18. 某咖啡店只经营两种饮料咖啡和奶茶，售价分别为 p1 和 p2 ，销售量分别为 q1 = 24 − 0.2 p1 ， q2 = 10 − 0.05 p2 ，总成本函数为 C = 35 + 40(q1 + q2 ) ，试问价 格 p1, p2 取何值时可使利润最大?
19. 有一圆柱体受压后发生形变，它的半径由 20cm 增大到 20.05cm，高度由 100cm 减少到 99cm，利用全微分求此圆柱体积变化的近似值.
21. 解： 设 f (x, y) =
x3 + y3 ， fx′(x, y) = 2
3x2 x3 +
y3
，
f y′(x, y)
=
2
3y2 x3 + y3
令 x = 1, y = 2, Δx = 0.02, Δy = −0.05 ，
(1.02)3 + (1.95)3 ≈ f (1, 2) + fx′(1, 2)Δx + fy′(1, 2)Δy = 2.91.
故圆柱体在受压后体积约减少了 200π cm3 .
20. 解： 设长方体的长、宽、高分别为 a 、 b 、 c ，其表面积函数 S = 2ab + 2bc + 2ca ． 记 a = 50 、 b = 30 、 c = 10 的增量分别为 Δa = 0.08 、 Δb = 0.04 、 Δc = 0.01 ， 得
知点 M(2, −2) 是函数的极值点，又 A = −2 < 0 ，是极大值点，
且极大值为 f (2, −2) = 8 .
23.
⎧ 解：解方程组 ⎨
⎩
f x′ ( x, f y′( x,
y) y)
= =
2x 2y
+ +
y x
+3= −3=
0 得驻点 M(−3, 3) .
0
又 fx′′x ( x, y) = 2 ， fx′y′ ( x, y) = 1， fy′y′ ( x, y) = 2 ，
(x, y)→(0,3) x
8.
求极限 lim ( x, y )→(0,1)
x x2 y
− +
xy + 3 5xy − y3
.
9. 设 z = xy + x ，求 dz . y
10. 设函数 z = eu sin v ， u = x + y ， v = xy ，求 ∂z ． ∂x
11. 设函数 z = sin(uv) ， u = ex ， v = cos x ，求 dz ． dx
4. 求二元函数 f (x, y) = arcsin(3 − x2 − y2 ) 的定义域. x − y2
5. 求二元函数 z = ln( y − x) +
x 的定义域.
1− x2 − y2
6. 求二元函数 z = ln( y − x) +
5x 的定义域.
4 − x2 − y2
7. 求极限 lim sin(xy) .
∂u
∂v
∂x
∂y
∂x
∂y
可得 ∂z = eu sin v ⋅1+ yeu cos v = [sin(xy) + y cos(xy)]ex+y . ∂x
11. 解：
∂z = v cos(uv) ∂z = u cos(uv) du = ex dv = − sin x
∂u
， ∂v
， dx ， dx
，
可得
dz = v cos(uv)ex − u cos(uv) sin x dx
⎧ y−x>0
5.
解：数学表达式有意义
⎪ ⎨
x≥0
，
⎪⎩1− x2 − y2 > 0
{ } 则 ( x, y) | y > x ≥ 0, x2 + y2 < 1 .
6. 解：要使函数表达式有意义需有
⎧ y−x>0
⎪ ⎨
5x ≥ 0
⎪⎩4 − x2 − y2 > 0
{ } 整理得定义域为 D = (x, y) | y > x ≥ 0, x2 + y2 < 4 .
由题意，
⎧⎪1− x2 > 0,
⎨ ⎪⎩ y
−
x2
≥
0
{ 即，定义域 D = (x, y) y > x2 ,
} −1 < x < 1 ．
4.
解：数学表达式有意义
⎧⎪−1 ⎨ ⎪⎩
≤
3 x
− −
x2 y2
− >
y2 0
≤
1，则
定义域为{( x, y) | 2 ≤ x2 + y2 ≤ 4, x > y2}.
( x, y)→(0,1)
= 3 = −3. −1
9.
解： ∂z ∂x
=y
+
1 y
， ∂z =x ∂y
−
x y2
于是 dz
=(y+
1 )dx + ( x y
−
x y2
)dy
.
10. 解： ∂z = eu sin v ， ∂z = eu cos v ， ∂u = 1 ， ∂u = 1 ， ∂v = y ， ∂v = x ，
)．
y
( A) x2 ( y + 1 )2 ； (B) x (1 + y)2 ； (C) y2 (x + 1 )2 ； (D) y (1 + y)2 ．
y
y
x
x
2. 设 z = x + y + f (x − y) ，且当 y = 0 时， z = x 2 ，将 z 用 x 、 y 表达出来．
3. 求函数 z = ln(1 − x 2 ) + y − x 2 + 3 x + y − 1 的定义域；
12. 设函数 u = x + xy + xyz ， x = t2 ， y = sin t ， z = cos t ，求 du ． dt
13. 设 z = sin y + exy ，求 dz .
14.
设函数
z
=
x
ln( xy )
，求
∂3z ∂x2∂y
．
15. 设 z = z(x, y) 由方程 e−xy − 2z + ez = 0 确定，求 z 关于 x 的偏导数．
∂z ∂x
，
∂z ∂x
=
z x+
z
.
17. 解： 因为 Lx′ (x, y) = 6 − 2x ， L′y ( x, y) = 16 − 8 y ，所以
Lx′ (2, 2) = 2 ， L′y (2, 2) = 0 ．
即当 A 产品产量在 2 个单位的基础上增加一个单位产量时利润是增加的，而 B 产品产 量在 2 个单位的基础上增加一个单位产量时利润不会发生变化. 18. 解：利润函数为
7. 解：
lim
sin( xy )
=
lim
sin(xy) ⋅ y =3
(x, y)→(0,3) x
( x, y)→(0,3) xy
8.
解： lim x − xy + 3 =
(x,y)→(0,1) x2 y + 5xy − y3
lim (x − xy + 3)
( x, y)→(0,1)
lim (x2 y + 5xy − y3)
20. 已知一个长方体，由于受热发生形变，其长由 50m 增大到 50.08m，宽由 30m 增大到 30.04m，高由 10m 增大到 10.01m，利用全微分计算此长方体表 面积变化的近似值．