线性代数试题(答案)

一、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1、设A ，B 为n 阶方阵，满足等式0=AB ，则必有（ ）

(A)0=A 或0=B ; (B)0=+B A ； （C ）0=A 或0=B ; (D)0=+B A 。 2、A 和B 均为n 阶矩阵，且222()2A B A AB B +=++，则必有（ ） (A) A E =； (B)B E =； （C ） A B =. (D) AB BA =。 3、设A 为n m ⨯矩阵，齐次方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是（ ） (A) A 的列向量线性无关； (B) A 的列向量线性相关； （C ） A 的行向量线性无关； (D) A 的行向量线性相关. 4、 n 阶矩阵A 为奇异矩阵的充要条件是（ ） (A) A 的秩小于n ； (B) 0A ≠；

(C) A 的特征值都等于零； (D) A 的特征值都不等于零； 二、填空题（本题共4小题，每题4分，满分16分）

5、若4阶矩阵A 的行列式5A =-，A *是A 的伴随矩阵，则*A = 。

6、A 为n n ⨯阶矩阵，且220A A E --=，则1(2)A E -+= 。

7、已知方程组⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛-+43121232

1

2132

1x x x a

a 无解，则a = 。 8、二次型2221231231213(,,)2322f x x x x x tx x x x x =++++是正定的，则t 的取值范围是 。

三、计算题（本题共2小题，每题8分，满分16分）

9、计算行列式1111111111111

1

1

1x

x D y y

+-=+-

10、计算n 阶行列式

12121

2

333

n n n n x x x x x x D x x x ++=

+

四、证明题（本题共2小题，每小题8分，满分16分。写出证明过程）

11、若向量组123,,ααα线性相关，向量组234,,ααα线性无关。证明： (1) 1α能有23,αα线性表出； (2) 4α不能由123,,ααα线性表出。

12、设A 是n 阶矩方阵，E 是n 阶单位矩阵，E A +可逆，且

1

()()()

f A E A E A -=-+。

证明

（1） (())()2E f A E A E ++=； （2） (())f f A A =。

五、解答题（本题共3小题，每小题12分，满分32分。解答应写出文字说明或演算步骤）

13、设2000

3202

3A ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝

⎭

，求一个正交矩阵P 使得1P AP -为对角矩阵。

14、已知方程组⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++0

4020

3221

3

21321x

a x x ax x x x x x 与方程组12321-=++a x x x 有公共解。 求a 的值。

15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知1η，2η，3η是它的三个解向量，且

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321η，⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=+432132ηη

求该方程组的通解。

解答和评分标准

一、选择题

1、C ；

2、D ；

3、A ；

4、A 。

二、填空题

5、-125;

6、2

π； 7、-1； 8、5

3

>t 。

三、计算题

9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得：

001111001

1

11x x x D y y y -=

-

第二列减第一列，第四列减第三列得：0001100001

1

x

x D y y

-=

- （4

分）

按第一行展开得

100

00

1

x

D x y y

-=- 按第三列展开得

2

2

01

x D xy

x y

y -=-=。 （4分）

10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子⎪⎭

⎫

⎝⎛+∑=n i i x 13，再通过行列

式的变换化为上三角形行列式

2212

1

1

331

3

n n n n i i n x x x x D x x x =+⎛⎫=+ ⎪

⎝⎭+∑

（4分）

211

03030

3

n n i i x x x =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑

1

13

3n n i i x -=⎛⎫

=+ ⎪⎝⎭

∑ （4分）

四、证明题 11、证明：

(1)、 因为332,ααα，线性无关，所以32αα，线性无关。

， 又321ααα，，线性相关，故1α能由32αα，线性表出。 (4分)

123()3

r ααα=，，，

（2）、（反正法）若不，则4α能由321,ααα，

线性表出， 不妨设3322114ααααk k k ++=。

由（1）知，1α能由32αα，

线性表出， 不妨设32211αααt t +=。

所以3322322114)(αααααk k t t k +++=，

这表明432,ααα，

线性相关，矛盾。 12、证明

（1）1(())()[()()]()E f A E A E E A E A E A -++=+-++

1

()()()()()()2E A E A E A E A E A E A E

-=++-++=++-= （4分）

（2）1(())[()][()]f f A E f A E f A -=-+ 由（1）得：11[()]()

2E f A E A -+=

+，代入上式得

1

1

111(())[()()]

()()()()

()2

2

2

f f A E E A E A E A E A E A E A E A --=--++=

+--++

11()()2

2

E A E A A =+-

-= （4分）