2019年中考数学一轮复习专题 图形折叠问题 综合复习

2019年中考数学一轮复习专题
图形折叠问题综合复习
一选择题：
1.如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AFE，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB=55°，则∠DAF=( )
A．40° B．35° C．20° D．15°
2.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于（）
A．50° B．55° C．60° D．65°3.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）
A．12 B．24 C．12 D．16
4.如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，则DE长为（）
A．3 B．4 C．5 D．6 5.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF.若AB=3，则BC的长为（）
A．1 B．2 C. D.
6.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为（） A．12 B．10 C．8 D．6
7.如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC 的点F处．若AE=5，BF=3，则CD的长是（）
A.7
B.8 C．9 D． 10
8.如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（）
A．78° B．75° C．60° D．45°9.如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使得点A落在CD边上的点E处，折痕为MN．若CE的长为7cm，则MN的长为（）
A． 10 B． 13 C． 15 D． 12
10.如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内翻折，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是 ( )
A．12厘米 B．16厘米 C．20厘
米 D．28厘米
11.如图，在矩形 OABC 中，OA=8，OC=4，沿对角线 OB 折叠后，点 A 与点 D 重合，OD 与BC
交于点 E，则点 D 的坐标是（）
A．（4，8）B．（5，8）C．（，） D．（，）12.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE=30°，，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（） A. B. 2 C. 3 D.
13.如图，矩形纸片ABCD中，AD=3cm，点E在BC上，将纸片沿AE折叠，使点B落在AC上的点F处，且∠AEF=∠CEF，则AB的长是( )
A.1 cm B．cm C．2 cm D． cm
14.如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时，CA1的长为（）
A．3或4 B．4或3C．3或4 D．3或4
15.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB，BC上，且AE=AB．将矩形沿直线EF折
叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q．对于下列结论：①EF=2BE，②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是( )
A．①② B．②③C．①③ D．①④
16.如图，点M、N分别在矩形ABCD边AD、BC上，将矩形ABCD沿MN翻折后点C恰好与点A 重合，若
此时=,则△AMD′的面积与△AMN的面积的比为( )
A．1:3 B．1:4 C．1:6 D．1: 9 17.图，矩形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE折叠后得到△GBE，延长B G交CD于点F，若CF=1，FD=2，则BC的长为( )
A.3
B.2
C.2
D.2
18.如图，矩形ABCD边AD沿拆痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB=6，△ABF的面积是24，则FC等于（）.
A．2 B．3 C．4 D．5
19.如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A、D分别落在点A′、D′处，
且A′D′经过点B，EF为折痕，当D′F⊥CD时，的值为（）
A．B．C．
D．
20.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5.折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动。

若限定点P，Q分别在AB，AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为（）
A.2
B.4
C.
D.
二填空题:
21.如图，矩形ABCD 的边长AB=8，AD=4，若将△DCB沿BD所在直线翻折，点C落在点F处，DF与AB交于点E. 则cos∠ADE = ．
22.如图，有一块矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6，将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF的面积为__________.
23.将矩形ABCD沿折线EF折叠后点B恰好落在CD边上的点H处，且∠CHE=40°，则∠EFB= ．
24.在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，点P是AC上的一个动点，过点P作EF垂直于AC交AD 于点E，交AB于点F，将△AEF沿EF折叠，使点A落在点A'处，当△A'CD是直角三角形时，AP的长为 .
25.如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD＝2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B＝______°。

26.如图，将矩形纸片ABC（D）折叠，使点（D）与点B重合，点C落在点处，折痕为EF，
若，那么的度数为度。

27.如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，且，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E，若M 是AD、BC边的上距DC最近的n等分点（n≥2，且n为整数），则A′N= （用含有n的式子表示）．
28.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,点E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，
使点B落在点B′处.
（1）矩形ABCD的面积= ；
（2）当△CEB′为直角三角形时，BE= ．
29.如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为 .
30.如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F 在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若=，则= 用含k的代数式表示）．
31.如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=6，点E是AD上一点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰落在∠ADC的平分线上时，DA1= ．
32.小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD>CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD 边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为．
33.如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E为DC边上的一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点刚好D落在矩形ABCD的对称轴上时，则DE的长为．
34.如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，AD=10cm，点E、F在矩形ABCD的边AB、AD上运动，将△AEF沿EF折叠，使点A′在BC边上，当折痕EF移动时，点A′在BC边上也随之移动．则A′C的取值范围为．
三简答题:
35、长为1，宽为a的矩形纸片（＜a＜1），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽
度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．
（I）第二次操作时，剪下的正方形的边长为；
（Ⅱ）当n=3时，a的值为．（用含a的式子表示）
36.问题情境：如图将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点B恰好落在AD边的中点F 处，折痕EG分别交AB、CD于点E、G，FN与DC交于点M，连接BF交EG于点P.
独立思考：
（1）AE=_______cm，△FDM的周长为_____cm
（2）猜想EG与BF之间的位置关系与数量关系，
并证明你的结论.
拓展延伸：
如图2，若点F不是AD的中点，且不与点A、D重合：
①△FDM的周长是否发生变化，并证明你的结论.
②判断（2）中的结论是否仍然成立，若不成立请直接写出新的结论（不需证明）.
37.长方形ABCD中，AD=10，AB=8，将长方形ABCD折叠，折痕为EF
（1）当A′与B重合时（如图1），EF= ；
（2）当直线EF过点D时（如图2），点A的对应点A′落在线段BC上，求线段EF的长；（3）如图3，点A的对应点A′落在线段BC上，E点在线段AB上，同时F点也在线段AD 上，则A′在BC上的运动距离是；
38.感知：如图①，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形ABCD内部的点F处，延长AF交CD于点G，连结FC，易证∠GCF=∠GFC．
探究：将图①中的矩形ABCD改为平行四边形，其他条件不变，如图②，判断∠GCF=∠GFC 是否仍然相等，并说明理由．
应用：如图②，若AB=5，BC=6，则△ADG的周长为16 ．
39.（1）观察与发现：小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；在第一次的折叠基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF 是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
（2）实践与运用：将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大
小．
参考答案
1、C
2、A
3、D
4、C
5、D
6、B
7、C
8、B
9、13 10、C 11、C 12、C；
13、B 14、D 15、D 16、A 17、B 18、A 19、A 20、A 21、 22、 2 23、25°．24、2或 25、60°．26、125º27、 28、（1）48 （2） 3，
6
29、6 30、 31、：2． 32、 33、或． 34、4cm≤A′C≤8cm ．
35、1﹣a 或【考点】翻折变换（折叠问题）．
【解答】解：由题意，可知当＜a＜1时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为1﹣a，
所以第二次操作时正方形的边长为1﹣a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为1﹣a，2a﹣1．
故答案为：1﹣a；此时，分两种情况：
①如果1﹣a＞2a﹣1，即a＜，那么第三次操作时正方形的边长为2a﹣1．
∵经过第三次操作后所得的矩形是正方形，∴矩形的宽等于1﹣a，
即2a﹣1=（1﹣a）﹣（2a﹣1），解得a=；
②如果1﹣a＜2a﹣1，即a＞，那么第三次操作时正方形的边长为1﹣a．
则1﹣a=（2a﹣1）﹣（1﹣a），解得a=．故答案为：或．
36、（1）3，16
(2)EG⊥BF, EG=BF则∠EGH+∠GEB=90°
由折叠知，点B、F关于直线GE所在直线对称∴∠FBE=∠EGH
∵ABCD是正方形∴AB=BC ∠C=∠ABC=90°四边形GHBC是矩形，∴GH=BC=AB
∴△AFB全等△HEG∴BF=EG
(3)①△FDM的周长不发生变化由折叠知∠EFM=∠ABC=90°∴∠DFM+∠AFE=90°
∵四边形ABCD为正方形，∠A=∠D=90°∴∠DFM+∠DMF=90°
∴∠AFE=∠DMF∴△AEF∽△DFM∴
设AF为x，FD=8-x∴∴
FMD的周长=∴△FMD的周长不变②（2）中结论成立
37、1）EF=10 （2）5（3）4
38、【解答】解：探究：∠GCF=∠GFC，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B+∠ECG=180°，
又∵△AFE是由△ABE翻折得到，∴∠AFE=∠B，EF=BE，
又∵∠AFE+∠EFG=180°，∴∠ECG=∠EFG，
又∵点E是边BC的中点，∴EC=BE，
∵EF=BE，∴EC=EF，∴∠ECF=∠EFC，∴∠ECG﹣∠ECF=∠EFG﹣∠EFC，∴∠GCF=∠
GFC；
应用：∵△AFE是由△ABE翻折得到，∴AF=AB=5，
由（1）知∠GCF=∠GFC，∴GF=GC，
∴△ADG的周长AD+AF+GF+GD=AD+AB+GC+GD=AD+AB+CD=6+5+5=16，
故答案为：应用、16．
39、【解答】解：（1）同意．如图，设AD与EF交于点G．由折叠知，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD．
又由折叠知，∠AGE=∠DGE，∠AGE+∠DGE=180°，所以∠AGE=∠AGF=90°，所以∠AEF=∠AFE．所以AE=AF，
即△AEF为等腰三角形．
（2）由折叠知，四边形ABFE是正方形，∠AEB=45°，所以∠BED=135度．
又由折叠知，∠BEG=∠DEG，所以∠DEG=67.5度．从而∠α=67.5°﹣45°=22.5°．。