一维插值
插值与拟合实验
x x x x
j 1 j 1 j + 1 j + 1
, x , x 其
j 1
≤ x
x ≤
≤ x
x
j
j
≤ 它
j + 1
1 , 6≤ x≤6 【例 2】 g ( x ) = 】 2 1+ x
用分段线性插值法求插值,并观察插值误差 用分段线性插值法求插值 并观察插值误差. 并观察插值误差 1.在[-6,6]中平均选取 个点作插值 在 中平均选取5个点作插值 中平均选取 个点作插值(xch11) 2.在[-6,6]中平均选取 个点作插值 在 中平均选取11个点作插值 中平均选取 个点作插值(xch12) 3.在[-6,6]中平均选取 个点作插值 在 中平均选取21个点作插值 中平均选取 个点作插值(xch13) 4.在[-6,6]中平均选取 个点作插值 在 中平均选取41个点作插值 中平均选取 个点作插值(xch14)
Matlab程序： 程序： 程序 ch607.m
【例 5】 】 已知飞机下轮廓线上数据如下， 已知飞机下轮廓线上数据如下，求x每改变0.1时的y值。 每改变0.1时的y 0.1时的
X Y
0 0
3 5 7 9 11 12 13 14 15 12 17 20 21 20 18 12 10 16
机翼下 轮廓线
【例 6】 】 测得平板表面3*5网格点处的温度分别为： 3*5网格点处的温度分别为 测得平板表面3*5网格点处的温度分别为： 82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86 试作出平板表面的温度分布曲面z=f(x,y)的图形。 试作出平板表面的温度分布曲面z=f(x,y)的图形。 z=f(x,y)的图形 1.先在三维坐标画出原始数据，画出粗糙的温度分布曲图. 1.先在三维坐标画出原始数据，画出粗糙的温度分布曲图. 先在三维坐标画出原始数据 输入以下命令： 输入以下命令： x=1:5; y=1:3; temps=[82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86]; mesh(x,y,temps) 2．以平滑数据,在x、y方向上每隔0.2个单位的地方进行插值. 以平滑数据, 方向上每隔0.2个单位的地方进行插值. 0.2个单位的地方进行插值
一维插值算法
一维插值算法
一维插值算法是一种数据插值方法，用于在已知的一组数据点的基础上估计或预测中间位置的数据点的值。
一维插值算法的目的是根据已有数据的变化趋势，在新的数据点位置上进行预测，以填补数据的缺失或不连续性。
常见的一维插值算法有线性插值、拉格朗日插值、牛顿插值等。
这些算法的基本原理都是利用已知数据点之间的关系，通过某种数学模型来计算未知数据点的值。
线性插值是最简单的一维插值算法，它假设数据点之间的变化是线性的，因此可以使用一条直线来连接相邻的数据点，从而计算未知数据点的值。
拉格朗日插值和牛顿插值则是更高阶的插值算法，它们利用多项式函数来拟合已知数据点，并通过插值公式来计算未知数据点的值。
一维插值算法可以用于很多领域的应用，比如地图绘制、数值分析、信号处理等。
在实际应用中，选择合适的插值算法和参数是非常重要的，因为不同的算法和参数可能会对插值结果产生不同的影响。
插值方法
插值方法实验一：基本插值方法的比较1). 一维插值利用以下一些具体函数，考察分段线性插值﹑三次样条插值和拉格朗日多项式插值等三种插值方法的差异。
1．211x +，x Î[-5,5]； 2．sin x , x Î[0,2p]; 3．cos 10x , x Î[0,2p]．注意：适当选取节点及插值点的个数；比较时可以采用插值点的函数值与真实函数值的差异，或采用两个函数之间的某种距离。
2)．高维插值对于二维插值的几种方法：最邻近插值﹑分片线性插值﹑双线性插值﹑三次插值﹑组合插值等，利用如下函数进行插值计算，观察其插值效果变化，得出什么结论？ (1) ())(sin ),(px t t x f -=ω，参数p =1/2000~1/200；采样步长为：t =4ms~4s ；x =5~25m.(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=εεεεy y x x y x f 1516sin 1516sin 1516sin 1516sin 103),(22参数e =1~2；x ,y Î [-1,1]。
(3) 将2中的函数推广到三维情形，进行同样的处理，体会高维插值的运用。
实验二：几何物理中的插值问题采用适当的方法求解下列问题：1). 轮船的甲板成近似半椭圆面形，为了得到甲板的面积。
首先测量得到横向最大相间8.534米；然后等间距地测得纵向高度﹑自左向右分别为：0.914, 5.060, 7.772, 8.717, 9.083, 9.144, 9.083, 8.992, 8.687, 7.376, 2.073， 计算甲板的面积。
2). 物体受水平方向外力作用，在水平直线上运动。
测得位移与受力如下表求 (1) 物体从位移为0到0.4所做的功；(2) 位移为0.4时的速度是多少？3)．火车行驶的距离(路程)﹑速度数据如下，计算从静止开始20 分钟内走过的路程。
一维插值
Ln ( x) an x an1 x
n
n 1
a1 x a0 (1)
a n x 0n a n1 x 0n1 a1 x 0 a 0 y 0 a n x1n a n1 x1n1 a1 x1 a 0 y1 n n a n x n a n 1 x n 1 a 1 x n a 0 y n
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拉格朗日(Lagrange)多项式插值
已知三点（x0,y0), (x1,y1), (x2,y2), 求过这三点的多项式。
L2 ( x ) a 2 x 2 a1 x a 0
则
2 a 2 x 0 a1 x 0 a 0 y 0 2 a 2 x 1 a1 x 1 a 0 y1 a x 2 a x a y 1 2 0 2 2 2
称为拉格朗日插值基函数。
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拉格朗日(Lagrange)多项式插值
例 将[0,/2] n等分，在g(x)=cos(x)上 取n+1个节点，作Pn(x)（取n=1,2) ,计算 Pn(/6),与 cos(/6)比较, 观察误差。 解: n=1, (x0,y0)=(0,1), (x1,y1)=(/2,0), x x0 x x1 L0 , L1 x 0 x1 x1 x 0 1 P1(x)=y0L0+y1L1=1-2x/, P1(/6)=0.6667
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三次样条插值
三次样条函数 S(x), x∈[a, b] , 满足: 1) S(x) 在每一个小区间[xi-1,xi]上是 一个三次多项式函数 ； 2) 在整个区间[a,b]上，其二阶导数存在 且连续。 y
一维理想插值计算公式
一维理想插值计算公式
一维理想插值通常指的是通过已知的一系列数据点来估算在这些点之间的未知值的过程。
插值方法有很多种，其中最简单和最常见的是线性插值。
但在这里，我将为你提供一个更一般的插值公式，即拉格朗日插值公式。
假设我们有一组已知的n+1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，我们希望找到一个n次多项式P(x) 使得P(xi) = yi 对于所有的i 都成立。
拉格朗日插值公式为：
\(P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i l_i(x)\)
其中，\(l_i(x)\) 是拉格朗日基函数，定义为：
\(l_i(x) = \prod_{\substack{j=0 \\ j \neq i}}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}\)
这个公式的意义是：对于每一个数据点(xi, yi)，我们构造一个函数\(l_i(x)\)，它在xi处取值为1，而在其他数据点的x坐标处取值为0。
这样，当我们把这些函数乘以对应的y值并加起来，得到的多项式P(x)就会经过所有的数据点。
如果你只需要线性插值（即两个点之间的插值），那么公式会简化很多。
对于两个点(x0, y0) 和(x1, y1)，线性插值公式为：\(y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} (x - x_0)\)
这个公式表示的是通过两点确定的一条直线，可以用来估算这两
点之间任意x值对应的y值。
matlab的一维插值及应用方法
matlab的一维插值及应用方法在MATLAB中进行一维插值的基本方法是使用 `interp1` 函数。
这个函数可以用于一维数据的插值和外推。
以下是一些使用 `interp1` 的基本步骤：1. 创建数据：首先，您需要有一组已知的数据点。
这些数据通常存储在向量中。
2. 选择插值方法：`interp1` 函数提供了多种插值方法，包括最近邻插值、线性插值、多项式插值等。
你可以选择适合你需求的方法。
3. 应用插值：使用 `interp1` 函数对数据进行插值。
下面是一个简单的示例，演示如何使用 `interp1` 函数进行一维插值：```matlab% 创建原始数据x = 1:10;y = [2 4 7 9 12 14 17 20 23 26];% 选择插值方法（例如，线性插值）xi = 1::10; % 这是你想要求解的x值yi = interp1(x, y, xi, 'linear'); % 使用线性插值% 绘制原始数据和插值结果plot(x, y, 'o', xi, yi, '-')legend('原始数据', '线性插值结果')```在这个示例中，我们首先创建了一组原始数据 `x` 和 `y`。
然后，我们选择一个更大的x值范围`xi`，并使用`interp1` 对这些x值进行线性插值。
最后，我们将原始数据和插值结果一起绘制出来。
注意：`interp1` 函数还有其他参数和选项，允许你更精细地控制插值过程。
你可以查阅 MATLAB 的官方文档以获取更多详细信息。
插值详解
插值在生产与科学实验中，我们往往只掌握有限的测试数据，例如y=f（x），在区间[a,b]上，其中i=1,2，。
N。
对于在区间上的其他数据，只能进行估计。
这种在已知数据中，用较简单的数值函数Φ（x）通过所有样点，并对临近数据进行估值计算成为插值。
一、一维插值调用格式：yi = interp1(x,Y,xi,method)对数据向量x和Y宜选用好的方法构造插值函数，并计算xi的函数值，返回给yi。
Method指定差值方法。
yi = interp1(x,Y,xi,method)插值中可以使用的方法:插值方说明法nearest 临近的两点插值linear 线性插值（默认）spline 三次样条插值分段三次Hermite插值多pchip项式插值cubic （作用于pchip相同）用matlab5版本中断三次v5cubic样条插值二、埃尔米特插值埃尔米特插值法满足在节点上等于给定函数值，而且在节点上的到数值也等于给定的导数值。
实际应用中，常常遇到的是函数值与一阶导数给定的情况。
在这种情况下。
Hermite函数源代码如下：function [f,f0] = Hermite(x,y,y_1,x0)%求已知数据点的埃尔米特插值多项式%已知数据点的x坐标向量：x%已知数据点的y坐标向量：y%已知数据点的导数向量：y_1%插值点的x坐标：x0%求得的埃尔米特插值多项式：f%x0处的插值：f0syms t;f = 0.0;if(length(x) == length(y))if(length(y) == length(y_1))n = length(x);elsedisp('x和y导数的维数不相等');return;endelsedisp('x和y的维数不相等');return;endfor i=1:nh = 1.0;a = 0.0;for j=1:nif( j ~= i)h = h*(t-x(j))^2/((x(i)-x(j))^2);a = a + 1/(x(i)-x(j));endendf = f + h*((x(i)-t)*(2*a*y(i)-y_1(i))+y(i));endf0=subs(f,'t',x0);此函数的调用格式如下：[f,f0]=Hermite(x,y,y_1,x0)三、反插值如果一直插值的函数值，要求对应插值点的x值，则可用反插值法。
python一维拉格朗日插值法
python一维拉格朗日插值法一维拉格朗日插值法是一种基于给定离散数据点的多项式插值方法。
它的核心思想是，对于给定的n+1个数据点(x_i, y_i)，其中i从0到n，拉格朗日插值法会构造一个n次多项式L(x)，使得L(x_i) = y_i对所有i成立。
拉格朗日插值多项式可以表示为：L(x) = ∑_i=0^n y_i * l_i(x)其中l_i(x)是拉格朗日基函数，定义为：l_i(x) = ∏_j=0, j≠i^n (x - x_j) / (x_i - x_j)这个基函数在x_i处取值为1，而在其他x_j (j≠i)处取值为0。
下面是一个简单的Python实现：pythonimport numpy as npdef lagrange_interpolation(x_data, y_data, x):"""一维拉格朗日插值法:param x_data: 数据点的x坐标，一维数组:param y_data: 数据点的y坐标，一维数组:param x: 要插值的x坐标:return: 插值结果"""n = len(x_data) - 1# 多项式的次数result = 0for i in range(n+1):li = 1# 拉格朗日基函数for j in range(n+1):if i != j:li *= (x - x_data[j]) / (x_data[i] - x_data[j])result += y_data[i] * lireturn result# 示例x_data = np.array([0, 1, 2, 3])y_data = np.array([1, 2, 4, 7])x = 1.5print(lagrange_interpolation(x_data, y_data, x)) # 输出插值结果这个示例中，我们使用了4个数据点(0,1), (1,2), (2,4), (3,7) 进行拉格朗日插值，并计算了x=1.5处的插值结果。
深入理解插值与卷积,1维插值,2维插值
a = 0.25 (a~c)
a = 1 (d~f)
a = 1.75 (g~i)
a = 0.5(j~l)
不同的a取值对于三次插值的效果。
•16.3.3 二维插值 •基本思想：先在某一维上进行一维插值，然后对这个中间结果的另外 一维进行一维插值。 •二维最近邻插值 •通过对x和y坐标分别取整，可以得到举例给定的连续点(x0,y0)最近的像 •素。
•16.3.2 以卷积方式描述插值 •对连续信号的重建可以描述为线性卷积运算。一般地，可以将插值表达 为给定离散函数g(u)和一连续插值内核w(x)的线性卷积。
• 可以理解为对离散函数的线性求和。 • 一维最近邻内插的插值内核为：
Байду номын сангаас
•线性插值的插值内核为：
最近邻插值(a-c)
线性插值(d-f)
•立方插值的插值内核为：
16.3 插值
•插值是估计采样函数或者信号在连续位置处的值，或者试图从一离散样 本集合重建原始连续函数的方法。 •16.3.1 一维插值方法 •为了更好地说明问题，首先处理一维情况，如下图所示。
•有一些简单的函数可以用来对离散函数在任意的连续位置处进行插值。
•最近邻插值 •将连续坐标x近似为最近的整数值u0，并且用样本值g(u0)作为估计的函 数值。下图(a)为其示例。
•线性插值 •连续坐标x的估计值为最近两个样本g(u0)和g(u0+1)的加权求和的形式。 •下图(b)是其示例。
•数值计算中的三次Hermite插值 •给定离散点处的导数值和离散点处的函数值，可以在该离散点之间进行 插值，从而得到一个分段插值函数。该函数满足c1连续。这种插值方式 称为Hermite插值。以多项式构造插值函数则该多项式最多为3次。 •将该多项式写为 • f(x) =ax3 +bx2 + cx + d •例：求离散点0和离散点1之间的插值函数值： •1：约束条件 • f(0)= d; f(1)= a + b + c + d; • f’(0)=c； f’(1)=3a + 2b + c •2：求解上述四个方程，可以得到a,b,c,d的值从而求得插值函数 •三次插值（立方插值） •三次插值（立方插值）与Hermite插值之间的差别在于离散点处的导数 •值并不是事先已知的，而是通过相邻离散点之间的差分得到,如下式所 示 •f‘(0) = α[f(1)-f(-1)]，f'(1) = α[f(2)-f(0)] •在上式中α是参数， α控制边缘处的锐化程度。当α =0.5时该插值又称为 •Catmull-Rom插值。
labview一维数组插值的详细解释
LabVIEW 一维数组插值的详细解释一、一维数组插值的原理在 LabVIEW 中，一维数组插值是通过插值函数实现的。
插值函数是一种用于在数组中插入或删除元素的函数，它可以在数组中插入一个新的元素，或者删除一个现有的元素。
在 LabVIEW 中，一维数组插值的原理基于以下两点：1. 在 LabVIEW 中，数组是一种数据结构，它可以存储一系列的元素。
每个元素在数组中都有一个对应的索引，可以通过索引来访问数组中的元素。
2. 插值函数可以通过在数组中插入或删除元素来改变数组的内容。
在插入或删除元素时，插值函数会根据指定的索引来确定插入或删除的位置。
二、一维数组插值的使用方法在 LabVIEW 中，一维数组插值的使用方法如下：1. 打开 LabVIEW 软件，创建一个新的 VI(Virtual Instrument)。
2. 在 VI 中添加一个数组输入控件和一个插值函数控件。
3. 将数组输入控件连接到插值函数控件的输入端口。
4. 在插值函数控件的输出端口添加一个数组输出控件。
5. 在数组输出控件中选择一维数组，并将其连接到需要显示数据的控件上。
6. 在插值函数控件的输入端口添加一个索引输入控件，用于指定要插入或删除的元素的索引位置。
7. 根据需要，添加其他控件和线路，完成 VI 的构建。
8. 运行 VI，观察数组插值的效果。
三、一维数组插值的应用场景LabVIEW 中的一维数组插值可以用于以下应用场景：1. 数据采样：通过一维数组插值函数，可以在数组中插入新的元素，用于采样数据。
例如，可以从一个模拟信号中采样一定间隔的样本数据。
2. 数据分析：通过一维数组插值函数，可以在数组中插入新的元素，用于分析数据。
例如，可以在数组中插入一些统计数据，如均值、方差等。
3. 数据可视化：通过一维数组插值函数，可以在数组中插入新的元素，用于可视化数据。
例如，可以将一些数据点插入数组中，然后用图表控件将它们可视化。
总之，LabVIEW 中的一维数组插值是一种常用的数据处理方法，它可以用于数据采样、数据分析、数据可视化等领域。
labview一维数组插值的详细解释
LabVIEW一维数组插值的详细解释
LabVIEW是一款强大的图形化编程环境，可以用于数据处理和实验控制。
在LabVIEW中，一维数组插值是一种常用的数据处理技术，用于估算一个给定值在已知数据点之间的值。
插值原理
一维数组插值基于已知数据点之间的曲线或线性关系。
当我们需要在这些数据点之间的位置估算一个值时，可以使用插值算法计算。
常用的一维数组插值方法有：
•线性插值：根据给定两个数据点，按比例估算两点之间的值。
•多项式插值：使用已知数据点创建一个多项式函数，通过该函数估算其他位置的值。
•样条插值：利用一个光滑的曲线通过已知数据点，估算其他位置的值。
LabVIEW中的一维数组插值
在LabVIEW中，可以使用内置函数或自定义VI实现一维数组插值。
根据具体需求和数据特点，选择合适的插值方法。
下面是一个示例LabVIEW代码段，演示如何使用线性插值方法：
Insert Single Element Into Array.vi
总结
一维数组插值是LabVIEW中常用的数据处理技术之一。
通过选择合适的插值方法，可以在已知数据点之间准确地估算其他位置的值。
希望本文对你理解LabVIEW一维数组插值有所帮助！。
一维、二维与多维插值
一维、二维与多维插值插值就是已知一组离散的数据点集，在集合内部某两个点之间预测函数值的方法。
一、一维插值插值运算是根据数据的分布规律，找到一个函数表达式可以连接已知的各点，并用此函数表达式预测两点之间任意位置上的函数值。
插值运算在信号处理和图像处理领域应用十分广泛。
1．一维插值函数的使用若已知的数据集是平面上的一组离散点集(x,y)，则其相应的插值就是一维插值。
MATLAB中一维插值函数是interp1。
y=interp([x,]y,xi,[method],['extrap'],[extrapval])，[]代表可选。
method：'nearest'，'linear'，'spline'，'pchip'，'cubic'，'v5cubic'。
此m文件运行结果：放大π/2处：2．内插运算与外插运算（1）只对已知数据点集内部的点进行的插值运算称为内插，可比较准确的估测插值点上的函数值。
（2）当插值点落在已知数据集的外部时的插值称为外插，要估计外插函数值很难。
MATLAB对已知数据集外部点上函数值的预测都返回NaN，但可通过为interp1函数添加'extrap'参数指明也用于外插。
MATLAB的外插结果偏差较大。
二、二维插值已知点集在三维空间中的点的插值就二维插值问题，在图像处理中有广泛的应用。
二维插值函数是interp2，用法与一维插值函数interp1类似。
ZI=interp2(X, Y, Z, XI, YI, method, extrapval)：在已知的(X,Y,Z)三维栅格点数据上，在(XI, YI)这些点上用method指定的方法估计函数值，外插使用'extrapval'。
二维插值中已知数据点集(X, Y)必须是栅格格式，一般用meshgrid函数产生。
matlab一维插值方法
matlab一维插值方法
在MATLAB中，一维插值是一种常见的数据处理技术，用于估计在给定数据点之间的数值。
MATLAB提供了几种一维插值方法，包括线性插值、多项式插值、样条插值和基于数据拟合的插值方法。
1. 线性插值，MATLAB中的线性插值方法使用两个最接近目标点的数据点之间的线性函数来估计目标点的值。
可以使用`interp1`函数进行线性插值，该函数可以指定插值的方法和边界条件。
2. 多项式插值，MATLAB中的多项式插值方法使用最接近目标点的数据点来构造一个低阶多项式函数，然后使用该多项式函数来估计目标点的值。
可以使用`polyfit`函数拟合数据点，然后使用`polyval`函数进行插值。
3. 样条插值，样条插值是一种更平滑的插值方法，它使用分段低阶多项式来逼近数据点。
在MATLAB中，可以使用`interp1`函数并指定插值方法为"pchip"来进行样条插值。
4. 基于数据拟合的插值方法，MATLAB中还提供了基于数据拟合的插值方法，例如使用`fit`函数进行数据拟合，然后使用
`feval`函数进行插值。
总之，MATLAB提供了多种一维插值方法，每种方法都有其适用的场景和特点。
在选择插值方法时，需要根据具体的数据特点和需求来进行选择，以获得最合适的插值结果。
一维优化三次样条插值法
一维优化三次样条插值法概述在数值分析中，插值是一种通过已知数据估计未知数据的方法。
在一维插值中，给定一组已知数据点，我们试图找到一个函数，通过这些数据点之间的曲线，以便能够预测这些点之间的任何其他值。
样条插值是一种常用的插值方法，它使用分段插值函数来逼近给定数据点。
在这篇文章中，我们将介绍一维优化三次样条插值法。
一维优化三次样条插值法是一种用于构建具有平滑曲线曲率的插值函数的方法。
它通过在每个数据点处构建一个三次多项式，并将这些多项式拼接在一起来逼近给定数据点。
与其他插值方法相比，三次样条插值具有更高的精度和稳定性，并且能够处理非均匀数据。
算法下面我们将介绍一维优化三次样条插值法的算法步骤：- 首先，我们将给定的数据点划分为n个区间。
每个区间[i,i+1]包含两个数据点xi和xi+1-然后，在每个区间内，我们构造一个三次多项式Si(x)，使得该多项式满足以下条件：1. Si(xi) = yi2. Si(xi+1) = yi+13. Si'(xi) = Si-1'(xi)4. Si''(xi) = Si-1''(xi)这些条件确保了相邻多项式在数据点处具有相同的值、一阶导数和二阶导数。
这样，我们可以得到一个平滑的曲线曲率插值函数。
-接下来，我们需要定义一个优化函数，用于最小化插值函数的曲率。
这可以通过求解以下方程来实现：min Σ∫(Si''(x))^2 dx这个优化问题通常可以通过梯度下降或牛顿法来解决。
通过最小化曲率，我们可以确保插值函数在数据点附近具有最小的弯曲程度，从而获得更加平滑和精确的插值曲线。
-最后，我们将所有的三次多项式拼接在一起，得到整个插值函数。
这样，我们就可以利用这个插值函数来估计数据点之间的任何其他值。
优点与其他插值方法相比，一维优化三次样条插值法具有以下优点：1.精度高：由于插值函数是通过最小化曲率来构造的，因此它具有更高的精度和稳定性。
一维插值方法ppt课件
5.1.2 多项式插值
已知结点 (x j , y j ) ( j 0,1,, n) ，并且 x0, x1,, xn 是互异的实数，构造至多 n 次插值多项式
pn (x) a1xn a2 xn1 an x an1 (5.1.1) 满足 pn (xj ) y j ( j 0,1,, n) ，然后用 pn (x) 计算插值 点 x 处的插值 y pn (x ) .
按题意带入 f(1)=1 f(2)=2 f(3)=10 f(4)=42 f(5)=?问号代表A,B,C,D选项中的任意一个 然后这5个式子组成了一个5元一次方程组 解这个方程组就可以知道a1,a2,a3,a4,a5的值 对于A,B,C,D的每个选项都有一组a1,a2,a3,a4,a5和它对应 所以说A,B,C,D都对
2
数值逼近
函数逼近的主要内容有，对于某些特定的被逼近函 数类F与逼近函数类H，讨论逼近的可能性，最佳 逼近的存在性、特征、惟一性、误差估计以及算法 等。
它是现代数值分析的基本组成部分，除自身具有独 立学科分支的意义外，还可用于构造数值积分、求 函数零点、解微分方程和积分方程的近似方法。
3
5.1.1 引言
(x) k = 0, 1,…, n，使
1, lk (xi ) 0,
k i k i
若作出这样的多项式lk(x)，则Pn(x)的次数≤n，另外， 由上式，对i = 0, 1, 2,…, n
n
Pn ( xi ) yk lk ( xi ) yi
k 1
即Pn(x)满足插值条件。于是问题归结为具体求出基 本插值多项式lk(x)。
其中 yi = f (xi) i = 0, 1, 2,…, n 试构造一个次数不超过n的插值多项式
matlab一维插值程序
matlab一维插值程序Matlab一维插值程序在数值计算和数据分析中，经常会遇到需要填补缺失值或在给定数据点之间进行估计的情况。
这就是插值的作用。
而在Matlab中，插值可以通过一维插值程序实现。
本文将一步一步回答如何编写一维插值程序，并附上详细的解释和示例代码。
第一步：导入数据在Matlab中，首先需要导入包含目标数据的向量。
数据可以从文件读取，也可以手动输入。
以下是一个示例向量：matlabx = [1, 2, 3, 5, 6];y = [0, 1, 4, 17, 25];这里的`x`表示数据点的自变量，而`y`表示对应自变量的因变量。
第二步：选择插值方法Matlab提供了多种插值方法，可以根据实际需求选择适当的方法。
常见的一维插值方法包括线性插值、多项式插值、样条插值等。
这里我们以线性插值为例进行说明。
第三步：创建插值对象在Matlab中，可以通过`griddedInterpolant`函数创建一个插值对象。
这个对象可以用来计算目标自变量的插值值。
matlabF = griddedInterpolant(x, y, 'linear');在这里，我们使用`linear`作为插值方法。
你也可以根据需要选择其他方法。
第四步：计算插值值创建插值对象后，可以使用对象的调用方式计算插值值。
以下是一个计算自变量为4时的插值值的示例：matlabxi = 4;yi = F(xi);在这个例子中，`xi`表示目标自变量的值，而`yi`代表通过一维插值程序计算得到的因变量的插值值。
第五步：绘制插值曲线为了直观地展示插值效果，可以绘制插值曲线。
以下是一个绘制自变量范围在1到6之间的插值曲线的示例：matlabxq = linspace(1, 6, 100);yq = F(xq);plot(x, y, 'o', xq, yq);在这个示例中，`xq`是一个向量，用于表示插值范围。
一维插值
一维插值：已知离散点上的数据集，即已知在点集X上对应的函数值Y，构造一个解析函数（其图形为一曲线）通过这些点，并能够求出这些点之间的值，这一过程称为一维插值。
MATLAB命令：yi=interp1(X, Y, xi, method)一些个人经验说明:①关于拟合参数的,X必须是向量,行向量或列向量均可,不可以是复数②Y是向量或矩阵.但必须满足行数与length(X)相同即size(Y,1)==length (X)③针对以上说明的例子function tux=[5 1 2 20 14 21]'y=rand(6,2)%按列计算的xi=linspace(0,21,100);yi=interp1(x,y,xi,'cubic')plot(x,y,'o',xi,yi)size(x)size(y,1)length(x)结果size(x)6 1size(y,1)6length(x)6该命令用指定的算法找出一个一元函数，然后以给出处的值。
xi可以是一个标量，也可以是一个向量，是向量时，必须单调，method 可以下列方法之一：‘nearest’：最近邻点插值，直接完成计算；‘spline’：三次样条函数插值；‘linear’：线性插值（缺省方式），直接完成计算；‘cubic’：三次函数插值；对于[min{xi},max{xi}]外的值，MATLAB使用外推的方法计算数值。
%-- 09-4-1 下午8:38 --%%已知数据t=1900:10:1990;p=[75.995,91.972,105.711,123.203,131.669,150.697,179.323,203.212,226.505,249.633];x=1900:0.01:1990;%使用不同的方法进行一维插值yi_linear=interp1(t,p,x); %线性插值yi_spline=interp1(t,p,x,'spline');%三次样条插值yi_cubic=interp1(t,p,x,'cubic');%三次多项式插值yi_v5cubic=interp1(t,p,x,'v5cubic');%matlab5中使用的三次多项式插值%绘制图像对比subplot(2,1,1);plot(t,p,'ko');hold on;plot(x,yi_linear,'g','LineWidth',1.5);grid on;plot(x,yi_spline,'y','LineWidth',1.5);title('Linear VS Spline ')subplot(2,1,2);plot(t,p,'ko');hold onplot(x,yi_cubic,'g','LineWidth',1.5);grid on;plot(x,yi_v5cubic,'y','LineWidth',1);title('Cubic VS V5cubic ');%创建新图形窗口figureyi_nearest=interp1(t,p,x,'nearest');%最邻近插值法plot(t,p,'ko');hold onplot(x,yi_nearest,'g','LineWidth',1.5);grid on;title('Nearest Method');%以下是根据拟合估计msg=' year Cubic Linear Nearest Spline'; for i=0:8n=10*i;year=1905+n;pop(i+1,1)=year;pop(i+1,2)=yi_cubic((year-1900)/0.01+1);pop(i+1,3)=yi_linear((year-1900)/0.01+1);pop(i+1,4)=yi_nearest((year-1900)/0.01+1);pop(i+1,5)=yi_spline((year-1900)/0.01+1);endP=round(pop);disp(msg)disp(P)结果如图:由此可见,各种插值的优劣,在速度上,Nearest最快,然后是Linear再到Cubic,最慢的是Spline.但是精度和曲线的平滑度恰好相反,Nearest 甚至不连续~~系统默认的是Linear当然也可以用图形界面更易理解附录： Matlab 样条工具箱(Spline ToolBox)【信息来源教师博客】Matlab样条工具箱中的函数提供了样条的建立，操作，绘制等功能；一. 样条函数的建立第一步是建立一个样条函数，曲线或者曲面。
matlab 一维指数插值函数
matlab 一维指数插值函数在MATLAB中，可以使用interp1函数进行一维指数插值。
interp1函数的基本语法是：matlab.Vq = interp1(X, V, Xq, 'method')。
其中，X是原始数据点的横坐标，V是原始数据点的纵坐标，Xq 是需要插值的点的横坐标，'method'是插值方法，可以选择'linear'（线性插值）或者'nearest'（最近邻插值）等。
如果要进行一维指数插值，可以使用interp1函数的'pchip'方法，pchip代表Piecewise Cubic Hermite Interpolating Polynomial，即分段三次 Hermite 插值多项式。
使用'pchip'方法进行指数插值的示例代码如下：matlab.X = 1:5; % 原始数据点的横坐标。
V = [3 4 2 10 8]; % 原始数据点的纵坐标。
Xq = 1:0.1:5; % 需要插值的点的横坐标。
Vq = interp1(X, V, Xq, 'pchip'); % 一维指数插值。
plot(X, V, 'o', Xq, Vq, '-'); % 绘制原始数据点和插值结果。
在这个示例中，我们首先定义了原始数据点的横坐标X和纵坐标V，然后定义了需要插值的点的横坐标Xq。
接着使用interp1函数进行一维指数插值，最后利用plot函数绘制了原始数据点和插值结果的图形。
需要注意的是，一维指数插值可能会导致插值结果出现振荡，特别是在数据点之间有较大的变化时。
因此，在使用一维指数插值时，需要谨慎选择插值方法，并对插值结果进行充分的验证和分析。
一维插值实验报告
一维插值实验报告一、 实验内容 对函数21()125y x x =+ （1）把区间[-1,1]分成等份，并计算f(x)的值 n=5,10,20,50（2）分别以（1）中求的值作Lagrange 插值，4次，9次，19次，49次（3）分段插值作图，n=5,10,20,50,100（4）三次样条插值作图，n=5,10,20,50,100二、实验设计编程如下：untitled1.mclcx=linspace(-1,1,11);y=1./(1+25*x.^2);x0=linspace(-1,1,5);y0=1./(1+25*x.^2);y1=interp1(x,y,x0,'spline')y2=interp1(x,y,x0);A=[ones(11,1) x' (x.^2)' (x.^3)' (x.^4)' (x.^5)' (x.^6)' (x.^7)' (x.^8)' (x.^9)' (x.^10)']a=A\y';y3=a(1)+a(2).*x0+a(3).*x0.^2+a(4).*x0.^3+a(5).*x0.^4+a(6).*x0.^5+a(7).*x 0.^6+a(8).*x0.^7+a(9).*x0.^8+a(10).*x0.^9+a(11).*x0.^10;plot(x0,y3,'r'),gtext('lagr.'),hold on ,plot(x0,y2,'b'),gtext('Pies.Lin.'),hold on,plot(x0,y1,'m'),gtext('Spline')hold offUntitled2.mclcx=linspace(-1,1,11);y=1./(1+25*x.^2);x0=linspace(-1,1,10);y0=1./(1+25*x.^2);y1=interp1(x,y,x0,'spline')y2=interp1(x,y,x0);A=[ones(11,1) x' (x.^2)' (x.^3)' (x.^4)' (x.^5)' (x.^6)' (x.^7)' (x.^8)' (x.^9)' (x.^10)']a=A\y';y3=a(1)+a(2).*x0+a(3).*x0.^2+a(4).*x0.^3+a(5).*x0.^4+a(6).*x0.^5+a(7).*x 0.^6+a(8).*x0.^7+a(9).*x0.^8+a(10).*x0.^9+a(11).*x0.^10;plot(x0,y3,'r'),gtext('lagr.'),hold on,plot(x0,y2,'b'),gtext('Pies.Lin.'),hold on,plot(x0,y1,'m'),gtext('Spline')hold offUntitled3.mclcx=linspace(-1,1,11);y=1./(1+25*x.^2);x0=linspace(-1,1,20);y0=1./(1+25*x.^2);y1=interp1(x,y,x0,'spline')y2=interp1(x,y,x0);A=[ones(11,1) x' (x.^2)' (x.^3)' (x.^4)' (x.^5)' (x.^6)' (x.^7)' (x.^8)' (x.^9)' (x.^10)']a=A\y';y3=a(1)+a(2).*x0+a(3).*x0.^2+a(4).*x0.^3+a(5).*x0.^4+a(6).*x0.^5+a(7).*x 0.^6+a(8).*x0.^7+a(9).*x0.^8+a(10).*x0.^9+a(11).*x0.^10;plot(x0,y3,'r'),gtext('lagr.'),hold on,plot(x0,y2,'b'),gtext('Pies.Lin.'),hold on,plot(x0,y1,'m'),gtext('Spline')hold offUntitled4.mclcx=linspace(-1,1,11);y=1./(1+25*x.^2);x0=linspace(-1,1,50);y0=1./(1+25*x.^2);y1=interp1(x,y,x0,'spline')y2=interp1(x,y,x0);A=[ones(11,1) x' (x.^2)' (x.^3)' (x.^4)' (x.^5)' (x.^6)' (x.^7)' (x.^8)' (x.^9)' (x.^10)']a=A\y';y3=a(1)+a(2).*x0+a(3).*x0.^2+a(4).*x0.^3+a(5).*x0.^4+a(6).*x0.^5+a(7).*x 0.^6+a(8).*x0.^7+a(9).*x0.^8+a(10).*x0.^9+a(11).*x0.^10;plot(x0,y3,'r'),gtext('lagr.'),hold on,plot(x0,y2,'b'),gtext('Pies.Lin.'),hold on,plot(x0,y1,'m'),gtext('Spline')hold off三、实验结果y1 =0.0385 0.1401 1.0000 0.1401 0.0385A =Columns 1 through 71.0000 -1.0000 1.0000 -1.0000 1.0000 -1.0000 1.00001.0000 -0.8000 0.6400 -0.5120 0.4096 -0.3277 0.26211.0000 -0.6000 0.3600 -0.2160 0.1296 -0.0778 0.04671.0000 -0.4000 0.1600 -0.0640 0.0256 -0.0102 0.00411.0000 -0.2000 0.0400 -0.0080 0.0016 -0.0003 0.00011.0000 0 0 0 0 0 01.0000 0.2000 0.0400 0.0080 0.0016 0.0003 0.00011.0000 0.4000 0.1600 0.0640 0.0256 0.0102 0.00411.0000 0.6000 0.3600 0.2160 0.1296 0.0778 0.04671.0000 0.8000 0.6400 0.5120 0.4096 0.3277 0.26211.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 Columns 8 through 11-1.0000 1.0000 -1.0000 1.0000-0.2097 0.1678 -0.1342 0.1074-0.0280 0.0168 -0.0101 0.0060-0.0016 0.0007 -0.0003 0.0001-0.0000 0.0000 -0.0000 0.00000 0 0 00.0000 0.0000 0.0000 0.00000.0016 0.0007 0.0003 0.00010.0280 0.0168 0.0101 0.00600.2097 0.1678 0.1342 0.10741.0000 1.0000 1.0000 1.0000y1 =Columns 1 through 70.0385 0.0617 0.1157 0.2572 0.7859 0.7859 0.2572 Columns 8 through 100.1157 0.0617 0.0385A =Columns 1 through 71.0000 -1.0000 1.0000 -1.0000 1.0000 -1.0000 1.00001.0000 -0.8000 0.6400 -0.5120 0.4096 -0.3277 0.26211.0000 -0.6000 0.3600 -0.2160 0.1296 -0.0778 0.04671.0000 -0.4000 0.1600 -0.0640 0.0256 -0.0102 0.00411.0000 -0.2000 0.0400 -0.0080 0.0016 -0.0003 0.00011.0000 0 0 0 0 0 01.0000 0.2000 0.0400 0.0080 0.0016 0.0003 0.00011.0000 0.4000 0.1600 0.0640 0.0256 0.0102 0.00411.0000 0.6000 0.3600 0.2160 0.1296 0.0778 0.04671.0000 0.8000 0.6400 0.5120 0.4096 0.3277 0.26211.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000Columns 8 through 11-1.0000 1.0000 -1.0000 1.0000-0.2097 0.1678 -0.1342 0.1074-0.0280 0.0168 -0.0101 0.0060-0.0016 0.0007 -0.0003 0.0001-0.0000 0.0000 -0.0000 0.00000 0 0 00.0000 0.0000 0.0000 0.00000.0016 0.0007 0.0003 0.00010.0280 0.0168 0.0101 0.00600.2097 0.1678 0.1342 0.10741.0000 1.0000 1.0000 1.0000y1 =Columns 1 through 70.0385 0.0489 0.0601 0.0777 0.1071 0.1538 0.2242 Columns 8 through 140.3555 0.6312 0.9431 0.9431 0.6312 0.3555 0.2242 Columns 15 through 200.1538 0.1071 0.0777 0.0601 0.0489 0.0385A =Columns 1 through 71.0000 -1.0000 1.0000 -1.0000 1.0000 -1.0000 1.00001.0000 -0.8000 0.6400 -0.5120 0.4096 -0.3277 0.26211.0000 -0.6000 0.3600 -0.2160 0.1296 -0.0778 0.04671.0000 -0.4000 0.1600 -0.0640 0.0256 -0.0102 0.00411.0000 -0.2000 0.0400 -0.0080 0.0016 -0.0003 0.00011.0000 0 0 0 0 0 01.0000 0.2000 0.0400 0.0080 0.0016 0.0003 0.00011.0000 0.4000 0.1600 0.0640 0.0256 0.0102 0.00411.0000 0.6000 0.3600 0.2160 0.1296 0.0778 0.04671.0000 0.8000 0.6400 0.5120 0.4096 0.3277 0.26211.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 Columns 8 through 11-1.0000 1.0000 -1.0000 1.0000-0.2097 0.1678 -0.1342 0.1074-0.0280 0.0168 -0.0101 0.0060-0.0016 0.0007 -0.0003 0.0001-0.0000 0.0000 -0.0000 0.00000 0 0 00.0000 0.0000 0.0000 0.00000.0016 0.0007 0.0003 0.00010.0280 0.0168 0.0101 0.00600.2097 0.1678 0.1342 0.10741.0000 1.0000 1.0000 1.0000y1 =Columns 1 through 70.0385 0.0427 0.0466 0.0505 0.0546 0.0593 0.0649 Columns 8 through 140.0717 0.0801 0.0903 0.1027 0.1175 0.1352 0.1561 Columns 15 through 210.1806 0.2090 0.2434 0.2892 0.3516 0.4363 0.5483 Columns 22 through 280.6814 0.8143 0.9248 0.9907 0.9907 0.9248 0.8143 Columns 29 through 350.6814 0.5483 0.4363 0.3516 0.2892 0.2434 0.2090 Columns 36 through 420.1806 0.1561 0.1352 0.1175 0.1027 0.0903 0.0801Columns 43 through 490.0717 0.0649 0.0593 0.0546 0.0505 0.0466 0.0427 Column 500.0385A =Columns 1 through 71.0000 -1.0000 1.0000 -1.0000 1.0000 -1.0000 1.00001.0000 -0.8000 0.6400 -0.5120 0.4096 -0.3277 0.26211.0000 -0.6000 0.3600 -0.2160 0.1296 -0.0778 0.04671.0000 -0.4000 0.1600 -0.0640 0.0256 -0.0102 0.00411.0000 -0.2000 0.0400 -0.0080 0.0016 -0.0003 0.00011.0000 0 0 0 0 0 01.0000 0.2000 0.0400 0.0080 0.0016 0.0003 0.00011.0000 0.4000 0.1600 0.0640 0.0256 0.0102 0.00411.0000 0.6000 0.3600 0.2160 0.1296 0.0778 0.04671.0000 0.8000 0.6400 0.5120 0.4096 0.3277 0.26211.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 Columns 8 through 11-1.0000 1.0000 -1.0000 1.0000-0.2097 0.1678 -0.1342 0.1074-0.0280 0.0168 -0.0101 0.0060-0.0016 0.0007 -0.0003 0.0001-0.0000 0.0000 -0.0000 0.00000 0 0 00.0000 0.0000 0.0000 0.00000.0016 0.0007 0.0003 0.00010.0280 0.0168 0.0101 0.00600.2097 0.1678 0.1342 0.10741.0000 1.0000 1.0000 1.0000四、实验总结1．编程时需要注意字母的大小写；2. 调用函数时函数名称需一致；3. 注意题目要求。
插值方法
引例2、绘制地图
测绘部门 测量的一组 数据 节点两两 连接
描点
地 图 的 边 界
对每段曲线上的未知函数值，用直线段上相应的函数值来代替
引例3、机床加工
待加工零件的外形根据工艺要求由一组数据(x, y)给出（在平面情 况下），用程控铣床加工时每一刀只能沿x方向和y方向走非常小的 一步，这就需要从已知数据得到加工所要求的步长很小的（x, y） 坐标。表1给出的x, y数据位于机翼断面的下轮廓线上，假设需要得 到x坐标每改变0.1时的y坐标，试完成加工所需的数据，画出曲线。
2、分段三次埃尔米特插值 除了要求在插值节点的函数值给定外，还要求在节点处的导数 值为给定值 ：
设函数f(x)在节点x0,x1,…,xn处的函数值为 , y1 ,, y n 。 y0,y1,…,yn，导数值为 y0 求一个分段( 共 n段)多项式函数q(x)，使其满足： q(xi)=yi, ，i=0,1,…,n.
例如，在工程实践和科学实验中，常常需要从一组实验观测数据 (xi,yi) ,i=0,1,…，揭示自变量x与因变量y之间的关系，一般可以用 一个近似的函数关系式：y=f(x)来表示。函数f(x)的产生办法因观 测数据与要求的不同而异。
曲线拟合
插值
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
信息技术中的图象重建、建筑工程的外观设计、化学工程 实验数据与模型分析、地理信息数据的处理、社会经济现象的 统计分析等都要用到插值的方法。
再用
计算插值，即
二维插值方法包括最邻近插值法、分 片线性插值、双线性插值、样条插值等一 系列类似的方法，常用于图像处理、温度 场计算、气压等压线和地图等高线的绘制、 计算机模拟和数字信号处理等多种方面。 具体插值方法和应用参考数值逼近， 本课采用matlab自带函数进行计算。
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一维插值：
已知离散点上的数据集，即已知在点集X上对应的函数值Y，构造一个解析函数（其图形为一曲线）通过这些点，并能够求出这些点之间的值，这一过程称为一维插值。
MATLAB命令：yi=interp1(X, Y, xi, method)
一些个人经验说明:
①关于拟合参数的,X必须是向量,行向量或列向量均可,不可以是复数
②Y是向量或矩阵.但必须满足行数与length(X)相同即
size(Y,1)==length (X)
③针对以上说明的例子
function tu
x=[5 1 2 20 14 21]'
y=rand(6,2)%按列计算的
xi=linspace(0,21,100);
yi=interp1(x,y,xi,'cubic')
plot(x,y,'o',xi,yi)
size(x)
size(y,1)
length(x)
结果
size(x)
6 1
size(y,1)
6
length(x)
6
该命令用指定的算法找出一个一元函数，然后以给出处的值。
xi可以是一个标量，也可以是一个向量，是向量时，必须单调，method 可以下列方法之一：
‘nearest’：最近邻点插值，直接完成计算；
‘spline’：三次样条函数插值；
‘linear’：线性插值（缺省方式），直接完成计算；
‘cubic’：三次函数插值；
对于[min{xi},max{xi}]外的值，MATLAB使用外推的方法计算数值。
%-- 09-4-1 下午8:38 --%
%已知数据
t=1900:10:1990;
p=[75.995,91.972,105.711,123.203,131.669,150.697,179.323,203.212,226.
505,249.633];
x=1900:0.01:1990;
%使用不同的方法进行一维插值
yi_linear=interp1(t,p,x); %线性插值
yi_spline=interp1(t,p,x,'spline');%三次样条插值
yi_cubic=interp1(t,p,x,'cubic');%三次多项式插值
yi_v5cubic=interp1(t,p,x,'v5cubic');%matlab5中使用的三次多项式插值
%绘制图像对比
subplot(2,1,1);
plot(t,p,'ko');
hold on;
plot(x,yi_linear,'g','LineWidth',1.5);grid on;
plot(x,yi_spline,'y','LineWidth',1.5);
title('Linear VS Spline ')
subplot(2,1,2);
plot(t,p,'ko');
hold on
plot(x,yi_cubic,'g','LineWidth',1.5);grid on;
plot(x,yi_v5cubic,'y','LineWidth',1);
title('Cubic VS V5cubic ');
%创建新图形窗口
figure
yi_nearest=interp1(t,p,x,'nearest');%最邻近插值法
plot(t,p,'ko');
hold on
plot(x,yi_nearest,'g','LineWidth',1.5);grid on;
title('Nearest Method');
%以下是根据拟合估计
msg=' year Cubic Linear Nearest Spline'; for i=0:8
n=10*i;
year=1905+n;
pop(i+1,1)=year;
pop(i+1,2)=yi_cubic((year-1900)/0.01+1);
pop(i+1,3)=yi_linear((year-1900)/0.01+1);
pop(i+1,4)=yi_nearest((year-1900)/0.01+1);
pop(i+1,5)=yi_spline((year-1900)/0.01+1);
end
P=round(pop);
disp(msg)
disp(P)
结果如图:
由此可见,各种插值的优劣,在速度上,Nearest最快,然后是Linear再到Cubic,最慢的是Spline.但是精度和曲线的平滑度恰好相反,Nearest 甚至不连续~~
系统默认的是Linear
当然也可以用图形界面更易理解
附录： Matlab 样条工具箱(Spline ToolBox)【信息来源教师博客】
Matlab样条工具箱中的函数提供了样条的建立，操作，绘制等功能；
一. 样条函数的建立
第一步是建立一个样条函数，曲线或者曲面。
这里的样条函数，根据前缀，分为4类：cs* 三次样条
pp* 分段多项式样条，系数为t^n的系数
sp* B样条，系数为基函数B_n^i(t)的系数
rp* 有理B样条
二. 样条操作
样条操作包括：函数操作：求值，算术运算，求导求积分等等
节点操作：主要是节点重数的调节，设定，修改等等
附：样条工具箱函数
1. 三次样条函数
csapi 插值生成三次样条函数
csape 生成给定约束条件下的三次样条函数
csaps 平滑生成三次样条函数
cscvn 生成一条内插参数的三次样条曲线
getcurve 动态生成三次样条曲线
2. 分段多项式样条函数
ppmak 生成分段多项式样条函数
ppual 计算在给定点处的分段多项式样条函数值
3. B样条函数
spmak 生成B样条函数
spcrv 生成均匀划分的B样条函数
spapi 插值生成B样条函数
spap2 用最小二乘法拟合生成B样条函数
spaps 对生成的B样条曲线进行光滑处理
spcol 生成B样条函数的配置矩阵
4. 有理样条函数
rpmak 生成有理样条函数
rsmak 生成有理样条函数
5. 样条操作函数
fnval 计算在给定点处的样条函数值
fmbrk 返回样条函数的某一部分（如断点或系数等）fncmb 对样条函数进行算术运算
fn2fm 把一种形式的样条函数转化成另一种形式的样条函数fnder 求样条函数的微分(即求导数)
fndir 求样条函数的方向导数
fnint 求样条函数的积分
fnjmp 在间断点处求函数值
fnplt 画样条曲线图
fnrfn 在样条曲线中插入断点。
fntlr 生成tarylor系数或taylor多项式
6. 样条曲线端点和节点处理函数
augknt 在已知节点数组中添加一个或多个节点
aveknt 求出节点数组元素的平均值
brk2knt 增加节点数组中节点的重次
knt2brk 从节点数组中求得节点及其重次
knt2mlt 从节点数组中求得节点及其重次
sorted 求出节点数组的元素在另一节点数组中属于第几个分量aptknt 求出用于生成样条曲线的节点数组
newknt 对分段多项式样条函数进行重分布
optknt 求出用于内插的最优节点数组
chbpnt 求出用于生成样条曲线的合适节点数组。