高一数学期中考试 试题卷

益阳市2020年上学期高一数学期中考试
时量：120分钟 满分150分
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题, 每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.)
1. 下列命题正确的是
A. 终边相同的角都相等
B. 钝角比第三象限角小
C. 第一象限角都是锐角
D. 锐角都是第一象限角
2. 若角α的终边经过点P )54,53(−,则sin tan αα⋅的值是 A. 15
16 B. 1516− C. 35 D. 35− 3. 已知2sin sin 1θθ+=，则24cos cos θθ+=
A. 1
B. 2
C.
D.
4. 化简sin (π－α)cos (－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos (π＋α)sin (－α)
等于 A. sin α B. cos α C. tan α− D. cos α−
5. 若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a ＋b )，则a 与b 的夹角为
A. π2
B. 2π3
C. 3π4
D. 5π6 6. 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝
⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为 A ．①②③ B ．①③④
C ．②④
D ．①③ 7. 函数()sin()(0,)2f x x π
ωϕωϕ=+><的图像如图所示，先将图像上所有点的横坐标伸长到原来的6倍，纵坐标不变，再将所得的图像向左平移
72π个单位长度，得到函数()g x 的图像，下列结论正确的是
A. ()g x 是奇函数
B. ()g x 在[2,0]π−上单调递增
C. ()g x 的图像关于(3,0)π对称
D. ()g x 的图像关于3x π=−对称
8. 函数f (x )＝tan ⎝
⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A. ⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B. ⎝⎛⎭
⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C. ⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D. ⎣
⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 9. 1＋2sin (π－3)cos (π＋3)化简的结果是( )
A ．sin 3－cos 3
B ．cos 3－sin 3
C ．±(sin 3－cos 3)
D ．以上都不对
10. 在△ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，则下列各等式中不．正确．．
的是 A. 23BG BE =
B. 2CG GF =
C. 12
DG AG = D. 0GA GB GC ++= 11. 已知函数1()cos(3)1
x x e f x x a e −=⋅++，其中[]0,a π∈，则()f x 的大致图像不可能是
12. 已知函数()2sin()(*)6f x x N π
ωω=+∈有一条对称轴为23
x π=，当ω取最小值时，关于x 的方程 ()f x a =在区间[,]63
ππ−上有且只有一个根，则实数a 的取值范围是 A. [1,1]− B. [1,1)− C. [1,0]− D. 以上都不对
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在题中的横线上.) 13. 7cos()6
−π= . 14. 已知扇形的圆心角为π6，面积为π3
，则扇形的弧长等于________． 15. 若21tan =α，则α
αααcos 3sin 2cos sin −+= . 16. 已知点(1,0),(3,4)A B ，O 为坐标原点，点C 在AOB ∠的平分线上，且2OC =，则点C 的坐标为
三、解答题：第17小题满分10分，第18至第22小题满分各12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17. (本小题满分10分)
已知向量a ＝(－3，1)，b ＝(1，－2)，c ＝(1，1)．
(1)求向量a 与b 的夹角的大小；
(2)若c ∥(a ＋k b )，求实数k 的值．
18. (本小题满分12分)
已知sin α，cos α是关于x 的方程21370x x t −+=的两根，α∈(0，π)，
(1)求t 的值；
(2)求tan α的值.
19. (本小题满分12分)
如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上一点，且OP →＝xOA →＋yOB →.
(1)若AP →＝PB →，求x ，y 的值；
(2)若AP →＝3PB →，|OA →|＝4，|OB →|＝2，且OA →与OB →的夹角为60°，求OP →·AB →的值．
20. (本小题满分12分)
已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上相邻的最高点和最低点的距离为22，且f (x )的图像过点⎝
⎛⎭⎫2，－12， (1)求函数f (x )的解析式；
(2)求函数f (x )的单调递减区间
(3)求f (x )在区间[1,2]−上的值域.
21. (本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形OABC 是等腰梯形，A (6,0)，C (1，3)，点M 满足OM →＝12
OA →，点P 在线段BC 上运动(包括端点)，如图所示．
(1)求∠OCM 的余弦值；
(2)是否存在实数λ，使(OA →－λOP →)⊥CM →？若存在，求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．
22. (本小题满分12分)
函数f (x )＝1－2a －2a cos x －2sin 2x 的最小值为g (a )，a ∈R . 函数()21h x x =−
(1)求g (a )(结论写成分段函数的形式)；
(2)是否存在实数a 满足：任给1(0,2)x ∈，都存在2x R ∈使得12()()h x f x =？若存在，求实数a 的取值范围； 若不存在，请说明理由.。