高一数学上学期期中考试试卷及答案
湖南省永州市蓝山县第一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含解析)
2024年下期蓝山一中高一期中考试试卷（数学）全卷满分150分 考试用时120分钟一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.每小题只有一个正确答案。
）1.已知集合，（ ）.2.是（ ）.3..4.下列结论正确的是（ ）.5.函数（ ）.6..7.图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（ ）8.{}4,3,2,1,0=A }{=<<-∈=B A x N x B ，则41{}321:，，A {}3,2,1,0:B {}4,3,2:C {}2,1,0:D ””是““0112=-=x x 充分不必要条件:A 必要不充分条件:B 充要条件:C 既不充分也不必要条件:D ）有实根”的否定是（，使，命题“存在设0102=-+≥∈mx x m R m 无实根，使010:2=-+≥∀mx x m A 有实根，使010:2=-+<∀mx x m B 无实根，使010:2=-+≥∃mx x m C 有实根，使010:2=-+<∃mx x m D 2222::11:.:b a b a D b a bc ac C ba b a B bc ac b a A >>>><><>，则若，则若，则若，则若定义域是11)(2++-=x xx x f []11:，-A [)(]1001:，， -B (]11:，-C ()(]1001:，， -D ）的最小值是（则设21)(,2-+=>x x x f x 2:A 3:B 4:C 5:D 1C 2C 3C 1y x =α2y x =α3y x α=1α2α3α3,21,1:3,1,21:21,3,1:1,3,21:----D C B A .)(5)(2)(3）（，则，且已知函数=-=++=m f m f x ax x f二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.下列函数中，即是偶函数，又在（0，）上单调递增的函数有（ ） 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)12. 则实数的取值范围是 .14. .四、解答题(本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13分)（1）求的值. （2）5:-A 3:-B 1:-C 3:D ∞+(]时，，当，，的奇函数，且对任意）是定义域为已知函数21210(.10x x x x R x f ≠∞-∈21:A 43:B 94:C 23:D {})()(,7,411max )(,,,,,max .112的函数值可以取则，设中最大值为定义x g x x x x g c b a c b a ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+=3:A 4:B 5:C 6:D (){}{}1031->=≥+=-=x x B A a x x B A ，若，，已知集合a (]的取值范围是上是单调递增，则，在区间）函数m x m x x f 43)1(2(2∞-+-+-=[](]⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈-=.3,1,22,1,1,1)(2x x x x x f 设函数)0(f 值。
福建省厦门2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)
厦门2024-2025学年第一学期期中考高一数学试卷（答卷时间：120分钟 卷面总分：150分）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．设全集，集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．若命题，则命题的否定为（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知命题，若命题是命题的充分不必要条件，则命题可以为（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列幕函数满足：“①；②当时，为单调通增”的是（ ）A ． B ．C ．D ．5．已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知且，则的最小值是（ ）A ．B ． 25C ．5D ．{}0,1,2,3,4,5,6U ={}{}1,2,3,3,4,5,6A B ==U ()A B = ð{}1,2{}2,3{}1,2,3{}0,1,2,32:0,320p x x x ∃>-+>p 20,320x x x ∃>-+≤20,320x x x ∃≤-+≤20,320x x x ∀≤-+>20,320x x x ∀>-+≤:32p x -<≤q p q 31x -≤≤1x <31x -<<3x <-,()()x R f x f x ∀∈-=-(0,)x ∈+∞()f x ()f x =3()f x x=1()f x x-=2()f x x=()()()f x x a x b =--a b >()2xg x a b =+-0,0x y >>3210x y +=32x y+52657．已知偶函数与奇函数的定义域都是，它们在上的图象如图所示，则使关于的不等式成立的的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知，则与之间的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．无法比较二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得部分分．9．下列函数中，与不是同一函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．若，则下列不等式成立的是（ ）A ．B．C ．D ．11．设，用符号表示不大于的最大整数，如．若函数，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．函数的值域是C ．若，则D ．方程有2个不同的实数根三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填写在答题卷相应位置上．12．计算________．13．“不等式对一切实数都成立”，则的取值范围为________．()f x ()g x (2,2)-[0,2]x ()()0f x g x ⋅>x (2,1)(0,1)-- (1,0)(0,1)- (1,0)(1,2)- (2,1)(1,2)-- 45342024120241,2024120241a b ++==++a b a b>a b <a b =y x =2y =u =y =2n m n=,0a b c a b c >>++=22a b <ac bc <11a b<32a a a b b+>+x R ∈[]x x [1.6]1,[ 1.6]2=-=-()[]f x x x =-[(1.5)]1f =-()f x [1,0]-()()f a f b =1a b -≥2()30f x x -+=21232927()((1.5)48---+=23208x kx -+-<x k14．某学校高一年级一班48名同学全部参加语文和英语书面表达写作比赛，根据作品质量评定为优秀和合格两个等级，结果如表所示：若在两项比赛中都评定为合格的学生最多为10人，则在两项比赛中都评定为优秀的同学最多为________人．优秀合格合计语文202848英语301848四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知集合，集合．（1）当时，求，．（2）若，求的取值范围．16．（15分）已知函数．（1）判断函数的奇偶性并用定义加以证明；（2）判断函数在上的单调性并用定义加以证明．17．（15分）已知函数．（1）若函数图像关于对称，求不等式的解集；（2）若当时函数的最小值为2，求当时，函数的最大值．18．（17分）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”规则如下①3小时内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值（单位：EXP ）与游玩时间（单位：小时）滴足关系式：；②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验值不变）；③超过5小时为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时国成正比例关系，正比例系数为50．（1）当时，写出累积经验值与游玩时间的函数关系式，求出游玩6小时的累积经验值；（2）该游戏厂商把累积经验值与游现时间的比值称为“玩家愉悦指数”，记为，若，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数的取值范围．19．（17分）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．例如，已知，求证：．{}34A x x =-<≤{}121B x k x k =+≤≤-2k ≠A B ()R A B ðA B B = k 2()f x x x=-()f x ()f x (0,)+∞2()23,f x x bx b R =-+∈()f x 2x =()0f x >[1,2]x ∈-()f x [1,2]e ∈-()f x E t 22016E t t a =++1a =E t ()E f t =E t ()H t 0a >a 1ab =11111a b+=++证明：原式．波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长．”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征．请根据上述材料解答下列问题：（1）已知，求的值；（2）若，解方程；（3）若正数满足，求的最小值．111111ab b ab a b b b=+=+=++++1ab =221111a b+++1abc =5551111ax bx cxab a bc b ca c ++=++++++,a b 1ab =11112M a b=+++高一数学期中考参考答案1234567891011A DCB DAABABDBDACD12．13．14．1215．解：（1）由题设，则，，则，（2）由，若时，，满足；若时，；综上，．16．解：（1）是奇函数，证明如下：由已知得的定义域是，则，都有，且，所以是定义域在上的奇函数．（2）在上单调递减，证明如下：，且，都有∵，∴，∵，∴∴，即，所以在上单调递减32({}3B ={}34A B x x =-<≤ {}()34R A x x x =≤->或ð()R A B = ð∅A B A B A =⇒⊆ B =∅1212k k k +>-⇒<B ≠∅12151322214k k k k k +≤-⎧⎪+>-⇒≤≤⎨⎪-≤⎩52k ≤()f x ()f x (,0)(0,)-∞+∞ (,0)(0,)x ∀∈-∞+∞ (,0)(0,)x -∈-∞+∞ 22()()()f x x x f x x x-=--=-=--()f x (,0)(0,)-∞+∞ ()f x (0,)+∞12,(0,)x x ∀∈+∞12x x <22212121121212122222()()x x x x x x f x f x x x x x x x --+-=--+=222112************222()()x x x x x x x x x x x x x x x x --+⨯---==211212()(2)x x x x x x -⨯+=12x x <210x x ->12,(0,)x x ∈+∞120x x >12()()0f x f x ->12()()f x f x >()f x (0,)+∞17．解：（1）因为图像关于对称，所以：，所以：得：，即，解得或所以，原不等式的解集为：（2）因为是二次函数，图像抛物线开口向上，对称轴为，①若，则在上是增函数所以：，解得：；所以：，②若，则在上是减函数，所以：，解得：（舍）；③若，则在上是减函数，在上是增函数；所以，解得：或（舍），所以：综上，当时，的最大值为11；当时，最大值为6．18．解：（1）当时，，，当时，，当时，当时，所以，当时，．（2）当时，，整理得：恒成立，令函数的对称轴是，当时，取得最小值，即，()f x 2x =2b =22()43()43,1f x xx f x x x e e -+=-+=<2430x x ee -+<2430x x -+<1x <3x >{}13x x x <>或2()23f x x bx =-+x b =1b ≤-()f x [1,2]-min ()(1)422f x f b =-=+=1b =-max ()()7411f x f x b ==-=2b ≥()f x [1,2]-min ()(2)742f x f b ==-=54b =12b -<<()f x [1,]b -(,2]b 2min ()()32f x f b b ==-=1b =1b =-max ()(1)426f x f b =-=+=1b =-()f x 1b =()f x 03t <≤1a =22016E t t =++3t =85E =35t <≤85E =5t >8550(5)33550E t t=--=-22016,03()85,3533550,5t t t E t t t t ⎧++<≤⎪=<≤⎨⎪->⎩6t =()35E t =03t <≤22016()24t t aH t t++=≥24160t t a -+≥2()416f t t t a =-+2(0,3]t =∈2t =()f t 164a -1640a -≥14a ≥19．解：（1）．（2）∵，∴原方程可化为：，即：，∴，即，解得：．（3）∵，当且仅当，即∴有最小值，此时有最大值，从而有最小值，即有最小值．222211111ab ab b aa b ab a ab b ab a b+=+=+=++++++1abc =55511(1)ax bx bcxab a abc bc b b ca c ++=++++++5551111x bx bcx b bc bc b bc b ++=++++++5(1)11b bc x b bc ++=++51x =15x =2221122111111211223123123ab b b b b M ab a b b b b b b b b b++=+=+==-=-++++++++++12b b +≥=12b b =1b a b===12b b +1123b b ++3-11123b b-++2-11112M a b=+++2。
2024-2025学年酒泉市高一数学上学期期中考试卷及答案解析
2024—2025学年高一上学期期中考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合3{|5}A x x =<，{3,1,0,2,3}B =--，则A B = （ ）A. {1,0}- B. {2,3} C. {1,0,2}- D. {3,1,0}--【答案】D 【解析】【分析】求出集合{A x x =，再利用交集运算即可求解.【详解】由题意可得集合{A x x =，因为12<<，且{3,1,0,2,3}B =--，则{}3,1,0A B ⋂=--，故D 正确.故选：D.2. 下列命题中正确的是（ ）A. 若0a b >>，则22a b > B. 若a b <，则22ac bc <C. 若a b <，则11a b> D. 若a b >，则ac bc>【答案】A 【解析】【分析】根据不等式的性质判断A ；举反例判断BCD.【详解】对于选项A ：若0a b >>，由不等式性质可得22a b >，故A 正确；的对于选项BD ：例如0c =，可得220ac bc ==，0ac bc ==，故BD 错误；对于选项C ：利用1,1a b =-=，可得111,1a b =-=，即11a b<，故C 错误；故选：A.3. 已知命题2:,230p x ax x ∀∈++>R 为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1|02a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ B. 1|03a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ C. 1|3a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ D. 1|3a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】【分析】问题转化为不等式2230ax x ++>的解集为R ，根据一元二次不等式解集的形式求参数的值.【详解】因为命题2:,230p x ax x ∀∈++>R 为真命题，所以不等式2230ax x ++>的解集为R .所以：若0a =，则不等式2230ax x ++>可化为230x +>⇒32x >-，不等式解集不是R ；若0a ≠，则根据一元二次不等式解集的形式可知：20Δ2120a a >⎧⎨=-<⎩⇒13a >.综上可知：13a >故选：D4. 已知函数()235,1,28,1,x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩则()()2f f 的值为（ ）A. 4 B. 5 C. 8 D. 0【答案】B 【解析】【分析】根据分段函数的解析式求得正确答案.【详解】因为f (x )=3x +5,x ≤1,−2x 2+8,x >1,所以()222280f =-⨯+=，所以()()()203055ff f ==⨯+=.故选：B5. 下列函数中，既是奇函数又在区间()0,∞+上单调递增的是（ ）A. ()1f x x=B. ()exf x =C. ()2f x x = D. ()1f x x x=-【答案】D 【解析】【分析】由常见函数的函数图像即可判断奇偶性和在区间()0,∞+上的单调性，即可得出结论.【详解】函数()1f x x=是奇函数，在区间()0,∞+上单调递减，故A 不符合题意；函数()e xf x =是非奇非偶函数，在区间()0,∞+上单调递增，故B 不符合题意；函数()2f x x =是偶函数，在区间()0,∞+上单调递增，故C 不符合题意；函数()1f x x x=-的定义域为()(),00,-∞+∞ ，且满足()()1f x x f x x -=-+=-，又函数y x =和1y x =-均在区间()0,∞+上单调递增，所以函数()1f x x x =-在区间()0,∞+上单调递增，即函数()1f x x x=-既是奇函数，又在区间()0,∞+上单调递增，符合题意.故选：D.6. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，且当0x ≤时，()22x af x =+，则()1f =（ ）A. 2 B. 4C. 2-D. 4-【答案】A 【解析】【分析】利用题意结合奇函数的定义判断()f x 是奇函数，再利用奇函数的性质求解即可.【详解】因为定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，所以()f x 是奇函数，且()00f =，故0202a+=，解得2a =-，故当0x ≤时，()222x f x =-+，由奇函数性质得()()11f f =--，而()121222f --=-+=-，故()()112f f =--=，故A 正确.故选：A7. 已知2345a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3423b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，5349c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. a c b >>D. c a b>>【答案】A 【解析】【分析】根据幂函数、指数函数的单调性判定大小即可.【详解】易知3362555422933c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭定义域上单调递减，36145<<，所以23b c >>，易知()230y xx =>单调递增，432543>>，则223334422533a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=>>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，综上a b c >>.故选：A8. 函数()1,4,11x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪-⎩的值域为（ ）A. [)5,5,4⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦B. 5,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. [)3,4,4⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ D. 3,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】由分段函数解析式，利用换元法可求得1x ≤时函数()f x 的值域为5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，再由基本不等式可求得当1x >时，函数()f x 的值域为[)5,+∞，即可得出结论.【详解】根据题意当1x ≤时，()f x x =t =，可得[)0,t ∈+∞，所以21x t =-，因此可得()2215124f t t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭；由二次函数性质可得当12t =，即34x =时，()1f x x x =≤取得最大值54，此时()1f x x x =+≤的值域为5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；当1x >时，()44111511f x x x x x =+=-++≥+=--，当且仅当411x x -=-，即3x =时，等号成立；此时()4,11f x x x x =+≥-的最小值为5，因此()4,11f x x x x =+≥-的值域为[)5,+∞；综上可得，函数()f x 的值域为[)5,5,4⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦.故选：A【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用分段函数()f x 的解析式，由各段的函数性质利用换元法和基本不等式即可求得函数值域.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法正确的有（ ）A. “1a >”是“11a<”的充分不必要条件B. 命题“21,1x x ∀<<”的否定是“1x ∃≥，21x ≥”C. 若a b >，则22a b c c >D. 若0a >，0b >，且41a b +=，则11a b+的最小值为9【答案】ACD 【解析】【分析】根据充分和必要条件，全称量词命题的否定、不等式、基本不等式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】选项A ，若1a >，则11a <；若11a<，则a 有可能是负数，此时1a >不成立，故“1a >”是“11a<”的充分不必要条件，正确，符合题意；选项B ，命题“1x ∀<，21x <”的否定是“21,1x x ∃<≥”，错误，不符合题意；选项C ，若a b >，则22a b c c>，正确，符合题意；选项D ，若0a >，0b >，且41a b +=，则()1111441459b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即13a =，16b =时，取等号，故11a b+的最小值为9，正确，符合题意.故选：ACD10. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()22f x x x =-，则下列结论正确的是（ ）A. ()f x 的单调递增区间为(),1∞--和()1,+∞B. ()0f x =有3个根C. ()0xf x <的解集为()()2,00,2-⋃D. 当0x <时，()22f x x x=-+【答案】ABC 【解析】【分析】先求得0x <时()f x 的解析式判断选项D ；求得()f x 的单调递增区间判断选项A ；求得()0f x =的根的个数判断选项B ；求得()0xf x <的解集判断选项C.【详解】由()f x 是定义在R 上的奇函数知，对任意x ∈R ，()()f x f x -=-.当0x <时，0x ->，又当0x ≥时，()22f x x x =-，所以()()()()2222f x f x x x x x ⎡⎤=--=----=--⎣⎦，故D 错误.由上可知()222,0,2,0,x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩又抛物线22y x x =-的对称轴为直线1x =，开口向上，抛物线22yx x =--的对称轴为直线1x =-，开口向下，结合二次函数的性质知()f x 的单调递增区间为(),1∞--和()1,+∞，故A 正确.由()0f x =可得2020x x x ≥⎧⎨-=⎩或220x x x <⎧⎨--=⎩解之得，0x =或2x =或2x =-，故B 正确.由()0xf x <，可得2020x x x <⎧⎨-->⎩或220x x x >⎧⎨-<⎩解得20x -<<或02x <<，故C 正确.故选：ABC11. 已知函数2,0()2,0x x x f x x ⎧≥=⎨<⎩，则下列判断错误的是（ ）A. ()f x 是奇函数B. ()f x 的图像与直线1y =有两个交点C. ()f x 的值域是[0,)+∞D. ()f x 在区间(,0)-∞上是减函数【答案】AB 【解析】【分析】根据分段函数的解析式及基本初等函数的图象与性质逐一分析即可.【详解】如图所示，作出函数图象，显然图象不关于原点中心对称，故A 不正确；函数图象与直线1y =有一个交点，故B 错误；函数的值域为[0,)+∞，且在区间(,0)-∞上是减函数，即C 、D 正确；故选：AB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 能说明“关于x 的不等式220x ax a -+>在R 上恒成立”为假命题的实数a 的一个取值为_________.【答案】0（答案不唯一）【解析】【分析】将关于x 的不等式220x ax a -+>在R 上恒成立问题转化为0∆<，从而得到a 的取值范围，命题为假命题时a 的取值范围是真命题时的补集，即可得a 的取值.【详解】若不等式220x ax a -+>在R 上恒成立，则()2420a a ∆=--⨯<，解得08a <<，所以该命题为假命题时实数a 的取值范围是08a a ≤≥或，.所以实数a 一个取值为0.故答案为：0（答案不唯一，只要满足“0a ≤或8a ≥”即可）.13. 已知函数()21,02,6,2,x x f x x x ⎧-≤<=⎨-≥⎩则不等式()12f x x >的解集为______.【答案】()1,4【解析】【分析】在同一直角坐标系中，作出函数y =f (x )及12y x =的图象，即可求得不等式()12f x x >的解集.【详解】在同一直角坐标系中，作出函数y =f (x )及12y x =的图象如下：由图可知不等式()12f x x >的解集为(1,4).故答案为：(1,4)14. 已知正数,x y 满足328x y -=，则3x y+的最小值为______.【答案】9【解析】【分析】先根据指数运算求出33x y =+，代入3x y+中，再利用基本不等式可得最小值.【详解】33282x y y -==，可得33x y =+，又0,0x y >>，所以3333239x y y y +=++≥⨯+=，的当且仅当1y y=，即1y =时取得最小值.故答案为：9四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 设全集R U =，集合{}15A x x =≤≤，集合{}122B x a x a =--≤≤-.（1）若4a =，求A B ，()U A B ⋂ð；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（1）A ∪B ={x |−9≤x ≤5},(){}U 25A B x x ⋂=<≤ð; （2）13a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.【解析】【分析】（1）根据并集与交集，补集的概念直接计算.（2）根据集合间的包含关系，列不等式，解不等式即可.【小问1详解】因为4a =，所以{}92B x x =-≤≤.因为{}15A x x =≤≤，所以{}95A B x x ⋃=-≤≤.因为R U =，所以{9U B x x =<-ð或}2x >，所以(){}25U A B x x ⋂=<≤ð.【小问2详解】因为B A ⊆.①当B =∅时，满足B A ⊆，此时122a a -->-，解得13a <；②当B ≠∅时，要满足B A ⊆，则121,25,122,a a a a --≥⎧⎪-≤⎨⎪--≤-⎩解得a ∈∅综上所述，实数a 的取值范围是13a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.16. 已知()y f x =在()0,∞+上有意义，单调递增且满足()()()()21,f f xy f x f y ==+．（1）求证：()()22f xf x =；（2）求不等式的()()32f x f x ++≤的解集．.【答案】（1）证明见解析 （2）{}|01x x <≤【解析】【分析】（1）根据条件，通过令y x =，即可证明结果；（2）根据条件得到()()()34f x x f +≤，再利用()f x 在区间()0,∞+上的单调性，即可求出结果.【小问1详解】因为()()()f xy f x f y =+，令y x =，得到()()()()22f x f x f x f x =+=，所以()()22f xf x =.【小问2详解】()()()()()()332224f x f x f x x f f ++=+≤== ，又函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增，所以()03034x x x x ⎧>⎪+>⎨⎪+≤⎩，解得01x <≤，所以不等式的()()32f x f x ++≤的解集为{}|01x x <≤.17. 已知函数()21x bf x ax +=+，点()1,5A ，()2,4B 是()f x 图象上的两点.（1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 在[]1,3上的最大值和最小值.【答案】（1）18a b =⎧⎨=⎩（2）max ()5f x =，min 7()2f x =【解析】【分析】（1）把图象上的两点代入函数解析式，由方程组求a ，b 的值；（2）定义法求函数单调性，由单调性求最值.小问1详解】因为点()1,5A ，()2,4B 是()f x 图象上的两点，【所以2514421b a b a +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，解得18a b =⎧⎨=⎩.【小问2详解】设1213x x ≤<≤，则()()()()()2112121212628281111x x x x f x f x x x x x -++-=-=++++，因为1213x x ≤<≤，所以210x x ->，()()12110x x ++>，则()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()281x f x x +=+在[]1,3上单调递减.故()max ()15f x f ==，()min 7()32f x f ==.18. 已知函数()122x f x =+.（1）求()0f 与()2f ，()1f -与()3f 的值；（2）由（1）中求得的结果，猜想f(x)与()2f x -的关系并证明你的猜想；（3）求()()()()()()()2020201901220212022f f f f f f f -+-+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++的值.【答案】（1））()103f =，()126f =，()215f -=，()1310f = （2）()()122f x f x +-=，证明见解析 （3）40434【解析】【分析】（1）根据题意代入0，2，-1，3求值即可；（2）根据（1）的结果猜想()()122f x f x +-=，计算()()2f x f x +-的值即可证明；（3）根据（2）的结果可得1(2020)(2022)2f f -+=，根据规律计算即可求解.【小问1详解】解：因为()122x f x =+，故11(0)123f ==+，211(2)226f ==+，112(1)225f --==+，311(3)2210f ==+.【小问2详解】解：猜想：()()122f x f x +-=，证明：∵对于任意的x R ∈，都有2221122(2)2222222(22)22x x x x x x f x --====++⨯++∴221()(2)2(22)2x x f x f x ++-==+.故()()122f x f x +-=.【小问3详解】解：由（2）得()()122f x f x +-=，故(2020)(22022)f f -=-，1(2020)(2022)2f f -+=，1(2019)(2021)2f f -+=，所以()()()()()()()2020201901220212022f f f f f f f -+-+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++()()()()()()()2020202220192021(1)(3)021f f f f f f f f f =-++-+⋅⋅⋅+-++++1140432021244=⨯+=.19. 已知()f x 满足 ()()()(),f x f y f x y x y +=+∈R ，且0x >时，()0f x < .（1）判断()f x 的单调性并证明；（2）证明：()()f x f x -=-；（3）若()12f =-，解不等式()2260f x x -->．【答案】（1）减函数，证明见解析（2）证明见解析 （3）{|1x x <-或}3x >．【解析】【分析】（1）利用函数的单调性定义证明；（2）采用赋值法探索()f x -与()f x 之间的关系；（3）利用单调性及特殊点的函数值解不等式即可.【小问1详解】()f x 是R 上的减函数，证明如下：对任意12,x x ∈R 且12x x <，则210x x ->，所以()210f x x -<；又()()()1212f x f x x f x +-=即()()()21210f x f x f x x -=-<，所以()()21f x f x <.所以()f x 是R 上的减函数.【小问2详解】由()()()f x f y f x y +=+，令y x =-，得()()()0f x f x f +-=；再令0x =可得()()()000f f f +=⇒()00f =；()()0f x f x ∴-+=即()()f x f x -=-.【小问3详解】()()()()122114f f f f =-⇒=+=-，()()()3216f f f =+=-，()2260f x x ∴-->，即()()()2233f x x f f ->-=-，又()f x 是R 上的减函数，所以223x x -<-⇒2230x x -->，解得：1x <-或3x >，所以不等式的解集为{|1x x <-或}3x >.。
人教版高一数学上学期期中考试试题及详细答案解析全文
人教版高一数学上学期期中考试数学试题（满分150分时间120分钟）一、单选题（12小题，每题5分）。
1.已知集合(){}{}0222>==-==x ,y x B ,x x lg y x A x,是实数集，则（）A.B.C.D.以上都不对2.下列函数中，是偶函数且在上为减函数的是（）A.2xy = B.xy -=2C.2-=x y D.3xy -=3.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A.2xy =和()2x y =B.()12-=x lg y 和()()11-++=x lg x lg y C.2x log y a =和xlog y a 2= D.x y =和xa alog y =4.已知3110220230...c ,b ,.log a ===，则c ,b ,a 的大小关系是（）A.cb a << B.b ac << C.bc a << D.ac b <<5.在同一直角坐标系中，函数()()()x log x g ,x x x f a a=≥=0的图像可能是（）A. B. C. D.6.若132=log x ，则x x 93+的值为（）A.3B.C.6D.7.函数()x x x f 31+-=的单调递增区间是（）A.B.C.D.8.某同学求函数()62-+=x x ln x f 零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示：则方程062=-+x x ln 的近似解（精确度0.1）可取为（）A.2.52B.2.625C.2.66D.2.759.函数()xx lg x f 1-=的零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,10)C.(10,100)D.(100，＋∞)10.已知函数()2211xxx f -+=，则有()A.()x f 是奇函数，且()x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛1 B.()x f 是奇函数，且()x f x f =⎪⎭⎫⎝⎛1C.()x f 是偶函数，且()x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛1 D.()x f 是偶函数，且()x f x f =⎪⎭⎫⎝⎛111.如图，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h 与注水时间t 之间的函数关系，大致是（）A. B. C. D.12.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=0621100x ,x x x ,x lg x f ，若a ，b ，c 均不相等，且()()()c f b f a f ==，则abc的取值范围是A.（1，10）B.(5，6)C.(10，12)D.(20，24)二、填空题（4小题，每题5分）13.若对数函数()x f 与幂函数()x g 的图象相交于一点（2，4）,则()()=+44g f ________.14.对于函数f (x )的定义域中任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有如下结论：①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)f (x 2)；②f (x 1x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)；③()()02121>--x x x f x f .当f (x )＝e x 时，上述结论中正确结论的序号是______.15.已知3102==b,lg a ，用a,b 表示=306log _____________.16.设全集{}654321,,,,,U =,用U 的子集可表示由10,组成的6位字符串,如：{}42表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000．（1）若，则M C U 表示6位字符串为_____________．（2）若,集合表示的字符串为101001，则满足条件的集合的个数为____个．三、解答题。
北京市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题含答案
北京2024-2025学年度第一学期期中考试（答案在最后）高一年级数学学科本试卷共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．一、选择题（每题4分，共48分）1．已知集合{}12A x Z x =∈-≤<，则下列说法正确的是（）A ．0A⊆B ．0A∉C ．3A∈D ．1A-∈2．记命题:0,3p x x ∃>≥，则p ⌝为（）A ．0,3x x ∀><B ．0,3x x ∀≤<C ．0,3x x ∃≤≥D ．0,3x x ∃><3．集合{}0,1的真子集有（）个A ．1B ．2C ．3D ．44．已知实数,a b c ，在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A ．b a c a -<+B ．2c ab<C ．c cb a>D ．b c a c<5．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（）A ．1y x x=-B ．y =C ．2xy -=D ．22y x x=-6．“12x -<<”是“12x>”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要7．已知偶函数()f x 在区间(,1]-∞-上单调递减，则下列关系式中成立的是（）A ．5()(3)(2)2f f f -<<B ．5(3)((2)2f f f <-<C ．5(2)(3)(2f f f <<-D ．5(2)((3)2f f f <-<8．若函数(0,1)xy a a a =>≠且的值域为(0,1]，则函数log a x 的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．9．已知函数()21xf x x =--，则不等式()0f x >的解集是（）A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,+-∞∞ ）10．设 1.2 1.23log 6,2,0.5a b c ===，则（）A ．b a c <<B ．c b a<<C ．c a b<<D ．a c b<<11．已知函数()f x =R ，则实数a 的取值范围为（）A ．[0,1]B ．[0,1)C ．(0,1]D ．(0,1)12．设集合A 是集合N *的子集，对于i N *∈，定义1,()0,i i AA i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩给出下列三个结论：①存在N *的两个不同子集,A B ，使得任意i N *∈都满足()0i A B ϕ= 且()1i A B ϕ= ；②任取N *的两个不同子集,A B ，对任意i N *∈都有()()()i i i A B A B ϕϕϕ=⋅ ；③任取N *的两个不同子集,A B ，对任意i N *∈都有()()()i i i A B A B ϕϕϕ=+ ．其中所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③二、填空题（每题5分，共30分）13．函数1()1f x x =-的定义域为________．14．已知函数3()27log x f x x =+，则13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________．15．若()g x 在R 上是增函数，能够说明“()y xg x =在R 上也是增函数”是假命题的一个()g x 的解析式()g x =________．16．函数221,1()2,1x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩的值域为________．17．已知下列四个函数：1,,ln ,x y x y y x y e x====．从中选出两个函数分别记为()f x 和()g x ，若()F x =()()f x g x +的图象如图所示，则()F x =________．18．已知函数2,(),x a x a f x x x a+≤⎧=⎨>⎩．若存在非零实数0x ，使得00()()f x f x -=-成立，则实数a 的取值范围为________．三、解答题（每题12分，共72分）19．已知集合{}{}3,15A x a x a B x x x =≤≤+=<->或．（Ⅰ）若2a =-，求集合()()R R B A ；I 痧（Ⅱ）若A B A = ，求a 的取值范围．20．分别求下列关于x 的不等式的解集：（Ⅰ）2610x x --<；（Ⅱ）2(2)20x a x a +--≤．21．为打赢打好脱贫攻坚战，实现建档立卡贫困人员稳定增收，某地区把特色养殖确定为脱贫特色主导产业，助力乡村振兴．现计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两养殖池之间保留2米宽的通道．设温室的一边长度为x 米，如图所示．（I ）将两个养殖池的总面积y 表示为x 的函数，并写出定义域；（Ⅱ）当温室的边长x 取何值时，总面积y 最大？最大值是多少？22．已知函数()2,f x x x a a R =--∈．（I ）当2a =时，直接写出函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）当2a >时，求函数()f x 在区间[1，2]上的最小值．23．已知()y f x =是定义在[-3，3]上的奇函数，当[3,0]x ∈-]时，1()()94xx af x a R =+∈．（I ）求()y f x =在（0，3]上的解析式；（Ⅱ）当1[1,2x ∈--时，不等式11()34x x m f x -≤-恒成立，求实数m 的取值范围．24．若集合A 具有以下性质：①0,1A A ∈∈；②若,x y A ∈，则x y A -∈，且0x ≠时，1A x∈．则称集合A 是“好集”．（I ）分别判断集合{}1,0,1B =-，有理数集Q 是否是“好集”，并说明理由；（Ⅱ）设集合A 是“好集”，求证：若,x y A ∈，则x y A +∈；（Ⅲ）对任意的一个“好集”A ，分别判断下面命题的真假，并说明理由．命题p ：若,x y A ∈，则必有xy A ∈；命题q ：若,x y A ∈，且0x ≠，则必有yA x∈．参考答案一、选择题DACDC ，BDBDC ，BA 二、填空题13．{}1x x ≠或写为(,1)(1,)-∞+∞ 14．215．x （答案不唯一）16．(1,+-∞）17．1x e x+18．1[2,4-三、解答题19．（I ）（1，5]（Ⅱ）(,4)(5,)-∞-+∞ 20．（I ）11(,)32-（Ⅱ）2a <-时，解集为[2，a -]；2a =-时，解集为{}2；2a >-时，解集为[a -，2]．21．解：（I ）依题意得温室的另一边长为1500x米．因此养殖池的总面积1500(3)(5)y x x=--，因为150030,50x x->->，所以3300x <<．所以定义域为{}3300x x <<．（Ⅱ）15004500(3)(5)1515(5)151515153001215y x x x x =--=-+≤-=-=，当且仅当45005x x=，即30x =时上式等号成立，当温室的边长x 为30米时，总面积y 取最大值为1215平方米．22．解：（1）当2a =时，(2)2,2()22(2)2,2x x x f x x x x x x --≥⎧=--=⎨--<⎩，22(1)3,2()(1)1,2x x f x x x ⎧--≥⎪=⎨---<⎪⎩，由二次函数的性质知，单调递增区间为（-∞，1]，[2，+∞）．或写为（-∞，1），（2，+∞）（Ⅱ）∵2a >，x ∈[1，2]时，所以2()()22f x x a x x ax =--=-+-228(24a a x -=-+，当3122a <≤，即23a <≤时，min ()(2)26f x f a ==-；当322a >，即3a >时，min ()(1)3f x f a ==-；∴min26,23()3,3a a f x a a -<≤⎧=⎨->⎩．23．（I ）因为()y f x =是定义在[-3，3]上的奇函数，x ∈[-3，0]时，1()()94x xaf x a R =+∈，所以001(0)094a f =+=，解得1a =-，所以x ∈（-3，0]时，11()94x xf x =-当(0,3]x ∈时，[3,0)x -∈-，所以11()9494x x x x f x ---=-=-，又()()49xxf x f x =--=-，即()y f x =在(0,3]上的解析式为()49xxf x =-，（Ⅱ）因为1[1,2x ∈--时，11()94x xf x =-，所以11()34x x m f x -≤-可化为11119434x x x x m --≤-，整理得13(334xx m ⎛⎫≥+⋅ ⎪⎝⎭，令13()334xxg x ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据指数函数单调性可得，所以()g x 也是减函数．所以11max13()(1)3734g x g --⎛⎫⎛⎫=-=+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以7m ≥，故实数m 的取值范围是[7，+∞）．24．解：（I ）集合B 不是“好集”．理由是：假设集合B 是“好集”．因为1,1B B -∈∈，所以112B --=-∈．这与2B -∉矛盾．有理数集Q 是“好集”．因为0,1Q Q ∈∈，对任意的,x y Q ∈，有x y Q -∈，且0x ≠时，1Q x∈．所以有理数集Q 是“好集”．（Ⅱ）因为集合A 是“好集”，所以0A ∈．若,x y A ∈，则0y A -∈，即y A -∈．所以()x y A --∈，即x y A +∈．（Ⅲ）命题,p q 均为真命题．理由如下：对任意一个“好集”A ，任取,x y A ∈，若,x y 中有0或1时，显然xy A ∈．下设,x y 均不为0，1．由定义可知：111,,1x A x x-∈-．所以111A x x -∈-，即1(1)A x x ∈-．所以(1)x x A -∈．由（Ⅱ）可得：(1)x x x A -+∈，即2x A ∈．同理可得2y A ∈．若0x y +=或1x y +=，则显然2()x y A +∈．若0x y +≠且1x y +≠，则2()x y A +∈．所以2222()xy x y x y A =+--∈．所以12A xy∈．由（Ⅱ）可得：11122A xy xy xy=+∈．所以xy A ∈．综上可知，xy A ∈，即命题p 为真命题．若,x y A ∈，且0x ≠，则1A x∈．所以1y y A x x=⋅∈，即命题q 为真命题．。
北京市延庆区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷含解析
延庆区2024-2025学年第一学期期中试卷高一数学（答案在最后）本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟第I 卷（选择题）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{}2,1,0,1B =--，则A B = （）A.{}0,1 B.{}1,0- C.{}2,1,0,1,2-- D.{}1,0,1-【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用交集的定义求解即得.【详解】集合{}1,0,1,2A =-，{}2,1,0,1B =--，所以{}1,0,1A B ⋂=-.故选：D2.若集合[]3,1A =-，()2,3B =-，则A B = （）A.(]2,1- B.[)2,1- C.(]3,3- D.[)3,3-【答案】D 【解析】【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求解.【详解】因为[]3,1A =-，()2,3B =-，所以A B = [)3,3-，故选：D.3.已知全集{}N 6U x x =∈≤且{}25A x U x =∈≤，则集合U A ð中的元素有（）A.2个B.4个C.5个D.7个【答案】B 【解析】【分析】利用列举法表示集合U ，解不等式化简集合A ，再求出U A ð即可得解.【详解】依题意，{0,1,2,3,4,5,6}U =，解不等式25x ≤，得x ≤≤，则{0,1,2}A =，所以{3,4,5,6}U A =ð，集合U A ð中的元素有4个.故选：B4.已知集合A 满足{}1A ⊆{}1,2,3,4，则A 有（）A.2个 B.4个C.5个D.7个【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，求出集合{}2,3,4的真子集个数即可得解.【详解】集合A 满足{}1A⊆{}1,2,3,4，则集合A 可视为集合{1}与集合{}2,3,4的每个真子集的并集，而集合{}2,3,4的真子集个数为3217-=，所以A 有7个.故选：D5.若22P a a =-和24Q a =-，则P 和Q 的大小关系为（）A.P Q >B.P Q< C.P Q≥ D.P Q≤【答案】C 【解析】【分析】根据条件，通过作差法，得到2(2)P Q a -=-，即可求解.【详解】因为22P a a =-，24Q a =-，所以2222(24)44(2)0P Q a a a a a a -=---=-+=-≥，当且仅当2a =时取等号，所以P Q ≥，故选：C.6.设,,a b c ∈R ，且a b <，c d <，则（）A.22a b <B.d c a b> C.ac bd< D.33a b <【答案】D 【解析】【分析】举例说明判断ABC ；利用不等式的性质判断D.【详解】对于A ，取2,2a b =-=，满足a b <，而224a b ==，A 错误；对于B ，取2,1,1,4a b c d =-=-==满足,a b c d <<，而21d ca b=-<-=，B 错误；对于C ，取2,1,1,4a b c d =-=-==满足,a b c d <<，而24ac bd =->-=，C 错误；对于D ，由不等式性质知，由a b <，得33a b <，D 正确.故选：D7.下列函数中，既是偶函数又在区间(),0-∞上单调递增的是（）A.21y x =B.1y x =+C.2y x =-，(),0x ∈-∞D.y x=【答案】A 【解析】【分析】利用奇偶函数的判断方法及基本函数的单调性，对各个选项逐一分析判断，即可求解.【详解】对于选项A ，因为221y x x-==，定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，关于原点对称，又2211()()()f x f x x x -===-，所以21y x=是偶函数，又由幂函数的性质知21y x =在区间()0,∞+上单调递减，所以21y x =在区间(),0-∞上单调递增，故选项A 正确，对于选项B ，因为1y x =+图象不关于y 轴对称，即1y x =+不是偶函数，所以选项B 错误，对于选项C ，因为2y x =-，(),0x ∈-∞的定义域不关于原点对称，即2y x =-，(),0x ∈-∞是非奇非偶函数，所以选项C 错误，对于选项D ，当(),0x ∈-∞时，y x x ==-在区间(),0-∞上单调递减，所以选项D 错误，故选：A.8.已知函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 为奇函数”是“(0)=0f ”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】试题分析：因函数的定义域是,故“是奇函数”是“”的充分条件；反之,若(0)0f =,则函数不一定是奇函数,“f (x )为奇函数”不是必要条件.应选A.考点：充分必要条件.9.已知函数2()2f x x ax =++有两个零点，在区间(1,2)-上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是（）A.(,)-∞-⋃+∞B.(,3)(3,)-∞-⋃+∞C.(,4](3,)-∞-+∞D.(,4][2,)-∞-+∞ 【答案】C 【解析】【分析】求出函数()f x 的单调区间，再结合集合的包含关系及零点存在性定理列式求解即得.【详解】函数2()2f x x ax =++在(,]2a -∞-上单调递减，在[,)2a-+∞上单调递增，由在区间(1,2)-上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，得(,](1,2)2a ∞---⊆且(1)0(2)0f f ->⎧⎨<⎩或[,)(1,22)a--+∞⊆且(1)0(2)0f f -<⎧⎨>⎩，则2230620a a a ⎧-≥⎪⎪->⎨⎪+<⎪⎩或1230620aa a ⎧-≤⎪⎪-<⎨⎪+>⎪⎩，解得4a ≤-或3a >，所以实数a 的取值范围是(,4](3,)-∞-+∞ .故选：C10.x ∀∈R ，设()f x 取41y x =+，1y x =+，24y x =-+三个函数值中的最小值，则()f x 的最大值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】作出函数()f x 的图象，利用图象求出其最大值.【详解】在同一坐标系内作出直线41y x =+，1y x =+，24y x =-+，由()f x 取41y x =+，1y x =+，24y x =-+三个函数值中的最小值，得()f x 的图象为下图中实线构成的折线图，则()f x 的最大值即为()f x 的图象最高点对应的纵坐标值，观察图象知，()f x 的图象最高点是直线1y x =+与24y x =-+的交点，由124y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，因此()f x 的图象最高点是(1,2)，所以()f x 的最大值为2.故选：B第II 卷（非选择题）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()124f x x =+______.【答案】(2,)-+∞【解析】【分析】利用函数有意义列式求出定义域.【详解】依题意，240x +>，解得2x >-，所以函数()124f x x =+的定义域是(2,)-+∞.故答案为：(2,)-+∞12.已知奇函数()f x 满足()()53f f -<-，则()5f ______()3f .【答案】大于【解析】【分析】利用奇函数的性质，结合不等式的性质求解即得.【详解】由奇函数()f x 满足()()53f f -<-，得()()53f f -<-，所以()()53f f >.故答案为：大于13.已知(],A a =-∞，(),3B =-∞，且x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，则a 的取值范围是______【答案】3a ≥【解析】【分析】根据条件得到BA ，再利用集合间的关系，即可求解.【详解】因为x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，则B A ，又(],A a =-∞，(),3B =-∞，所以3a ≥，故答案为：3a ≥.14.已知0x <，则812y x x=++的最大值是______，当且仅当x =______时，等号成立.【答案】①.7-②.2-【解析】【分析】根据给定条件，借助配凑的方法，利用基本不等式求出最大值及对应x 的值.【详解】由0x <，得0x ->，则81(2)17y x x =--+≤---，当且仅当82x x-=-，即2x =-时取等号，所以当2x =-时，812y x x=++取得最大值7-.故答案为：7-；2-15.已知函数2()2||1f x x x =--，给出下列四个结论：①函数()f x 是偶函数；②函数()f x 的增区间为[1,)+∞；③不等式()1f x x <-的解集是(1,3)-；④当3x >-时，令3()()g x f x x =+，则()g x 的最小值为4-.其中所有正确结论的序号是______.【答案】①④【解析】【分析】利用偶函数的定义判断①；求出函数的单调递增区间判断②；分段求出不等式的解集判断③；利用基本不等式分段求出最小值判断④.【详解】函数2()2||1f x x x =--的定义域为R ，对于①，22()()2||12||1()f x x x x x f x -=----=--=，函数()f x 是偶函数，①正确；对于②，2221,0()21,0x x x f x x x x ⎧+-≤=⎨-->⎩，函数()f x 的增区间为[1,0],[1,)-+∞，②错误；对于③，不等式()1f x x <-，则20211x x x x ≤⎧⎨+-<-⎩或20211x x x x >⎧⎨--<-⎩，解得10x -<<或03x <<，所以不等式()1f x x <-的解集是(1,0)(0,3)- ，③错误；对于④，依题意，2221,303()21,03x x x x g x x x x x ⎧+--<≤⎪⎪+=⎨--⎪>⎪+⎩，当30x -<≤时，2()(3)4443g x x x =++-≥=+，当且仅当233x x +=+，即3x =-时取等号；当0x >时，14()(3)88283x g x x =++-≥=+，当且仅当1433x x +=+，即3x =时取等号，而84)2)]0--=-+=>，即84->，所以()g x的最小值为4-，④正确.故所有正确结论的序号是①④.故答案为：①④【点睛】思路点睛：涉及分段函数解不等式问题，先在每一段上求解不等式，再求出各段解集的并集即可.三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.求下列方程（组）的解集．．：（1）2560x x +-=（2）3ax =（3）10x +-=（4）2214112x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩【答案】（1）{6,1}-（2）当0a =时，解集为∅；当0a ≠时，方程解集为3a 禳镲睚镲铪.（3）{3-（4）{(0,1),(2,0)}-【解析】【分析】（1）解一元二次方程即可得解集.（2）对a 分类讨论即可得方程的解集.（3(0)t t =≥，把原方程化为一元二次方程，结合t 的取值范围即可得到原方程的解集.（4）利用代入消元法即可得到方程组的解集.【小问1详解】由2560x x +-=得，(6)(1)0x x +-=，解得126,1x x =-=，故方程的解集为{6,1}-.【小问2详解】当0a =时，方程无解，解集为∅，当0a ≠时，解方程得3x a =，方程解集为3a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【小问3详解】(0)t t =≥，则方程可化为2210t t +-=，解方程得，1211t t =-+=-，22(13x t ==-=-{3-.【小问4详解】由2214112x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得，2240x x +=，解得120,2x x ==-,方程组的解为1101x y =⎧⎨=⎩，2220x y =-⎧⎨=⎩，故方程组解集为{(0,1),(2,0)}-.17.求下列不等式（组）的解集．．：（1）2430x x -+≥（2）23210x x -++>（3）2112x x +≥+（4）221132340x x x ⎧+<⎪⎨⎪-+>⎩【答案】（1）{|1x x ≤或}3x ≥（2）1|13x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭（3）{|2x x <-或 （4）{}|21x x -<<【解析】【分析】（1）根据条件，因式分解得到(3)(1)0x x --≥，再利用一元二次不等式的解法，即可求解；（2）根据条件，变形得到23210x x --<，再因式分解得(31)(1)0x x +-<，即可求解；（3）先变形成102x x -≥+，再等价于(1)(2)0x x -+≥且2x ≠-，即可求解；（4）先利用绝对值不等式的解法，求2113x +<的解，再求22340x x -+>的解，再求交集，即可求解.【小问1详解】由2430x x -+≥，得到(3)(1)0x x --≥，所以1x ≤或3x ≥，故不等式2430x x -+≥的解集为{|1x x ≤或}3x ≥.【小问2详解】由23210x x -++>，即23210x x --<，得到(31)(1)0x x +-<，所以113-<<x ，故不等式23210x x -++>的解集为1|13x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.【小问3详解】由2112x x +≥+，得到102x x -≥+，等价于(1)(2)0x x -+≥且2x ≠-，所以2x <-或1x ≥，故不等式2112x x +≥+的解集为{|2x x <-或}1≥x .【小问4详解】由2113x +<，得到3213x -<+<，即2<<1x -，对22340x x -+>，因为9442230∆=-⨯⨯=-<，所以22340x x -+>的解集为R ，故不等式组221132340x x x ⎧+<⎪⎨⎪-+>⎩的解集为{}|21x x -<<.18.已知关于x 的方程220x x m +-=，m ∈R .（1）当1m =时，若方程的两根为1x 与2x ，求下列各式的值：①2212x x +;②12||x x -;③1222x x +;（2）若该方程的两根同号，求实数m 的取值范围.【答案】（1）①6；②；③4；（2）10m -<<.【解析】【分析】（1）把1m =代入，利用韦达定理列式，再逐一变形计算各个式子的值.（2）利用判别式及韦达定理列出不等式组求解.【小问1详解】当1m =时，方程2210x x +-=，224(1)80∆=-⨯-=>，则12122,1x x x x +=-=-，①222121212()26x x x x x x =-++=；②12||x x ==-=；③1212122()224x x x x x x ++==.【小问2详解】由方程的两根同号，得1212Δ440200m x x x x m =+>⎧⎪+=-<⎨⎪=->⎩，解得10m -<<，所以实数m 的取值范围是10m -<<.19.已知函数()21f x m x=+过点()1,2-.（1）求函数()f x 的解析式及定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性并证明；（3）令()()1g x f x =-，求()g x 的解析式，并证明()g x 的图像关于1x =对称.【答案】（1）()211f x x=+，定义域为{}|0x x ≠（2）偶函数，证明见解析（3）()211(1)(1)g x x x =+≠-，证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件可得1m =，即可得()211f x x=+，由解析式可直接求出定义域，即可求解；（2）利用奇偶函数的判断方法，即可求解；（3）利用()211f x x=+，即可得()211(1)(1)g x x x =+≠-，再任取一点(,)P x y ，通过证明其关于1x =对称的点也在()g x 的图象上，即可求解.【小问1详解】因为函数()21f x m x =+过点()1,2-，则21m =+，得到1m =，所以()211f x x =+，定义域为{}|0x x ≠.【小问2详解】函数()f x 为偶函数，证明如下，因为()211f x x =+的定义域为{}|0x x ≠，关于原点对称，又()221111()()f x f x x x -=+=+=-，所以()f x 为偶函数.【小问3详解】因为()()2111(1)(1)g x f x x x =-=+≠-，设(,)P x y 是()g x 图象上任意一点，(,)P x y 关于1x =的对称点为(2,)P x y '-，因为()211(1)(1)g x x x =+≠-，所以()2221112111()(21)(1)(1)g x g x x x x -=+=+=+=----，即点(2,)P x y '-也在()g x 图象上，所以()g x 的图像关于1x =对称.20.已知函数()223f x x mx =++.（1）当1m =，[]2,2x ∈-时，求函数()f x 的值域；（2）若函数()f x 在[]22-,上是单调函数，求实数m 的取值范围；（3）当2m =时，比较()0f 与()()226f a a a -+-∈R 的次小.【答案】（1）[2,11]（2）(,2][2,)-∞-+∞ （3）()2(0)26f f a a <-+-【解析】【分析】（1）利用二次函数的对称轴可求函数的单调性，求出最大值和最小值即可得到函数的值域.（2）讨论函数的单调性，利用定义域和对称轴的关系可求得参数的取值范围.（3）计算226a a -+-的取值范围，利用二次函数的单调性和对称轴可比较大小.【小问1详解】当1m =时，()223f x x x =++，对称轴为直线1x =-，()f x 在(2,1)--上为减函数，在(1,2)-上为增函数，min max ()(1)1232,()(2)44311f x f f x f =-=-+===++=，故函数()f x 的值域为[2,11].【小问2详解】函数()223f x x mx =++，对称轴为直线x m =-，当函数()f x 在[]22-,上是单调增函数时，2m -≤-，2m ≥，当函数()f x 在[]22-,上是单调减函数时，2m -≥，2m ≤-，综上得，实数m 的取值范围为(,2][2,)-∞-+∞ .【小问3详解】当2m =时，()243f x x x =++，对称轴为直线2x =-，()f x 在(,2)-∞-上为减函数，在(2,)-+∞上为增函数，且()0(4)f f =-，∵2226(1)55a a a -+-=---≤-，∴()226(5)(4)(0)f a a f f f -+-≥->-=，故()2(0)26f f a a <-+-.21.设集合(){}123,,,R,1,2,3k A a a x x x x k ==∈=，对于集合A 中的任意元素()123,,a x x x =和()123,,b y y y =及实数λ，定义：当且仅当()1,2,3i i x y i ==时a b =()112233,,a b x y x y x y +=+++；()123,,a x x x λλλλ=.若A 的子集{}123,,B a a a =满足：当且仅当1230λλλ===时，()1122330,0,0a a a λλλ++=，则称B 为A 的完美子集.（1）集合()()(){}11,0,0,0,2,0,0,0,3B =，()()(){}21,2,3,2,3,4,3,4,5B =，分别判断这两个集合是否为A 的完美子集，并说明理由；（2）集合()()(){}2,,2,,2,2,,2,2B m m m m m m m m m =---，若B 不是A 的完美子集，求m 的值.【答案】（1）1B 是A 的完美子集，2B 不是A 的完美子集，理由见解析；（2）12m =.【解析】【分析】（1）根据完美子集定义去计算验证是否当且仅当1230λλλ===时，()1122330,0,0a a a λλλ++=即可得解；（2）先计算112233a a a λλλ++()()()()1231231232,2,2222m m m m m m m m m λλλλλλλλλ=++++++---，接着由()1122330,0,0a a a λλλ++=得方程()()123042m λλλ+-=+，解该方程得12m =或1230λλλ+=+，再结合元素互异性分类讨论12m =和1230λλλ+=+这两种情况即可得解.【小问1详解】1B 是A 的完美子集，2B 不是A 的完美子集，理由如下：对于()()(){}11,0,0,0,2,0,0,0,3B =，因为()()()1231,0,0,0,2,0,0,0,3a a a ===，所以()()()()112233123123,0,00,2,00,0,3,2,3a a a λλλλλλλλλ++=+=+，所以当且仅当1230λλλ===时，()1122330,0,0a a a λλλ++=，所以1B 是A 的完美子集；对于()()(){}21,2,3,2,3,4,3,4,5B =，因为()()()1231,2,3,2,3,4,3,4,5a a a ===，所以()()()112233*********,2,32,3,43,4,5a a a λλλλλλλλλλλλ=++++()123123123,2323344,5λλλλλλλλλ=++++++，令1231231321232302*********λλλλλλλλλλλλ++=⎧⎪++=⇒==-⎨⎪++=⎩，所以123,,λλλ存在无数组解使得()1122330,0,0a a a λλλ++=，如当132222λλλ==-=-时，()1122330,0,0a a a λλλ++=，所以2B 不是A 的完美子集.【小问2详解】因为()()(){}2,,2,,2,2,,2,2B m m m m m m m m m =---，所以()()()1232,,2,,2,2,,2,2a m m m a m m m a m m m =-=--=，所以112233a a a λλλ++()()()()1231231232,2,2222m m m m m m m m m λλλλλλλλλ=++++++---，因为B 不是A 的完美子集，所以存在()()123,,0,0,0λλλ≠，使得1122330a a a λλλ+=+，即存在()()123,,0,0,0λλλ≠使得()()()123123123202202220m m m m m m m m m λλλλλλλλλ⎧++=⎪++-=⎨⎪-+-+=⎩，解方程组得()()123042m λλλ+-=+，由集合互异性可得2m m ≠且22m m ≠-，故0m ≠且2m ≠-，所以解()()123042m λλλ+-=+得12m =或1230λλλ+=+，且由12320m m m λλλ++=得12320λλλ++=，若12m =，则有123123123110221302233022λλλλλλλλλ⎧++=⎪⎪⎪+-=⇒⎨⎪⎪--+=⎪⎩1235573λλλ=-=-，所以123,,λλλ存在无数组解使得()1122330,0,0a a a λλλ++=，如当12355573λλλ=--==时，()1122330,0,0a a a λλλ++=，所以B 不是A 的完美子集，符合题意；当1230λλλ+=+且12m ≠时，则由12320λλλ++=得1230,λλλ==-，所以由()123022m m m λλλ+-=+得()320m λ--=，又2m ≠-得30λ=，故20λ=，不符合题意；综上m 的值为12.【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：（1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论；（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”，归纳“举例”提供的解题方法，归纳“举例”提供的分类情况；（3）类比新定义中的概念、原理、方法去解决题中需要解决的问题.。
广西壮族自治区南宁市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题(含答案)
南宁市2024-2025学年秋季学期期中考试高一数学试卷考试时长: 120分钟满分: 150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 全称量词命题“∀x∈R,x²≥0”的否定是,( )^ ∀x∈R,x²≤0 B. ∃x∈R, x²<0C. ∃x∈R,x²≥0 D ∀x∈R, x²<02. 已知集合A={0,1,2}, B={x|-2<x≤3},则A∩B= ( )A. {1}B. {1,2}C. {0,1}D. {0,1,2}3. 集合{1,2}的子集个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4. “我住在广西”是“我住在中国”的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件5. 如果m>0, 那么m+4的最小值为( )mA. 2B. 22C. 4D. 86. 函数f(x)=x+3的定义域是( )A. {x|x≥-3}B. {x|x>0}C. {x|x≥3}D. {x|x≥4}7. 已知f(x―3)=2x²―3x+1,则f(1)= ( )A. 15B. 21C. 3D. 08. 若不等式kx²―6kx+k+8≥0的解集为R，则实数k的取值范围是 ( )A. 0≤k≤1B. 0<k≤1C. k<0或k>1D. k≤0或k≥1第1页，共4页二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若a<b<0, 则下列不等式正确的是 ( )A1 a <1bB.ab<a⁷ c |a| D.1a>1b10. 下列各组函数表示同一函数的是( )A.f(x)=x,g(x)=x2B.f(x)=x²,g(x)=|x|²C.f(x)=x+1,g(x)=x2―1x―1D.f(x)=x0x,g(x)=xx211. 若函数y=x²+bx+c的图象与x轴的两个交点是A(-2，0)，B(1，0)，则下列结论正确的是( )A. b+c=-1B. 方程x²+bx+c=0的两根是-2, 1C. 不等式.x²+bx+c>0的解集是{x|-2<x<1}D. 不等式x²+bx+c≤0的解集是{x|-2≤x≤1}三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 设集合A={2,1-a,5}, 若4∈A,则a= .13. 已知函数那么f(f(3))= .14. 不等式x+3x―5<0的解集为 .四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题13分) 已知全集U=R, 集合.A=x|x≥4,B=x|―6≤x≤6.(1)求A∩B和A∪B;(2)求((C U A)∩(C U B)第2页，共4页16.(本题15分) 设集合U=R,A=x|0≤x≤3,B=x|m―1≤x≤2m.(1)m=3,求A∪(C U B);(2) 若B⊆A求m的取值范围.17.(本题15分) 已知二次函数f(x)=x²―ax+b,f(1)=2,f(3)=―6.(1) 求f(x)的解析式;(2) 写出f(x)的单调区间; 并求.x∈[―1,5]时，f(x)的最大值与最小值.第3页，共4页18.(本题17分) 求下列函数的最值. (1) 已知x>2, 求y=x+1x―2的最小值；(2) 已知:x>0,y>0,且2x+y=1.求1x +9y的最小值.(3) 已知(0<x<4,求x(4―3x)的最大值.19.(本题17分)已知函数f(x)=,且f(1)=10.(1) 求a的值;(2) 判断函数f(x)在[3,+∞)上的单调性，并用定义法证明；(3) 求函数f(x)在区间[3，6]上的最大值和最小值.第4页，共4页高一数学11月期中考试参考答案题号1234567891011答案BDDBCABABDBDABD1. B 【详解】全称量词命题“∀x∈R, x²≥0”的否定是 ∃x ∈R,x²<0,故选: B.2. D 【详解】由题意. A =0.1,2,B =x|―2<x ≤3,所以A∩B={0,1,2}.故选: D.3. D 【详解】因为A={0.1}, 所以集合A 有∅,{0},{1},{0,1}共4个子集.故选: D4. B 【详解】“我住在广西”则一定有“我住在中国”，反之不成立，所以“我住在广西”则一定有“我住在中国”的充分不必要条件.故选：B5. C 【详解】 m >0,m +4m ≥2m ⋅4m =4,当且仅当 m =4m ,即m=2时取等号，所以 m +4m 的最小值为4.故选：C6. A 【详解】要使函数 f (x )=x +3有意义, 需x+3≥0, 解得x≥-3, 即得函数的定义域为:{x|x≥-3}.故选: A.7. B 【详解】∵f(x-3)=2x²-3x+1, ∴f(1)=(4-3)=2×4²-3×4+1=21,故选B.8. A 【详解】若k=0, 则不等式为8>0, 满足条件,若k≠0，要使不等式恒成立，则满足 {k >0=36k 2―4k (k +8)≤0, 即 {k >0k 2―k ≤0 则 {k >00≤k ≤1,所以0<k≤1, 综上, 实数k 的取值范围为0≤k≤1. 故选: A9. BD 【详解】对于A 、D,因为a<b<0,所以 ab>0,则 1ab >0,所以 a ⋅1ab <b ⋅1ab ,即 1b <1a ,故A 错误, D 正确; 对于B, 因为a<b<0, 所以a·a>b·a, 即 ab <a²,故 B 正确;对于C, 若a<-1<b<0, 则|a|>1, 0<|b|<1, 所以有|a|>|b|, 故C 错误.故选: BD.10. BD 【分析】同一个函数的定义：如果两个函数的定义域相同，对应关系完全一致，那么这两个函数为同一个函数.根据定义判断选项.【详解】A. f(x)=x,g(x)=|x|,对应关系不一致，不是同一函数.B.f (x )=x²,g (x )=|x|²=x²,定义域相同，对应关系一致，是同一函数.C. f(x)定义域为R, g(x)定义域为{x|x≠1}, 定义域不同, 不是同一函数.D. f(x)定义域为{x|x≠0},可化为 f (x )=1x ,g(x)定义域为 x|x ≠0,可化为 g (x )=1x ,是同一函数.故选: BD.11. ABD 【详解】依题意, 方程 x²+bx +c =0的两根是-2, 1, B 正确;显然-b=-1,c=-2,即b=1,c=-2,b+c=-1, A 正确;不等式 x²+bx +c >0, 即 x²+x ―2>0的解集为{x|x<-2或x>1}, C 错误;不等式 x²+bx +c ≤0,即 x²+x ―2≤0的解集是 x|―2≤x ≤1,D 正确.故选: ABD 12. - 3【详解】集合A={2,1-a,5},若4∈A, 则1-a=4⇒a=-3.故答案为: - 313. - 1【详解】因为 f (x )={2―x (x ≥1)x 2+x ―1(x <1),所以f(3)=2-3=-1,所以 f (f (3))=f (―1)=(―1)²―1―1=―1, 故答案为: -1.14. {x|-3<x<5}【详解】 x +3x ―5<0(x +3)(x ―5)<0,解得 ―3<x <5..故答案为： x|―3<x <5答案第1页，共3页15.【详解】(1) A={x|x≥4},B={x|-6≤x≤6},A∩B={x|4≤x≤6}3分A∪B=x|x≥―6 .6分(2)C U A={x|x<4} .8分或x>6}- .10分(C U A)∩(C U B)={x|x<―6} .13分16. 【详解】A={x|0≤x≤3}（1）1分故可得或x>6}- .3分所以或x>6}-(2) 由题B⊆A:当B=∅时,m-1>2m,解得m<-1,符合题意;分 (9)分 (13)综上可得，m的取值范围为m<-1或 (15)17.【详解】(1) 因为f(x)=x²―ax+b,且f(1)=2,f(3)=-6,.............................................................................................2分解得(a=8, b=9, .........................................................5分(只有一个正确得2分)....................................................................................所以6分（2）由（1）知.对称轴为x=4，图象开口朝上分 (8)所以f（x）的减区间是（-∞,4],增区间是....................................[4,+∞）10又4∈[-1,5],所以f（x）在区间[-1,4]上单调递减,在区间[4,5]上单调递增, (12)所以f(x)ₘᵢₙ=f(4)=―7, ………………………………13分f(x)最大值在f(-1)或f(5)取到, f(-1)=18, f(5)=-6,∴f(-1)>f(5)·f(x)ₘₐₓ=f(―1)=18 ………………………………………15分18.【详解】(1)∵x>2,x―2>0,1x―2>0.6分…14分而y=x+1x―2=x―2+1x―2+2≥2(x―2)⋅1x―2+2=4, .3分当且仅当即x=3时取等号，所以……………………………………………………………5分(2)1x+9y=(1x+9y)(2x+y)=11+y x+18x y211+2yx ⋅18xy=11+62, ..8分当且仅当时,取等号,又2x+y=1,即时分101 x +9y取得最小值11+62 11分（3）15分当且仅当3x=4-3x时取等号，即（满足0<x<4）时x（4-3x）最大值为 (17)法二：函数y=x(4―3x)=―3x²+4x的开口向下，对称轴为x=―4―6=23, ..15分所以当时,x（4-3x）取得最大值为1719.【详解】(1) 函数f(x)=x2+ax,因为f(1)=10,…………………………………………………………………………………………………3分(2)函数f(x)在[3,+∞)上单调递增,知由下面证明单调区间，设3≤x₁<x₂,则f(x1)―f(x2)=x1―x2+9x1―9x2=(x1―x2)(x1x2―9x1x2), .8分由3≤x₁<x₂,则x₁x₂―9>0,x₁―x₂<0,x₁x₂>0, 11分所以(x1―x2)x1x2―9x1x2<0⇒f(x1)―f(x2)<0,即f(x₁)<f(x₂), ..12分……………………………………………………………………………………………13分（3）由（2）可知f（x）在区间[3,+∞）上单调递增,则在区间[3,6]上单调递增…………14分所以f(x)mn=f(3)=3+93=6,f(x)max=f(6)=6+96=152, 16分 (6)答案第3页，共3页。
湖北省襄阳四校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题(含答案)
襄州二中宜城二中枣阳二中枣阳师范2024-2025学年上学期高一期中考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将姓名、准考证号等在答卷上填写清楚2.选择题答案用2B 铅笔在答题卷把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5mm 黑色签字笔在每题对应的答题区内做答，答在试卷上无效。
第Ⅰ卷（选择题共58分）一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.下列说法正确的有（ ）A .10以内的质数组成的集合是B .与是同一个集合C ：方程的解集是D .集合中的元素是的三边长，则一定不是等腰三角形2.命题：p ：，的否定为（ ）A .，B .，C .，D .，3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）A .B .C .D .4下列函数中，既是奇函数，又在区间上是减函数的是（ ）A .B .C .D .5下列说法正确的是（ ）A .若，则B .若a ，b ，，则C .若，则D .若，，则6.不等式的一个必要不充分条件是（ ）A .B .C .D .7已知，，且恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）{}0,2,3,5,7∅{}02210x x -+={}1,1{},,M a b c =ABC ∆ABC ∆x ∀∈R 0x x +≥x ∃∈R 0x x +≥x ∃∈R 0x x +<x ∃∈R 0x x +≤x ∀∈R 0x x +<()f x []0,1()1f x +[]0,1[]1,0-{}0[]1,2()0,+∞y x =3y x =2y x =3y x =-22ac bc >a b>()0,m ∈+∞b b m a a m +<+a b >11a b <a b >x y >ax by >22530x x --<132x -<<16x -<<102x -<<132x <<0a >0b >211a b+=a b m +≥A .B .C .D .8.今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的质量，他将物体放在左右托盘各称一次，记两次称量结果分别为a ，b ，设物体的真实质量为G ，则（ ）A.B .C .D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
高一上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)
高一年级第一学期期中考试数学试卷考试时间120分钟，满分150分。
卷Ⅰ(选择题共60分)一．选择题（共12小题，每小题5 分，计60分。
在每小题给出的四个选项中，只有1个选项符合题意）1.已知集合A={x|x2-2x-3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则C B A= （）A. B. C. D.2.若a=log20.5，b=20.5，c=0.52，则a，b，c三个数的大小关系是（）A. B. C. D.3.函数y=的图象是（）A. B. C. D.4.幂函数在时是减函数，则实数m的值为A. 2或B.C. 2D. 或15.若函数y=f（x）的定义域是（0，4]，则函数g（x）=f（x）+f（x2）的定义域是（）A. B. C. D.6.在下列区间中，函数的零点所在的区间为（）A. B. C. D.7.已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，，则当x＜0时，f（x）表达式是（）A. B. C. D.8.函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝-1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是（）A. B. C. D.9.已知函数f（x）=|lg x|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是（）A. B. C. D.10.若函数f（x）=，且满足对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.11.若在区间上递减，则a的取值范围为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=则函数g（x）=f[f（x）]-1的零点个数为（）A. 1B. 3C. 4D. 6卷Ⅱ(非选择题共90分)二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.方程的一根在内，另一根在内，则实数m的取值范围是______．14.若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是______ ．15.当x∈（1，3）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的取值范围是______ ．16.已知函数的定义域为D，当x∈D时，f（x）≤m恒成立，则实数m的取值范围是______三、解答题（本大题共6小题，共70分，其中17题10分，18-22题12分）17.计算下列各式的值：（1）（2）．18.已知集合A={x|m-1≤x≤2m+3}，函数f（x）=lg（-x2+2x+8）的定义域为B．（1）当m=2时，求A∪B、（∁R A）∩B；（2）若A∩B=A，求实数m的取值范围．19.已知函数，且．（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性并予以证明；（3）当时，求使的的解集．20.已知定义域为R的函数是奇函数．（1）求b的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；（3）当时，f（kx2）＋f（2x－1）＞0恒成立，求实数k的取值范围．21.“绿水青山就是金山银山”，随着我国经济的快速发展，国家加大了对环境污染的治理力度，某环保部门对其辖区内的一工厂的废气排放进行了监察，发现该厂产生的废气经过过滤排放后，过滤过程中废气的污染物数量千克/升与时间小时间的关系为，如果在前个小时消除了的污染物，（1）小时后还剩百分之几的污染物（2）污染物减少需要花多少时间（精确到小时）参考数据：22.设函数是增函数，对于任意x，都有．求；证明奇函数；解不等式．第一学期期中考试高一年级数学试卷答案1.【答案】A解：因为A={x|x2-2x-3＜0}={x|-1＜x＜3}，B={x|2x+1＞1}={x|x＞-1}，则C B A=[3，+∞) ,故选A．2.【答案】C解：a=log20.5＜0，b=20.5＞1，0＜c=0.52＜1，则a＜c＜b，则选：C．3.【答案】B解：函数y=是奇函数，排除A，C；当x=时，y=ln＜0，对应点在第四象限，排除D.故选B．4.【答案】B解：由于幂函数在（0，+∞）时是减函数，故有，解得m =-1，故选B．5.【答案】A解：∵函数f(x)的定义域为(0,4],∴由,得,即0＜x≤2,则函数g(x)的定义域为(0,2],故选:A.6.【答案】C解：∵函数f（x）=e x+4x-3在R上连续，且f（0）=e0-3=-2＜0，f（）=+2-3=-1=-e0＞0，∴f（0）f（）＜0，∴函数f（x）=e x+4x-3的零点所在的区间为（0，）.故选C．7.【答案】D解：设x＜0，则-x>0，∵当x≥0时，，∴f（-x）=-x（1+）=-x（1-），∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）=-f（-x），∴f（x）=x（1-），故选D．8.【答案】D解：∵函数f（x）为奇函数，若f（1）=-1，则f（-1）=-f（1）=1，又∵函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，-1≤f（x-2）≤1，∴f（1）≤f（x-2）≤f（-1），∴-1≤x-2≤1，解得：1≤x≤3，所以x的取值范围是[1，3].故选D．9.【答案】C解：因为f（a）=f（b），所以|lg a|=|lg b|，所以a=b（舍去），或，所以a+2b=又0＜a＜b，所以0＜a＜1＜b，令，由“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，1）上为减函数，所以f（a）＞f（1）=1+=3，即a+2b的取值范围是（3，+∞）．故选C．10.【答案】D解：∵对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，∴函数f（x）=在R上单调递增，∴，解得a∈[4，8），故选D．11.【答案】A解：令u=x2-2ax+1+a，则f（u）=lg u，配方得u=x2-2ax+1+a=（x-a）2 -a2+a+1，故对称轴为x=a，如图所示：由图象可知，当对称轴a≥1时，u=x2-2ax+1+a在区间（-∞，1]上单调递减，又真数x2-2ax+1+a＞0，二次函数u=x2-2ax+1+a在（-∞，1]上单调递减，故只需当x=1时，若x2-2ax+1+a＞0，则x∈（-∞，1]时，真数x2-2ax+1+a＞0，代入x=1解得a＜2，所以a的取值范围是[1，2）故选：A．由题意，在区间（-∞，1]上，a的取值需令真数x2-2ax+1+a＞0，且函数u=x2-2ax+1+a在区间（-∞，1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减．本题考查复合函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，复合函数单调性遵从同增异减的原则．12.【答案】C解：令f（x）=1，当时，,解得x1=-，x2=1，当时，,解得x3=5，综上f（x）=1解得x1=-，x2=1，x3=5，令g（x）=f[f（x）]-1=0，作出f(x)图象如图所示：由图象可得当f（x）=-无解，f（x）=1有3个解，f（x）=5有1个解，综上所述函数g（x）=f[f（x）]-1的零点个数为4，故选C.13.【答案】(1,2)解：设f(x)=x2-2mx+m2-1，则f(x)=0的一个零点在(0,1)内，另一零点在(2,3)内．∴，即，解得1<m<2．故答案为(1,2).14.【答案】[-1，0）解：作出函数的图象如下图所示，由图象可知0＜g（x）≤1，则m＜g（x）+m≤1+m，即m＜f（x）≤1+m，要使函数的图象与x轴有公共点，则，解得-1≤m＜0．故答15.案为[-1，0）．【答案】．解：∵解：利用函数f（x）=x2+mx+4的图象，∵x∈（1，3）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，∴，即，解得m-5．∴m的取值范围是．故答案为：．．利用一元二次函数图象分析不等式在定区间上恒成立的条件，再求解即可．本题考查不等式在定区间上的恒成立问题．利用一元二次函数图象分析求解是解决此类问题的常用方法．16.【答案】[5，+∞）解：函数的定义域为：x≤2，当x∈D时，f（x）≤m恒成立，令t=≥0，可得2x=4-t2，所以f（t）=5-t2-t，是开口向下的二次函数，t≥0，f（t）≤5，当x∈D时，f（x）≤m恒成立，则实数m的取值范围是：m≥5．故答案为：[5，+∞）．求出函数的定义域，利用换元法结合函数的性质，求解实数m的取值范围．本题考查函数的最值的求法，换元法的应用，函数恒成立体积的应用，是基本知识的考查．17.【答案】解：（1）原式===；-----------（5分）（2）原式===log39-9=2-9=-7．----（10分）18.【答案】解：（1）根据题意，当m=2时，A={x|1≤x≤7}，B={x|-2＜x＜4}，----（1分）则A∪B={x|-2＜x≤7}，----（3分）又∁R A={x|x＜1或x＞7}，则（∁R A）∩B={x|-2＜x＜1}；----（5分）（2）根据题意，若A∩B=A，则A⊆B，分2种情况讨论：①当A=∅时，有m-1＞2m+3，解可得m＜-4，----（7分）②当A≠∅时，若有A⊆B，必有，解可得-1＜m＜，----（11分）综上可得：m的取值范围是：（-∞，-4）∪（-1，）．----（12分）19.【答案】解：（1），若要式子有意义，则,即，所以定义域为. ----（4分）（2）f(x)的定义域为，且所以f(x)是奇函数. ----（8分）（3）又f(x)>0，即，有.当时，上述不等式,解得. ----（12分）20.【答案】解：（1）因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）=0，即，则b=1，经检验，当b=1时，是奇函数，所以b=1；----（3分）（2），f（x）在R上是减函数，证明如下：在R上任取，，且，则，因为在R上单调递增，且，则，又因为，所以，即，所以f（x）在R上是减函数； ----（7分）（3）因为，所以，而f（x）是奇函数，则，又f（x）在R上是减函数，所以，即在上恒成立，令，，，，因为，则k<-1.所以k的取值范围为. ----（12分）21.【答案】解：（1）由已知，∴，当时，，故小时后还剩的污染物. ----（5分）（2）由已知，即两边取自然对数得：，∴，∴污染物减少需要花32小时. ----（12分）22.【答案】解：（1）由题设，令x=y=0，恒等式可变为f（0+0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0；----（3分）（2）证明：令y=-x，则由f（x+y）=f（x）+f（y）得f（0）=0=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x），故f（x）是奇函数；----（7分）（3）∵，，即，又由已知f（x+y）=f（x）+f（y）得：f（x+x）=2f（x），∴f（x2-3x）＞f（2x），由函数f（x）是增函数，不等式转化为x2-3x＞2x，即x2-5x＞0，∴不等式的解集{x|x＜0或x＞5}．----（12分）2019-2020学年第一学期期中考试高一数学试题说明:本试卷分为第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共三个大题，22个小题。
高一数学上学期期中考试试卷含答案(共5套)
高一年级第一学期数学期中考试卷本试卷共4页，22小题，满分150分。
考试用时120分钟。
第一部分 选择题(共60分)一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）1．设集合{}1,2,3,4A =，{}1,0,2,3B =-，{}12C x R x =∈-≤<，则()A B C =（ ）A ．{}1,1-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}2,3,42．已知集合A={x∈N|x 2+2x ﹣3≤0}，则集合A 的真子集个数为 （ ）A ．3B ．4C ．31D ．323．下列命题为真命题的是（ ）A ．x Z ∃∈，143x <<B ．x Z ∃∈，1510x +=C ．x R ∀∈，210x -=D ．x R ∀∈，220x x ++>4．设x ∈R ，则“12x <<”是“|2|1x -<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数()f x =m 的取值范围是（ ）A ．04m <≤B ．01m ≤≤C ．4m ≥D ．04m ≤≤6．已知实数m ， n 满足22m n +=，其中0mn >，则12m n +的最小值为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．127．若函数()()g x xf x =的定义域为R ，图象关于原点对称，在(,0)-∞上是减函数，且，()00f =，(2)0=g ，则使得()0f x <的x 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，2）B ．（2，+∞）C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（﹣2，2）8．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的[)()1212,0,x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，已知 2.7e ≈，则()2f -、()f e 、()3f -的大小关系为（ ）A ．()()()32f e f f <-<-B ．()()()23f f e f -<<-C ．()()()32f f f e -<-<D ．()()()32f f e f -<<- 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，漏选3分，错选0分，满分20分）9．已知A B ⊆，A C ⊆，{}2,0,1,8B =，{}1,9,3,8C =，则A 可以是（ ）A ．{}1,8B ．{}2,3C ．{}1D ．{}210．下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（ ）A ．()f x x =与()g x =B ．()|1|f t t =-与()|1|g x x =-C ．2()f x x =与2()g x x =D ．21()1x f x x +=-与1()1g x x =- 11．已知函数()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩，关于函数()f x 的结论正确的是（ ） A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 的值域为(,4)-∞C ．若()3f x =，则xD ．()1f x <的解集为(1,1)-12．若函数()22,14,1x a x f x ax x ⎧-+≤-=⎨+>-⎩在R 上是单调函数，则a 的取值可能是（ ） A ．0B ．1C ．32D ．3第二部分 非选择题(共90分)三、填空题（本大题共3小题，每小题5分, 共15分）13．已知2()1,()1f x x g x x =+=+，则((2))g f =_________.14．设集合22{2,3,1},{,2,1}M a N a a a =+=++-且{}2M N =,则a 值是_________.15．如果函数()2x 23f ax x =+-在区间(),4-∞上是单调递增的，则实数a 的取值范围是______．四、双空题（本大题共1小题，第一空3分，第二空2分, 共5分）16．函数()2x f x x =+在区间[]2,4上的最大值为________，最小值为_________五、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题10分）已知函数()233f x x x =+-A ，()222g x x x =-+的值域为B ． （Ⅰ）求A 、B ； （Ⅱ）求()R AB ．18．（本小题12分）已知集合{|02}A x x =≤≤，{|32}B x a x a =≤≤-.（1）若()U A B R ⋃=，求a 的取值范围； （2）若A B B ≠，求a 的取值范围.19．（本小题12分）已知函数23,[1,2](){3,(2,5]x x f x x x -∈-=-∈． （1）在如图给定的直角坐标系内画出()f x 的图象；（2）写出()f x 的单调递增区间及值域；（3）求不等式()1f x >的解集．20．（本小题12分）已知函数()f x ＝21ax b x ++是定义在(－1，1)上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）确定函数()f x 的解析式；（2）用定义证明()f x 在(－1，1)上是增函数；（3）解不等式：(1)()0f t f t -+<.21．（本小题12分）某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x 千件，需另投入成本为()C x ，当年产量不足80千件时，21()103C x x x =+（万元）．当年产量不小于80千件时，10000()511450C x x x=+-（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？22．（本小题12分）已知二次函数()f x 满足(1)()21f x f x x +-=-+，且(2)15f =.(1)求函数()f x 的解析式；(2) 令()(22)()g x m x f x =--，求函数()g x 在x ∈[0，2]上的最小值．参考答案1．C【详解】由{}1,2,3,4A =，{}1,0,2,3B =-，则{}1,0,1,2,3,4AB =- 又{}12C x R x =∈-≤<，所以(){}1,0,1AB C =-故选：C2．A 由题集合{}2{|230}{|31}01A x N x x x N x =∈+-≤=∈-≤≤=， ， ∴集合A 的真子集个数为2213-= ．故选A ．【点睛】本题考查集合真子集的个数的求法，考查真子集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3．D求解不等式判断A ；方程的解判断B ；反例判断C ；二次函数的性质判断D ；【详解】解：143x <<，可得1344x <<，所以不存在x ∈Z ，143x <<，所以A 不正确； 1510x +=，解得115x =-，所以不存在x ∈Z ，1510x +=，所以B 不正确； 0x =，210x -≠，所以x R ∀∈，210x -=不正确，所以C 不正确；x ∈R ，2217720244y x x x ⎛⎫=++=++≥> ⎪⎝⎭，所以D 正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查命题的真假的判断，考查不等式的解法以及方程的解，属于基础题．4．A【解析】【分析】先解不等式，再根据两个解集包含关系得结果.【详解】 21121,13x x x -<∴-<-<<<,又1,2()1,3，所以“12x <<”是“21x -<”的充分不必要条件，选A.【点睛】充分、必要条件的三种判断方法． 1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 5．D【解析】试题分析：因为函数()f x =的定义域是一切实数，所以当0m =时，函数1f x 对定义域上的一切实数恒成立；当0m >时，则240m m ∆=-≤，解得04m <≤，综上所述，可知实数m 的取值范围是04m ≤≤，故选D.考点：函数的定义域.6．A【解析】实数m ，n 满足22m n +=，其中0mn >12112141(2)()(4)(44222n m m n m n m n m n ∴+=++=++≥+=,当且仅当422,n m m n m n =+=，即22n m ==时取等号.12m n∴+的最小值是4.所以A 选项是正确的. 点睛:本题主要考查基本不等式求最值，在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.解决本题的关键是巧妙地将已知条件22m n +=化为1，即112112(2)1,(2)()22m n m n m n m n+=∴+=++. 7．C【解析】【分析】根据函数的图象关于原点对称，可得知函数()g x 在()0,∞+上是减函数，即可利用其单调性在(,0)-∞和()0,∞+上解不等式即可．【详解】函数()()g x xf x =的定义域为R ，图象关于原点对称，在(,0)-∞上是减函数，且()20g =，所以函数()g x 在()0,∞+上是减函数．当0x =时，()00f =，显然0x =不是()0f x <的解．当()0,x ∈+∞时，()0f x <，即()()0g x xf x =<，而()20g =，所以()()20g x g <=，解得2x >；当(),0x ∈-∞时，()0f x <，即()()0g x xf x =>，而()()220g g -==，所以()()2g x g >-，解得2x <-．综上，()0f x <的x 的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．故选：C.【点睛】本题主要考查利用函数的性质解不等式，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于基础题． 8．D【解析】【分析】由已知条件得出单调性，再由偶函数把自变量转化到同一单调区间上，由单调性得结论．【详解】因为对任意的[)()1212,0,x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，所以当12x x <时，12()()f x f x >，所以()f x 在[0,)+∞上是减函数，又()f x 是偶函数，所以(3)(3)f f -=，(2)(2)f f -=，因为23e <<，所以(2)()(3)f f e f >>，即(2)()(3)f f e f ->>-．故选：D ．【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性，解题方法是利用奇偶性化自变量为同一单调区间，利用单调性比较大小．9．AC【解析】【分析】推导出(){1A B C A ⊆⇒⊆，8}，由此能求出结果．【详解】∵A B ⊆，A C ⊆，()A B C ∴⊆{}2,0,1,8B =，{}1,9,3,8C =，{}1,8A ∴⊆∴结合选项可知A ，C 均满足题意.【点睛】本题考查集合的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．BC【解析】【分析】分别求出四个答案中两个函数的定义域和对应法则是否一致，若定义域和对应法则都一致即是相同函数.【详解】对于A ：()g x x ==，两个函数的对应法则不一致，所以不是相同函数，故选项A 不正确； 对于B ：()|1|f t t =-与()|1|g x x =-定义域和对应关系都相同，所以是相同函数，故选项B 正确； 对于C ：2()f x x =与2()g x x =定义域都是R ，22()g x x x ==，所以两个函数是相同函数，故选项C 正确对于D ：21()1x f x x +=-定义域是{}|1x x ≠±，1()1g x x =-定义域是{}|1x x ≠，两个函数定义域不同，所以不是相等函数，故故选项D 不正确；故选：BC【点睛】本题主要考查了判断两个函数是否为相同函数，判断的依据是两个函数的定义域和对应法则是否一致，属于基础题.11．BC【解析】【分析】根据分段函数的形式可求其定义域和值域，从而判断A 、 B 的正误，再分段求C 、D 中对应的方程的解和不等式的解后可判断C 、D 的正误．【详解】由题意知函数()f x 的定义域为(,2)-∞，故A 错误；当1x ≤-时，()f x 的取值范围是(,1]-∞当12x -<<时，()f x 的取值范围是[0,4)，因此()f x 的值域为(,4)-∞，故B 正确；当1x ≤-时，23x +=，解得1x =（舍去)，当12x -<<时，23x =，解得x =x =，故C 正确；当1x ≤-时，21x +<，解得1x <-，当12x -<<时，21x <，解得-11x -<<，因此()1f x <的解集为(,1)(1,1)-∞--，故D 错误.故选：BC ．【点睛】 本题考查分段函数的性质，对于与分段函数相关的不等式或方程的解的问题，一般用分段讨论的方法，本题属于中档题．12．BC【解析】【分析】根据函数的单调性求出a 的取值范围，即可得到选项.【详解】当1x ≤-时，()22f x x a =-+为增函数， 所以当1x >-时，()4f x ax =+也为增函数，所以0124a a a >⎧⎨-+≤-+⎩，解得503a <≤. 故选：BC【点睛】此题考查根据分段函数的单调性求参数的取值范围，易错点在于忽略掉分段区间端点处的函数值辨析导致产生增根.13【解析】【分析】根据2()1,()f x x g x =+=(2)f ，再求((2))g f .【详解】因为(2)5f =，所以((2))(5)g f g ===【点睛】本题主要考查函数值的求法，属于基础题.14．-2或0【解析】【分析】由{}2M N =,可得{}2N ⊆,即可得到22a a +=或22a +=,分别求解可求出答案.【详解】由题意,{}2N ⊆,①若22a a +=,解得1a =或2a =-,当1a =时,集合M 中,212a +=,不符合集合的互异性,舍去;当2a =-时,{2,3,5},{2,0,1}M N ==-,符合题意.②若22a +=,解得0a =,{2,3,1},{0,2,1}M N ==-,符合题意.综上,a 的值是-2或0.故答案为:-2或0.【点睛】本题考查了交集的性质,考查了集合概念的理解,属于基础题.15．1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】【详解】由题意得，当0a =时，函数()23f x x =-，满足题意，当0a ≠时，则0242a a<⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得104a -≤<， 综合得所求实数a 的取值范围为1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 16．23 12【解析】【分析】分离常数，将()f x 变形为212x -+，观察可得其单调性，根据单调性得函数最值. 【详解】 222()1222x x f x x x x +-===-+++，在[2,4]上，若x 越大，则2x +越大，22x 越小，22x -+越大，212x -+越大， 故函数()f x 在[2,4]上是增函数，min 21()(2)222f x f ∴===+， max 42()(4)423f x f ===+， 故答案为23；12. 【点睛】本题考查分式函数的单调性及最值，是基础题. 17．（Ⅰ）332A x x ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭，{}1B y y =≥；（Ⅱ）()R 312A B x x ⎧⎫⋂=-≤<⎨⎬⎩⎭. 【解析】【分析】（Ⅰ）由函数式有意义求得定义域A ，根据二次函数性质可求得值域B ；（Ⅱ）根据集合运算的定义计算．【详解】（Ⅰ）由()f x =230,30,x x +≥⎧⎨->⎩ 解得332x -≤<． ()()2222111g x x x x =-+=-+≥，所以332A x x ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭，{}1B y y =≥．（Ⅱ）{}1B y y =<R ，所以()R 312A B x x ⎧⎫⋂=-≤<⎨⎬⎩⎭． 【点睛】本题考查求函数的定义域与值域，考查集合的综合运算，属于基础题．18．（1）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）1,2a ⎡⎫+∞⎢⎣∈⎪⎭. 【解析】【分析】（1）先计算U A ，再利用数轴即可列出不等式组，解不等式组即可.（2）先求出AB B =时a 的取值范围，再求其补集即可.【详解】 （1）∵{}|02A x x =≤≤，∴{|0U A x x =<或}2x >，若()U A B R ⋃=，则320322a a a a -≥⎧⎪⎨⎪-≥⎩，即12a ≤∴实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. （2）若A B B =，则B A ⊆.当B =∅时，则32-<a a 得1,a >当B ≠∅时，若B A ⊆则0322a a ≥⎧⎨-≤⎩，得1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，综上故a 的取值范围为1,2a ⎡⎫+∞⎢⎣∈⎪⎭， 故AB B ≠时的范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭的补集，即1,.2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 【点睛】本题主要考查了集合的交并补运算，属于中档题.19．（1）见解析（2）()f x 的单调递增区间[1,0],[2,5]-， 值域为[1,3]-；（3）[2)(1,5]-⋃【解析】【分析】（1）要利用描点法分别画出f(x)在区间[-1,2]和(2,5]内的图象.（2）再借助图象可求出其单调递增区间.并且求出值域.（3）由图象可观察出函数值大于1时对应的x 的取值集合.【详解】（1）（2）由图可知()f x 的单调递增区间[1,0],[2,5]-， 值域为[1,3]-；（3）令231x -=，解得2x =2-（舍去）；令31x -=，解得2x =. 结合图象可知的解集为[2)(1,5]-⋃20．（1）()21x f x x =+；（2）证明见详解；（3）1|02t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 【解析】【分析】(1)由()f x 为奇函数且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求得参数值，即可得到()f x 的解析式； (2)根据定义法取－1＜x 1＜x 2＜1，利用作差法12())0(f x f x -<即得证；(3)利用()f x 的增减性和奇偶性，列不等式求解即可【详解】（1）()f x 在(－1，1)上为奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭有(0)012()25f f =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩，()f x ＝21x x +， 此时2()(),()1x f x f x f x x --==-∴+为奇函数， 故()f x ＝21x x+； （2）证明：任取－1＜x 1＜x 2＜1， 则12122212()()11x x f x f x x x -=-++12122212()(1)(1)(1)x x x x x x --=++ 而122100,1x x x -<+>，且1211x x -<<，即1210x x ->，∴12())0(f x f x -<，()f x 在(－1，1)上是增函数.（3）(1)()()f t f t f t ，又()f x 在(－1，1)上是增函数∴－1＜t －1＜－t ＜1，解得0＜t ＜12 ∴不等式的解集为1|02t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查了利用函数奇偶性求解析式，结合奇函数中(0)0f =的性质，要注意验证；应用定义法证明单调性，注意先假设自变量大小关系再确定函数值的大小关系：函数值随自变量的增大而增大为增函数，反之为减函数；最后利用函数的奇偶性和单调性求解集21．（1）2140200,0803()100001250,80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）100千件【解析】【分析】（1）根据题意，分080x <<，80x ≥两种情况，分别求出函数解析式，即可求出结果；（2）根据（1）中结果，根据二次函数性质，以及基本不等式，分别求出最值即可，属于常考题型.【详解】解（1）因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.051000x ⨯万元，依题意得： 当080x <<时，2211()(0.051000)102004020033⎛⎫=⨯-+-=-+- ⎪⎝⎭L x x x x x x ． 当80x ≥时，10000()(0.051000)511450200L x x x x ⎛⎫=⨯-+-- ⎪⎝⎭ 100001250⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭x x 所以2140200,0803()100001250,80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当080x <<时，21()(60)10003L x x =--+． 此时，当60x =时，()L x 取得最大值(60)1000L =万元．当80x ≥时，10000()125012502L x x x ⎛⎫=-+≤- ⎪⎝⎭ 12502001050=-=． 此时10000x x=，即100x =时，()L x 取得最大值1050万元． 由于10001050<，答：当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大， 最大利润为1050万元 【点睛】本题主要考查分段函数模型的应用，二次函数求最值，以及根据基本不等式求最值的问题，属于常考题型.22．（1）2()215f x x x =-++，（2）min2411,2()15,015,02m m g x m m m -->⎧⎪=-<⎨⎪--≤≤⎩【解析】试题分析：（1）据二次函数的形式设出f （x ）的解析式，将已知条件代入，列出方程，令方程两边的对应系数相等解得．（2）函数g （x ）的图象是开口朝上，且以x=m 为对称轴的抛物线，分当m ≤0时，当0＜m ＜2时，当m ≥2时三种情况分别求出函数的最小值，可得答案．试题解析：（1）设二次函数一般式()2f x ax bx c =++（0a ≠），代入条件化简，根据恒等条件得22a =-，1a b +=，解得1a =-，2b =，再根据()215f =，求c .（2）①根据二次函数对称轴必在定义区间外得实数m 的取值范围；②根据对称轴与定义区间位置关系，分三种情况讨论函数最小值取法. 试题解析：（1）设二次函数()2f x ax bx c =++（0a ≠），则()()()()()22111221f x f x a x b x c ax bx c ax a b x +-=++++-++=++=-+∴22a =-，1a b +=，∴1a =-，2b = 又()215f =，∴15c =.∴()2215f x x x =-++（2）①∵()2215f x x x =-++∴()()()222215g x m x f x x mx =--=--.又()g x 在[]0,2x ∈上是单调函数，∴对称轴x m =在区间[]0,2的左侧或右侧，∴0m ≤或2m ≥ ②()2215g x x mx =--，[]0,2x ∈，对称轴x m =，当2m >时，()()min 24415411g x g m m ==--=--； 当0m <时，()()min 015g x g ==-；当02m ≤≤时，()()222min 21515g x g m m m m ==--=--综上所述，()min2411,215,015,02m m g x m m m -->⎧⎪=-<⎨⎪--≤≤⎩广东省深圳市高一上学期期中考试试卷数学试题时间：120分钟 分值：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合{1}A x x =<∣，{}31x B x =<∣，则（ ）A ．{0}AB x x =<∣ B ．A B R =C ．{1}A B x x =>∣D ．AB =∅2．已知函数22,3()21,3x x x f x x x ⎧-≥=⎨+<⎩，则[(1)]f f =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-，则()1f -=（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．34．已知幂函数()f x 的图象过点2,2⎛ ⎝⎭，则()8f 的值为（ ）A ．4B ．8C ．D ．5．设函数331()f x x x=-，则()f x （ ） A ．是奇函数，且在(0,)+∞单调递增 B ．是奇函数，且在(0,)+∞单调递减C ．是偶函数，且在(0,)+∞单调递增D ．是偶函数，且在(0,)+∞单调递减6．已知3log 21x ⋅=，则4x=（ ）A ．4B ．6C ．3log 24D ．97．已知2log 0.3a =，0.12b =， 1.30.2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a c b <<8．函数25,1(),1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩满足对任意12x x ≠都有()()12120f x f x x x ->-，则a 的取值范围是（ ）A ．30a -≤<B ．32a -≤≤-C ．2a ≤-D ．0a <二、选择题：本小题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9．下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（ ）A ．()f x x =与()g x =B ．()|1|f t t =-与()|1|g x x =-C．()f x =与 ()g x =-D ．21()1x f x x -=+与()1g x x =-10．下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（ ）A ．1y x=-B ．1y x x=-C ．3y x =D ．||y x x =11．若函数()1(0,1)xf x a b a a =+->≠的图象经过第一、三、四象限，则一定有（ ）A ．1a >B ．01a <<C ．0b >D ．0b <12．下列结论不正确的是（ ）A ．当0x >2≥B ．当0x >2的最小值是2C ．当0x <时，22145x x -+-的最小值是52D ．设0x >，0y >，且2x y +=，则14x y +的最小值是92三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数3()1f x x =+的定义域为_______． 14．函数32x y a-=+（0a >且1a ≠）恒过定点_______．15．定义运算：,,b a b a b a a b≥⎧⊗=⎨<⎩，则函数()33x xf x -=⊗的值域为_______．16．若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又()20f =，则不等式()0xf x <的解集为_______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）计算：（1）1130121( 3.8)0.0022)27---⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭；（2）2lg125lg 2lg500(lg 2)++．18．（本小题满分12分）已知函数1()2x f x x +=-，[3,7]x ∈． （1）判断函数()f x 的单调性，并用定义加以证明；（2）求函数()f x 的最大值和最小值． 19．（本小题满分12分）设集合{}2230A x x x =+-<∣，集合{1}B xx a =+<‖∣． （1）若3a =，求AB ；（2）设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 成立的必要条件，求实数a 的取值范围． 20．（本小题满分12分）已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，2()243f x x x =-++．（1）求()f x 的表达式；（2）画出()f x 的图象，并指出()f x 的单调区间．21．（本小题满分12分）某制造商为拓展业务，计划引进一设备生产一种新型体育器材．通过市场分析，每月需投入固定成本3000元，生产x 台需另投入成本()C x 元，且210400,030()10008049000,30x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，若每台售价800元，且当月生产的体育器材该月内能全部售完．（1）求制造商由该设备所获的月利润()L x 关于月产量x 台的函数关系式；（利润=销售额-成本） （2）当月产量为多少台时，制造商由该设备所获的月利润最大？并求出最大月利润．22．（本小题满分12分）设函数()22xxf x k -=⋅-是定义R 上的奇函数． （1）求k 的值；（2）若不等式()21xf x a >⋅-有解，求实数a 的取值范围；（3）设()444()x xg x f x -=+-，求()g x 在[1,)+∞上的最小值，并指出取得最小值时的x 的值．高一上学期期中考试数学学科试题参考答案一二、选择题三、填空题 13．(,1)(1,2]-∞--14．()3,3 15．(]0,1 16．(2,0)(0,2)-四、解答题17．解：（1）原式12315002)42016=+-+=-=-；（2）原式3lg5lg 2(lg500lg 2)3lg53lg 23=++=+=．18．解：（1）函数()f x 在区间[]3,7内单调递减，证明如下：在[]3,7上任意取两个数1x 和2x ，且设12x x >，∵()11112x f x x +=-，()22212x f x x +=-， ∴()()()()()21121212123112222x x x x f x f x x x x x -++-=-=----． ∵12,[3,7]x x ∈，12x x >，∴120x ->，220x ->，210x x -<，∴()()()()()2112123022x x f x f x x x --=<--．即()()12f x f x <，由单调函数的定义可知，函数()f x 为[]3,7上的减函数．（2）由单调函数的定义可得max ()(3)4f x f ==，min 8()(7)5f x f ==． 19．解：（1）由2230x x +-<，解得31x -<<，可得：(3,1)A =-．3a =，可得：|3|1x +<，化为：131x -<+<，解得42x -<<-，∴(1,1)B =-． ∴(3,1)AB =-．（2）由||1x a +<，解得11a x a --<<-．∴{11}B xa x a =--<<-∣． ∵p 是q 成立的必要条件，∴1311a a --≥-⎧⎨-≤⎩，解得：02a ≤≤．∴实数a 的取值范围是[]0,2．20．解：（1）根据题意，()f x 是R 上的奇函数，则()00f =，设0x <，则0x ->，则()2243f x x x -=--+，又由()f x 为奇函数，则2()()243f x f x x x =--=+-，则22243,0()0,0243,0x x x f x x x x x ⎧+-<⎪==⎨⎪-+->⎩；（2）根据题意，22243,0()0,0243,0x x x f x x x x x ⎧+-<⎪==⎨⎪-+->⎩，其图象如图：()f x 的单调递增区间为()1,1-，()f x 的单调递增区间为(),1-∞-，(1,)+∞．21．解：（1）当030x <<时，22()800104003000104003000L x x x x x x =---=-+-；当30x ≥时，1000010000()8008049000300060004L x x x x x x ⎛⎫=--+-=-+ ⎪⎝⎭． ∴2104003000,030()1000060004,30x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩． （2）当030x <<时，2()10(20)1000L x x =--+，∴当20x =时，max ()(20)1000L x L ==．当30x ≥时，10000()6000460005600L x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当100004x x=， 即50x =时，()(50)56001000L x L ==>．当50x =时，获得增加的利润最大，且增加的最大利润为5600元．22．解：（1）因为()22x xf x k -=⋅-是定义域为R 上的奇函数，所以()00f =，所以10k -=， 解得1k =，()22x xf x -=-， 当1k =时，()22()x x f x f x --=-=-，所以()f x 为奇函数，故1k =；（2）()21xf x a >⋅-有解， 所以211122x x a ⎛⎫⎛⎫<-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有解， 所以2max11122x x a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫<-++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 因为221111*********x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=--+≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1x =时，等号成立）， 所以54a <； （3）()444()x x g x f x -=+-，即()()44422x x x x g x --=+--，可令22x x t -=-，可得函数t 在[)1,+∞递增，即32t >， 2442x x t -=+-，可得函数2()42h t t t =-+，32t >， 由()g t 的对称轴为322t =>，可得2t =时，()g t 取得最小值2-，此时222x x -=-，解得2log (1x =，则()g x 在[)1,+∞上的最小值为2-，此时2log (1x =．高一第一学期数学期中考试卷第I 卷（选择题)一、单选题（每小题5分）1．已知集合{}40M x x =-<，{}124x N x -=<，则M N =( )A ．(),3-∞B ．()0,3C ．()0,4D ．∅2．已知集合A ＝{}2|log 1x x <，B ＝{}|0x x c <<，若A ∪B ＝B ，则c 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,2]D ．[2，＋∞)3．全集U =R ，集合{}|0A x x =<,{}|11B x x =-<<，则阴影部分表示的集合为( )A ．{}|1x x <-B ．{}|1x x <C ．{}|10x x -<<D ．{}|01x x <<4．．函数的零点所在的区间为A ．B ．C ．(D ．5．如果二次函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减函数，则a 的取值范围是（）A.5a ≤B.3a ≤-C.3a ≥D.3a ≥-6．设函数()2,x f x x R =∈的反函数是()g x ，则1()2g 的值为（ ）A ．1-B ．2-C ．1D ．27．设132()3a =，231()3b =，131()3c =，则()f x 的大小关系是（ ）A.b c a >>B.a b c >>C.c a b >>D.a c b >>8．函数()()215m f x m m x -=--是幂函数，且当()0 x ∈+∞，时，()f x 是增函数，则实数m 等于（ ） A.3或2- B.2- C.3 D.3-或29．函数()2lg 45y x x =--的值域为( )A ．(),-∞+∞B ．()1,5-C ．()5,+∞D ．(),1-∞-10．已知x ，y 为正实数，则（ ）A ．lg lg lg lg 222x y x y +=+B ．lg()lg lg 222x y x y +=C ．lg lg lg lg 222x y x y =+D ．lg()lg lg 222xy x y = 11．已知函数()x x f x a a -=-,若(1)0f <,则当[]2,3x ∈时，不等式()+(4)0f t x f x --<恒成立则实数t 的范围是( )A ．[2,)+∞B ．(2,)+∞C ．(,0)-∞D ．(,0]-∞12．已知奇函数x 14()(x 0)23F(x)f (x)(x 0)⎧->⎪=⎨⎪<⎩，则21F(f (log )3= ( ) A ．56- B ．56 C ．1331()2D ．1314()23- 第II 卷（非选择题)二、填空题（每小题5分）13．已知函数ln x y a e =+（0a >，且1a ≠，常数 2.71828...e =为自然对数的底数）的图象恒过定点(,)P m n ，则m n -=______．14．求值：2327( 3.1)()lg 4lg 25ln18--++++=__________ 15．若函数()()()21142x f x a x log =++++为偶函数，则a ＝_______.16．已知函数log 2,3()(5)3,3a x x f x a x x ->⎧=⎨--≤⎩（）满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围为______________；三、解答题17．（本题满分10分）（1）求值：（log 83+log 169）（log 32+log 916）；（2）若1122a a 2--=，求11122a a a a --++及的值．18．（本题满分12分）函数()log (1)a f x x =-+(3)(01)a log x a +<< （1）求方程()0f x =的解；（2）若函数()f x 的最小值为1-，求a 的值.19．（本题满分12分）已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当时0x ≥，()22f x x x =+. （1）求函数()f x 的解析式；（2）解不等式()2f x x ≥+.20．（本题满分12分）已知二次函数f （x ）满足 (1)()21f x f x x +-=+且(0)1,f =函数()2(0)g x mx m =>（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）判断函数()()()g x F x f x =，在()0,1上的单调性并加以证明.21．（本题满分12分）已知函数()142x x f x a a +=⋅--.（1）若0a =，解方程()24f x =-；（2）若函数()142x x f x a a +=⋅--在[]1,2上有零点，求实数a 的取值范围.22．（本题满分12分）函数()f x 的定义域为R ，且对任意,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x <，(Ⅰ)证明()f x 是奇函数；(Ⅱ)证明()f x 在R 上是减函数；(III)若()31f =-,()()321550f x f x ++--<，求x 的取值范围.第一学期高一期中考试卷参考答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、单选题1．已知集合，，则( )A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】可以求出集合，，然后进行交集的运算即可．【详解】解：，，．故选：．【点睛】本题考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的单调性，以及交集的运算。
重庆市教育集团2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题含答案
重庆2024-2025学年度上期期中考试高2027届数学试题（答案在最后）本试卷分为I 卷和Ⅱ卷，考试时间120分钟，满分150分.请将答案工整地书写在答题卡上．一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.设集合{}{}0,2,4,6,8,10,1,0,1,2,3A B ==-，则A B = （）A.{}4,8 B.{}0,2,6 C.{}0,2 D.{}2,4,6【答案】C 【解析】【分析】根据交集概念进行求解.【详解】{}{}{}0,2,4,6,8,101,0,1,2,30,2A B =-= .故选：C2.若函数 ீॄ 的定义域为{}|01x x ≤≤，值域为{}|01y y ≤≤，那么函数 ீॄ 的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据各选项一一判断其定义域与值域，即可得解.【详解】对于A ：函数的定义域为{}|01x x ≤≤，但是值域不是{}|01y y ≤≤，故A 错误；对于B ：函数的定义域不是{}|01x x ≤≤，值域为{}|01y y ≤≤，故B 错误；对于C ：函数的定义域为{}|01x x ≤≤，值域为{}|01y y ≤≤，故C 正确；对于D ：不满足函数的定义，不是一个函数的图象，故D 错误.故选：C3.集合{010}A x x =∈≤<Z∣有（）个非空子集.A.512B.511C.1024D.1023【答案】D 【解析】【分析】确定集合A 中含有的元素个数，即可求得答案.【详解】集合{}{010}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9A x x =∈≤<=Z∣含有10个元素，故其有10211023-=个非空子集，故选：D4.已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（）A.p 和q 都是真命题B.p ⌝和q 都是真命题C.p 和q ⌝都是真命题D.p ⌝和q ⌝都是真命题【答案】B 【解析】【分析】对于两个命题而言，可分别取1x =-、1x =，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.【详解】对于p 而言，取1x =-，则有101x +=<，故p 是假命题，p ⌝是真命题，对于q 而言，取1x =，则有3311x x ===，故q 是真命题，q ⌝是假命题，综上，p ⌝和q 都是真命题.故选：B .5.“321x ≤+”的一个充分不必要条件是（）A.102x <<B.112x -<≤C.1x <-或12x ≥D.1x >【答案】D 【解析】【分析】求出不等式321x ≤+的解，逐个选项判断，即可得答案.【详解】解321x ≤+，即3201x -≤+，即1201x x -≤+，即()()211010x x x ⎧-+≥⎨+≠⎩，解得12x ≥或1x <-，由于102x <<，112x -<≤均推不出12x ≥或1x <-，故A ，B 选项不合题意；C 中条件和“321x ≤+”等价，不合题意，1x >时，一定有12x ≥或1x <-成立，反之不成立，故1x >是“321x ≤+”的一个充分不必要条件，故选：D6.已知正实数x ，y 满足122x y+=，则2x y +的最小值为（）A.1B.2C.4D.8【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可求解.【详解】因为x ，y 为正实数，且122x y+=，所以()11222222422y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭,当且仅当22x y ==时取等号.故选：C7.若函数()f x 的定义域为[0,3]，则函数()221()1f xg x x -=-的定义域为（）A.(1,1)(1,8]- B.[1,1)(1,8]- C.[2,1)(1,1)(1,2]--⋃-⋃ D.[2,1)(1,2]-- 【答案】D 【解析】【分析】根据定义域满足的不等式关系，即可列不等式组求解.【详解】由于函数()f x 的定义域为[0,3]，所以()221()1f xg x x -=-的定义域需要满足：2201310x x ⎧≤-≤⎨-≠⎩，解得12x <≤或21x -≤<-，故定义域为：[2,1)(1,2]-- 故选：D8.已知函数()f x 满足条件：()()()()()11,,2f f x y f x f y f x =+=⋅在R 上是减函数，若[]1,4x ∃∈，使()()216f x f mx ≤成立，则实数m 的取值范围是（）A.(),5-∞ B.(],5-∞ C.(),4-∞ D.(],4∞-【答案】B 【解析】【分析】将问题转化为24mx x ≤+能成立，再利用对勾函数的单调性即可得解.【详解】因为()()()()11,2f f x y f x f y =+=⋅，所以()()()12114f f f =⋅=，()()()141622f f f =⋅=，所以()()216f x f mx ≤，可化为()()()()()22214164f mx f x f f x f x ≥==+⋅，因为()f x 在R 上是减函数，所以24mx x ≤+，所以问题转化为[]1,4x ∃∈，使24mx x ≤+成立，即4m x x ≤+，则max 4m x x ⎛⎫+ ⎪⎝≤⎭，因为对勾函数4y x x=+在[]1,2上单调递减，在[]2,4上单调递增，所以当1x =或4x =时，4y x x=+取得最大值5，所以5m ≤，即(],5m ∈-∞.故选：B.二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列选项中表示正确的是（）A.∅⊆∅B.R Qð C.0=∅D.{1,2,3}{3,2,1}=【答案】ABD 【解析】【分析】根据空集的性质判断A ，根据补集的定义及元素与集合的关系判断B ，根据空集的定义判断C ，根据集合相等的定义判断D.【详解】因为∅是任何集合的子集，所以∅⊆∅，A 正确；为无理数，又R Q ðR Q ð，B 正确；0是一个元素，∅为不含任何元素的集合，C 错误；集合{1,2,3}与集合{3,2,1}的元素相同，所以{1,2,3}{3,2,1}=，D 正确；故选：ABD.10.下列说法正确的是（）A.若a b >，则11b b a a +>+B.函数()f x =()g x =是相同函数C.函数1()f x x=的单调减区间是(,0)(0,)-∞+∞ D.若4x y +=，则22x y +的最小值是8【答案】BD 【解析】【分析】举反例说明A 是错误的；求两个函数的定义域，判断B 的真假；辨析函数单调区间的写法说明C 是错误的；利用基本（均值）不等式求22x y +的最小值，判断D 的真假.【详解】对A ：令3a =-，4b =-，则满足a b >，但不满足11b b a a +>+，故A 错误；对B ：由210x -≥⇒11x -≤≤，由1010x x -≥⎧⎨+≥⎩⇒11x -≤≤，所以两个函数的定义域都是[]1,1-，且此时()g x ===，与()f x 解析式相同，所以它们表示同一个函数，故B 正确；对C ：函数1()f x x=的单调减区间是(,0)-∞，(0,)+∞，两个单调区间不能用“ ”连接，故C 错误；对D ：由4x y +=⇒()216x y +=⇒22621x y xy ++=⇒()22216xy x y =-+，又因为222x y xy +≥（当且仅当x y =时取“=”）所以()2222216xy x y xy =-+≤+⇒22x y +≥8（当且仅当2x y ==时取“=”）.故D 正确.故选：BD11.不等式202320242025()(1)(2)0x a x x ---<（其中a ∈R ）的解集可以是（）A.{02x x <<且}1x ≠ B.{12}xx <<∣C.∅ D.{1x x <或12x <<或}3x >【答案】ABC 【解析】【分析】A 选项，0a =时满足要求；B 选项，1a =时满足要求；C 选项，2a =满足要求；D 选项，由于解集中出现了3x >，故3a =，由穿针引线法可知，不等式解集为{}23x x <<，D 错误；【详解】A 选项，若0a =，202320242025(1)(2)0x x x --<，由穿针引线法可知，不等式解集为{02x x <<且}1x ≠，A 正确；B 选项，当1a =时，24047025(1)(2)0x x --<，解得12x <<，B 正确；C 选项，当2a =时，42024048(1)(2)0x x --<，解集为∅，C 正确；D 选项，由于解集中出现了3x >，故3a =，此时202320242025(3)(1)(2)0x x x ---<，由穿针引线法可知，不等式解集为{}23x x <<，D 错误；故选：ABC三、填空题：本题共3个小题，每个小题5分，共15分.12.已知函数()f x 满足：2()2()21f x f x x x +-=+-，则(2)f =_______；()f x =_______.【答案】①.13②.22133x x --【解析】【分析】由已知条件可得到关于(),()f x f x -的方程组，由此可解得()f x 的解析式，再令2x =，即可求得(2)f .【详解】由已知可得，()()22()2()21()2()21f x f x x x f x f x x x ⎧+-=+-⎪⎨-+=-+--⎪⎩，解得()22133f x x x =--，则()211242333f =⨯--=.故答案为：13；22133x x --.13.国庆节期间，重庆复旦中学全体学生进行了选修课报名，据统计，高一某班共45名同学在语文类、数学类和物理类三类选修课具有报名意向，其中有21人想报名语文类选修课，有29人想报名数学类选修课，有28人想报名物理类选修课，同时想报名语文和数学选修课的有10人，同时想报名数学和物理选修课的有15人，没有三类选修课都想报名的同学，则只想报名物理选修课的同学有_______人．【答案】5【解析】【分析】设只想报名物理选修课的同学有x 人，求得同时想报名语文和物理选修课的有13x -人，只想报名语文选修课的同学有2x -人，只想报名数学选修课的同学有4人，由题意画出Venn 图，再由该班共有人数，列出方程，即可求解.【详解】设只想报名物理选修课的同学有x 人，因为有28人想报名物理类选修课，所以同时想报名语文和物理选修课的有281513x x --=-人，因为有21人想报名语文类选修课，则只想报名语文选修课的同学有()2110132x x ---=-人，因为有29人想报名数学类选修课，同时想报名语文和数学选修课的有10人，同时想报名数学和物理选修课的有15人，则只想报名数学选修课的同学有2910154--=人，又没有三类选修课都想报名的同学，由题意画出Venn 图，如图所示：因为该班共45名同学，所以2131541045x x x -+-++++=，解得5x =，所以只想报名物理选修课的同学有5人.故答案为：5.14.已知函数26()1x ax f x x ++=+，a 为实数，若对于(0,),()2x f x ∀∈+∞≥恒成立，则实数a 的取值范围是_______．【答案】[)2-+∞，【解析】【分析】可以把问题转化成二次函数在(0,)+∞上大于等于0的问题来解决.结合函数与y 轴的交点，则0∆≤或对称轴在x 轴或x 轴左侧，即可求出a 的取值范围.【详解】由2621x ax x ++≥+，0x >得()2621x ax x ++≥+⇒()2240x a x +-+≥，0x >.设()()224g x x a x =+-+，0x >.因为()040g =>，所以()0g x ≥，0x >⇔0∆≤或202a --≤.由0∆≤⇒()22160a --≤⇒26a -≤≤；由202a --≤⇒2a ≥.所以a 的取值范围为：[][)[)2,62,2,-⋃+∞=-+∞.故答案为：[)2-+∞，四、解答题：本小题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合{N05},{03},{||11}A x x B x x C x x =∈<<=<<=-<∣∣∣．（1）求集合,A B B C ；（2）求()R A C ð．【答案】（1）{}1,2A B = ；{}|03B C x x ⋃=<<（2）()()0,11,2U 【解析】【分析】（1）根据交集和并集的概念，即可求解；（2）根据补集和交集的概念，即可求解.【小问1详解】集合{}{N05}1,2,3,4A x x =∈<<=∣，{03}B x x =<<∣，不等式11x -<，即111x -<-<，解得02x <<，集合{}|02C x x =<<，所以{}1,2A B = ，{}|03B C x x ⋃=<<.【小问2详解】{}1,2,3,4A =，则()()()()()R ,11,22,33,44,A =-∞+∞ ð，所以()()()R 0,11,2A C ⋂= ð.16.已知函数()f x 的解析式为()22,1,126,2x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩（1）求()1f ，()()2ff -的值；（2）画出这个函数的图象，并写出()f x 的最大值；（3）解不等式()2f x <.【答案】（1）()11f =，()()20ff -=；（2）图象见解析，最大值为4（3）{|2x x <}4x >【解析】【分析】（1）根据自变量的取值，代入分段函数解析式即可；（2）根据图象最高点即可写出最大值；（3）对x 范围讨论，解出之后求并集即可.【小问1详解】由已知得，()2111f ==，()2220f -=-+=，则()()()200ff f -==【小问2详解】由图象可知，最大值为4.【小问3详解】当1x ≤-时，由()2f x <可得，22x +<，解得0x <，所以1x ≤-；当12x -<≤时，由()2f x <可得，22x <，解得22x -<<，所以12x -<<当2x >时，由()2f x <可得，62x -+<，解得4x >，所以4x >.综上所述，2x <或4x >不等式()2f x <的解集为{|2x x <}4x >.17.已知二次函数()f x 过坐标原点，有(1)(3)f f -=，且()f x 在R 上的值域为(,1]-∞．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求解关于x 的不等式2()a ax f x ->，其中a 为实数．【答案】（1）()()211f x x =--+；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由条件可设其解析式为()()211f x a x =-+，再由条件求a 可得结论；（2）不等式可化为()()20x x a -->，分别在2a >，2a =，2a <条件下求不等式的解集.【小问1详解】因为(1)(3)f f -=，所以二次函数()f x 的图象为对称轴为1x =的抛物线，因为()f x 在R 上的值域为(,1]-∞，所以二次函数的图象为开口向下的抛物线，且顶点纵坐标为1，所以可设其解析式为()()211f x a x =-+，且0a <，因为二次函数()f x 的图象过坐标原点，所以()20110a -+=，所以1a =-，所以()()211f x x =--+，【小问2详解】不等式2()a ax f x ->，可化为222a ax x x ->-+，即()()20x x a -->，当2a >时，x a >或2x <，当2a =时，2x ≠，当2a <时，x a <或2x >，所以当2a >时，不等式2()a ax f x ->的解集为{x x a >或}2x <，当2a =时，不等式2()a ax f x ->的解集为{}2x x ≠，当2a <时，不等式2()a ax f x ->的解集为{2x x >或}x a <.18.已知函数2(),(2)5a f x x f x=+=（1）求实数a 值；（2）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并用单调性的定义证明；（3）求函数()f x 的单调区间．【答案】（1）2a =（2）单调递增，证明见解析（3）增区间是()1,+∞，单调递减区间是(),0-∞和()0,1【解析】【分析】（1）代入()2f ，即可求解；（2）根据函数单调性的定义，作差()()12f x f x -，即可证明；（3）根据（2）的过程和结果，再分区间讨论.【小问1详解】由条件可知，()2452a f =+=，得2a =；【小问2详解】()22f x x x=+，设121x x <<，()()222212121212122222f x f x x x x x x x x x ⎛⎫-=+--=-+- ⎪⎝⎭，()1212122x x x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，因为121x x <<，所以120x x -<，122x x +>，且121x x >，则12202x x <<，所以121220x x x x +->，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在(1,)+∞上单调递增；【小问3详解】由（2）可知，()()12f x f x -()1212122x x x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，当1201x x <<<时，120x x -<，1202x x <+<，1201x x <<，则1222x x >，所以121220x x x x +-<，()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()f x 在(0,1)上单调递减，当120x x <<，120x x -<，120x x +<，120x x >，则1220x x >，所以121220x x x x +-<，()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，综上可知，函数的增区间是()1,+∞，单调递减区间是(),0-∞和()0,1.19.对于定义域为D 的函数()y f x =，若存在区间[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为[],a b ，则称区间[],a b 为函数()f x 的“最美区间”.（1）求函数()2f x x =的“最美区间”；（2）若()f x k =存在最美区间[],a b 函数，求实数k 的取值范围．【答案】（1）[]0,1（2）9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）推导出0a ≥，0b >，结合()f x 在[],a b 上单调递增，得到()f b b =，()f a a =，求出0a =，1b =，得到答案；（2）根据()f x k =在[)2,-+∞上单调递增，得到()()f a a f b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，转化为,a bk x =在[)2,-+∞上两个不等的实根，且k a b ≤<，换元后结合二次函数的图象，求出实数k 的取值范围.【小问1详解】因为()20f x x =≥，()f x 在[],a b 上的值域为[],a b ，故0a ≥，因为a b <，所以0b >，故()f x 在[],a b 上单调递增，所以()f b b =，即2b b =，解得1b =或0（舍去），所以1a <，同理()f a a =，解得0a =或1（舍去），综上，()2f x x =的“最美区间”是[]0,1；【小问2详解】令20x +≥，解得2x ≥-，故()f x k =的定义域为[)2,-+∞，且()f x k =在[)2,-+∞上单调递增，故()()f a a f b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，k a k b==，即,a b k x =在[)2,-+∞上两个不等的实根，且k a b ≤<，所以k x =-，令20,2t x t =≥=-，所以22k t t =--在[)0,t ∈+∞上有两个不等实跟，函数()22p x t t =--在10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，()()19012,24p p p ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，故实数k 的取值范围是9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦．。
北京市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题含答案
北京市2024～2025学年第一学期期中考试高一学科：数学（答案在最后）2024年10月（考试时间120分钟满分150分）提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答.一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1.已知集合{}1,0,1,2,3U =-，{}13,N A x x x =-<<∈，则U A =ð（）A.{}1,3-B.{}1,2C.{}1,0,3- D.{}0,1,2【答案】A 【解析】【分析】首先求解集合A ，再根据补集的定义即可得出答案.【详解】因为{}{}13,N 0,1,2A x x x =-<<∈=，{}1,0,1,2,3U =-，所以{}1,3U A =-ð.故选：A.2.下列函数中是偶函数的是（）A.4(0)y x x =<B.221y x =+C.31y x =- D.1y x =+【答案】B 【解析】【分析】根据奇偶性的定义对各个选项逐一判断即可得出答案.【详解】解：对于A ，因为函数4(0)y x x =<的定义域不关于原点对称，所函数不具有奇偶性，故A 不符题意；对于B ，函数()221y f x x ==+的定义域为R ，()()221f x f x x -==+，所以函数为偶函数，故B 符合题意；对于C ，函数()31y f x x ==-的定义域为R ，()()31f x x f x -=--≠，所以函数不是偶函数，故C 不符题意；对于D ，函数()1y f x x ==+的定义域为R ，因为()()1012f f -=≠=，所以函数不是偶函数，故D 不符题意.故选：B.3.已知,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式正确的是（）A.ac bc >B.22a b >C.33a b > D.11a b<【答案】C 【解析】【分析】根据特值法可排除A ，B ，D ，根据3y x =在R 上单调递增，可判断C 项.【详解】当0c =时，ac bc =，故A 错误；当1a =-，2b =-时，22a b <，故B 错误；因为3y x =在R 上单调递增，且a b >，所以33a b >，故C 正确；当1a =，1b =-时，11a b>，故D 错误.综上，正确的为C .故选：C .4.函数3xy =的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据函数的值域，以及指数函数的图象特征，即可判断选项.【详解】0x ≥，所以31x≥，排除AC ，且3,033,0x xx x x -⎧≥=⎨<⎩，排除D.故选：B5.若奇函数()f x 在区间[]3,7上是增函数，且最小值为5，则它在区间[]7,3--上是（）A.增函数且有最大值5-B.增函数且有最小值5-C.减函数且有最大值5-D.减函数且有最小值5-【答案】A 【解析】【分析】根据奇偶函数的性质直接得出结果.【详解】因为函数()f x 在区间[3,7]上是增函数，且有最小值5，所以(3)5f =，又()f x 为奇函数，所以函数()f x 在区间[7,3]--上是增函数，且有最大值(3)(3)5f f -=-=-.故选：A6.随着我国经济的不断发展，2023年年底某地区农民人均年收入为7000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6％的年平均增长率增长，那么2030年年底该地区的农民人均年收入为（）A.70001.067⨯⨯元B.770001.06⨯元C.70001.068⨯⨯元D.870001.06⨯元【答案】B 【解析】【分析】根据指数增长模型计算即可.【详解】设经过x 年，该地区的农民人均年收入为y 元，根据题意可得7000 1.06x y =⨯，从2023年年底到2030年年底共经过了7年，所以2030年年底该地区的农民人均年收入为770001.06⨯元．故选：B.7.已知0a >，则41a a++的最小值为（）A.1-B.3C.4D.5【答案】D【解析】【分析】根据基本不等式求解即可.【详解】因为0a >，根据基本不等式可得441115a a a a ++=++≥+=，当且仅当4a a=，即2a =时，等号成立；所以41a a++的最小值为5，故选：D.8.如图，已知全集U =R ，集合{}2340A x x x =-->，{}0B x x =>，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{}0x x ≤ B.{}1x x ≥- C.{}10x x -≤≤ D.{}04x x x 或【答案】C 【解析】【分析】解不等式化简集合A ，再结合韦恩图求出阴影部分表示的集合.【详解】依题意，集合{|1A x x =<-或}4x >，而{}0B x x =>，则|1{A B x x =<- 或}0x >，由韦恩图知，图中阴影部分表示的集合为(){|10}U A B x x =-≤≤ ð.故选：C.9.“01a <≤”是“关于x 的不等式2210ax ax -+≥对R x ∀∈恒成立”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先求不等式恒成立时a 的取值范围，再根据集合的关系，即可判断.【详解】不等式2210ax ax -+≥对R x ∀∈恒成立,当0a =时，10≥恒成立，当0a ≠时，2Δ440a a a >⎧⎨=-≤⎩，得01a <≤，所以01a ≤≤，所以“01a <≤”是“关于x 的不等式2210ax ax -+≥对R x ∀∈恒成立”的充分不必要条件.故选：A10.已知函数()25,1,1x ax x f x a x x⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩满足对任意实数12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是（）A.(]0,3 B.[)2,+∞ C.()0,∞+ D.[]2,3【答案】D 【解析】【分析】由题意可知函数()f x 在R 上递减，结合分段函数单调性列式求解即可.【详解】因为函数()f x 满足对任意实数12x x ≠，都有2121()()0f x f x x x -<-成立，不妨假设12x x <，则210x x ->，可得()()210f x f x -<，即()()12f x f x >，可知函数()f x 在R 上递减，则1206a a a a ⎧≥⎪⎪>⎨⎪-+≥⎪⎩，解得：23a ≤≤，所以a 的取值范围是[]2,3.故选：D.11.函数()221,21,2x x f x x x ⎧-<-=⎨-≥-⎩的值域为（）A.31,4⎛⎫--⎪⎝⎭B.[)1,-+∞C.(),-∞+∞ D.31,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】由指数函数与二次函数的图象与性质即可得到函数的值域【详解】当2x -＜时，()21xf x =-因为函数2x y =在(),2-∞-上单调递增，所以函数21x y =+在(),2-∞-上单调递增，又20x >所以()31,4f x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭；当2x ≥-时，()()[]21,1,f x x f x =-∈-+∞，所以，()f x 的值域为[)1,-+∞.故选：B.12.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足M N ⋃=Q ，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称(),M N 为戴德金分割.试判断，对于任一戴金德分割(),M N ，下列选项中一定不成立的是（）A .M 没有最大元素，N 有一个最小元素B.M 没有最大元素，N 也没有最小元素C.M 有一个最大元素，N 有一个最小元素D.M 有一个最大元素，N 没有最小元素【答案】C 【解析】【分析】本题目考察对新概念的理解，举具体的实例证明成立即可，A,B,D 都能举出特定的例子，排除法则说明C 选项错误【详解】若{},0M x Q x =∈<，{},0N x Q x =∈≥；则M 没有最大元素，N 有一个最小元素0；故A 正确；若{,M x Q x =∈<，{,N x Q x =∈≥；则M 没有最大元素，N 也没有最小元素；故B 正确；若{},0M x Q x =∈≤，{},0N x Q x =∈>；M 有一个最大元素，N 没有最小元素，故D 正确；M 有一个最大元素，N 有一个最小元素不可能，故C 不正确.故选：C二、填空题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）13.函数()0f x -=的定义域为______.【答案】11,,222⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】根据函数的形式，列不等式，即可求解.【详解】函数的定义域需满足 ㌴㌴ ，得2x <且12x ≠，所以函数的定义域为11,,222∞⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：11,,222∞⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14.关于a 的不等式的220a -<解集是______.【答案】{a a <<【解析】【分析】因式分解后，即可求解不等式.【详解】(2200a a a -<⇔+-<，得a <<，所以不等式的解集为{a a <<.故答案为：{a a <<15.计算：()33log 927+-=______.【答案】19681-【解析】【分析】根据对数公式和指数运算公式，即可求解.【详解】()33log 92721968319681+-=-=-.故答案为：19681-16.命题“∀x ＞0，x 2+2x -3＞0”的否定是______．【答案】∃x 0＞0，x 02+2x 0-3≤0【解析】【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【详解】命题为全称命题，则命题“∀x ＞0，x 2+2x -3＞0”的否定是为∃x 0＞0，x 02+2x 0-3≤0，故答案为∃x 0＞0，x 02+2x 0-3≤0．【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．17.已知()21g x x =-，当[]2,6x ∈时，函数()g x 的最小值是______，最大值是______.【答案】①.25##0.4②.2【解析】【分析】先判断函数单调性，再根据单调性求最值.【详解】[]12,2,6x x ∀∈，且12x x <，()()()()()211212122221111x x g x g x x x x x --=-=----，因为[]2,6x ∈，12x x <，所以21120,10,10x x x x ->->->，所以()()120g x g x ->，即()()12g x g x >，所以()g x 在[]2,6上为减函数，则()()()()min max 26,225g x g g x g ====，故答案为：25，2.18.如图是一份纸制作的矩形的宣传单，其排版面积（矩形ABCD ）为P ，两边都留有宽为a 的空白，顶部和底部都留有宽为2a 的空白.若2cm a =，2800cm P =，则当AB =______时，才能使纸的用量最少，最少的纸的用量是______.【答案】①.20cm②.21152cm 【解析】【分析】首先设cm AB x =，再根据条件，用x 表示用纸的用量，列式后再用基本不等式，即可求解.【详解】设cm AB x =，纸的用量为S ，则800cm AD x=，所以()()8008002448S x a a x x x ⎛⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，232003200832883281152cm x x x x=++≥+⋅，当32008x x=时，即20cm x =，所以当20cm AB =时，最少的纸的用量为21152cm .故答案为：20cm ；21152cm 19.函数()2f x x x =-+的单调递增区间是______.【答案】1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦和10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】首先去绝对值，将函数写成分段函数的形式，再结合二次函数的单调性，即可求解.【详解】()22,0,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨--<⎩，当0x ≥时，221124y x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦是函数的单调递增区间，当0x <时，221124y x x x ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭，1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦是函数的单调递增区间，所以函数的单调递增区间是1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦和10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦和10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦20.函数10.52x y =+的值域是______.【答案】10,2⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】利用指数函数的值域可得0.522x +>，再利用不等式的性质即可求解.【详解】因为函数10.52xy =+定义域为R ，又0.50x >，所以0.522x +>，所以1100.522x <<+，即10,2y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故答案为：10,2⎛⎫⎪⎝⎭.21.已知函数()243f x x x =-+，()32g x mx m =+-，若对任意[]10,4x ∈，总存在[]20,4x ∈，使()()11220f x x g x +-=成立，则实数m 的取值范围为______.【答案】(][),44,-∞-⋃+∞【解析】【分析】由题意可得两个函数的值域的包含关系，进而可列关于m 的不等式，求解即可.【详解】因为对任意[]10,4x ∈，总存在[]20,4x ∈，使()()11220f x x g x +-=成立，即()()2112g x f x x =+成立，设()()()2222312h x f x x x x x -+=-+=+=，因为[]0,4x ∈，所以()[]2,11h x ∈，当0m =时，()3g x =，不符合题意；当0m >时，可得()[]32,23g x m m ∈-+，则3222311m m -≤⎧⎨+≥⎩，解得4≥m ；当0m <时，可得()[]23,32g x m m ∈+-，则2323211m m +≤⎧⎨-≥⎩，解得4m ≤-；综上所述，实数m 的取值范围为(][),44,-∞-⋃+∞.故答案为：(][),44,-∞-⋃+∞.22.已知函数()()f x x ∈R 满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图象的m 个交点为()()()1122,,,,,,m m x y x y x y ⋅⋅⋅，则()()()1122m m x y x y x y ++++⋅⋅⋅++的值是______.【答案】m【解析】【分析】首先判断两个函数的对称性，再根据对称性，确定交点的对称性，即可求解.【详解】由条件()()2f x f x -=-得，()()2f x f x -+=，所以()y f x =关于点()0,1对称，111x y x x +==+关于点()0,1对称，所以函数1x y x+=与()y f x =图象的m 个交点有2m 对关于点()0,1对称，所以123...0m x x x x ++++=，12...22m m y y y m +++=⨯=，所以()()()1122m m x y x y x y m ++++⋅⋅⋅++=.故答案为：m三、解答题：本大题有5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.23.记全集U =R ，集合{}221,A x a x a a =-≤≤+∈R ，{}37B x x x =≤≥或.（1）若2a =，求A B ⋂，U B ð；（2）若A B ⋃=R ，求a 的取值范围；（3）若A B A = ，求a 的取值范围.【答案】（1）{}|03A B x x ⋂=≤≤，{}|37U B x x =<<ð（2）{}|35a a ≤≤（3）{|1a a ≤或}9a ≥【解析】【分析】（1）根据交集和补集的运算即可求解；（2）根据题意可得到有关a 的一个方程组，求解即可；（3）分A =∅和A ≠∅两种情况求解即可.【小问1详解】若2a =，则{}05A x x =≤≤，又{3B x x =≤或7}x ≥，则{}|03A B x x ⋂=≤≤，{}|37U B x x =<<ð；【小问2详解】集合{}221,A x a x a a =-≤≤+∈R ，{3B x x =≤或7}x ≥，A B ⋃=R ，所以23217a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得35a ≤≤，所以a 的取值范围为{}|35a a ≤≤；【小问3详解】因为A B A = ，则A B ⊆，{}221,A x a x a a =-≤≤+∈R ，{3B x x =≤或7}x ≥，当A =∅时，221a a ->+，解得3a <-；当A ≠∅时，221213a a a -≤+⎧⎨+≤⎩或22127a a a -≤+⎧⎨-≥⎩，解得31a -≤≤或9a ≥，综上,若A B A = ，求a 的取值范围为{|1a a ≤或}9a ≥.24.已知函数()22f x x mx =-（1）当[]0,1x ∈，()f x 的最大值为3，求实数m 的值.（2）当11t -≤≤时，若不等式()22f t t >-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1m =-（2）51|22m m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质，分情况讨论即可；（2）先根据不等式得到()22220t m t -++>在[]1,1t ∈-上恒成立，令()()2222h t t m t =-++，分析该函数对称轴与区间的关系，只需让区间上最小值大于零即可.【小问1详解】已知()()2222f x x mx x m m =-=--，当0m ≤时，函数()f x 在[]0,1x ∈上递增，所以()()max 1123f x f m ==-=，解得1m =-；当1m ≥时，函数()f x 在[]0,1x ∈上递减，所以()()max 003f x f ==≠，矛盾；当01m <<时，函数()f x 在[)0,x m ∈上递减，在[],1m 上递增，所以()()max 003f x f ==≠或()()max 1123f x f m ==-=，解得1m =-，均不符合题意；综上1m =-；【小问2详解】当11t -≤≤时，若不等式()22f t t >-恒成立，即2222t mt t ->-在[]1,1t ∈-上恒成立，即()22220t m t -++>在[]1,1t ∈-上恒成立，令()()2222h t t m t =-++，该函数对称轴为1t m =+，①当11m +≥，即0m ≥时，函数()h t 在[]1,1t ∈-上递减，只需让()()min 10h t h =>即可，则()()112220h m =-++>，解得12m <，即102m ≤<；②当111m -<+<，即20m -<<时，此时()()()()()2min 1122120h t h m m m m =+=+-+++>，解得11m -<<-，即20m -<<；③当11m +≤-，即2m ≤-时，函数()h t 在[]1,1t ∈-上递增，此时()()112220h m -=+++>，解得52m >-，即522m -<≤-；综上m 的取值范围为51|22m m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.25.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表：每户每月用水量水价不超过123m 的部分3元/3m 超过123m 但不超过183m 的部分6元/3m 超过183m 的部分9元/3m （1）求出每月用水量和水费之间的函数关系；（2）若某户居民某月交纳的水费为54元，则此月此户居民的用水量为多少？【答案】（1）3,012636,1218990,18x x y x x x x ⎧⎪=-<⎨⎪->⎩（2）153m 【解析】【分析】（1）先分别求出每一段的函数解析式，再写成分段函数的形式即可；（2）由（1）分012x ，1218x <，18x >三种情况讨论即可的解．【小问1详解】解：当012x 时，3y x =，当1218x <时，3126(12)636y x x =⨯+⨯-=-，当18x >时，312669(18)990y x x =⨯+⨯+⨯-=-，y ∴关于x 的函数解析式为：3,012636,1218990,18x x y x x x x ⎧⎪=-<⎨⎪->⎩；【小问2详解】解：当012x 时，354y x ==，解得18x =舍去，当1218x <时，63654y x =-=，解得15x =，当18x >时，99054y x =-=，解得16x =舍去，综上所述，若某户居民某月交纳的水费为54元，则此月此户居民的用水量为153m .26.已知函数()21ax b f x x +=+是定义在 上的奇函数，且1225f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的解析式以及零点.（2）判断并用函数单调性的定义证明()f x 在 t 的单调性.（3）根据前面所得的结论在所给出的平面直角坐标系上，作出()f x 在定义域 上的准确示意图.【答案】（1）()21x f x x =-+，零点为0（2）函数()21x f x x =-+在[]1,0x ∈-上单调递减，证明见详解；（3）图象见详解.【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质和1225f ⎛⎫=-⎪⎝⎭可解得a ，b 的值，即可得函数的解析式；令()0f x =可解得函数的零点；（2）利用函数单调性的定义证明即可；（3）根据函数的性质画出函数的图象即可.【小问1详解】因为函数()21ax b f x x +=+是定义在 上的奇函数，所以()00f =，解得0b =，又1225f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即21225112a =-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，解得1a =-，所以()21x f x x =-+，令()0f x =得201x x -=+，解得0x =，即函数的零点为0；【小问2详解】函数()21x f x x =-+在[]1,0x ∈-上单调递减；证明：设1210x x -≤<≤，则()()()()()()121212122222121211111x x x x x x f x f x x x x x ---=-+=++++，因为1210x x -≤<≤，所以120x x -<，1210x x -<，㌴㌴ ，所以 ㌴ ㌴，即()()12f x f x >，所以函数()21x f x x =-+在[]1,0x ∈-上单调递减；【小问3详解】函数()f x 的图像如下：27.设集合A 为非空数集，定义{}|,,A x x a b a b A +==+∈，{}|,,A x x a b a b A -==-∈．（1）若{}1,1A =-，写出集合A +、A -；（2）若{}1234,,,A x x x x =，1234x x x x <<<，且A A -=，求证：1423x x x x +=+；（3）若{}|02021,N A x x x ⊆≤≤∈，且AA +-=∅ ，求集合A 元素个数的最大值．【答案】（1）{}2,0,2A +=-，{}0,2A =（2）证明见解析（3）1348【解析】【分析】（1）根据定义{}|,,A x x a b a b A +==+∈，{}|,,A x x a b a b A -==-∈，直接求解即可，（2）由题意利用集合A 中的元素间的关系及可证明，（3）由题意建立集合间的关系，并列出不等式求k 的范围，即可求出最大值．【小问1详解】由题意，得{}2,0,2A +=-，{}0,2A =，【小问2详解】证明：因为{}1234,,,A x x x x =，1234x x x x <<<，且A A -=，所以集合A -也有四个元素，且都为非负数，因为12||0x x A --=∈，又因为A A -=，所以0A ∈且10x =，所以集合A -中其他元素为220x x -=，330x x -=，440x x -=，即{}2131410,,,}A x x x x x x -=---，剩下的324321x x x x x x -=-=-，因为1324240x x x x x x =<-<-<，所以322x x x -=，423x x x -=即4231x x x x -=-，即1423x x x x +=+，所以1423x x x x +=+【小问3详解】设{}123,,,,k A a a a a = ，满足题意，其中123k a a a a <<<< ，因为11213123122k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a -<+<+<<+<+<+<<+< ，所以21A k +≥-，因为1121311k a a a a a a a a -<-<-<<- ，所以||A k -≥，因为A A +-=∅ ，所以31A A A A k +-+-⋃=+≥-，A A +- 中最小的元素为0，最大的元素为2k a ，所以*21,31214043(N ),1348k k A A a k a k k +-⋃≤+-≤+≤∈≤，实际当{}674,675,676,,2020A = ，时满足题意，证明如下：设{},1,2,2021A m m m =++ ，N m ∈，则{}2,21,22,4040A m m m +=++ ，{}0,1,2,2020A m -=- ，由题意得20202m m -<，即16733m >，故m 的最小值为674．即{}674,675,676,,2021A = 时，满足题意，综上所述，集合A 中元素的个数为202167411348-+=（个)．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是能够结合题意得到*21,31214043(N ),1348k k A A a k a k k +-⋃≤+-≤+≤∈≤，进而证明{}674,675,676,,2021A = 符合题意.。
吉林省白城市第一中学2024-2025学年高一上学期10月期中考数学试题(含答案)
白城市第一中学2024-2025学年度高一上学期期中考试数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知函数()21010x x f x x ⎧+≤=⎨>⎩，，，若()()423f x f x >--，则实数x 的取值范围是（）A.()1，-+∞ B.()1-∞-，C.()14-，D.()1-∞，2.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x 应为（）A.10mB.15mC.20mD.25m3.若()f x 是定义在R 上的单调递增函数，则下列四个命题中正确的有（1）若00()>f x x ，则[]00()>f f x x ；（2）若[]00()>ff x x ，则00()>f x x ；（3）若()f x 是奇函数，则[()]f f x 也是奇函数；（4）若()f x 是奇函数，则1212()()00+=⇔+=f x f x x x ．A.4个B.3个C.2个D.1个4.已知实数,x y 满足24460x xy y +++=，则y 的取值范围是（）A.{}|32y y -≤≤B.{}|23y y -≤≤C.{}{}|2|3y y y y ≤-≥ D.{}{}|3|2y y y y ≤-≥ 5.设,x y 是两个实数，命题“,x y 中至少有一个数大于1”的充分条件是（）A.2x y += B.2x y +> C.222x y +> D.1xy >6.当02x ≤≤时，22a x x <-+恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.1a ≤ B.0a ≤ C.a<0 D.0a >7.已知函数()f x 是R 上的奇函数，对任意的()12,,0x x ∞∈-，()()()211212120,x f x x f x x x x x ->≠-，设()1523,,1325a f b f c f ⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A .a b c>> B.c a b >> C.c b a >> D.b c a>>8.若定义在()(),00,-∞+∞ 上的函数()f x 同时满足：①()f x 为奇函数；②对任意的()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，则称函数()f x 具有性质P ．已知函数()f x 具有性质P ，则不等式()()2422f x f x x --<+的解集为（）A.(),1∞--B.()3,2-C.()(),31,2-∞-- D.()(),32,-∞-⋃+∞二、多项选择题（本大题共4小题.每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.设函数()y f x =的定义域为R ，对于任一给定的正数p ，定义函数()()()(),,p f x f x p f x p f x p ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则称函数()p f x 为()f x 的“p 界函数”.若给定函数()221f x x x =--，2p =，则下列结论正确的是（）A.()()()()00p p f f f f = B.()()()()11p p f f f f =C.()()()()22ppff f f = D.()()()()33ppff f f =10.以数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名的“高斯函数”为[]y x =，其中x ⎡⎤⎣⎦表示不超过x 的最大整数，例如[]3.23=，[]1.52-=-，则（）A.R x ∀∈，[][]11x x --=B.不等式[][]22x x -≤的解集为{}13x x -≤<C.当1x ≥，3x x ⎡⎤+⎣⎦⎡⎤⎣⎦的最小值为D.方程[]243x x =+的解集为11.若存在常数k 和b 使得函数()F x 和()G x 分别对其定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()223R f x x x x =-∈，()()10g x x x=<，若使直线4y x b =-+为函数()f x 和()g x 之间的隔离直线，则实数b 的取值可以为（）A.0B.－1C.－3D.－5（2023·浙江省余姚中学期中）12.已知,0,260x y x y xy >++-=，则（）A.xy的最大值为B.2x y +的最小值为4C.x y +的最小值为3-D.22(2)(1)x y +++的最小值为16三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知实数0a >，0b >，且111a b+=，则3211a b +--的最小值为___________.14.若关于x 的一元二次方程()22210a x ax a --++=没有实数解，则不等式30ax +>的解集__________．15.若,a b R ∈，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________.16.若定义在区间[]2021,2021-上的函数()f x 满足：对于任意的[]12,2021,2021x x ∈-，都有()()()12122023f x x f x f x +=+-，且0x >时，有()2023f x >，()f x 的最大值为M ，最小值为N ，则()0f =______，M N +的值为______．四、解答题：写出必要的文字描述、解题过程.共6题.17.经观测，某公路段在某时段内的车流量y （千辆/小时）与汽车的平均速度v （千米/小时）之间有函数关系：()2920031600=>++vy v v v ．（1）在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时车流量y 最大？最大车流量为多少？（精确到0.01）（2）为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？18.（1）若()21,,204b x ax a x b =-∀∈+++≤R ，求a 的取值范围；（2）若22b a =--（a R ∈），求关于x 的不等式()220ax a x b +++≤的解集.19.已知关于x 的不等式20x ax b ++<的解集为()1,2，试求关于x 的不等式210bx ax ++>的解集．20.已知函数()()22323x x x f x -=<-≤+.（1）用分段函数的形式表示函数op ；（2）画出函数op 的图象；（3）写出函数op 的值域.21.已知函数()()01axf x a x =≠+．（1）当0a >时，判断()f x 的单调性；（2）若()f x 在区间[]1,2上的最大值为43．（i ）求实数a 的值；（ii ）若函数()()0b g x x b x =+>，是否存在正实数b ，使得对区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任意三个实数r ，s ，t ，都存在以()()g f r ，()()g f s ，()()g f t 为边长的三角形？若存在，求实数b 的取值范围；若不存在，请说明理由．（2023·四川省攀枝花市第三高级中学月考）22.已知______，且函数()14212x x xa g x b+-⋅+=+．①函数()()0f x ax b a =+>在[]1,2上的值域为[]2,4；②函数()()224f x x a x =+-+在定义域[]1,1b b -+上为偶函数．请你在①②两个条件中选择一个条件，将上面的题目补无完整．（1）求a ，b 的值；（2）求函数()g x 在[]1,2-上的值域；（3）设()()2log 22xh x x m =+-，若1R x ∃∈，[]22,2x ∃∈-使得()()12g x h x <成立，求m 的取值范围．白城市第一中学2024-2025学年度高一上学期期中考试数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知函数()21010x x f x x ⎧+≤=⎨>⎩，，，若()()423f x f x >--，则实数x 的取值范围是（）A.()1，-+∞ B.()1-∞-，C.()14-，D.()1-∞，【答案】C 【解析】【分析】根据函数的解析式，分析函数的单调性，进而可将(4)(23)f x f x ->-转化为：40230x x -<⎧⎨-⎩或4230x x -<- ，解得答案．【详解】 函数21,0()1,0x x f x x ⎧+=⎨>⎩，∴函数在(-∞，0]上为减函数，在(0,+∞)上函数值保持不变，若(4)(23)f x f x ->-，则40230x x -<⎧⎨-⎩或4230x x -<-，解得：(1,4)x ∈-，故选：C ．【点睛】本题主要考查的知识点是分段函数的解析式、单调性，函数单调性的应用，难度中档．2.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x 应为（）A.10mB.15mC.20mD.25m【答案】C 【解析】【分析】设出矩形花园的宽为y m ，根据相似得到方程，求出40y x =-，从而表达出矩形花园的面积，配方求出最大值，并得到相应的x .【详解】设矩形花园的宽为y m ，则404040x y -=，即40y x =-，矩形花园的面积()()22404020400S x x x x x =-=-+=--+，其中()0,40x ∈，故当20x =m 时，面积最大.故选：C3.若()f x 是定义在R 上的单调递增函数，则下列四个命题中正确的有（1）若00()>f x x ，则[]00()>f f x x ；（2）若[]00()>ff x x ，则00()>f x x ；（3）若()f x 是奇函数，则[()]f f x 也是奇函数；（4）若()f x 是奇函数，则1212()()00+=⇔+=f x f x x x ．A.4个 B.3个C.2个D.1个【答案】A 【解析】【分析】利用单调性判断①；利用单调性与反证法判断②；利用奇偶性的定义判断③;利用奇偶性以及单调性判断④.【详解】对于①,()f x 是定义在R 上的单调递增函数,若()00f x x >,则()()000f f x f x x >>⎡⎤⎣⎦,故①正确;对于②,当()00f f x x >⎡⎤⎣⎦时,若()00f x x ≤,由()f x 是定义在R 上的单调递增函数得()()000f f x f x x ≤≤⎡⎤⎣⎦与已知矛盾,故②正确;对于③,若()f x 是奇函数,则()()()f f x f f x f f x -=-=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦,()f f x ∴⎡⎤⎣⎦也是奇函数,故③正确;对于④,当()f x 是奇函数,且是定义在R 上的单调递增函数时,若()()120f x f x +=,则()()()12212120f x f x f x x x x x =-=-⇒=-⇒+=,若()()()()()12121221200x x x x f x f x f x f x f x +=⇒=-⇒=-=-⇒+=,故④正确;故选A.【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的单调性、函数的奇偶性.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.4.已知实数,x y 满足24460x xy y +++=，则y 的取值范围是（）A.{}|32y y -≤≤B.{}|23y y -≤≤C.{}{}|2|3y y y y ≤-≥ D.{}{}|3|2y y y y ≤-≥ 【答案】C 【解析】【分析】利用一元二次方程有解，可得判别式大于等于零可求解.【详解】由题意知，关于x 的一元二次方程有解，则21616(6)0y y ∆=-+≥，即260y y --≥，解得2y ≤-或3y ≥.所以y 的取值范围是{}{}|2|3y y y y ≤-≥ .故选：C.5.设,x y 是两个实数，命题“,x y 中至少有一个数大于1”的充分条件是（）A.2x y += B.2x y +> C.222x y +> D.1xy >【答案】B 【解析】【分析】用赋值法，取不同的x 与y 代入，可排除A 、C 、D.【详解】对于A ，当1,1x y ==时，满足2x y +=，但命题不成立；对于C ，D ，当2,3x y =-=-时，满足222x y +>，1xy >，但命题不成立.故选：B.6.当02x ≤≤时，22a x x <-+恒成立，则实数a 的取值范围是（）A .1a ≤ B.0a ≤ C.a<0D.0a >【答案】C 【解析】【分析】根据恒成立问题结合二次函数最值分析求解.【详解】记2()2,02f x x x x =-+≤≤，则min )[0,2],(a f x x <∈．而22()2(1)1f x x x x =-+=--+，当02x ≤≤时，min ()(0)(2)0f x f f ===，所以实数a 的取值范围是a<0.故选C ．7.已知函数()f x 是R 上的奇函数，对任意的()12,,0x x ∞∈-，()()()211212120,x f x x f x x x x x ->≠-，设()1523,,1325a f b f c f ⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c >>B.c a b>> C.c b a>> D.b c a>>【答案】A 【解析】【分析】确定数()()f x g x x=在(),0-∞上单调递增，()g x 是()(),00,-∞+∞ 上的偶数，变换得到13a g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，25b g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1c g =-，根据单调性得到答案.【详解】()()()211212120,x f x x f x x x x x ->≠-，即()()()121212120,f x f x x x x x x x ->≠-，故函数()()f x g x x=在(),0-∞上单调递增，()f x 是R 上的奇函数，故()g x 是()(),00,-∞+∞ 上的偶数，1113333a f g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，522255b f g ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()111c f g g ===-.12135->->-，故a b c >>.故选：A8.若定义在()(),00,-∞+∞ 上的函数()f x 同时满足：①()f x 为奇函数；②对任意的()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，则称函数()f x 具有性质P ．已知函数()f x 具有性质P ，则不等式()()2422f x f x x --<+的解集为（）A.(),1∞--B.()3,2-C.()(),31,2-∞-- D.()(),32,-∞-⋃+∞【答案】C 【解析】【分析】构造函数()()f x g x x=，由题意可以推出函数()()f x g x x=的奇偶性、单调性，然后对x 进行分类讨论解不等式即可.【详解】因为对任意的()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，即对任意两个不相等的正实数12,x x 不妨设120x x <<，都有()()()()21121212121212x f x x f x f x f x x x x x x x x x --=<--，所以有()()1212f x f x x x >，所以函数()()f x g x x=是()0,∞+上的减函数，又因为()f x 为奇函数，即有()(),00,x ∀∈-∞⋃+∞，有()()f x f x -=-，所以有()()()()()f x f x f x g x g x xxx---====--，所以()g x 为偶函数，所以()g x 在(),0-∞上单调递增．当20x ->，即2x >时，有240x ->,由()()2422f x f x x --<+，得()()224224f x f x x x --<--，所以224x x ->-，解得<2x -，此时无解；当20x -<，即2x <时，由()()2422f x f x x --<+，得()()224224f x f x x x -->--，所以224x x -<-，解得3x <-或12x -<<．综上所述，不等式()()2422f x f x x --<+的解集为()(),31,2-∞-- ．故选：C.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由已知条件去构造函数()()f x g x x=，并结合已知导出其函数性质，从而分类讨论解不等式即可.二、多项选择题（本大题共4小题.每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.设函数()y f x =的定义域为R ，对于任一给定的正数p ，定义函数()()()(),,p f x f x p f x p f x p ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则称函数()p f x 为()f x 的“p 界函数”.若给定函数()221f x x x =--，2p =，则下列结论正确的是（）A.()()()()00p p f f f f = B.()()()()11p p f f f f =C.()()()()22ppff f f = D.()()()()33ppff f f =【答案】ACD 【解析】【分析】结合“p 界函数”的定义可确定函数解析式，再结合分段函数性质可得函数值，进而判断各选项.【详解】因为()221f x x x =--，2p =，令2212x x --≤，即2230x x --≤，解得13x -≤≤，则()2221,132,13x x x f x x x ⎧---≤≤⎪=⎨-⎪⎩或，A 选项：()()()2012p f f f =-=，()()()012pf f f =-=，即()()()()00ppf f f f =，A 选项正确；B 选项：()()()2122p f f f =-=，()()()127pf f f =-=，即()()()()11p pf f f f ≠，B 选项错误；C 选项：()()()212f f f =-=，()()()()()2222212ppf f f f f ==-=即()()()()22ppf f f f =，C选项正确；D 选项：()()()321ff f ==-，()()()()()2223321ppf f f f f ===-，即()()()()33ppf f f f =，D选项正确；故选：ACD.10.以数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名的“高斯函数”为[]y x =，其中x ⎡⎤⎣⎦表示不超过x 的最大整数，例如[]3.23=，[]1.52-=-，则（）A.R x ∀∈，[][]11x x --=B.不等式[][]22x x -≤的解集为{}13x x -≤<C.当1x ≥，3xx ⎡⎤+⎣⎦⎡⎤⎣⎦的最小值为D.方程[]243x x =+的解集为【答案】AB 【解析】【分析】设x 的整数部分为a ，小数部分为b ，则[]x a =，则[]11x a -=-得到A 正确，解不等式得到[]12x -≤≤，计算B 正确，均值不等式等号条件不成立，C 错误，举反例得到D 错误，得到答案.【详解】对选项A ：设x 的整数部分为a ，小数部分为b ，则[]x a =，1x -的整数部分为1a -，[]11x a -=-，故[][]11x x --=，正确；对选项B ：[][]22x x -≤，则[]12x -≤≤，故13x -≤<，正确；对选项C ：3x x ⎡⎤+≥=⎣⎦⎡⎤⎣⎦，当且仅当3x x ⎡⎤=⎣⎦⎡⎤⎣⎦，即x ⎡⎤=⎣⎦时成立，x ⎡⎤=⎣⎦不成立，故等号不成立，错误；对选项D ：取x =，则[]4x =，代入验证成立，错误；故选：AB11.若存在常数k 和b 使得函数()F x 和()G x 分别对其定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()223R f x x x x =-∈，()()10g x x x=<，若使直线4y x b =-+为函数()f x 和()g x 之间的隔离直线，则实数b 的取值可以为（）A.0B.－1C.－3D.－5【答案】BC 【解析】【分析】根据题意得到2234x x x b -≥-+，计算180b ∆=+≤得到一个范围，再根据双勾函数的单调性得到函数()14K x x x=+的最大值，综合得到答案.【详解】2234x x x b -≥-+，即220x x b +-≥恒成立，故180b ∆=+≤，解得18b ≤-；14x b x ≤-+，即14x b x+≤，函数()14K x x x =+在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，故()max 142K x K ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故b 4≥-.综上所述：14,8b ⎡⎤∈--⎢⎣⎦.故选：BC.（2023·浙江省余姚中学期中）12.已知,0,260x y x y xy >++-=，则（）A.xy的最大值为B.2x y +的最小值为4C.x y +的最小值为3-D.22(2)(1)x y +++的最小值为16【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，对不等式变形为26x y xy +=-，利用基本不等式得到6xy -≥，求出xy 的最大值；B 选项，将不等式变形为()62xy x y =-+，利用基本不等式得到()()22628x y x y +-+≤，求出2x y +的最小值；C 选项，对不等式变形为()()16y x x y +=-+，利用()()2114y x y x +++≤求解x y +的最小值；D 选项，不等式变形为()()218x y ++=，利用基本不等式求出和的最小值.【详解】由260x y xy ++-=得：26x y xy +=-，因为,0x y >，所以260x y xy +=->，所以06xy <<，由基本不等式可得：2x y +≥当且仅当2x y =时，等号成立，此时6xy -≥，解得：18xy ≥或2xy ≤，因为6xy <，所以18xy ≥舍去，故xy 的最大值为2，A 错误；由260x y xy ++-=得：()62xy x y =-+，因为,0x y >，所以()620x y -+>，所以026x y <+<，由基本不等式可得：()2224x y xy +≤，当且仅当2x y =时等号成立，即()()22628x y x y +-+≤，解得：24x y +≥或212x y +≤-，因为026x y <+<，所以212x y +≤-舍去，故2x y +的最小值为4，B 正确；由260x y xy ++-=变形为()16x y y x +++=，则()()16y x x y +=-+，由基本不等式得：()()2114y x y x +++≤，当且仅当1y x =+时等号成立，此时()()2164y x x y ++-+≤，令()0x y t t +=>，则由()2164t t +-≤，解得：3t -≥或3t -≤（舍去）所以x y +的最小值为3-，C 正确；由260x y xy ++-=可得：()()218x y ++=，从而22(2)(1)2(2)(1)2816x y x y +++≥++=⨯=当且仅当21x y +=+时，即2x =-，1y =-等号成立，故22(2)(1)x y +++最小值为16.故选：BCD ，三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知实数0a >，0b >，且111a b +=，则3211a b +--的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】利用111a b +=可得3211a b +--325b a =+-，根据()113232325b a b a b a a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭和基本不等式求出32b a +的最小值，从而可得解.【详解】根据题意得到111a b+=，变形为()()111ab a b a b =+⇒--=，则3211a b +--()()32532511b a b a a b +-==+---,因为111a b +=，故得到()1132323255b a b a b a a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭,当且仅当32b a ba=时等号成立.故3211a b +--≥故答案为：【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，属于基础题14.若关于x 的一元二次方程()22210a x ax a --++=没有实数解，则不等式30ax +>的解集__________．【答案】3|x x a ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭【解析】【详解】试题分析：因为关于x 的一元二次方程()22210a x ax a --++=没有实数解，所以()()2=44210a a a ∆--+<，可得320,3,a ax x a <--∴<- ，故答案为3x|x a ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭．考点：1、一元二次方程根与系数的关系；2、不等式的性质．15.若,a b R ∈，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________.【答案】4【解析】【详解】44224141144a b a b ab ab ab ab +++≥=+≥=，（前一个等号成立条件是222a b =，后一个等号成立的条件是12ab =，两个等号可以同时取得，则当且仅当22,24a b ==时取等号）.【考点】均值不等式【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1）22,,2a b a b ab ∈+≥R ，当且仅当a b =时取等号；（2）,a b R +∈，a b +≥，当且仅当a b =时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.16.若定义在区间[]2021,2021-上的函数()f x 满足：对于任意的[]12,2021,2021x x ∈-，都有()()()12122023f x x f x f x +=+-，且0x >时，有()2023f x >，()f x 的最大值为M ，最小值为N ，则()0f =______，M N +的值为______．【答案】①.2023②.4046【解析】【分析】根据题意，取特殊点，结合单调性的定义，可得答案.【详解】∵对于任意的[]12,2021,2021x x ∈-，都有()()()12122023f x x f x f x +=+-，∴令120x x ==，得()02023f =，再令120x x +=，将()02023f =代入可得()()4046f x f x +-=，设12x x <，[]12,2021,2021x x ∈-则210x x ->，()()()21212023f x x f x f x -=+--∴()()2120232023f x f x +-->，又()()114046f x f x -=-，∴可得()()21f x f x >，即函数()f x 是严格增函数，∴()()max 2021f x f =，()()min 2021f x f =-，又∵()()202120214046f f +-=，∴M N +的值为4046．故答案为：2023；4046四、解答题：写出必要的文字描述、解题过程.共6题.17.经观测，某公路段在某时段内的车流量y （千辆/小时）与汽车的平均速度v （千米/小时）之间有函数关系：()2920031600=>++vy v v v ．（1）在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时车流量y 最大？最大车流量为多少？（精确到0.01）（2）为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？【答案】（1）当40v =（千米/小时）时，车流量最大，最大值约为11.08千辆/小时；（2）汽车的平均速度应控制在[]25,64这个范围内（单位：千米/小时）.【解析】【分析】（1）利用基本不等式可求得y 的最大值，及其对应的v 值，即可得出结论；（2）解不等式29201031600vv v ≥++即可得解.【小问1详解】解：0v >，292092092011.08160031600833v y v v v v ==≤≈++++（千辆/小时），当且仅当1600v v=时，即当40v =（千米/小时）时，车流量最大，最大值约为11.08千辆/小时.【小问2详解】解：据题意有29201031600vv v ≥++，即28916000v v -+≤，即()()25640v v --≤，解得2564v ≤≤，所以汽车的平均速度应控制在[]25,64这个范围内（单位：千米/小时）.18.（1）若()21,,204b x ax a x b =-∀∈+++≤R ，求a 的取值范围；（2）若22b a =--（a R ∈），求关于x 的不等式()220ax a x b +++≤的解集.【答案】（1）[]4,1--；（2）见解析【解析】【分析】（1）对a 分两种情况讨论，结合二次函数的图像和性质求出a 的取值范围；（2）原不等式等价于()()2210ax a x ++-≤.再对a 分类讨论解不等式得解.【详解】（1）当0a =时，不等式可化为1204x -≤，显然在R 上不恒成立，所以0a ≠.当0a ≠时，则有()20,20,a a a <⎧⎪⎨∆=++≤⎪⎩解得41a -≤≤-.故a 的取值范围为[]4,1--.（2）()22220ax a x a ++--≤等价于()()2210ax a x ++-≤.①当0a =时，()210x -≤，原不等式的解集为−∞,1.②当0a >时，220a a +-<，原不等式的解集为22,1a a +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.③当0a <时，22321a a aa ++--=-.若()222,1033a x =---≤，原不等式的解集为R；若23222,0,3a a a a a ++<--<-<1，原不等式的解集为[)22,1,a a +⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ ；若232220,0,13a a a a a ++-<<->->，原不等式的解集为(]22,1,a a +⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭ .【点睛】本题主要考查二次型不等式的恒成立问题，考查解二次型的不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.已知关于x 的不等式20x ax b ++<的解集为()1,2，试求关于x 的不等式210bx ax ++>的解集．【答案】12x x ⎧<⎨⎩或>1．【解析】【分析】由题意可知，关于x 的方程20x ax b ++=的两个根为1、2，利用韦达定理可求得a 、b 的值，进而可求得不等式210bx ax ++>的解集.【详解】由题意可知，关于x 的方程20x ax b ++=的两个根为1、2，由韦达定理得1212a b -=+⎧⎨=⨯⎩，即32a b =-⎧⎨=⎩，所以，不等式210bx ax ++>为22310x x -+>，即()()2110x x -->，解得12x <或1x >.因此，不等式210bx ax ++>的解集为12x x ⎧<⎨⎩或>1．【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，同时也考查了利用一元二次不等式的解集求参数，考查计算能力，属于基础题.20.已知函数()()22323x x x f x -=<-≤+.（1）用分段函数的形式表示函数op ；（2）画出函数op 的图象；（3）写出函数op 的值域.【答案】（1）()2,2012,033x x f x x x +-<≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩；（2）图象答案见解析；（3）(]0,2.【解析】【分析】（1）分20x -<≤和03x <≤两种情况去掉绝对值可求出函数的解析式；（2）根据（1）的解析式画出函数的图像；（3）根据函数图像可求出函数的值域【详解】（1）()2,2012,033x x f x x x +-<≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩.（2）函数op 的图象如下图所示.（3）由图得函数op 的值域为(]0,2.【点睛】此题考查分段函数，考查由函数解析式画函数图像，根据图像求出函数的值域，属于基础题21.已知函数()()01axf x a x =≠+．（1）当0a >时，判断()f x 的单调性；（2）若()f x 在区间[]1,2上的最大值为43．（i ）求实数a 的值；（ii ）若函数()()0b g x x b x =+>，是否存在正实数b ，使得对区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任意三个实数r ，s ，t ，都存在以()()g f r ，()()g f s ，()()g f t 为边长的三角形？若存在，求实数b 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）在(),1∞--和()1,-+∞上单调递增（2）（i ）2a =；（ii ）存在，15153b b ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】（1）根据单调性的定义判断单调性；（2）（i ）根据题意，分别对a<0和0a >两种情况讨论单调性，即可得出结果；（ii ）由题意()()0bg x x b x=+>，可证得()g x 在(为减函数，在)+∞为增函数，设()m f x =，1,13m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()0b b g m m m =+>，从而把问题转化为1,13m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()min max 2g m g m >时，求实数b 的取值范围．结合()()0b b g m m m=+>的单调性，分109b <≤，1193b <≤，113b <<，1b ≥四种情况讨论即可求得答案.【小问1详解】由题意得(),111ax a f x a x x x ==-≠-++．设12,(,1)x x ∀∈-∞-且12x x <，则()()()()()11212212=1111a x x a a a a x x x x x f x f -⎛⎫--- ⎪=+⎭-+++⎝，因为121x x <<-，所以120x x -<，()()12110x x ++>，当0a >时，()()120f x f x -<，即()()12f x f x <.所以()1a f x a x =-+在(),1∞--上单调递增；同理可得，()1a f x a x =-+在()1,-+∞上单调递增.故()f x 在(),1∞--和()1,-+∞上单调递增.【小问2详解】（i ）()f x 在区间[]1,2上的最大值为43．①当a<0时，同理（1）可知，函数()1a f x a x =-+在区间[]1,2上单调递减，∴()()max 41223a a f x f a ==-==，解得823a =>（舍去）；②当0a >时，函数()1a f x a x =-+在区间[]1,2上单调递增，∴()()max 242333a a f x f a ==-==，解得[]1,22a =∈．综上所述，2a =．（ii ）由（i ）知，()221f x x =-+，且()f x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增．∴()()115f f x f ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤≤，即()113f x ≤≤，∴()f x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦．讨论函数()()0b g x x b x=+>：令120x x <<，则()()()12121212121b b b g x g x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当(12,x x ∈时，()121210b x x x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以()()12g x g x >，()g x 为减函数；当)12,x x ∈+∞时，()121210b x x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，所以()()12g x g x <，()g x 为增函数；∴()g x 在(为减函数，在)+∞为增函数，令()m f x =，则1,13m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()()()()0b g f x g m m b m==+>．在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任意三个实数r ，s ，t ，都存在以()()g f r ，()()g f s ，()()g f t 为边长的三角形，等价于1,13m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()min max 2g m g m >．①当103<≤，即109b <≤时，()b g m m m =+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()()min max 13,13g m b g m b =+=+，由()()minmax 2g m g m >，即2613b b +>+，得115b >，∴11159b <≤；②当1193b <≤时，()b g m m m =+在13⎡⎫⎢⎣⎭上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∴()()ma min x 1g m g m b ==+，由()()min max 2g m g m >，即1b >+，得21410b b -+<，解得77b -<<+1193b <≤；③当113b <<时，()b g m m m =+在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∴()()m x min a 133g m g m b ==+，由()()min max 2g m g m >，即133b >+，得2191409b b -+<，解得74374399b -+<<，∴113b <<；④当1b ≥时，()b g m m m =+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴()()min max 11,33g m b g m b =+=+，由()()min max 2g m g m >，即12233b b +>+，解得53b <，∴513b ≤<．综上所述，实数b 的取值范围为15153b b ⎧⎫<<⎨⎩⎭．【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是结合对勾函数的图象与性质，通过对b 的分类讨论从而得到不等式，解出即可.（2023·四川省攀枝花市第三高级中学月考）22.已知______，且函数()14212x x x a g x b+-⋅+=+．①函数()()0f x ax b a =+>在[]1,2上的值域为[]2,4；②函数()()224f x x a x =+-+在定义域[]1,1b b -+上为偶函数．请你在①②两个条件中选择一个条件，将上面的题目补无完整．（1）求a ，b 的值；（2）求函数()g x 在[]1,2-上的值域；（3）设()()2log 22x h x x m =+-，若1R x ∃∈，[]22,2x ∃∈-使得()()12g x h x <成立，求m 的取值范围．【答案】（1）选①根据单调性及值域列方程组求解；选②利用奇偶性列方程组求解（2）12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（3）12m >【解析】【分析】（1）选①，根据根据单调性及值域列方程组求解；选②根据函数为偶函数列方程组求解；（2）直接根据函数单调性求值域；（3）将1R x ∃∈，[]22,2x ∃∈-使得()()12g x h x <成立转化为()()2min 1g x h x <，先利用函数单调性求出()in 1m 2g x =-，即得则[]22,2x ∃∈-使得()()22222log 22x h x x m =+->-成立，继续转化为22min 112242x x m ⎛⎫>+⋅ ⎪⎝⎭，利用基本不等式最小值即可.【小问1详解】选①，函数()()0f x ax b a =+>在[]1,2上单调递增，故()()12224f a b f a b ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，解得2,0a b ==；选②，函数()()224f x x a x =+-+在定义域[]1,1b b -+上为偶函数故202110a b b -⎧=⎪⎨⎪-++=⎩，解得2,0a b ==；【小问2详解】由（1）得()1422112422x x x x x g x +-⋅+==+-，令12,42x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，[]1,2x ∈-，则()14g x t t =+-，1,42t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由对勾函数的性质可得1y x x =+在()0,1上递减，()1,+∞上递增，故()min 11421g x =+-=-，又()()131124,44224412g g =+-==+-=--，所以函数()g x 在[]1,2-上的值域为12,4⎡⎤-⎢⎣⎦；【小问3详解】由（2）得，当x ∈R 时，20x >，()min 2g x =-，若1R x ∃∈，[]22,2x ∃∈-使得()()12g x h x <成立，则[]22,2x ∃∈-使得()()22222log 22x h x x m =+->-成立，整理得22112242x x m >+⋅在[]22,2x ∈-上能成立，所以22min112242x x m ⎛⎫>+⋅ ⎪⎝⎭，又22112142x x +⋅≥=，当且仅当2211242x x =⋅，即21x =-时等号成立，所以21m >，即12m >.。
北京市大峪中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)
大峪中学2024-2025第一学期高一年级数学学科期中考试试卷（满分：150分；时间：120分钟；命题人：高一集备组；审核人：）一､选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分）1.若，则集合A 中的元素个数是（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.命题“，都有”的否定是（）A.，使得B.，使得C.，都有D.，都有3.已知四个实数.当时，这四个实数中的最大者是（）A. B. C. D.4.“”是“”的（）.A.充分不必要条件.B.既不充分也不必要条件C.充要条件D.必要不充分条件5.已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表：123456136.115.610.9判断函数的零点个数至少有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个6.已知函数，若则（ ）A.1 B.3 C.4 D.27.若函数是偶函数，且，则必有（）A.B.C. D.8.函数是上是减函数，那么下述式子中正确的是（ ）()(){}1,2,0,0A =-0x ∀>20x x -...0x ∃>20x x -...0x ∃>20x x ->0x ∀>20x x ->0x ∀ (20)x x ->22,2,,2a a a a 01a <<a 22a 2a 2a 2x <2x <R ()f x x()f x 3.9-52.5-2321-.()20,11,125,2x f x x x x x <⎧⎪=+≤<⎨⎪-+≥⎩()1,f a =a =()()y f x x =∈R ()()23f f <()()32f f ->-()()32f f -<()()32f f -<-()()33f f -<()f x [)0,∞+A. B.C. D.以上关系均不确定9.如图所示，圆柱形水槽内放了一个圆柱形烧杯，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度与注水时间之间的函数关系，大致是（ ）A. B.C. D.10.对表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯取整函数，则下列命题中的假命题是（）A.B.函数的值域为C.D.若，使得同时成立，则正整数的最大值是5二､填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分）11.已知函数的定义域为，且自变量与函数值的关系对应如表：12343212()()2122f f a a ≥++()()2122f f a a ≤++()()2122f f a a =++h t [],x x ∀∈R x []y x =[],1x x x ∃∈≤+R []()y x x x =-∈R []0,1[][][],,x y x y x y ∀∈+≤+R t ∃∈R 3451,2,3,,2n t t t t n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ n ()f x {}1,2,3,4x x()f x（1）__________；（2）不等式的解集为__________.12.已知函数__________；__________.13.方程的两根为，则__________.14.函数在上不单调，则实数的取值范围为__________.15.表示不超过的最大整数，定义函数，则下列结论中：①函数的值域为；②方程有无数个解；③函数的图象是一条直线；④函数是上的增函数；正确的有__________.（只填序号）三､解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）16.（15分）求下列不等式的解集.（1）；（2）.（3）17.（13分）已知集合.（1）求；（2）若，求的取值范围.18.（14分）已知是定义在上的偶函数，当时，（1）求的值；（2）求的解析式；()2f =()2f x ≥()()221,0,11,0x x f x f x x +≥⎧==⎨-+<⎩()()1f f -=2410x x -+=12,x x 1211x x +=()21f x x ax =+-[]2,3a []x x ()[]f x x x =-[)0,1()12f x =R 23262x x --+≤-3270x --≤52321x x -≤+{}2{37},12200,{}A xx B x x x C x x a =≤<=-+<=<∣∣∣();A B A B ⋃⋂R ðA C ⋂≠∅a ()y f x =R 0x ≥()22f x x x =-()()1,2f f -()f x（3）画出简图；写出的单调递增区间，并写出的解集.（只需写出结果，不要证明单调性）.19.（14分）经济订货批量模型，是目前大多数工厂､企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期，该模型适用于整批间隔进货､不允许缺货的存储问题，具体如下：年存储成本费（元）关于每次订货（单位）的函数关系，其中为年需求量，为每单位物资的年存储费，为每次订货费.某化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为6000吨，每吨存储费为120元/年，每次订货费为2500元.（1）若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储成本费；（2）每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？20.（14分）已知函数.（1）当时，求关于的不等式的解集；（2）求关于x 的不等式的解集；（3）若在区间上恒成立，求实数a 的范围.21.（15分）已知集合A 为非空数集，定义：，（1）若集合，直接写出集合（无需写计算过程）；（2）若集合，且，求证：（3）若集合，记为集合A 中的元素个数，求的最大值.22.附加题（10分）已知，函数在区间上有两个不同零点，求的最小值.()y f x =()y f x =()0f x >T x ()2Bx AC T x x=+A B C ()()21f x x a x a =-++2a =x ()0f x >()0f x <()20f x x +≥()1,∞+{}{},,,,,S xx a b a b A T x x a b a b A ==+∈==-∈∣∣{}1,3A =S T ､{}12341234,,,,A x x x x x x x x =<<<T A =1423x x x x +=+{}02023,,A xx x S T ⊆≤≤∈⋂=∅N ∣A A *,,a b c ∈N ()2f x ax bx c =++()1,0-()1f大峪中学2024—2025第一学期高一年级数学学科期中考试试卷答案1.B2.B3.C 4D 5.C6D 7.A 8.A 9.B 10.B 11.2， 12.3，1 13.4 14.15.①②16.（1） （2） （3）17.（1）因为集合，所以或，或（2）因为，且，所以，所以的取值范围是.18.解：（1）当时，，；（2）是定义在上的偶函数，当时，，当时，，.（2），当时，，抛物线开口向上，对称轴方程为，顶点坐标，当时，；当时，.当时，，抛物线开口向上，对称轴方程为，顶点坐标，当时，.由此能作出函数的图象如下：{}1,2,464a -<<-(]4,2,3∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭[]2,5-(]1,5,2∞∞⎡⎫--⋃-+⎪⎢⎣⎭{}2{37},12200{210}A x x B x x x x x =≤<=-+<=<<∣∣∣{210},{3A B x x A x x ⋃=<<=<R ∣∣ð7}x ≥(){23B x x ⋂=<<R∣ð710};x ≤<A C ⋂≠∅{}C xx a =<∣3a >a ()3,∞+0x …()()()22,f x x x f x f x =--=()()()11,220f f f ∴=--==()y f x = R 0x …()22f x x x =-0x <()()220,()22x f x x x x x ->-=---=+()()()2222,02,2,0x x x f x f x x x f x x x x ⎧-≥∴=-=+∴=⎨+<⎩()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩∴0x …22y x x =-1x =()1,1-0y =120,2x x ==0x =0y =0x <22y x x =+1x =-()1,1--0y =2x =-()f x结合图象，知的增区间是19.（1）；（2）20.已知函数.【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.【分析】（1）把代入可构造不等式，解对应的方程，进而根据二次不等式“大于看两边”得到原不等式的解集.（2）根据函数，分类讨论可得不等式的解集.（3）若在区间上恒成立，即在区间上恒成立，利用换元法，结合基本不等式，求出函数的最值，可得实数的范围.【详解】（1）当时，则，由，得，原不等式的解集为；（2）由，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.（3）由即在上恒成立，得.()f x ()()()()1,0,1,,22,∞∞∞-+⋅--⋃+()()1500000060,30068000T x x T x=+=min 500,60000x T ==()()21f x x a x a =-++()(),12,∞∞-⋃+(,3∞⎤-+⎦2a =2320x x -+>()()()()21010f x x a x a x a x =-++<⇒--<()20f x x +≥()1,∞+21x x a x +≤-()1,∞+a 2a =()232f x x x =-+()0f x >()()2320210x x x x -+>⇒-->()(),12,∞∞-⋃+()()()010f x x a x <⇒--<1a >()1,a 1a =∅1a <(),1a ()20f x x +≥()210x x x a +--≥()1,∞+21x x a x +≤-令，则，当且仅当，即时取等号.则，.故实数的范围是21.【答案】（1）（2）见解析（3）1349【分析】（1）根据题目的定义，直接计算集合即可；（2）根据集合相等的概念，能证明；（3）通过假设集合，求出对应的集合，通过，建立不等式关系，求出对应的值即可.【详解】（1），集合，集合.（2），且，中也只包含4个元素，即，剩下的元素满足；（3）设集合满足题意，其中，则，由容斥原理，，的最小元素为0，最大元素为，解得实际上时满足题意，证明如下：设，则，()10t x t =->22(1)12331x x t t t x t t++++==++≥+-t =1x =+3a ≤a (,3∞⎤-+⎦{}{}2,4,6,0,2S T ==,S T 1423x x x x +=+{}(),1,2,3,,2023A m m m m m =+++⋯∈N ,S T S T ⋂=∅{}{}{}1,3,,,,|,,A S x x a b a b A T x x a b a b A ===+∈==-∈ ∣∴{}2,4,6S ={}0,2T ={}12341234,,,,A x x x x x x x x =<<< T A =T ∴{}2131410,,,T x x x x x x =---2132431423,x x x x x x x x x x -=-=-∴+=+{}12,,,k A a a a = 12k a a a <<< 1121312322k k k k k ka a a a a a a a a a a a a a <+<+<<+<+<+<<+< ”112131121,,k S k a a a a a a a a T k∴≥--<-<-<<-∴≥ S T φ⋂= 31S T S T k ⋃=+≥-S T ⋃2,21k k a S T a ∴⋃≤+()*31214047k k a k ∴-≤+≤∈N 1349k ≤{}675,676,,2023A =⋯{}(),1,2,3,,2023A m m m m m =+++⋯∈N {}{}2,21,22,,4046,0,1,2,,2023S m m m T m =++⋯=⋯-题意有，即，的最小值为当时，集合中元素最多，即时满足题意综上，的最大值为1349.20232m m -<16743m >m ∴675,∴675m =A {}675,676,,2023A =⋯A。
天津市滨海新区塘沽第一中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题(含答案)
塘沽一中2024—2025学年度第一学期高一年级期中考试数学学科试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间100分钟，试卷共4页。
卷Ⅰ答案用2B 铅笔填涂在答题纸上对应区域，卷Ⅱ答案用黑色字迹的笔答在答题纸规定区域内。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D.2.命题“，”的否定是（ ）A.， B.，C.， D.，3.如果a ，b ，c ，，则正确的是（ ）A.若，则B.若，，则C.若，则D.若，，则4.设a ，，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.下列函数既是偶函数，且在上单调递减的是（ ）A. B. C. D.6.已知，，，则（ ）A. B. C. D.7.已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）{}|2A x x =<}2,1,0,1,{,23B =--()R A B = ð{}3{}2;3}0,1,2,3{}2,1,{0,1,2--0x ∃>2310x x -->0x ∀>2310x x --≤0x ∀≤2310x x --≤0x ∃>2310x x --≤0x ∃≤2310x x --≤R d ∈a b >11a b<a b >c d >a c b d ->-22ac bc >a b>a b >c d >ac bd>R b ∈22a b =1133ab⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0,+∞2y x =1y x =+231y x =+21y x =32log 3a =0.23b =23log 2c =a b c>>b a c >>c b a>>b c a>>()f x ()f xA. B. C. D.8.函数的零点所在区间为（ ）A. B. C. D.9.已知国内某人工智能机器人制造厂在2023年机器人产量为300万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到900万台（参考数据：，）（ ）A.2029年B.2030年C.2031年D.2032年10.设正实数x ，y 满足，则（ ）A.的最大值是B.的最小值为4C.最小值为2D.最小值为211.对任意的函数，都有，，且当时，，若关于x 的方程；在区间内恰有10个不等实根，则实数a 的取值范围是（ ）A. B. C. D.12.已知函数的定义域是，对，都有，且当时，，且，则下列说法中正确的个数为（ ）①②函数在上单调递增③④满足不等式的x 的取值范围为()e e 43x xf x x --=-()e e 34x xf x x--=-()e e 48x xf x x -+=-()1x f x x =-()1ln 3xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()0,1()1,2()2,e ()e,320%lg 20.30≈lg 30.48≈22x y +=xy 14112x y+224x y +212x y x+R x ∈()f x ()()f x f x -=()()2f x f x =+[]1,0x ∈-()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()log 0a f x x -=[]10,10-()3,5()5,7[]5,7[]3,5()f x ()0,+∞x ∀()0,y ∈+∞()()()f x y f x f y ⋅=+1x >()0f x >113f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()10f =()f x ()0,+∞()()()()1111123202220230232022220222023f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()22f x f x --≥92,4⎛⎤ ⎥⎝⎦A.1个B.2个C.3个D.4个第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每小题5分，双空题答对一个给3分，共30分）13.已知函数，则函数的定义域为____________.14.____________。
2024学年哈尔滨市三中高一数学上学期期中考试卷附答案解析
哈三中2024－2025学年度上学期高一学年期中考试数学试卷考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟；第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{M x y ==，(],2N =-∞，则M N = （ ）A. [)1,+∞B. []1,2 C. RD. ∅【答案】B 【解析】【分析】根据函数有意义求出集合A ，进而结合交集的定义求解即可.【详解】因为{{}1M x y x x ===≥，(],2N =-∞，所以[]1,2M N = .故选：B.2. 已知函数()1,13,1x x x f x x ⎧-≤=⎨>⎩，则()3f f -=⎡⎤⎣⎦（ ）A. 0B. 1C. 3D. 9【答案】D 【解析】【分析】根据分段函数解析式，由内而外，逐步计算， 即可得出结果．【详解】由题意，()3312f -=--=，则()()23239f f f -===⎡⎤⎣⎦.故选：D.3. 若函数()211f x x +=-，则()f x =（ ）A. 22x x +B. 21x -C 22x x- D. 21x +.【答案】C 【解析】【分析】借助配凑法即可解答．【详解】由()()()2211121f x x x x +=-=+-+，则()22f x x x =-.故选：C.4. 已知20.1a =，2log 2b =，0.12c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. c a b >> B. c b a >>C. b a c >> D. b c a>>【答案】B 【解析】【分析】先化简0.01a =，1b =，结合指数函数的单调性比较1c >，进而比较大小即可.【详解】因为20.010.1a ==，2log 21b ==，0.10221c =>=所以c b a >>.故选：B.5. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()1f x x x =-.则当0x <时，()f x =（ ）A. ()1x x + B. ()1x x -C. ()1x x -+ D. ()1x x -【答案】A 【解析】【分析】结合奇函数的性质求解即可.【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，当0x ≥时，()()1f x x x =-，则当0x <时，0x ->，()()()1f x x x f x -=-+=-，即()()1f x x x =+.故选：A.6. 函数()f x =的单调递增区间为（ ）A. ()0,2B. (),2-∞C. ()2,4D. ()2,+∞【答案】A 【解析】【分析】求出函数定义域，由复合函数的内函数的单调区间得到函数单调区间.【详解】函数定义域：240x x -+≥，∴04x ≤≤，∵函数24y x x =-+在区间()0,2上单调递增，()2,4上单调递减，∴函数()f x 在区间()0,2上单调递增，()2,4上单调递减.故选：A.7. 若函数(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩满足对任意不相等的两个实数1x ，2x 都有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是（ ）A [)4,8- B. [)4,8 C. ()4,8 D. ()1,8【答案】B 【解析】【分析】结合题设易得函数()f x 在R 上单调递增，进而由分段函数单调性的性，结合指数函数与一次函数单调性求解即可.【详解】因为对任意不相等的两个实数1x ，2x 都有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，所以函数()f x 在R 上单调递增，则1402422a a aa ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪-+≤⎪⎩，解得48a ≤<，即实数a 的取值范围是[)4,8.故选：B..8. 关于x 的方程33245xa a +⎛⎫= ⎪-⎝⎭有负根的一个充分不必要条件是（ ）A. 344a << B.354a <<C 364a << D. 2334a -<<【答案】A 【解析】【分析】结合指数函数的性质，要使关于x 的方程33245xa a +⎛⎫= ⎪-⎝⎭有负根，可得3215a a+>-，解出354a <<，再根据充分不必要条件的定义判断即可.【详解】当0x <时，314⎛⎫> ⎪⎝⎭x，要使关于x 的方程33245xa a +⎛⎫= ⎪-⎝⎭有负根，则3215a a +>-，即4305a a->-，即()()4350a a --<，解得354a <<，所以关于x 的方程33245xa a +⎛⎫= ⎪-⎝⎭有负根的一个充分不必要条件是344a <<.故选：A.二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知0x >，0y >，且31x y +=，则下列选项正确的是（ ）A. y 的范围为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. xy 的最大值为112C. 13x y+的最小值为16D. 229x y +的最小值为2【答案】ABC 【解析】【分析】根据题意，结合不等式的性质可判断A ；根据基本不等式可判断BCD.【详解】对于A ：由题知0,0x y >>，所以0130y x y >⎧⎨=->⎩，解得103y <<，即10,3y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故A 正确；.对于B ：31x y +=≥=，即112xy ≤，当且仅当3x y =，即11,26x y ==时等号成立，所以xy 的最大值为112，故B 正确；对于C ：()1313310310316x y x y x y x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当x y =时等号成立，所以13x y+的最小值为16,故C 正确；对于D ：222293112224x y x y ++⎛⎫⎛⎫≥== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴22192x y +≥，当且仅当132x y ==，即11,26x y ==时，时等号成立，∴229x y +有最小值12，故D 不正确.故选：ABC.10. 在同一平面直角坐标系中，函数21:aC y x-=，2:xC y a =（0a >且1a ≠）图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】AC 【解析】【分析】根据幂函数和指数函数的单调性分析判断即可.【详解】若01a <<，122a <-<，则21:aC y x-=在[)0,+∞上单调递增，且图象呈现下凸趋势，2:x C y a =是R 上的减函数，故A 正确，BD 错误；若3a =，21a -=-，则11:1xC y x-==在(),0-∞和()0,∞+上单调递减，2:3x C y =是R 上的增函数，故C 正确.故选：AC.11. 下列命题中正确的是（ ）A. 函数()2xf x x =+，[]1,2x ∈的值域是[]3,6B. 函数()1421xx f x +=++的值域是[)1,+∞C. 函数()211f x x x =++的值域是40,3⎛⎤⎥⎝⎦D. 函数()2125x f x x x +=++的值域是11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，结合指数函数和一次函数的性质求解判断即可；对于B ，令()20xt t =>，换元，利用二次函数的性质求解判断即可；对于C ，利用二次函数的性质求解判断即可；对于D ，结合基本不等式讨论求解判断即可.【详解】对于A ，因为函数2,x y y x ==在[]1,2上单调递增，所以函数()2xf x x =+在[]1,2上单调递增，且()()13,26f f ==，所以函数()2xf x x =+，[]1,2x ∈的值域是[]3,6，故A 正确；对于B ，令()20xt t =>，则()()1242121xx f x g t t t +=++==++，因为函数()g t 在()0,∞+上单调递增，且()01g =，所以函数()1421xx f x +=++的值域是()1,+∞，故B 错误；对于C ，因为221331244y x x x ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭，所以214013x x <≤++，则函数()211f x x x =++的值域是40,3⎛⎤⎥⎝⎦，故C 正确；对于D ，对于函数()2125x f x x x +=++，当1x =-时，()0f x =；当1x ≠-时，()()221114251411x x f x x x x x x ++===+++++++，若1x >-，则4141x x ++≥=+，当且仅当411x x +=+，即1x =时等号成立，则()110,4411f x x x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦+++；若1x <-，则4141x x ++≤-=-+，当且仅当411x x +=+，即3x =-时等号成立，则()11,04411f x x x ⎡⎫=∈-⎪⎢⎣⎭+++.综上所述，函数()2125x f x x x +=++的值域是11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：ACD.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.12. 函数()21f x x =-在区间[]2,4上的最大值为________.【答案】2【解析】【分析】根据函数的单调性求解最值即可.【详解】因为函数()21f x x =-在区间[]2,4上单调递减，所以()()max 22221f x f ===-.故答案为：2.13. 已知函数()f x 的数据如下表，则该函数可能的一个解析式为________.x012345…()f x 3612244896…【答案】()32xf x =⋅（答案可能不止一个）【解析】【分析】根据表中数据可得函数与指数函数相关，故可得一个可能的解析式.【详解】表中数据中函数值从左到右的规律为：右侧数据为相邻左侧数据的2倍，故可设()2xf x a =⨯，由()03f =可得3a =，故()32xf x =⋅，检验符合，另外，如果()()()()123(4)(5)312345x x x x x f x -----=-⨯⨯⨯⨯⨯()()()()()()()()()()()23(4)(5)13(4)(5)6121123421123x x x x x x x x x x --------+⨯+⨯⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-⨯-()()()()()()()12(4)(5)12(3)(5)24483211243211x x x x x x x x x x --------+⨯+⨯⨯⨯⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯-()()12(3)(4)9612345x x x x x ----+⨯⨯⨯⨯⨯，检验后也符号要求.故答案为：()32xf x =⋅（答案可能不止一个）14. 设函数()()()4e 166xf x x x x =+--<<，则()f x 是________函数（从“奇”、“偶”、“既奇又偶”、“非奇非偶”中选一个恰当答案填入），关于x 的不等式()()()31213f x f f x ++-<-的解集为________.【答案】 ①. 奇函数. ②. 51,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】【分析】根据奇函数的定义可判断函数为奇函数，再根据函数单调性定义可判断()f x 在()6,6-上为增函数，设()()()()31213s x f x f f x =++---，根据复合函数的单调性可得()s x 在()6,6-上为增函数，据此可求不等式的解.【详解】因为()()()4e 1xf x x x f x -=-+-=-且()6,6-关于原点对称，故()f x 为奇函数.当06x ≤<时，()5e xf x x x x =+-，设()()e 1xg x x =-，06x ≤<，任意1206x x ≤<<，则有120e 1e 1x x ≤-<-，故()()12120e 1e 1xxx x ≤-<-即()()12g x g x <，故()()e 1x g x x =-在[)0,6上为增函数，而5y x =在[)0,6上为增函数，故()5e xf x x x x =+-在[)0,6上为增函数，结合()f x 为奇函数，()00f =，故()5e xf x x x x =+-在()6,6-上为增函数，设()()()()31213s x f x f f x =++---，由复合函数的同增异减可得()s x 在()6,6-上为增函数，而()()()122003s f f f ⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭，故()()()31213f x f f x ++-<-即为()10()3s x s <=，故13x <，又63166136x x -<+<⎧⎨-<-<⎩，故5133x -<<故不等式的解集为51,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：奇函数；51,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知102m =，105n =，求下列各式的值：（1）210m n -；（2）m n +；（3）1125mn+.【答案】（1）225（2）1 （3）20【解析】【分析】（1）根据同底数幂的除法法则及幂的乘方求解即可；（2）根据同底数幂的乘法法则求解即可；（3）结合指数与对数相互转化可得lg 2m =，lg 5n =，再结合换底公式可得21log 10m =，51log 10n=，进而代值计算即可.【小问1详解】()2222101022105251010m m m n n n-====.【小问2详解】因为1010251010m n n m +=⋅=⨯=，所以1m n +=.【小问3详解】由102m =，105n =，则lg 2m =，lg 5n =，则21log 10m =，51log 10n=，所以52log 10log 01112510102025m n ==+++=16. 已知幂函数()()21af x a a x =+-在()0,∞+上单调递增.（1）求()f x 解析式；（2）若()()22g x x f x mx m =⋅-+在[]0,2上的最小值为2-，求m 的值.【答案】（1）()f x x = （2）1-或3【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性可得2110a a a ⎧+-=⎨>⎩，进而求解即可；（2）根据二次函数的性质讨论求解即可.【小问1详解】由题意得，2110a a a ⎧+-=⎨>⎩，解得1a =，则()f x x =.【小问2详解】的.由()()22222g x x f x mx m x mx m =⋅-+=-+，对称轴为x m =，当0m ≤时，()()min 02g x g m ==，则22m =-，即1m =-；当02m <<时，()()2min 2g x g m m m ==-+，则222m m -+=-，即1m =+1m =；当2m ≥时，()()min 242g x g m ==-，则422m -=-，即3m =.综上所述，1m =-或3.17. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是1θ℃，室温是0θ℃，那么t min 后茶水的温度θ（单位：℃）可由公式()()010e kt t θθθθ-=+-求得，其中k 是常数.为了求出这个k 的值，某数学建模兴趣小组在25℃室温下进行了数学实验，先用95℃的水泡制成95℃的茶水，利用温度传感器，测量并记录从0t =开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据：t min012345θ（℃）95.0089.1984.7581.1978.1975.00（1）请你仅利用表中的一组数据5t =，75.00θ=，求k 的值，并求出此时()t θ的解析式；（2）在25℃室温环境下，王老师用95℃的水泡制成的茶水，想等到茶水温度降至45℃时再饮用，根据（1）的结果，王老师要等待多长时间？（参考数据：ln 20.7≈，ln 5 1.6≈，ln 7 1.9≈，e 是自然对数的底数.）【答案】（1）350k ≈，()3502570et θ-=+ （2）王老师大约等待20min 【解析】【分析】（1）由题意得()575259525ek-=+-，结合指数与对数的相互转化及对数的运算性质求解即可；（2）令3502570e 45t -+=，进而结合指数与对数的相互转化及对数的运算性质求解即可.【小问1详解】由题意，得()575259525ek-=+-，即55e7k-=，即55ln ln 5ln 7 1.6 1.90.37k -==-≈-=-，解得350k ≈，此时()3502570e t t θ-=+.【小问2详解】令3502570e 45-+=，即3502e7-=，即32ln ln 2ln 70.7 1.9 1.2507t -==-≈-=-，解得20t ≈，所以王老师大约等待20min.18. 已知函数()e 1e 1x x a f x -=+为奇函数.（1）求a 的值；（2）利用定义证明()y f x =在R 上单调递增；（3）若存在实数[]1,3x ∈，使得()()4320xxf k f ⋅-+>成立，求k 的取值范围.【答案】（1）1 （2）证明见解析（3）1,12⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质求解即可；（2）利用函数的单调性定义证明即可；（3）结合函数()f x 的单调性和奇偶性转化题目问题为存在实数[]1,3x ∈，使得3142xx k >-成立，则min3142x x k ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，进而令111282x t t ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，结合二次函数的性质求解即可.【小问1详解】因为函数()e 1e 1x x a f x -=+为奇函数，定义域为R ，所以()10011a f -==+，即1a =，此时()e 1e 1x x f x -=+，则()()e 11e e 11e x xx xf x f x -----===-++，满足题意，所以1a =.【小问2详解】证明：由（1）知，()e 1e 1221e 1e 1e 1x x x x xf x -+-===-+++，任取12,x x ∈R ，且12x x <，则()()122112222211e 1e 1e 1e 1x x x x f x f x -=--+=-++++()()()()()()121212122e 1e 12e e e 1e 1e 1e 1x x x x x x x x +---==++++，因为12x x <，则12e e 0x x -<，()()12e 1e 10xx++>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()y f x =在R 上单调递增.【小问3详解】由()()4320xxf k f ⋅-+>，即()()()4322xxxf k f f ⋅->-=-，因为函数()y f x =在R 上单调递增，所以432x x k ⋅->-，即3142xx k >-，由题意，存在实数[]1,3x ∈，使得3142xx k >-成立，则min3142x x k ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，令111282x t t ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，则()2min 3k t t >-当16t =时，()2min1312t t -=-，即112k >-，所以k 的取值范围为1,12⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.19. 对于定义在区间D 上的函数()f x ，若存在闭区间[],a b D ⊆和常数c ，使得对任意[]1,x a b ∈，都有()1f x c =，且对任意2x D ∈，当[]2,x a b ∉时，()2f x c >恒成立，则称函数()f x 为区间D 上的“卷函数”.（1）判断函数()11g x x x =++-是否为R 上的“卷函数”？并说明理由：（2）设()g x 是（1）中的“卷函数”，若不等式()2344222xttttg ---≤+++-对t ∀∈R 恒成立，求实数x 的取值范围；（3）若函数()h x mx =[)3,∞-+上的“卷函数”，求m n 的值.【答案】（1）函数()11g x x x =++-为R 上的“卷函数”，理由见解析 （2）[]1,2 （3）4【解析】【分析】（1）写出函数()g x 的分段函数形式，再结合新定义判断即可；（2）令()222ttm m -=≥+，结合二次函数的性质及题意可得不等式()232x g -≤恒成立，进而结合函数()g x 的值域可得1231x -≤-≤，进而求解即可；（3）根据题意可得存在区间[][),3,a b ⊆-+∞和常数c，使得mx c +=恒成立，即()224x x n mx c ++=-，列出方程组即可求得m 、c 、n 的值，代入函数验证是否满足题意即可确定m 、n的值，进而求解.【小问1详解】函数()11g x x x =++-为R 上的“卷函数”，理由如下：对于函数()2,1112,112,1x x g x x x x x x -<-⎧⎪=++-=-≤≤⎨⎪>⎩，当[]1,1x ∈-时，()2g x =，且当1x <-或1x >时，()2g x >恒成立，所以函数()11g x x x =++-为R 上的“卷函数”.【小问2详解】由于222t t -≥=+，当且仅当22t t -=，即0t =时等号成立，令()222ttm m -=≥+，则2244t t m -+=-，所以2442224t t t t m m --+++-=+-，因为函数24y m m =+-在[)2,+∞上单调递增，所以当2m =时，()2min42m m +-=，由题意，不等式()2344222xttttg ---≤+++-对t ∀∈R 恒成立，即不等式()232xg -≤恒成立，由（1）知，当[]1,1x ∈-时，()2g x =，且当1x <-或1x >时，()2g x >恒成立，则1231x -≤-≤，解得12x ≤≤，即实数x 的取值范围为[]1,2.【小问3详解】因为函数()h x mx =+是区间[)3,∞-+上的“卷函数”，则存在区间[][),3,a b ⊆-+∞和常数c，使得mx c +=恒成立.所以()2222242x x n c mx m x mcx c ++=-=-+恒成立，即22124m mc c n ⎧=⎪-=⎨⎪=⎩，解得124m c n =⎧⎪=-⎨⎪=⎩或124m c n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，当124m c n =⎧⎪=-⎨⎪=⎩时，()2,32222,2x h x x x x x x --≤≤-⎧==++=⎨+>-⎩，当[]3,2x ∈--时，()2h x =-，当()2,x ∈-+∞时，()2h x >-恒成立.此时，()h x 是区间[)3,∞-+上的“卷函数”.当124m c n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩时，()22,3222,2x x h x x x x x ---≤≤-⎧=-+=-++=⎨>-⎩.当[]3,2x ∈--时，()2h x >-，当()2,x ∈-+∞时，()2h x =，此时，()h x 不是区间[)3,∞-+上的“卷函数”.综上所述，1m =，4n =，所以4m n =.【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高一数学上学期期中考试试卷
一. 选择题（本大题共11小题，每小题4分，共44分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的选项填在答题卡上。
）
1. 设{}{}{}
S M N ===1231213，，，，，，，那么（）C M C N S S ()等于（ ） A. ∅
B. {}13，
C. {}1
D. {}23，
2. 不等式()()x x --<120的解集为（ ） A. {}
x x x ||<>12或 B. {}x x |-<<21 C. {}
x x x |<->21或 D. {}x x |12<<
3. 函数y x x =≤2
0()的反函数为（ ） A. y x x =≥（）0 B. y x x =-≥（）0
C. y x x =
-≤（）0
D. y x x =--≤（）0
4. 下列函数中哪个与函数y x =是同一个函数（ ） A. y x =()2
B. y x x
=2
C. y x =33
D. y x =
2
5. 不等式11
2
1-
<x （ ） A. {}x x x |<>04或 B. {}x x x |<->40或
C. {}x x |04<<
D. {}x x |-<<40
6. 命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
7. “p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
8. 反证法证明命题“如果a ，b ∈N ab ，可被5整除，那么a ，b 至少有一个能被5整除”应假设的内容是（ ） A. a b ，都能被整除5 B. a b ，有一个不能被5整除 C. a 不能被5整除
D. a ，b 都不能被5整除
9. 函数y x x =-32的定义域是（ ）
A. （，）-∞0
B. （，）03
C. []
03，
D. []
-30，
10. 下图中的对应关系中是映射的个数是（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
11. 下列四式中正确的是（ ） A. a 01= B. ()-=-33263
C.
a a n n
n n =()
D.
||||a a n n
=
二. 填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，把答案直接填在题中的横线上） 13. 已知{}
x x x ∈=
122，，，则.
14. 已知函数f x x f a a ()().2314=-==，且，则
15. 已知f x x x x x f f ()()()
()()().=->=-<⎧⎨⎪
⎩
⎪=-=
320010712π，则，
16. 将长度为a 的铁丝折成矩形，则矩形面积y 关于一边长x 的函数关系是___________，其定义域为________________。
17. 定义在区间［a ，b ］上的增函数f x ()，最大值是___________________，最小值是_______________。
18. 函数[]
y x x x =-+∈2
4615，，的值域是________________。
三. 解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
共32分）
19. 若{}
{}A x x x B x ax A B A =-+==-==|||2
56060，，且 ，求由实数a 组成
的集合C 。
（8分）
20. 已知：一次函数[]f x f f x x ()()，若=+93，求f x ()的解析式。
（8分）
21. 已知：函数和y x m y nx =+=-121
3的图象关于直线y x =对称，求m 、n 的值。
（8分）
22. 讨论函数f x k
x
k ()()=
+≠102
在区间[)0，+∞上的单调性。
（8分）
四. 选作题：（10分）
已知函数y f x =()的图象如图所示，求： （1）y f x =()的解析式； （2）y f x =()的反函数y f
x =-1
()，并画出它的图象。
x
［试题答案］
一. 选择题
1. A
2. A
3. B
4. C
5. C
6. A
7. A
8. D
9. C 10. B 11. D
二. 填空
13. x =02或
14. a =
103
15. f f ()()714511=-=-
16. y x a x x a =-+<<2
202
17. 最大值f b f a ()
()最小值 18. 值域：[]
211， 19. 解：
{}x x x x x x ax x a
A B a A B A B A
212560230
2360
6
236-+=--===-==
∴==⎧⎨⎩⎫⎬
⎭
=∴⊆()()，
{}{}{}
（），时，，（）时，，，12332
20
02312B B a a B a C =====∅=∴=
20. 一次函数为f x kx b ()=+
[][]∴=+=++=++=+∴=+=⎧⎨
⎩⇒==⎧⎨⎪⎩⎪=-=-⎧⎨⎪⎩
⎪∴=+=--
f f x kf x b k kx b b k x kb b f f x x k kb b k b k b f x x f x x ()()()()()()22112293
93
33433
233433
2又或
21. y x m y nx y x =
+=-=121
3
和的图象关于直线对称 ∴=-=+
=+⨯
∴=++=+∴==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⇒==-此两个函数互为反函数
求的反函数
由已知得y nx nx y x y n
f x x n n x n x m
n n m n m 1
31
3131
131
1131
2
112132
16
1()()()
22. （1）设[)x x x x 12120在上且+∞<
∴-=+-+=
+-+++=-++=
+-++f x f x k x k
x k x k x x x k x x x x k x x x x x x ()()()()()()()()()()()
()()
12122
2
2212
12
22
22
1212
22
212112
22
1111111111
（2）[) x x 120∈+∞
∴>>∴++>+><∴->∴-=
+-++>∴>->x x x x x x x x x x f x f x k x x x x x x k f x f x 212212
2112
2112122112
22
120
1100
30110
00
()()()()()()()()()
()()（）又时
[)
f x f x f x k
x
k f x f x ()()
()()()122
121000
>=++∞↓<-<在，上为单调时
[)f x k
x ()=++∞↑102
在，上为单调
四. 选作题
解：（1）解析式：y kx =-过（，）21
[]∴=-
=-=+-∴=-∴=---⎧⎨⎪⎩⎪k y x
y kx b
y x f x x x 12
1202202
1
220202过（，）（，）所求解析式为，（，）
()
x
（）［，］（，）
22012201
y f
x x x ==-+-⎧⎨⎩-()
y
x。