多目标规划

多目标优化模型
多 目 标 优 化简介
•在很多实际问题中，例如经济、管理、军事、科学和工程设 计等领域，衡量一个方案的好坏往往难以用一个指标来判断， 而需 要用多个目标来比较，而这些目标有时不甚协调，甚至 是矛盾的。
•多目标规划（Multiple Objectives Programming） 是数学规划的一个分支，研究多于一个目标函数在给定 区域上的最优化，又称多目标最优化，通常记为 VMP。
甲 2 A/(h/件) 4 B/(h/件) 0 C/(h/件) 赢利/(元/件) 200
乙 设备的生产能力/h 2 12 0 16 5 15 300
• 力求使利润指标不低于1500元 • 考虑到市场需求,甲、乙两种产品的产量比应尽量保持1:2 • 设备A为贵重设备，严格禁止超时使用 • 设备C可以适当加班，但要控制；设备B既要求充分利用，又 尽可能不加班，在重要性上，设备B是设备C的3倍 设甲、乙产品的产量分别为x1,
x2,建立模型：
设备C可以适当加班，但要控制， 则目标可表示为 甲、乙两种产品的产量尽量保 持1:2的比例，则目标可表示为 设备B既要求充分利用，又尽可能 不加班，则目标可表示为
⎧min{d + }; ⎪ ⎨ ⎪5 x2 + d − − d + = 15. ⎩
⎧ min{ d + + d − }; ⎪ ⎨ ⎪ 2 x1 − x 2 + d − − d + = 0 . ⎩
x∈ X 1≤ i ≤ m
4.
范数理想点法
dp
(
p⎤ ⎡ f ( x ), f ;ω = ⎢ ∑ ω i f i ( x ) − f i ⎥ ⎣ i =1 ⎦ m
)
1 p
二、多目标优化目标规划法
线性规划通常考虑一个目标函数(问题简单) 目标规划考虑多个目标函数(问题复杂) 。
例 生产安排问题
某企业生产甲、乙两种产品，需要用到A,B,C 三种设备，关于产品的盈利与使用设备的工时及限 制如下表所示。
x2,建立线性规划模型：
Max
z = 200 x 1 + 300 x 2 ;
s. t. 2x1 + 2x2 ≤ 12 , 4x1 ≤ 16, 5x2 ≤ 15, x1, x2 ≥ 0.
用Lindo或Lingo软件求解,得到最优 解 *
x1 = 3, x2 = 3, z = 1500.
Max
z = 200 x 1 + 300 x 2 ;
⎧ min{ d + + d − }; ⎪ ⎨ ⎪ 4 x1 + d − − d + = 16 . ⎩
x2;
Max z = 200 x 1 + 300 从上面的分析可以看到： s. t. 2 x1 + 2 x2 ≤ 12 , •如果希望不等式保持大于等于，则极小化负偏差； 4 x1 ≤ 16, 5 x2 ≤ 15, •如果希望不等式保持小于等于，则极小化正偏差； x1 , x2 ≥ 0. •如果希望保持等式，则同时极小化正、负偏差．
2 x1 + 2 x 2 ≤ 12 .
另一类是可以不严格限制的，连同原线性规划的目标,构 成柔性约束(Soft Constraint).例如在求解生产安排中，我 们希望利润不低于1500元，则目标可表示为 ⎧ min{ d − }; ⎪ ⎨ ⎪ 200 x1 + 300 x 2 + d − − d + = 1500 . ⎩
幻灯片 4
转化单目标法
2.
线性加权和法：按照m个目标 f ( x ) 的重要 程度，分别乘以一组权系数，然后相加作 为目标函数。 m m u ( f ( x )) = ∑ λi f i ( x ) ∑ λi = 1
i
i =1

3.
极大极小点法
1≤ i ≤ m
min u ( f ( x )) = min max{ f i ( x )}
公司经理考虑以下目标： 第一目标：充分利用正常的生产能力，避免开工不 足； 第二目标：优先满足老客户的需求，A,B,C三种型号的 电脑50,50,80台 第三目标：限制装配线加班时间，不允许超过200小 时； 第四目标：满足各种型号电脑的销售目标,A,B,C型号分 别为100,120,100台, 第五目标：装配线的加班时间尽可能少。
主办方在会议开始前对所有参会的100位代表 旅游意向进行了调查，充分考虑这些代表的意愿， 为主办方设计代表们合适的旅游路线，使他们在会 议结束后的10天时间内花最少的钱游尽可能多的地 方。 目标一：宾客参观意愿满意度尽可能高 目标二：宾客所花费用尽可能少 目标三：宾客游尽可能多的景点
幻灯片 10
求解算法之一：
转化单目标法
实例2：旅游路线设计
今年暑假，我校要召开“××学术会议”，届时来自国内外 的许多著名学者都会相聚成都。在会议结束后，主办方希望能 安排这些远道而来的贵宾参观四川省境内的著名自然和人文景 观，初步设想有如下线路可供选择： 一号线：九寨沟、黄龙； 二号线：乐山、峨嵋； 三号线：四姑娘山、丹巴； 四号线：都江堰、青城山； 五号线：海螺沟、康定； 每条线路中的景点可以全部参观，也可以参观其中之一。 不仅如此，一起参观景点的人数越多，每人承担的费用也会越 小。车费与车型、乘客人数、路程种类及公里数有关。
− 1
(2) 销售目标 优先满足老客户的需求，并根据三种电脑的纯 利润分配不同的权因子，A,B,C三种型号的电脑每 1000 1440 2520 小时的利润是 5 , 8 , 12 , 因此,老客户的
− − − ⎧ min{ 20 d 2 + 18 d 3 + 21 d 4 }; ⎪ − + ⎪ x 1 + d 2 − d 2 = 50 , ⎨ − + x 2 + d 3 − d 3 = 50 , ⎪ ⎪ − + x 3 + d 4 − d 4 = 80 . ⎩
2. 目标规划建模
若在上例中，企业的经营目标不仅要考
s. t. 2 x1 + 2 x2 ≤ 12 ,
4 x1 ≤ 16, 5 x2 ≤ 15, x1 , x2 ≥ 0.
虑利润，还需要考虑多个方面，因此增加下列因素(目标)：
• 力求使利润指标不低于1500元 • 考虑到市场需求,甲、乙两种产品的产量比应尽量保持1:2 • 设备A为贵重设备，严格禁止超时使用 • 设备C可以适当加班，但要控制；设备B既要求充分利用，又 尽可能不加班，在重要性上，设备B是设备C的3倍 从上述问题可以看出，仅用线性规划方法是不够的，需 要借助于目标规划的方法进行建模求解
例 计算机公司生产管理问题
公司经理考虑以下目标：
第一目标：充分利用正常的生产能力，避免开工不足； 第二目标：优先满足老客户的需求，A,B,C三种型号的电脑 50,50,80台，同时根据三种电脑的纯利润分配不同的权因子； 第三目标：限制装配线加班时间，不允许超过200小时； 第四目标：满足各种型号电脑的销售目标,A,B,C型号分别为 100,120,100台,再根据三种电脑的纯利润分配不同的权因子； 第五目标：装配线的加班时间尽可能少。
+ − + min z = Pd1− + P2 (d2 + d2 ) + P (3d3+ + 3d3− + d4 ); 1 3
s. t. 2x1 + 2x2 ≤ 12,
200x1 + 300x2 + d1− − d1+ = 1500 ,
− + 2x1 − x2 + d2 − d2 = 0,
4x1 + d3− − d3+ = 16,
请列出相应的目标规划模型,并用LINGO软件求解。
解 建立目标约束。 (1) 装配线正常生产 设生产A,B,C型号的电脑为x1, x2, x3台， − d1 装配线正常生产时间未利用数， + d1 装配线加班时间， 希望装配线正常生产,避免开工不足,因此装配线 约束目标为
⎧ min{ d }; ⎪ ⎨ ⎪5 x1 + 8 x 2 + 12 x 3 + d 1− − d 1+ = 1700 . ⎩
甲 2 A/(h/件) 4 B/(h/件) 0 C/(h/件) 赢利/(元/件) 200 乙 设备的生产能力/h 2 12 0 16 5 15 300
问该企业应如何安排生产，使得在计划期内 总利润最大？
1. 线性规划建模
该例是一个线性规划问题，直接考虑它的线性规划模型 设甲、乙产品的产量分别为x1,
销售目标约束为
(2) 销售目标 (接上) 再考虑一般销售，类似上面的讨论，得到
− − − ⎧ min{ 20 d 5 + 18 d 6 + 21 d 7 }; ⎪ − + ⎪ x1 + d 5 − d 5 = 100 , ⎨ − + x 2 + d 6 − d 6 = 120 , ⎪ ⎪ − + x 3 + d 7 − d 7 = 100 . ⎩
目标规划的数学模型
目标规划的基本概念
为了克服线性规划的局限性,目标规划采用如下手段： 1. 设置偏差变量; 2. 统一处理目标与约束; 3. 目标的优先级与权系数。
1. 设置偏差变量
用偏差变量(Deviational variables)来表示实际值与目标值 之间的差异，令 + ---- 超出目标的差值，称为正偏差变量 d ---- 未达到目标的差值，称为负偏差变量 − d − 其中d + 与 d 至少有一个为0
用目标规划方法求解
解：在生产安排问题中设备A是刚性约束，其余是 柔性约束．首先，最重要的指标是企业的利润， 将它的优先级列为第一级；其次，甲、乙两种产 品的产量保持1:2的比例，列为第二级；再次，设 备 B和C的工作时间要有所控制，列为第三级，设 备B的重要性是设备C的三倍，因此它们的权重不 一样。由此可以得到相应的目标规划模型。