多目标规划

多目标优化模型
多 目 标 优 化简介
•在很多实际问题中，例如经济、管理、军事、科学和工程设 计等领域，衡量一个方案的好坏往往难以用一个指标来判断， 而需 要用多个目标来比较，而这些目标有时不甚协调，甚至 是矛盾的。
•多目标规划（Multiple Objectives Programming） 是数学规划的一个分支，研究多于一个目标函数在给定 区域上的最优化，又称多目标最优化，通常记为 VMP。
甲 2 A/(h/件) 4 B/(h/件) 0 C/(h/件) 赢利/(元/件) 200
乙 设备的生产能力/h 2 12 0 16 5 15 300
• 力求使利润指标不低于1500元 • 考虑到市场需求,甲、乙两种产品的产量比应尽量保持1:2 • 设备A为贵重设备，严格禁止超时使用 • 设备C可以适当加班，但要控制；设备B既要求充分利用，又 尽可能不加班，在重要性上，设备B是设备C的3倍 设甲、乙产品的产量分别为x1,
x2,建立模型：
设备C可以适当加班，但要控制， 则目标可表示为 甲、乙两种产品的产量尽量保 持1:2的比例，则目标可表示为 设备B既要求充分利用，又尽可能 不加班，则目标可表示为
⎧min{d + }; ⎪ ⎨ ⎪5 x2 + d − − d + = 15. ⎩
⎧ min{ d + + d − }; ⎪ ⎨ ⎪ 2 x1 − x 2 + d − − d + = 0 . ⎩
x∈ X 1≤ i ≤ m
4.
范数理想点法
dp
(
p⎤ ⎡ f ( x ), f ;ω = ⎢ ∑ ω i f i ( x ) − f i ⎥ ⎣ i =1 ⎦ m
)
1 p
二、多目标优化目标规划法
线性规划通常考虑一个目标函数(问题简单) 目标规划考虑多个目标函数(问题复杂) 。
例 生产安排问题
某企业生产甲、乙两种产品，需要用到A,B,C 三种设备，关于产品的盈利与使用设备的工时及限 制如下表所示。
x2,建立线性规划模型：
Max
z = 200 x 1 + 300 x 2 ;
s. t. 2x1 + 2x2 ≤ 12 , 4x1 ≤ 16, 5x2 ≤ 15, x1, x2 ≥ 0.
用Lindo或Lingo软件求解,得到最优 解 *
x1 = 3, x2 = 3, z = 1500.
Max
z = 200 x 1 + 300 x 2 ;
⎧ min{ d + + d − }; ⎪ ⎨ ⎪ 4 x1 + d − − d + = 16 . ⎩
x2;
Max z = 200 x 1 + 300 从上面的分析可以看到： s. t. 2 x1 + 2 x2 ≤ 12 , •如果希望不等式保持大于等于，则极小化负偏差； 4 x1 ≤ 16, 5 x2 ≤ 15, •如果希望不等式保持小于等于，则极小化正偏差； x1 , x2 ≥ 0. •如果希望保持等式，则同时极小化正、负偏差．
2 x1 + 2 x 2 ≤ 12 .
另一类是可以不严格限制的，连同原线性规划的目标,构 成柔性约束(Soft Constraint).例如在求解生产安排中，我 们希望利润不低于1500元，则目标可表示为 ⎧ min{ d − }; ⎪ ⎨ ⎪ 200 x1 + 300 x 2 + d − − d + = 1500 . ⎩
幻灯片 4
转化单目标法
2.
线性加权和法：按照m个目标 f ( x ) 的重要 程度，分别乘以一组权系数，然后相加作 为目标函数。 m m u ( f ( x )) = ∑ λi f i ( x ) ∑ λi = 1
i
i =1

3.
极大极小点法
1≤ i ≤ m
min u ( f ( x )) = min max{ f i ( x )}
公司经理考虑以下目标： 第一目标：充分利用正常的生产能力，避免开工不 足； 第二目标：优先满足老客户的需求，A,B,C三种型号的 电脑50,50,80台 第三目标：限制装配线加班时间，不允许超过200小 时； 第四目标：满足各种型号电脑的销售目标,A,B,C型号分 别为100,120,100台, 第五目标：装配线的加班时间尽可能少。
主办方在会议开始前对所有参会的100位代表 旅游意向进行了调查，充分考虑这些代表的意愿， 为主办方设计代表们合适的旅游路线，使他们在会 议结束后的10天时间内花最少的钱游尽可能多的地 方。 目标一：宾客参观意愿满意度尽可能高 目标二：宾客所花费用尽可能少 目标三：宾客游尽可能多的景点
幻灯片 10
求解算法之一：
转化单目标法
实例2：旅游路线设计
今年暑假，我校要召开“××学术会议”，届时来自国内外 的许多著名学者都会相聚成都。在会议结束后，主办方希望能 安排这些远道而来的贵宾参观四川省境内的著名自然和人文景 观，初步设想有如下线路可供选择： 一号线：九寨沟、黄龙； 二号线：乐山、峨嵋； 三号线：四姑娘山、丹巴； 四号线：都江堰、青城山； 五号线：海螺沟、康定； 每条线路中的景点可以全部参观，也可以参观其中之一。 不仅如此，一起参观景点的人数越多，每人承担的费用也会越 小。车费与车型、乘客人数、路程种类及公里数有关。
− 1
(2) 销售目标 优先满足老客户的需求，并根据三种电脑的纯 利润分配不同的权因子，A,B,C三种型号的电脑每 1000 1440 2520 小时的利润是 5 , 8 , 12 , 因此,老客户的
− − − ⎧ min{ 20 d 2 + 18 d 3 + 21 d 4 }; ⎪ − + ⎪ x 1 + d 2 − d 2 = 50 , ⎨ − + x 2 + d 3 − d 3 = 50 , ⎪ ⎪ − + x 3 + d 4 − d 4 = 80 . ⎩
2. 目标规划建模
若在上例中，企业的经营目标不仅要考
s. t. 2 x1 + 2 x2 ≤ 12 ,
4 x1 ≤ 16, 5 x2 ≤ 15, x1 , x2 ≥ 0.
虑利润，还需要考虑多个方面，因此增加下列因素(目标)：
• 力求使利润指标不低于1500元 • 考虑到市场需求,甲、乙两种产品的产量比应尽量保持1:2 • 设备A为贵重设备，严格禁止超时使用 • 设备C可以适当加班，但要控制；设备B既要求充分利用，又 尽可能不加班，在重要性上，设备B是设备C的3倍 从上述问题可以看出，仅用线性规划方法是不够的，需 要借助于目标规划的方法进行建模求解
例 计算机公司生产管理问题
公司经理考虑以下目标：
第一目标：充分利用正常的生产能力，避免开工不足； 第二目标：优先满足老客户的需求，A,B,C三种型号的电脑 50,50,80台，同时根据三种电脑的纯利润分配不同的权因子； 第三目标：限制装配线加班时间，不允许超过200小时； 第四目标：满足各种型号电脑的销售目标,A,B,C型号分别为 100,120,100台,再根据三种电脑的纯利润分配不同的权因子； 第五目标：装配线的加班时间尽可能少。
+ − + min z = Pd1− + P2 (d2 + d2 ) + P (3d3+ + 3d3− + d4 ); 1 3
s. t. 2x1 + 2x2 ≤ 12,
200x1 + 300x2 + d1− − d1+ = 1500 ,
− + 2x1 − x2 + d2 − d2 = 0,
4x1 + d3− − d3+ = 16,
请列出相应的目标规划模型,并用LINGO软件求解。
解 建立目标约束。 (1) 装配线正常生产 设生产A,B,C型号的电脑为x1, x2, x3台， − d1 装配线正常生产时间未利用数， + d1 装配线加班时间， 希望装配线正常生产,避免开工不足,因此装配线 约束目标为
⎧ min{ d }; ⎪ ⎨ ⎪5 x1 + 8 x 2 + 12 x 3 + d 1− − d 1+ = 1700 . ⎩
甲 2 A/(h/件) 4 B/(h/件) 0 C/(h/件) 赢利/(元/件) 200 乙 设备的生产能力/h 2 12 0 16 5 15 300
问该企业应如何安排生产，使得在计划期内 总利润最大？
1. 线性规划建模
该例是一个线性规划问题，直接考虑它的线性规划模型 设甲、乙产品的产量分别为x1,
销售目标约束为
(2) 销售目标 (接上) 再考虑一般销售，类似上面的讨论，得到
− − − ⎧ min{ 20 d 5 + 18 d 6 + 21 d 7 }; ⎪ − + ⎪ x1 + d 5 − d 5 = 100 , ⎨ − + x 2 + d 6 − d 6 = 120 , ⎪ ⎪ − + x 3 + d 7 − d 7 = 100 . ⎩
目标规划的数学模型
目标规划的基本概念
为了克服线性规划的局限性,目标规划采用如下手段： 1. 设置偏差变量; 2. 统一处理目标与约束; 3. 目标的优先级与权系数。
1. 设置偏差变量
用偏差变量(Deviational variables)来表示实际值与目标值 之间的差异，令 + ---- 超出目标的差值，称为正偏差变量 d ---- 未达到目标的差值，称为负偏差变量 − d − 其中d + 与 d 至少有一个为0
用目标规划方法求解
解：在生产安排问题中设备A是刚性约束，其余是 柔性约束．首先，最重要的指标是企业的利润， 将它的优先级列为第一级；其次，甲、乙两种产 品的产量保持1:2的比例，列为第二级；再次，设 备 B和C的工作时间要有所控制，列为第三级，设 备B的重要性是设备C的三倍，因此它们的权重不 一样。由此可以得到相应的目标规划模型。
− + 5x2 + d4 − d4 = 15,
x1, x2 , di− , di+ ≥ 0, i = 1,2,3,4.
目标规划模型的实例
前面介绍了目标规划的求解方法，接着再介绍 几个目标规划模型的实例。
例 计算机公司生产管理问题
某计算机公司生产三种型号的笔记本电脑A,B,C。 这三种笔记本电脑需要在复杂的装配线上生产，生 产1台A,B,C型号的笔记本电脑分别需要5,8,12小时。 公司装配线正常的生产时间是每月1700小时。公司 营业部门估计A,B,C三种笔记本电脑的利润分别是 每台1000,1440,2520元，而公司预测这个月生产的笔 记本电脑能够全部售出。
转化为单目标
求解算法之二：
目标规划法
一、转化单目标法
1.
主要目标法 在多目标优化问题中，根据问题的实际 情况，确定一个目标为主要目标，而把其余目 标作为次要目标，并且根据决策者的经验，选 取一定的界限值。这样就可以把次要目标也作 为约束来处理，于是就将原多目标问题转化为 在新的约束下，求主要目标的单目标优化问 题。
实例1：计算机公司生产计划 某计算机公司生产三种型号的笔记本电脑 A,B,C。这三种笔记本电脑需要在复杂的装配线上生 产，生产1台A,B,C型号的笔记本电脑分别需要5,8,12 小时。 公司装配线正常的生产时间是每月1700小时。 公司营业部门估计A,B,C三种笔记本电脑的利润分别 是每台1000,1440,2520元，而公司预测这个月生产的 笔记本电脑能够全部售出。
3.目标的优先级与权系数
在目标规划模型中，目标的优先分为两个层 次，第一个层次是目标分成不同的优先级，在计 算目标规划时，必须先优化高优先级的目标，然 后再优化低优先级的目标。通常以P1,P2,...表示 不同的因子,并规定Pk>>Pk+1，第二个层次是目标 处于同一优先级，但两个目标的权重不一样，因 此两目标同时优化，用权系数的大小来表示目标 重要性的差别。
d+
约定如下： d − = 0 , d + > 0; •当实际值超过目标值时，有 •当实际值未达到目标值时，有 d + = 0, d − > 0; •当实际值与目标值一致时，有 d − = 0, d + = 0.
2. 统一处理目标与约束
在目标规划中，约束可分两类，一类是对资源有严格限制 的，称为刚性约束(Hard Constraint)；例如在用目标规划 求解生产安排问题中设备A禁止超时使用，则有刚性约束
(3) 加班限制 首先是限制装配线加班时间，不允许超过200 小时，因此得到 ⎧ min{ d 8+ }; ⎪ ⎨ ⎪ 5 x1 + 8 x 2 + 12 x 3 + d 8− − d 8+ = 1900 . ⎩ 其次装配线的加班时间尽可能少，即