七年级数学(上)探索规律类问题及答案

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新初一规律探索题参考答案

前言：七年级上册数学期中考试，主要考察书本前2章，想要考试取得好的成绩，首先应一般能力：①基本知识、基本技能；②计算能力；其次要想获得高分必须具备高分能力：①观察、猜想、推理、验证的能力；②数形结合思想的建立；③分类讨论思想的建立；④方程思想的建立；对于重点中学学生，尤为重要。

高分能力是今后学习领先的有力保障，需要大量练习、总结、体会，七年级涉及的仅仅是一部分。

一、规律探索类题型规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形等条件，要求学生通过：①读题②观察③分析④猜想⑤验证，来探索对象的规律。

它体现了“特殊到一般”、“数形结合”等数学思想方法，考察学生的分析、解决问题能力。

题型可涉及填空、选择或解答。

【题型分类】【1、数字问题】最好具备数列的有关知识（小学奥数有涉及），实际考察的是：经历探索事物间的数量关系，用字母表示数和代数式表示的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维，进一步使学生体会到代数式是刻画现实世界的有效数学模型。

如：1、正整数规律1、2、3、4、5、、、、可以表示为n （其中n 为正整数）2、奇数规律1、3、5、7、9、、、、可以表示为21n -（其中n 为正整数）3、偶数规律2、4、6、8、10、、、、可以表示为2n （其中n 为正整数）4、正、负交替规律变化一组数，不看他们的绝对值，只看其性质，为正负交替（1）、-、+、-、+、-、+、-、+可以表示为(1)n -（2）、+、-、+、-、+、-、+、-可以表示为1(1)n +-5、平方数规律1、4、9、16、、、、可以表示为2n （其中n 为正整数），能看得出：上面的规律数+1、+2、-1、-26、等差数列常识按一定次序排列的一列数就叫数列。

例如：（1）1，2，3，4，5，6，…（2）1，2，4，8，16，32；A 、一个数列中从左至右的第n 个数，称为这个数列的第n 项。

七年级数学人教课标(上册)38规律探索

规律探索一、选择题1.（5分）（2014•毕节地区，第18题5分）观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是．个数是故答案为：2.（2014•武汉，第9题3分）观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第5个图中共有点的个数是（）3. （2014•株洲，第8题，3分）在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是（）二.填空题1. （2014•湘潭，16题，3分）如图，按此规律，第6行最后一个数字是16，第672行最后一个数是2014．2. （2014•扬州，第18题，3分）设a1，a2，…，a2014是从1，0，﹣1这三个数中取值的一列数，若a1+a2+…+a2014=69，（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2014+1）2=4001，则a1，a2，…，a2014中为0的个数是165．，得到方程组二.填空题1. （2014•珠海，第10题4分）如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1=90°，OA=1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA4的长度为8．OA，=；=2OA2．(2014年四川资阳，第16题3分)如图，以O（0，0）、A（2，0）为顶点作正△OAP1，以点P1和线段P1A的中点B为顶点作正△P1BP2，再以点P2和线段P2B的中点C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，则第六个正三角形中，不在第五个正三角形上的顶点P6的坐标是（，）．考点：规律型：点的坐标；等边三角形的性质．菁优网分析：根据O（0，0）A（2，0）为顶点作△OAP1，再以P1和P1A的中B为顶点作△P1BP2，再P2和P2B的中C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，结合图形求出点P6的坐标．解答：解：由题意可得，每一个正三角形的边长都是上个三角形的边长的，第六个正三角形的边长是，故顶点P6的横坐标是，P5纵坐标是=，P6的纵坐标为，故答案为：（，）．点评：本题考查了点的坐标，根据规律解题是解题关键．3．（2014年云南省，第14题3分）观察规律并填空（1﹣）=•=；（1﹣）（1﹣）=•••==（1﹣）（1﹣）（1﹣）=•••••=•=；（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）=•••••••=•=；…（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=．（用含n的代数式表示，n是正整数，且n≥2）考点：规律型：数字的变化类．分析：由前面算式可以看出：算式的左边利用平方差公式因式分解，中间的数字互为倒数，乘积为1，只剩下两端的（1﹣）和（1+）相乘得出结果．解答：解：（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=••••••…=．故答案为：．点评：此题考查算式的运算规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，解决问题．4.（2014•邵阳，第18题3分）如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动3个单位长度至C点，第3次从C点向右移动6个单位长度至D点，第4次从D点向左移动9个单位长度至E点，…，依此类推，这样至少移动28 次后该点到原点的距离不小于41．≥5.（2014•孝感，第18题3分）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B6的坐标是（63，32）．6.（2014•滨州，第18题4分）计算下列各式的值：；；；．观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得= 102014．先计算得到，=100=10=1000=10，=1000=10=100=10=1000=10=1000=107．（2014•德州，第17题4分）如图，抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3…A n，…．将抛物线y=x2沿直线L：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1，M2，M3，…M n，…都在直线L：y=x上；②抛物线依次经过点A1，A2，A3…A n，…．则顶点M2014的坐标为（4027，4027）．（（（8.（2014•菏泽，第14题3分）下面是一个某种规律排列的数阵：根据数阵的规律，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数是（用含n的代数式表示）故答案为：9．（2014年山东泰安，第24题4分）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0，4），则点B2014的横坐标为．分析：首先利用勾股定理得出AB的长，进而得出三角形的周长，进而求出B2，B4的横坐标，进而得出变化规律，即可得出答案．解：由题意可得：∵AO=，BO=4，∴AB=，∴OA+AB1+B1C2=++4=6+4=10，∴B2的横坐标为：10，B4的横坐标为：2×10=20，∴点B2014的横坐标为：×10=10070．故答案为：10070．点评：此题主要考查了点的坐标以及图形变化类，根据题意得出B点横坐标变化规律是解题关键．三.解答题1. （2014•安徽省,第16题8分）观察下列关于自然数的等式：32﹣4×12=5 ①52﹣4×22=9 ②72﹣4×32=13 ③…根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：92﹣4×42=17；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．考点：规律型：数字的变化类；完全平方公式．菁优网分析：由①②③三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，计算的结果是被减数的底数的2倍减1，由此规律得出答案即可．解答：解：（1）32﹣4×12=5 ①52﹣4×22=9 ②72﹣4×32=13 ③…所以第四个等式：92﹣4×42=17；（2）第n个等式为：（2n+1）2﹣4n2=2（2n+1）﹣1，左边=（2n+1）2﹣4n2=4n2+4n+1﹣4n2=4n+1，右边=2（2n+1）﹣1=4n+2﹣1=4n+1．左边=右边∴（2n+1）2﹣4n2=2（2n+1）﹣1．点评：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．。

七年级数学探索规律——图形规律(人教版)(专题)(含答案)

故选A．
试题难度：三颗星知识点：略
4.有一长条型链子，其外型由边长为1的正六边形排列而成．如图是此链子的任意一段示意图，其中每个黑色六边形与6个白色六边形相邻．若此链子上共有35个黑色六边形，则共有( )个白色六边形．
A.140 B.142
C.210 D.212
答案：B
解题思路：
分析：按照分类的思想来考虑，第1个黑色六边形周围的6个白色六边形可以分成两类，左边的2个白色六边形是一类，剩余的4个白色六边形是一类．黑色六边形每增加1个，白色六边形就增加4个．
第3个图中三角形个数为；
将上述规律标序号，如下：
① ；
② ；
③ ；
…
所以第个图中三角形个数为；
当时，，
所以第20个图中三角形个数为77．
故选C．
试题难度：三颗星知识点：略
7.下列图形是由同样大小的五角星按一定的规律排列组成，其中第1个图形共有2个五角星，第2个图形共有8个五角星，第3个图形共有18个五角星，…，则第10个图形中五角星的个数为( )
当时，，
即此链子上共有35个黑色六边形时，共有142个白色六边形．
故选B．
试题难度：三颗星知识点：略
5.一块瓷砖的图案如图1所示，用这种瓷砖铺设地面，如果铺设成如图2的图案，其中完整的圆一共有5个，如果铺设成如图3的图案，其中完整的圆一共有13个，如果铺设成如图4的图案，其中完整的圆一共有25个，依此规律，第10个图中，完整的圆一共有( )
A.100个B.101个
C.181个D.221个
答案：C
解题思路：
分析：按照分类的思想来考虑，可以分为一块瓷砖自带的圆和多块瓷砖拼成的完整的圆；
第1个图案，自带的圆1个，拼成的圆0个，共个；

数学找规律题及答案

数学找规律题及答案【篇一：七年级上数学规律发现专题训练习题和答案】．用黑白两种颜色的正六边形地砖按如下所示的规律拼成若干个图案：第(4)个图案中有黑色地砖4块；那么第(n)个图案中有白色地砖块。

．．??2.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。

”如图，在一个边长为1的正方形纸版上，依次贴上面积为1111，n2482第3题的矩形彩色纸片（n为大于1的整数）。

请你用“数形结合”的思想，依数形变化的规律，计算1111?????n。

24823.有一列数：第一个数为x1=1，第二个数为x2=3，第三个数开始依次记为x3，x4，?，xn；从第二个数开始，每个数是它相邻两个数和的一半。

（如：x2=x1?x3） 2(1)求第三、第四、第五个数，并写出计算过程； (2)根据（1）的结果，推测x8= ； (3)探索这一列数的规律，猜想第k个数xk=.（k是大于2的整数）4.将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线）.继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到_ 条折痕 .如果对折n次，可以得到条折痕 .5. 观察下面一列有规律的数123456,,,,,,??，根据这个规律可知第n个数是（n是正整数）38152435486.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，??，叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数的差为。

7. 按照一定顺序排列的一列数叫数列,一般用a1，a2，a3，?，an 表示一个数列，可简记为2{an}.现有数列{an}满足一个关系式：an+1=an-nan+1,(n=1,2,3,?,n),且a1=2.根据已知条件计算a2,a3,a4的值，然后进行归纳猜想an=_________.（用含n 的代数式表示）8.观察下面一列数：-1，2，-3，4，-5，6，-7，．．．，将这列数排成下列形式按照上述规律排下去，那么第10行从左边第9个数是 . -1 2-34 -56-7-9 10-1112-1314-15169.观察下列等式9-1=8 (8)16-4=12 25-9=16 36-16=20 ????这些等式反映自然数间的某种规律，设n(n≥1)表示自然数，用关于n的等式表示这个规律为10．如图是阳光广告公司为某种商品设计的商标图案，图中阴影部分为红色。

3.3探索与表达规律+第1课时+探索并表达规律2024-2025学年北师大版2024数学七年级上

3.3 探索与表达规律
第1课时探索并表达规律
学习目标
1.能用代数式表示数与图形的变化规律。(重点） 2.进一步培养学生观察、分析、抽象、概括等思维能力和应用意识。（难点）
新课导入
观察下图所示的日历图，回答下列问题：
星星星星星星星期期期期期期期日一二三四五六
12345 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
合作探究
(2)你还能设计其他形状的包含数字规律的数框吗？
星星星星星星星期期期期期期期日一二三四五六
12345 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
“X”形
新知小结
探索规律的一般步骤：
所以这个月的第一个星期日是2号。
合作探究
(1)如果将方框改为十字形框，你能发现哪些规律？如果改为“H”
形框呢？它们有什么共同规律？
十字形框中五个数之和是该框中正中间数的5倍；
“H”形框中七个数之和是该框中正中间数的7倍。
星星星星星星星期期期期期期期日一二三四五六
12345 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
具观
猜
体察问、比 Nhomakorabea想规题较
律
索探
表示规律
新重
得
出
结
验
论
证成立规
律不成立
头回
感悟新知

七年级数学第10讲探索与表达规律(解析版)

第10讲探索与表达规律1.初步掌握规探索的方法，并能对简单的规律进行用数学语言描述；2.培养学生对数和字母应用的理解，从而拓展学生的视野；3.掌握从特殊到一般、从个体到整体地观察。

分析问题的方法，尝试从不同角度探究问题，培养应用意识和创新意识知识点1：规律类：数字变化型一、等差规律：前后两项差几写成几×n，令n=1，在通过加减来凑第一个数。

例如：上面的第（3）列数，相差3，则先得到3n，而第1项是4，当n=1时，3n=3，3+1=4，所有第n项表示为3n+1.拓展延申：知识点2：规律型：图形变化类1.基本思想：图形规律数字规律2.基本方法：（1）从具体的实际问题出发,观察各个数量的特点及相互之间的变化规律.（2）由此及彼,合理联想,大胆猜想（3）善于类比,从不同事物中发现相似或相同点；（4）总结规律,得出结论,并验证结论正确与否;考点1：数字变化类例1.（2023•红河州二模）按一定规律排列的单项式：3a2，﹣5a4，7a6，﹣9a8，…，第13个单项式为（）A．27a26B．﹣27a26C．25a26D．﹣25a25【答案】A【解答】解：观察这列单项式，可以发现系数的绝对值是从3开始的奇数，可表示为：（﹣1）n+1•（2n+1），字母a的指数为连续的偶数，可表示为：a2n，因此第n个单项式为：（﹣1）n+1•（2n+1）a2n，∴第13个单项式为：27a26，故选：A．【变式1】（2023•双柏县模拟）按一定规律排列的单项式：﹣x，5x2，﹣9x3，13x4，﹣17x5，…，第n个单项式是（）A．（5n﹣4）（﹣x）n B．（5n﹣4）x nC．（4n﹣3）x n D．（4n﹣3）（﹣x）n【答案】D【解答】解：第n个单项式为：（4n﹣3）（﹣x）n．故选：D．例2.（2023•安徽模拟）观察以下等式：第1个等式：1×（2+4）+4×2＝2×5+4，第2个等式：2×（6+4）+4×5＝3×8+16，第3个等式：3×（12+4）+4×10＝4×13+36，第4个等式：4×（20+4）+4×17＝5×20+64，…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：5×（30+4）+4×26＝6×29+100；（2）写出你猜想的第n个等式：n[n（n+1）+4]+4（n2+1]＝（n+1）（n2+4）+4n2（用含n的代数式表示），并证明．【答案】（1）5（30+4）+4×26＝629+100；（2）n[n（n+1）+4]+4（n2+1]＝（n+1）（n2+4）+4n2，证明见解答．【解答】解：（1）根据已给四个等式，可得第5个等式为：5（30+4）+4×26＝629+100；（2）等式左边由两部分组成，第一部分是序号与比序号大1的数的积再加上4的和的序号倍，第二部分为序号的平方加1的和的4倍，可表示为：n[n（n+1）+4]+4（n2+1]，等式右边也有两部分组成，第一部分为比序号大1的数乘以序号的平方与4的和，第二部分为序号平方的4倍，可表示为：（n+1）（n2+4）+4n2，因此猜想第n个等式为：n[n（n+1）+4]+4（n2+1]＝（n+1）（n2+4）+4n2，证明：左边＝n[n2+n+4]+4n2+4＝n3+n2+4n+4n2+4＝n3+5n2+4n+4，右边＝n3+4n+n2+4+4n2＝n3+5n2+4n+4，∵左边＝右边，∴n[n（n+1）+4]+4（n2+1]＝（n+1）（n2+4）+4n2．【变式2-1】（2023•霍邱县一模）观察以下等式：第1个等式：22﹣12＝2×1+1，第2个等式：32﹣22＝2×2+1，第3个等式：42﹣32＝2×3+1，第4个等式：52﹣42＝2×4+1，按照以上规律，解决下列问题：..．（1）写出第6个等式：72﹣62＝2×6+1．（2）写出你猜想的第n个等式：（n+1）2﹣n2＝2n+1（用含n的等式表示），并证明．【答案】（1）72﹣62＝2×6+1；（2）（n+1）2﹣n2＝2n+1．【解答】解：（1）第6个等式是72﹣62＝2×6+1，故答案为：72﹣62＝2×6+1；（2）猜想：第n个等式是（n+1）2﹣n2＝2n+1，证明：∵（n+1）2﹣n2＝n2+2n+1﹣n2＝2n+1，∴（n+1）2﹣n2＝2n+1成立．故答案为：（n+1）2﹣n2＝2n+1．【变式2-2】（2023•无为市三模）观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，……解决下列问题：（1）按照以上规律，写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明；（3）利用上述规律，直接写出结果：＝4850．【答案】（1）；（2）；证明见解析；（3）4850．【解答】解：（1）第6个等式为，故答案为：；（2）第n个等式为，证明：左边＝，右边＝，∴左边＝右边，∴等式成立；故答案为：；（3）＝﹣×97＝2++3++4++…+98+﹣×97＝2+3+4+…+98＝4850；故答案为：4850．例3.（2023•涡阳县二模）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n 的等式表示），并证明．【答案】（1）；（2），证明见解析．【解答】解：（1）由题意可得，第5个等式为．故答案为：．（2）．证明：左边＝＝＝，右边＝，∵左边＝右边，∴等式成立．【变式3】（2023•明光市一模）观察下列等式：①；②；③；④；…（1）写出第n个等式，并证明你的结论；（2）运用（1）中的结论计算．【答案】（1），证明见解析过程；（2）．【解答】解：（1）∵①；②；③；④；…∴第n个等式为，理由：左边＝＝＝＝，右边＝，∴左边＝右边，∴；（2）＝＝＝＝．例4.（2023春•邳州市期中）给出下列算式：32﹣12＝8＝8×1；52﹣32＝16＝8×2；72﹣52＝24＝8×3；92﹣72＝32＝8×4；52﹣32＝16＝8×2，……（1）用含n的式子（n为正整数）表示上述规律并用所学的知识验证这个规律的正确性．（2）借助你发现的规律填空：1412﹣1392＝560．（3）利用（1）中发现的规律计算：8×1+8×2+8×3+⋯+8×49+8×50＝1012﹣1（或10200）．【答案】（1）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，验证见解析；（2）141；139；（3）1012﹣1（或10200）．【解答】解：（1）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，验证：∵左边＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（4n2+4n+1）﹣（4n2﹣4n+1）＝8n，右边＝8n，∴左边＝右边，∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；（2）由（1）可知，∵8n＝560，∴n＝70，2×70+1＝141，2×70﹣1＝139，故答案为：141；139；（3）由（1）可知：当n＝49时，2×49+1＝99，2×49﹣1＝97，n＝50，2×50+1＝101，2×50﹣1＝99，∴8×1+8×2+8×3+⋯+8×49+8×50＝（32﹣12）+（52﹣32）+（72﹣52）+⋯+（992﹣972）+（1012﹣992）＝32﹣12+52﹣32+72﹣52+⋯+992﹣972+1012﹣992＝1012﹣1．故答案为：1012﹣1（或10200）．【变式4】（2023•长丰县模拟）观察下列等式的规律，解答下列问题：第1个等式：12+22+32＝3×22+2．第2个等式：22+32+42＝3×32+2第3个等式：32+42+52＝3×42+2．第4个等式：42+52+62＝3×52+2．……（1）请你写出第5个等式：52+62+72＝3×62+2．（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．【答案】（1）52+62+72＝3×62+2；（2）第n个等式：n2+（n+1）2+（n+2）2＝3（n+1）2+2，见解答过程．【解答】解：（1）由题意得：第5个等式为：52+62+72＝3×62+2．故答案为：52+62+72＝3×62+2；（2）猜想的第n个等式：n2+（n+1）2+（n+2）2＝3（n+1）2+2，证明：左边＝n2+n2+2n+1+n2+4n+4＝3n2+6n+5，右边＝3（n2+2n+1）+2＝3n2+6n+5，∴左边＝右边，∴猜想成立．考点2：图形变化类例5.（2023•砀山县二模）某校教学楼前走廊用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖来铺设地面，图1表示地面的瓷砖排列方式．【观察思考】当黑色瓷砖有1块时，瓷砖的总数有9块（如图2）；当黑色瓷砖有2块时，瓷砖的总数有15块（如图3）；当黑色瓷砖有3块时，瓷砖的总数有21块（如图4）；…；以此类推．【规律总结】（1）若该走廊每增加1块黑色瓷砖，则瓷砖的总数增加6块；（2）若这样的走廊一共有n（n为正整数）块黑色瓷砖，则瓷砖的总数为（6n+3）块；（用含n的代数式表示）【问题解决】（3）现总共有2025块瓷砖，若按此规律再建一条走廊，则黑色瓷砖有多少块？【答案】（1）6；（2）（6n+3）；（3）黑色瓷砖有337块．【解答】解：（1）由题意知，每增加1块黑色瓷砖，则白色瓷砖增加5块，∴瓷砖的总数增加1+5＝6（块），故答案为：6；（2）由题意知，有1块黑色瓷砖时，瓷砖的总数为9块；有2块黑色瓷砖时，瓷砖的总数为9+6＝15块；有3块黑色瓷砖时，瓷砖的总数为9+6×2＝21块；有4块黑色瓷砖时，瓷砖的总数为9+6×3＝27块；∴一般性规律：有n块黑色瓷砖，瓷砖的总数为9+6×（n﹣1）＝（6n+3）块；故答案为：（6n+3）；（3）令6n+3＝2025，解得n＝337，∴黑色瓷砖有337块．【变式5-1】（2023•全椒县二模）如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm，按这种连接方式，完成下面各题．（1）2节链条的总长度为 4.6cm；3节链条的总长度为 6.4cm；4节链条的总长度为8.2cm；（2）根据上述规律，n节链条的总长度为多少cm；（用含n的式子表示，不用说理）（3）一根链条的总长度能否为73cm？若能，请求出该链条由几节组成；若不能，请说明理由．【答案】（1）4.6；6.4；8.2；（2）（1.8n+1）cm；（3）能，由40节组成．【解答】解：（1）由题意得：1节链条的长度＝2.8cm，2节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）]＝4.6cm，3节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）×2]＝6.4cm，4节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）×3]＝8.2cm，故答案为：4.6；6.4；8.2；（2）根据（1）可得，n节链条的总长度为2.8+（2.8﹣1）（n﹣1）＝（1.8n+1）cm；（3）一根链条的总长度可以为73cm，设该链条由x节组成，根据题意得1.8x+1＝73，解得x＝40，∴总长度为73cm的链条由40节组成．【变式5-2】（2023•包河区二模）某旅游景区走廊的中间部分是用边长为1米的白色正方形地砖和彩色正方形（图中阴影部分）地砖铺成的，图案如图所示，根据图示排列规律，解答以下问题．（1）第4个图案L（4）有白色地砖15块地砖；第n个图案L（n）有白色地砖块（3n+3）地砖（用含n的代数式表示）；（2）已知L（1）的长度为3米，L（2）的长度为5米，…，L（n）的长度为2023米，求图案L（n）中白色正方形地砖有多少块．【答案】（1）15，（3n+3）；（2）3036．【解答】解：（1）∵第1个图案L（1）的白色地砖块数为：6，第2个图案L（2）的白色地砖块数为：6+3＝6+3×1，第3个图案L（3）的白色地砖块数为：6+3+3＝6+3×2，第4个图案L（4）的白色地砖块数为：6+3×3＝15，…，第n个图案L（n）的白色地砖块数为：6+3（n﹣1）＝3n+3，故答案为：15，（3n+3）；（2）∵L（1）的长度为3米，L（2）的长度为5米，…，∴L（n）的长度为：（2n+1）米，∴当2n+1＝2023时，解得：n＝1011，∴L（1011）中白色地砖的块数为：3n+3＝3×1011+3＝3036．【变式5-3】（2023•安徽模拟）如图，下列图案都是由同样大小的基本图形⊙按一定规律所组成的，其中：第1个图案中基本图形的个数：1+2×2＝5，第2个图案中基本图形的个数：2+2×3＝8，第3个图案中基本图形的个数：3+2×4＝11，第4个图案中基本图形的个数：4+2×5＝14，…．按此规律排列，解决下列问题：（1）写出第5个图案中基本图形的个数：17；（2）如果第n个图案中有2024个基本图形，求n的值．【答案】（1）17；（2）n＝674．【解答】解：（1）由题意得：第5个图案中基本图形的个数：5+2×6＝17，故答案为：17；（2）由题意得：第n个图形中基本图形的个数为：n+2（n+1）＝3n+2，∵第n个图案中有2024个基本图形，∴3n+2＝2024，解得：n＝674．【变式5-4】（2023•金寨县一模）为了渲染新年喜庆氛围，某人民广场用鲜花摆出不同的造型，小明同学把每盆花用点在纸上表示出来，如图所示．[观察思考]第1个图形有4盆花，第2个图形有6盆花，第3个图形有8盆花，第4个图形有10盆花，以此类推．[规律总结]（1）第5个图形有12盆花；（2）第n个图形中有（2n+2）盆花（用含n的代数式表示）；[问题解决]（3）现有2023盆花，若按此规律摆出一个图形，要求剩余花盆数最少，则可摆出第几个图形？【答案】（1）12；（2）（2n+2）；（3）1010．【解答】解：第1个图形有（1+1）×2＝4盆花，第2个图形有（2+1）×2＝6盆花，第3个图形有（3+1）×2＝8盆花，第4个图形有（4+1）×2＝10盆花，第5个图形有（5+1）×2＝12盆花，……第n个图形有（n+1）×2＝（2n+2）盆花，（1）第5个图形有12盆花，故答案为：12；（2）第n个图形有（2n+2）盆花，故答案：（2n+2）；（3）2n+2≤2023，解得：n≤1010.5，当n＝1010时，2n+2＝2022，2023﹣2022＝1，所以2023盆花，要求剩余花盆数最少，则可摆出第1010个图形．例6.（2022秋•黔江区期末）（1）为了计算1+2+3+⋯+8的值，我们构造图形（图1），共8行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有（1+2+3+⋯+8）个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9列，有8×9＝72个点，由此可得1+2+3+⋯+8＝×（1+8）×9＝36．用此方法，可求得1+2+3+⋯+20＝210（直接写结果）．（2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题：填空：①1+3+5+⋯+49＝625；②1+3+5+⋯+（2n+1）＝（n+1）2．（3）请构造一图形，求（画出示意图，写出计算结果）．【答案】（1）210；（2）625；（n+1）2；（3）1﹣．【解答】解：（1）1+2+3+…+20＝（1+20）×20＝21×10＝210；故答案为：210；（2）由点阵图可知：一个数时和为1＝12，2个数时和为4＝22，3个数时和为9＝32，…，n个数时和为n2．①∵1+3+5+…+49中有25个数，∴1+3+5+…+49＝252＝625．②∵1+3+5…+（2n+1）中有（n+1）个数，∴1+3+5…+（2n+1）＝（n+1）2．故答案为：625，（n+1）2；（3）由题意画出图形如下：假定正方形的面积为1，由图可知＝1﹣．【变式6-1】（2023•五华县校级开学）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的正方形，再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的长方形，如此进行下去，…．（1）试利用图形揭示规律，计算：＝，并使用代数方法说明你的结论正确；（2）请你再设计一个能求出的值的几何图形．【答案】（1）；（2）见解答．【解答】解：（1）由图可知，+…＝1﹣＝；证明如下：+…＝+++...+＝＝＝＝＝；（2）如下图：【变式6-2】（2022秋•双牌县期末）【阅读】求值1+2+22+23+24+…+210解：设S＝1+2+22+23+24+ (210)将等式①的两边同时乘以2得：2S＝2+22+23+24+25+ (211)由②﹣①得：2S﹣S＝211﹣1即：S＝1+2＝22+23+24+…+210＝211﹣1【运用】仿照此法计算：（1）1+3+32+33+34+ (350)（2）1++++…+．（3）【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为S1，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形S2，依次操作2022次，依次得到小正方形S1、S2、S3、…、S2022．完成下列问题：①小正方形S2022的面积等于；②求正方形S1、S2、S3、…、S2022的面积和．【答案】（1）；（2）2﹣；（3）①；②．【解答】解：（1）设S＝1+3+32+33+34+…+350①，①×3，得：3S＝3+32+33+34+35+…+351②，②﹣①，得：2S＝351﹣1，则S＝，即1+3+32+33+34+…+350＝；（2）设S＝1++++…+①，①×，得：S＝++++…+②，②﹣①，得：﹣S＝﹣1，∴S＝2（1﹣）＝2﹣，即1++++…+＝2﹣；（3）∵S1＝（）2＝，S2＝S1＝，S3＝S2＝，…，∴S2022＝，故答案为：；②设S＝S1+S2+S3+…+S2022＝+++…+①，①×，得：S＝+++…+②，①﹣②，得：S＝﹣，∴S＝（﹣）＝，即S1+S2+S3+…+S2022＝．例7.（2022秋•达川区期末）五一期间，某人民广场的一个公共区域用盆栽进行了美化，盆栽按如图的方式摆放，图中的盆栽被折线隔开分成若干层，第一层有1个盆栽，第二层有3个盆栽，第三层有5个盆栽，第四层有7个盆栽，…，以此类推，请观察图形规律，解答下列问题：（1）计算：1+3+5+…+99＝2500；（2）拓展应用：求101+103+105+…+999的值．【答案】（1）2500；（2）247500．【解答】解：（1）根据题意可得，1+3+5+…+99＝502＝2500，故答案为：2500；（2）1+3+5+…+101+103+105+…+999＝5002＝250000，1+3+5+…+99＝502＝2500，101+103+105+…+999＝1+3+5+…+101+103+105+…+999﹣（1+3+5+…+99）＝250000﹣2500＝247500，∴101+103+105+…+999的值为247500．【变式7-1】（2023•定远县一模）图1是由若干个小圆圈推成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共推了n层．将图1倒置后与原图1排成图2的形状，这样图2中每一行的圆圈数都是n+1．我们可以利用“倒序相加法”算出图1中所有圆圈的个数为：．（1）按照图1的规则摆放到第12层时，求共用了多少个圆圈；（2）按照图1的规则摆放到第19层，每个圆圈都按图3的方式填上一串连续的正整数：1，2，3，4，……，则第19层从左边数第二个圆圈中的数字是173．【答案】（1）78个；（2）173．【解答】解：（1）图1中所有圆圈的个数为：（个），当n＝12时，（个），答：摆放到第12层时，求共用了78个圆圈；（2）图3中，第18层最右边的数字是：＝171（个），则图3中第19层从左边数第二个圆圈中的数字是是：171+2＝173（个），故答案为：173．【变式7-2】（2023•萧县一模）观察如图中用小黑点摆成的三角形，并根据图中规律回答相关问题．（1）第4个图形对应的等式为1+2+3+4+5＝；（2）若第n个图形对应的黑点总数为66个，求n的值．【答案】（1）1+2+3+4+5＝；（2）10．【解答】解：（1）由题意得：第4个图形对应的等式为：1+2+3+4+5＝，故答案为：1+2+3+4+5＝；（2）由题意得：第n个图形对应的等式为：1+2+3+…+（n+1）＝，∴，解得：n＝10．1．（2023•安徽）【观察思考】【规律发现】请用含n的式子填空：（1）第n个图案中“◎”的个数为3n；（2）第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，……，第n个图案中“★”的个数可表示为．【规律应用】（3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1+2+3+……+n等于第n个图案中“◎”的个数的2倍．【答案】（1）3n；（2）；（3）11．【解答】解：（1）∵第1个图案中“◎”的个数为：3＝1+2，第2个图案中“◎”的个数为：6＝1+2+2+1，第2个图案中“◎”的个数为：6＝1+2+2+3+1，…，∴第n个图案中“◎”的个数：1+2（n﹣1）+n+1＝3n，故答案为：3n；（2）由题意得：第n个图案中“★”的个数可表示为：；故答案为：；（3）由题意得：＝2×3n，解得：n＝11或n＝0（不符合题意）．2．（2023•浙江）观察下面的等式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，92﹣72＝8×4，…（1）写出192﹣172的结果；（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）；（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．【答案】（1）72；（2）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；（3）见解答．【解答】解：（1）∵17＝2×9﹣1，∴192﹣172＝8×9＝72；（2）由题意可得，（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；（3）∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n×2＝8n，∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n正确．3．（2022•嘉兴）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45．（1）尝试：①当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25；②当a＝2时，252＝625＝2×3×100+25；③当a＝3时，352＝1225＝3×4×100+25；……（2）归纳：与100a（a+1）+25有怎样的大小关系？试说明理由．（3）运用：若与100a的差为2525，求a的值．【答案】（1）3×4×100+25；（2）＝100a（a+1）+25，理由见解答过程；（3）5．【解答】解：（1）∵①当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25；②当a＝2时，252＝625＝2×3×100+25；∴③当a＝3时，352＝1225＝3×4×100+25，故答案为：3×4×100+25；（2）＝100a（a+1）+25，理由如下：＝（10a+5）（10a+5）＝100a2+100a+25＝100a（a+1）+25；（3）由题知，﹣100a＝2525，即100a2+100a+25﹣100a＝2525，解得a＝5或﹣5（舍去），∴a的值为5．4．（2022•安徽）观察以下等式：第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．【答案】（1）（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2，（2）（2n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2，证明过程见解答．【解答】解：（1）因为第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，第5个等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2，故答案为：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2；（2）第n个等式：（2n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2，证明：左边＝4n2+4n+1，右边＝[（n+1）×2n]2+2×（n+1）×2n+12﹣[（n+1）×2n]2＝4n2+4n+1，∴左边＝右边．∴等式成立．5．（2020•安徽）观察以下等式：第1个等式：×（1+）＝2﹣，第2个等式：×（1+）＝2﹣，第3个等式：×（1+）＝2﹣，第4个等式：×（1+）＝2﹣．第5个等式：×（1+）＝2﹣．…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：×（1+）＝2﹣；（2）写出你猜想的第n个等式：×（1+）＝2﹣（用含n的等式表示），并证明．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）第6个等式：×（1+）＝2﹣；（2）猜想的第n个等式：×（1+）＝2﹣．证明：∵左边＝×＝＝2﹣＝右边，∴等式成立．故答案为：×（1+）＝2﹣；×（1+）＝2﹣．1．（2023•安徽二模）观察下列等式：第1个等式：1×2+1＝3；第2个等式：2×3+2＝8；第3个等式：3×4+3＝15；第4个等式：4×5+4＝24；…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：5×6+5＝35；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示，n≥1，且为整数），并证明．【答案】（1）5×6+5＝35；（2）n（n+1）+n＝n（n+2）．证明见解析．【解答】解：（1）∵第1个等式：1×2+1＝3；第2个等式：2×3+2＝8；第3个等式：3×4+3＝15；第4个等式：4×5+4＝24；∴第5个等式：5×6+5＝35；故答案为：5×6+5＝35；（2）根据（1）猜想第n个等式：n（n+1）+n＝n（n+2）．证明：∵等式左边＝n2+n+n＝n2+2n，等式右边＝n2+2n，∴左边＝右边，∴n（n+1）+n＝n（n+2）．2．（2022秋•南票区期中）观察下列等式．第一个等式：1﹣＝×；第二个等式：1﹣＝×；第三个等式：1﹣＝×；……按上述规律，回答下列问题：（1）请写出第四个等式：1﹣＝×；（2）计算：（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）．【答案】（1）1﹣＝×；（2）．【解答】解：（1）1﹣＝×，故答案为：1﹣＝×；（2）（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）＝××××…××××＝．3．（2022秋•大连月考）观察下列三行数：第一行：2，﹣4，8，﹣16，32，﹣64，…第二行：4，﹣2，10，﹣14，34，﹣62，…第三行：1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…（1）第一行数的第9个数为512，第二行数的第9个数为514，第三行数的第9个数为256；（2）第二、三行数与第一行相对应的数分别有什么关系；（3）第一行是否存在连续的三个数使得三个数的和是﹣384？若存在，求出这三个数，若不存在，请说明理由．【答案】（1）512，514，256；（2）第二行的每一个数是第一行的对应数加2，第三行的每一个数是第二行的对应数的；（3）不存在．【解答】解：（1）∵2，﹣4，8，﹣16，32，﹣64，…，∴第一行的第n个数是（﹣1）n+1•2n，∴第9个数是29＝512，第二行的每一个数是第一行的对应数加2，∴第二行的第n个数是（﹣1）n+1•2n+2，∴第二行的第9个数是514，第三行的每一个数是第二行的对应数的，∴第三行的第n个数是（﹣1）n+1•2n﹣1，∴第三行的第9个数是256，故答案为：512，514，256；（2）由（1）可得第二行的每一个数是第一行的对应数加2，第三行的每一个数是第二行的对应数的；（3）不存在连续的三个数使得三个数的和是﹣384，理由如下：设三个连续的数是（﹣1）n•2n﹣1，（﹣1）n+1•2n，（﹣1）n+2•2n+1，∴（﹣1）n•2n﹣1+（﹣1）n+1•2n+（﹣1）n+2•2n+1＝﹣384，∴3×（﹣1）n•2n﹣1＝﹣384，∴n﹣1＝7，∴n＝8，∵n是奇数，∴不存在连续的三个数使得三个数的和是﹣384．4．（2023•合肥模拟）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：请根据上述规律解答下面的问题：（1）第6行有11个数；第n行有（2n﹣1）个数（用含n的式子表示）；（2）若有序数对（n，m）表示第n行，从左到右第m个数，如（3，2）表示6．①求（11，20）表示的数；②求表示2023的有序数对．【答案】（1）11，2n﹣1；（2）①120；②（45，87）．【解答】解：（1）第6行有：2×6﹣1＝11个数；第n行有（2n﹣1）个数，故答案为：11，2n﹣1；（2）①∵第11行有2×11﹣1＝21个数，且最末尾的数是112＝121，而（11，20）表示第11行的第20个数，∴（11，20）表示的数是121﹣1＝120；②∵442＝1936，452＝2025，∴442＜2023＜452，∴2023位于第45行，∵第45行有45×2﹣1＝89个数，而2023与2025相差2个数，∴2023位于第45行的第87个数，∴表示2023的有序数对是（45，87）．5．（2023•蜀山区校级模拟）从2开始，连续的偶数相加，观察下列各式：2＝12+1．2+4＝22+2．2+4+6＝32+3．2+4+6+8＝42+4．…根据规律，解答下列问题：（1）写出第5个等式：2+4+6+8+10＝52+5；（2）①写出第n个等式：2+4+6+…+2n﹣2+2n＝n2+n；（用n表示）②计算：102+104+106+…+198+200．【答案】（1）2+4+6+8+10＝52+5；（2）①2+4+6+…+2n﹣2+2n＝n2+n；②7550．【解答】解：（1）由题意得：第5个等式为：2+4+6+8+10＝52+5，故答案为：2+4+6+8+10＝52+5；（2）①由题意得：第n个等式为：2+4+6+…+2n﹣2+2n＝n2+n，故答案为：2+4+6+…+2n﹣2+2n＝n2+n；②102+104+106+…+198+200＝2+4+6+...+198+200﹣（2+4+6+ (100)＝1002+100﹣（502+50）＝10000+100﹣2500﹣50＝7550．6．（2023春•邗江区月考）阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22019的值．解：设S＝1+2+22+23+24+…+22018+22019…①则2S＝2+22+23+24+25+…+22019+22020…②②﹣①，得2S﹣S＝22020﹣1即S＝22020﹣1∴1+2+22+23+24+…+22019＝22020﹣1仿照此法计算：（1）计算：1+3+32+33+34+ (32023)（2）计算：1++++…++＝2﹣（直接写答案）．【答案】（1）＝；（2）2﹣．【解答】解：（1）设S＝1+3+32+33+34+…+32023①，则3S＝3+32+33+34+…+32023+32024②，②﹣①，得：3S﹣S＝32024﹣1，即S＝，∴1+3+32+33+34+…+32023＝；（2）设S＝1++++…++①，则S＝+++…+++②，①﹣②，得：S﹣S＝1﹣，即S＝2﹣，∴+++…++＝2﹣．故答案为：2﹣．7．（2023•安徽模拟）【数学阅读】计算：1+2+3+ (100)解：设S＝1+2+3+6+…+100，①则S＝100+99+98+…+1，②①+②（即左右两边分别相加），得：2S＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1）＝100×101．所以，所以1+2+3+…+100＝5050．【问题解决】利用上面的方法解答下面的问题：（1）猜想：1+2+3+…+n＝（用含n的式子表示）；（2）利用（1）中的结论，计算：1001+1002+ (2000)【答案】（1）；（2）1500500．【解答】解；（1）设S＝1+2+3+⋯+n，①则S＝n+⋯+3+2+1，②①+②得2S＝n+1+⋯+n+1+n+1，所以，故答案为：；（2）由（1）可知．8．（2023•瑶海区校级模拟）观察下列等式的规律，并解决问题：第1个等式：1+．第2个等式：2+．第3个等式：3+．……（1）请写出第4个等式：4+＝52×；（2）请用含n的式子表示你发现的规律，并证明．【答案】（1）4+＝52×；（2）规律：n+，见解答过程．【解答】解：（1）第4个等式为：4+＝52×．故答案为：4+＝52×；（2）规律：n+，证明：左边＝＝＝＝（n+1）2×＝右边，故规律成立．9．（2022秋•西山区期末）观察下列等式：a1＝+＝；a2＝+＝；a3＝+＝；…（1）猜想并写出第6个等式a6＝．；（2）猜想并写出第n个等式a n＝；（3）证明（2）中你猜想的正确性．【答案】（1）；（2）；（3）见解答过程．【解答】解：（1）由题意得：第6个等式a6＝．故答案为：；（2）由题意得：第n个等式a n＝．故答案为：；（3）（2）中的等式左边＝＝＝＝＝右边．故猜想成立．10．（2023•来安县二模）如图，某医院广场上的图案由红、白两色正方形地砖铺成，这些地砖除颜色外，形状、大小均相同．当中间的红色地砖只有1块时，四周的白色地砖有4块（如图1），当中间的红色地砖有4块时，四周的白色地砖有8块（如图2），以此类推．（1）当红色正方形地砖为16块时，白色地砖为16块；（2）当白色正方形地砖为n（n为4的整数倍）时，红色地砖为块；（3）已知该医院的另一个广场上也按此规律建图案，且红色地砖比白色地砖多用了140块，求这个广场上的图案分别用红、白两色地砖的块数．【答案】（1）16；（2）；（3）这个广场上的图案分别用红、白两色地砖的块数分别为196和56块．【解答】解：（1）图1，红色正方形地砖为1＝12块，白色地砖为4＝（1×4）块；图2，红色正方形地砖为4＝22块，白色地砖为8＝（2×4）块；图3，红色正方形地砖为9＝32块，白色地砖为12＝（3×4）块；…图n，红色正方形地砖为n2块，白色地砖为4n块；∵n2＝16，∴n＝4（负值不符合题意，已舍去），∴白色地砖为4×4＝16；（2）第x个图中白色正方形地砖为n，根据（1）的规律，得，∴红色地砖为；（3）设用红色地砖的块数为x2，则用白色地砖的块数为4x，根据的规律得：x2﹣4x＝140，解得x＝14，x＝﹣10（不合题意，舍去），∴x2＝142＝196，4x＝4×14＝56，答：这个广场上的图案分别用红、白两色地砖的块数分别为196和56块．11．（2023•合肥模拟）丰艳花卉市场将深色和浅色两种花齐摆成如图所示的排列图案，第1个图案需要5盆花卉，第2个图案需要13盆花卉，第3个图案需要25盆花卉，以此类推．按照以上规律，解决下列问题：（1）第4个图案需要花卉41盆；（2）第n个图案需要花卉[n2+（n+1）2]盆（用含n的代数式表示）；（3）已知丰艳花卉市场春节期间所摆的花卉图案中深色花卉比浅色花卉多101盆，求该花卉图案中深色花卉的盆数．【答案】（1）41；（2）[n2+（n+1）2]；（3）2601．【解答】解：（1）第1个图案需要花卉的盆数为：5＝1+4＝12+22，第2个图案需要花卉的盆数为：13＝2×2+3×3＝22+32，第3个图案需要花卉的盆数为：25＝3×3+4×4＝32+42，第4个图案需要花卉的盆数为：4×4+5×5＝42+52＝16+25＝41，故答案为：41；（2）由（1）可得：第n个图案需要花卉的盆数为：n2+（n+1）2；故答案为：[n2+（n+1）2]；（3）设第m个花卉图案中深色花卉比浅色花卉多101盆，由题意得：（m+1）2﹣m2＝101，解得：m＝50，512＝2601，答：该花卉图案中深色花卉的盆数为2601．12．（2023•庐阳区校级三模）将若干枚黑白棋子按照一定规律摆放成三角形阵，前5次摆放的情况如图所示．如果按照此规律继续摆放三角形阵，请解决下列问题：（1）第6个图案中，黑棋子的个数为15，白棋子的个数为21；（2）第n个图案中，黑棋子的个数为，白棋子的个数为3n+3；（用含n 的式子表示）（3）当摆放到第8个三角形阵时，该三角形阵中的黑棋子数第一次比白棋子多．【答案】（1）15，21；（2），3n+3；（3）8．【解答】解：（1）第6个图案中，黑棋子的个数为15，白棋子的个数为21；故答案为：15，21；（2）由图可知，白棋子的变化规律为每次增加3个，则第n个图案中白棋子的个数为3n+3，黑棋子的变化为：n＝1时，0个；n＝2时，0+1＝1个；n＝3时，0+1+2＝3个；n＝4时，0+1+2+3＝6个；故第n个图案中黑棋子个数为0+1+2+3+...+（n﹣1）＝•（n﹣1）＝；故答案为：，3n+3；（3）＝3n+3，n2﹣7n﹣6＝0，解得：n＝，n＝（不符题意，舍去），∴＞3n+3，n＞，∵n取正整数，且黑棋子第一次比白棋子多，∴n＝8．当摆放到第8个三角形阵时，该三角形阵中的黑棋子数第一次比白棋子多．故答案为：8．13．（2023•蜀山区一模）如图中，图（1）是一个菱形ABCD，将其作如下划分：第一次划分：如图（2）所示，连接菱形ABCD对边中点，共得到5个菱形；第二次划分：如图（3）所示，对菱形CEFG按上述划分方式继续划分，共得到9个菱形；第三次划分：如图（4）所示，…依次划分下去．（1）根据题意，第四次划分共得到17个菱形，第n次划分共得到（1+4n）个菱形；（2）根据（1）的规律，请你按上述划分方式，判断能否得到2023个菱形？为什么？【答案】（1）17；（1+4n）；（2）不能，见解答过程．【解答】解：（1）∵第一次划分所得到的菱形的个数为：5＝1+4，第二次划分所得到的菱形的个数为：9＝1+4+4＝1+4×2，第三次划分所得到的菱形的个数为：13＝1+4+4+4＝1+4×3，∴第四次划分所得到的菱形的个数为：1+4×4＝17（个），第n次划分所得到的菱形的个数为：（1+4n）个，故答案为：17；（1+4n）；（2）不能，理由如下：1+4n＝2023，解得：n＝505.5，故不能得到2023个菱形．14．（2023•蜀山区校级模拟）同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：（1）图5有多少颗黑色棋子？（2）若第（n+2）个图形比第n个图形中多2021颗棋子，试求n的值．【答案】（1）19；（2）1008．【解答】解：（1）图1中有1个黑色棋子；图2中有（1+2）+1＝4个黑色棋子，比图1多3个；图3中有（1+2+3）+2＝8个黑色棋子，比图2多4个；图4中有（1+2+3+4）+3＝13个黑色棋子，比图3多5；图5中有（1+2+3+4+5）+4＝19个黑色棋子，比图4多6个；∴图5有多少颗黑色棋子19个；（2）由（1）得：第（n+2）个图形比第n个图形中多（n+3）+（n+2）＝（2n+5）颗棋子，∴2n+5＝2021，解得：n＝1008，所以n是值为：1008．15．（2023春•莱芜区月考）用同样规格的黑，白两种颜色的正方形瓷砖按如图所示的方式铺宽为1.5米的小路．（1）铺第6个图形用黑色正方形瓷砖25块，用白色正方形瓷砖14块；（2）按照此方式铺下去，铺第n个图形用黑色正方形瓷砖（4n+1）块，用白色正方形瓷砖（2n+2）块（用含n的代数式表示）；（3）在（2）的基础上，若黑，白两种颜色的瓷砖规格都为（长为0.5米×宽0.5米），若按照此方式铺满一段总面积为24.75平方米的小路时，n是多少？【答案】（1）25，14（2）2n+2块．（3）16．【解答】解：（1）第1个图形中有1+4＝5个黑色正方形瓷砖，有2+2＝4个白色瓷砖；第2个图形中有1+4×2＝9个黑色正方形瓷砖，有2+2×2＝6个白色瓷砖；第3个图形中有1+4×3＝13个黑色正方形瓷砖，有2+2×3＝8个白色瓷砖；……，第n个图形中有（1+4n）个黑色正方形瓷砖，有（2+2n）个白色瓷砖；4n∴第6个图形中有25个黑色正方形瓷砖，有14个白色瓷砖；故答案为：19，14；（2）由（1）知：第n个图形中有（1+4n）个黑色正方形瓷砖，有（2+2n）个白色瓷砖，故答案为：（1+4n），（2+2n）；（3）第n个图形中有（1+4n）个黑色正方形瓷砖，有（2+2n）个白色瓷砖，故第n个图形中有（1+4n）+（2n+2）＝（6n+3）个正方形瓷砖；∴（6n+3）×0.25＝24.75，解得：n＝16．16．（2022秋•绥德县期末）如图，第1个图中有1颗棋子，第2个图中有5颗棋子，第3个图中有9颗棋子，第4个图中有13颗棋子，…，以此类推．（1）第6个图中有21棋子；（2）用含a的代数式表示第a个图中棋子的颗数；（3）第多少个图中有505颗棋子？【答案】（1）21个；（2）4a﹣3；（3）第127个图中有505棋子．【解答】解：（1）第6个图中有1+4×（6﹣1）＝21（个），故答案为：21；（2）用含a的代数式表示第a个图中棋子的颗数为1+4（a﹣1）＝4a﹣3；（3）由（2）可知，4a﹣3＝505，解得a＝127，答：第127个图中有505棋子．17．（2022秋•长春期末）【方法指引】利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．【方法生成】将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，请利用数形结合的思想解决下列问题：（1）；（2）；（3）；【方法迁移】（4）＝1﹣；【灵活运用】（5）＝1﹣．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）1﹣；（5）1﹣．【解答】解：（1）；（2）；（3）；【方法迁移】（4）＝1﹣；【灵活运用】（5）＝1﹣．故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）1﹣；（5）1﹣．18．（2023•定远县校级二模）为美化市容，某广场要在人行雨道上用10×20的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示．。

部编数学七年级上册专题05整式中的两种规律探索问题(解析版)(人教版)含答案

专题05 整式中的两种规律探索问题类型一、数字类规律探索例.观察：（x ﹣1）（x +1）＝x 2﹣1，（x ﹣1）（x 2+x +1）＝x 3﹣1，（x ﹣1）（x 3+x 2+x +1）＝x 4﹣1，据此规律，当（x ﹣1）（x 5+x 4+x 3+x 2+x +1）＝0时，代数式x 2019﹣1的值为 _____．【答案】0或﹣2【详解】解：根据题意得∶ （x ﹣1）（x +1）＝x 2﹣1，（x ﹣1）（x 2+x +1）＝x 3﹣1，（x ﹣1）（x 3+x 2+x +1）＝x 4﹣1，……∴（x ﹣1）（x 5+x 4+x 3+x 2+x +1）＝x 6﹣1∵（x ﹣1）（x 5+x 4+x 3+x 2+x +1）＝0，∴x 6﹣1＝0，解得：x ＝1或x ＝﹣1，则x 2019﹣1＝0或﹣2，故答案为：0或﹣2．【变式训练1】a 是不为1的有理数，我们把11-a 称为a 的差倒数，如2的差倒数为1-11-2=，－1的差倒数为111(1)2=--，已知15a =，2a 是1a 差倒数，3a 是2a 差倒数，4a 是3a 差倒数，以此类推……，2021a 的值是（）A ．5B ．14-C ．43D ．45【答案】B【解析】∵15a = ， 2a 是1a 的差倒数，∴211154a ==--，∵3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，∴314151-4a ==æö-ç÷èø，∴415415a ==-，根据规律可得n a 以5，1-4，45为周期进行循环，因为2021＝673×3…2，所以202114a =-．故选B ．【变式训练2】有2021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间数等于前后两数的和，如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是______，这2021个数的和是______．【答案】0 1【解析】由题意得：第3个数是101-=，第4个数是110-=，第5个数是011-=-，第6个数是101--=-，则前6个数的和是()()0110110++++-+-=，第7个数是1(1)0---=，第8个数是0(1)1--=，归纳类推得：这2021个数是按0,1,1,0,1,1--循环往复的，202163365=´+Q ，且前6个数的和是0，\这2021个数的和与前5个数的和相等，即为()011011++++-=，故答案为：0，1．【变式训练3】有一列数11315,,,,228432---，…，那么第n 个数为______．【答案】()12n nn-【详解】解：()11122-=-´，()221221242==-´，()3333182-=-´，()4414414162==-´，()55551322-=-´，……由此发现：第n 个数为()12n n n -．故答案为：()12n nn-【变式训练4】杨辉三角又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角：按照前面的规律，则()7a b +的展开式中从左起第三项为______．()1a b a b +=+()2222a b a ab b +=++()3322333a b a a b ab b +=+++()4432234464a b a a b a b ab b +=++++LL【答案】5221a b 【详解】解：根据题意，()7a b +=7652433425677213535217a a b a b a b a b a b ab b +++++++，∴()7a b +的展开式中从左起第三项为5221a b ，故答案为：5221a b ．类型二、图形类规律探索例.如图，两条直线相交，有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有______个交点，n 条直线相交最多有______个交点．【答案】 6 (1)2n n -【详解】解：如图，两条直线相交最多有1个交点，即()22112´-=；三条直线相交最多有3个交点，即()33132´-=；四条直线相交最多有6个交点，即()44162´-=，五条直线相交最多有10个交点，即()551102´-=，……∴n 条直线两两相交，最多有(1)2n n -个交点（n 为正整数，且n ≥2）．故答案为6；(1)2n n -．【变式训练1】如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第_____个图形共有45个小球．【答案】9【详解】解：第1个图中有1个小球，第2个图中有3个小球，3=1+2，第3个图中有6个小球，6=1+2+3，第4个图中有10个小球，10=1+2+3+4，……n（1+n）个小球，照此规律，第n个图形有1+2+3+4+…+n=12n（1+n）=45，∴12解得n=9或-10（舍去），故答案为：9．【变式训练2】为庆祝“六·一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆第n个“金鱼”和第(n＋1)个“金鱼”需用火柴棒的根数为130根，则n的值为______．【答案】10【详解】解：由题可知：第n个图形有(6n+2)根火柴棒，第(n+1)个图形有(6n+8)根火柴棒，∵摆第n个“金鱼”和第(n＋1)个“金鱼”需用火柴棒的根数为130根，∴6n+2+6n+8=130，解得n=10．故答案为：10．【变式训练3】如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第10层中含有正三角形个数为___个，第n层含有正三角形个数为___个．n-【答案】114 126【解析】根据题意分析可得：从里向外的第1层包括6个正三角形，第2层包括18个正三角形，此后，每层都比前一层多12个，依此递推，第10层中含有正三角形个数是6+12×9=114个，则第n层中含有正三角形个数是6+12×（n-1）=126n-个，故答案为：114，126n-．【变式训练4】观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，用6064个五角星摆出的图案应该是第_______个图形．【答案】2021【解析】观察发现，第1个图形五角星的个数是：1+3＝4，第2个图形五角星的个数是：1+3×2＝7，第3个图形五角星的个数是：1+3×3＝10，第4个图形五角星的个数是：1+3×4＝13，⋯第n个图形五角星的个数是：1+3•n＝1+3n，∵6064120213-=，∴用6064个五角星摆出的图案应该是第2021个图形，故答案为：2021．课后训练1．下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第1个图有3张黑色正方形纸片，第2个图有5张黑色正方形纸片，第3个图有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，若第n个图中有201张黑色正方形纸片，则n的值为（）A．99B．100C．101D．102【答案】B【详解】解：观察图形知：第一个图中有3=1+2×1个正方形，第二个图中有5＝1＋2×2个正方形，第三个图中有7＝1＋2×2个正方形，…故第n 个图中有1＋2×n ＝2n +1=201（个）正方形，解得n =100故选B ．2．如图，将若干颗棋子按箭头方向依次摆放，记第一颗棋子摆放的位置为第1列第1排，第二颗棋子摆放的位置为第2列第1排，第三颗棋子摆放的位置为第2列第2排……，按此规律摆放在第16列第8排的是第（）颗棋子．A ．85B ．86C ．87D ．88【答案】B 【详解】偶数列数与排数表：偶数列数排数22436485……n 12n +∴当n =16时，排数为：192n +=，∴前16列共有棋子：()9102123+-3=2-3=872´+++´…9（颗），∴第16列第8排的棋子位次是：87-1=86．故选B ．3．将一正方形按如图方式分成n 个完全相同的长方形，上、下各横排三个，中间两行各竖排若干个，则n 的值为（）A ．12B ．16C ．18D ．20【答案】C 【详解】解：设长方形的长为a ，宽为b ，根据题意得，2a +2b =3a ，整理得，a =2b ，∴竖排的一行的长方形的个数为3a ÷b =（3×2b ）÷b =6，∴n =3×2+6×2=6+12=18．故选：C ．4．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x 与y 的和是（）A ．9B ．10C ．11D ．12【详解】解：设如图表所示：根据题意可得：x +6+20=22+z +y ，整理得：x -y =-4+z ，x +22+n =20+z +n ，20+y +m =x +z +m ，整理得：x =-2+z ，y =2z -22，∴x -y =-2+z -(2z -22)=-4+z ，解得：z =12，∴x +y =3z -24=12故选：D ．5．如图，按此规律，第6行最后一个数字是_____，第_____行最后一个数是2020．【答案】16 674【详解】Q 每一行的最后一个数字分别是1,4,7,10 ,……，\第n 行的最后一个数字为：1+3(1)32n n -=-，\第6行最后一个数字为：36216´-=；322020n -=，解得：674n =，故答案为：16,674．6．如图，每个图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，若图形中11m =，12n =，则M 的值为________．【详解】解：∵1×（2+1）=3，3×（4+1）=15，5×（6+1）=35，∴右下圆圈内的数=上方圆圈内的数×（左下圆圈内的数+1），∴M =m （n +1），∴M =11×(12+1)=143．故答案为：143．7．为了求220211222+++¼+的值，可令220211222S =+++¼+，则220222222S =++¼+，因此2022221S S -=-，所以220212022122221+++¼+=-．按照以上推理计算出1220211333---+++¼+的值是______．【答案】2021332--【详解】解：令1220211333S ---=+++¼+，则1220212022133333S ----=++¼++，因此20221313S S --=-，则20222313S --=-，得：2021332S --=，所以20211220213313332-----+++¼+=．故答案为：2021332--．8．今年“10.1”黄金周，适逢祖国70大庆，广西柳州赛长桌宴，民族风情浓郁，吸引了大量游客如果长桌宴按下图方式就坐（其中□代表桌子，〇代表座位），则拼接n （n 为正整数）张桌子时，最多可就坐_____人．【答案】（6n +2）【详解】解：根据图示知，拼1张桌子，可以坐（2+6）人．拼2张桌子，可以坐[2+（6×2）]人．拼3张桌子，可以坐[2+（6×3）]人．…拼接n （n 为正整数）张桌子，可以坐（6n +2）人．故答案是：（6n +2）．9．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2012年8月份的日历．我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交又相乘，再相减，例如：7136147´-´=，172316247´-´=，不难发现，结果都是7．2012年8月日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031（1）请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律；（2）换一个月的月历试一下，是否有同样的规律？（3）请你利用整式的运算对以上的规律加以证明．【答案】（1）111710187´-´=，符合；（2）392107´-´=；（3）见解析【详解】解：（1）由题意得：111710187´-´=，符合；（2）392107´-´=；答：换一个月的月历试一下还是同样的规律；（3）设上边第一个数为x ，则其后的数为（x +1），第二行的两个数分别为（x +7），（x +8），根据题意，得22(1)(7)(8)8787x x x x x x x x ++-+=++--=．10．（1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？（2）完成下表：边上的小圆圈数12345每个图中小圆圈的总数（3）如果用n 表示六边形边上的小圆圈数，m 表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m 和n 的关系是什么？【答案】（1）第1个图形：1个；第2个图形：7个；第3个图形：19个；第4个图形：37个；第5个图形：61个，理由见解析；（2）1，7，19，37，61；（3）2331m n n =-+【详解】（1）观察每个图形的特点，就可以算出第1个图形的小圆圈有1个，第2个图形的小圆圈有2+3+2=7个，第3个图形的小圆圈有3+4+5+4+3=19个，第4个图形的小圆圈有4+5+6+7+6+5+4=37个，由此可推知第5个图形的小圆圈有5+6+7+8+9+8+7+6+5=61个；（2）将（1）算出的结果填入下列表格，如下表所示，边上的小圆圈数12345每个图中小圆圈的总数17193761（3）结合（1）（2）可知，m 与n 之间的函数关系为：()()()()()1...212...1m n n n n n n n n n n=+++++-++-++-++++首尾相加得()()21...(2)1m n n n n n n =+++++-++-éùëû()()21322213312n n n n n --=+-=-+2331m n n =-+．11．对任意一个四位正整数m ，如果m 的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m 的千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数m 为“筋斗数”．例如：m ＝5321，满足1＋2＝3，2×2＋1＝5，所以5321是“筋斗数”．例如：m ＝8523，满足2＋3＝5，但2×2＋3＝7≠8，所以8523不是“筋斗数”．(1)判断9633和2642是不是“筋斗数”，并说明理由；(2)若m 是“筋斗数”，且m 与13的和能被11整除，求满足条件的所有“筋斗数”m ．【答案】(1)9633是“筋斗数”；2642不是“筋斗数”；理由见解析(2)m 的值为9909或2110或6422【解析】(1)解：9633是“筋斗数”，2642不是“筋斗数”，理由如下：∵6=3+3，9=2×3+3，∴9633是“筋斗数”；∵6=4+2，28+2¹，∴2642不是“筋斗数”；(2)设m 的个位数为a ，0≤a ≤9，十位数为0＜b ≤9，且a 、b 为整数∵m 是“筋斗数”，∴m 的百位数为a +b ，千位数为2b +a ；∴m =1000（2b +a ）+100（a +b ）+10b +a =1100a +110b +2000b +a∵m 与13的和能被11整除，∴1100a +110b +2000b +a +13能被11整除，∵2b +a ≤9且a 、b 为整数，∴b ≤4.5∵1100a +110b 能被11整除，∴2000b +a +13能被11整除，∴b =0，a =9或b =1，a =0或b =2，a =2或b =3，a =4，或b =4，a =6，∴a +b =9，2b +a =9或a +b =1，2b +a =2或a +b =4，2b +a =6或a +b =7，2b +a =10（舍去）或a +b =10，2b +a =14（舍去），∴m 的值为9909或2110或642212．看图填空：如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的长方形，再把面积为14的长方形等分成面积为18的长方形，如此进行下去……(1)试利用图形揭示的规律计算：1111111112481632641282562n ++++++++L ＝_______．并使用代数方法证明你的结论．(2)请给利用图（2），再设计一个能求：2341111122222n +++++L 的值的几何图形．【答案】(1)112n - ，证明见解析；(2)见解析【解析】(1)解：①由题意可知当最后一个小长方形的面积为12n时，1111111112481632641282562n ++++++++L 的值为正方形面积减去最后一个小长方形面积，即：112n - ，1111111111124816326412825622n n \++++++++=-L ；②设1111111112481632641282562n s =++++++++L ，111111111212481632641282n s -=++++++++L ，1212n s s \-=-，即112ns =-，1111111111124816326412825622n n \++++++++=-L ；(2)如图所示，将面积为1的正方形等分成两个面积为12的三角形，接着把面积为12的三角形等分成两个面积为14的三角形，再把面积为14的三角形等分成面积为18的三角形，如此进行下去，则2341111122222n +++++L 的值即为正方形面积减去最后一个小三角形面积：112n -。

2.1 整式-探索规律问题人教版数学七年级上册专项练习(含答案)

2023年人教版数学七年级上册《探索规律问题》专项练习一、选择题1.小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如表：输入…12345…输出……那么，当输入数据为8时，输出的数据为( )A. B. C. D.2.找出以如图形变化的规律，则第20个图形中黑色正方形的数量是( )A.28B.29C.30D.313.下列图形都是由同样大小的⊙按一定规律所组成的，其中第1个图形中一共有5个⊙，第2个图形中一共有8个⊙，第3个图形中一共有11个⊙，第4个图形中一共有14个⊙，…，按此规律排列，第1001个图形中基本图形的个数为( )A.2998B.3001C.3002D.30054.观察图并寻找规律，x处填上的数字是( )A.﹣136B.﹣150C.﹣158D.﹣1625.将一个边长为1的正方形按如图所示的方法进行分割：部分①是整个正方形面积通过计算此图形中部分①、部分②、部分③…的面积之和，可得到式子12＋14＋18＋…的近似值为()A.0.5B.1C.2D.46.观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…根据上述算式中的规律，你认为22024的末位数字是( )A.2B.4C.6D.87.如图所示，图①中的多边形(边数为12)是由等边三角形“扩展”而来的，图②中的多边形是由正方形“扩展”而来的，…，依此类推，则由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数为( )A.n(n ﹣1)B.n(n ＋1)C.(n ＋1)(n ﹣1)D.n 2＋28.观察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2…已知按一定规律排列的一组数：250，251，252，…，299，2100.若250＝a ，用含a 的式子表示这组数的和是( )A.2a 2－2aB.2a 2－2a －2C.2a 2－aD.2a 2＋a9.已知一组数a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，其中a 1＝1，对于任意的正整数n ，满足a n ＋1a n ＋a n ＋1﹣a n ＝0，通过计算a 2，a 3，a 4的值，猜想a n 可能是( )A.1n B.nC.n 2D.110.把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为( )A.12B.14C.16D.18二、填空题11.用●表示实心圆，用○表示空心圆，现有若干个实心圆与空心圆，按一定的规律排列如下：●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○●●●○…，在前2029个圆中，有个实心圆.12.下图是某同学一次旅游时在沙滩上用石子摆成的小房子．观察图形的变化规律，写出第n个小房子用了块石子．13.下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：经观察可以发现：图(2)比图(1)多出2个“树枝”，图(3)比图(2)多出5个“树枝”，图(4)比图(3)多出10个“树枝”，照此规律，图(7)比图(6)多出个“树枝”．14.有一串式子：﹣x，2x2，﹣3x3，4x4，…，﹣19x19，20x20，… ,写出第n个 .15.按下列图示的程序计算，若开始输入的值为x=﹣6，则最后输出的结果是．16.观察下列各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个圆点，每个图案中圆点的总数是s，按此规律推断出s与n的关系为 .17.如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，然后将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，再将其中的一个正方形剪裁成四个小正方形，如此继续下去，…，根据以上操作方法，请你填写表：操作次数N 12345…n 正方形的个数47101316…a n则a n ＝ (用含n 的代数式表示).18.如图是用小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有5根小棒，第2个图案中有9个小棒，…，若第n 个图案中有65根小棒，则n 的值为　.三、解答题19.寻找公式，求代数式的值：从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表：(1)当n 个最小的连续偶数相加时，它们的和S 与n 之间有什么样的关系，用公式表示出来；(2)按此规律计算：①2＋4＋6＋…＋200值；②162＋164＋166＋…＋400值．20.下面的图形是由边长为l 的正方形按照某种规律排列而组成的.(1)观察图形，填写下表：图形①②③正方形的个数8 图形的周长18 (2)推测第n个图形中，正方形的个数为，周长为 (都用含n的代数式表示).(3)这些图形中，任意一个图形的周长y与它所含正方形个数x之间的关系可表示为y ＝ .21.用火柴棒摆出下列一组图形：(1)填写下表：图形编号123图形中的火柴棒数 (2)照这样的方式摆下去，写出摆第n个图形中的火柴棒数；(用含n的代数式表示)(3)如果某一图形共有2027根火柴棒，你知道它是第几个图形吗？22.观察下列等式：13＋23＝3213＋23＋33＝6213＋23＋33＋43＝102…(1)根据观察得到规律写出：13＋23＋33＋43＋53＝ .(2)根据观察得到规律写出13＋23＋33＋43＋…＋1003＝ .(3)13＋23＋33＋43＋53＋…＋n3＝ .23.阅读材料：求1＋2＋22＋23＋24＋…＋22023的值.解：设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋22022＋22023，将等式两边同时乘以2得：2S＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋22023＋22024将下式减去上式得2S﹣S＝22024﹣1即S＝22024﹣1即1＋2＋22＋23＋24＋…＋22023＝22024﹣1请你仿照此法计算：(1)1＋2＋22＋23＋24＋…＋210(2)1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n(其中n为正整数).答案1.C2.C.4.D．5.B．6.C.7.B.8.C9.A10.C11.答案为：1353.12.答案为：(n2＋4n).13.答案为：80.14.答案为：(﹣1)n nx n .15.答案为：120．16.答案为：S＝4(n﹣1).17.答案为：1＋3n.18.答案为：16.19.解：(1))∵1个最小的连续偶数相加时，S＝1×(1＋1)，2个最小的连续偶数相加时，S＝2×(2＋1)，3个最小的连续偶数相加时，S＝3×(3＋1)，…∴n个最小的连续偶数相加时，S＝n(n＋1)；(2)①根据(1)得：2＋4＋6＋…＋200＝100×(100＋1)＝10100；②162＋164＋166＋ (400)＝(2＋4＋6＋…＋400)﹣(2＋4＋6＋…＋160)，＝200×201﹣80×81，＝40200﹣6480，＝33720．20.解：(1)∵n＝1时，正方形有8个，即8＝5×1＋3，周长是18，即18＝10×1＋8；n＝2时，正方形有13个，即13＝5×2＋3，周长是28，即28＝10×2＋8；n＝3时，正方形有18个，即18＝5×3＋3，周长是38，即38＝10×3＋8；(2)由(1)可知，n＝n时，正方形有5n＋3个，周长是10n＋8.(3)∵y＝10n＋8，x＝5n＋3，∴y＝2x＋2.21.解：(1)第一个图形中火柴棒数＝2＋5＝7，第二个图形中火柴棒数＝2＋5＋5＝12，第三个图形中火柴棒数＝2＋5＋5＋5＝17；故答案为：7；12；17；(2)由(1)的规律可知第n个图形的火柴棒根数＝2＋5n；(3)由题意可知2027＝2＋5n，解得n＝407，∴是第402个图形.22.解：(1)依题意，得13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2＝152＝225；(2)依题意，得13＋23＋33＋…＋1003＝(1＋2＋3＋…＋100)2＝50502；(3)一般规律为：13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝[]2.故答案为225；50502；[]2.23.解：(1)设S＝1＋2＋22＋23＋24＋ (210)将等式两边同时乘以2得：2S＝2＋22＋23＋24＋…＋210＋211，将下式减去上式得：2S﹣S＝211﹣1，即S＝211﹣1，则1＋2＋22＋23＋24＋…＋210＝211﹣1；(2)设S＝1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n①，两边同时乘以3得：3S＝3＋32＋33＋34＋…＋3n＋3n＋1②，②﹣①得：3S﹣S＝3n＋1﹣1，即S＝12(3n＋1﹣1)，则1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n＝12(3n＋1﹣1).。

部编数学七年级上册专题07探究与表达规律(八大题型)专项讲练(解析版)含答案

专题07 探究与表达规律（八大题型）专项讲练1. 解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论.有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件.一般有下列几个类型：1）一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n 之间的关系.2）一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n 之间的关系.3）图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n 之间的关系.4）图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数.5）数形结合的规律：观察前n 项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论.2. 常见的数列规律：1）1，3，5，7，9，… ，21n -（n 为正整数）．2） 2，4，6，8，10，…，2n （n 为正整数）．3） 2，4，8，16，32，…，2n （n 为正整数）．4）2， 6， 12， 20，…， (1)n n +（n 为正整数）．5）x -，x +，x -，x +，x -，x +，…，(1)n x -（n 为正整数）．6）特殊数列： ①三角形数：1,3,6,10,15,21，…，(1)2n n +.②斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和.题型1：数列的规律1．（2022·山东烟台·期末）按一定规律排列的单项式：3x ，5x -，7x ，9x -，11x ，……，第n 个单项式是（）A ．()211n n x --B ．()1211n n x -+-C ．()1211n n x ---D ．()211n n x +-【答案】B【分析】先观察系数与指数的规律，再根据规律定出第n 个单项式即可．【详解】解：∵3x ，5x -，7x ，9x -，11x ，……，∴系数是奇数项为-1，偶数项为1，即系数的规律是(-1)n -1,指数的规律为2n +1，∴第n 个单项式为()1211n n x -+-，故选：B．【点睛】本题考查数式的变化规律，通过观察单项式的系数和指数，找到它们的规律是解题的关键．2．（2022·江苏盐城·七年级阶段练习）已知：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，那么22021的个位数字是（)．A．2B．4C．6D．8【答案】A【分析】观察不难发现，2n的个位数字分别为2、4、8、6，每4个数为一个循环，用2021÷4，根据余数的情况确定答案即可．【详解】解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，∴个位数字分别为2、4、8、6依次循环，∵2021÷4=505……1，∴22021的个位数字与21个位数字相同，即22021的个位数字是2，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了尾数特征，观察数据发现每4个数为一个循环，个位数字依次循环，是解题的关键．3．（2022·山东泰安·期中）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…，这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…，这样的数称为“正方形数”．则第5个“三角形数”与第5个“正方形数”的和是（）A．35B．40C．45D．50【答案】B【分析】分别探究“三角形数”与“正方形数”的存在规律，求出第5个“三角形数”与第5个“正方形数”，再求第5个“三角形数”与第5个“正方形数”的和．【详解】第1个“三角形数”：1，第2个“三角形数”：1+2=3，第3个“三角形数”：1+2+3=6，第4个“三角形数”：1+2+3+3=10，第5个“三角形数”：1+2+3+4+5=15，第1个“正方形数”：1，第2个“正方形数”：22=4，第3个“正方形数”：32=9，第4个“正方形数”：42=16，第5个“正方形数”：52=25，∴15+25=40．故选：B．【点睛】本题主要考查了“三角形数”与“正方形数”，解决问题的关键是探究“三角形数”与“正方形数”的规律，运用规律求数．4．（2021·广西百色·二模）观察下列一组数：﹣32，1，﹣98，1711，﹣3314，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第8个数是_____．5．（2022·内蒙古赤峰·七年级期末）边长为1的正方形OABC从如图所示的位置（点O对应数0，点A对应数－1）开始在数轴上顺时针滚动（无滑动）．当正方形的某个顶点落在数2023在数轴上对应的点处时停止运动，此时落在数2023在数轴上对应点的这个顶点是（）A．点A B．点B C．点C D．点O【答案】A【分析】滚动四次一个循环，用2023除以4，商即是循环的次数，由余数即可得到与2023重合的点．【详解】解：∵2023＝505×4＋3，∴与2023重合的点即是滚动后与3重合的点，而与1重合的是C，与2重合的是B，与3重合的是A，∴与2023重合的是A，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查图形类规律探究、数轴上点表示的数，解题的关键是理解与2023重合的点即是与3重合的点．6.（2022·福建漳州七年级开学考试）观察下列各项：114，126，138，1410，…，依此规律下去，则第7项是__________；第n项是__________．【答案】1716()121nn++【分析】观察可知：整数部分是从1开始的自然数，分数部分的分子为1，分母为从2开始的自然数的两倍，据此可得．【详解】解：114=()11211+´+，126=()12221+´+，138=()13231+´+，1410=()14241+´+，…∴第7项是1716，第n项是()121nn++，故答案为：1716，()121nn++．【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，利用规律解决问题．题型2：数表的规律1．（2022·山东济南·七年级期末）将正整数按如图所示的规律排列，若用有序数对（a，b）表示第a行，从左至右第b个数，例如（4，3）表示的数是9，则（15，10）表示的数是（）A．115B．114C．113D．112【答案】A【分析】观察图形可知，每一行的第一个数字都等于前面数字的个数再加1，即可得出（15，1）表示的数，然后得出（15，10）表示的数即可．2．（2022·山东烟台·期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了()n a b +（n 为非负数）的项数及各项系数的有关规律，例如：请写出8()a b +展开式中间一项的系数（）A ．70B ．64C ．56D ．54【答案】A【分析】根据题意可得每行第一个和最后一个数都是1，其他位置的数下面的数等于上面两个数的和，即可求出8()a b +展开式中间一项的系数．【详解】解：由题意可得下面一个数等于上面两个数的和，∴()7a b +中，各项的系数分别为：1，7，21，35，35，21，7，1，∴()8a b +中，各项的系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1，∴8()a b +展开式中间一项的系数为70，故选：A ．【点睛】此题考查了多项式的系数规律问题，解题的关键是根据题意正确分析出各项系数的有关规律．3．（2022·辽宁葫芦岛·七年级期中）将正整数按如图所示的规律排列．若用有序数对（a ，b ）表示第a 排，从左至右第b 个数．例如（4，3）表示的数是9，则（7，3）表示的数是（）A ．22B ．23C ．24D ．254．（2022·河北承德·七年级期末）观察下面的数：按着上述的规律排下去，那么第12行从左边数第4个数是（）A ．121-B ．123-C ．125-D ．127-【答案】C【分析】先根据行数确定出最后一个数的变化规律，再根据得出的规律确定出第11行的数，然后用11行的最后一个数的绝对值与4相加即可．【详解】解：因为行数是偶数时，它的最后一个数是每行数的平方，当行数是奇数时，它的最后一个数是每行数的平方的相反数，所以第11行最后一个数字是：-11×11=-121，它的绝对值是121，第12行从左边第4个数的绝对值是：121+4=125．故第12行从左边第4个数是-125．故选：C．【点睛】此题考查了数字的变化类，找出最后一个数的变化规律，确定出第11行最后一个数是解题关键．5．（2021·云南红河·七年级期末）将连续奇数1，3，5，7，9……排成如图所示的数表．用长方形框在如图所示的数表中任意框出九个数，将长方形框上下左右移动，可框住另外九个数．若这九个数中最小的数是171，则最大的数是_____．【答案】207【分析】先设九个数中最小的数为m，根据规律表示九个数m，m+2，m+4，m+16，m+18，m+20，m+32，m+34，m+36，其中最小的是m=171，求代数式的值即可．【详解】解：设九个数中最小的为m，m+2，m+4，m+16，m+18，m+20，m+32，m+34，m+36，∵这九个数中最小的数是171，∴m=171，∴这九个数中最大的数是171+36=207，故答案为：207．【点睛】本题考查数中排列规律，找出方框中九个数的规律，代数式的值，掌握数中排列规律，找出方框中九个数的规律，利用代数式的值求出最大数是解题关键．6．（2021·四川成都·七年级期中）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》书中辑录了一个三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即是著名的“杨辉三角形”．以下数表的构造思路源于“杨辉三角形”：该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于“其肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为___．【答案】102×299【分析】分析得出第101行有1个数，即为最后一行的数，根据每行的第一个数字得到规律，从而判断．【详解】解：由题意，第1行有101个数，第2行有100个数，…，第101行有1个数，故第1行的第一个数为：1=2×2-1，第2行的第一个数为：3=3×20，第3行的第一个数为：8=4×21，第n行的第一个数为：（n+1）×2n-2，∴第101行的第一个数为：102×299，故答案为：102×299．【点睛】本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．题型3：算式的规律算式规律这一类没有固定的套路，主要依靠学生对已知算式的观察、总结、逻辑推理，发现期中的规律。

人教版七年级数学上册热点：第2章：探索规律(附模拟试卷含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：学习找规律的方法：①_________；②________；③_________；④__________．问题2：找结构需要考虑：①_________；②________；③_________；④__________．问题3：处理符号通常使用的结构有_________和_________．探索规律（人教版）一、单选题(共8道，每道12分)1.一列数为2，5，8，11，14，…，那么第100个数为( )A.298B.299C.300D.301答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：数的规律2.一列数为4，8，16，32，…，那么第10个数为( )A.1024B.2014C.2024D.2048答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：数的规律3.观察下面的一列数：2，6，12，20，…，依次规律，则第20个数是( )A.420B.410C.400D.380答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：数的规律4.给定一列按规律排列的数：，，，，…，则这列数的第6个数是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：数的规律5.给定一列按规律排列的数：根据前4个数的规律，第9个数是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：数的规律6.计算器为我们探索一些用笔算不太方便的数字规律提供了极大的方便，比如奇妙的数字塔：；；；我们发现上面这些数字结果呈现规律性，那么不用计算器你发现：的值为( ) A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：式的规律7.观察下列一组算式：；；；…，按照上述规律，可表示为( ) A.B.C.D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：式的规律8.观察下列一组算式：；；；；…，按照上述规律，第15个算式可表示为( ) A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：式的规律2019-2020学年七年级数学上学期期末模拟试卷一、选择题1．锐角4720'的余角是( ) A.4240'B.4280'C.5240'D.13240'2．如图，C 岛在A 岛的北偏东50°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°方向，则从C 岛看A ，B 两岛的视角∠ACB 等于（）A.90°B.80°C.70°D.60°3．如图,OC 是平角∠AOB 的平分线,OD 、OE 分别是∠AOC 和∠BOC 的平分线,图中和∠COD 互补的角有( )个A.1B.2C.3D.04．方程3x -1=14x -去分母后，正确的是（） A.4x ﹣1=3x ﹣3 B.4x ﹣1=3x+3C.4x ﹣12=3x ﹣3D.4x ﹣12=3x+35．对于式子：22x y +，2a b ，12，3x 2＋5x －2，abc ，0，2x y x +，m ，下列说法正确的是( )A.有5个单项式，1个多项式B.有3个单项式，2个多项式C.有4个单项式，2个多项式D.有7个整式6．如果3x 2m y n+1与﹣12x 2y m+3是同类项，则m ，n 的值为（） A.m=﹣1，n=3B.m=1，n=3C.m=﹣1，n=﹣3D.m=1，n=﹣37．已知|m －2|＋(n －1)2＝0，则关于x 的方程2m ＋x ＝n 的解是( ) A.x ＝－4B.x ＝－3C.x ＝－2D.x ＝－18．下列等式变形正确的是( ) A.如果s ＝12ab ，那么b ＝2s aB.如果12x ＝6，那么x ＝3 C.如果x －3＝y －3，那么x －y ＝0 D.如果mx ＝my ，那么x ＝y9．已知长方形的长是（a+b ），宽是a ，则长方形的周长是（）A．2a+b B．4a+2b C．4a+b D．4a+4b 10．在下列各数：()2-+，23-，413⎛⎫- ⎪⎝⎭，325⎛⎫- ⎪⎝⎭，()01-，3-中，负有理数的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．511．已知a是有理数，则下列结论正确的是（）A．a≥0 B．|a|＞0 C．﹣a＜0 D．|a|≥012．数轴上的点A表示的数是a，当点A在数轴上向右平移了6个单位长度后得到点B，若点A和点B表示的数恰好互为相反数，则数a是（）A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3二、填空题13．互余且相等的两个角是________°的角，互补且相等的两个角是________°的角．14．如图，以图中的A、B、C、D为端点的线段共有___条．15．一件衣服售价为200元，六折销售，仍可获利20%，则这件衣服的进价是_____元．16．已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|a﹣b|+|b+c|+|c﹣a|＝_____．17．如图，把一个面积为1的正方形分成两个面积为12的长方形，再把其中一个面积为12的长方形分成两个面积为14的正方形，再把其中一个面积为14的正方形分成两个面积为18的长方形，如此进行下去……，试用图形揭示的规律计算：111111248163264+++++11128256++=__________．18．如果一个零件的实际长度为a，测量结果是b，则称|b﹣a|为绝对误差，b aa-为相对误差．现有一零件实际长度为5.0cm，测量结果是4.8cm，则本次测量的相对误差是_____．19．有两支同样长的蜡烛，一支能点燃4小时，另一支能点燃3小时，一次遇到停电，同时点燃这两支蜡烛，来电后同时吹灭，发现其中的一支是另一支的一半，停电时间为______ 小时．20．若x，y互为相反数，a、b互为倒数，则32x2yab+-代数式的值为________.三、解答题21．如图，AB∥CD，BO与CD交于点O，OE⊥BO，OF平分∠BOD．若∠ABO=50°，求∠EOF的度数．22．《孙子算经》中有过样一道题，原文如下：“今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？” 大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问城中有多少户人家？请解答上述问题.23．在学完“有理数的运算”后，数学老师组织了一次计算能力竞赛．竞赛规则是：每人分别做50道题，答对一题得3分，不答或答错一题倒扣1分．（1）如果参赛学生小红最后得分142分，那么小红答对了多少道题？（2）参赛学生小明能得145分吗？请简要说明理由．24．如图，以直线 AB 上一点 O 为端点作射线 OC，使∠BOC=70°，将一个直角三角形的直角顶点放在点O 处．（注：∠DOE=90°）(1)如图①，若直角三角板 DOE 的一边 OD 放在射线 OB 上，则∠COE= °；(2)如图②，将直角三角板 DOE 绕点 O 逆时针方向转动到某个位置，若 OC 恰好平分∠BOE，求∠COD 的度数；(3)如图③，将直角三角板 DOE 绕点 O 转动，如果 OD 始终在∠BOC 的内部，试猜想∠BOD 和∠COE 有怎样的数量关系？并说明理由．25．已知8x 2a y 与-3x 4y 2+b 是同类项，且A=a 2+ab-2b 2，B=3a 2-ab-6b 2，求2B-3（B-A ）的值．26．已知A 、B 是两个多项式，其中2B 3x x 6=-+-，A B +的和等于22x 3--． ()1求多项式A ；()2当x 1=-时，求A 的值．27．﹣2﹣1+（﹣16）﹣（﹣13）；28．计算：（﹣0.5）+|0﹣614|﹣（﹣712）﹣（﹣4.75）．【参考答案】***一、选择题1．A2．A3．B4．C5．C6．B7．B8．C9．B10．C11．D12．D二、填空题13．9014．615．10016．-2a17． SKIPIF 1 < 0解析：8112-18．04 19． SKIPIF 1 < 0 解析：12520．-3三、解答题21．115°．22．城中有75户人家.23．（1）48；（2）不能得145分．24．（1）20；（2）20 º；（3）∠COE ﹣∠BOD=20°．25．826．（1）2x x 3-+（2）527．﹣628．182019-2020学年七年级数学上学期期末模拟试卷一、选择题1．如图，若延长线段AB 到点C ，使BC=AB ，D 为AC 的中点，DC=5cm ，则线段AB 的长度是（）A.10cmB.8cmC.6cmD.4cm2．如图，点C 、D 是线段AB 上的两点，点D 是线段AC 的中点．若AB=10cm ，BC=4cm ，则线段DB 的长等于（）A.2cmB.3cmC.6cmD.7cm3．如果方程2x+1＝3和203a x --=的解相同，则a 的值为（） A.7 B.5 C.3 D.04．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．现有一个长方形的周长为30cm ，这个长方形的长减少1cm ，宽增加2cm ，就可以变成一个正方形，设长方形的宽为x cm ，可列方程为（）A.2(30)1x x -=-+B.2(15)1x x -=-+C.2(30)1x x +=--D.2(15)1x x +=-- 5．如果代数式4y 2－2y ＋5的值是7，那么代数式2y 2－y ＋1的值等于( )A ．2B ．3C ．－2D ．46．下列每组单项式中是同类项的是（）A.2xy 与﹣13yx B.3x 2y 与﹣2xy 2 C.12x -与﹣2xy D.xy 与yz 7．当1<a<2时，代数式|a －2|＋|1－a|的值是（） A ．－1 B ．1 C ．3 D ．－38．把正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个正方形，第②个图案中有5个正方形，第③个图案中有9个正方形…按此规律排列下去，则第⑧个图案中正方形的个数为（）A ．25B ．29C ．33D ．379．已知|a ﹣2|+（b+3）2＝0，则b a 的值是（）A ．﹣6B ．6C ．﹣9D ．910．冰箱冷藏室的温度零上5℃，记作＋5℃，保鲜室的温度零下7℃，记作A ．7℃B ．－7℃C ．2℃D ．－12℃11．有理数a 、b 在数轴上对应的点的位置如图所示，下列各式正确的是（）A.0a b +<B.0a b +>C.0ab >D.a b＞0 12．如图是一个正方体的表面展开图，则这个正方体是（）A. B. C. D.二、填空题13．如图，射线OA 表示北偏西36°，且∠AOB ＝154°，则射线OB 表示的方向是_____．14．在钟面上，10点30分时的时针和分针所成的角等于__________度．15．规定一种运算“※”，a ※1134b a b =-，则方程x ※32=※x 的解为_______． 16．计算：()()35---=______；()225323a a b b ---=______． 17．观察下列等式①223415-⨯=，②225429-⨯=，③2274313-⨯=，…根据上述规律，第n 个等式是________________.（用含有n 的式子表示）18．已知5x+7与2﹣3x 互为相反数，则x ＝_____．19．－23的相反数是______；倒数是______；绝对值是________．20．2016年，我国又有1 240万人告别贫困，为世界脱贫工作作出了卓越贡献，将1 240万用科学记数法表示为a×10n的形式，则a的值是___．三、解答题21．如图所示，从一点O出发引射线OA、OB、OC、OD，请你数一数图中有多少个角，并把它们表示出来．22．已知：如图，DE平分∠BDF，∠A=12∠BDF，DE⊥BF，求证：AC⊥BF23．某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共1200只，这两种节能灯的进价、售价如下表：(1)如果进货款恰好为46000元，那么可以购进甲、乙两种型号节能灯各多少只？(2)超市为庆祝元旦进行大促销活动，决定对乙型节能灯进行打折销售，要求全部售完后，乙型节能灯的利润率为20%，请问乙型节能灯需打几折？24．为了开展阳光体育运动，让学生每天能锻炼一小时，某学校去体育用品商店购买篮球与足球，篮球每只定价100元，足球每只定价50元．体育用品商店向学校提供两种优惠方案：①买一只篮球送一只足球；②篮球和足球都按定价的80%付款．现学校要到该体育用品商店购买篮球30只，足球x只（x>30）．（1）若该学校按方案①购买，篮球需付款元，足球需付款元（用含x的式子表示）；若该学校按方案②购买，篮球需付款元，足球需付款元（用含x的式子表示）；（2）若x=40，请通过计算说明按方案①、方案②哪种方案购买较为合算？25．先化简，再求值：2x2–[3（–13x2+23xy）–2y2]–2（x2–xy+2y2），其中x =12，y =–1．26．先化简，再求值3（a2b﹣ab2）﹣2（2a2b﹣1）+3ab2﹣1，其中a＝﹣2，b＝1．27．（1）计算111()462+-×12 （2）计算1031(1)2()2-÷+-×16 （3）先化简，再求值：3（2x 2y ﹣xy 2）﹣（5x 2y+2xy 2），其中x=﹣1，y=2． 28．计算：−23−17×［2−(−3)2］【参考答案】***一、选择题1．B2．D3．A4．D5．A6．A7．B8．B9．D10．B11．B12．C二、填空题13．62°14．13515． SKIPIF 1 < 0 解析：17x 7=16．SKIPIF 1 < 0解析：223a b +17．(2n+1) SKIPIF 1 < 0−4×n SKIPIF 1 < 0 =4n+1.解析：(2n+1) 2−4×n 2=4n+1.18．﹣4.519． SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 解析：23 32- 2320．24三、解答题21．6个角，分别为∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠BOC，∠BOD，∠COD，22．证明见解析.23．(1)购进甲型节能灯400只，购进乙型节能灯800只进货款恰好为46000元；(2)乙型节能灯需打9折．24．（1）3000，（50x-1500），2400，40x；（2）选方案①，利用见解析.25．74-化简结果x2-2y226．﹣327．(1) ﹣1 (2)32-(3) 2228．-7.。

七年级数学上册专题12 图形类规律探索(原卷版)

专题12 图形类规律探索1．用长方形和三角形按图示排列规律组成一连串平面图形．(1)当某个图形中长方形个数为5时，三角形个数为；(2)设某个图形中长方形个数为x ，三角形个数为y ．请你写出用x 表示y 的关系式．2．如图，是一幅平面镶嵌图案，它由相同的黑色正方形和白色等边三角形排列而成，观察图案，当正方形只有一个时，等边三角形有4个（如图1）；当正方形有2个时，等边三角形有7个（如图2）；以此类推⋯(1)若图案中每增加1个正方形，则等边三角形增加______个； (2)若图案中有n 个正方形，则等边三角形有______个．(3)现有2022个等边三角形，如按此规律镶嵌图案，要求等边三角形剩余最少，则需要正方形多少个？3．如图，用若干个点摆成一组等边三角形点列，其中第(2)n n ≥个三角形的每一边上都有n 个点，该图形中点的总数记为n S ，我们把n S 称为“三角形数”，并规定当1n =时，“三角形数”11S =．(1)“三角形数”5S =______________，n S =______________； (2)①某数学兴趣小组发现相邻两个“三角形数”的和有一定的规律：如1223344,9,16+=+=+=S S S S S S ．请猜想：1++=n n S S ______________； ②请用所学的知识说明①中猜想的正确性．4．观察如图图形，把一个三角形分别连接其三边中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1），对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法…，据此解答下面的问题．(1)填写下表：(2)根据这个规律，求图n 中挖去三角形的个数n W （用含n 的代数式表示）； (3)若图1n +中挖去三角形的个数为1n W +，求1n n W W +-． 5．【观察思考】画一个大的正五边形，接着画出内嵌的5个黑色小的正五边形，（图1中有1个白色正五边形，有5个黑色正五边形，总共6个正五边形）；接下来每个黑色小五边形内再内嵌的5个更小的正五边形，（图2中有5个白色正五边形，有25个黑色正五边形，总共30个正五边形）继续下去，不断重复此过程……，据此解答下面的问题．(1)【规律总结】图3中黑色五边形个数；白色五边形的个数；(2)根据这个规律，求图n中黑色五边形个数；白色五边形的个数（用含n的代数式表示）(3)【问题解决】当黑色和白色五边形共3750个时，求图n?6．用正方形的白色水泥砖和灰色水泥砖按如图所示的方式铺人行道(1)第①个图中有灰色水泥砖块，第②个图中有灰色水泥砖块，第③个图中有灰色水泥砖块；(2)依次铺下去，第n个图中有灰色水泥砖块．7．一种特殊的三角形幻方，是由4个较小的三角形和3个较大的三角形构成，且满足每个三角形三个顶点处的数之和相等．如图1，是这种特殊三角形幻方，阴影部分的三角形三个顶点处的数之和为7+3+5＝15，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为15．(1)根据图1，计算图中9个数的和与每个三角形三个顶点处数的和之间的倍数关系，并写出你的结论；(2)图2是这种特殊的三角形幻方，请把数字﹣4，﹣2，0，2，3这5个数字填在图2的各个圈内；(3)图3是这种特殊的三角形幻方，请求x的值．8．下面是用棋子摆成的“小屋子”．摆第10个这样的“小屋子”需要多少枚棋子？摆第n个这样的“小屋子”呢？你是如何得到的？9．【问题呈现】用一些长短相同的小木棍按图所示的方式，连续摆正方形或六边形，要求相邻的图形只有一条公共边.已知摆放的正方形比六边形多4个，并且一共用了110根小木棍，问连续摆放的正方形和六边形各多少个.【自主思考】慧慧用表格的形式对本问题的一些信息进行了梳理，请把表格内容补充完整.【建模解答】（请完整解答本题）10．如图是由一些火柴棒搭成的图案．(1)摆第4个图案用根火柴棒．(2)按照这种方式摆下去，摆第n 个图案用根火柴棒． (3)计算一下摆481根火柴棒时，是第几个图案？11．实验探究：如图，在四边形ABCD 内部，有n 个点Pi （i =1，2，3，…，n ），连接这4n +个点构造不重叠的小三角形，请把在不同点数情况下最多可构造的三角形个数填入表中．(1)将上表中数据补充完整；(2)当四边形中有2022个小三角形时，求点数n 的值．12．如图，学校准备新建一个长度为L 的读书长廊，并准备用若干块带有花纹和没有花纹的两种规格大小相同的正方形地面砖搭配在一起，按图中所示的规律拼成图案铺满长廊，已知每个小正方形地面砖的边长均为0.3m ．(1)按图示规律，第一图案的长度1L =______；第二个图案的长度2L =______； (2)请用代数式表示带有花纹的地面砖块数n 与走廊的长度n L （m ）之间的关系；(3)当走廊的长度L为60.3m时，请计算出所需带有花纹图案的瓷砖的块数．13．如图图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，图案②需15根火柴棒，…(1)按此规律，图案⑦需____________根火柴棒；(2)用含n的代数式表示第n个图案需根火柴棒根数．14．2022年北京冬奥会开幕式主火炬台由96块小雪花形态和6块橄榄枝构成的巨型“雪花”形态，在数学上，我们可以通过“分形”近似地得到雪花的形状．操作：将一个边长为1的等边三角形（如图①）的每一边三等分，以居中那条线段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（如图②，称为第一次分形．接着对每个等边三角形凸出的部分继续上述过程，即在每条边三等分后的中段向外画等边三角形，得到一个新的图形（如图③），称为第二次分形．不断重复这样的过程，就得到了“科赫雪花曲线”．(1)【规律总结】每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的倍；每一次分形后，三角形的边长都变为原来的倍；(2)【问题解决】试猜想第n次分形后所得图形的边数是；周长为（用含n的代数式表示）15．用棋子摆出下一组图形：(1)摆第1个图形用______枚棋子，摆第2个图形用______枚棋子，摆第3个图形用______枚棋子．(2)按照这种方式摆下去，摆第n个图形用多少枚棋子？(3)计算一下摆第100个图形用多少枚棋子？(4)小鱼同学手上刚好有50枚棋子，是否可以摆出符合这种规律的图形，50枚棋子一枚不剩？如果可以，求出是第几个图形；如果不可以，请说明理由．16．把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形…按此规律排列下去，解答下列问题：(1)第④个图案中有______个黑色三角形．(2)求第ⓝ个图案中有多少个黑色三角形？（用含n的代数式表示）(3)求第100个图案中黑色三角形的个数．17．（1）如图1，图中共有三角形个；如图2，若增加一条线，则图中共有三角形个；（2）如图3，若增加到10条线，请你求出图中的三角形的个数．18．[提出问题]一个n边形，内部有m个点，用这些点以及n边形的n个顶点，可把原三角形分割成多少个互不重叠的小三角形？[探究问题]为了解决上面的问题，我们先从简单和具体的情形入手：探究一：以ABC的三个顶点和它内部的1个点，共4个点为顶点，可把ABC分割成3个互不重叠的小三角形．（如图①）探究二：以ABC的三个顶点和它内部的2个点，共5个点为顶点，可把ABC分割成5个互不重叠的小三角形．探究三：以ABC的三个顶点和它内部的3个点，共6个点为顶点，可把ABC分割成7个互不重叠的小三角形．[解决问题]以ABC的三个顶点和它内部的n个点，共()3+n个点为顶点，可把ABC分割成______个互不重叠的小三角形．[拓展探究]一个正方形内部有若干个点，用这些点以及正方形的四个顶点A、B、C、D，可把原正方形分割成多少个互不重叠的小三角形？完成下列表格．（1）填写下表：（2）原正方形能否被分割成2016个三角形？若能，此时正方形ABCD内有多少个点？若不能，请说明理由？[实际应用]以五边形的5个点和它内部的2022个点，共2027个顶点，可把原五边形分割成______个互不重叠的小三角形．[归纳总结]：n边形的内部的m个点，共m n个点作为顶点，可把原n边形分割成______个互不重叠的小三角形。

人教版七年级数学上册微专题7规律探索数、式、图规律问题的探索发现之路课件

5.(2024·河源和平期末)用木棒按如图所示的规律摆放图形,第100个图形需要木棒根数是( ) A.501 B.502 C.503 D.504
【解析】选A.因为第1个图形需要的木棒根数为:6, 第2个图形需要的木棒根数为:11=6+5=6+5×1, 第3个图形需要的木棒根数为:16=6+5+5=6+5×2,…, 所以第n个图形需要的木棒根数为:6+5(n-1)=5n+1, 第100个图形需要的木棒根数为:5×100+1=501.
12.(2023·岳阳中考)观察下列式子: 12-1=1×0;22-2=2×1;32-3=3×2;42-4=4×3;52-5=5×4;…, 按此规律,则第n(n为正整数)个等式是___________.
【解析】12-1=1×0;22-2=2×1; 32-3=3×2;42-4=4×3; 52-5=5×4;…;按此规律,则第n(n为正整数)个等式是n2-n=n(n-1). 答案:n2-n=n(n-1)
4.(2024·义乌期中)如图,敲击三根管时依次发出“1”“3”“5”的音,两只音锤同时从“1”开
始,以相同的节拍往复敲击,不同的是:甲锤每拍移动一位(左中右中左中右……),乙锤
则在两端各有一拍不移位(左中右右中左左中右……),在第2 024拍时,你听到的是
()
A.同样的音“1”
B.同样的音“3”
【解析】由题知,当n=2时,s=3,则s=2×3-3;当n=3时,s=6,则s=3×3-3; 当n=4时,s=9,则s=4×3-3;…,所以s与n之间的关系式为:s=3n-3. 将n=2 023代入得,s=3×2 023-3=6 066.即当三角形的边上有2 023枚棋子时,该三角形棋子总数为6 066. 答案:6 066

北师大版七年级数学上册《探索与表达规律》专项练习(含答案)

试题汇编——找规律1、如图所示，观察小圆圈的摆放规律，第一个图中有5个小圆圈，第二个图中有8个小圆圈，第100个图中有__________个小圆圈．（1）（2）（3）2、找规律．下列图中有大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，则第4幅图中有个菱形,第n 幅图中有个菱形．3、用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需棋子枚（用含n 的代数式表示）.4、观察表一，寻找规律．表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，其中a 、b 、c 的值分别为______________．5、如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面．如果铺成一个22⨯的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个33⨯的正方形1 2 3 n … … 第1个图第2个图第3个图…图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个44⨯的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个．若这样铺成一个1010⨯的正方形图案，则其中完整的圆共有个．6、如下图,用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案，则第n 个图案需要用白色棋子枚（用含有n 的代数式表示，并写成最简形式）.○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○ ○ ○ ○ ● ● ○ ○ ● ● ● ○○ ● ○ ○ ● ● ○ ○ ● ● ● ○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ● ● ● ○○ ○ ○ ○ ○7、用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第334个图形需根火柴棒。

8、将正整数按如图5所示的规律排列下去，若有序实数对（n ，m ）表示第n 排，从左到右第m 个数，如（4，2）表示实数9，则表示实数17的有序实数对是．9、如图 2 ，用n 表示等边三角形边上的小圆圈，f(n)表示这个三角形中小圆圈的总数，那么f(n)和n 的关系是第一排第二排第三排第四排 6 ┅┅ 10 9 87 32 15 410、观察图4的三角形数阵，则第50行的最后一个数是（）1-2 3-4 5 -67 -8 9 -10。

(完整版)七年级数学整式的加减探索规律(习题及答案)

探索规律（习题）➢例题示范例1：观察图1至图4中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第n个图中小圆圈的个数为M，则M=__________（用含n的代数式表示）．…图1 图2 图3 图4思路分析做图形规律的题，我们一般从两个方面来研究：（1）观察图形的构成．（2）转化．观察本题的图形，发现后面的图形总比前面的图形多3个小圆圈，可以采用分类的手段进行解决．分成原来的和增加的两类．①2+3×1②2+3×2③2+3×3④2+3×4则第n个：2+3n=3n+2．验证：当n=1时，3n+2=5，成立．故第n个图形中有(3n+2)个小圆圈．（想一想，还有其他观察角度吗？）例2：观察下列球的排列规律（其中●是实心球，○是空心球）：…从第1个球起到第2 014个球止，共有实心球________个．思路分析①判断该题是循环规律，查找重复出现的结构，即循环节；②观察图形的变化规律，发现每10个球为一个循环，每个循环节里有3个实心球．故2 014÷10=201…4，201×3=603；③再从某个循环节开始查前4个球，发现有2个实心球，故总数为603+2=605（个）．➢巩固练习1.如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成下列各题．123456781011121314151617181920212223242526272829303132333435369…（1）表中第8行的最后一个数是_____，它是自然数______ 的平方，第8行共有________个数；（2）用含n 的代数式表示：第n 行的第一个数是_________，最后一个数是_________，第n 行共有_________个数． 2. 将1，-2，3，-4，5，-6，…按一定规律排成下表：（1）第8行的数是_________________________________；（2）第50行的第一个数是_______．3. 下列图形由边长为1的正方形按某种规律排列而成，依此规律，则第8个图形中正方形有（）…图3图2图1A．38个 B．41个 C．43个D．48个4.如下图所示，摆第1个“小屋子”要5枚棋子，摆第2个要11枚棋子，摆第3个要17枚棋子，则摆第30个要_________枚棋子．…第3个第2个第1个5. 下列图案由边长相等的黑白两色正方形按一定规律拼接而成，依此规律，第n 个图案中白色正方形的个数为_________．…图3图2图16. 观察下列图形，根据图形及相应点的个数的变化规律，第n 个图形中点的个数为__________．图5图4图1图2图3…7. 如图1，一等边三角形的周长为1，将这个等边三角形的每边三等分，在每边上分别以中间的一段为边作等边三角形，然后去掉这一段，得到图2；再将图2中的每一段作类似变形，得到图3；按上述方法继续下去得到图4，则第4个图形的周长为________，第n 个图形的周长为________________．…图1 图2 图38. 一个纸环链，纸环按“红黄绿蓝紫”的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（）红黄绿蓝紫红黄绿 … … 黄绿蓝紫 A ．2 012B ．2 013C ．2 014D ．2 0159. 小时候我们就用手指练习过数数，一个小朋友按图中的规则练习数数，数到2 013时对应的手指头是（） A ．大拇指B ．食指C ．小拇指D ．无名指大拇指1234567891011121314151617181910. 如图，平面内有公共端点的八条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，OG ，OH ，从射线OA 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，…．（1）“20”在射线______________上；（2）请任意写出三条射线上的数字排列规律；（3）“2 015”在哪条射线上？➢ 思考小结1. 我们学习了数的规律、式的规律、图形规律、循环规律等，它们都有对应的操作方法．（1）数与式的规律：①_________；②_________；③处理符号；④验证．（2）图形规律：①观察图形的构成：____________________；②转化：________________________________________．（3）循环规律：①________________；②____________________．HD【参考答案】➢巩固练习1.（1）64，8，15；（2）(n-1)2+1（或n2-2n+2），n2，(2n-1)．2.（1）29，-30，31，-32，33，-34，35，-36；（2）-1 226．3. C4.1795.5n+36.n2-n+17.6427，143n-⎛⎫⎪⎝⎭8. B9. C10.（1）OD（2）射线OA：8n-7；射线OB：8n-6；射线OC：8n-5；射线OD：8n-4；射线OE：8n-3；射线OF：8n-2；射线OG：8n-1；射线OH：8n．任选三个即可．（3）在射线OG上．➢思考小结1.（1）①标序号；②找结构．（2）①分类，去重，补形；②转化为数的规律或其他图形的规律．（3）①确定起始位置；②找循环节．。

七年级上册数学找规律试题

5.对于实数 x ，我们规定 [x ]表示不大于 x 的最大整数，例如 [1.2]= 1 ，[3]= 3 ，[- 2.5]= -3 ，若 ⎢⎥⎦ = 5 ，初一数学找规律：1 ．(2013 山东滨州，18，4 分)观察下列各式的计算过程：5×5=0×1×100+25， 15×15=1×2×100+25， 25×25=2×3×100+25， 35×35=3×4×100+25， …… ……请猜测，第 n 个算式(n 为正整数)应表示为____________________________．【答案】 [10(n －1)+5]×[10(n －1)+5]=100n(n －1)+25.2. （2013 山东莱芜，17，4 分）已知 123456789101112…997998999 是由连续整数 1 至 999 排列组成的一个数，在该数种从左往右数第 2013 位上的数字为 . 【答案】7 3．（3 分）（2013•青岛）要把一个正方体分割成 8 个小正方体，至少需要切 3 刀，因为这 8 个小正方体都只有三个面是现成的．其他三个面必须用三刀切 3 次才能切出来．那么，要把一个正方体分割成 27 个小正方体，至少需用刀切 6 次；分割成 64 个小正方体，至少需要用刀切 9 次． 4．（2013 泰安）观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187… 解答下列问题：3+32+33+34…+32013 的末位数字是（）A ．0B ．1C ．3D ．7 考点：尾数特征．分析：根据数字规律得出 3+32+33+34…+32013 的末位数字相当于：3+7+9+1+…+3 进而得出末尾数字．解答：解：∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187… ∴末尾数，每 4 个一循环， ∵2013÷4=503…1，∴3+32+33+34…+32013 的末位数字相当于：3+7+9+1+…+3 的末尾数为 3，故选：C ．点评：此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出数字变化规律是解题关键．⎡ x + 4 ⎤ ⎣10则 x 的取值可以是（）.A.40B.45C.51D.56答案：C ．考点:新定义问题.点评:本题需要学生先通过阅读掌握新定义公式，再利用类似方法解决问题.考查了学生观察问题，分析问题，解决问题的能力.6. 当白色小正方形个数 n 等于 1,2，3…时，由白色小正方形和和黑色小正方形组成的图形分别如图所示.则第 n 个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于_____________.（用 n 表示， n 是正整数）答案：n 2+4n考点：本题是一道规律探索题，考查了学生分析探索规律的能力．点评：解决此类问题是应先观察图案的变化趋势，然后从第一个图形进行分析，运用从特殊到一般的探索方式，分析归纳找出黑白正方形个数增加的变化规律，最后含有n 的代数式进行表示．A．87．（3分）（2013•烟台）将正方形图1作如下操作：第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形…，以此类推，根据以上操作，若要得到2013个正方形，则需要操作的次数是（）A．502B．503C．504D．505考点：规律型：图形的变化类．分析：根据正方形的个数变化得出第n次得到2013个正方形，则4n+1=2013，求出即可．解答：解：∵第1次：分别连接各边中点如图2，得到4+1=5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到4×2+1=9个正方形…，以此类推，根据以上操作，若第n次得到2013个正方形，则4n+1=2013，解得：n=503．故选：B．点评：此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出正方形个数的变化规律是解题关键．8、（2013安徽）如图，观察每一个图中黑色正六边形的排列规律，则第10个图中黑色正六边形有个。

人教版七年级数学上册找规律问题(上)

第1排的第2排的第3排的第4排的座位数座位数座位数座位数
…
12
12+a
…
【点拨】12是不变量，a是相邻两排之间的增幅．
【解析】第n排一共增加了(n – 1)a个座位．【答案】依次填：12+2a，12+3a，12+(n – 1)a．
第n排的座位数
……
【点拨】通过观察先找出图形中不变量与增幅．【解析】第一个图形有白色地砖 6个，后面每个图都比前面相邻的图形多4个白色地砖，所以第n个图案中有白色地砖 6+4(n – 1)即4n+2个．
找规律问题(上)
课标引路
学习目标
知识梳理
数字类
探索规律
图形类
秘诀
细心观察巧妙发现
学习重点难点
会灵活解决找规律问题
能力提升
知识点一：“看增幅”型
【点拨】仔细观察相邻两数之间有什么数量关系．【解析】第二位数起，每位数都比前一位数增加，增幅相等都是5，
所以第n位数是：3+(n – 1)×5即5n – 2．【答案】5n – 2．
【点拨】先观察图形依次为正三角形，正方形，正五边形，正六边形…黑棋子的个数依次为边数的1倍，2倍，3倍… 【解析】通过观察得知图形上黑棋子的个数依次为3×1，4×2，5×3…，所以第 n个图形黑棋子的个数为n(n+2)．
【答案】n(n+2)．
指点迷津
能力拓展
【点拨】这一列式子全是单项式，既要观察系数又要观察次数. 再观察系数之间的数量关系，次数与序号之间的关系．从而找到解决问题的突破口．【解析】次数依次是0，1，2，3，4…即是序列号减1；系数依次0，1，1，2，3， 5，8…，仔细观察会发现每一个系数是前面相邻两系数之和．【答案】13x7．

初中数学找规律专项练习题(有答案)

初中数学找规律专项练习题(有答案)1、观察规律：1=1；1+3=4；1+3+5=9；1+3+5+7=16；…，则2+6+10+14+…+2014的值是多少？2、用四舍五入法对取近似数，并精确到千位，用科学计数法表示为多少？3、观察下面的一列数：-1，2，-3，4，-5，6…请找出其中排列的规律，并按此规律填空。

(1)第10个数是什么？第21个数是什么？(2)-40是第几个数？26是第几个数？4、一组按规律排列的数：1，3，6，10，15…请推断第9个数是多少？5、计算：(-2)+(-2)=多少？的二进制表示是多少？6、若。

则等于多少？7、大肠杆菌每过20分便由1个分裂成2个，经过3小时后这种大肠杆菌由1个分裂成多少个？8、猜数字游戏中，XXX写出如下一组数：1，3，5，7…n个数是什么？XXX猜想出第六个数字是什么？根据此规律，第9、10个数字分别是什么？9、若a+b=3，且与|b+5|的值互为相反数，则a-b的值是多少？10、在计数制中，通常使用的是“十进位制”，即“逢十进一”。

而计数制方法很多，如60进位制：60秒化为1分，60分化为1小时；24进位制：24小时化为1天；7进位制：7天化为1周等。

而二进位制是计算机处理数据的依据。

已知二进位制与十进位制的比较如下表。

十进位制2 3 4 5 10 16 110 ……二进制10 11 100 101 1010 ……请将二进位制xxxxxxxx(二)写成十进位制数为多少？12、为求2S-S的值，可令S=1/3，则2S=2/3，因此2S-S=1/3.仿照以上推理计算出的值是多少？13、若a+b=2，a-b=3，则a的值是多少？【】A。

-0.5 B。

0.5 C。

1.5 D。

-1.514、已知8.62=73.96，若x=0.7396，则x的值等于多少？A。

86.2 B。

862 C。

±0.862 D。

±86215、计算：(-2)+(-2)的值是多少？A。