高考数学最新改编题一

2007年高考数学最新改编题一

1、已知函数y=()f x 满足()()33f x f x -=+，且方程()f x =0有n 个实根x 1,x 2,…x n ,则x 1+x 2+…+x n = 3n 。

解：由()()33f x f x -=+可得y=()f x 的图像图像关于x=3对称。

当n 为偶数时，方程()f x =0有n 个实根x 1,x 2,…x n 两两成对出现，且成对两根之和为6， 所以x 1+x 2+…+x n =6×2

n =3n 当n 为奇数时，方程()f x =0有n 个实根中必有一根为3，其余n-1个根两两成对出现，且成对两根之和为6，所以x 1+x 2+…+x n =3+3（n-1）=3n

故x 1+x 2+…+x n =3n 。

2、对一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．则共有 30 种不同的染色方法。

解：记凸五边形的各边分别为①、②、③、④、⑤

第一步：将五边分成三组且相邻边不在同一组，则有

①、②④、③⑤ ②、①④、③⑤

③、①④、②⑤ ④、①③、②⑤

⑤、①③、②④

故共有五组

第二步：将三种颜色对应三组进行全排列A 33=6 由分步计数原理得共有5×6=30种。

3、如图1，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且2155AP AB AC =

+， AQ =23AB +14AC 则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为 ( B )

A.

15 B. 45 C. 14 D.13

图 1 图2

解：如图2设25AM AB =,15

AN AC =则AP AM AN =+由平行四边形法则知NP ∥AB ，所以 ABP AN ABC AC ∆=∆=15，同理可得14

ABQ ABC ∆=∆。 故45

ABP ABQ ∆=∆即选B.

4、设x>1，S=min ｛log x 2，log 2（4x 3）｝则S 的最大值为 3 。

解：由题设知S ≤ log x 2，S ≤ log 2（4x 3），且S>0则

S ≤ log 2（4x 3）=2+3log 2x=2+2log 3x ≤2+S

3， 于是S 2

-2S-3≤0得-1≤S ≤3当x=32时取等号。 5、在直角坐标系xOy 中，已知点A(0,1)和点B(-3,4)，C 点在AB 上且OC 是∠AOB 的角平分线,则OC = （-12，32

） 。 解：由题设知OA =（0，1），OB =（-3，4）

OC 是∠AOB 的角平分线

∴可设OC =λ（OA OB OA OB +）=λOA +15

λOB 又C 点在AB 上 所以λ+15λ=1解得λ=56

故OC =56OA +16OB =（-12，32） 6、在十进制中，若一个至少有两位数字的正整数除了最左边的数字外，其余各个数字都小于其左边的数字时，则称它为递降正整数．所有这样的递降正整数的个数为（D ）

（A ）1001 （B ）1010 （C ）1011 （D ）1013

解：当正整数为两位数时，有210C 个

当正整数为三位数时，有310C 个

………

当正整数为十位数时，有1010C 个

由分类计数原理得共有正整数210C +310C +…+1010C =210-110C -0

10C =1013 故选D 。

7、已知sin(2)3sin αββ+=,设tan ,tan x y αβ==,记()y f x =

(1)求证：tan ()αβ+=2tan α

(2)求()f x 的表达式;

(3)定义正数数列｛a n ｝;a 1=2，211n a +=21n a ⋅1n f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭

（n *∈N ）。 试求数列{}n a 的通项公式。

解：（1）由sin(2)3sin αββ+=，得sin ()[]βαα++=3sin ()αβα+-⎡⎤⎣⎦ ，即

sin ()αβ+cos α=2cos ()αβ+sin α

故tan ()αβ+=2tan α

（2）由tan ()αβ+=2tan α得tan tan 2tan 1tan tan αβααβ+=- 即21x y x xy

+=-。解得 y=212x x +故()x f =2

12x x + （3）因为211n a +=21n a ⋅1n f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=21n a ⋅21112n

n a a +， 所以2

1n a +=122n a +1即21n a +-2=12

（2n a -2） 因此{2n a -2}是首项为2，公比为12的等比数列。 所以2

n a -2=2112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭故a n

8、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，给定两点A （1，0）、B （0，－2），点C 满足 αβα其中,OB OA OC +=、12,=-∈βαβ且R

（1）求点C 的轨迹方程；

（2）设点C 的轨迹与椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 交于两点M 、N ，且以MN 为直径的圆过原点，求证：;1122为定值b

a + （3）在（2）的条件下，若椭圆的离心率不大于2

3，求椭圆实轴长的取值范围. 解：（1）设)2,0()0,1(),(,),,(-+=+=βαβαy x OB OA OC y x C 则因为

1122=+∴=-⎩⎨⎧-==∴y x y x βαβα

即点C 的轨迹方程为x +y =1 。

（2）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1122

22b y a

x y x 由 得：（a 2+b 2）x 2-2a 2x+ a 2- a 2b 2=0