微分几何课后习题解答
微分几何课后习题答案
微分几何课后习题答案微分几何课后习题答案微分几何是数学中的一个重要分支，研究的是曲线、曲面以及高维空间中的几何性质。
在学习微分几何的过程中，课后习题是巩固知识、提高理解能力的重要途径。
本文将针对微分几何课后习题给出一些答案，并解析其中的一些关键思路和方法。
一、曲线的参数化1. 给定曲线的参数方程为：x = t^2y = t^3求曲线的切向量和法向量。
解析：曲线的切向量是曲线在某一点上的切线的方向，可以通过对参数方程求导得到。
对x和y分别求导，得到：dx/dt = 2tdy/dt = 3t^2所以切向量为：T = (dx/dt, dy/dt) = (2t, 3t^2)曲线的法向量与切向量垂直，可以通过将切向量逆时针旋转90度得到。
所以法向量为：N = (-dy/dt, dx/dt) = (-3t^2, 2t)二、曲线的长度2. 计算曲线的长度：x = e^ty = e^(-t)解析：曲线的长度可以通过积分求解。
首先计算曲线的切向量：dx/dt = e^tdy/dt = -e^(-t)曲线的长度可以表示为：L = ∫√(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 dt= ∫√(e^t)^2 + (-e^(-t))^2 dt= ∫√(e^2t + e^(-2t)) dt这是一个积分问题，可以通过换元法解决。
令u = e^t，那么du = e^t dt。
将u代入上式，得到：L = ∫√(u^2 + u^(-2)) du= ∫√(u^4 + 1) du这是一个较为复杂的积分，可以通过换元法或者级数展开法求解。
三、曲面的法向量3. 给定曲面的参数方程为：x = u + vy = u - vz = u^2 - v^2求曲面的法向量。
解析：曲面的法向量可以通过对参数方程中的u和v分别求偏导得到。
对x、y、z分别对u求偏导，得到：∂x/∂u = 1∂y/∂u = 1∂z/∂u = 2u对x、y、z分别对v求偏导，得到：∂x/∂v = 1∂y/∂v = -1∂z/∂v = -2v所以曲面的法向量为：N = (∂z/∂u, ∂z/∂v, -∂x/∂u * ∂y/∂v + ∂y/∂u * ∂x/∂v) = (2u, -2v, 2)四、曲面的曲率4. 给定曲面的参数方程为：x = u^2y = v^2z = u + v求曲面的曲率。
微分几何陈维桓习题答案
微分⼏何陈维桓习题答案习题答案2p. 58 习题3.12. 在球⾯2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =-. 对于⾚道平⾯上的任意⼀点(,,0)p u v =，可以作为⼀的⼀条直线经过,N p 两点，它与球⾯有唯⼀的交点，记为p '.(1) 证明：点p '的坐标是2221u x u v =++，2221v y u v =++，222211u v z u v +-=++，并且它给出了球⾯上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表⽰；(2) 求球⾯上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表⽰；(3) 求上⾯两种正则参数表⽰在公共部分的参数变换；(4) 证明球⾯是可定向曲⾯.证明. (1) 设(,)r u v Op '=. 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈使得(1)Op tOp t ON '=+-. (1)由于21Op ON =='，222u v Op =+，0Op ON '?=，0t ≠，取上式两边的模长平⽅，得222/(1)t u v =++. 从⽽22222221(,,)(,,0)(0,0,1)11u v x y z Op u v u v u v +-'==+++++ 22222222221,,111u v u v u v u v u v ??+-= ?++++++??，2(,)u v ∈. (2)由(1)可知(,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=-+=-，⼜2()dt t udu vdv =-+，所以2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =--+，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =--+，332(1,0,)(0,1,)(0,0,1)u v r r t u u t v v t ?=--+22222(,,()1)(,,1)0t tu tv t u v t tu tv t t r =-+-=--=-≠. (3)因此(,)r r u v =给出了2\{}S N 的正则参数表⽰.(2)令(,,0)q u v =是,S p '两点连线与⾚道平⾯的交点. 同理，有(1)(,,1)Op t Oq t OS t u t v t '=+-=-，222/(1)t u v =++，22222222221(,,),,111u v u v r x y z Op u v u v u v ??--'=== ?++++++??，2(,)u v ∈. (4)2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =-+，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =-+， 332(1,0,)(0,1,)(0,0,1)u v r r t u u t v v t ?=----+22222(,,1())(,,1)0t t u t v t u v t t u t v t t r =-+=-=≠. (5) 因此(4)给出了2\{}S S 的正则参数表⽰.(3) 由(2)和(4)式可得2222()()1u v u v ++=，从⽽上⾯两种正则参数表⽰在公共部分2\{,}S N S 上的参数变换公式为22u u u v =+，22v v u v=+. (6) 由(3)和(5)可知22222222222(,)(1)10(,)(1)()u v t u v u v t u v u v ?++=-=-=-注. 如果采⽤复坐标，令,z u i v w u i v =+=-，则上⾯的参数变换可写成1/w z =. 这就是⼴义复平⾯上的共形变换.(4) 在2\{}S N 上采⽤(1)式给出的正则参数表⽰，在2\{}S S 上采⽤正则参数表⽰22222222221(,).,,111u v u v r u v u v u v u v ??---= ?++++++??则在公共部分的参数变换公式为22u u u v =+，22v v u v-=+. (4) 由于{}22\{},\{}S N S S 构成2S 的开覆盖，并且22222222222222222()()2222()()(,)10(,)()v u uv u v u v uv v u u v u v u v u v u v -++--++?==>?+，所以2S 是可定向的. □ 5 写出单叶双曲⾯2222221x y z a b c+-=和双曲抛物⾯22222x y z a b =-作为直纹⾯的参数⽅程.解. (1) 对单叶双曲⾯，取腰椭圆()(cos ,sin ,0)a u a u b u =，(0,2)u π∈为准线. 设直母线的⽅向向量为()()(),(),()l u aX u bY u cZ u =. 则直纹⾯的参数⽅程为()(,)()()(cos ()),(sin ()),()r u v a u vl u a u vX u b u vY u cvZ u =+=++.由于(,)r u v 的分量满⾜单叶双曲⾯的⽅程，可得222(cos ())(sin ())(())1u vX u u vY u vZ u +++-=，v ?∈.由v 得任意性得到cos ()sin ()0uX u uY u +=，222()()()X u Y u Z u +=.因此():():()sin :cos :1X u Y u Z u u u =-±. 取()()sin ,cos ,l u a u b u c =-得()(,)(cos sin ),(sin cos ),r u v a u v u b u v u cv =-+，(,)(0,2)u v π∈?.(2) 对双曲抛物⾯，令()x a u v =+，()y b u v =-，则2z uv =. 曲⾯的参数⽅程为 ()(,)(),(),2r u v a u v b u v uv =+-(,,0)(,,2)(,,0)(,,2)au bu v a b u av bv u a b v =+-=-+，2(,)u v ∈.p. 94 习题3.21. 证明：⼀个正则参数曲⾯S 是球⾯?它的所有法线都经过⼀个固定点.证明. “?”设S 是球⾯，参数⽅程为(,)r u v ，球⼼为a ，半径为R . 则有22((,))r u v a R -=，,u v D ?∈. (1)微分可得()0u r r a -=，()0v r r a -=. (2)所以()//u v r a r r -?，从⽽u v r a r r λ-=?，即有函数(,)u v λλ=使得(,)(,)[(,)][(,)]u v a r u v u v r u v r u v λ=-?. (3)这说明球⼼a 在它的所有法线上.“?” 设S 的所有法线都经过⼀个固定点a . 则有函数(,)u v λλ=使得(3)式成⽴，即有u v r a r r λ-=?. 分别⽤,u v r r 作积，可得(2).这说明2()0d r a -=，从⽽(1)式成⽴，其中0R >(否则S 只是⼀个点，不是正则曲⾯)是常数. 因此S 是以a 为球⼼，以R 为半径的球⾯，或球⾯的⼀部分. □3. 证明：⼀个正则参数曲⾯S 是旋转⾯?它的所有法线都与⼀条固定直线相交.证明. “?”设S 是旋转⾯，旋转轴L 为z 轴. 它的参数⽅程为()(,)()cos ,()sin ,()r u v f v u f v u g v =，(()0)f v >.因为()()sin ,cos ,0u r f v u u =-，()()cos ,()sin ,()v r f v u f v u g v '''=，()()()cos ,()sin ,()u v r r f v g v u g v u f v '''?=-，所以S 上任意⼀点(,)r u v 处的法线N 的参数⽅程为()(,)[(,)(,)]u v X t r u v t r u v r u v =+?.由于z 轴的参数⽅程为()(0,0,1)Y s s s k ==，并且()()cos ()sin ()()0()cos ()sin (),,001u v f v u f v u g v f v g v u g v u f v r r r k '''==-?，所以L 与N 共⾯. 如果L 与N 处处平⾏，则()//u v r r k ?，从⽽()0g v '=. 此时S 是垂直于z 轴的平⾯()z g v c ==. 所以当S 不是垂直于z 轴的平⾯时，旋转⾯S 的所有法线都与z 轴相交.“?” 通过选取坐标系，不妨设固定直线为z 轴. 设S 的参数⽅程为(,)((,),(,),(,))r u v x u v y u v z u v =，(,)u v D ∈.由条件，S 的所有法线都与z 轴相交，所以法线不能与z 轴平⾏，即00(,)(,)(,)(,),,//(,)(,)(,)u v u v y z x z x y r r u v u v u v -?= ?(0,0,1)，00(,)u v D ?∈. 因此00(,)(,)(,)u v y z u v ??，00(,) (,)(,)u v x z u v ??不能全为零. 不妨设在00(,)u v 点邻近(,)0(,)y z u v ?≠?. 通过参数变换，曲⾯的参数⽅程可以写成(,)((,),,)r u v x u v u v =，(,)u v D ∈. (1)于是 (),1,0u u r x =，(),0,1v v r x =，()1,,u v u v r r x x ?=--.因为所有法线都与z 轴相交，()0,,u v r r r k ≡?，即有0u xx u +=. 这说明22x u +是⼀个仅仅依赖于v 的函数. 设222()x u f v +=，其中()0f v >. 作参数变换()cos ,u f v v v θ==. 由上式得()sin x f v θ=，S 的参数⽅程(1)可以改写为(,)(()sin ,()cos ,)r v f v f v v θθθ=.这是⼀个旋转⾯，由yOz 平⾯上的母线()y f z =绕z 轴旋转⽽得. □5. 设S 是圆锥⾯(cos ,sin ,)r v u v u v =，:,t C u v e ==是S 上的⼀条曲线.(1) 将曲线C 的切向量⽤,u v r r 的线性组合表⽰出来；(2) 证明：C 的切向量平分了u r 和v r 的夹⾓.(1) 解. C 的参数⽅程为 ()()),sin(2),),1t t t t r e e e t e ==.C 的切向量为()()cos(2),sin(2),1),02(2,)(2,).t t t t t u v r e t t r t e e r t e '=+-=+(2) 证明. 因为(sin ,cos ,0),(cos ,sin ,1)u v r v u v u r u u =-=，在曲线C 上每⼀点t 处，()(2,)),0t t u r t e e =-，()(2,)),1t v r t e =.由上可知2t e r ='. 所以222cos (,)22t u u t u r r e r r r e r '?'∠==='(,)4u r r π'∠=； 2cos (,)222t v v t v r r e r r r e r '?'∠==='，(,)(,)4v u r r r r π''∠==∠. □ p. 104 习题3.3 2. 设球⾯的参数⽅程是22222222222222,,au av u v a r u v a u v a u v a ??+-= ?++++++??. 求它的第⼀基本形式.解. 记2222/()t u v a =++. 则(,,)(0,0,1)r at u v a =-+，2u t ut =-，2v t vt =-，(,,)(1,0,0)u u r at u v a at =-+，(,,)(0,1,0)v v r at u v a at =-+.所以()22222222222222224()2()u u u a E r a t u v a a t t u a t a t u v a ==++++==++， 222222()0u v u v u v F r r a t t u v a a t t v a t t u =?=++++=，()22222222222222224()2()v v v a G r a t u v a a t t v a t a t u v a ==++++==++，从⽽2222222224I ()()a Edu Gdv du dv u v a =+=+++. 5. 设在曲⾯上⼀点(,)u v ，由微分,du dv 的⼆次⽅程22(,)2(,)(,)0P u v du Q u v dudv R u v dv ++= (1)确定了在该点的两个切⽅向. 证明：这两个切⽅向彼此正交?函数,,P Q R 满⾜20ER FQ GP -+=，其中,,E F G 是曲⾯的第⼀基本形式.证明. 由条件，⼆次⽅程(1)有两个互异的实根:du dv 和:u v δδ，因此可以分解为两个⼀次因⼦的乘积：2211222()()Pdu Qdudv Rdv A du B dv A du B dv ++=++. (2)其中1122,,,A B A B 是关于变量(,)u v 的函数. 因为上式是关于⽂字,du dv 的⼆次多项式，⽐较两边的系数，得12P A A =，12212Q A B A B =+，12R B B =. (3)由(2)可知(1)所确定两个切⽅向为11::du dv B A =-，22::u v B A δδ=-. (4)这两个切⽅向彼此正交()0Edu u F du v dv u Gdv v δδδδ+++= (课本(3.18))12121212()0EB B F B A A B GA A ?-++= (由(4)式)20ER FQ GP ?-+=. (由(3)式) □8. 已知曲⾯的第⼀基本形式为2222I ()du u a dv =++.(1) 求曲线1:0C u v +=与2:0C u v -=的交⾓；(2) 求曲线21:C u av =，22:C u av =-和3:1C v =所围成的曲边三⾓形的各个边长和各个⾓.(3) 求曲线1:C u av =，2:C u av =-和3:1C v =所围成的曲边三⾓形的⾯积.解. (1) 已知221,0,E F G u a ===+. 因为交点为(,)(0,0)u v =. 在交点处2G a =. 对于1C ，du dv =-；对于2C ，u v δδ=. 所以它们的切⽅向,dr r δ满⾜22221cos (,)1dr r a dr r a dr r du δδδ?-∠===±+. 于是它们的交⾓为221arccos 1a a -+，或221arccos 1a a -+. (2) 不妨设常数0a >. 如图，在曲纹坐标下，1C 与2C 的交点为(0,0)O ，1C 与3C 的交点为(,1)A a ，C 与C 的交点为(,1)B a -.0O ∠=.在A 点220du avdv adv ==<，0,0u v δδ<=，所以2cos dr r A dr r du δδ?∠===在B 点220du avdv adv =-=->，0,0u v δδ>=，2cos dr r B dr r du δδ?∠===所以0O ∠=，A B ∠=∠=.曲线1C ，2C ，3C 的弧长分别为22212()()C L C a L C ===??， 33()2a C a L C du a -===??.注. 在90版中，本题为212:a C u v =，222:a C u v =-，3:1C v =，故112712260()(2)()a C L C a v dv a L C ===+==??， /23/2()a C a L C du a -===??.(3) 因为d σ，所以曲边三⾓形的⾯积110002av AOB A d σ?-===(1200ln av u a a dv ?=+??(120ln a v dv ?=+(()(13/2222130ln 1ln 1.a v v v a =+-+=++?? p. 110 习题3.41. 设空间曲线()r r s =以弧长s 为参数，曲率是κ. 写出它的切线曲⾯的参数⽅程，使得相应的参数曲线构成正交曲线⽹.解. 设曲线()r s 的Frenet 标架是{};,,r αβγ. 则它的切线曲⾯参数⽅程可写为(,)()()R s t r s t s α=+.由s R t ακβ=+，t R α=可得它的第⼀基本形式2222I (1())2t s ds dsdt dt κ=+++. (1)直母线(即t -曲线)0s δ=的正交轨线的微分⽅程为0ds dt +=，即()0d s t +=. 为此，作参数变换u s =，v s t =+. 则逆变换为s u =，t v u =-，切线曲⾯的参数⽅程为(,)()()()R u v r u v u u α=+-.在新参数下，(,)()()()()()()()()u R u v u u v u u u v u u u αακβκβ=-+-=-，(,)()v R u v u α=.第⼀基本形式化为2222I ()()v u u du dv κ=-+.所以参数曲线构成正交曲线⽹. 也可将s u =，t v u =-直接代⼊(1)式得到上式：22222222I [1()()]2()()()()v u u du du dv du dv du v u u du dv κκ=+-+-+-=-+.3. 求曲线(cos sin ,sin cos ,)r v u k u v u k u ku =-+的参数曲线的正交轨线，其中0k >是常数.解. (sin cos ,cos sin ,)u r v u k u v u k u k =---，(cos ,sin ,0)v r u u =.第⼀基本形式为2222I (2)v k du kdudv dv =+-+.u -曲线0v δ=的正交轨线的微分⽅程为0Edu Fdv +=，即22(2)0v k du kdv +-=. 解这个微分⽅程：222kdv du d v k ===+，得到u -曲线的过00(,)u v 的正交轨线为00)v u u v =-+.v -曲线0u δ=的正交轨线的微分⽅程为0Fdu Gdv +=，即kdu dv =. 过00(,)u v 的正交轨线为00()v k u u v =-+. p. 110 习题3.51. 证明：在悬链⾯(cosh cos ,cosh sin ,)r a t a t at θθ=，(,)(0,2)t θπ∈?与正螺⾯(cos ,sin ,)r v u v u au =，(,)(0,2)u v π∈之间存在保长对应.证明. 悬链⾯的第⼀基本形式为22221I [(sinh cos cosh sin )(sinh sin cosh cos )]a t dt t d t dt t d dt θθθθθθ=-+++ 2222cosh ()a t dt d θ=+.正螺⾯的第⼀基本形式为222222222I (sin cos )(cos sin )()v udu udv v udu udv a du a v du dv =-++++=++2222()a v du ??=++. 对正螺⾯作参数变换，令,sinh u v a t θ==. 则(,)cosh 0(,)u v a t t θ?=-≠?，参数变换是可允许的. 由于,cosh du d dv a tdt θ===，正螺⾯的第⼀基本形式化为2222222221I ()cosh ()I a v a t d dt du θ??=+=+=+. 根据定理5.3，在悬链⾯与正螺⾯之间存在保长对应. 对应关系式为,sinh u v a t θ==. □p. 110 习题3.51. 判断下列曲⾯中哪些是可展曲⾯？说明理由. (1) ()2234233,2,v u v r u u uv u =+++； (2) ()cos ()sin ,sin ()cos ,2r v u v v v u v v u v =-++++；(3) ()(),(),2r a u v b u v uv =+-； (4) ()cos ,sin ,sin 2r u v u v v =.解. (1) ()()234236()(),2,1,3,2v v u r a u a u u u u u u '=+=+.所以它是可展曲⾯，因为它是正则曲线()234(),2,a u u u u =(0u ≠)的切线⾯.(2) ()()()()()cos ,sin ,sin ,cos ,1r u v a v ua v v v v v v '=++=+-，其中()()cos ,sin ,a v v v v =是圆柱螺线，u u v =+. 所以它是可展曲⾯.(3) 令()(),,0a u au bu =，()(),,2l u a b u =-. 则()()r a u v l u =+，直接计算得()2(),(),()ab a u l u l u =-''.当0ab ≠时，它是马鞍⾯，()0(),(),()a u l u l u ≠''，所以不是可展曲⾯. 当0a =或0b =时，它是平⾯，所以是可展曲⾯. 当0a =且0b =时，它不是正则曲⾯.(4) 令()()0,0,sin 2a v v =，()()cos ,sin ,0l v v v =. 则()()r a v u l v =+. 由于()2cos20,,v a l l =≠''，它不是可展曲⾯. □。
微分几何的习题解答(曲线论).doc
第一章曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r ×)('t r = 0。
分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t )(t e 的形式，其中)(t e 为单位向量函数，)(t 为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。
证对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t )(t e ，若)(t r 具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t e ，所以r ×'r ='（e ×e ）=0。
反之，若r ×'r =0，对)(t r =)(t )(t e 求微商得'r ='e +'e ，于是r ×'r =2（e ×'e ）=0，则有= 0 或e ×'e =0。
当)(t = 0时，)(t r =0可与任意方向平行；当0时，有e ×'e =0，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长，e ·'e = 0），所以'e =0，即e 为常向量。
所以，)(t r 具有固定方向。
6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。
证若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向量，且)(t r ·n = 0 。
微分几何(版)【梅向明黄敬之编】课后题答案[]
![微分几何(版)【梅向明黄敬之编】课后题答案[]](https://img.taocdn.com/s3/m/f1b6ea180912a216147929fd.png)
§4.直纹面和可展曲面1. 证明曲面r =}32,2,31{2432v u u uv u v u +++是可展曲面.证法一： 已知曲面方程可改写为r =},2,{432u u u +v }32,,31{2u u ，令()a u r =},2,{432u u u ，()b u r =}32,,31{2u u ，则r =()a u r + v ()b u r ，且()b u r ≠0，这是直纹面的方程 ，它满足(',,')a b b r r r =23226412334013u u u u u u =0 ,所以所给曲面为可展曲面. 证法二：证明曲面的高斯曲率为零.（略）2.证明曲面r={cosv-(u+v)sinv, sinv+(u+v)cosv,u+2v}是可展曲面.证法一： 曲面的方程可改写为 r =()a v r + u ()b v r ，其中()a v r={cosv-vsinv, sinv+vcosv, 2v}，()b v r ={-sinv, cosv,1} ，易见()b v r≠0，所以曲面为直纹面，又因为(',,')a b b r rr =2sin cos 2cos sin 2sin cos 1cos sin 0v v v v v v v v v v ------=0，所以所给曲面为可展曲面. 证法二：证明曲面的高斯曲率为零.（略）3．证明正螺面r={vcosu,vsinu,au+b}(a ≠0)不是可展曲面.证法一：原曲面的方程可改写为 r =()a u r + v ()b u r ，其中()a u r={0,0,au+b},()b u r ={cosu,sinu,0}.易见()b u r ≠0, 所以曲面为直纹面, 又因为(',,')a b b r r r=00cos sin 0sin cos 0au u u u -=a ≠0.故正螺面不是可展曲面.证法二：证明曲面的高斯曲率为零.（略）4．证明挠曲线的主法线曲面与副法线曲面不是可展曲面.证 挠曲线（C ）:()a a s =r r 的主法线曲面为 1():()()s r a s v s β=+r r r,因为(,,)a ββr r r &&=(,,)0αβκατγτ-+=≠r r r r ，故1():()()s r a s v s β=+r r r 不是可展曲面.挠曲线（C ）:()a a s =r r 的副法线曲面为 2():()()S r a s v s γ=+r r r ，因为(,,)a γγ=r r r &&(,,)0αγτβτ-=≠r r r ，故2():()()S r a s v s γ=+r r r不是可展曲面.5.求平面族{}απ：xcos α+ysin α-zsin α-1=0 的包络.解 cos sin cos 0sin cos cos 0F x y z F x y z ααααααα=+-=⎧⎨=-+-=⎩，即c o s ()s i n 1s i n()c o s 0x y z x y z αααα+-=⎧⎨-+-=⎩ ，将此两式平方后相加得 22()1x y z +-= .这就是所求的包络面.6．求平面族2222a x ay z a +=的包络.解 从222202220a F a x ay z a F ax y ⎧=++-=⎨=+-=⎩中消去参数a ，则得所求的包络面为2(1)20y axz --=.7．证明柱面、锥面、任意曲线的切线曲面是可展曲面.证 柱面1()S 的方程可写为 r =()a u r + v 0b r ，（0b r ≠0 为常向量）因为(',,')a b b r r r =0(',,0)0a b =rr .故1()S 是可展曲面.锥面2()S 的方程可写为 r =0a r + v ()b u r （0a r 为常向量），因为(',,')a b b r r r =(0,,')b b r r =0，故2()S 是可展曲面. 曲线（C ）:()a a s =r r 的切线曲面为 3():()()S r a s v s α=+r r r .因为(',,')a b b r rr =(,,')0ααα=r r r ，故3():()()S r a s v s α=+r r r是可展曲面. 8．证明0uu uv r r ==r r的曲面(S):r=r(u,v)r r 是柱面.证法： 因为uu r 0=r ，所以()u r b v =r r ，又因为0uv r =r ，因此00u r b =≠r rr 为固定向量.从而积分得0(,)()r u v a v ub =+r r r.故曲面(S):r=r(u,v)r r 是柱面. §5 曲面的基本定理1．平面上取极坐标系时，第一基本形式为2222ds d d ρρθ=+，试计算第二类克氏符号kij Γ.解 因为21,0,E F G ρ===，所以1211111120,0,0222E E E EG EρθθΓ==Γ=-=Γ==， 2121222221,,0222G G G GEGρρθρρΓ==Γ=-=-Γ==. 2．证明高斯曲率det()j i K μ=. 证 因为d e t ()d e t ()d e t ()d e t ()j kjkjk ji i ki k i kL g L g L g μ=-∑=-=，而1()()kj kjg g -=，所以1det()det()kjkj g g =，从而22det()det()/det()ji ik kj LN ML g EG F μ-==-， 故det()j i K μ=.3．证明平均曲率12121()2H μμ=-+. 证 因为121211211222121211122122()k k k k kkL g L g L g L g L g L g μμ+=-∑-∑=-+++=-22221121111122122()(2)/()g g g gL L L L LG MF NE EG F g g g g--+=--+-=2H -， 所以12121()2H μμ=-+. 5．对于3R 中的空间曲面来说，()ll l ijk j jk k ij R K g g δδ=--其中K 是曲面的高斯曲率.证 因为121211221221,,R Kg g g g g g =-=-所以121211221221()R K g g g g =--，又1212211212212121,0(mijk R R R R R m i =-=-===或j=k),从而()mijk mj ik mk ij R K g g g g =--上式两边分别与ml g 相乘并关于m 从1到2求和，则得[()()ml ml ml mijkmj ik mk ij g R K g g g g g g =--=()l l j ik k ij K g g δδ--,而,ml l mijk ijk g R R =故得()ll l ijk j jk k ij R K g g δδ=--.注 在解题过程中省略了求和号∑. 6．证明以下公式： ⑴ 22122212221112111211221211121[()()()]v u K E=Γ-Γ+ΓΓ+ΓΓ-ΓΓ-Γ；⑵ 221112[))]K v u ∂∂=-∂∂；⑶ 112212[))]K u v ∂∂=-∂∂；⑷对于曲面上的等温坐标网有222()ds du dv λ=+，求证21[(ln )(ln )]uu vv K λλλ=-+；⑸ 对于曲面上的半测地坐标网有222ds du Gdv =+，求证K =证 ⑴ 高斯公式mijk ij mk ik mj R L L L L =-的两边分别与mk g 相乘并关于m 从1到2求和,再注意到l mk i j k mi j k R g R =及lijk R 的定义，可得()()l l ijp l p lmk ik ij pk ik pj ij mk ik mj kj p mg L L L L u u ∂Γ∂Γ-+∑ΓΓ-ΓΓ=∑-∂∂,今取i=1,j=1,k=2,l=2, 则有2212221222111211121122121112()()()v u Γ-Γ+ΓΓ+ΓΓ-ΓΓ-Γ=2112121()m m m mg L L L L ∑-=12221112121111221221()()g L L L L g L L L L -+-=22222()()Eg LN M LN M KE EG F-=-=- 故 22122212221112111211221211121[()()()]v u K E=Γ-Γ+ΓΓ+ΓΓ-ΓΓ-Γ. ⑵ 因为1212R K g =，所以2221221112112111212121121211g R g R g R g R R g K gααα=∑=+==-， 又因为222221211121121112()p p p p p Ru v∂Γ∂Γ=-+∑ΓΓ-ΓΓ∂∂，所以22122212221112111112112212111221g K v u ∂Γ∂Γ=-+ΓΓ+ΓΓ-ΓΓ-ΓΓ∂∂=222211112112212()v u ∂Γ∂Γ-+ΓΓ+Γ∂∂-221122112121111121112()2()ΓΓ+Γ+ΓΓ-ΓΓ ①而212212Γ+Γ=211211Γ+Γ=② 22221111121112112[11,1]2[12,1]g g u v ∂∂Γ-Γ=Γ-Γ∂∂=2211112112112()2()k k k k k kg g ∑ΓΓ-∑ΓΓ= 12212212121111121112111212121111111212112()2()2()g g g g g Γ+ΓΓ-Γ+ΓΓ=ΓΓ-ΓΓ，即12122211111112121112111112()()g g g u v∂∂ΓΓ-ΓΓ=Γ-Γ∂∂ ③ 于是将②，③代入①可得：.2222221112111111121211111()g g g K v u g u v ∂Γ∂Γ∂∂=-+ΓΓ+Γ-Γ∂∂∂∂221112K ∴=ΓΓ221211221112[))]v u ΓΓ∂∂=-∂∂因此命题得证.⑶ 因为1212R K g =，所以2111222122121212121222g R g R g R R g K gααα=∑===-， 又因为111112122212212221()p p p p p Rv u∂Γ∂Γ=-+∑ΓΓ-ΓΓ∂∂，所以11112121121222212222111221222121222212()()2()g K u v∂Γ∂Γ=-+ΓΓ+Γ-ΓΓ+Γ+ΓΓ-ΓΓ∂∂ ①而212221Γ+Γ=211211Γ+Γ=② 1121212222212222222121222()g g g v u∂∂Γ-Γ=ΓΓ-ΓΓ∂∂ 即12121122222122221221222212()()g g g v u∂∂ΓΓ-ΓΓ=Γ-Γ∂∂ ③ 于是将②，③代入①并整理得：112212[))]Ku v∂∂=-∂∂⑷因为E=G=2λ,F=0,所以2211][()()][(ln)(ln)]u vu v u v uu vvKλλλλλλλλ=+=-+=-+因此命题得证.⑸因为E=1， F=0, G=G（u，v），所以]0]u v uuK=+=+=因此命题得证.7．如果曲面的第一基本形式为222222()du dvdsu v c+=++，计算克氏符号kijΓ.解因为2221,0()E G Fu v c===++，所以111222,2uE uE u v c-Γ==++212111212222222222,,222v v uE E Gv v uG u v c E u v c G u v c--Γ=-=Γ==Γ==++++++，1222222uG uE u v cΓ=-=++，2222222vG vG u v c-Γ==++.8．求证第一基本形式为222222()du dvdsu v c+=++的曲面有常高斯曲率 .证因为2221,0()E G Fu v c===++，所以]u vK=+=-()22222222222222()2()[]()()v c u u c vu v cu v c u v c-+--+-+++++++=4c故所给曲面有常高斯曲率 .9．求以E=1,F=0,G=1,L=-1,M=0,N=0为第一、第二类基本量的曲面.解由已知条件和kijΓ的定义易知kijΓ=0，所以所求曲面的基本方程是,0,0,0,uu uv vvu u vr n r rn r n=-==⎧⎨==⎩，从第一式和第四式可得0uuu ur r+=，所以()cos()sin()r a v u b v u c v=++，再由第二式得'sin'cos0a ub u-+=，因此,a b是常向量，于是从第三式得(,c dv ed e=+为常向量），从而所求的方程为cos sinr a u b u dv e=+++，而sin cos,u vr a u b u r d=-+=，所以2222sin cos2sin cos1u ur r a u b u ab u u=+-=，因此221,0,a b ab===又sin cos0u vr r ab u bd u=-+=，所以0,ad bd==再注意到1v vr r dd==，于是,,,a b d可以分别作为x,y,z轴上的单位向量，故所求曲面可表示为{cos,sin,}r u u v e=+，因此所求曲面是半径为1的圆柱面.10．证明不存在曲面，使E=G=1,F=0,L=1,M=0,N=-1.证 若存在曲面满足题设条件，则所给E,F,G,L,M,N 必须满足在正交坐标网下的G —C —M 公式，但2]01u v LN M EG -+=≠=-，所以不满足高斯公式，故不存在满足题设条件的曲面.§6 曲面上的测底线1．求正交网的坐标曲线的测地曲率. 解 因为坐标网是正交的，所以F=0，故g d k ds θθθ=， 而对u-曲线来说，θ=0，故gu k = 对v-曲线来说，θ=222n gκκκ=+2π ，所以gv k =2．证明球面r ={acosucosv,acosusinv,asinu}上曲线的测地曲率sin ,n d udvds dsθκ=- 其中θ表示曲线与经线的交角.证 易求出E=2a , F=0,G=2a 2cos u ,因此g d k ds θθθ==221ln(cos )sin 2d a u ds a u θθ∂+∂=sin sin cos d u ds a u θθ-，而1cos dv sin ds a u θθ==，故 sin g d dv k u ds ds θ=-. 3．求位于半径为R 的球面上半径为a 的圆的测地曲率.解法一：因为sin ,(,)n n κκθθβ=±=∠，而1,sin a R κθ==，所以n κ=. 解法二：半径为a 的圆的曲率为1a κ=，圆上每一点处的法曲率1n Rκ=±，由222n g κκκ=+知，2222222g n R a R a κκκ-=-= ，所以g κ= .解法三：任何球面上的圆都可以通过建立适当的曲纹坐标网使其成为纬圆，过不妨求半径为a 的纬圆的测地曲率.由1题知所求即为v-线的测地曲率：gv k =Γ因为所考虑纬圆的半径为a，所以cos ,sin R u a u ==所以v g Raκ=-4．求位于正螺面r={ucosv,usin,av}上的圆柱螺线00():{cos ,sin ,}C r u v u v av =（0u =常数）的测地曲率.解 易计算出E=1，F=0，G=22a u +，而（C ）是一条v-曲线：u=0u ,于是由22221ln()2gv a u uu a u κ∂+===∂+，可知（C ）的测地曲率为0220gv u a u κ=+. 5．设曲面(S)上曲率线(C)，(C)上的点不是抛物点.证明(C)在点P 的测地曲率的绝对值等于在(S)的球面映射下(C)的象在对应点的测地曲率与(C)在点P 的法曲率之积的绝对值.分析 本题是一个综合应用题，可利用球面像和测地曲率及曲率线等概念，罗德里格定理，默尼埃定理证之.证 设所给曲面(S)上曲率线(C)的方程为r =)(s r，它的球面像()C 的方程为()r n s =，注意到曲率线的定义及罗德里格定理，则有n n dn dn ds dr ds ds ds ds ds ds ds dsακκα===-=-，其中s 是()C 的弧长，即(1)n ds ds αεαεκ==±=-，所以1nds ds αεαακ==- ，又因为(C)的点都不是(S)抛物点，即K ≠0,所以||Kn n K =，（n 为(S)的球面像（S ）的单位法向量），从而有测地曲率的定义可得11()()g g n n k n n αααακκκ=⨯=±⨯=±，即||||gg nκκκ= ，即||||g g n κκκ= .6．若曲面(S)(,)r r u v =上曲线(C):u = u(t),v = v(t),t 为曲线(C)上的任意参数，试导出测地曲率g k 的计算公式.解 由于(,,)g r r n κκβε== ，而222',''()ds ds d sr r r r r dt dt dt ==+ ，所以()22332','',[(())](,,)()|'|g ds ds d s dsr r n r r r n r r n r dt dt dt dtκ=⨯+==，所以3(','',)/|'|g r r n r κ=， 又'i i i du r r dt =∑， 22,''i j iij i i j i du du d u r r r dt dt dt=∑+∑ = 22,,,i j i j kkijk ij k i j k i j k du du du du d u r Ln r dt dt dt dtdt ∑Γ+∑+∑ ， 从而(','',)(''')r r n r r n =⨯= [1222222122,,()(i j i jij ij i j i j du d u du du du d u du du dt dt dt dt dt dt dt dt +∑Γ-+∑Γ|'|ij du r g =，由此得到：1222222122,,2[()()]()i j i jg ij ij i j i j ij du d u du du du d u du du dt dtdt dt dt dt dt dt g dt dtκ=+∑Γ-+∑Γ. 7．求证旋转曲面的子午线是测地线，而平行圆仅当子午线的切线平行于旋转轴时才是测地线 . 证 设旋转曲面为(S)，{()cos ,()sin ,()}(()0)r t t t t ϕθϕθψϕ=，则易计算出E='2'22,0,F G ϕψϕ+==,于是子午线（t —曲线）的测地曲率为'2'21ln()02gt k ϕψϕθ∂+==-=∂，故子午线是测地线.又平行圆（θ-曲线）的测地曲率为2g k θ=== .所以0g k θ=的充要条件是'()0t ϕ= ，即{'()cos ,'()sin ,'()}{0,0,'()}t r t t t t ϕθϕθψψ== 故平行圆仅当子午线的切线平行于旋转轴时才是测地线 . 8．求证 ⑴ 如果测地线同时为渐近线，则它是直线；⑵如果测地线同时为曲率线，则它是一平面曲线.证 ⑴因为所给曲线是测地线，所以0g k =； 又因为所给曲线是渐近线，所以0n k =，而222n gk k k =+ ，所以k=0，故所给曲线是直线. ⑵ 方法一：因所给曲线既是测地线又为曲率线，所以沿此曲线有n ‖β，n ‖α，而γαβ=⨯，所以,n γα=±⨯从而()(0)0n n k n γααβ=±⨯+⨯=±-⨯+=，又γτβ=-，所以0τ=，故所给曲线是平面曲线.方法二：因所给曲线是测地线，所以沿此曲线有n ‖β，所以β‖dn ，又因曲线是曲率线，所以dn ‖dr ‖α ，所以()κατγ-+‖α ，所以0τ=，故所给曲线是平面曲线.方法三：因所给曲线是测地线，所以该曲线的主法线重合于曲面的法线；因为是曲率线，所以沿此曲线曲面的法线曲面是可展曲面.从而该曲线的主法线曲面是可展曲面，而挠曲线的主法线曲面不是可展曲面，因此该曲线一定是平面曲线.方法四：设Γ是测地线，所以Γ的主法向量β‖n （曲面的单位法向量），所以Γ的副法向量γ⊥n ；即曲线Γ在每点处的副法向量与曲面在该点的法向量成定角，因Γ是曲率线，所以由P 114习题14知，曲线Γ是平面曲线.9．已知曲面的第一基本形式22()v du dv I =+，证明它上面的测地线是uv 平面上的抛物线. 证 因为E=G=v,F=0,所以测地线的微分方程化为1,2d dv tg du v du θθ== ，于是2dv tg d vθθ= ，积分后得12cos v h θ=（常数），由此得tg θ= .将此式代入第二式得du = ，积分后得002(u u u =±=常数），即2220()4()u u h v h -=- .故测地线在uv 平面上的表示为抛物线.10．求正螺面r={ucosv,usin,av}上的测地线.解 易计算出E=1，F=0，G=22a u +，所以测地线的微分方程化为22,d u dv tg du a u du θθθ=-=+，对第一式积分得sin h =（常 数）.于是tg θ=，将此式代入第二式并积分，则得所求测地线为v h = .11．利用刘维尔公式证明：⑴平面上的测地线为直线；⑵圆柱面上的测地线为 圆柱螺线.证 ⑴方法一：由于曲面的第一基本形式可写为22du dv I =+，所以由利乌维 公式可知，平面上的测地线的微分方程为0,0,d d dv tg du dv duθθθ===，于是有θ=常数，v utg c θ=+，故测地线为直线.方法二：取平面直角坐标系xoy ， 平面方程为{,,0}r x y =，可得1,0,1E F G ===，所以 22dx dy I =+.由刘维尔公式，对平面上的测地线有：g d d ds ds θθκθθ== = 0 所以测地线的（相对曲率）r d k dsθ== 0 ，所以测地线是直线. 方法三： 如方法二得0d dsθ=，所以0θθ=是常数，所以 0000cos ,cos ,sin ,sin dx dy x s y s ds dsθθθθ==== 即测地线方程是0v u K ⎧⎫⎪=+=⎬⎪⎭00cos sin x s y s θθ=⎧⎨=⎩ ，所以测地线是直线. ⑵ 证法一：设圆柱面为{cos ,sin ,}r a u a u v =，则易计算2,0,1E a F G ===.所以测地线的微分方程为g d d ds ds θθκθθ== = 0，,du dv ds ds θθ== ，所以θ=常数，0,0,d d dv atg du dv duθθθ===，()v atg u c θ=+，即圆柱面上的测地线为{cos ,sin ,}.r a u a u bu c =+.其中b atg θ=，这正是圆柱面上的圆柱螺线.因此得证.证法二：设圆柱面为{cos ,sin ,}r a u a u v =，则易计算2,0,1E a F G ===.所以测地线的微分方程为,gd dds dsdu dvds dsθθκθθθθ⎧===⎪⎪⎨⎪==⎪⎩所以0001cos,sindu dvds a dsθθθθ===是常数，，0102cos,sinu S C v s Caθθ=+=+ .所以测地线为：001102cos cos{cos(),sin(),sin}r a s C a s C s Ca aθθθ=+++（C1,C2为常数）.因为0{s i n}rθ'=…，…，与z周成定角，所以测地线为圆柱螺线：θ=时为112{cos(),sin(),}s sr a C a C Ca a=++是纬圆；02πθ=时为112{cos,sin,}r a C a C s C=+是直母线.12．证明：若曲面上非直线的所有测地线均为平面曲线，则它必为曲率线.证法一：因为所给曲面曲线是非直线的测地线，所以沿此曲线有nβ=±，从而()nκατγ=±-+，又因为曲线是平面曲线，所以0τ=，从而nκα=±.因此由罗德里格定理可知曲线的切线方向为主方向，故所给曲线为曲率线.证法二：设曲面上非直线的曲线Γ为测地线且为平面曲线.因为Γ为测地线，所以它的主法线是曲面的法线，又因Γ为平面曲线，所以Γ的主法线曲面是可展曲面，于是曲面沿Γ的法线组成曲面是可展曲面，所以Γ为曲率线.13．如果曲面上引进半测地坐标网，222(,)ds du G u v dv=+.求证：1[gds d tgκ-= .证明因为E=1，F=0，G=(,)G u v，所以根据Liouville公式有sin2ugGd dds ds Gθθκθθθ==+，而dvdsθ=，dvduθθ==，从而1[gdtgdsκ-=+故得1[gds d tgκ-= .14．给出曲面的第一基本形式为222(,)ds du G u v dv=+，如果此曲面上的测地线与u-曲线交于角α时，求证ddvα=证因为E=1，F=0，G=(,)G u v，所以与u-曲线交于角α的测地线应满足微分方程组sin2cosuGdds Gdudsdvdsααααααα⎧==-⎪⎪⎪==⎨⎪⎪=⎪⎩于是有ddvα=，故有ddv uα=-∂.15．证明：若曲面上两族测地线交于定角，则曲面是可展曲面.证法一：取一族测地线为u-曲线，与其正交的测地平行线为v-曲线，在曲面上建半测地坐标网，则曲面的第一基本形式可写为222(,)ds du G u v dv=+，由于两族测地线交于定角（设为ϑ），所以对另一族测地线来说应有0sin02uGdds Gθθθ==-=，所以0Gu∂=∂，这说明G仅与v有关，于是曲面的第一基本形式可写为222()ds du G v dv=+，作参数变换,u u v==，则曲面的第一基本形式化为22du dvI=+，这与平面的第一基本形式一致.因此所给曲面与平面是等距的，故为可展曲面.证法二：同上得到曲面的第一基本形式为222()ds du G v dv=+，所以曲面的高斯曲率v uK⎧⎫⎪=+=⎬⎪⎭，所以曲面为可展曲面.证法三：同17题利用高斯--泼涅公式证明曲面的高斯曲率处处为零，从而曲面为可展曲面.16．求半径为R的球面上测地三角形三内角之和.解任给半径为R的球面上的一个测地三角形∆，设其边缘为G∂，所围成的区域为G，则有高斯--泼涅公式可知31()2iiGKdσπαπ=+-=∑⎰⎰，其中iα（i=1,2,3）是∆的三个内角，而曲面的高斯曲率K=21R，所以3211()2iiGdRσπαπ=+-=∑⎰⎰，故得3211iiSRαπ∆==+∑，其中s∆是测地三角形∆的面积.17．利用高斯--泼涅公式证明若曲面(S)上存在两族交于定角的测地线，则它的高斯曲率处处为零.证不妨选取题设中的两族交于定角（设为α）的测地线为坐标曲线.若(S)在一点P处的高斯曲率K（P）≠0，不妨设K（P）> 0,则由K的连续性可知，存在点P的一个充分小的邻域G使得K(P)>0(P∈G).不妨设G是由两条u-曲线和两条v-曲线所围成，则由高斯--泼涅公式可知()()2GKdσπααπααπ+-++-+=⎰⎰，从而可知0GKdσ=⎰⎰，这与K(P)>0，从而上式左边大于零矛盾，因此命题得证.注：如果不对证题方法有特殊要求，则用15题中的证明方法也可.18．若曲面(S)的高斯曲率处处小于零，则曲面(S)上不存在围成单连通区域的光滑闭测地线.证 若不然，则(S)上存在围成单连通区域G 的光滑闭测地线（C ），于是由高斯--泼涅公式可得2G Kd σπ=⎰⎰.因为K<0,所以0GKd σ⎰⎰，这与上式右边的20π相矛盾，因此命题得证.19．设,a b 是沿曲面上曲线（C ）的向量场，f 是定义在（C ）上的数量函数，证明下列绝对微分的运算性质：⑴ ()D a b Da Db +=+； ⑵ ()()D fa df a fDa =+；⑶ ()()d ab Da b aDb =+ .证⑴ ()()[()][()][()]D a b d a b nd a b n da nda n db ndb n Da Db +=+-+=-+-=+⑵ ()()[()]()[()]D fa d fa nd fa n df a fda n df a fda n =-=+-+()[()]()df a f da nda n df a fDa =+-=+⑶ ()()[(()][()]d ab da b adb Da nda n b a Db ndb n =+=+++=()Da b aDb + .20． 设(),()a s b s 是曲面上曲线():()C r r s =的两个平行向量场，证明ab =常数，并由此证明当曲面上一点处二向量沿曲面上曲线作勒维—其维塔平行移动时，他们的长度和夹角不变.证 ⑴ 因为()()d ab Da b aDb =+，且(),()as bs 是沿():()C r r s =的两个平行向量场，即0,0Da Db ==，所以()0,d ab =故ab =常数.⑵ (),()a s b s 是沿():()C r r s =的两个平行向量场，所以由⑴可知2a aa ==常数，2b bb ==常数，ab =常数.故||a =常数，||b =常数，cos (,)||||ab a b a b ∠==常数，因此命题得证.。
微分几何习题四答案
微分几何习题四答案微分几何习题四答案微分几何作为数学的一个分支，研究的是曲线、曲面以及它们在空间中的性质。
在学习微分几何的过程中，习题是不可或缺的一部分。
通过习题的解答，我们可以更好地理解和应用微分几何的概念和定理。
本文将给出微分几何习题四的答案，帮助读者更好地理解微分几何的知识。
1. 证明：若曲线C的曲率不恒为零，则C的弯曲方向上的切线的曲率半径是C的曲率的倒数。
解答：设曲线C的参数方程为r(t)，其中t为参数。
曲线C的切向量为r'(t)，切向量的长度为| r'(t) |。
曲线C的曲率为κ(t)，曲率的倒数为1/κ(t)。
根据曲率的定义，曲率κ(t) = | r''(t) | / | r'(t) |。
其中r''(t)为曲线C的二阶导数。
由于曲线C的曲率不恒为零，即存在t0使得κ(t0) ≠ 0。
在曲线C上取一点P，其对应的参数值为t0。
在点P处，曲线C的切向量r'(t0)与曲线的弯曲方向相同。
由于曲线C的曲率不恒为零，所以在点P处曲线C的切向量r'(t0)不为零向量。
根据切线的曲率半径的定义，切线的曲率半径ρ(t) = 1/κ(t) = | r'(t) | / | r''(t) |。
在点P处，切线的曲率半径ρ(t0) = | r'(t0) | / | r''(t0) |。
由于r'(t0) ≠ 0，所以切线的曲率半径ρ(t0)存在。
而且根据曲率的定义，切线的曲率半径ρ(t0) = 1/κ(t0)。
综上所述，若曲线C的曲率不恒为零，则C的弯曲方向上的切线的曲率半径是C的曲率的倒数。
2. 证明：若曲线C的曲率恒为零，则C是一条直线。
解答：设曲线C的参数方程为r(t)，其中t为参数。
曲线C的曲率为κ(t)。
根据曲率的定义，曲率κ(t) = | r''(t) | / | r'(t) |。
微分几何二四五章_课后习题答案_
微分几何参考答案：P51页1. 求曲线r = { t t sin ,t t cos ,t t e } 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。
解 原点对应t=0 , 'r(0)={ t sin +t t cos ,t cos - t t sin ,t e +t t e 0}=t ={0,1,1}，=)0(''r{2t cos + t t cos ,t cos - t t sin ,2t e +t t e 0}=t ={2,0,2} ，所以切线方程是110zy x == ，法面方程是 y + z = 0 ； 密切平面方程是202110zy x=0 ，即x+y-z=0 ，主法线的方程是⎩⎨⎧=+=-+00z y z y x 即112zy x =-= ；从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式111-==zy x 。
2．求以下曲面的曲率和挠率⑴ },sinh ,cosh {at t a t a r =,⑵ )0)}(3(,3),3({323a t t a at t t a r +-=。
解 ⑴},cosh ,sinh {'a t a t a r = ，}0,sinh ,cosh {''t a t a r = ，}0,cosh ,{sinh '''t t a r =，}1,cosh ,sinh {'''--=⨯t t a r r，所以t a t a t a r r r k 2323cosh 21)cosh 2(cosh 2|'||'''|==⨯= ta t a a r r r r r 22422cosh 21cosh 2)'''()''','','(==⨯=τ 。
⑵ }1,2,1{3'22t t t a r +-= ，}1,0,1{6'''},,1,{6''-=-=a r t t a r，'r ×''r =}1,2,1{18222+--t t t a ，22322223)1(31)1(2227)1(218|'||'''|+=++=⨯=t a t a t a r r r k22224232)1(31)1(2182618)'''()''','','(+=+⨯⨯⨯=⨯=t a t a a r r r r r τ 。
微分与几何课后习题答案
第一章 事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。
(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。
(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。
解 (1)记9个合格品分别为 921,正正正，， ，记不合格为次，则，，，，，，，，，)()()(){(1913121次正正正正正正正 =Ω，，，，，，，，，)()()()(2924232次正正正正正正正 ，，，，，，，)()()(39343次正正正正正 )}()()(9898次正次正正正，，，，，，=A ){(1次正，，，，)(2次正)}(9次正，，(2)记2个白球分别为1ω，2ω，3个黑球分别为1b ，2b ，3b ，4个红球分别为1r ，2r ，3r ，4r 。
则=Ω{1ω，2ω，1b ，2b ，3b ，1r ，2r ，3r ，4r }(ⅰ) =A {1ω，2ω} (ⅱ) =B {1r ，2r ，3r ，4r }1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。
(1) 叙述C AB 的意义。
(2)在什么条件下C ABC =成立？(3)什么时候关系式B C ⊂是正确的？(4) 什么时候B A =成立？解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。
(2) C ABC = 等价于AB C ⊂，表示全系运动员都有是三年级的男生。
(3)当全系运动员都是三年级学生时。
(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。
1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i ≤≤1）。
用i A 表示下列事件：(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品；(3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是不合格品。
解 (1) n i i A 1=; (2) n i i n i i A A 11===; (3) n i n ij j j i A A 11)]([=≠=;(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为 nj i j i j i A A ≠=1,；1.4 证明下列各式：(1)A B B A ⋃=⋃;(2)A B B A ⋂=⋂(3)=⋃⋃C B A )()(C B A ⋃⋃;(4)=⋂⋂C B A )()(C B A ⋂⋂(5)=⋂⋃C B A )(⋃⋂)(C A )(C B ⋂ (6) ni i n i i A A 11===证明 （1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页（1.5）式和(1.6)式的证法。
微分几何习题解答(曲线论)
微分几何主要习题解答第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r具有固定方向的充要条件是)(t r×)('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r一般可以写成)(t r=)(t λ)(t e的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r=)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r ×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。
当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。
所以，)(t r 具有固定方向。
6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。
微分几何彭家贵课后题答案
习题一（P13）2.设()a t 是向量值函数，证明：（1）a =常数当且仅当(),()0a t a t '=； （2）()a t 的方向不变当且仅当()()0a t a t '∧=。
（1）证明：a =常数⇔2a =常数⇔(),()a t a t <>=常数⇔(),()(),()0a t a t a t a t ''<>+<>=⇔2(),()0a t a t '<>=⇔(),()0a t a t '<>=。
（2）注意到：()0a t ≠，所以()a t 的方向不变⇔单位向量()()()a t e t a t ==常向量。
若单位向量()()()a t e t a t ==常向量，则()0()()0e t e t e t ''=⇒∧=。
反之，设()e t 为单位向量，若()()0e t e t '∧=，则()//()e t e t '。
由()e t 为单位向量⇒(),()1(),()0e t e t e t e t '<>=⇒<>=⇒()()e t e t '⊥。
从而，由()//()()0()()()e t e t e t e t e t e t '⎫'⇒=⇒=⎬'⊥⎭常向量。
所以，()a t 的方向不变⇔单位向量()()()a t e t a t ==常向量 ⇔()()1()()0()()0()()()a t a t d e t e t a t a t a t dt a t ⎛⎫''∧=⇔∧+= ⎪ ⎪⎝⎭()()2111()()()()()0()()()d a t a t a t a t dt a t a t a t '⇔∧+∧= ()()0a t a t '⇔∧=。
微分几何初步 课后答案(陈维桓 著) 北京大学出版社
dr r (t ) 1 (3cos 2 t sin t ,3sin 2 t cos t , 2sin 2t ). ds | r (t ) | | 5sin t cos t |
3.设曲线 c 是下面两个曲面的交线：
x2 y 2 z 2 1, x ach , a, b 0. 求 c 从点 (a, 0, 0) 到点 2 a b a
y y (t ) y (h( x)) f ( x) , z z (t ) z (h( x)) g ( x) .
即曲线在 t0 的一个邻域内可表示成 y f ( x) , z g ( x) .
5.求曲线
x2 y 2 z 2 1 , z 0 的参数方程. 2 2 x y x
1 3
3
1 2
2
t
c (1, 0, 6). 1 1 r (t ) ( t 3 1, t 2 , et 6). 3 2
§2.3 曲线的曲率和 Frenet 标架 1.求曲线的曲率：
a . a 0 t 3 2 3 （2） r = 3t t ,3t ,3t t .
证明：设曲线 c ： r r (t ) ,点 P 对应 t t0 . 在 c 与 l 所 在 平 面 内 , 作 l1 / / l , 记 l1 c r r (t ) | t t0 t11 , t0 t12
.再作
li / / l ,s.t. dist (li 1 , li ) dist (l , li ) ,记 li c r r (t ) | t t0 ti1 , t0 ti 2 , i 2,3, 4,
微分几何_陈维桓_习题答案
习题答案1p.41 习题2.3 1. 求下列曲线的曲率：(2) ()323()3,3,3r t t t t t t =−+；(4) ()33()cos ,sin ,cos2r t t t t =.解. (2) ()22()31,2,1r t t t t '=−+，)2|()|321r t t '=+,()()6,1,r t t t ''=−, ()22()()181,2,1r t r t t t t '''⨯=−−+,)2|()()|181r t r t t '''⨯=+, 2213(1)t κ=+.(4) ()1()sin 23cos ,3sin ,42r t t t t '=−−，5|()||sin 2|2r t t '=,()()1()cos23cos ,3sin ,4sin 23sin ,3cos ,02r t t t t t t t ''=−−+,()()21()()sin 23cos ,3sin ,43sin ,3cos ,04r t r t t t t t t '''⨯=−−⨯()23sin 24cos ,4sin ,34t t t =−−，25|()()|sin 24r t r t t '''⨯=，225|sin 2|t κ=，(2(21)t k π≠+). 4. 求曲线222229,3x y z x z ⎧++=⎪⎨−=⎪⎩在()2,2,1处的曲率和密切平面方程. 解. 设曲线的弧长参数方程为()()(),(),()r s x s y s z s =, ()(0)2,2,1r =，0(0)r α=，00(0)r κβ=. 则(),(),()x s y s z s 满足题给的方程组，所以有2222212,26x y y z +=+=.对上式求导得22220,20,1xx yy yy zz x y z +=+=++=. (1)再求导，得22222(2),2(2),0xx yy x y yy zz y z xx yy zz +=−++=−+++=. (2)在()2,2,1处，由(1)解出2x y z =−=，13x =±. 不妨设122333,,x y z ==−=. 所以()()01,,1,2,23x y z α==−.代入(2)得2242,,22033x y y z x y z +=−+=−−+=.所以001(0)(0,1,1)3r κβ==−−，03κ=，01,1)β=−−. 于是()0001(0,1,1)1)1,2,232γαβ=⨯=⨯−−=−−.所以在()2,2,1处，曲率为03κ=，密切平面方程为4(2)(2)(1)0x y z −+−−−=，即490x y z +−−=.7. 证明：若一条正则曲线在各点的切线都经过一个固定点，则它必定是一条直线. 证明. 设曲线C 的弧长参数方程为()r r s =，它的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率和挠率分别为,κτ. 再设定点为a (常向量). 由条件，a 和()r s 都在C 的过()r s 点的切线上，所以(())//()r s a s α−. 故可设()()()r s a s s λα=+.对上式求导，利用Frenet 公式可得()()()()()()s s s s s s αλαλκβ=+.所以()0s κ=，C 是直线. □ p. 47 习题2.41. 计算习题2.3第1题中各曲线的挠率.(2) ()323()3,3,3r t t t t t t =−+；(4) ()33()cos ,sin ,cos2r t t t t =.解. (2) ()22()31,2,1r t t t t '=−+，)2|()|321r t t '=+,()()6,1,r t t t ''=−, ()22()()181,2,1r t r t t t t '''⨯=−−+，)2|()()|181r t r t t '''⨯=+，()()61,0,1r t '''=−，()216(),(),()r t r t r t ''''''=，()()222(),(),()1|()()|31r t r t r t r t r t t τ''''''=='''⨯+. (4) ()1()sin 23cos ,3sin ,42r t t t t '=−−，5|()||sin 2|2r t t '=,()()1()cos23cos ,3sin ,4sin 23sin ,3cos ,02r t t t t t t t ''=−−+,()()21()()sin 23cos ,3sin ,43sin ,3cos ,04r t r t t t t t t '''⨯=−−⨯()23sin 24cos ,4sin ,34t t t =−−，()()()2sin 23cos ,3sin ,42cos23sin ,3cos ,0r t t t t t t t '''=−−−+ ()1sin 23cos ,3sin ,02t t t +−，25|()()|sin 24r t r t t '''⨯=，()332(),(),()4t r t r t r t ''''''=，()2(),(),()|()()|r t r t r t r t r t τ''''''=='''⨯, (2(21)t k π≠+). 4. 假定()r r s =是正则弧长参数曲线，它的挠率0τ≠，曲率κ不是常数，并且222111d a ds κτκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， (1) 其中a 为常数. 证明该曲线落在一个球面上.证明. 由条件(1)，求导得1111110d d d d ds ds ds ds κκττκκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 因为κ不是常数，上式说明110d d ds ds τκτκ⎡⎤⎛⎫+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. (2) 设它的Frenet 标架为{};,,r αβγ. 考虑向量函数111()()()()()()()d r s r s s s s s s ds βγκκτ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. (3) 对上式求导，利用Frenet 公式和(2)式，得111111[]()0d d d d r ds ds ds ds αβκατγγτβκττκκκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=++−+++−= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.所以r c =是常向量. 代入(3)得到111()()()()()()d c r s s s s s s ds βγκκτ⎛⎫−=+ ⎪⎝⎭， ()2222111()d a r s c ds κτκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=− ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 这说明()r s 在以c 为中心，以a 为半径的球面上. □10. 设()r t 是单位球面上经度为t ，纬度为2t π−的点的轨迹. 求它的参数方程，并计算它的曲率和挠率.解. 单位球面的参数方程为cos cos ,cos sin ,sin x y z θϕθϕθ===，(,)[/2,/2][,]θϕππππ∈−⨯−. 其中ϕ为经度，θ为纬度. 将,2t t πϕθ==−代入，得曲线的参数方程()2()sin cos ,sin ,cos r t t t t t =.于是()()cos2,sin 2,sin r t t t t '=−，|()|1r t '=+.()()2sin 2,2cos2,cos r t t t t ''=−−，()()()2sin cos2cos sin 2,2sin sin 2cos cos2,2r t r t t t t t t t t t '''⨯=−+()()2sin cos 2(0,0,1)cos2,sin 2,0sin 2,cos2,0t t t t t t =++−，|()()|cos r t r t '''⨯=.()()()4sin (0,0,1)4cos2,4sin 2,sin cos2,sin 2,0r t t t t t t t '''==−+−−,()6sin (),(),()t r t r t r t ''''''=−.所以32cos |()()||()|1sin r t r t r t t κ'''⨯=='+， ()222(),(),()6sin |()()|cos 4(1sin )r t r t r t tr t r t t t τ''''''−=='''⨯++. p. 55 习题2.51，6. 设正则曲线C 的曲率κ处处不为零. 则下述命题是等价的：(a )C 是一般螺线(即C 的切向量与固定方向成定角)； (b )C 的主法线与固定平面平行； (c )C 的挠率与曲率之比:τκ是常数.证明. 设曲线C 的弧长参数方程为()r r s =，它的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率和挠率分别为0,κτ≠.(a )⇒(b ). 设固定方向的单位向量为n . 则cos (,)n n αα=∠是常数. 因为0κ≠，求导得到0n β=，即主法线方向与固定方向n 垂直. 所以主法线与以n 为法向量的一个固定平面垂直.(b )⇒(c ). 设固定平面的单位法向量为n . 则0n β=. 于是()0d n n dsακβ==. 这说明cos n αθ=是常数，其中(,)n θα=∠. 因为0n β=，可设()()()()n s s s s λαμγ=+.用()s α与等式两边作内积，得()()cos s s n λαθ==是常数. 再由n 是单位向量可知222()1()sin s s μλθ=−=也是常数. 不妨设sin μθ=，则上式成为cos ()sin ()n s s θαθγ=+求导得到0[cos ()sin ()]()s s s θκθτβ=−.所以():()cot s s τκθ=是常数.(c )⇒(a ). 设():()cot s s τκθ=是常数. 令()cos ()sin ()n s s s θαθγ=+. 则()[cos ()sin ()]()0n s ss s θκθτβ'=−=.所以n 是常向量，从而切方向α与固定方向n 成定角(,)n θα=∠. □ 4. 证明：曲线()(,2cos sin )r t t t t t =+−和曲线122()(2cos ,2sin ,)u u r u u =−可以通过刚体运动彼此重合.证明. 对曲线1:C 11()r r u =作参数变换2u v =，可知1C 是圆柱螺线：1(2cos ,2sin ,2)r v v v =−. (2,2a b ==−)它的曲率和挠率分别为114κ=，114τ=−. 因此只要证明曲线:C ()r r t =的曲率14κ=，挠率14τ=−，从而根据曲线论基本定理，它们可以通过刚体运动彼此重合. 直接计算可得()(1,2sin ,cos )r t t t t '=+−，|()|22r t '=，()(3sin ,2cos ,sin )r t t t t ''=−−， ()()(23cos 2,4sin ,2cos )r t r t t t t '''⨯=−−−−2(1,2sin cos )t t t =−+，|()()|42r t r t '''⨯=，14κ=.()(,2sin ,cos )r t t t t '''=−，()8(),(),()r t r t r t ''''''=−，14τ=−. □注. 此类证明题，一般是由等式1()()t u κκ=确定一个函数()u u t =，然后证明1()(())t u t ττ=. p. 63 习题 2.62. 作正则参数曲线C 关于一张平面的对称曲线C *. 证明：曲线C 和C *在对应点的曲率相同，挠率的绝对值相同而符号相反.证明. 设曲线C 的弧长参数方程为()r r s =，它的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率和挠率分别为0,κτ≠. 再设∏是过定点a ，以n 为单位法向量的平面. 由上图可见()r s OR =在n 方向的投影向量[()]PR n r s n =⋅，从而()r s 在平面∏上的投影向量()()[()]OP r s PR r s n r s n =−=−⋅.同理，a 在n 方向的投影向量()PQ n a n =⋅. 用11()r s OR =表示()r s 关于平面∏的对称点. 由于Q 是R 和1R 的中点，12PR PR PQ +=，所以111()2()[()]2()[()]()2[()]2().r s OR OP PR OP PQ PRr s n r s n n a n n r s n r s n r s n n a n ==+=+−=−⋅+⋅−⋅=−⋅+⋅ 求导得1()()2[()]r s s n s n αα'=−⋅，2221|()|14[()]4[()]1r s n s n s αα'=−⋅+⋅=.()r s 1()r s naQ1R R所以s 也是C *的弧长参数. 设C *的Frenet 标架为{}1111;,,r αβγ，曲率和挠率分别为1κ和1τ. 则112()r n n ααα==−⋅.再求导，得1112()[2()]n n n n κβααακββ==−⋅=−⋅.于是11||2()n n κακββκ==−⋅=，12()n n βββ=−⋅.由此得1112()2()2[()()]2[()]2()2(),n n n n n n nn n n n n n γαβγαββαγβααβγαβγγγγ=⨯=−⋅⨯−⋅⨯=−⋅−⋅⨯=−⨯⨯⨯=−⨯⨯=−+⋅2111[2()][2()][2()]n n n n n n τβγββτβτβτββτ=−⋅=−+⋅−⋅=−−⋅=−. 所以有1κκ=，1ττ=−. □3. 如果正则参数曲线的向径()r s 关于弧长s 的n 阶导数是()()()()()()()()n n n n r s a s s b s s c s s αβγ=++，求它的1n +阶导数.解. 由Frenet 公式可得(1)()()()().n n n n n n n n n n n n n n r a a b b c c a b b a c c b ακββκατγγτβκακτβτγ+=+++−++−=−++−++p. 69 习题2.74. 假定曲线:()C r r s =和曲线:()C r r s =的曲率处处不为零，且它们之间存在一一对应，使得曲线C 在每一点的主法线是曲线C 在对应点的次法线. 证明：曲线C 和C 在对应点之间的距离λ为常数，并且曲线C 的曲率和挠率满足关系式22()κλκτ=+.证明. 设曲线C 和C 的弧长参数方程分别为()r r s =和11()r r s =，它们之间的一一对应由函数关系()s s s =给出. 再设它们的Frenet 标架分别为{};,,r αβγ和{}1111;,,r αβγ，曲率和挠率分别为,κτ和11,κτ.由条件，可设1(())()()()r s s r s f s s β=+， (1)1(())()s s s γεβ=， (2)其中1ε=±. 对(1)式两边求导，得1()s f f ααβκατγ''=++−+. (3) 再用(2)两边分别与(1)两边作内积，得0f '=，所以f 为常值函数. 这说明C 和C 在对应点之间的距离1|(())()|||r s s r s f λ−==为常数.将(3)重写为1(1)s f f ακατγ'=−+. (4)上式再求导，得22111(1)s s f f f f ακβκακκβτγτβ'''''+=−+−+−.用(2)两边分别与上式两边作内积，得22()f κκτ=+. 因为0κ>，所以0f f λ==>，即有22()κλκτ=+. □8. 证明：圆柱螺线的渐伸线是落在与其轴线垂直的平面内的一条曲线，并且它也是圆柱螺线所在圆柱面与该平面的交线的渐伸线.证明. 1.以圆柱螺线的轴线为z 轴，建立空间直角坐标系. 它的参数方程为()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =. 因为()(sin ,cos ,)r t a t a t b '=−，2|()|r t a '=，从0t =开始计算的弧长为()s t =. 由于单位切向量为21()sin ,cos ,)t a t a t b a α=−，根据定理7.3，渐伸线方程为1()()(())()(cos ,sin ,)sin ,cos ,)r t r t c s t t a t a t bt a t a t b α=+−=+−，其中c 是任意一个取定的常数. 记c =. 则渐伸线方程可以写成1()(cos ,sin ,)()(sin ,cos ,)r t a t a t bt c t a t a t b =+−−()cos ()sin ,sin ()cos ,a t a c t t a t a c t t cb =−−+−. (1)它是落在与其轴线(z 轴)垂直的平面z cb =内的一条曲线.2. 圆柱螺线所在圆柱面与该平面的交线是平面z cb =内的一个圆()(cos ,sin ,)r t a t a t cb =.它的弧长为()s t at =. 单位切向量为()(sin ,cos ,0)t t t α=−.所以它的一般的渐伸线方程为()1()()(())()cos ()sin ,sin ()cos ,r t r t c s t t a t c at t a t c at t cb α=+−==−−+−. (2)在(2)中取c ac =，就得到上面的渐伸线(1). □ 注. 在工业上，圆的渐伸线一般被用来作为齿轮的齿廓线. p.75 习题2.81. 求下列平面曲线的相对曲率r κ. (2) 双曲线：(cosh ,sinh )r a t b t =，t ∈.(4) 摆线：((sin ),(1cos ))r a t t a t =−−，[0,2]t π∈.(6) 曳物线：()cos ,ln(sec tan )sin r a t a t t a t =+−，[0,/2)t π∈.解. (2) (sinh ,cosh )r a t b t '=，(cosh ,sinh )r a t b t ''=，2||sinh r a '=，22223/2(sinh cosh )r aba tb t κ=−+.(4) (1cos ,sin )r a t t '=−，(sin ,cos )r a t t ''=，r κ=(0,2)t π∈. (6) 1sin (1,tan )sin ,cos cos r a a t t t t t ⎛⎫'==−−− ⎪⎝⎭，||tan r a t '=， 2cos (1,tan )sin (0,sec )r a t t a t t ''=−+，11cot tan r a t a tκ−=−=−，(0,/2)t π∈.2. 设平面曲线在极坐标系下的方程是()ρρθ=，其中ρ是极距，θ是极角. 求曲线的相对曲率的表达式.解. ()()()()(),()()cos ,()sin cos ,sin r x y ρθθθρθθρθθθθ===，()()()(sin ,cos )cos ,sin r ρθρθθθθθ''=+−， 2||(r ρθ'=， ()()()2()(sin ,cos )()cos ,sin cos ,sin r ρθρθθθρθθθθθ'''''=+−−()()2()(sin ,cos )()()cos ,sin ρθθθρθρθθθ'''=+−−，22223/2()2()()()[()()]r ρθρθρθρθκρθρθ'''+−='+. 6. 已知平面曲线的相对曲率()r s κ=s 是弧长参数，求它的参数方程.解. 令0()()arcsin sr s d s θκξξ==⎰，则sin(())s s θ=，cos(())s θ=[1,1]s ∈−.因此所求曲线的弧长参数方程为()2001(cos(()),sin(())))arcsin 2s s r d d s s θξθξξξξ===+⎰⎰.8. 求圆222:C x y a +=的渐伸线.解. 习题2.7第8题已经求得圆(cos ,sin )r a t a t =的渐伸线方程为 ()1()()(())()cos ()sin ,sin ()cos r t r t c s t t a t c at t a t c at t α=+−==−−+−. 特别，常数0c =的那一条渐伸线为()1()()()()cos sin ,sin cos r t r t s t t a t t t t t t α=−=+−.习题答案2p. 58 习题3.12. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =−. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p '. (1) 证明：点p '的坐标是2221u x u v =++，2221vy u v =++，222211u v z u v +−=++， 并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示； (2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示； (3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换； (4) 证明球面是可定向曲面.证明. (1) 设(,)r u v Op '=. 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈使得(1)Op tOp t ON '=+−. (1) 由于21Op ON =='，222u v Op =+，0Op ON '⋅=，0t ≠，取上式两边的模长平方，得222/(1)t u v =++. 从而22222221(,,)(,,0)(0,0,1)11u v x y z Op u v u v u v +−'==+++++ 22222222221,,111u v u v u v u v u v ⎛⎫+−= ⎪++++++⎝⎭，2(,)u v ∈. (2)由(1)可知(,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=−+=−，又2()dt t udu vdv =−+，所以2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =−−+，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =−−+，332(1,0,)(0,1,)(0,0,1)u v r r t u u t v v t ⨯=−−+22222(,,()1)(,,1)0t tu tv t u v t tu tv t t r =−+−=−−=−≠. (3)因此(,)r r u v =给出了2\{}S N 的正则参数表示.(2)令(,,0)q u v =是,S p '两点连线与赤道平面的交点. 同理，有(1)(,,1)Op t Oq t OS t u t v t '=+−=−，222/(1)t u v =++，22222222221(,,),,111u v u vr x y z Op u v u v u v ⎛⎫−−'=== ⎪++++++⎝⎭，2(,)u v ∈. (4)2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =−+，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =−+，332(1,0,)(0,1,)(0,0,1)u v r r t u u t v v t ⨯=−−−−+22222(,,1())(,,1)0t t u t v t u v t t u t v t t r =−+=−=≠. (5)因此(4)给出了2\{}S S 的正则参数表示.(3) 由(2)和(4)式可得2222()()1u v u v ++=，从而上面两种正则参数表示在公共部分2\{,}S N S 上的参数变换公式为22u u u v =+，22vv u v =+. (6) 由(3)和(5)可知22222222222(,)(1)10(,)(1)()u v t u v u v t u v u v ∂++=−=−=−<∂+++. 所以参数变换是可允许的，并且是改变定向的参数变换.注. 如果采用复坐标，令,z u i v w u i v =+=−，则上面的参数变换可写成1/w z =. 这就是广义复平面上的共形变换.(4) 在2\{}S N 上采用(1)式给出的正则参数表示，在2\{}S S 上采用正则参数表示22222222221(,).,,111u v u v r u v u v u v u v ⎛⎫−−−= ⎪++++++⎝⎭则在公共部分的参数变换公式为22u u u v =+，22vv u v−=+. (4) 由于{}22\{},\{}S N S S 构成2S 的开覆盖，并且22222222222222222()()2222()()(,)10(,)()v u uv u v u v uv v u u v u v u v u v u v −++−−++∂==>∂+， 所以2S 是可定向的. □5 写出单叶双曲面2222221x y z a b c+−=和双曲抛物面22222x y z a b =−作为直纹面的参数方程.解. (1) 对单叶双曲面，取腰椭圆()(cos ,sin ,0)a u a u b u =，(0,2)u π∈为准线. 设直母线的方向向量为()()(),(),()l u aX u bY u cZ u =. 则直纹面的参数方程为()(,)()()(cos ()),(sin ()),()r u v a u vl u a u vX u b u vY u cvZ u =+=++.由于(,)r u v 的分量满足单叶双曲面的方程，可得222(cos ())(sin ())(())1u vX u u vY u vZ u +++−=，v ∀∈.由v 得任意性得到cos ()sin ()0uX u uY u +=，222()()()X u Y u Z u +=.因此():():()sin :cos :1X u Y u Z u u u =−±. 取()()sin ,cos ,l u a u b u c =−得()(,)(cos sin ),(sin cos ),r u v a u v u b u v u cv =−+，(,)(0,2)u v π∈⨯. (2) 对双曲抛物面，令()x a u v =+，()y b u v =−，则2z uv =. 曲面的参数方程为()(,)(),(),2r u v a u v b u v uv =+−(,,0)(,,2)(,,0)(,,2)au bu v a b u av bv u a b v =+−=−+，2(,)u v ∈.p. 94 习题3.21. 证明：一个正则参数曲面S 是球面⇔它的所有法线都经过一个固定点. 证明. “⇒”设S 是球面，参数方程为(,)r u v ，球心为a ，半径为R . 则有22((,))r u v a R −=，,u v D ∀∈. (1)微分可得()0u r r a −=，()0v r r a −=. (2)所以()//u v r a r r −⨯，从而u v r a r r λ−=⨯，即有函数(,)u v λλ=使得(,)(,)[(,)][(,)]u v a r u v u v r u v r u v λ=−⨯. (3)这说明球心a 在它的所有法线上.“⇐” 设S 的所有法线都经过一个固定点a . 则有函数(,)u v λλ=使得(3)式成立，即有u v r a r r λ−=⨯. 分别用,u v r r 作内积，可得(2). 这说明2()0d r a −=，从而(1)式成立，其中0R >(否则S 只是一个点，不是正则曲面)是常数. 因此S 是以a 为球心，以R 为半径的球面，或球面的一部分. □3. 证明：一个正则参数曲面S 是旋转面⇔它的所有法线都与一条固定直线相交.证明. “⇒”设S 是旋转面，旋转轴L 为z 轴. 它的参数方程为()(,)()cos ,()sin ,()r u v f v u f v u g v =，(()0)f v >.因为()()sin ,cos ,0u r f v u u =−，()()cos ,()sin ,()v r f v u f v u g v '''=，()()()cos ,()sin ,()u v r r f v g v u g v u f v '''⨯=−，所以S 上任意一点(,)r u v 处的法线N 的参数方程为()(,)[(,)(,)]u v X t r u v t r u v r u v =+⨯.由于z 轴的参数方程为()(0,0,1)Y s s s k ==，并且()()cos ()sin ()()0()cos ()sin (),,001u v f v u f v u g v f v g v u g v u f v r r r k '''==−⨯，所以L 与N 共面. 如果L 与N 处处平行，则()//u v r r k ⨯，从而()0g v '=. 此时S 是垂直于z 轴的平面()z g v c ==. 所以当S 不是垂直于z 轴的平面时，旋转面S 的所有法线都与z 轴相交.“⇐” 通过选取坐标系，不妨设固定直线为z 轴. 设S 的参数方程为(,)((,),(,),(,))r u v x u v y u v z u v =，(,)u v D ∈.由条件，S 的所有法线都与z 轴相交，所以法线不能与z 轴平行，即00(,)(,)(,)(,),,//(,)(,)(,)u v u v y z x z x y r r u v u v u v ∂∂∂⎛⎫−⨯= ⎪∂∂∂⎝⎭(0,0,1)，00(,)u v D ∀∈. 因此00(,)(,)(,)u v y z u v ∂∂，00(,)(,)(,)u v x z u v ∂∂不能全为零. 不妨设在00(,)u v 点邻近(,)0(,)y z u v ∂≠∂.通过参数变换，曲面的参数方程可以写成(,)((,),,)r u v x u v u v =，(,)u v D ∈. (1)于是(),1,0u u r x =，(),0,1v v r x =，()1,,u v u v r r x x ⨯=−−. 因为所有法线都与z 轴相交，()0,,u v r r r k ≡⨯，即有0u xx u +=. 这说明22x u +是一个仅仅依赖于v 的函数. 设222()x u f v +=，其中()0f v >. 作参数变换()cos ,u f v v v θ==. 由上式得()sin x f v θ=，S 的参数方程(1)可以改写为(,)(()sin ,()cos ,)r vf v f v v θθθ=.这是一个旋转面，由yOz 平面上的母线()y f z =绕z 轴旋转而得. □5. 设S 是圆锥面(cos ,sin ,)r v u v u v =，:,t C u v e ==是S 上的一条曲线.(1) 将曲线C 的切向量用,u v r r 的线性组合表示出来； (2) 证明：C 的切向量平分了u r 和v r 的夹角. (1) 解. C 的参数方程为()()),),),1t t t t r e e e e ==.C 的切向量为()()cos(2),sin(2),1),02(2,)(2,).t ttttu v r e t t r t e e r t e '=+−=+(2)证明. 因为(sin ,cos ,0),(cos ,sin ,1)u v r v u v u r u u =−=，在曲线C 上每一点t 处，()(2,)),0t t u r t e e =−，()(2,)),1t v r t e =.由上可知2t e r ='. 所以222cos (,)2t u u tur r e r r r e r '⋅'∠==='(,)4u r r π'∠=； 2cos (,)22t v v t v r r e r r r e r '⋅'∠==='，(,)(,)4v u r r r r π''∠==∠. □ p. 104 习题3.3 2. 设球面的参数方程是22222222222222,,au av u v a r u v a u v a u v a ⎛⎫+−= ⎪++++++⎝⎭. 求它的第一基本形式.解. 记2222/()t u v a =++. 则(,,)(0,0,1)r at u v a =−+，2u t ut =−，2v t vt =−， (,,)(1,0,0)u u r at u v a at =−+，(,,)(0,1,0)v v r at u v a at =−+.所以()22222222222222224()2()u u u a E r a t u v a a t t u a t a t u v a ==++++==++， 222222()0u v u v u v F r r a t t u v a a t t v a t t u =⋅=++++=，()22222222222222224()2()v v v a G r a t u v a a t t v a t a t u v a ==++++==++， 从而2222222224I ()()a Edu Gdv du dv u v a =+=+++. 5. 设在曲面上一点(,)u v ，由微分,du dv 的二次方程22(,)2(,)(,)0P u v du Q u v dudv R u v dv ++= (1)确定了在该点的两个切方向. 证明：这两个切方向彼此正交⇔函数,,P Q R 满足20ER FQ GP −+=，其中,,E F G 是曲面的第一基本形式.证明. 由条件，二次方程(1)有两个互异的实根:du dv 和:u v δδ，因此可以分解为两个一次因子的乘积：2211222()()Pdu Qdudv Rdv A du B dv A du B dv ++=++. (2)其中1122,,,A B A B 是关于变量(,)u v 的函数. 因为上式是关于文字,du dv 的二次多项式，比较两边的系数，得12P A A =，12212Q A B A B =+，12R B B =. (3)由(2)可知(1)所确定两个切方向为11::du dv B A =−，22::u v B A δδ=−. (4)这两个切方向彼此正交⇔()0Edu u F du v dv u Gdv v δδδδ+++= (课本(3.18)) 12121212()0EB B F B A A B GA A ⇔−++= (由(4)式)20ER FQ GP ⇔−+=. (由(3)式) □8. 已知曲面的第一基本形式为2222I ()du u a dv =++.(1) 求曲线1:0C u v +=与2:0C u v −=的交角；(2) 求曲线21:C u av =，22:C u av =−和3:1C v =所围成的曲边三角形的各个边长和各个内角.(3) 求曲线1:C u av =，2:C u av =−和3:1C v =所围成的曲边三角形的面积. 解. (1) 已知221,0,E F G u a ===+. 因为交点为(,)(0,0)u v =. 在交点处2G a =. 对于1C ，du dv =−；对于2C ，u v δδ=. 所以它们的切方向,dr r δ满足22221cos (,)1dr ra dr r a dr r du δδδ⋅−∠===±+. 于是它们的交角为221arccos 1a a −+，或221arccos 1a a −+. (2) 不妨设常数0a >. 如图，在曲纹坐标下，1C 与2C 的交点为(0,0)O ，1C 与3C 的交点为(,1)A a ，C 与C 的交点为(,1)B a −.因为是计算内角，在O 点20,0du avdv dv ==>. 同理，0,0u v =>，所以内角0O ∠=.在A 点220du avdv adv ==<，0,0u v δδ<=，所以2cos dr r A dr r du δδ⋅∠===在B 点220du avdv adv =−=−>，0,0u v δδ>=，2cos dr r B dr r du δδ⋅∠===. 所以0O ∠=，A B ∠=∠=. 曲线1C ，2C ，3C 的弧长分别为1120()()C L C a L C ===⎰⎰，3()2a C aL C du a −===⎰⎰.注. 在90版中，本题为212:a C u v =，222:a C u v =−，3:1C v =，故127 122600()(2)()aCL C a v dv a L C ===+==⎰⎰⎰，3/23/2()aC aL C du a−===⎰⎰.(3)因为dσ=，所以曲边三角形的面积110002avAOBA dσ∆−===⎰⎰⎰⎰⎰⎰(1200lnavuaa dv⎡=++⎢⎣⎰(12lna v dv⎡=++⎢⎣⎰(()(13/222213ln1ln1.a v v v a⎡⎤⎡=+−+=++⎢⎥⎣⎣⎦p. 110 习题3.41. 设空间曲线()r r s=以弧长s为参数，曲率是κ. 写出它的切线曲面的参数方程，使得相应的参数曲线构成正交曲线网.解. 设曲线()r s的Frenet标架是{};,,rαβγ. 则它的切线曲面参数方程可写为(,)()()R s t r s t sα=+.由s R tακβ=+，t Rα=可得它的第一基本形式2222I(1())2t s ds dsdt dtκ=+++. (1) 直母线(即t-曲线)0sδ=的正交轨线的微分方程为0ds dt+=，即()0d s t+=. 为此，作参数变换u s=，v s t=+. 则逆变换为s u=，t v u=−，切线曲面的参数方程为(,)()()()R u v r u v u uα=+−.在新参数下，(,)()()()()()()()()uR u v u u v u u u v u u uαακβκβ=−+−=−，(,)()vR u v uα=.第一基本形式化为2222I()()v u u du dvκ=−+.所以参数曲线构成正交曲线网. 也可将s u=，t v u=−直接代入(1)式得到上式：22222222 I[1()()]2()()()()v u u du du dv du dv du v u u du dvκκ=+−+−+−=−+. 3. 求曲线(cos sin,sin cos,)r v u k u v u k u ku=−+的参数曲线的正交轨线，其中0k>是常数.解.(sin cos,cos sin,)ur v u k u v u k u k=−−−，(cos,sin,0)vr u u=.第一基本形式为2222I(2)v k du kdudv dv=+−+.u-曲线0vδ=的正交轨线的微分方程为0Edu Fdv+=，即22(2)0v k du kdv+−=. 解这个微分方程：222kdvdu dv k===+，得到u -曲线的过00(,)u v 的正交轨线为00)v u u v =−+.v -曲线0u δ=的正交轨线的微分方程为0Fdu Gdv +=，即kdu dv =. 过00(,)u v 的正交轨线为00()v k u u v =−+.p. 110 习题3.51. 证明：在悬链面(cosh cos ,cosh sin ,)r a t a t at θθ=，(,)(0,2)t θπ∈⨯与正螺面(cos ,sin ,)r v u v u au =，(,)(0,2)u v π∈⨯之间存在保长对应.证明. 悬链面的第一基本形式为22221I [(sinh cos cosh sin )(sinh sin cosh cos )]a t dt t d t dt t d dt θθθθθθ=−+++ 2222cosh ()a t dt d θ=+.正螺面的第一基本形式为222222222I (sin cos )(cos sin )()v udu udv v udu udv a du a v du dv =−++++=++2222()a v du ⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 对正螺面作参数变换，令,sinh u v a t θ==. 则(,)cosh 0(,)u v a t t θ∂=−≠∂，参数变换是可允许的. 由于,cosh du d dv a tdt θ====，正螺面的第一基本形式化为2222222221I ()cosh ()I a v a t d dt du θ⎡⎤=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 根据定理5.3，在悬链面与正螺面之间存在保长对应. 对应关系式为,sinh u v a t θ==. □p. 110 习题3.51. 判断下列曲面中哪些是可展曲面？说明理由.(1) ()2234233,2,vu v r u u uv u =+++； (2) ()cos ()sin ,sin ()cos ,2r v u v v v u v v u v =−++++；(3) ()(),(),2r a u v b u v uv =+−； (4) ()cos ,sin ,sin 2r u v u v v =.解. (1) ()()234236()(),2,1,3,2v v u r a u a u u u u u u '=+=+.所以它是可展曲面，因为它是正则曲线()234(),2,a u u u u =(0u ≠)的切线面. (2) ()()()()()cos ,sin ,sin ,cos ,1r u v a v ua v v v v v v '=++=+−，其中()()cos ,sin ,a v v v v =是圆柱螺线，u u v =+. 所以它是可展曲面.(3) 令()(),,0a u au bu =，()(),,2l u a b u =−.则()()r a u v l u =+，直接计算得()2(),(),()ab a u l u l u =−''.当0ab ≠时，它是马鞍面，()0(),(),()a u l u l u ≠''，所以不是可展曲面. 当0a =或0b =时，它是平面，所以是可展曲面. 当0a =且0b =时，它不是正则曲面.(4) 令()()0,0,sin 2a v v =，()()cos ,sin ,0l v v v =. 则()()r a v ul v =+. 由于()2cos20,,v a l l =≠''，它不是可展曲面. □2. 考虑双参数直线族x uz v =+，33u y vz =+，其中,u v 是直线族的参数.(1) 求参数u 和v 之间的关系，使得由此得到的单参数直线族是一个可展曲面的直母线族；(2) 确定相应的可展曲面的类型.解. (1) 对于固定的参数,u v ，该双参数直线族中的一条直线(,)L u v 可以写成点向式：3(/3)(,):1x v y u zL u v u v −−==.设所求的函数关系为()v f u =. 则得到一个单参数直线族{}(,())u L L u f u =，它们构成的直纹面S 的方程为()()3(,),(),1(),/3,0r u t t u f u f u u =+. 于是S 是可展曲面22220()1210f u u f u f u f u c u f f '''⇔=⇔=⇔=±⇔=±+'，其中c 是任意常数. 即所求的函数关系为22u v c =±+.(2) 此时S 的参数方程为(,)()()r u t a u t l u =+，其中()()3(),(),(),1(),/3,0a u l u u f u f u u ==，2()(/2)f u u c =±+. 由于()()()0,1,l u l u f uf f '''⨯=≠−−，S 不是柱面.如果S 是锥面，则有函数()t t u =使得()()()a u t u l u c +=，其中c 为常向量. 于是()20,,a t l t l f ut t u f t t f t '''=++='''''++++，从而0t '=，0t t =是常数. 由此得00u t ±+=，矛盾.因此S 是切线曲面. 事实上，记2()(/2)f u u c ε=+，其中1ε=±. 则()2()(1,,0)(),,0a u u u ul u u u εεεε''===.取新的准线23()()(),,26u u b u a u ul u c cu u εεεε⎛⎫=−=−+−−− ⎪⎝⎭.则22()(),,,,122u u b u l u u c u c εεεεεε⎛⎫⎛⎫'==−=−−−−−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.于是S 的参数方程为()()()()()()()()r b u u t l u b u u t b u b u t b u εεε''=++=−+=+，其中(,)(,)u t u u t ε=−−是新的参数. □8. 证明：由挠率不为零的正则曲线的主法线族和次法线族分别生成的直纹面都不是可展曲面.证明. 设正则曲线C 的弧长参数方程为()a s ，曲率和挠率分别为,κτ，Frenet 标架为{};,,a αβγ.它的主法线族生成的直纹面是1:()()S r a s t s β=+. 因为()()()0(),(),()()()()(),(),()s s s s s s s a s s s ταβκατγββ==≠−+，所以1S 不是可展曲面. 同理，由()()()0(),(),()(),(),()()s a s s s s s s s τγγαγτβ==≠−可知它的次法线族生成的直纹面2:()()S r a s t s γ=+不是可展曲面. □习题答案3p. 148 习题4.11. 求下列曲面的第二基本形式：(1)√旋转椭球面：()cos cos ,cos sin ,sin r a a b ϕθϕθϕ=；(2) 旋转椭圆抛物面：()2212,,()r u v u v =+； (3) 双曲抛物面：()(),(),2r a u v a u v uv =+−；(4)√一般柱面：()(),(),r f u g u v =；(5)√劈锥曲面：()cos ,sin ,()r u v u v f v =. 解. (1) ()cos sin ,cos ,0r a θϕθθ=−，()sin cos ,sin sin ,cos r a a b ϕϕθϕθϕ=−−，()cos cos cos ,cos sin ,sin r r a b b a θϕϕϕθϕθϕ⨯=，22(,)ππϕ⇒∈−)2cos cos ,cos sin ,sin sin n b b a a ϕθϕθϕ=.又()cos cos ,sin ,0r a θθϕθθ=−，()sin sin ,cos ,0r a θϕϕθθ=−，()cos cos ,cos sin ,sin r a a b ϕϕϕθϕθϕ=−.所以2L =，0M=，N =，)222II cos d d ϕθϕ=+. (2) ()1,0,u r u =，()0,1,v r v =，(),,1u v r r u v ⨯=−−，)21,,11n u v u =−−+.()0,0,1uu r =，0uv r =，()0,0,1vv r =，)22II 1du dv u =++.(3) (),,2u r a a v =，(),,2v r a a u =−，()2,,u v r r a u v v u a ⨯=+−−. 不妨设0a >. 则)2,,2n u v v u a a =+−−+，0uu vv r r ==，()0,0,2uv r =，II 22a u v=++. (4) (),,0u r f g ''=，()0,0,1v r =，(),,0u v r r g f ''⨯=−，)21,,0n g f f ''=−'+， (),,0uu r f g ''''=，0uv vv r r ==，2II ''''''=.(5) ()cos ,sin ,0u r v v =，()sin ,cos ,v r u v u v f '=−，()sin ,cos ,u v r r f v f v u ''⨯=−，)21sin ,cos ,n f v f v u f ''=−'+，0uu r=，()sin ,cos ,0uv r v v =−，()cos ,sin ,vv r u v u v f ''=−−，)2II 2f dudv uf dv ='''−+. □ 2. 求下列曲面的第二基本形式：(3) 3xyz k =，0k ≠是常数.解. 由条件知在曲面上30xyz k =≠，并且0yzdx xzdy xydz ++=，即 1110x dx y dy z dz −−−++=. (1)因此3111(,,)(,,)yz zx xy k x y z −−−=是曲面的法向量. 不妨设0k >. 则单位法向量()2221/2111(),,n x y z x y z −−−−−−−=++.于是()()2221/22221/2111222[()]().,,,,dn d x y z x y z x y z x dx y dy z dz −−−−−−−−−−−−−−=++−++由于()111(,,),,dr x y z dx dy dz −−−=⊥，故曲面的第二基本形式为()2221/2222222II ()dr dn x y z x dx y dy z dz −−−−−−−=−⋅=++++.如果由(1)解出111()z dz x dx y dy −−−=−+，再代入上式可得222211222222II −−−−==22222222||xy x =. □3. 求曲线()r r s =的切线曲面的第二基本形式，其中s 是该曲线的弧长参数. 解. 设正则曲线()r r s =的曲率和挠率分别为,κτ，Frenet 标架为{};,,a αβγ，它的切线曲面的参数方程为(,)()()R s t r s t s α=+.则()dR ds dt t αακβ=++，s R t ακβ=+，t R α=，s t R R t κγ⨯=−，0t >.n γ=−，dn ds τβ=，2II dR dn t ds κτ=−⋅=−. □6. 证明：如果在可展曲面S 上存在两个不同的单参数直线族，则S 是平面. 证明. 设可展曲面S 的参数方程为()()r a u vl u =+. 则沿着直母线S 的单位法向量n 是常向量，即()n n u =. 所以第二类基本量中0,0u v v v M r n N r n =−⋅≡=−⋅≡. 剩下的只要证明0L ≡，从而由定理1.1，S 是平面.为此，设在S 上任一固定点00(,)u v ，异于直母线的另一族直线中过该点的直线L 的弧长参数方程为(),()u u s v v s ==，并且00(0),(0)u u v v ==. 则L 在0s =处的单位切向量是00000000(0)(,)(0)(,)(0)[()()](0)()(0)u v r r u v u r u v v a u v l u u l u v '''''''=+=++，它不能与S 在00(,)u v 的直母线的切向量0()l u 平行，故(0)0u '≠.另一方面，因为L 是直线，有0r r '''⨯=，即//r r '''. 所以00(0)(,)0r n u v ''⋅=. 于是在00(,)u v 点成立()()20u v u r n r n r u r v n u Lu ''''''''=⋅=−⋅=−+⋅=.因为(0)0u '≠，可得00(,)0L u v =. 由于点00(,)u v 是任意的，可知0L ≡. □ p. 157 习题4.21. 设悬链面的方程是()222,ln()r u v v a u u a =+++，求它的第一、第二基本形式，并求它在点(0,0)处沿切向量2u v dr r r =+的法曲率.解. 不妨设0a >. 令sinh u a t =，则cosh a t =，(sinh cosh )t u a t t ae +=+=，ln(ln t u a =+−，cosh dudt a t ==. (1) 悬链面的方程可化为()cosh cos ,cosh sin ,ln r a t v t v t a =+，于是()sinh cos ,sinh sin ,1t r a t v t v =，()cosh sin ,cos ,0v r a t v v =− ()2cosh cos ,sin ,sinh t v r r a t v v t ⨯=−−，()1cosh cos ,sin ,sinh n t v v t −=−−.()cosh cos ,cosh sin ,0tt r a t v t v =，()sinh sin ,cos ,0tv r a t v v =−，()cosh cos ,sin ,0vv r a t v v =−.2222222222I cosh cosh ()a t dt a t dv du u a dv =+=++222222II aadt adv du adv u a=−+=−++. 在点(0,0)处，切向量2u v dr r r =+中2,1du dv ==，曲面的法曲率222244II 4II ,I 4,I (4)n a a a a a a a a κ−−=−+==+==+. □ 注. 参数(,)t v 是悬链面的等温坐标，并且参数网是正交的曲率线网. 此时22cosh ,0,E G a t F M L N a =====−=−，2121cosh a t κκ=−=，241cosh K a t =−，0H =. 4. 设曲面1S 和曲面2S 的交线为C . 设p 为曲线C 上一点，假定曲面1S 和曲面2S 在点p 处沿曲线C 的切方向的法曲率分别1κ是和2κ. 如果曲面1S 和曲面2S 在点p 处的法向量的夹角是θ，求曲线C 在点p 处的曲率κ.解. 设在p 点C 的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率为0κ≠，曲面12,S S 的单位法向量分别为12,n n . 因为12,,n n β均垂直于C 的切方向，所以它们共面. 不妨设绕着α由β到1n 的有向角为ϕ，到2n 的有向角为ϕθ+，02ϕϕθπ≤<+≤. 令11(,)n θβ=∠，22(,)n θβ=∠. 则11cos κκθ=，22cos κκθ=.于是1sin κθ==2sin κθ==当0θπ<<时，只有种情况：(1)[,]πϕϕθ∈+，即ϕπϕθ≤≤+. 此时1θϕ=，22()θπϕθ=−+，所以122θθπθ+=−. 则2222121212cos cos()cos cos sin sin κθκθθκθθκθθ=+=−12κκ=−(1)因此()2222221212()()cos κκκκκκκθ−−=−.化简得42224221212()cos 2cos κκκκκθκκκθ−+=−. 因此 κ=(2)[,]πϕϕθ∉+，即ϕπ>或πϕθ>+. 此时12θπϕ=−，22()θπϕθ=−+或1θϕ=，2θϕθ=+，所以12θθθ−=±. 则同理有212cos κθκκ=+， (2)κ=当0θ=(或θπ=)时，有12θθ=(或12θθπ+=)，从而12κκ=(或12κκ=−). 此时(2)式(或(1)式)成为恒等式，无法确定κ. □7. 设C 是曲面S 上的一条非直线的渐近线，其参数方程为(),()u u s v v s ==，其中s 是弧长参数. 证明：C 的挠率是βγ1n 2n ϕθβγ1n 2n ϕθ22()()()()s u s v s u s E F G L M Nτ''''−=. 证明. 设曲面S 的参数方程为(,)r r u v =，单位法向量为(,)n u v . 设C 的弧长参数方程为(),()u u s v v s ==，Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率为0κ≠. 由于C是S 上的渐近线，根据定理2.4，有()()s n s γε=，其中1ε=±，():((),())n s n u s v s =. 根据Frenet 公式，()()(),,,,n n r τγβγγαγγα'''=−⋅=−⋅⨯==''.利用Lagrange 恒等式，可得()2,,()()()()()()u v u v u v v u EGF r r n r r r n r r n r r r n r r τ''''''''−=⨯=⨯⋅⨯=⋅⋅−⋅⋅.将u v r r u r v '''=+，u v n n u n v '''=+代入上式，得()()()()Lu Mv Fu Gv Mu Nv Eu Fv ''''''''=−+++++22Eu Fv Fu Gv E F E G F G u u v v Lu Mv Mu Nv L M L N M N''''++''''==++''''++ 22v u v u EF G LMN''''−=. □ p. 166 习题4.31. 求抛物面2212()z ax by =+在原点处的法曲率和主曲率.解. 曲面的参数方程为()2212,,()r x y ax by =+，故 (1,0,)x r ax =，(0,1,)y r by =，(,,1)x y r r ax by ⨯=−−，211()(,,1)ax n ax by ++=−−.(0,0,)xx r a =，0xy r =，(0,0,)yy r b =所以在原点处22I(0,0,,)dx dy dx dy =+，22II(0,0,,)dx dy adx bdy =+，2222II (0,0,,)I n adx bdy dx dy dx dyκ+==+. 不妨设a b ≤. 因为在原点处222222(0,0,,)n dx dy a dx dy a b b dx dy dx dy κ≤=+≤++，且(0,0,1,0),(0,0,0,1)n n a b κκ==，所以,a b 分别是法曲率的最大、最小值，因而是抛物面在原点的主曲率. □注. 在原点0F M ==，从而根据下一节定理4.2立即可知主曲率是,a b . 4. 证明：曲面S 上任意一点p 的某个邻域内都有正交参数系(,)u v ，使得参数曲线在点p 处的切方向是曲面S 在该点的两个彼此正交的主方向.证明. 根据第三章定理4.2，在S 上任意一点p 的某个邻域内都有正交参数。
微分几何(第三版)第二章课后题答案[1]
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第二章曲面论§ 1曲面的概念1.求正螺面r ={ u cos v ,u sin v , bv }的坐标曲线.解u-曲线为r ={u cos v0,u sin v0,bv 0}= {0,0 , bv0} + u { cos v0, sinv0,0}, 为曲线的直母线；v-曲线为r ={ u0cos v , u0 sin v ,bv }为圆柱螺线.2 .证明双曲抛物面r ={ a (u+v) , b (u-v ) ,2uv }的坐标曲线就是它的直母线。
证u-曲线为r ={ a (u+v。
), b (u-v。
)，2u v o}={ a v。
，b v。
，0}+ u{a,b,2 v。
} 表示过点{ a v。
，b v。
,。
}以{a,b,2 v。
}为方向向量的直线;v-曲线为「= {a ( u0 +v) , b ( u 0 -v ) ,2 u 0 v} = {a u。
，b u。
，。
} +v{a,-b,2 u。
} 表示过点(a u。
, b u。
，。
)以{a,-b,2 u。
}为方向向量的直线。
3.求球面r ={acos ；：sin「,a cos；： sin ;:, a si n二}上任意点的切平面和法线方程。
saa. n解r ={ -a sin 二cos「，-a sinsin ：:,acos「：} , r .匸{-a cossin ：:, a coscos 「,0}x - a cos、：cos「y - a cos 二sin「z - a sin 二任意点的切平面方程为- a sin 二cos ：：「：-a sinsin「 a cos=0「a cos、：sin「 a cos、：cos「0即xcos ：cos + ycos ：sin + zsin 二-a = 0 ；x a cos、：cos「y a cos、：sin「z a sin 二。
cos 二cos「cossin「sin 二2 24.求椭圆柱面令斗=1在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此 a b 曲面只有一个切平面。
微分几何彭家贵课后题答案
习题一（P13）2.设()a t 是向量值函数，证明：（1）a =常数当且仅当(),()0a t a t '=； （2）()a t 的方向不变当且仅当()()0a t a t '∧=。
（1）证明：a =常数⇔2a =常数⇔(),()a t a t <>=常数⇔(),()(),()0a t a t a t a t ''<>+<>=⇔2(),()0a t a t '<>=⇔(),()0a t a t '<>=。
（2）注意到：()0a t ≠，所以()a t 的方向不变⇔单位向量()()()a t e t a t ==常向量。
若单位向量()()()a t e t a t ==常向量，则()0()()0e t e t e t ''=⇒∧=。
反之，设()e t 为单位向量，若()()0e t e t '∧=，则()//()e t e t '。
由()e t 为单位向量⇒(),()1(),()0e t e t e t e t '<>=⇒<>=⇒()()e t e t '⊥。
从而，由()//()()0()()()e t e t e t e t e t e t '⎫'⇒=⇒=⎬'⊥⎭常向量。
所以，()a t 的方向不变⇔单位向量()()()a t e t a t ==常向量 ⇔()()1()()0()()0()()()a t a t d e t e t a t a t a t dt a t ⎛⎫''∧=⇔∧+= ⎪ ⎪⎝⎭()()2111()()()()()0()()()d a t a t a t a t dt a t a t a t '⇔∧+∧= ()()0a t a t '⇔∧=。
微分几何第四习题答案
微分几何第四习题答案问题1：曲线的曲率和挠率给定平面曲线 \( r(t) = (x(t), y(t)) \)，其中 \( x(t) \) 和\( y(t) \) 是 \( t \) 的可微函数。
求曲线在 \( t_0 \) 处的曲率\( k(t_0) \)。
解答：首先，计算曲线的导数：\[ r'(t) = (x'(t), y'(t)) \]\[ r''(t) = (x''(t), y''(t)) \]曲率 \( k(t) \) 定义为：\[ k(t) = \frac{||r'(t) \times r''(t)||}{||r'(t)||^3} \]在 \( t_0 \) 处代入上述公式，计算得到 \( k(t_0) \)。
问题2：曲面的第一基本形式考虑曲面 \( S \) 在点 \( p \) 的局部参数化 \( X(u, v) \)。
求\( S \) 在 \( p \) 处的第一基本形式。
解答：第一基本形式由度量张量给出，定义为：\[ g_{ij} = \langle X_u, X_v \rangle \]其中，\( X_u = \frac{\partial X}{\partial u} \) 和 \( X_v = \frac{\partial X}{\partial v} \) 是 \( X \) 相对于 \( u \) 和\( v \) 的偏导数。
计算 \( g_{ij} \) 的矩阵 \( [g_{ij}] \)，即为曲面 \( S \) 在点 \( p \) 处的第一基本形式。
问题3：高斯曲率的计算已知曲面 \( S \) 在点 \( p \) 的第一基本形式为 \( [g_{ij}] \) 和第二基本形式为 \( [h_{ij}] \)。
求 \( S \) 在 \( p \) 处的高斯曲率 \( K \)。
微分几何彭家贵课后题答案.docx
习题一（ P13）2.设 a(t ) 是向量值函数，证明：（1）a常数当且仅当a(t ), a (t )0 ；（2）a(t )的方向不变当且仅当a(t ) a (t)0 。
（1）证明：a2a(t), a(t )常数a常数常数a (t ), a(t)a(t ),a (t)02a(t), a (t)0a(t), a (t )0。
（2）注意到：a(t ) 0 ，所以a(t )a(t ) 的方向不变单位向量e(t)常向量。
a(t )若单位向量 e(t )a(t)e (t )0 e(t ) e (t )0。
常向量，则a(t)反之，设 e(t) 为单位向量，若 e(t ) e (t)0 ，则 e(t ) / /e (t ) 。
由 e(t) 为单位向量e(t ), e(t )1e(t ), e (t )0e(t) e (t ) 。
e(t ) / /e (t)e (t )0e(t)从而，由e (t )常向量。
e(t )所以， a(t) 的方向不变a(t )常向量单位向量 e(t )a(t )e(t) e (t )0a(t ) a (t) d (1)a(t )0a(t )a(t)dt a(t)12 a(t) a (t )d11a(t )a(t)0a(t)()a(t ) dt a(t)a(t ) a (t )0 。
即a(t ) 的方向不变当且仅当a(t) a (t )0 。
补充：定理 r (t)平行于固定平面的充要条件是r (t), r(t), r (t )0 。
证明： "" ：若r (t )平行于固定平面，设 n 是平面的法向量，为一常向量。
于是，r (t ), n0r (t ), n0,r (t ), n0r (t ), r (t), r (t)共面r (t), r(t), r(t )0 。
"" ：若 r (t ), r (t ), r(t)0 ，则r (t ), r(t), r(t)共面。
微分几何课后习题解答
微分几何课后习题解答第二章曲面论§1曲面的概念1.求正螺面={ u,u , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为={u,u ,bv}=｛0,0，bv｝＋u{,,0}，为曲线的直母线；v-曲线为={,,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为={ a（u+）, b（u-）,2u}={ a, b,0}+ u{a,b,2}表示过点{ a, b,0}以{a,b,2}为方向向量的直线;v-曲线为=｛a（+v）, b（-v）,2v｝=｛a, b,0｝+v{a,-b,2}表示过点(a, b,0)以{a,-b,2}为方向向量的直线。
3．求球面=上任意点的切平面和法线方程。
解=，=任意点的切平面方程为即 xcos cos+ ycos sin+ zsin- a = 0 ；法线方程为。
4．求椭圆柱面在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。
同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为Fδu + Gδv = 0 .7. 在曲面上一点,含du ,dv的二次方程P+ 2Q dudv + R＝０，确定两个切方向（du ：dv）和（δu ：δv），证明这两个方向垂直的充要条件是ER-2FQ + GP=0.证明因为du,dv不同时为零，假定dv0，则所给二次方程可写成为P+ 2Q+ R=0 ,设其二根,, 则=，+=……①又根据二方向垂直的条件知E+ F(+)+ G = 0 ……②将①代入②则得 ER - 2FQ + GP = 0 .8.证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为E=G.证用分别用δ、、d表示沿u－曲线，v－曲线及其二等分角线的微分符号，即沿u－曲线δu０，δv＝０，沿v－曲线u＝０，v０．沿二等分角轨线方向为du:dv ,根据题设条件,又交角公式得，即。
展开并化简得E(EG-)=G(EG-),而EG->0，消去EG-得坐标曲线的二等分角线的微分方程为E=G.9．设曲面的第一基本形式为I = ，求曲面上三条曲线u = v, v =1相交所成的三角形的面积。
《微分几何》陈维桓习题及答案
§ 6.1 测地曲率1. 证明：旋转面上纬线的测地曲率是常数。
证明： 设旋转面方程为{()cos ,()sin ,()}r f v u f v u g v =，22222()()(()())()f v du f v g v dv ''I =++，222(),()()E f v G f v g v ''==+纬线即u—曲线：0v v =（常数），其测地曲率为2'2'21ln 1ln 22u g E f k v v G f g∂∂=-=-∂∂+ 0'2'2000'()()()()f v f v f vg v =-+为常数。
2、证明：在球面S(cos cos ,cos sin ,sin )r a u v a u v a u =，,0222u v πππ-<<<< 上，曲线C的测地曲率可表示成()()sin(())g d s dv s k u s ds dsθ=- ， 其中((),())u s v s 是球面S 上曲线C 的参数方程，s是曲线C 的弧长参数，()s θ是曲线C 与球面上经线（即u -曲线）之间的夹角。
证明 易求出2E a =, 0F =,22cos G a u =,因此1ln 1ln cos sin 22g d E G k ds v u G Eθθθ∂∂=-+∂∂221ln(cos )sin 2d a u ds a uθθ∂=+∂sin sin cos d u ds a uθθ=-，而11sin sin cos dv dsa u Gθθ==，故 sin gd dv ku ds dsθ=-。
3、证明：在曲面S 的一般参数系(,)u v 下，曲线:(),()C u u s v v s ==的测地曲率是(()()()()()())g k g Bu s Av s u s v s v s u s ''''''''=-+-，其中s是曲线C 的弧长参数，2g EG F =-，并且12112111222(())2()()(())A u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ，22222111222(())2()()(())B u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ特别是，参数曲线的测地曲率分别为2311(())u g k g u s '=Γ，1322(())vg kg v s '=-Γ 。
微分几何_课后习题答案
13第一章 曲线论§2 向量函数向量函数5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r ×)('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t l )(t e 的形式，其中)(t e 为单位向量函数，)(t l 为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t l )(t e ，若)(t r 具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r=)('t l e ，所以所以 r ×'r =l 'l （e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t l )(t e求微商得'r ='l e +l 'e ，于是r ×'r =2l （e ×'e ）=0 ，则有则有 l = 0 或e ×'e =0 。
当)(t l = 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当l¹0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以所以'e =0 ，即e 为常向量。
所以，)(t r具有固定方向。
6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。
微分几何初步 课后答案(陈维桓 著) 北京大学出版社
（1） r = at , a 2 ln t , （3） r = a t sin t , a 1 cos t , bt . a 0 （4） r = cos t ,sin t , cos 2t . 解： （1） r (t ) (a,
3
3
2a a 2a 2a , 2 ), r (t ) 0, 2 , 3 , t t t t
2
C (c1 , c2 , c3 ) 成定角,则
1 2 , 若 r t t (1, 2 , 2 ) * (t ) 与 单 位 常向 量 1 2t 2
cos (r* (t ), C ) r * (t ) C
1 (c1 2c2t 2c3t 2 ) a , a 为常数 2 1 2t
d r d r dt d r 1 1 (a sin t , a cos t , b). ds dt ds dt | r (t ) | a 2 b2
（2） r (t ) ( 3cos t sin t ,3sin t cos t , 2sin 2t )
2 2
dr r (t ) 1 (3cos 2 t sin t ,3sin 2 t cos t , 2sin 2t ). ds | r (t ) | | 5sin t cos t |
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第二章曲面论§1曲面的概念1.求正螺面={ u,u , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为={u,u ,bv}=｛0,0，bv｝＋u{,,0}，为曲线的直母线；v-曲线为={,,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为={ a（u+）, b（u-）,2u}={ a, b,0}+ u{a,b,2}表示过点{ a, b,0}以{a,b,2}为方向向量的直线;v-曲线为=｛a（+v）, b（-v）,2v｝=｛a, b,0｝+v{a,-b,2}表示过点(a, b,0)以{a,-b,2}为方向向量的直线。
3．求球面=上任意点的切平面和法线方程。
解=，=任意点的切平面方程为即 xcos cos+ ycos sin+ zsin- a = 0 ；法线方程为。
4．求椭圆柱面在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。
解椭圆柱面的参数方程为x = cos, y = asin, z = t ,, 。
所以切平面方程为：，即x bcos+ y asin－ a b = 0此方程与t无关，对于的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。
5．证明曲面的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。
证，。
切平面方程为：。
与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,)。
于是，四面体的体积为：是常数。
§２曲面的第一基本形式1.求双曲抛物面＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的第一基本形式.解,∴ I = 2。
２．求正螺面={ u,u , bv }的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。
解，，，，∴I =，∵Ｆ＝０，∴坐标曲线互相垂直。
３．在第一基本形式为I =的曲面上，求方程为u = v的曲线的弧长。
解由条件,沿曲线u = v有du=dv ，将其代入得=，ds = coshvdv , 在曲线u = v上，从到的弧长为。
4．设曲面的第一基本形式为I = ，求它上面两条曲线u + v = 0 ,u–v = 0的交角。
分析由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。
解由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量，，，曲线u + v = 0与u – v = 0的交点为u = 0, v = 0,交点处的第一类基本量为，，。
曲线u + v = 0的方向为du = -dv , u – v = 0的方向为δu=δv , 设两曲线的夹角为，则有cos=。
5．求曲面z = axy上坐标曲线x = x,y =的交角.解曲面的向量表示为={x,y,axy}, 坐标曲线x = x的向量表示为={ x,y,ax y } ，其切向量={0，1，ax}；坐标曲线y =的向量表示为={x , ,ax}，其切向量={1，0，a}，设两曲线x = x与y =的夹角为，则有cos =6. 求u-曲线和v-曲线的正交轨线的方程.解对于u-曲线dv = 0,设其正交轨线的方向为δu:δv ,则有Eduδu + F(duδv + dvδu)+ G d vδv = 0,将dv =0代入并消去du得u-曲线的正交轨线的微分方程为Eδu + Fδv = 0 .同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为Fδu + Gδv = 0 .7. 在曲面上一点,含du ,dv的二次方程P+ 2Q dudv + R＝０，确定两个切方向（du ：dv）和（δu ：δv），证明这两个方向垂直的充要条件是ER-2FQ + GP=0.证明因为du,dv不同时为零，假定dv0，则所给二次方程可写成为P+ 2Q+ R=0 ,设其二根,, 则=，+=……①又根据二方向垂直的条件知E+ F(+)+ G = 0 ……②将①代入②则得 ER - 2FQ + GP = 0 .8.证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为E=G.证用分别用δ、、d表示沿u－曲线，v－曲线及其二等分角线的微分符号，即沿u－曲线δu０，δv＝０，沿v－曲线u＝０，v０．沿二等分角轨线方向为du:dv ,根据题设条件,又交角公式得，即。
展开并化简得E(EG-)=G(EG-),而EG->0，消去EG-得坐标曲线的二等分角线的微分方程为E=G.9．设曲面的第一基本形式为I = ，求曲面上三条曲线u = v, v =1相交所成的三角形的面积。
解三曲线在平面上的图形（如图）所示。
曲线围城的三角形的面积是S==2=2==。
10．求球面=的面积。
解=，=E ==,F== 0 , G = =.球面的面积为：S = .11.证明螺面={ucosv,usinv,u+v}和旋转曲面={tcos,tsin,}(t>1, 0<<2)之间可建立等距映射=arctgu + v , t=.分析根据等距对应的充分条件,要证以上两曲面可建立等距映射=arctgu + v , t=,可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点有相同的参数,然后证明在新的参数下,两曲面具有相同的第一基本形式.证明螺面的第一基本形式为I=2+2 dudv+(+1), 旋转曲面的第一基本形式为I=,在旋转曲面上作一参数变换=arctgu + v , t =, 则其第一基本形式为:==2+2 dudv+(+1)= I .所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射=arctgu + v , t =.§3曲面的第二基本形式1.计算悬链面={coshucosv,coshusinv,u}的第一基本形式,第二基本形式.解={sinhucosv,sinhusinv,1},={-coshusinv,coshucosv,0}={coshucosv,coshusinv,0},={-sinhusinv,sinhucosv,0},={-coshucosv,-coshusinv,0},= cosh u,=0,=cosh u.所以I = cosh u+ cosh u.==,L=, M=0, N==1 .所以II = -+。
2.计算抛物面在原点的第一基本形式,第二基本形式.解曲面的向量表示为,,,, ,, E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 ,I=, II=.3. 证明对于正螺面={u,u,bv},-∞<u,v<∞处处有EN-2FM+GL=0。
解，={0,0,0},={-uucosv,cosv,0},={-ucosv,-usinv,0},，，， L= 0, M =, N = 0 .所以有EN - 2FM + GL= 0 .4. 求出抛物面在(0,0)点沿方向(dx:dy)的法曲率.解,,,,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向dx:dy的法曲率.5. 已知平面到单位球面(S)的中心距离为d(0<d<1),求与(S)交线的曲率与法曲率.解设平面与(S) 的交线为(C), 则(C)的半径为,即(C)的曲率为,又(C)的主法向量与球面的法向量的夹角的余弦等于,所以(C)的法曲率为= 1 .6. 利用法曲率公式,证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、第二类基本量成比例。
证明因为在球面上任一点处，沿任意方向的法截线为球面的大圆，其曲率为球面半径R的倒数1/R。
即在球面上，对于任何曲纹坐标(u,v)，沿任意方向du:dv或-，所以，即第一、第二类基本量成比例。
7．求证在正螺面上有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线。
证明对于正螺面={u,u,bv}，，={0,0,0}，={-ucosv,-usinv,0}，L==0, N==0 .所以u族曲线和v族曲线都是渐近线。
而u族曲线是直线，v族曲线是螺旋线。
8. 求曲面的渐近线.解曲面的向量表示为,,..渐近线的微分方程为,即一族为dy=0, 即,为常数. 另一族为2ydx=-xdy, 即.9.证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.证在每一条曲线(C)的主法线曲面上,沿(C)的切平面是由(C)的切向量与(C)的主法向量所确定的平面,与曲线(C)的密切平面重合,所以每一条曲线(C)在它的主法线曲面上是渐近线.方法二：任取曲线，它的主法线曲面为，，，在曲线上，t = 0 , ,曲面的单位法向量，即，所以曲线在它的主法线曲面上是渐近线.10.证明在曲面z=f(x)+g(y)上曲线族x=常数, y=常数构成共轭网.证曲面的向量表示为={x,y, f(x)+g(y)},x=常数,y=常数是两族坐标曲线。
,.因为,所以坐标曲线构成共轭网，即曲线族 x=常数, y=常数构成共轭网。
11.确定螺旋面={u,u,bv}上的曲率线.解，={0,0,0}，={-ucosv,-usinv,0}，={-sinv,cosv,0},，，， L=0, M=, N=0,曲率线的微分方程为:,即,积分得两族曲率线方程:.12.求双曲面z=axy上的曲率线.解N=0 .由=0得,积分得两族曲率线为.13.求曲面上的曲率线的方程.解M=,N=0.代入曲率线的微分方程得所求曲率线的方程是::.14.给出曲面上一曲率线L,设 L上每一点处的副法线和曲面在该点的法向量成定角,求证L是一平面曲线.证法一：因 L是曲率线,所以沿L有,又沿L 有•=常数,求微商得,所以,即-·=0,则有=0,或·=0 .若=0, 则L是平面曲线；若·=0 ，L又是曲面的渐近线，则沿L ，=0 ，这时d=，为常向量，而当L是渐近线时，=，所以为常向量，L是一平面曲线.证法二：若，则因‖，所以‖，所以d‖，由伏雷内公式知d‖（）而L是曲率线，所以沿L有d‖，所以有=0,从而曲线为平面曲线；若不垂直于，则有•=常数,求微商得因为L是曲率线，所以沿L有‖，所以，所以，即-·=0 ，若=0，则问题得证；否则·=0 ，则因，有‖，‖‖（-）‖，矛盾。
15．如果一曲面的曲率线的密切平面与切平面成定角，则它是平面曲线。
证曲线的密切平面与曲面的切平面成定角，即曲线的副法向量和曲面的法向量成定角，由上题结论知正确。
16．求正螺面的主曲率。
解设正螺面的向量表示为={u,u,bv}.解，={0,0,0}，={-ucosv,-usinv,0}，={-sinv,cosv,0},，，， L= 0, M =, N = 0,代入主曲率公式（EG-）-（LG-2FM+EN）+ LN-= 0 得=。
所以主曲率为。
17．确定抛物面z=a()在（0，0）点的主曲率.解曲面方程即，，，，。
在（0，0）点,E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 ,N=2a .所以-4a+4=0 ，两主曲率分别为= 2 a , = 2 a .18. 证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数.证曲面上的给定点处两主曲率分别为、，任给一方向及与其正交的方向+，则这两方向的法曲率分别为，，即为常数。