高数数列的极限ppt
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高数上第一章§1.2.2数列极限的性质
（ 2 ） lim [ 1+ 2 +L+ n − 1+ 2 +L+ ( n −1) ]
n→∞
解： lim [ 1+ 2 +L+ n − 1+ 2 +L+ ( n −1) ]
n→∞
n ( n + 1) n ( n −1) = lim 1 [ n 2 + n − n 2 − n ] ] = lim [ − n→∞ 2 2 2 n→∞
n→∞ n→ ∞
则 lim y n = a 。
n→∞
证明：∵ lim x n = lim z n = a ，∴ ∀ε > 0 ， ∃ N 1 , N 2 ∈ N + ， 证明
n→∞ n→∞
夹逼定理在肯定 y n < ε ，从而 a − ε < x n ， 当 n> N 1 时，有 xn{− a }收敛 的同时也给出了其极 >
单调增加（严格单调增加）和单调减少（严格单 单调增加（严格单调增加）和单调减少（严格单 单调数列。 调减少）的数列统称为单调数列 调减少）的数列统称为单调数列。
定理3 单调有界原理） 定理3（单调有界原理）：
单调增加（减少）有上（下）界的数列必定有极限。 单调增加（减少）有上（ 界的数列必定有极限。
1 3 5 2n −1 2 4 6 2n 解：令 x = ⋅ ⋅ ⋅(L)⋅ ，y = ⋅ ⋅ ⋅(L)⋅ ， 2 4 6 2n 3 5 7 2n + 1
1 1 即 0< x < ， 从而 0< x < 。 2n + 1 2n + 1 1 ∵ lim 0= 0 ， lim =0 ， n→∞ n→∞ 2n + 1
高数课件-极限的存在准则
注意：上面极限中的 e 在当时只是极限值的记号，而现在
已经成为重要的数值。
以 e 为底的对数称为自然对数.记作 ln x ，即 ln x loge x . 函数 y ln x 与函数 y ex 互为反函数.
e 为无理数，其值为 e=2.718281828459045…。
在第
13
章中将有
e
n0
证 ①由 xn1 xn
2 xn
2 xn1
xn xn1
，
2 xn 2 xn1
知 xn1 xn 与 xn xn1 同号，以此类推， xn1 xn 与
x2 x1 2 2 2 0 同号， {xn} 单调增加。
22-22
续证 ② x1 2 2, x2 2 x1 2 2 2, ， 一般地， xn 2 xn1 2 2 2 ，
由第一重要极限的推广形式得 lim x0
2 1 x
2
1 cos
故 lim x0
x2
x
1 2
(lim x0
sin x 2 )2
x
1 2
12
1. 2
2
22-12
例 2.5.5
求
lim
x x0
sin
x x
sin x0
x0
.
解
lim sin x sin
x0
lim
2 sin
x x0 2
cos
x x0 2
1 n!
1
1 1!
1 2!
1 3!
1 n!
.
22-24
证明思路:
⑴先利用均值不等式证明数列{(1 1)n} 单增且有上界；然 n
后由单调有界准则知数列{(1 1)n} 收敛，即极限lim(1 1)n
《高数》数列极限课件PPT
定义与其他概念的关系
极限与连续性的关系
函数的连续性是指在某一点处的极限 值等于该点的函数值，因此，函数的 连续性可以看作是极限的一种特殊情 况。
极限与可导性的关系
极限与积分的关系
积分是研究面积和体积的重要工具， 而积分的计算需要用到极限的概念。
可导性是指函数在某一点处的切线斜 率存在，而这个切线斜率可以通过函 数在该点的极限值来定义。
数列极限与其他数学概念的关系
数列极限与函数极限的关 系
函数极限是数列极限的一个特例，即当自变 量n趋于无穷大时，函数值趋于一个常数， 这个常数就是函数的极限值。函数极限和数 列极限有许多共同的性质和定理，如单侧极 限、连续性等。
数列极限与微积分学
微积分学中的许多概念都与数列极限有关， 如导数、定积分等。通过数列极限，我们可 以更好地理解这些概念的本质和性质。同时 ，微积分学中的许多问题也需要借助数列极
04
数列极限的应用
在数学分析中的应用
极限是数学分析的基本概念之一，数列极限在数学分析中有 着广泛的应用。通过研究数列极限，可以更好地理解函数的 变化趋势、导数和积分的定义和性质等。
数列极限在证明一些数学定理和推导数学公式中也有着重要 的作用。例如，利用数列极限可以证明实数的完备性定理、 级数收敛的判别法等。
数列极限的几何解释
数列极限的几何解释是通过图形直观 地理解数列收敛和发散的概念。在平 面坐标系中，我们可以绘制数列的图 像，通过观察图像的变化趋势来理解 数列的收敛性和发散性。
收敛数列的图像会趋近于一个固定的 点，而发散数列的图像则会远离这个 点。通过比较不同数列的图像，我们 可以更好地理解数列极限的性质和特 点。
闭区间套定理
总结词
闭区间套定理是数列极限存在的一个充分条件，它表明如果一个数列的项构成一个闭区 间套，则该数列收敛。
《高数》数列极限》课件
详细描述
几何级数是每一项都等于前一项乘以一个固 定比例的数列。数列极限的概念用于计算几 何级数的和，帮助我们了解这种数列的增长
趋势和规律。
05
数列极限的扩展知识
无穷级数的概念
要点一
无穷级数定义
无穷级数是无穷多个数按照一定顺序排列的数列，可以表 示为$sum_{n=0}^{infty} a_n$，其中$a_n$是级数的项。
《高数》数列极限》ppt课件
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质与定理 • 数列极限的运算 • 数列极限的应用 • 数列极限的扩展知识
01
数列极限的定义
定义及性质
定义
数列的极限是指当项数n无限增大时 ，数列的项无限趋近的数值。
性质
极限具有唯一性、有界性、局部保序 性等性质。
收敛与发散
收敛
如果数列的极限存在，则称该数列收敛。
单调有界定理
如果数列单调递增且有上界或单调递减且有下界，则 该数列收敛。
反例
举出一些不满足单调有界定理的数列，如无界且无周 期的数列等。
应用
单调有界定理在证明某些数学问题时具有重要应用， 如求函数的极值点等。
柯西收敛准则
柯西收敛准则
数列收敛的充要条件是对于任意 给定的正数$varepsilon$，存在 正整数$N$，使得当$n,m>N$时 ，有$|a_n - a_m|<varepsilon$ 。
幂级数求极限
幂级数求极限的方法
介绍如何利用幂级数的方法求极限，包 括将函数展开为幂级数，并利用幂级数 的性质求极限。
VS
举例说明
通过具体例子演示如何运用幂级数求极限 ，如求lim(x->0) (1+x)^1/x的极限值。
高数数列极限
1 x 2 n ]n
1 ≤ [3( 3 x )n ]n
=
1 3n
⋅ 3x
由 lim
n→ ∞
1 3n
1 及夹逼定理知， = 1 及夹逼定理知， 当 ≤ x < 3 时, 3 f ( x ) = lim [1 + ( 3 x )n +
n→ ∞ 1 x 2 n ]n
= 3 x.
1 3n
1 n 当 0 ≤ x < 时, 1 ≤ [1 + ( 3 x ) + 3 由 lim
例2 解
求极限 lim (cos
n→ ∞
π
n
)n
(1∞ )
lim cos n→ ∞ n
π
n
π = lim 1 + (cos − 1) n→ ∞ n
n
= lim 1 + (cos − 1) cos n→ ∞ n
π
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
π
n
n(cos −1
≤
有下界； 由数学归纳法可知 { x n } 有下界； 并且 x n+1
xn ;
此时， 单减有下界； 此时，{xn}单减有下界； 单减有下界
由单调有界准则可知： 由单调有界准则可知：
n→ ∞
lim xn 存在.
设 lim xn = a , 则 a = 6 + a , 解得 a = 3 或 a = −2(舍去),
π
π
例4 解
求函数 f ( x ) = lim [1 + ( 3 x ) n +
n→ ∞
1 x 2 n ]n
( x ≥ 0)
专升本高数第一轮--第一章--极限与连续.
解： lim f ( x) lim ( x 1) 1，
x 0 x 0
x 0
lim f ( x) lim ( x 1) 1，
x 0
x 0
lim f ( x) 存在。
x 0
极限运算法则
n n n
推论1. 若 lim xn A，c 为常数，则 lim cxn cA
n n
推论2. 若 lim xn A， 则 lim a n An
n
xn A 法则3. 若 lim xn A，lim yn B，且 B 0， 则 lim n n n y B n
第一章 极限和连续
§1.1 极限
（一） 数列的极限 1. 数列
数列常表示为 xn : x1 , x2 , , xn , 其中 xn 称为数列的通项。例如： 1 2 3 n 2， 4， 6， ， 2n， ；，，， ， ， 2 3 4 n 1
若 n , xn xn1 则称 xn 为单调增数列， 单调数列：
x x0 lim f ( x) A 或 f ( x) A ( x x0 )
定理2. lim f ( x)存在 lim f ( x) ， lim f ( x)
x x0 x x0 x x0
均存在且相等。
x 1，x 0 例4. 讨论函数 f ( x) 0 ，x 0 在 x 0 处是否有极限。 x 1，x 0
x
如果 lim f ( x) 0 ，则称函数 f ( x) 为 x x0 时的无穷小。
xx0
为了讨论方便，记无穷 小 为 lim 0 。
定理1 (极限与无穷小的关系) lim u A 的充要条件是 u A ， 其中lim 0。
同济高数第4章课件第三节
同济高数第4章课件第三节
目
CONTENCT
录
• 引言 • 知识点一：极限的定义与性质 • 知识点二：连续函数的概念与性质 • 知识点三：导数的概念与性质 • 知识点四：微积分基本定理
01
引言
背景介绍
本节内容是同济大学高等数学教材第4章的第三节， 主题是导数的概念及其几何意义。
导数作为微积分的基本概念之一，是研究函数变化 率的重要工具。
极限的性质
唯一性
若 $lim_{x to x_0} f(x)$ 存在，则极限值唯一。
有界性
若 $lim_{x to x_0} f(x) = A$，则函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的去心邻域内有界。
局部保号性
若 $lim_{x to x_0} f(x) = A$ 且 $A > 0$，则存在 $x_0$ 的去心邻域，在该邻域内 $f(x) > 0$。
极限的计算方法
四则运算法则
若 $lim_{x to x_0} f(x) = A$ 和 $lim_{x to x_0} g(x) = B$，则 $lim_{x to x_0} [f(x) pm g(x)] = A pm B$。
等价无穷小替换
在求极限过程中，当两个无穷小量在一定条件下可以相互替换时，可以使用等价无穷小替换 简化计算。例如，当 $x to 0$ 时，$sin x approx x$，$tan x approx x$ 等。
知识点二：连续函数的概念与性质
连续函数的定义
函数在某点连续是指，当自变 量在该点处接近时，因变量的 极限值等于函数值。
具体来说，如果函数在某点的 极限值等于该点的函数值，则 称函数在该点连续。
数学表达式为：$lim_{{x to a}} f(x) = f(a)$
目
CONTENCT
录
• 引言 • 知识点一：极限的定义与性质 • 知识点二：连续函数的概念与性质 • 知识点三：导数的概念与性质 • 知识点四：微积分基本定理
01
引言
背景介绍
本节内容是同济大学高等数学教材第4章的第三节， 主题是导数的概念及其几何意义。
导数作为微积分的基本概念之一，是研究函数变化 率的重要工具。
极限的性质
唯一性
若 $lim_{x to x_0} f(x)$ 存在，则极限值唯一。
有界性
若 $lim_{x to x_0} f(x) = A$，则函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的去心邻域内有界。
局部保号性
若 $lim_{x to x_0} f(x) = A$ 且 $A > 0$，则存在 $x_0$ 的去心邻域，在该邻域内 $f(x) > 0$。
极限的计算方法
四则运算法则
若 $lim_{x to x_0} f(x) = A$ 和 $lim_{x to x_0} g(x) = B$，则 $lim_{x to x_0} [f(x) pm g(x)] = A pm B$。
等价无穷小替换
在求极限过程中，当两个无穷小量在一定条件下可以相互替换时，可以使用等价无穷小替换 简化计算。例如，当 $x to 0$ 时，$sin x approx x$，$tan x approx x$ 等。
知识点二：连续函数的概念与性质
连续函数的定义
函数在某点连续是指，当自变 量在该点处接近时，因变量的 极限值等于函数值。
具体来说，如果函数在某点的 极限值等于该点的函数值，则 称函数在该点连续。
数学表达式为：$lim_{{x to a}} f(x) = f(a)$
1.2数列的极限及运算-同济大学高数(第七版)上册
0 ; 当a
0时，xn
a 2
0.
推论
若数列{xn}从某项起有xn
（ 0 或xn
0），且 lim n
xn
a
,
那么a （ 0 或a 0）. (用反证法证明)
第18页，共24页。
子数列的概念
定义 在数列{xn}: x1 , x2 , , xn , 中，任意抽取无限多项,并保持它们在 原数列中的先后次序,这样得到的一个数列成为原数列的子数列 .
n
xn
yn
0
.
第17页，共24页。
定理3 （保号性）
若 lim n
xn
a
, 且a
0(或a
0)，那么存在正
整数N，当n N 时，都有xn （0 或xn 0）.
证
lim n
xn
a
0, N
N ,当n
N时，有 xn
-a
.
取
a 2
，有
xn
a
a ，从而a 2
a 2
xn
a
a 2
,
当a
0时，xn
a 2
数列是整标函数: xn f (n) , n 1,2,,可表示为 {xn}：x1 , x2 , , xn , ；其中，为数列的通项 .
例如： 2,4,8,,2n ,;通项为2n ;
1 2
,
1 4
,
1 8
,,
1 2n
,; 通项为
1 2n
在几何上： 数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次 取x1，x2，x3，… xn，…
x3 o x1 x2 x4 xn x
第4页，共24页。
问题：当n无限增大时，对应的f(n)能否无限接近于某个确定的数值？
大一高数上_PPT课件_第一章
几个数集:
R表示所有实数构成的集合，称为实数集。
Q表示所有有理数构成的集合，称为有理集。 Z表示所有整数构成的集合，称为整数集。 N表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集。 子集: 若xA，则必有xB，则称A是B 的子集, 记 为AB（读作A包含于B）。 显然，N Z ，Z Q ，Q R 。
的上方。
y y=f(x) O x
y=K2
如果存在数 M,使对任一 xX，有 | f(x) |M， 则称函数f(x)在X上有界；如果这样的M不存在， 则称函数f(x)在X上是无界函数，就是说对任何M ，总存在 x1X，使|f(x)|>M。 有界函数的图形特点： 函数y = f(x)的图形在直线y = - M和y = M y 的之间。
高等数学研究的主要对象是函数，主要研 究函数的分析性质（连续、可导、可积等）和 分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。 那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方 法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方 法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数 学的一个显著标志。 由于高等数学的研究对象和研究方法与初 等数学有很大的不同，因此高等数学呈现出 以下显著特点：
周期函数的图形特点：
y
y=f(x)
-2l
-l
O
l
2l
x
四、反函数与复合函数
1. 反函数 设函数y=f(x)的定义域为D，值域为W。 对于任一数值 yW，D上可以确定唯一数值 x 与 y 对应，这个数值 x 适合关系 f(x)=y。
如果把 y看作自变量，x 看作因变量，按 照函数的定义就得到一个新的函数，这个 新函数称为函数y=f(x)的反函数，记作 x=f -1(y)。
什么样的函数存在反函数？
大一高数课件ch2-5极限存在准则两个重要极限连续复利
两个重要极限的应用
总结词
两个重要极限在微积分、概率论和统计 学等领域有广泛应用。
VS
详细描述
第一个重要极限常用于解决一些微积分问 题，例如求不定积分和定积分；第二个重 要极限则常用于解决一些概率论和统计学 问题，例如计算概率和期望值等。两个重 要极限都是微积分和概率论中非常重要的 概念，对于理解这些学科的基本原理和解 决问题具有重要意义。
在一些特定的金融产品中，如指数基金、期权等，连续复利的应用尤为重 要。
连续复利还可以用于评估企业的价值，如市盈率、市净率等指标的计算中 ，连续复利的应用也是不可忽视的。
CHAPTER 04
极限存在准则与连续复利的 关系
极限存在准则对连续复利的影响
01
极限存在准则为连续复利的计算提供了理论基础， 确保了复利计算的正确性和可靠性。
CHAPTER 03
连续复利
连续复利的概念
连续复利
是一种计算利息的方式，它假设本金在每个时间点上都获得利息 ，而不是在固定的时间段内获得利息。
与离散复利的区别
离散复利假设本金在固定的时间段内获得利息，而连续复利则假设 本金在每个时间点上都获得利息。
连续复利的计算公式
A=P*e^rt，其中A是未来的总金额，P是本金，r是年利率，t是时 间。
详细描述
柯西收敛准则是一个非常强大的工具，用于证明数列的收敛性。这个准则表明，如果一个数列的任意 两项之间的差的绝对值可以任意小，那么这个数列就是收敛的。柯西收敛准则可以用来证明许多复杂 的数列的收敛性，尤其是在处理无穷级数时非常有用。
极限存在准则三
总结词
极限存在准则三是闭区间套定理，它指出如果一个数列的项构成一个闭区间套， 即每个区间端点的极限相等且等于该数列的项，则该数列收敛于这个极限。
高数课件-数列的极限
大於1的ε上述項數指標N仍合乎定義要求。
2.1.3 數列極限的性質
2021-10-3
定理2.1.1（唯一性） 如果數列收斂，則其極 限必惟一。
證
设
lim
n
xn
a,
又
lim
n
xn
b,
由定義,
0,正整数N1, N2.使得当n
N
时恒有n
N
时恒有
2
xn
b
;
取N
maxN1 ,
N 2 ,
则当n N时有 a b ( xn b) ( xn a)
定义 2.1.3 从数列{xn} 中任选出无限多项，并按下
标从小到大排成一列，记作
xk1 , xk2 , , xkn , ,
称此数列{xkn } 为数列{xn} 的一个子数列，其中 xkn 为 数列{xn} 的第 kn 项，为数列{xkn } 的第 n 项。 特别地，分别称数列{x2n1} 和数列{x2n} 为数列{xn}
xn b xn a 2. 上式仅当a b时才能成立., 故收斂數列極限唯一.
21-1
2021-10-3
定理2.1.2（有界性） 如果數列收斂，則必有界.
即存在正数 M，使得对于一切 n=1,2,…，恒有|xn|≤M.
證
设
lim
n
xn
a,
由定義,
取 1,
则N ,使得当n N时恒有 xn a 1,
則不要求它們一定成立
數列極限的幾何意義
0,N , 使得 N 項以後的所有項
xN 1 , xN 2 , xN 3 ,
a ε 都落在 點的 鄰域
(a ,a )内
因而在這個鄰域之外至多能有數列中的有限個點
2.1.3 數列極限的性質
2021-10-3
定理2.1.1（唯一性） 如果數列收斂，則其極 限必惟一。
證
设
lim
n
xn
a,
又
lim
n
xn
b,
由定義,
0,正整数N1, N2.使得当n
N
时恒有n
N
时恒有
2
xn
b
;
取N
maxN1 ,
N 2 ,
则当n N时有 a b ( xn b) ( xn a)
定义 2.1.3 从数列{xn} 中任选出无限多项，并按下
标从小到大排成一列，记作
xk1 , xk2 , , xkn , ,
称此数列{xkn } 为数列{xn} 的一个子数列，其中 xkn 为 数列{xn} 的第 kn 项，为数列{xkn } 的第 n 项。 特别地，分别称数列{x2n1} 和数列{x2n} 为数列{xn}
xn b xn a 2. 上式仅当a b时才能成立., 故收斂數列極限唯一.
21-1
2021-10-3
定理2.1.2（有界性） 如果數列收斂，則必有界.
即存在正数 M，使得对于一切 n=1,2,…，恒有|xn|≤M.
證
设
lim
n
xn
a,
由定義,
取 1,
则N ,使得当n N时恒有 xn a 1,
則不要求它們一定成立
數列極限的幾何意義
0,N , 使得 N 項以後的所有項
xN 1 , xN 2 , xN 3 ,
a ε 都落在 點的 鄰域
(a ,a )内
因而在這個鄰域之外至多能有數列中的有限個點
高数极限运算法则课件
极限四则运算法则
加法运算法则
若两函数在某点的极限存在，则它们的和在 该点的极限也存在，且等于两函数极限的和
。
减法运算法则
若两函数在某点的极限存在且不为零，则它 们的积在该点的极限也存在，且等于两函数
极限的积。
乘法运算法则
若两函数在某点的极限存在，则它们的差在 该点的极限也存在，且等于被减数函数极限 与减数函数极限的差。
泰勒公式定义
泰勒公式是用多项式逼近一个函数的方法，将一个函数表示为一个无穷级数。
泰勒公式性质
泰勒公式具有唯一性、收敛性和可微性等性质，其中收敛性是指当n趋近于无穷大时， 泰勒级数的和趋近于原函数。
泰勒公式在求极限中的应用举例
利用泰勒公式求极限
对于一些复杂的函数极限，可以通过泰勒公 式将其展开为多项式形式，从而简化求极限 的过程。
柯西收敛准则
数列 {xn} 收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数 ε，总存在正整数 N， 使得当 m>N 以及对于任意的正整数 p，都有 |xm+p−xm|<ε 成立。
应用举例
利用柯西收敛准则判断级数是否收敛，如判断 ∑n=1∞ann! 的收敛性，其中 {an} 是单调减少且趋于零的数列。
04
无穷小量与无穷大 量的关系
在同一变化过程中，如果函数 $f(x)$是无穷小量，且函数 $g(x)$是有界量，那么函数 $f(x)g(x)$也是无穷小量；如果 函数$f(x)$是无穷大量，且函 数$g(x)$是有界量但不为零， 那么函数$frac{1}{f(x)g(x)}$也 是无穷小量。
02
极限运算法则
03
无穷大量的性质与运算
无穷大量具有可加性、可乘性 、同阶无穷大等性质，可以通 过取对数等方法转化为无穷小 量进行计算。
高数第1章第2节——数列的极限
n
n
例4 证明 lim qn 0,其中q 1. n
证 任给 0, 若q 0, 则 lim qn lim 0 0;
n
n
若0 q 1, qn 0 qn , nln q ln ,
n ln , ln q
取N [llnnq ] 1
0 1
,
2
1
则当n N时, n N 1 [ ln ] 1 ln ,
数列中的第n项an称为一般项或通项.
在几何上,数列对应着数轴上一个点列.可看作一动 点在数轴上依次取 x1 , x2 ,L , xn ,L .
x3 x1 x2 x4 xn
例1:写出下列数列的通项
i) 2,4,8, ,2n , , xn 2n ;
ii)
1 , 1 , 1 , 248
,
1 2n
,
,
,
由1 1 , n 100
只要 n 100,
给定 1 , 1000
要
an
1
1, 1000
只要 n 1000,
给定
1, 10000
要
an
1
1 10000
,
只要 n 10000,
给定 0,
要
an
1
成立，
只要 n
N
1
.
定义1.2.1 若存在常数A，使对任意的 0，
总存在自然数N 0，当n N时，恒有
1 1
n
lim n lim 1 1,
n n2 1
n
1
1 n2
lim( 1 1
由夹逼定理得
1 ) 1.
n n2 1 n2 2
n2 n
例7 设a 0,证明 lim n a 1. n
高数讲稿(数列极限)1
∃N ∀ε > 0， ∃N 1 ∈ N, ∀n > N1, 有
xn − a <
ε
2M
,
同时 ∃N 2 ∈ N, ∀n > N2 , 有
yn − b <
证明：对任意的 G>0, |xn|=|2n|>G , nlog22 >log2G, 即 n> log2G, 取 N=[ log2G]+1 所以 当 n>N 时，有 2n>G
lim 2 n = +∞ 故
n→∞
∴ n>N=[ log2G]+1, ∵ 2n>2N>2[logG]>G
数列极限的性质 定理 1（唯一性）若数列 {xn } 的极限存在，则极限值是唯一的。 证 设数列 {xn } 有两个不相等的极限值 a、b，则对应于
1 1 a − , a + 内。但这是不可能的，因为 n 3 3
→ ∞ 时， xn 无休
止地一再反复取得 1 和-1 这两个数， 而这两个数不可能同时属
2 1 1 a − , a + 内。因此这数列发散。 于长度为 3 的开区间 3 3
定理 2（有界性）若数列 {x n } 有极限，则 {xn } 有界。即
xn 落在以 a 为中心ε为半径的开区间(a-ε, a+ε) 内, 这就意味着 a-ε< xn < a+ε，即不等式|xn-a|<ε成立. 因此 |xn-a|<ε〈≡〉 xn 落在以 a 为中心ε为半径的 开区间(a-ε, a+ε)内
我们先从最简单的例子入手，从中找出它们共有的 特性，然后引出数列{xn}极限的严格描述。 请看下面的例子 设数列的一般项为
xn − a <
ε
2M
,
同时 ∃N 2 ∈ N, ∀n > N2 , 有
yn − b <
证明：对任意的 G>0, |xn|=|2n|>G , nlog22 >log2G, 即 n> log2G, 取 N=[ log2G]+1 所以 当 n>N 时，有 2n>G
lim 2 n = +∞ 故
n→∞
∴ n>N=[ log2G]+1, ∵ 2n>2N>2[logG]>G
数列极限的性质 定理 1（唯一性）若数列 {xn } 的极限存在，则极限值是唯一的。 证 设数列 {xn } 有两个不相等的极限值 a、b，则对应于
1 1 a − , a + 内。但这是不可能的，因为 n 3 3
→ ∞ 时， xn 无休
止地一再反复取得 1 和-1 这两个数， 而这两个数不可能同时属
2 1 1 a − , a + 内。因此这数列发散。 于长度为 3 的开区间 3 3
定理 2（有界性）若数列 {x n } 有极限，则 {xn } 有界。即
xn 落在以 a 为中心ε为半径的开区间(a-ε, a+ε) 内, 这就意味着 a-ε< xn < a+ε，即不等式|xn-a|<ε成立. 因此 |xn-a|<ε〈≡〉 xn 落在以 a 为中心ε为半径的 开区间(a-ε, a+ε)内
我们先从最简单的例子入手，从中找出它们共有的 特性，然后引出数列{xn}极限的严格描述。 请看下面的例子 设数列的一般项为
大一高数课件ch25极限存在准则两个重要极限连续复利
20
思考题
有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个 月生下小兔一对，以后每月生产小兔一对. 而所 生小兔亦在第二个月成年，第三个月生产另一对 小兔，以后每月亦生产小兔一对. 假定每产一对 小兔必为一雌一雄，且均无死亡，试问一年后共 有小兔几对？并求出许多年后，兔子总对数的月 增长率.
21
解 若用“〇”、“△”分别表示一对未
成年和成年的兔子，则根据题设有下面的小兔繁
殖数量图：
〇
△
〇
△
△
〇
△
〇△
△
〇△
△ 〇△ 〇△ △ 〇 △
〇 △△ 〇 △ △〇 △ 〇 △△ 〇 △
去年12月 1 今年 1 月 1
2月 2 3月 3 4月 5
5月 8
6 月 13
从上图可看出, 从三月份开始, 每月的兔子总 数恰好等于它前面两个月的兔子总数之和. 按此
22
规律可写出数列：
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233
可见一年后共有兔子233对. 按上述规律写出的无限项数列为著名的斐波
那契(Fibonacci)数列, 其通项为
Fn
1 5
1
2
5
n1
1
2
5
n1
且此数列有递推关系：
Fn2 Fn1 Fn(n 0,1,2,)
4. lim x cot 3x __________. x0
5. lim sin x __________. x 2x
30
1
6. lim(1 x)x _________.
x0
7. lim (1 x )2x _________.
x x
8. lim (1 1 )x _________.
《高数数列极限》PPT课件
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：
1. 不等式 xna 刻 画了xn 和a 的“无限接近”，
2. 必须是可以任意小的，不能只是局限于某些个别的；
2. N与 有关， 通常随着 的不同而变化； 3. 但对于固定的， N又是不唯一的！
n 3. nN 刻画了变标 的变n 化程度， 与 N 无关！ 10
12
上下
例2.
xn (n(11)n)2 , 证明 n l i m xn0.
证:
xn0
(1)n (n1)2
0
(n
1 1)2
1 n 1
0(设 1),
欲使
xn0,只要
1
n1
,
即
1
n
1.
取 故
Nn l i[ 1m xn1 ],n l 那 当i m 么(n ( 1 n1 ) n )2N 0 时,
就有
上下
➢几何解释:
a 2 a x 2 x1 xN1 a xN2 x 3 x
当 nN 时 ,所 有 x n 都 的 ( 落 a 点 ,a 在 )内 ,
只有 (至 有多 限 N 个 )落 只 个 在 有 . 其外
➢.符号定义: ln i m xn a
0 , N 0 , 当 n N 时 , 有 x n a .
取 N m N 1 ,N a 2 ,及x b2a
则n 当 N时有 b 2axnab 2a
xn
ab 2
b 2axnbb 2a
xn
ab 2
矛盾. 故收敛数列极限唯一.
15
上下
二、收敛数列的性质
2.有界性 【定理2】 收敛的数列必定有界.
只 要 n 1 0 0 0 0 时 ,有xn1100 100;
高数数列的极限ppt课件
{
}
23
n
n
3, 3 3,, 3 3 3 ,
注意 1 数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
x3 x1 x2 x4 xn 2 数列是整标函数 xn f (n).
6
3 数列的极限
观察数列{1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
28
第三节 目录 上页 下页 返回 结束
数列 (1 )n1 虽有界但不收敛 . 19
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注意 有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散.
20
3. 收敛数列的保号性.
若
且
时, 有
( 0).
证: 对 a > 0 , 取
( 0),
推论: 若数列从某项起
( 0)
( 0). (用反证法证明)
21
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n
xn
a
0,N 0,使n N时,恒有 xn a .
其中 : 每一个或任给的; : 至少有一个或存在 .
几何解释
a
2 a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内,
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
11
注意 数列极限的定义未给出求极限的方法.
证法一:
设
lim
n
xn
a,又 lim n
xn
b, 由定义,
0, N1 , N2 .使得
当n
N
时恒有
1
xn
a
;
当n
N
时恒有
高数
例如 2 , 4 , 8 , L, 2n , L; {2n }
1 1 1 1 1 , , , L, n , L; { n } 2 2 4 8 2
1 , − 1 , 1 , L, (−1)n+1 , L; {(−1)n+1 }
− − 1 4 n + (−1)n−1 n + (−1)n−1 2 , , , L, , L; { } 2 3 n n
三、数列的极限
(−1)n−1 { }当n → ∞ 时的变化趋势 . 观察数列 1 + n
无限增大时, 问题: 问题 当 n无限增大时 xn是否无限接近于某一 确定的数值?如果是 如何确定? 如果是,如何确定 确定的数值 如果是 如何确定
− (−1)n−1 , 当n 无限增大时 xn = 1 + 无限接近于1. n
问题: 无限接近 意味着什么?如何用数学语言 无限接近” 问题 “无限接近”意味着什么 如何用数学语言 刻划它. 刻划它
Q xn − 1 = (−1)
n−1
1 1 = n n
1 1 1 1 , 只要 n > 100时, 有 xn − 1 < 时 , , 由 < 给定 n 100 100 100
1 , 给定 1000
n + (−1) 就有 n
n−1
n + (−1)n−1 = 1. − 1 < ε , 即lim n→∞ n
2 例 设 xn ≡ C(C为常数), 证明lim xn = C. n→∞
证明
任给ε > 0, 对于一切自然数 n,
xn − C = C − C = 0 < ε成立 ,
所以, 所以
lim xn = C.
∴ limqn = 0. n→∞
1 1 1 1 1 , , , L, n , L; { n } 2 2 4 8 2
1 , − 1 , 1 , L, (−1)n+1 , L; {(−1)n+1 }
− − 1 4 n + (−1)n−1 n + (−1)n−1 2 , , , L, , L; { } 2 3 n n
三、数列的极限
(−1)n−1 { }当n → ∞ 时的变化趋势 . 观察数列 1 + n
无限增大时, 问题: 问题 当 n无限增大时 xn是否无限接近于某一 确定的数值?如果是 如何确定? 如果是,如何确定 确定的数值 如果是 如何确定
− (−1)n−1 , 当n 无限增大时 xn = 1 + 无限接近于1. n
问题: 无限接近 意味着什么?如何用数学语言 无限接近” 问题 “无限接近”意味着什么 如何用数学语言 刻划它. 刻划它
Q xn − 1 = (−1)
n−1
1 1 = n n
1 1 1 1 , 只要 n > 100时, 有 xn − 1 < 时 , , 由 < 给定 n 100 100 100
1 , 给定 1000
n + (−1) 就有 n
n−1
n + (−1)n−1 = 1. − 1 < ε , 即lim n→∞ n
2 例 设 xn ≡ C(C为常数), 证明lim xn = C. n→∞
证明
任给ε > 0, 对于一切自然数 n,
xn − C = C − C = 0 < ε成立 ,
所以, 所以
lim xn = C.
∴ limqn = 0. n→∞
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第二节 数列的极限
一、数列极限的定义 二 、收敛数列的性质
第一章
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一、概念的引入
1、割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
播放
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
R
正6 2n1形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An , S
(2)以n个小矩形面积的和作为曲边
y
梯形面积的近似值：
y=x2
Sn
=
n i i=1
n
1
2
1 n
=
1 n3
n
(i
i =1
1)2
= 1n3131 (nn11)1n6(22n1n1. )
(3) 取Sn的极限，得曲边梯形面积：
O
xi
1
x
S
=
lim
n
Sn
=
lim
n
1 3
1
1 n
1
1 2n
xn
1
=
(1)n1
1 n
=
1 n
给定 102 , 想要|xn1|<10,
由1 1 , n 100
只要 n 100, 就有 xn 1 102;
给定 104 , 想要|xn1|<104,
由 1 104 , n
只要 n 104, 就有 xn 1 104;
给定 10k ,
想要|xn1|<10k,
=1 n
任给 0,
要 xn 1 ,
只要 1 , n
或n 1 ,
所以, 取N = [1], 则当n N时,
就有 n (1)n1 1 即lim n (1)n1 = 1.
n
n
n
例2
设xn
C(C为常数),
证明 lim n
xn
=
C.
证 任给 0 , 对于一切正整数n,
xn C = C C = 0 成立,
因此，只要取 N = [ a 1] , 则当n N时, 就有
n a 1
故
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例7. 证明
证: 0 , 当 n 2 , 由
|
n2 3n2
n2 2n 4
1 3
|=|
5n 10 3(3n2 2n 4)
|
6n 6n2
=
1 n
因此，只要取
N = max{2,[ 1 ]} ,
n
n
若0 q 1, xn 0 = qn , n ln q ln ,
n ln , ln q
取N = [ ln ], ln q
则当n N时,
就有qn 0 , limqn = 0. n
例5. 用数列极限的定义证明
证:
2n 2
n 1
0 , 欲使
即
只要
n
2
1
因此 ,
取
N =[2 ],
则当 n N 时, 就有
2n 2
n 1
故
lim 2n = 2 n n 1
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例6. 设a 1 , 证明
证: 令 xn = n a 1 0 , 则 a = (1 xn )n 1 n xn
0 , 先考察不等式
xn
a 1 n
.
a 1
n
n a 1
由 1 10k , n
只要 n 10k , 就有 xn 1 10k ;
一般地,
给定 0,
想要|xn1|< ,
由1 ,
n
只要 n 1/ , 就有 xn 1 .
定义 如果对于任意给定的正数(不论它多么
小),总存在正整数 N ,使得对于n N 时的一切
xn ,不等式 xn a 都成立,那末就称常数a 是
几何解释:
a
2 a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内,
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.
例1 证明 lim n (1)n1 = 1.
n
n
证
xn 1
=
n (1)n1 1 n
所以,
lim
n
xn
=
C.
说明:常数列的极限等于同一常数.
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 0,寻找N,但不必要求最小的N.
例3
已知
xn
=
(1)n (n 1)2
,
证明数列{xn}的极限是0.
Hale Waihona Puke 例4 证明 lim qn = 0,其中q 1. n
证 任给 0, 若q = 0, 则 lim qn = lim 0 = 0;
极限方法是微积分的基本方法
典型问题2: 面积问题(2500年前的古希腊, 阿基米德)
例1 求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积.
第(1)i个用窄直条线的x面=积ni 用( i高=为1,2i,n 1,
n 1) 把曲边梯形分成n个窄条，
2的小矩形面积
i
n
1
2
1 n
近似之.
数列 xn 的极限,或者称数列 xn收敛于a ,记为
lim
n
xn
=
a,
或 xn a (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：1.不等式 xn a 刻划了xn与a的无限接近; 2.N与任意给定的正数有关.
N定义 :
lim
n
xn
=
a
0,N 0,使n N时,恒有 xn a .
则当n N时, 就有
| n2 n 2 1 |
3n2 2n 4 3
故
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四、数列极限的性质
1、唯一性
定理2 每个收敛的数列只有一个极限.
证: 用反证法. 假设
及
且 a b.
取
因
lim
1,1,1,,(1)n1 ,; {(1)n1 }
2, 1 , 4 ,, n (1)n1 ,;
n (1)n1
{
}
23
n
n
3, 3 3,, 3 3 3 ,
注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
x3 x1 x2 x4 xn 2.数列是整标函数 xn = f (n).
=
1. 3
二、数列的定义
定义:按正整数1,2,3,编号依次排列的一列数
x1 , x2 ,, xn ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列
的项, xn 称为通项(一般项).数列(1)记为{ xn }.
例如 2,4,8,,2n ,;
{2n }
1 2
,
1 4
,
1 8
,,
1 2n
,;
1 {2n }
三、数列的极限
观察数列{1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
播放
问题: 当 n无限增大时, xn是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
通过上面演示实验的观察:
当
n
无限增大时,
xn
=
1
(1)n1 n
无限接近于1.
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
“无限接近”的等价含义: 想要xn与1有多接近, 就能有多接近.
一、数列极限的定义 二 、收敛数列的性质
第一章
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一、概念的引入
1、割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
播放
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
R
正6 2n1形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An , S
(2)以n个小矩形面积的和作为曲边
y
梯形面积的近似值：
y=x2
Sn
=
n i i=1
n
1
2
1 n
=
1 n3
n
(i
i =1
1)2
= 1n3131 (nn11)1n6(22n1n1. )
(3) 取Sn的极限，得曲边梯形面积：
O
xi
1
x
S
=
lim
n
Sn
=
lim
n
1 3
1
1 n
1
1 2n
xn
1
=
(1)n1
1 n
=
1 n
给定 102 , 想要|xn1|<10,
由1 1 , n 100
只要 n 100, 就有 xn 1 102;
给定 104 , 想要|xn1|<104,
由 1 104 , n
只要 n 104, 就有 xn 1 104;
给定 10k ,
想要|xn1|<10k,
=1 n
任给 0,
要 xn 1 ,
只要 1 , n
或n 1 ,
所以, 取N = [1], 则当n N时,
就有 n (1)n1 1 即lim n (1)n1 = 1.
n
n
n
例2
设xn
C(C为常数),
证明 lim n
xn
=
C.
证 任给 0 , 对于一切正整数n,
xn C = C C = 0 成立,
因此，只要取 N = [ a 1] , 则当n N时, 就有
n a 1
故
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例7. 证明
证: 0 , 当 n 2 , 由
|
n2 3n2
n2 2n 4
1 3
|=|
5n 10 3(3n2 2n 4)
|
6n 6n2
=
1 n
因此，只要取
N = max{2,[ 1 ]} ,
n
n
若0 q 1, xn 0 = qn , n ln q ln ,
n ln , ln q
取N = [ ln ], ln q
则当n N时,
就有qn 0 , limqn = 0. n
例5. 用数列极限的定义证明
证:
2n 2
n 1
0 , 欲使
即
只要
n
2
1
因此 ,
取
N =[2 ],
则当 n N 时, 就有
2n 2
n 1
故
lim 2n = 2 n n 1
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例6. 设a 1 , 证明
证: 令 xn = n a 1 0 , 则 a = (1 xn )n 1 n xn
0 , 先考察不等式
xn
a 1 n
.
a 1
n
n a 1
由 1 10k , n
只要 n 10k , 就有 xn 1 10k ;
一般地,
给定 0,
想要|xn1|< ,
由1 ,
n
只要 n 1/ , 就有 xn 1 .
定义 如果对于任意给定的正数(不论它多么
小),总存在正整数 N ,使得对于n N 时的一切
xn ,不等式 xn a 都成立,那末就称常数a 是
几何解释:
a
2 a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内,
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.
例1 证明 lim n (1)n1 = 1.
n
n
证
xn 1
=
n (1)n1 1 n
所以,
lim
n
xn
=
C.
说明:常数列的极限等于同一常数.
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 0,寻找N,但不必要求最小的N.
例3
已知
xn
=
(1)n (n 1)2
,
证明数列{xn}的极限是0.
Hale Waihona Puke 例4 证明 lim qn = 0,其中q 1. n
证 任给 0, 若q = 0, 则 lim qn = lim 0 = 0;
极限方法是微积分的基本方法
典型问题2: 面积问题(2500年前的古希腊, 阿基米德)
例1 求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积.
第(1)i个用窄直条线的x面=积ni 用( i高=为1,2i,n 1,
n 1) 把曲边梯形分成n个窄条，
2的小矩形面积
i
n
1
2
1 n
近似之.
数列 xn 的极限,或者称数列 xn收敛于a ,记为
lim
n
xn
=
a,
或 xn a (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：1.不等式 xn a 刻划了xn与a的无限接近; 2.N与任意给定的正数有关.
N定义 :
lim
n
xn
=
a
0,N 0,使n N时,恒有 xn a .
则当n N时, 就有
| n2 n 2 1 |
3n2 2n 4 3
故
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四、数列极限的性质
1、唯一性
定理2 每个收敛的数列只有一个极限.
证: 用反证法. 假设
及
且 a b.
取
因
lim
1,1,1,,(1)n1 ,; {(1)n1 }
2, 1 , 4 ,, n (1)n1 ,;
n (1)n1
{
}
23
n
n
3, 3 3,, 3 3 3 ,
注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
x3 x1 x2 x4 xn 2.数列是整标函数 xn = f (n).
=
1. 3
二、数列的定义
定义:按正整数1,2,3,编号依次排列的一列数
x1 , x2 ,, xn ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列
的项, xn 称为通项(一般项).数列(1)记为{ xn }.
例如 2,4,8,,2n ,;
{2n }
1 2
,
1 4
,
1 8
,,
1 2n
,;
1 {2n }
三、数列的极限
观察数列{1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
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问题: 当 n无限增大时, xn是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
通过上面演示实验的观察:
当
n
无限增大时,
xn
=
1
(1)n1 n
无限接近于1.
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
“无限接近”的等价含义: 想要xn与1有多接近, 就能有多接近.