二项分布的期望和方差的详细证明

二项分布的期望的方差的证明

山西大学附属中学 韩永权 **************

离散型随机变量的二项分布:

在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（0,1,2k n = p q -=1）

称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n ，p)，其中n ，p 为参数，并记k n k k n q p C -＝b(k ；n ，p)．

1 求证：服从二项分布的随机变量ξ的期望E np ξ=.

证明如下：预备公式： 1

1k k n n kc nc --=

100110220211(1)()11011111()(......)n n n n k k n n k n n n n n n n p q c p q c p q c p q c p q c p q ----------------+=++++++因为()(1),k k n k k k n k

n n

p k c p p c p q ξ--==-= 所以 001112220012......n n n k k n k n n

n n n n n E c p q c p q c p q k c p q nc p q ξ---=⨯+⨯++⨯++⨯++ =00110220211(1)()11011111(......)n n n k k n n k n n n n n n n np c p q c p q c p q c p q c p

q ---------------++++++ =1()n np p q np -+= 所以E np ξ= 方法二：

证明：若 ),(~p n B X ，则X 表示n 重贝努里试验中的“成功” 次数，现在我们来求X 的数学期望。

若设⎩⎨

=次试验失败

如第i X i 0 1,2,

i n =

则12...n X X X X =+++，因为 P X P i ==)1(，q P X P i =-==1)0( 所以p p q X E i =*+*=10)(，则=)(X E np X E X E n

i i n

i i ==∑∑==1

1

)(][

可见，服从参数为n 和p 的二项分布的随机变量X 的数学期望是np 需要指出，不是所有的随机变量都存在数学期望。 2 求证：服从二项分布的随机变量

ξ的方差公式

(1)D npq q p ξ==-

预备公式：21212(1)k k k n n n k C nC n n C ----=+-

211k k n n k C knC --=11[(1)1]k n n k C --=-+

1111(1)k k n n nC n k C ----=+-1212(1)k k n n nC n n C ----=+- 21212(1)k k k n n n k C nC n n C ----∴=+-

方法一：证明：22()D E E ξξξ=- 2

20

n

i i n i

n i E i C p q ξ-==∑ 1

1

121

222

(1)n

n

n i i n i

i i n i

n

n n i i C pq

nC

p q

n n C p q -------===++-∑∑ 1

1

1012

221

1

2

1

2

(1)n

n

n i i n i

n i i n i

n n n i i npq

np C

p q

npC q

n n p

C

p q -----------===+-+-∑∑11122

()(1)()n n n n npq np p q npq n n p p q ----=++-+-+112(1)n n npq np npq n n p --=+-+-222np n p np =+-22(1)np p n p =-+22

npq n p =+由公式22)]([)()(X E X E X D -=知，22

()D E E ξξξ=-

222()(1)npq n p np np p =+-=-

方法二： 设~(,)B n p ξ, 则X 表示n 重贝努里试验中的“成功” 次数。

若设⎩⎨

=次试验失败

如第i X i 0 1,2,

i n =

则1

n

i i ξξ==∑是n 次试验中“成功”的次数，()01i E q p p ξ=⨯+⨯=，

故 222()()[()](1)i i i D E E p p p p ξξξ=-=-=-， 1,2,,i n = 由于12,,...,n ξξξ相互独立，于是1()()(1)n

i i D D np p ξξ===-∑