线性代数第二章习题答案
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习 题 2-1
1．由6名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手1胜选手2、4、5、6而负于选手3；选手2胜选手4、5、6而负于选手1、3；选手3胜选手1、2、4而负于选手5、6；选手4胜选手5、6而负于选手1、2、3；选手5胜选手3、6而负于选手1、2、4；选手6胜选手2而负于选手1、3、4、5．若胜一场得1分，负一场得0分，使用矩阵表示输赢状况，并排序．
解： ⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛000010
100100110000001011
1110001110106543216
54321，选手按胜多负少排序为：6,5,4,3,2,1．
2．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛
+-=2521
,03231
z x y x B A ，已知B A =，求z y x ,,． 解：由于B A =得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=-0253223z x y x ，解得：⎪⎩
⎪
⎨⎧===211
z y x 。
习 题 2-2
1．设⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=0112A ，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=4021B ，求 （1）B A 52-； （2）BA AB -； （3）2
2B A -．
解：（1）⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-202892001050224402150112252B A ；
（2）⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-2592041021820112402140210112BA AB ；
（3）⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-152441606112254021402101120112B A 22．
2．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=230412301321A ，⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---=052110
35123
4B ，求B A 23-． 解：⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=052110351234223041230
13
21
323B -A
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=61941016151055011010422061024686901236903963
3．设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=101012121234,432112
122121B A ，求
（1）B A -3； （2）B A 32+；
（3）若X 满足B X A =-，求X ；
（4）若Y 满足()()O Y B Y A =-+-22，求Y ．
解：（1）⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-----⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=-10101212123443211212
212133B A
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=13973
2828
51
31
1010121212341296336366363； （2）⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛----+⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=+101012121234343211212
2121232B A
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=561
2525278
131430303636369
12864224244242； （3）由B X A =-得，
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=53310404
1113101012121234
432112122121B A X ； （4）由()()O Y B Y A =-+-22得，
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=223
2
32340
34
0223
10
31033112020335532)(32B A Y 。 4．计算下列矩阵的乘积：
（1）⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-49635102775132)2(71112374127075321134；
（2）()⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛12332110132231=⨯+⨯+⨯=；
（3）⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛63224223)1(321)1(122)1(2)21(312；
（4）⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121023
143110412
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⨯+⨯-+⨯⨯+-⨯+-⨯-+⨯⨯+⨯+⨯-+⨯-⨯+⨯+⨯+⨯⨯+-⨯+-⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯=)2(4132)1(2104)3(3)1()1(3144130)1(11)2(014212200)3(4)1(1324
0140112⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=55201076； （5）()⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x
()⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛++++++=3213332231133
322221123
31221111x x x x a x a x a x a x a x a x a x a x a
333322311323322221121331221111)()()(x x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a ++++++++=
2
33332322322223131132121122111)()()(x a x x a a x a x x a a x x a a x a ++++++++=。
（6）⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛---=
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛9000
3400
4210
25
21
30003200
121013
01
3000120010100121。
5．设⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=λλλ001001A ，求3A ．
解：⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2λλλλλλλλλλλA 0020
120010010010012
22
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==32
32
3
22
2
2
30
030
330010010020
12λλλλλλλλλλλλλλA A A 。 6．设⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=021032A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=032001B ，⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=542001C ， （1）求AB 及AC ；
（2）如果AC AB =，是否必有C B =？ （3）求T
T
A B ．
解：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4162032001021032AB ，⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4162542001021032AC ； （2）由（1）知AC AB =，而C B ≠；