傅里叶级数
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§3.2 周期信号的频谱分析— —傅里叶级数
主要内容
第 2
页
•三角函数形式的傅氏级数 • 指数函数形式的傅氏级数 •两种傅氏级数的关系 • 频谱图 •函数的对称性与傅里叶级数的关系 •周期信号的功率 •傅里叶有限级数与最小方均误差
X
第
一．三角函数形式的傅里叶级数
3
页
1.三角函数集
cosn1t , sin n1 t是一个完备的正交函数集
n1
=c0 cn cos(n1t n )
n1
f (t ) F (n1 ) e jn1t n
X
第
(2)两种频谱图的关系
14
页
● 三角函数形式：cn ~ ，n ~
指数函数形式：Fn ~ ，n ~
关系
F(n1 )
1 2
cn n
0
单边频谱 双边频谱
j1 T
T
0 f (t)sin n1t d t
1 2
an
j bn
F(n1), F(n1)是复数 Fn1 F(n1) ejn
X
第
幅频特性和相频特性
10
页
幅频特性 相频特性
F (n1 )
1 2
a
2 n
bn2
1 2 cn
n
tg 1
bn an
4 页
周期信号 f t ,周期为T1 , 基波角频率为1
在满足狄氏条件时，可展成
2
T1
f (t) a0 an cos n1t bn sin n1t
1
n1
称为三角形式的傅里叶级数，其系数
直流分量
1
a0 T
t0T f (t)d t
t0
余弦分量的幅度
F0 c0 a0
● 指数形式的幅度谱为偶函数
F (n1 ) F (n1 )
● 相位频谱为奇函数
(n1 ) (n1 )
X
第
(3)三个性质
15 页
收敛性： n , F n1
谐波性： （离散性），频率只出现在n1处
唯一性： f (t)的谱线唯一 注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性
由积分可知
t在一个周期内，n=0,1,....
T
2 T
cos
n1t
sin
m1t
0
2
T 2 T 2
cos
n1t
cos m1t
T , 2 0,
mn mn
T 2 T 2
sin n1t
sin m1t
T 2
,
0,
mn mn
X
第
2．级数形式
(4)引入负频率
对于双边频谱，负频率(n1 )，只有数学意义，而无
物理意义。为什么引入负频率?
f t 是实函数，分解成虚指数，必须有共轭对
e jn1和e－jn1，才能保证f (t )的实函数的性质不变。
X
第
五．函数的对称性与傅里叶级数的关系 16 页
偶函数 奇函数 奇谐函数 偶谐函数
注：指交流分量
an cn cosn bn cn sinn
n
tg 1
bn an
正弦形式 f (t) d0 dn sinn1t n
n1
d0 a0
dn an2 bn2
n
tg 1
bn an
an dn sinn bn dn cosn
X
第
四．总结
12 页
（1）周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式 （2）两种频谱图的关系 （3）周期信号的频谱是离散谱，三个性质
（4）引入负频率
X
第
(1)周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式1页3
三角形式 指数形式
f (t) a0 an cos n1t bn sin n1t
变换对。
X
第
三．两种系数之间的关系及频谱图 9 页
F
(n1
)
1 T
T f (t )ejn1t d t
0
利用欧拉公式
1
T
Baidu Nhomakorabea
T 0
f (t)cos n1t d t
j1 T
T
0 f (t)sin n1t d t
1 2
an
jbn
F
(n1
)
1 T
T 0
f
(t)cos n1t d t
X
第
幅度频率特性和相位频率特性
6
页
周
期信
号
可分
解
为直
流，
基波
（
）
1
和
各次
谐
波
（n1 : 基波角频率的整数倍）的线性组合．
cn ~ 关系曲线称为幅度频谱图 n ~ 关系曲线称为相位频谱图
可画出频谱图
周期信号频谱具有离散性，谐波性，收敛性
X
第
二．指数函数形式的傅里叶级数
7 页
1．复指数正交函数集 ejn1t n 0,1,2
5
X
第
说明
8 页
f (t ) F (n1 ) e jn1t
4
n
F n1
1 T
T1 f (t ) ejn1t d t
0
5
周期信号可分解为 , 区间上的指数信号e jn1t
的线性组合。
如给出F (n1 )，则f t 唯一确定，(4)、(5)式是一对
an bn
F (n1 )
n1
关于的偶函数（实际 n 取正值） 关于的奇函数（实际 n 取正值） 关于的偶函数 关于的奇函数
X
频谱图
幅度频谱
cn
c1
cn ~
或
c0
c3
Fn ~ 曲线
相位频谱
n ~ 曲线
O 1 31
n
O 1 31
第 11 页
离散谱，谱线
2．级数形式 f (t ) F (n1 ) e jn1t
4
n
3．系数
利用复变函数的正交特性
F(n1)
T1 f (t ) ejn1t d t
0
e e d t T1 jn1t jn1t
0
也可写为 Fn
1 T1 f (t )ejn1t d t
T0
X
第
1．偶函数
17 页
信号波形相对于纵轴是对称的
f (t) f (t)
f (t) E
bn 0
T O
T
t
an
4 T
T
0 2 f (t)cos n1t d t 0
F n
F(n1 )
1 2
2 an T
t0 T t0
f (t)cos n1t d t
正弦分量的幅度
2 bn T
t0 T t0
f (t)sin n1t d t
X
第
其他形式
5
页
余弦形式 f (t) c0 cn cosn1t n
2
n1
c0 a0
cn an2 bn2
主要内容
第 2
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•三角函数形式的傅氏级数 • 指数函数形式的傅氏级数 •两种傅氏级数的关系 • 频谱图 •函数的对称性与傅里叶级数的关系 •周期信号的功率 •傅里叶有限级数与最小方均误差
X
第
一．三角函数形式的傅里叶级数
3
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1.三角函数集
cosn1t , sin n1 t是一个完备的正交函数集
n1
=c0 cn cos(n1t n )
n1
f (t ) F (n1 ) e jn1t n
X
第
(2)两种频谱图的关系
14
页
● 三角函数形式：cn ~ ，n ~
指数函数形式：Fn ~ ，n ~
关系
F(n1 )
1 2
cn n
0
单边频谱 双边频谱
j1 T
T
0 f (t)sin n1t d t
1 2
an
j bn
F(n1), F(n1)是复数 Fn1 F(n1) ejn
X
第
幅频特性和相频特性
10
页
幅频特性 相频特性
F (n1 )
1 2
a
2 n
bn2
1 2 cn
n
tg 1
bn an
4 页
周期信号 f t ,周期为T1 , 基波角频率为1
在满足狄氏条件时，可展成
2
T1
f (t) a0 an cos n1t bn sin n1t
1
n1
称为三角形式的傅里叶级数，其系数
直流分量
1
a0 T
t0T f (t)d t
t0
余弦分量的幅度
F0 c0 a0
● 指数形式的幅度谱为偶函数
F (n1 ) F (n1 )
● 相位频谱为奇函数
(n1 ) (n1 )
X
第
(3)三个性质
15 页
收敛性： n , F n1
谐波性： （离散性），频率只出现在n1处
唯一性： f (t)的谱线唯一 注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性
由积分可知
t在一个周期内，n=0,1,....
T
2 T
cos
n1t
sin
m1t
0
2
T 2 T 2
cos
n1t
cos m1t
T , 2 0,
mn mn
T 2 T 2
sin n1t
sin m1t
T 2
,
0,
mn mn
X
第
2．级数形式
(4)引入负频率
对于双边频谱，负频率(n1 )，只有数学意义，而无
物理意义。为什么引入负频率?
f t 是实函数，分解成虚指数，必须有共轭对
e jn1和e－jn1，才能保证f (t )的实函数的性质不变。
X
第
五．函数的对称性与傅里叶级数的关系 16 页
偶函数 奇函数 奇谐函数 偶谐函数
注：指交流分量
an cn cosn bn cn sinn
n
tg 1
bn an
正弦形式 f (t) d0 dn sinn1t n
n1
d0 a0
dn an2 bn2
n
tg 1
bn an
an dn sinn bn dn cosn
X
第
四．总结
12 页
（1）周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式 （2）两种频谱图的关系 （3）周期信号的频谱是离散谱，三个性质
（4）引入负频率
X
第
(1)周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式1页3
三角形式 指数形式
f (t) a0 an cos n1t bn sin n1t
变换对。
X
第
三．两种系数之间的关系及频谱图 9 页
F
(n1
)
1 T
T f (t )ejn1t d t
0
利用欧拉公式
1
T
Baidu Nhomakorabea
T 0
f (t)cos n1t d t
j1 T
T
0 f (t)sin n1t d t
1 2
an
jbn
F
(n1
)
1 T
T 0
f
(t)cos n1t d t
X
第
幅度频率特性和相位频率特性
6
页
周
期信
号
可分
解
为直
流，
基波
（
）
1
和
各次
谐
波
（n1 : 基波角频率的整数倍）的线性组合．
cn ~ 关系曲线称为幅度频谱图 n ~ 关系曲线称为相位频谱图
可画出频谱图
周期信号频谱具有离散性，谐波性，收敛性
X
第
二．指数函数形式的傅里叶级数
7 页
1．复指数正交函数集 ejn1t n 0,1,2
5
X
第
说明
8 页
f (t ) F (n1 ) e jn1t
4
n
F n1
1 T
T1 f (t ) ejn1t d t
0
5
周期信号可分解为 , 区间上的指数信号e jn1t
的线性组合。
如给出F (n1 )，则f t 唯一确定，(4)、(5)式是一对
an bn
F (n1 )
n1
关于的偶函数（实际 n 取正值） 关于的奇函数（实际 n 取正值） 关于的偶函数 关于的奇函数
X
频谱图
幅度频谱
cn
c1
cn ~
或
c0
c3
Fn ~ 曲线
相位频谱
n ~ 曲线
O 1 31
n
O 1 31
第 11 页
离散谱，谱线
2．级数形式 f (t ) F (n1 ) e jn1t
4
n
3．系数
利用复变函数的正交特性
F(n1)
T1 f (t ) ejn1t d t
0
e e d t T1 jn1t jn1t
0
也可写为 Fn
1 T1 f (t )ejn1t d t
T0
X
第
1．偶函数
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信号波形相对于纵轴是对称的
f (t) f (t)
f (t) E
bn 0
T O
T
t
an
4 T
T
0 2 f (t)cos n1t d t 0
F n
F(n1 )
1 2
2 an T
t0 T t0
f (t)cos n1t d t
正弦分量的幅度
2 bn T
t0 T t0
f (t)sin n1t d t
X
第
其他形式
5
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余弦形式 f (t) c0 cn cosn1t n
2
n1
c0 a0
cn an2 bn2