方波信号f(t)展开为傅里叶级数

1 Sgn(t ) 1
考察例 3.4-4 所示信号f(t)
t0 t0
e f (t ) at e
at
t0 t0
( 0)
当α→0时，其极限为符号函数Sgn(t)。因而可以用求f(t)的频 谱函数F(jω)当α→0的极限的方法来求得Sgn(t)的频谱函数。 例 3.4-4 所示信号的频谱函数为 j

e
t
e
j t
dt


e t e j t dt
1 1 j j 2 j 2 2 2 0 2 j lim j 2 2 0 0 0 2 F [sgn(t )] j
(4―43)
2 2 2
f (t) 1
F ( )
2
1


0 (a)
t
－
0 (b)


图4.8 双边指数信号及其频谱
奇对称双边指数函数的频谱函数
例 3.4-4 求图 3.4-4(a)所示信号f(t)的频谱函数。
f(t) 1 e－t ＞0 ) o －et －1 (a) － 1 (b) t o X( )
振幅谱和相位谱例题
例 3.3-1
f (t ) 1 3 cos(t 10) 2 cos(2t 20) 0.4 cos(3t 45) 0.8 cos(6t 30),
试画出f(t)的振幅谱和相位谱。 解 f(t)为周期信号，题中所给的f(t)表达式可视为f(t)的傅里
n
4 5° 3 0° 2 0° 1 0°

2
3
4
5
6

－1 5° －3 0° －4 5°
图 3.3-2 例 3.3-1 信号的 双边频谱 (a) 振幅谱； (b) 相位谱
单边指数函数f(t)的频谱函数 例 3.4-2 求指数函数f(t)的频谱函数。
e at f (t ) 0

1

图 3.4-4 例 3.4-4 图 (a) 信号f(t); (b) 频谱
解 图示信号f(t)可表示为
e f (t ) at e
at
t0 t0

(a>0)
F ( j ) e e

0
at jt
dt e e
0
t jt
dt
1 1 2 j 2 2 j j a
( t t0 ) e j t
0
(4―75)
直流信号1的频谱函数
例 3.4-6 求直流信号1的频谱函数。
f (t) 1
F(j ) 2 ( )
o (a)
o (b)

图 3.4-6 直流信号f(t)及其频谱 (a) 直流信号f(t); (b) 频谱
解 直流信号1可表示为
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f (t ) 1
|Fn | 2 1 .5 1 0 .4 1 1 .5 1 0 .4
4 5 6
0 .2

2
0 .2
3
－ 6－ 5 － 4 － 3－ 2 － o (a)


4 5° 3 0° 1 5° － 6－ 5 － 4－ 3 － 2 － o －1 0° －2 0° －3 0° －4 5° (b)
0 － (b) 2

图4.7 单边指数信号及其频谱
偶对称双边指数函数的频谱函数
例 3.4-3 求图 3.4-3(a)所示双边指数函数的频谱函数。
f (t) 1 e t o (a) e－t ＞0 ) t
2
F(j )
o (b)

图 3.4-3 双边指数函数及其频谱 (a) 双边指数函数； (b) 频谱
u (t ), 0 u( t )] lim[ e
0
t
(4―45)
[1] [lim e
0
t
2a u( t )] lim 2 0 a 2
(4―46)
0 0 0
lim

0
2 2 d lim d( ) 2 2 0 2 1 ( )
F() 1
0 (a)
t
0 (b)

图4.5 冲激信号及其频谱
移位冲激函数δ(t-t0)的频谱函数
例4―12求移位冲激函数δ(t-t0)的频谱函数。 解 由于已知冲激函数δ(t)的频谱函数为1, 求移位冲激函数δ(t-t0)的频谱函数，此时可利 用傅里叶变换的时移特性式(4―74)。
[ ( t t0 )] e j t0 1
1
－2/
2/
－/ 2 0 / 2
(a)
t
0 (b)

图4.6 矩形脉冲信号及其频谱
解 矩形脉冲信号gτ(t)是一个如图4.6（a）所 示的门函数。其定义为
1 g r (t ) 0 gτ(t)的傅里叶变换为 t t

2

2

(4―36)
2
[ g r (t )]
(4―50)
f (t)
F()
1
0 －1 (a)
t
0

(b)
图4.10 符号函数及其频谱
符号函数sgn(t)也可看作是下述函数在α取极限趋近0时的一 个特例: e t t 0 (其中α>0) f ( t ) t t0 e
F [ f (t )]
其余
3 45 6 30
An 0
An 3
3
2
2
1 0 .4 o
0 .8

2
3
(a)
4
5
6


4 5°
n
4 5°
3 0°
3 0° 2 0° 1 0°
1 5°
o

2
3
(b)
4
5
6

图 3.3-1 例 3.3-1 信号的频谱 (a) 振幅谱； (b) 相位谱
0

e ( j )
( j ) t
1 1 e 2 j a 2
j arctan

a
其振幅频谱及相位频谱分别为
F ( )
1
2 2
( ) arctan
单边指数信号的频谱
例4―4 求单边指数信号的频谱。 解 单边指数信号是指
门函数的频谱函数
例 3.4-1 图 3.4-1(a)所示矩形脉冲一般称为门函数。其宽度
为τ， 高度为1，通常用符号gτ(t)来表示。试求其频谱函数。
解 门函数gτ(t)可表示为
g (t) 1
F(j )

2
τ o τ － 2 2 (a) F( )
t
4 －

－
2

o (b)

4


( )
方波信号f(t)展开为傅里叶级数
例4―1 试将图4.2所示的方波信号f(t)展开 为傅里叶级数。
f (t) 1
－T
T 2
0 －1
T 2
T
2T
t
图4.2 方波信号的傅里叶级数
解 我们将信号按式(4―6)分解成傅里叶级数, 并按式(4 ― 7)、(4―8)、(4―9)分别计算an, bn 及c。
2 an T 2 T
2 ，从而有 2 2
Sgn(t) 1
X( )
o －1 (a)
t
o

(b)
图 3.4-7 符号函数Sgn(t)及其频谱 (a)Sgn(t)的波形； (b) 频谱
符号函数的频谱
例4―7求符号函数的频谱。 解 符号函数简记为sgn(t),它的定义为
1 t 0 sgn(t ) 0 t 0 1 t 0
4 2 o － (d) 2 4

－ 4 2 o 2 4

－

－

－







(c)
图 3.4-1 门函数及其频谱 (a) 门函数； (b) 门函数的频谱； (c) 幅度谱； (d) 相位谱
矩形脉冲信号gτ(t)的频谱
例4―3 求矩形脉冲信号gτ(t)的频谱。
g (t) F()
o (a)
t
o (b)

图 3.4-5 信号δ(t)及其频谱 (a) 单位冲激信号δ(t); (b) δ(t)的频谱
解
F ( j ) (t )e


jt
dt 1
可见，冲激函数δ(t)的频谱是常数1。也就是说，δ(t)中包含了 所有的频率分量， 而各频率分量的频谱密度都相等。 显然， 信号δ(t)实际上是无法实现的。
f (t) 1 e－t ( ＞0 )
t0 t0
( 0)

1 F( )
o (a)
t
o

(b) 图 3.4-2 单边指数函数e-αt及其频谱 (a) 单边指数函数e-αt; (b) e-αt的幅度谱
解
F ( j ) f (t )e


jt
dt e t e jt dt

T 2 T 2 0 T 2
f (t ) cos(2 nft )dt 2 ( 1) cos(2 nft )dt T
0 T 2



T 2
0
1cos(2 nft )dt
T 2 0
2 1 [ sin(2 nft )] T 2 nf 0
2 1 [sin(2 nft )] T 2 nf

t
F ( j ) 1 e jt dt
单位直流信号的频谱
例4―6 求单位直流信号的频谱。 解 幅度为1的单位直流信号可表示为 f(t)=1,-∞<t<∞ (4―44) 它可以看作是双边指数信号在α取极限趋近0时的一个 特例,即
1 lim e
0
t
叶级数展开式。据
A0 f (t ) An cos(nt n ) 2 n 1
可知，其基波频率Ω=π(rad/s)，基本周期T=2 s，ω=2π、3π、 6 π分别为二、 三、六次谐波频率。且有
A0 1 2
1 0 1 10 2 20
A1 3 A2 2 A3 0.4 A6 0.8
(4―47)
lim 2 arctan 0 [1] 2 ( ) 1 2 ( )


2
(4―48)
(4―49)
f (t) 1
F() 2
0 (a)
t
0 (b)

图4.9 单位直流信号及其频谱
符号函数Sgn(t)的频谱函数
例 3.4-7 求符号函数Sgn(t)的频谱函数。
2 T bn 2T f (t )sin(2 nft )dt T 2 2 0 2 T T ( 1)sin(2 nft )dt 2 1 sin(2 nft )dt 0 T 2 T 2 1 [ cos(2 nft )] T 2 nft 2 (1 n ) n
0 T 2
2 1 [ cos(2 nft )] T 2 nf
T 2 0
0, 4 n
n 2,4,6, n 1,3,5,
2 T c 2T f (t )dt 0 T 2 1 1 1 f (t ) [sin 2 ft sin 6 ft sin10 f sin 2 ft ] 3 5 n n 1,3,5, 4
f (t ) e at u(t ), a 0 F ( )

(4―40)
f ( t )e
j t
dt


e e
at
j t
dt
(4―41)
1 j
0
F ( )
1
1


2
arg F() 2 4

－ －
0 (a)


－ 4
1 f (t ) 2



1e d
jt
根据分配函数关于δ(t)的定义， 有
冲激信号δ(t)的频谱
例4―2求冲激信号δ(t)的频谱。 解 由频谱函数的定义式有
F ( )


( t )e
j t
dt 1
(4―34)
(t ) 1
(4―35)
(t)
(1)
偶对称双边指数信号的频谱
例4―5 求双边指数信号的频谱。 解 双边指数信号是指
f (t ) e
F ( )
0
t
u(t ), 0
e e
at j t
(4―42)
从频谱函数的定义式出发

e e
at
j t
dt
0

1 1 dt j j


2
e
j t
sin( / 2) dt / 2
(4―37)
sin( x ) Sa ( x ) x [ g r (t )] Sa (
(4―38)

2
)
(4―39)
δ(t)的频谱函数
例 3.4-5 求单位冲激函数δ(t)的频谱函数。
F(j ) 1
f (t)
(t)