数值分析实验报告
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姓名：袁义平 学号：
班级：信息与计算科学二班
实验一 误差分析
实验1.1（病态问题）
实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。
数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。
问题提出：考虑一个高次的代数多项式
)1.1()
()20()2)(1()(20
1∏=-=---=k k x x x x x p
显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动
其中是一个非常小的数。这相当于是对（1.1）中的系数作一个小的扰动。我们希望比较（1.1）和（1.2）根的差别，从而分析方程（1.1）
的解对扰动的敏感性。
实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个Matlab 函数：“roots ”和“poly ”。
其中若变量a 存储n+1维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为，则输出u 的各分量是多项式方程
01121=+++++-n n n n a x a x a x a
的全部根；而函数
的输出b 是一个n+1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。
上述简单的Matlab 程序便得到（1.2）的全部根，程序中的“ess ”即是（1.2）中的。 实验要求：
（1） 选择充分小的ess ，反复进行上述实验，记录结果的变化并
分析它们。如果扰动项的系数很小，我们自然感觉（1.1）和（1.2）的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现？表明有些解关于如此的扰动敏感性如何？
（2） 将方程（1.2）中的扰动项改成或其它形式，实验中又有怎
样的现象出现？
（3） （选作部分）请从理论上分析产生这一问题的根源。注意
我们可以将方程（1.2）写成展开的形式，
)
3.1(0
),(1920=+-= x x x p αα
同时将方程的解x 看成是系数的函数，考察方程的某个解关于的扰动是否敏感，与研究它关于的导数的大小有何关系？为什么？你发现了什么现象，哪些根关于的变化更敏感？
思考题一：（上述实验的改进）
在上述实验中我们会发现用roots 函数求解多项式方程的精度不高，为此你可以考虑用符号函数solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。 实验过程：
程序： a=poly(1:20); rr=roots(a); for n=2:21 n for m=1:9
ess=10^(-6-m);
ve=zeros(1,21);
ve(n)=ess;
r=roots(a+ve);
-6-m
s=max(abs(r-rr))
end
end
利用符号函数：（思考题一）a=poly(1:20);
y=poly2sym(a);
rr=solve(y)
for n=2:21
n
for m=1:8
ess=10^(-6-m);
ve=zeros(1,21);
ve(n)=ess;
a=poly(1:20)+ve;
y=poly2sym(a);
r=solve(y);
-6-m
s=max(abs(r-rr))
end
end
数值实验结果及分析：
format long
-7 -8 -9 -10 -6
-m
n
2 2. 31 1. 58 1. 48 0. 47
3 1. 2
4 0. 64 0. 41 0. 11
4 0. 36 0. 61 0. 34 0
5 0. 71 0. 44 0 0
6 0 0 0 0
7 0 0 0 0
8 0 0 0 0
9 0 0 0 0
10 0 0 0 0
11 0 0 0 0
12 0 0 0 0
13 0 0 0 0
14 0 0 0 0
15 0 0 0 0
16 0 0 0 0
18 0 0 0 0
19 0 0 0 0
20 0 0 0 0
21 0 0 0 0
-11 -12 -13 -14 -6-
m
n
2 0. 80 0. 80 0. 98 0
3 0. 46 0 0 0
4 0 0 0 0
5 0 0 0 0
6 0 0 0 0
7 0 0 0 0
8 0 0 0 0
9 0 0 0 0
10 0 0 0 0
11 0 0 0 0
12 0 0 0 0
13 0 0 0 0
15 0 0 0 0
16 0 0 0 0
17 0 0 0 0
18 0 0 0 0
19 0 0 0 0
20 0 0 0 0
21 0 0 0 0