(完整版)人教版初中数学第十八章平行四边形知识点
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第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
平行四边形用“□”表示，读作“平行四边形”.平行四边形ABCD 记作“□ABCD”.
18.1.1 平行四边形的性质
平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.
例、已知：□ABCD 求证：AD=BC ，AB=DC ；∠A=∠C ，∠B=∠D.
证明：连接AC ，//,//AD CD AD BC Q
12,34∴∠=∠∠=∠
又AC 是△ABC 和△CDA 的公共边，
∴ △ABC ≌△CDA ，
,,AD CB AB CD B D ∴==∠=∠
平行四边形性质1：平行四边形的两组对边分别相等.
平行四边形性质2：平行四边形的两组对角分别相等.
例、已知：如图：□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O.
求证：OA=OC ，OB=OD.
证明：四边形ABCD 是平行四边形
∴ AD=BC ，AD ∥BC.
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
∴△AOD ≌△COB （ASA ）.
∴ OA=OC ，OB=OD.
平行线之间的距离定义：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.
平行线之间的距离特征1：平行线之间的距离处处相等.
平行线之间的距离特征2：夹在两条平行线之间的平行线段相等.
平行四边形性质3：平行四边形的两条对角线互相平分.
例、如图，□ ABCD 中，BD ⊥AB ，AB=12cm ，AC=26cm ，求AD 、BD 长．
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO=CO=21AC ，OB=OD ． ∵BD ⊥AB ，∴在Rt △A BO 中，AB=12cm ，AO=13cm ．
∴BO=522=-AB AO ．∴BD=2B0=10cm ．
∴在Rt △ABD 中，AB=12cm ，BD=10cm ．
∴AD=61222=+BD AB (cm)．
例、如图，在□ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，△AOB 的周长
为25，AB=12，求对角线AC 与BD 的和.
解：∵△AOB 的周长为25，
∴OA+BO+AB=25，
又AB=12，∴AO+OB=25-12=13，
∵平行四边形的对角线互相平分，∴AC+BD=2OA+2OB=2(0A+OB)=2×13=26
18.1.2 平行四边形的判定
平行四边形判定1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
平行四边形判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
平行四边形判定3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
平行四边形判定4：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
平行四边形判定5：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
例、 如图，在□ABCD 中，已知点E 和点F 分别在AD 和BC 上，且AE=CF ，连结CE 和AF ，试说明四边形AFCE 是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD//BC ，
∵点E 在AD 上，点F 在BC 上，
∴AE//CF ，
又∵AE=CF ，
∴四边形AFCE 是平行四边形.
例、如图，E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AF=CE ，DF=BE ，DF ∥BE ．
求证：（1）△AFD ≌△CEB ．
（2）四边形ABCD 是平行四边形．
解：（1）∵DF ∥BE ， ∴∠AFD ＝∠CEB ． 又∵AF=CE ， DF=BE ，
∴△AFD ≌△CEB ．
（2）由(1)△AFD ≌△CEB 知AD=BC ，∠DAF ＝∠BCE ， ∴AD ∥BC ，
∴四边形ABCD 是平行四边形．
例、如图，平行四边形ABCD 中，E 、F 为边AD 、BC 上的点，且AE=CF ，连结AF 、EC 、BE 、DF 交于M 、N ，试说明：MFNE 是平行四边形．
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ， AD ∥BC
又∵AE=CF ，∴ED=FB ，四边形AFCE 是平行四边形
∴AF ∥EC ．同理：BE ∥FD ．∴四边形MFNE 是平行四边形．
18.2 特殊的平行四边形
18.2.1 矩形
矩形定义1：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
矩形定义2：有三个角是直角的四边形叫做矩形
矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线.
矩形性质1：矩形的四个角都是直角.
矩形性质2：矩形的对角线相等且互相平分.
直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
矩形判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
矩形判定2：有三个角是直角的四边形是矩形.
矩形判定3：对角线相等的平行四边形是矩形.
例、如图，已知AB=AC ，AD=AE ，DE=BC ，且∠BAD=∠CAE ，
求证：四边形BCED 是矩形．
证明：在△ABD 和△ACE 中，
AB AC AD AE BAD CAE ==∠=∠Q ，，
∴△ABD ≌△ACE ，
∴BD=CE ，又DE=BC ，
∴四边形BCED 为平行四边形.
在△ACD 和△ABE 中，
∵AC=AB ，AB=AE ，
N M F E A B C D