三角形中线高角平分线的30题(有答案)ok
角平分线专项练习30题(有答案)ok
角平分线专项练习30题（有答案）1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，AD平分∠BAC，求证：点D在AB的垂直平分线上．2．如图，在△ABC中，PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD=PE=PF，求证：∠BPC=90°+∠BAC．3．如图已知：BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别是D、E，BD、CE交于F，且CF=FB，求证：AF平分∠BAC．4．如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若AB=AC．求证：AD平分∠BAC．5．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BE平分∠ABC，DE⊥BC于D，DE=DC．求证：BC=AB+AE．6．已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠BAD；（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．7．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F．（1）求证：△ACF∽△ABE；（2）若AC=6cm，AF=3cm，AB=10cm，求出AE的长度．8．如图，CD∥AB，∠ABC，∠BCD的角平分线交于E点，且E在AD上，CE交BA的延长线于F点．（1）BE与CF互相垂直吗？若垂直，请说明理由；（2）若CD=3，AB=4，求BC的长．9．如图，直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠1=50°，∠2=65°，（1）求证：AB∥CD；（2）在（1）的条件下，求∠AEM的度数．10．如图，AD平分∠MAN，BD⊥AM，CD⊥AN，垂足分别为B、C，E为线段AB上一点，（1）用尺规在射线AN上找一点F，使△CDF与△BDE全等（保留作图痕迹）；（2）若BE=3，请写出此时线段AE与AF的数量关系，并说明理由．11．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，（1）分别作出D到BA、BC的距离DE、DF；（2）求证：∠A+∠C=180°．12．已知：如图，△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，AE平分∠BAC，EF∥DC，交BC于F，求证：BE=FC．13．如图，四边形AOBC中，AC=BC，∠A+∠OBC=180°，CD⊥OA于D．（1）求证：OC平分∠AOB；（2）若OD=3DA=6，求OB的长．14．如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠DAB内一点，AB=AD，BC=CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，求证：CE=CF．15．如图，已知：在四边形ABCD中，过C作CE⊥AB于E，并且CD=CB，∠ABC+∠ADC=180°，（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若AE=3BE=9，求AD的长；（3）△ABC和△ACD的面积分别为36和24，求△BCE的面积．16．如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．17．如图，AE平分∠BAC，BD=DC，DE⊥BC，EM⊥AB，EN⊥AC．求证：BM=CN．18．如图，△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角的平分线交于P点，PD⊥AC于D，PH⊥BA于H，求证：AP平分∠HAD．19．如图，△ABC中，若AD平分∠BAC，过D点作DE⊥AB，DF⊥AC，分别交AB、AC于E、F两点．求证：AD⊥EF．（2）若∠MON=80°，求∠PAB的度数．21．如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．（1）求证：∠PCB+∠BAP=180°；（2）若BC=12cm，AB=6cm，PA=5cm，求BP的长．22．如图，△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE∥AB交BC与E，PF∥AC交BC与F．求证：D 到PE的距离与D到PF的距离相等．23．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC于点G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．证明：BE=CF；（提示：连接线段BD、CD）25．如图，已知∠ABC=40°，∠ACB=60°，BO，CO平分∠ABC和∠ACB，DE过O点，且DE∥BC，求∠BOC的度数．26．四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°求证：2AE=AB+AD．27．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长．（2）ED=BC+BD．29．如图，在△ABC中，∠C=90°，M为AB的中点，DM⊥AB，CD平分∠ACB，求证：MD=AM．30．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，M为OP上任一点，连接CM、DM，则有CM与DM相等，试说明你的理由．参考答案：1．证明：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴CD=DE，在△ADC和△ADE中，，∴△ADC≌△ADE（HL），∴AE=AC，∵AB=2AC，∴BE=AB﹣AE=2AC﹣AE=AE，∴点D在AB的垂直平分线上．2．证明：连接AP，且延长至G，∵PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD=PE=PF，∴点P是△ABC三角平分线的交点，∴AP平分∠BAC，∴∠CAG=∠BAG=∠BAC，∵CP平分∠ACB，BP平分∠ABC，∴∠ACP=∠ACB，∠ABP=∠ABC，∴∠CPG=∠BAG+∠ABP=（∠BAC+∠ACB），∠BPG=∠BAG+∠ABP=（∠BAC+∠BC），∴∠BPC=∠CPG+∠BPG=（∠BAC+∠ACB）+（∠BAC+∠ABC）=∠BAC+（180°﹣∠BAC）=90°+∠BAC．3．证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∠CDF=∠BEF=90°，在△CDF与△BEF中，，∴DF=EF，又∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴AF平分∠BAC（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）4．解：方法一：连接BC，∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∴∠CFB=∠BEC=90°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，在△BCF和△CBE中∵∴△BCF≌△CBE（AAS），∴BF=CE，在△BFD和△CED中∵，∴△BFD≌△CED（AAS），∴DF=DE，∴AD平分∠BAC．方法二：先证△AFC≌△AEB，得到AE=AF，再用（HL）证△AFD≌△三AED，得到∠FAD=∠EAD，所以AD平分∠BAC．5．解：∵∠BAC=90°，BE平分∠ABC，DE⊥BC于D，∴AE=DE，∵BE是公共边，∴△BDE≌△BAE（HL），∴BD=BA，AE=DE=DC，∴BC=BD+DC=AB+AE6．（1）证明：作ME⊥AD于E，∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，∴ME=MC，∵M为BC中点，∴MB=MC，又∵ME=MC，∴ME=MB，又∵ME⊥AD，MB⊥AB，∴AM平分∠DAB．（2）解：DM⊥AM，理由是：∵DM平分∠CDA，AM平分∠DAB，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠3=90°，∴∠DMA=180°﹣（∠1+∠3）=90°，即DM⊥AM．（3）解：CD+AB=AD，理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD，∴∠C=∠DEM=90°，在Rt△DCM和Rt△DEM中∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），∴CD=DE，同理AE=AB，∵AE+DE=AD，∴CD+AB=AD．7．（1）证明：∵∠ACB=90°，∠CDB=90°，∴∠ACD=90°﹣∠DCB，∠B=90°﹣∠DCB，∴∠ACD=∠B，（2分）∵AE平分∠CAB，∴∠CAE=∠EAB，（3分）∴△ACF∽△ABE；（7分）（2）解：∵△ACF∽△ABE，∴，（9分）∴AE===5cm8．解：（1）垂直．∵CD∥AB，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵∠ABC，∠BCD的角平分线交于E点，∴∠ABE=∠EBC，∠DCE=∠ECB，∴∠EBC+∠ECB=∠ABC+∠BCD=（∠ABC+∠BCD）=90°，∴∠CEB=90°，∴BE与CF互相垂直．（2）∵∠CEB=90°，∴∠FEB=90°，在△FBE和△CBE中，∵，∴△FBE≌△CBE（ASA），∴BF=BC，EF=EC，∵CD∥AB，∴∠DCE=∠AFE，∵∠FEA=∠CED，∴△DCE≌△AFE，∴DC=AF，∵CD=3，AB=4，BF=AF+AB，∴BF=BC=7．9．（1）证明：∵∠1+∠2+∠FEG=180°，∵∠1=50°，∠2=65°，∴∠FEG=65°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEF=2∠FEG=130°，∴∠BEF+∠1=180°，∴AB∥CD．（2）∵∠AEM=∠BEF，∵∠BEF=130°，∴∠AEM=130°，答：∠AEM的度数是130°10．解：（1）以D为圆心，DE为半径交AN于F1或F2，如图，∵AD平分∠MAN，BD⊥AM，CD⊥AN，∴DB=DC，∵DE=DF，∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）；（2）∵DB=DC，DA=DA，∴Rt△DBA≌Rt△DCA（HL）；∴AB=AC，∵Rt△CDF≌Rt△BDE，∴BE=CF，∴当F点在F1时，AF=AE；当F点在F2时，AF2=AC+CF2=AB+CF2=AE+BE+BE，∴AF﹣AE=2BE=6．11．解：（1）如图所示：．（2）证明：∵BD平分∠ABC，DE⊥BA，DF⊥BC，∴DE=DF，∠E=∠DFC=90°，∴在Rt△DEA和Rt△DFC中∴Rt△DEA≌Rt△DFC（HL），∴∠C=∠EAD，∵∠BAD+∠EAD=180°，∴∠BAD+∠C=180°12．证明：过点E作EG⊥AB于点G，过F点作FH⊥AC于点H，∵△ABC中，∠ABC=90°，∴∠C+∠BAC=90°，∵BD⊥AC于D，∴∠ADB=90°，∴∠BAC+∠ABD=90°，∴∠C=∠ABD，∵点E在∠BAC的平分线上，∴GE=DE，∵EF∥DC且BD⊥AC于D，FH⊥AC于D∴ED=FH，∴GE=FH，在△BEG与△CFH中，，∴△BEG≌△CFH（AAS），∴BE=CF．13．证：（1）作CE⊥OB于E，∵∠A+∠OBC=180°，∠OBC+∠CBE=180°∴∠A=∠CBE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（AAS），∴CD=CE，∴OC平分∠AOB．（2）∵OD=3DA=6，∴AD=BE=2，在Rt△ODC和Rt△OEC中∵∴Rt△ODC≌Rt△OEC（HL），∴OE=OD=6，∴OB=OE﹣BE=4．14．证明：在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC=∠BAC，∵CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，∴CE=CF15．解：（1）作CF⊥AD的延长线于F，∴∠F=90°．∵CE⊥AB，∴∠CEA=∠CEB=90°，∴∠F=∠CEA=∠CEB．∵∠ADC+∠CDF=180°，且∠ABC+∠ADC=180°∴∠CDF=∠B．在△CDF和△CEB中，∴△CDF≌△CEB（AAS），∴CF=CE．∵CF⊥AD，CE⊥AB，∴AC平分∠BAD；（2）在Rt△CAF和Rt△CAE中，∴Rt△CAF≌Rt△CAE（HL），∴AF=AE．∵△CDF≌△CEB，∴DF=EB．∵3BE=9，∴BE=3，∴DF=3．∵AD=AF﹣DF，∴AD=AE﹣DF．∵AE=9，∴AD=9﹣3=6；（3）∵△CAF≌△CAE，△CDF≌△CEB，∴S△CAF=S△CAE，S△CDF=S△CEB．．设△BCE的面积为x，则△CDF的面积为x，由题意，得24+x=36﹣x，∴x=6，答：△BCE的面积为6．16．证明：延长FE至Q，使EQ=EF，连接CQ，∵E为BC边的中点，∴BE=CE，∵在△BEF和CEQ中，∴△BEF≌△CEQ，∴BF=CQ，∠BFE=∠Q，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，∵EF∥AD，∴∠CAD=∠G，∠BAD=∠GFA，∴∠G=∠GFA，∴∠GFA=∠BFE，∵∠BFE=∠Q（已证），∴∠G=∠Q，∴CQ=CG，∵CQ=BF，∴BF=CG．17．证明：连接BE、EC，∵BD=DC，DE⊥BC∵BE=EC．∵AE平分∠BAC，EM⊥AB，EN⊥AC，EM=EN，∠EMB=∠ENC=90°．在Rt△BME和Rt△CNE中，∵BE=EC，EM=EN，∴Rt△BME≌Rt△CNE（HL）∴BM=CN．18．证明：过P作PF⊥BE于F，∵BP平分∠ABC，PH⊥BA于H，PF⊥BE于F，∴PH=PF（角平分线上的点到角的两边距离相等）．又∵CP平分∠ACE，PD⊥AC于D，PF⊥BE于F，∴PF=PD（角平分线上的点到角的两边距离相等）．∴PD=PH（等量代换）．∴AP平分∠HAD（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．19．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，∵∠AED+∠EAD+∠EDA=180°，∠FAD+∠AFD+∠ADF=180°，∴∠EDA=∠FDA，∵DE=DF，∴AD⊥EF三线合一）20．（1）证明：∵∠PAB=∠PBA，∴PA=PB，∵PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，∴OP平分∠MON（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；（2）解：∵∠MON=80°，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，∴∠APB=360°﹣90°×2﹣80°=100°，∵∠PAB=∠PBA，∴∠PAB=（180°﹣100°）=40°21．证明：（1）如图，过点P作PE⊥AB于E，∵∠1=∠2，PF⊥BC，∴PE=PF，在△APE和△CPF中，，∴△APE≌△CPF（HL），∴∠PAE=∠PCB，∵∠PAE+∠PAB=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°；（2）∵△APE≌△CPF，∴AE=FC，∵BC=12cm，AB=6cm，∴AE=×（12﹣6）=3cm，BE=AB+AE=6+3=9cm，在Rt△PAE中，PE==4cm，在Rt△PBE中，PB==cm．22．证明：∵PE∥AB，PF∥AC，∴∠EPD=∠BAD，∠DPF=∠CAD，∵△ABC中，AD是它的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EPD=∠DPF，即DP平分∠EPF，∴D到PE的距离与D到PF的距离相等23．证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF．24．证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED=∠CFD，∴△BDE与△CDE是直角三角形，∵，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE=DF，∴AD是∠BAC的平分线25．解：∵∠ABC=40°，∠ACB=60°，BO，CO平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=（∠ACB+∠ABC）=50°；∴∠BOC=180°﹣50°=130°26．证明：过C作CF⊥AD于F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC=∠EAC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠DFC=∠CEB=90°，∴△AFC≌△AEC，∴AF=AE，CF=CE，∵∠ADC+∠B=180°∴∠FDC=∠EBC，∴△FDC≌△EBC∴DF=EB，∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE∴2AE=AB+AD27．（1）证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF；（2）解：在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE=AF，设BE=x，则CF=x，∵AB=5，AC=3，AE=AB﹣BE，AF=AC+CF，∴5﹣x=3+x，解得：x=1，∴BE=1，AE=AB﹣BE=5﹣1=4．28．证明：（1）由三角形的外角性质，∠BAD+∠ABD=∠1+∠EDC，∵∠1=90°﹣∠EDC，∴∠BAD+90°=90°﹣∠EDC，∴∠BAD=∠EDC，延长DB至F，使BF=BD，则AB垂直平分DF，∴∠BAD=∠DAF，AD=AF，∴∠DAF=∠EDC，∠2=∠F，在△ADF中，∠F+∠DAF=∠1+∠EDC，∴∠1=∠F，∴∠1=∠2；（2）在△AED和△ACF中，，∴△AED≌△ACF（ASA），∴ED=CF，∵CF=BC+BF=BC+DB，∴ED=BC+BD．29．证明：如图，连接CM，设AB、CD相交于点E，则CM是斜边上的中线，MC=MB=AM，∴∠MCB=∠B，∵CD平分∠ACB，∠C=90°，∴∠BCD=×90°=45°，∴∠MCD=∠MCB﹣45°=∠B﹣45°，又∵∠DEM=∠BEC=180°﹣∠B﹣45°=135°﹣∠B，∴∠D=90°﹣∠DEM=∠B﹣45°，∴∠D=∠MCD，∴MD=MC，∴MD=AM．30．解：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，∴PC=PD，∵OM是公共边，∴△POC≌△POD（HL），∴OC=OD，∴△COM≌△DOM（SAS），∴CM=DM。
三角形中线高角平分线地30题(有实用标准问题详解)ok
三角形高中线角平分线专项练习30题（有答案）1．如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F．（1）试说明∠BCD=∠ECD；（2）请找出图中所有与∠B相等的角（直接写出结果）．2．如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，（1）∠ABE=15°，∠BAD=35°，求∠BED的度数；（2）在△BED中作BD边上的高；（3）若△ABC的面积为60，BD=5，则点E到BC边的距离为多少？3．在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABD和△ADC的周长之差为4（AB＞AC），AB与AC的和为14，求AB和AC的长．4．如图△ABC中，∠A=20°，CD是∠BCA的平分线，△CDA中，DE是CA边上的高，又有∠EDA=∠CDB，求∠B的大小．5．△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E．（1）∠B=30°，∠C=70°，求∠EAD的大小．（2）若∠B＜∠C，则2∠EAD与∠C﹣∠B是否相等？若相等，请说明理由．6．在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B=20°，∠C=60°，求∠CAD和∠DAE的度数．7．在△ABC中．（1）若∠A=60°，AB、AC边上的高CE、BD交于点O．求∠BOC的度数．（如图）（2）若∠A为钝角，AB、AC边上的高CE、BD所在直线交于点O，画出图形，并用量角器量一量∠BAC+∠BOC= _________°，再用你已学过的数学知识加以说明．（3）由（1）（2）可以得到，无论∠A为锐角还是钝角，总有∠BAC+∠BOC=_________°．8．在△ABC中，已知∠ABC=60°，∠ACB=50°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点．求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．9．如图，△ACB中，∠ACB=90°，∠1=∠B．（1）试说明CD是△ABC的高；（2）如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD的长．10．如图，已知△ABC的高AD，角平分线AE，∠B=26°，∠ACD=56°，求∠AED的度数．11．如图，△ABC中，∠ABC=40°，∠C=60°，AD⊥BC于D，AE是∠BAC的平分线．（1）求∠DAE的度数；（2）指出AD是哪几个三角形的高．12．如图，在△ABC中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．13．如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=20°，AD为△ABC的高，AE为角平分线（1）求∠EAD的度数；（2）寻找∠DAE与∠B、∠C的关系并说明理由．14．如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=40°，求∠ADB的度数．15．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，（1）若∠B=47°，∠C=73°，求∠DAE的度数．（2）若∠B=α°，∠C=β°（α＜β），求∠DAE的度数（用含α、β的代数式表示）16．如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠B=60°，∠C=45°，求∠ADB和∠ADC的度数．17．已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．18．如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．（1）．若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．（2）．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=（∠C﹣∠B）．（3）．如图（2）若将点A在AD 上移动到A´处，A´E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA´E，（2）中的结论还正确吗？为什么？19．如图，已知△ABC的周长为21cm，AB=6cm，BC边上中线AD=5cm，△ABD周长为15cm，求AC长．20．我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，如图，若△ABC 的三条内角平分线相交于点I，过I作DE⊥AI分别交AB、AC于点D、E．（1）请你通过画图、度量，填写右上表（图画在草稿纸上，并尽量画准确）（2）从上表中你发现了∠BIC与∠BDI之间有何数量关系，请写出来，并说明其中的道理．∠BAC的度数40°60°90°120°∠BIC的度数∠BDI的度数21．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA 的度数．22．如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，填空：（1）BE=_________=_________（2）∠BAD=__________________（3）∠AFB=_________=90°（4）S△ABC=_________S△ABE．23．如图，BM是△ABC的中线，AB=5cm，BC=3cm，那么△ABM与△BCM的周长是差是多少？24．在△ABC中，AB=AC，AD是中线，△ABC的周长为34cm，△ABD的周长为30cm，求AD的长．25．如图，在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，三角形ABD的周长比三角形ACD的周长小5，你能求出AC与AB的边长的差吗？26．如图，在△ABC中，AC=AB，AD是BC边上的中线，则AD⊥BC，请说明理由．27．如图，∠BAD=∠CAD，则AD是△ABC的角平分线，对吗？说明理由．28．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，求AC的长．29．如图所示，AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线，已知DE=2cm，求BD，BE，BC的长．30．如图所示，AD是△ABC的中线，AB=6cm，AC=5cm，求△ABD和△ADC的周长的差．参考答案：1．（1）∵∠B=70°，CD⊥AB于D，∴∠BCD=90°﹣70°=20°，在△ABC中，∵∠A=30°，∠B=70°，∴∠ACB=180°﹣30°﹣70°=80°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=∠ACB=40°，∴∠ECD=∠BCE﹣∠BCD=40°﹣20°=20°，∴∠BCD=∠ECD；（2）∵CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，∴∠CED=90°﹣∠ECD=90°﹣20°=70°，∠CDF=90°﹣∠ECD=90°﹣20°=70°，所以，与∠B相等的角有：∠CED和∠CDF．2．（1）∵∠BED是△ABE的一个外角，∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+35°=50°．（2）如图所示，EF即是△BED中BD边上的高．（3）∵AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，∴S△BED =S△ABC =×60=15；∵BD=5，∴EF=2S△BED÷BD=2×15÷5=6，即点E到BC边的距离为6．3．∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∴△ABD的周长﹣△ADC的周长=（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）=AB﹣AC=4，（2分）即AB﹣AC=4①，又AB+AC=14②，①+②得．2AB=18，解得AB=9，②﹣①得，2AC=10，解得AC=5，∴AB和AC的长分别为：AB=9，AC=5．4．∵DE是CA边上的高，∴∠DEA=∠DEC=90°，∵∠A=20°，∴∠EDA=90°﹣20°=70°，∵∠EDA=∠CDB，∴∠CDE=180°﹣70°×2=40°，在Rt△CDE中，∠DCE=90°﹣40°=50°，∵CD是∠BCA的平分线，∴∠BCA=2∠DCE=2×50°=100°，在△ABC中，∠B=180°﹣∠BCA﹣∠A=180°﹣100°﹣20°=60°．故答案为：605．（1）∵∠B=30°，∠C=70°∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=80°∵AE是角平分线，∴∠EAC=∠BAC=40°∵AD是高，∠C=70°∴∠DAC=90°﹣∠C=20°∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=40°﹣20°=20°；（2）由（1）知，∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=∠BAC﹣（90°﹣∠C）①把∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C代入①，整理得∠EAD=∠C ﹣∠B，∴2∠EAD=∠C﹣∠B．6．∵AD是高，∠C=60°，∴∠CAD=90°﹣∠C=90°﹣60°=30°；∵∠B=20°，∠C=60°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣20°﹣60°=100°，∵AE是角平分线，∴∠CAE=∠BAC=×100°=50°，∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=50°﹣30°=20°．7．（1）∵BD、CE分别是边AC，AB上的高，∴∠ADB=∠BEC=90°，又∵∠BAC=60°，∴∠ABD=180°﹣∠ADB﹣∠A=180°﹣90°﹣60°=30°，∴∠BOC=∠EBD+∠BEO=90°+30°=120°；（2）如图所示：∠BAC+∠BOC=180°；理由如下：∵BD、CE分别是边AC，AB上的高，∴∠ADB=∠BEC=90°，∵∠ABD=180°﹣∠ADB﹣∠BAD=180°﹣90°﹣∠BAD=90°﹣∠BAD，∠O=180°﹣∠BEO﹣∠DBA=90°﹣∠DBA=90°﹣（90°﹣∠BAD）=∠BAD，∵∠BAC=180°﹣∠DAB，∴∠BAC=180°﹣∠O，∴∠BAC+∠O=180°；（3）由（1）（2）可得∠BAC+∠BOC=180°．8．∵BE是AC上的高，∴∠AEB=90°，∵∠ABC=60°，∠ACB=50°，∴∠A=180°﹣60°﹣50°=70°，∴∠ABE=180°﹣90°﹣70°=20°，∵CF是AB上的高，∴∠AFC=90°，∴∠ACF=180°﹣90°﹣70°=20°，∵∠ABE=20°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=60°﹣20°=40°，∵∠ACF=20°，∠ACB=50°，∴∠BCH=30°，∴∠BHC=180°﹣40°﹣30°=110°．9．（1）∵∠1+∠BCD=90°，∠1=∠B∴∠B+∠BCD=90°∴△BDC是直角三角形，即CD⊥AB，∴CD是△ABC的高；（2）∵∠ACB=∠CDB=90°∴S△ABC =AC•BC=AB•CD，∵AC=8，BC=6，AB=10，∴CD===10.∵∠B=26°，∠ACD=56°∴∠BAC=30°∵AE平分∠BAC∴∠BAE=15°∴∠AED=∠B+∠BAE=41°11．（1）∵AD⊥BC于D，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵∠ABC=40°，∠C=60°，∴∠BAD=50°，∠CAD=30°，∴∠BAC=50°+30°=80°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=40°，∴∠DAE=50°﹣40°=10°．（2）AD是△ABE、△ABD、△ABC、△AED、△AEC、△ADC的高．12．∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣66°﹣54°=60°．又∵BE是AC边上的高，所以∠AEB=90°，∴∠ABE=180°﹣∠BAC﹣∠AEB=180°﹣90°﹣60°=30°．同理，∠ACF=30°，∴∠BHC=∠BEC+∠ACF=90°+30°=120°．13．（1）∵在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠C﹣∠B=180°﹣20°﹣60°=100°，又∵AE为角平分线，∴∠EAB=∠BAC=50°，在直角△ABD中，∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°，∴∠EAD=∠EAB﹣∠BAD=50°﹣30°=20°；（2）根据（1）可以得到：∠EAB=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠C）∠BAD=90°﹣∠B，则∠EAD=∠EAB﹣∠BAD=（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠B）=（∠B﹣∠C）．14．∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，∴∠DAC=∠BAD=30°，∵CE是△ABC的高，∠BCE=40°，∴∠B=50°，∴∠ADB=180°﹣∠B﹣∠BAD=180°﹣30°﹣50°=100°15．（1）∵∠B=47°，∠C=73°，∴∠BAC=180°﹣47°﹣73°=60°，∵AD是△ABC的BC边上的高，∴∠BAD=90°﹣47°=43°，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE=∠BAC=30°，∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=43°﹣30°=13°；（2））∵∠B=α°，∠C=β°，∴∠BAC=180°﹣α°﹣β°，∵AD是△ABC的BC边上的高，∴∠BAD=90°﹣α°，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE=∠BAC=（180°﹣α°﹣β°），∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=90°﹣α°﹣（180°﹣α°﹣β°），=90°﹣α°﹣90°+α°+β°，=（β﹣α）°16．∵∠B=60°，∠C=45°，∴∠BAC=180°﹣60°﹣45°=75°，∵AD为∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=37.5°，在△ABD 中，∠ADB=180°﹣∠BAD ﹣∠B=82.5°， 则∠ADC=180°﹣∠ADB=97.5°． 17．∵∠ACB=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∵CD ⊥AB ， ∴∠2+∠4=90°，又∵BE 平分∠ABC ， ∴∠1=∠2， ∴∠3=∠4， ∵∠4=∠5， ∴∠3=∠5，即∠CFE=∠CEF ．18．（1）在△ABC 中，∠BAC=180°﹣∠B ﹣∠C=180°﹣50°﹣80°=50°； ∵AD 是角平分线， ∴∠DAC=∠BAC=25°；在△ADC 中，∠ADC=180°﹣∠C ﹣∠DAC=75°； 在△ADE 中，∠DAE=180°﹣∠ADC ﹣AED=15°． （2）∠DAE=180°﹣∠ADC ﹣AED=180°﹣∠ADC ﹣90°=90°﹣∠ADC=90°﹣（180°﹣∠C ﹣∠DAC ）=90°﹣（180°﹣∠C ﹣∠BAC ）=90°﹣[180°﹣∠C ﹣（180°﹣∠B ﹣∠C ）]=（∠C ﹣∠B ）． （3）（2）中的结论仍正确．∠A ′DE=∠B+∠BAD=∠B+∠BAC=∠B+（180°﹣∠B ﹣∠C ）=90°+∠B ﹣∠C ；在△DA ′E 中，∠DA ′E=180°﹣∠A ′ED ﹣∠A ′DE=180°﹣90°﹣（90°+∠B ﹣∠C ）=（∠C ﹣∠B ）． 19．∵AB=6cm ，AD=5cm ，△ABD 周长为15cm ， ∴BD=15﹣6﹣5=4cm ， ∵AD 是BC 边上的中线， ∴BC=8cm ，∵△ABC 的周长为21cm ， ∴AC=21﹣6﹣8=7cm ． 故AC 长为7cm ． 20．（1）填写表格如下：∠BAC 的度数 40°60° 90° 120° ∠BIC 的度数 110°120° 135° 150°∠BDI 的度数 110°120° 135° 150°（2）∠BIC=∠BDI ，理由如下：∵△ABC 的三条内角平分线相交于点I ， ∴∠BIC=180°﹣（∠IBC+∠ICB ） =180°﹣（∠ABC+∠ACB ） =180°﹣（180°﹣∠BAC ） =90+∠BAC ； ∵AI 平分∠BAC ， ∴∠DAI=∠DAE ． ∵DE ⊥AI 于I ， ∴∠AID=90°．∴∠BDI=∠AID+∠DAI=90°+∠BAC ．∴∠BIC=∠BDI ．21．∵∠A=50°，∠C=60°∴∠ABC=180°﹣50°﹣60°=70°， 又∵AD 是高， ∴∠ADC=90°，∴∠DAC=180°﹣90°﹣∠C=30°， ∵AE 、BF 是角平分线，∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°， ∴∠DAE=∠DAC ﹣∠EAF=5°， ∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°，∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°， ∴∠DAC=30°，∠BOA=120°． 故∠DAE=5°，∠BOA=120°． 22．（1）∵AE 是中线， ∴BE=CE=BC ， （2）∵AD 是角平分线， ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC ， （3）∵AF 是高，∴∠AFB=∠AFC=90°， （4）S △ABC =，S △ABE =，∵BC=2BE ， ∴S △ABC=2S △ABE ， 故答案为CE ，BC ，∠CAD ，∠BAC ，∠AFC ，223．∵BM是△ABC的中线，∴MA=MC，∴C△ABM﹣C△BCM=AB+BM+MA﹣BC﹣CM﹣BM=AB﹣BC=5﹣3=2cm．答：△ABM与△BCM的周长是差是2cm．24．方法1：由题意知：AB+AC+BC=34，AB+AD+BD=30，∵AB=AC，BD=BC，∴②×2得：2AB+2AD+BC=60③，③﹣①得：2AD=26，∴AD=13cm．方法2：∵AB=AC，D是中点，且AB+AC+BC=34，∴BD=BC，AB=（AB+AC），∴AB+BD=（AB+AC）+BC=（AB+AC+BC）=17cm（周长的一半）．∵AB+BD+AD=30cm，AD=30﹣17=13cm．25．能．由题意知：△ABD的周长=AB+BD+AD，△ACD的周长=AC+CD+AD，又因为AD是BC边上的中线，所以BD=CD．∵△ABD的周长比△ACD的周长小5，∴AC+CD+AD﹣（AB+BD+AD）=AC﹣AB=5．即AC与AB的边长的差为526．∵AD是BC边上的中线，∴BD=DC，∵AC=AB，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠ADB=∠ADC，∵∠ADB+∠ADC=180°，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴AD⊥BC．27．错误．因为AD虽然是线段，但不符合三角形角平分线定义，这里射线AD是∠BAC的平分线．28．∵AD是BC边上的中线，∴D为BC的中点，CD=BD．∵△ADC的周长﹣△ABD的周长=5cm．∴AC﹣AB=5cm．又∵AB+AC=11cm，∴AC=8cm．即AC的长度是8cm．29．∵AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线，∴BD=CD=2DE=4cm，∴BE=BD+DE=6cm，∴BC=2BD=8cm．30．∵AD是△ABC中BC边上的中线，∴BD=DC=BC，∴△ABD和△ADC的周长的差=（AB+BC+AD）﹣（AC+BC+AD）=AB﹣AC=1．。
2021年中考数学复习：三角形的角平分线、中线和高 专项练习题(含答案)
2021年中考数学复习：三角形的角平分线、中线和高专项练习题一．选择题1．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（）A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90°C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC ＝2S△ABF2．如图所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论正确的有（）①AD平分∠BAF；②AF平分∠BAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠DAC；⑤AE平分∠BAC．A．4个B．3个C．2个D．1个3．钝角三角形三条高所在的直线交于（）A．三角形内B．三角形外C．三角形的边上D．不能确定4．画△ABC中AC边上的高，下列四个画法中正确的是（）A．B．C．D．5．下列说法错误的是（）A．三角形的高、中线、角平分线都是线段B．三角形的三条中线都在三角形内部C．锐角三角形的三条高一定交于同一点D．三角形的三条高、三条中线、三条角平分线都交于同一点6．在下列各图形中，分别画出了△ABC中BC边上的高AD，其中正确的是（）A．B．C．D．7．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的图形是（）A．B．C．D．8．如图所示，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，图中可以作为三角形“高”的线段有（）A．1条B．2条C．3条D．5条9．如图，已知BD＝CD，则AD一定是△ABC的（）A．角平分线B．高线C．中线D．无法确定10．如图，在△ABC中，AB边上的高是（）A．AD B．BE C．BF D．CF二．填空题11．如图，AD⊥BC于D，那么图中以AD为高的三角形有个．12．已知：AD、AE分别是△ABC的高，中线，BE＝6，CD＝4，则DE的长为．13．若线段AD是△ABC的中线，且BD＝3，则BC长为．14．如图，在△ABC中，BC边上的中垂线DE交BC于点D，交AC于点E，AB＝5cm，AC＝8cm，则△ABE的周长为．15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠B＝．16．如图，已知AD是△ABC的中线，且△ABD的周长比△ACD的周长多4cm．若AB＝16cm，那么AC＝cm．。
八年级上册11.1三角形的中线、高线、角平分线同步测试(人教版含答案解析)
八年级上册11.1三角形的中线、高线、角平分线同步测试（人教版含答案解析）三角形的中线、高线、角平分线时间：60分钟总分： 100 题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）下列说法错误的是( )A. 三角形三条高交于三角形内一点B. 三角形三条中线交于三角形内一点 C. 三角形三条角平分线交于三角形内一点 D. 三角形的中线、角平分线、高都是线段下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是( ) A. B. C. D. 如图，在△ABC中，若AD⊥BC，点E是BC 边上一点，且不与点B、C、D重合，则AD是几个三角形的高线( ) A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 8个如图，AD⊥BE于D，以AD为高的三角形有( )个． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E.F为AB上一点，CF⊥AD于H，下面判断正确的有( ) ①AD是△ABE 的角平分线；②BE是△ABD边AD上的中线；③CH是△ACD边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在( )A. 三条边的垂直平分线的交点B. 三个角的角平分线的交点C. 三角形三条高的交点 D. 三角形三条中线的交点如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高线，AB=3，AC=5，DE=2，那么点D到AB的距离是( )A. 10/3B. 5/3C. 6/5D. 2 已知：三角形的两边长分别为3和7，则第三边的中线长x的取值范围是( ) A. 2<x<5 B. 4<x<10 C.3<x<7 D. 无法确定如图，AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，且OE⊥BC于点E，∠BAC=〖60〗^∘，∠C=〖80〗^∘，则∠EOD的度数为( )A. 〖20〗^∘B. 〖30〗^∘C. 〖10〗^∘D. 〖15〗^∘一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点，这交点一定在( ) A.三角形内部 B. 三角形的一边上 C. 三角形外部 D. 三角形的某个顶点上二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）如图，DB是△ABC的高，AE是角平分线，∠BAE=〖26〗^∘，则∠BFE=______．平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线BE将边AD分成长度为5cm和6cm的两部分，则平行四边形ABCD的周长为______cm．如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点O，若∠A=〖50〗^∘，则∠BOC= ______ ．如图所示，D是BC的中点，E是AC的中点，若S_(△ADE)=1，则S_(△ABC)= ______ ．如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB=8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，则AC=______cm．在画三角形的三条重要线段(角平分线、中线和高线)时，不一定画在三角形内部的是______ ．如图，已知△ABC中，∠B=〖65〗^∘，∠C=〖45〗^∘，AD是∠ABC的高线，AE是∠BAC的平分线，则∠DAE= ______ ．如图，在△ABC中，∠A=α.∠ABC与∠ACD的平分线交于点A_1，得∠A_1；∠A_1 BC与∠A_1 CD的平分线相交于点A_2，得∠A_2；…；∠A_2011 BC与∠A_2011 CD的平分线相交于点A_2012，得∠A_2012，则∠A_2012= ______ ．如图，在△ABC中，AB=13，AC=10，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差= ______ ．如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点G，AD与BF相交于点H，∠BAC=〖50〗^∘，∠C=〖70〗^∘，则∠AHB= ______ ．三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）如图，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=〖40〗^∘，∠C=〖60〗^∘，求∠DAE的度数．如图所示，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，求BC的长．如图所示：△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=〖60〗^∘，∠C=〖70〗^∘，求∠CAD，∠BOA的度数是多少？如图△ABC中，∠A=〖20〗^∘，CD是∠BCA的平分线，△CDA中，DE 是CA边上的高，又有∠EDA=∠CDB，求∠B的大小．四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则：(1)∵AE是△ABC的中线，∴BE= ______ =1/2 ______ ；(2)∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD= ______ =1/2 ______ ；(3)∵AF是△ABC的高，∴∠AFB= ______ =〖90〗^∘；(4)∵AE是△ABC的中线，∴BE=CE，又∵S_(△ABE)=1/2 ______ ，S_(△AEC)=1/2 ______ ，∴S_(△ABE)=S_(△ACE)=1/2 ______ ．已知，如图，AE是∠BAC的平分线，∠1=∠D．求证：∠1=∠2．答案和解析【答案】 1. A 2. A 3. C 4. D 5. B 6. A 7. A 8.A 9. A 10. A 11. 〖64〗^∘ 12. 32或34 13. 〖115〗^∘ 14. 4 15.10 16. 高线 17. 〖10〗^∘ 18. α/2^2012 19. 3 20. 〖120〗^∘ 21. 解：∵∠B=〖40〗^∘，∠C=〖60〗^∘，∴∠BAC=〖180〗^∘-∠B-∠C=〖80〗^∘，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=1/2∠BAC=〖40〗^∘，∴∠AEC=∠B+∠BAE=〖80〗^∘，∵AD⊥BC，∴∠ADE=〖90〗^∘，∴∠DAE=〖180〗^∘-∠ADE-∠AED=〖10〗^∘．答：∠DAE的度数是〖10〗^∘． 22. 解：延长AD到E使AD=DE，连接CE，在△ABD和△ECD中{■(AD=DE@∠ADB=∠EDC@BD=DC)┤，∴△ABD≌△ECD，∴AB=CE=5，AD=DE=6，AE=12，在△AEC中，AC=13，AE=12，CE=5，∴AC^2=AE^2+CE^2，∴∠E=〖90〗^∘，由勾股定理得：CD=√(DE^2+CE^2 )=√61，∴BC=2CD=2√61，答：BC的长是2√61． 23. 解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=〖90〗^∘，∵∠C=〖70〗^∘，∴∠CAD=〖180〗^∘-〖90〗^∘-〖70〗^∘=〖20〗^∘；∵∠BAC=〖60〗^∘，∠C=〖70〗^∘，∴∠BAO=〖30〗^∘，∠ABC=〖50〗^∘，∵BF 是∠ABC的角平分线，∴∠ABO=〖25〗^∘，∴∠BOA=〖180〗^∘-∠BAO-∠ABO=〖180〗^∘-〖30〗^∘-〖25〗^∘=〖125〗^∘．故∠CAD，∠BOA的度数分别是〖20〗^∘，〖125〗^∘． 24. 解：∵DE是CA边上的高，∴∠DEA=∠DEC=〖90〗^∘，∵∠A=〖20〗^∘，∴∠EDA=〖90〗^∘-〖20〗^∘=〖70〗^∘，∵∠EDA=∠CDB，∴∠CDE=〖180〗^∘-〖70〗^∘×2=〖40〗^∘，在Rt△CDE中，∠DCE=〖90〗^∘-〖40〗^∘=〖50〗^∘，∵CD是∠BCA的平分线，∴∠BCA=2∠DCE=2×〖50〗^∘=〖100〗^∘，在△ABC中，∠B=〖180〗^∘-∠BCA-∠A=〖180〗^∘-〖100〗^∘-〖20〗^∘=〖60〗^∘．故答案为：〖60〗^∘． 25. CE；BC；∠CAD；∠BAC；∠AFC；S_(△ABC)；S_(△ABC)；S_(△ABC) 26. 证明：∵∠1=∠D，∴AE//DC(同位角相等，两直线平行)，∴∠EAC=∠2(两直线平行，内错角相等)，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠1=∠EAC，∴∠1=∠2．【解析】 1. 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线以及三角形的面积和外角性质，熟记概念与性质是解题的关键.根据三角形的高线、外角的性质、角平分线、中线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A.三角形的三条高所在的直线交于一点，三条高不一定相交，故本选项说法不正确； B.三角形的三条中线交于三角形内一点，故本选项说法正确； C.三角形的三条角平分线交于一点，是三角形的内心，故本选项说法正确；D.三角形的中线，角平分线，高都是线段，因为它们都有两个端点，故本选项说法正确．故选A． 2. 解：线段BD是△ABC的高，则过点B作对边AC的垂线，则垂线段BD为△ABC的高．故选A．根据三角形高的定义进行判断．本题考查了三角形的角平分线、中线和高：三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段.锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 3. 解：∵在△ABC中，AD⊥BC，点E是BC边上一点，且不与点B、C、D重合，∴AD是△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC的高．故选C．根据三角形高的定义可知，三角形的高可以在三角形内部，可以是三角形的边，还可以在三角形外部，结合图形即可求解．本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高.注意：锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 4. 解：∵AD⊥BC于D，而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，∴以AD为高的三角形有6个．故选：D．由于AD⊥BC 于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活． 5. 解：①根据三角形的角平分线的概念，知AG是△ABE的角平分线，故此说法错误；②根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法错误；③根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故此说法正确；④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是△ACF的角平分线和高线，故此说法正确．故选B．根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段.透彻理解定义是解题的关键． 6. 解：猎狗到△ABC三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在△ABC的三条(边垂直平分线)的交点．故选：A．用线段垂直平分线性质判断即可．此题考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握性质是解本题的关键． 7. 解：∵AC=5，DE=2，∴△ADC的面积为1/2×5×2=5，∵AD是△ABC的中线，∴△ABD的面积为5，∴点D到AB的距离是2×5÷3=10/3．故选A．根据三角形的面积得出△ADC的面积为5，再利用中线的性质得出△ABD的面积为5，进而解答即可．此题考查三角形的面积问题，关键是根据三角形的面积得出△ADC的面积为5． 8. 解：7-3<2x<7+3，即2<x<5．故选A．根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.倍长中线，构造一个新的三角形.根据三角形的三边关系就可以求解．本题主要考查了三角形的三边关系，注意此题构造了一条常见的辅助线：倍长中线． 9. 解：∵∠BAC=〖60〗^∘，∠C=〖80〗^∘，∴∠B=〖40〗^∘．又∵AD 是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=1/2∠BAC=〖30〗^∘，∴∠ADE=〖70〗^∘，又∵OE⊥BC，∴∠EOD=〖20〗^∘．故选A．首先根据三角形的内角和定理求得∠B，再根据角平分线的定义求得∠BAD，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得∠ADC，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．此类题要首先明确思路，考查了三角形的内角和定理及其推论、角平分线的定义． 10. 解：一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点，这交点一定在三角形的内部．故选A．根据三角形的高的性质即可判断．本题考查了三角形的高线，锐角三角形的三高线交于三角形内部一点，直角三角形三高线的交点是直角三角形的直角顶点，钝角的三条高所在的直线一定交于一点，这交点一定在三角形的内部． 11. 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及三角形的高以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是利用角平分线的定义和直角三角形的性质求解.由角平分线的定义可得，∠FAD=∠BAE=〖26〗^∘，而∠AFD 与∠FAD互余，与∠BFE是对顶角，故可求得∠BFE的度数．【解答】解：∵AE是角平分线，∠BAE=〖26〗^∘，∴∠FAD=∠BAE=〖26〗^∘，∵DB是△ABC的高，∴∠AFD=〖90〗^∘-∠FAD=〖90〗^∘-〖26〗^∘=〖64〗^∘，∴∠BFE=∠AFD=〖64〗^∘．故答案为〖64〗^∘． 12. 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD，AD//BC，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE， (1)当AE=5时，AB=5，平行四边形ABCD的周长是2×(5+5+6)=32； (2)当AE=6时，AB=6，平行四边形ABCD的周长是2×(5+6+6)=34；故答案为：32或34．由平行四边形ABCD推出∠AEB=∠CBE，由已知得到∠ABE=∠CBE，推出AB=AE，分两种情况(1)当AE=5时，求出AB的长；(2)当AE=6时，求出AB的长，进一步求出平行四边形的周长．本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，三角形的角平分线等知识点，解此题的关键是求出AE=AB.用的数学思想是分类讨论思想． 13. 解；∵∠A=〖50〗^∘，∴∠ABC+∠ACB=〖180〗^∘-〖50〗^∘=〖130〗^∘，∵∠B和∠C的平分线交于点O，∴∠OBC=1/2∠ABC，∠OCB=1/2∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=1/2×(∠ABC+∠ACB)=1/2×〖130〗^∘=〖65〗^∘，∴∠BOC=〖180〗^∘-(∠OBC+∠OCB)=〖115〗^∘，故答案为：〖115〗^∘．求出∠ABC+∠ACB=〖130〗^∘，根据角平分线定义得出∠OBC=1/2∠ABC，∠OCB=1/2∠ACB，求出∠OBC+∠OCB=1/2×(∠ABC+∠ACB)=〖65〗^∘，根据三角形的内角和定理得出∠BOC=〖180〗^∘-(∠OBC+∠OCB)，代入求出即可．本题考查了三角形的内角和定理和三角形的角平分线等知识点，关键是求出∠OBC+∠OCB的度数． 14. 解：∵D是BC的中点，E是AC的中点，∴△ADC的面积等于△ABC的面积的一半，△ADE的面积等于△ACD的面积的一半，∴△ADE的面积等于△ABC的面积的四分之一，又∵S_(△ADE)=1，∴S_(△ABC)=4．故答案为：4．先根据D是BC的中点，E是AC的中点，得出△ADE的面积等于△ABC的面积的四分之一，再根据S_(△ADE)=1，得到S_(△ABC)=4．本题主要考查了三角形的面积，解决问题的关键是掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 15. 解：∵AE是△ABC的边BC上的中线，∴CE=BE，又∵AE=AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，∴AC-AB=2cm，即AC-8=2cm，∴AC=10cm，故答案为：10；依据AE是△ABC的边BC上的中线，可得CE=BE，再根据AE=AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，即可得到AC的长．本题考查了三角形的角平分线、中线和高，求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键． 16. 解：三角形的角平分线和中线都在三角形内部，而锐角三角形的三条高在三角形内部，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．故答案为：高线．根据三角形的角平分线、中线和高的定义求解．考查了三角形的角平分线、中线和高：三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段.锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 17. 解：在△ABC中，∵∠BAC=〖180〗^∘-∠B-∠C=〖70〗^∘，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠CAE=〖35〗^∘．又∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=〖90〗^∘，∵在△ABD中∠BAD=〖90〗^∘-∠B=〖25〗^∘，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=〖10〗^∘．由三角形的内角和定理，可求∠BAC=〖70〗^∘，又由AE是∠BAC的平分线，可求∠BAE=〖35〗^∘，再由AD是BC边上的高，可知∠ADB=〖90〗^∘，可求∠BAD=〖25〗^∘，所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=〖10〗^∘．本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，熟知三角形的内角和定理是解答此题的关键． 18. 解：∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A_1，∴∠A_1 BC=1/2∠ABC，∠A_1 CD=1/2∠ACD，根据三角形的外角性质，∠A+∠ABC=∠ACD，∠A_1+∠A_1 BC=∠A_1 CD，∴∠A_1+∠A_1 BC=∠A_1+1/2∠ABC=1/2(∠A+∠ABC)，整理得，∠A_1=1/2∠A=α/2，同理可得，∠A_2=1/2∠A_1=1/2×α/2=α/2^2 ，…，∠A_2012=α/2^2012 ．故答案为：α/2^2012 ．根据角平分线的定义可得∠A_1 BC=1/2∠ABC，∠A_1 CD=1/2∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠ABC=∠ACD，∠A_1+∠A_1 BC=∠A_1 CD，然后整理即可得到∠A_1与∠A的关系，同理得到∠A_2与∠A_1的关系并依次找出变化规律，从而得解．本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键． 19. 解：∵AD是△ABC中BC边上的中线，∴BD=DC=1/2 BC，∴△ABD与△ACD的周长之差 =(AB+BD+AD)-(AC+DC+AD) =AB-AC =13-10=3．则△ABD与△ACD的周长之差=3．故答案为3．根据三角形的周长的计算方法得到△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差．本题考查三角形的中线的定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，同时考查了三角形周长的计算方法． 20. 解：∵在△ABC中，∠BAC=〖50〗^∘，∠C=〖70〗^∘，∴∠ABC=〖60〗^∘，∵在△AB C中，AD是高，AE，BF是角平线，∴∠EAD=〖90〗^∘-(〖25〗^∘+〖60〗^∘)=5^∘，∴∠AGH=〖25〗^∘+〖30〗^∘=〖55〗^∘，∴∠AHB=〖180〗^∘-〖55〗^∘-5^∘=〖120〗^∘．故答案为：〖120〗^∘．根据三角形的内角和得出∠ABC=〖60〗^∘，再利用角平分线的定义和高的定义解答即可．此题考查三角形的内角和问题，关键是根据三角形的内角和得出∠ABC=〖60〗^∘． 21. 根据三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，根据角平分线的定义求出∠BAE的度数，根据三角形的外角性质得到∠AEC的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出答案．本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线，垂直的定义等知识点，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键． 22. 延长AD到E 使AD=DE，连接CE，证△ABD≌△ECD，求出AE和CE的长，根据勾股定理的逆定理求出∠E=〖90〗^∘，根据勾股定理求出CD即可．本题综合考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、全等三角形的性质和判定、三角形的中线等知识点的应用，关键是正确地作辅助线，把已知条件转化成一个直角三角形，题型较好． 23. 因为AD是高，所以∠ADC=〖90〗^∘，又因为∠C=〖70〗^∘，所以∠CAD度数可求；因为∠BAC=〖60〗^∘，∠C=〖70〗^∘，所以∠BAO=〖30〗^∘，∠ABC=〖50〗^∘，BF是∠ABC的角平分线，则∠ABO=〖25〗^∘，故∠BOA的度数可求．本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义.关键是利用角平分线的性质解出∠ABO、∠BAO，再运用三角形内角和定理求出∠AOB． 24. 根据直角三角形两锐角互余求出∠EDA的度数，再根据平角的定义求出∠CDE的度数，再次利用直角三角形两锐角互余求出∠DCE的度数，从而得到∠BCA的度数，最后利用三角形内角和等于〖180〗^∘计算即可．本题考查了三角形的角平分线的定义，三角形的高以及三角形的内角和定理，稍微复杂，但仔细分析图形也不难解决． 25. 解：(1)根据AE是△ABC的中线，可得BE=CE=1/2 BC； (2)根据AD是△ABC 的角平分线，可得∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC； (3)根据AF是△ABC的高，可得∠AFB=∠AFC=〖90〗^∘； (4)根据AE是△ABC的中线，可得BE=CE，所以S_(△ABE)=1/2 S_(△ABC)，S_(△AEC)=1/2 S_(△ABC)，即S_(△ABE)=S_(△ACE)=1/2 S_(△ABC)．故答案为：(1)CE，BC；(2)∠CAD，∠BAC；(3)∠AFC；(4)S_(△ABC)，S_(△ABC)，S_(△ABC)． (1)三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线； (2)三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线； (3)从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高； (4)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．本题主要考查了三角形的中线、高线以及角平分线的概念的运用，解题时注意：三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 26. 由∠1=∠D，根据同位角相等，两直线平行可证AE//DC，根据两直线平行，内错角相等可证∠EAC=∠2，再根据角平分线的性质即可求解．本题考查了平行线的判定与性质和三角形的角平分线的性质，有一定的综合性，但难度不大．。
三角形中线高角平分线的30题(有答案)ok
三角形中线高角平分线的30题(有答案)ok1.在三角形ABC中，角A为30°，角B为70°，CE为角ACB的平分线，CD垂直于AB于点D，DF垂直于CE于点F。
1) 证明角BCD等于角ECD。
2) 找出所有与角B相等的角。
2.在三角形ABC中，AD为中线，BE为三角形ABD的中线。
1) 已知角ABE为15°，角BAD为35°，求角BED的度数。
2) 在三角形BED中，作BD边上的高。
3) 若三角形ABC的面积为60，BD为5，求点E到BC边的距离。
3.在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，已知三角形ABD和三角形ADC的周长之差为4（其中AB＞AC），AB与AC的和为14，求AB和AC的长度。
4.在三角形ABC中，角A为20°，CD为角BCA的平分线，DE为CA边上的高，已知角EDA等于角CDB，求角B的度数。
5.在三角形ABC中，AD⊥BC，AE为角BAC的平分线，已知角B为30°，角C为70°。
1) 求角EAD的度数。
2) 若角B小于角C，是否有2倍角EAD等于角C减去角B？请说明理由。
6.在三角形ABC中，AD为高，AE为角平分线，已知角B为20°，角C为60°，求角CAD和角DAE的度数。
7.在三角形ABC中。
1) 若角A为60°，AB和AC边上的高CE和BD交于点O，求角BOC的度数。
2) 若角A为钝角，AB和AC边上的高CE和BD所在直线交于点O，画出图形，并用量角器量一量角BAC加上角BOC的度数，再用已学过的数学知识加以说明。
3) 由(1)和(2)可以得到，无论角A为锐角还是钝角，总有角BAC加上角BOC等于180°。
8.在三角形ABC中，已知角ABC为60°，角ACB为50°，BE为AC上的高，CF为AB上的高，H为BE和CF的交点，求角ABE、角ACF和角BHC的度数。
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第一节三角形的高、中线与角平分线试题(含答案) (41)
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第一节三角形的高、中线与角平分线试题（含答案)一、单选题1．如图，小聪把一块含有30°角的直角三角尺ABC的两个顶点A，C放在长方形纸片DEFG的对边上，若AC平分∠BAE，则∠DAB的度数是（）A．100°B．150°C．130°D．120°【答案】D【解析】【分析】利用角平分线定义求得∠BAC=∠CAE=30°，再利用平角定义即可解答.【详解】∵AC平分∠BAE∴∠BAC=∠CAE=30°∵∠DAB+∠BAC+∠CAE=180°∴∠DAB=120°故选D【点睛】本题考查了角平分线的定义以及平角的定义，熟练掌握相关定理是解题关键.2．如图，32ABC ︒∠=，50CBD ︒∠=，BE 平分ABD ∠，则CBE ∠的度数为（ ）A ．8︒B ．18︒C ．9︒D ．10︒【答案】C【解析】【分析】 根据题意，由角度相加，得到∠ABD 的度数，由角平分线性质，得到∠ABE 的度数，然后求出∠CBE.【详解】解：∵32ABC ︒∠=，50CBD ︒∠=，∴∠ABD=82°，∵BE 平分ABD ∠，∴∠ABE=41°，∴∠CBE=41329︒-︒=︒；故选择：C.【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是正确的进行角度的运算.3．下面四个图形中，线段BD 是△ABC 的高的是（ ）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据三角形高线的定义进行判断．【详解】解：线段BD是△ABC的高，则过点B作对边AC的垂线，垂线段BD为△ABC 的高．故选：A．【点睛】本题考查了三角形高线的定义：三角形有三条高线，它们都是线段．锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．4．如图，已知CD是△ABC的中线，E为CD的中点，若△ABC的面积为1，则△ACE的面积为（）A．12B．13C．14D．15【答案】C【分析】根据中线平分三角形的面积，CD为△ABC的中线，E是CD的中点，△ABC 的面积为1，即可求出△ACE的面积．【详解】解：∵CD为△ABC的中线，△ABC的面积为1，∴△ADC的面积为12，∵E是CD的中点，∴△ACE的面积为14，故选C.【点睛】本题考查三角形中线平分三角形的面积，熟练掌握三角形中线平分三角形的面积是解决本题的关键．5．如图,在△ABC中,点D、E分别是边AC,AB的中点,BD,CE相交于点O,连接O在AO上取一点F,使得OF=12AF若S△ABC =12,则四边形OCDF的面积为（）A．2 B．83C．3 D．103【答案】B 【解析】重心定理：三角形的三条边的中线交于一点，该点叫做三角形的重心.重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等.【详解】解：∵点D 、E 分别是边AC,AB 的中点，∴O 为△ABC 的重心， ∴13AOC S =ABC S =4, ∴12DOC DOA S S ==AOC S =2,∵OF=12AF ， ∴13DOF S =AOD S =23, ∴S 阴=DOC S+DOF S =83. 故选：B.【点睛】本题考查了重心及重心定理，熟练掌握相关定理是解题关键.6．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以原点A 为圆心，适当的长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点E ，作射线AE 交BC 于点D ，若BD ＝5，AB ＝15，△ABD 的面积30，则AC +CD 的值是（ ）A ．16B ．14C ．12D ．【答案】A【分析】过D点作DF⊥AB，垂足为F，利用三角形ABD的面积，求出CD=DF=4，得到BC=9，再利用勾股定理求出AC，最后即可得答案【详解】过D点作DF⊥AB，垂足为F∵S△ABD=30∴12AB·DF=30∴DF=4根据作图得到AD是∠CAB的角平分线∴CD=DF=4∵BD=5∴BC=5+4=9在Rt△ABC中，12=∴AC+CD=12+4=16故选A【点睛】本题主要考查角平分线性质与勾股定理，解题关键在于能够做出正确辅助线7．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，且S△ABC=4，则S△BEF的等于（）A．12B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形可得S△ABD＝12S△ABC，S△ACD＝12S△ABC，S△BDE＝12S△ABD，S△CDE＝12S△ACD，然后求出S△BCE＝12S△ABC，再根据S△BEF＝12S△BCE列式求解即可．【详解】解：∵点D是BC的中点，∴S△ABD＝12S△ABC，S△ACD＝12S△ABC，∵点E是AD的中点，∴S△BDE＝12S△ABD，S△CDE＝12S△ACD，∴S△BCE＝S△BDE＋S△CDE＝12（S△ABD＋S△ACD）＝12S△ABC，∵点F是CE的中点，∴S △BEF ＝12S △BCE ＝12×12S △ABC ＝12×12×4＝1． 故选：B ．【点睛】本题考查了三角形中线的性质，熟知三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解题关键．8．在△ABC 中，D 是BC 延长线上一点，且BC ＝m •BD ，过D 点作直线AB ，AC 的垂线，垂足分别为E 、F ，若AB ＝n •AC ．则DE DF ＝（ ） A ．1(1)n m + B ．1m(1n)- C ．1(1)n m - D ．1(1)n m - 【答案】C【解析】【分析】连接AD ，根据BC =m •BD ，得到CD =（1﹣m ）BD ，根据同高的三角形，底之比等于面积之比得到S △ACD ＝（1﹣m ）S △ABD ，根据三角形的面积公式得到()111,22AC DF m AB DE ⋅⋅=-⋅⋅把AB =n •AC ，代入即可求解. 【详解】解：连接AD ，∵BC ＝m •BD ，∴CD ＝（1﹣m ）BD∴S △ACD ＝（1﹣m ）S △ABD ，又∵11,,22ABD ACD S S AB DE AC DF =⋅⋅=⋅⋅ ∴()111,22AC DF m AB DE ⋅⋅=-⋅⋅ ∵AB ＝n •AC ，∴AC •DF ＝（1﹣m ）n •AC •DE∴DF ＝（1﹣m ）n •DE∴1.(1)n DE DF m =- 故选C ．【点睛】考查三角形的面积公式，掌握同高的三角形，底之比等于面积之比是解题的关键.9．如图，已知点O 在直线AB 上，90COE ︒∠=，OD 平分AOE ∠，25COD ︒∠=，则BOD ∠的度数为（ ）A．65︒B．100︒C．115︒D．130︒【答案】C【解析】【分析】先根据∠COE=90°，∠COD=25°，求得∠DOE=90°-25°=65°，再根据OD平分∠AOE，得出∠AOD=∠DOE=65°，最后得出∠BOD=180°-∠AOD=115°．【详解】解：∵∠COE=90°，∠COD=25°，∴∠DOE=90°-25°=65°，∵OD平分∠AOE，∴∠AOD=∠DOE=65°，∴∠BOD=180°-∠AOD=115°，故选：C．【点睛】本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的综合应用，解决问题的关键是运用角平分线以及直角的定义，求得∠AOD的度数，再根据邻补角进行计算．10．下列说法错误的是（）A．三角形三条高交于三角形内一点B．三角形三条中线交于三角形内一点C．三角形三条角平分线交于三角形内一点 D．三角形的中线、角平分线、高都是线段【答案】A【解析】【分析】根据三角形的高线、外角的性质、角平分线、中线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A. 三角形的三条高所在的直线交于一点，三条高不一定相交，故本选项符合题意；B. 三角形的三条中线交于三角形内一点，故本选项不符合；C. 三角形的三条角平分线交于一点，是三角形的内心，故本选项不符合；D. 三角形的中线，角平分线，高都是线段，因为它们都有两个端点，故本选项不符合；故选：A.【点睛】此题考查三角形的角平分线、中线和高，解题关键在于掌握各性质定义.。
三角形的高、中线、与角平分线专题练习(含答案解析)--八年级数学上册
三角形的高、中线、与角平分线专题练习（含答案解析）--八年级数学上册一、基础题训练1．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）2．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）3．下列说法正确的是（）①三角形的三条中线都在三角形内部；②三角形的三条角平分线都在三角形内部；③三角形三条高都在三角形的内部．A．①②③B．①②C．②③D．①③4．三角形的三条中线的交点的位置为（）A．一定在三角形内B．一定在三角形外C．可能在三角形内，也可能在三角形外D．可能在三角形的一条边上5．下列说法错误的是（）A．三角形的角平分线能把三角形分成面积相等的两部分B．三角形的三条中线，角平分线都相交于一点C．直角三角形三条高交于三角形的一个顶点D．钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部6．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，已知AB=7cm，AC=5cm，则△ABD和△ACD的周长差为cm．7．如图，AD⊥BC于D，那么图中以AD为高的三角形有个．二、中档题训练8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30°，∠2=20°，则∠B=．9．大家都知道，三角形的三条高（所在的直线）、三条角平分线、三条中线都会交于一点，那么三角形的三条交点不一定在三角形的内部．10．三角形的：①中线、角平分线、高都是线段；②三条高必交于一点；③三条角平分线必交于一点；④三条高必在三角形内．其中正确的是（）A．①②B．①③C．②④D．③④11．如图所示，已知AD，AE分别是△ADC和△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°．试求：（1）AD的长；（2）△ABE的面积；（3）△ACE和△ABE 的周长的差．12．如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，BE=2，AF=3，填空：（1）BE==．（2）∠BAD==．（3）∠AFB==．（4）S△AEC=．三、综合题训练13．如图，在△ABC中（AB＞BC），AC=2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．14．在△ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A=20°，∠B=60°．求∠BCD 和∠ECD的度数．答案解析1.选D2．【考点】三角形的角平分线、中线和高．【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答【解答】解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．故选A．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．3．选B4.选A5．【考点】三角形的角平分线、中线和高【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线、角平分线、高的概念可知．【解答】解：A、三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，错误；B、三角形的三条中线，角平分线都相交于一点，正确；C、直角三角形三条高交于直角顶点，正确；D、钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部，正确．故选A．【点评】注意三角形的中线、角平分线、高的概念．以及三角形的中线、角平分线、高的交点的位置．6．已知AB=7cm，AC=5cm，则△ABD和△ACD的周长差为2cm．7.68．【考点】三角形的角平分线、中线和高．【专题】几何图形问题．【分析】由AE平分∠BAC，可得角相等，由∠1=30°，∠2=20°，可求得∠EAD的度数，在直角三角形ABD在利用两锐角互余可求得答案．【解答】解：∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠EAD+∠2，∴∠EAD=∠1﹣∠2=30°﹣20°=10°，Rt△ABD中，∠B=90°﹣∠BAD=90°﹣30°﹣10°=50°．故答案为50°．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高的相关知识；求得∠EAD=10°是正确解答本题的关键．9.高10.B11．【考点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积．【分析】（1）利用“面积法”来求线段AD的长度；（2）△AEC与△ABE是等底同高的两个三角形，它们的面积相等；（3）由于AE是中线，那么BE=CE，于是△ACE的周长﹣△ABE 的周长=AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE），化简可得△ACE的周长﹣△ABE的周长=AC﹣AB，易求其值．12．（1）BE=CE=BC．（2）∠BAD=∠DAC=∠BAC．（3）∠AFB=∠AFC=90°．（4）S△AEC=3．【考点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积．【分析】分别根据三角形的中线、角平分线和高及三角形的面积公式进行计算即可．13．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理的应用，注意：要分情况进行讨论．14、【考点】三角形的角平分线、中线和高．【分析】由CD⊥AB与∠B=60°，根据两锐角互余，即可求得∠BCD的度数，又由∠A=20°，∠B=60°，求得∠ACB的度数，由CE是∠ACB的平分线，可求得∠ACE的度数，然后根据三角形外角的性质，求得∠CEB的度数。
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第一节三角形的高、中线与角平分线试题(含答案) (23)
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第一节三角形的高、中线与角平分线试题（含答案)如图，AE是△ABC的角平分线，AD是△AEC的角平分线，若∠BAC＝80°，则∠EAD＝（）A．30°B．45°C．20°D．60°【答案】C【解析】【分析】根据角平分线的性质即可求解.【详解】∵∵BAC＝80°，AE是∵ABC的角平分线，∵∵EAC＝12∵BAC＝40°，∵AD是∵AEC的角平分线，∵∵EAD＝12∵EAC＝20°．故选：C．【点睛】考查了三角形的角平分线．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．22．点P是△ABC内一点，且P到△ABC的三边距离相等，则P是△ABC 哪三条线的交点（）A．边的垂直平分线B．角平分线C．高线D．中位线【答案】B【解析】【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上解答．【详解】∵P到△ABC的三边距离相等，∴点P在△ABC的三条角平分线上，∴P是△ABC三条角平分线的交点，故选：B．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．23．如图，在直角三角形ABC中，点B沿CB所在直线远离C点移动，下列说法错误的是( )A．三角形面积随之增大B．∠CAB的度数随之增大C．BC边上的高随之增大D．边AB的长度随之增大【答案】C【解析】【分析】根据三角形的面积公式、角和线段大小的比较以及三角形高的定义进行解答即可．【详解】解：A、在直角三角形ABC中，S△ABC=1BC•AC，点B沿CB所在直线远2离C点移动时BC增大，则该三角形的面积越大．故A正确；B、如图，随着点B的移动，∠CAB的度数随之增大．故B正确；C、BC边上的高是AC，线段AC的长度是不变的．故C错误．D、如图，随着点B的移动，边AB的长度随之增大．故D正确；故选：C．【点睛】本题考查了三角形的面积，角和线段大小的比较以及三角形高的定义，解题时要注意“数形结合”数学思想的应用．24．如图，AB∥CD，EG、EM、FM分别平分∠AEF，∠BEF，∠EFD，则下列结论正确的有( )①∠DFE＝∠AEF；②∠EMF＝90°；③EG∥FM；④∠AEF＝∠EG C．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】根据角平分线的定义，平行线的性质和判定解答即可.【详解】∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠AEF（两直线平行，内错角相等），①正确；∵AB∥CD, ∴∠MFE+∠MEF=180°,∵FM平分∠EFD，EM平分∠BEF,∴∠MFE=12∠DFE,∠MEF =12∠BEF，∴∠EMF=∠MFE+∠MEF = 12∠DFE+12∠BEF=90°, ②正确；∵AB∥CD, ∴∠AEF=∠DFE, ∵EG平分∠AEF，∴∠AEG=∠GEF=12∠AEF，∵FM平分∠DFE，∴∠EFM=∠MFD=12∠DFE，∴∠GEF=∠EFM, ∴EG∥FM,③正确;∵∠AEF＝∠DFE≠∠EGC,④错误,正确的有3个，故选C．【点睛】考查了角平分线的定义，平行线的性质和判定定理，掌握平行线的性质和判定是解题的关键．25．如图所示，△ABC中AC边上的高线是（）A．线段DA B．线段BA C．线段BD D．线段BC【答案】C【解析】【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高.【详解】由图可知，ABC中AC边上的高线是BD.故选：C.【点睛】掌握垂线的定义是解题的关键.26．对于任意三角形的高，下列说法不正确的是（）A．直角三角形只有一条高B．锐角三角形有三条高C．任意三角形都有三条高D．钝角三角形有两条高在三角形的外部【答案】A【解析】【分析】根据三角形的高的性质即可解题.【详解】解：直角三角形有三条高,两条直角边上的高与直角边重合,∴A 项错误,故选A.【点睛】本题考查了三角形的高,属于简单题,熟悉三角形的高的作法是解题关键.27．数学课上，同学们在练习本上画钝角三角形ABC 的高BE 时，有一部分学生画出下列四种图形，其中错误的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】 第一个是对的，后面三个是错误的.选C.28．，该三角形的重心到斜边的距离为（ ）A ．3B ．3C ．23D ．13【答案】D【解析】【分析】作等腰直角三角形底边上的高并根据勾股定理求解，再根据三角形重心三等分中线的性质即可求出．【详解】如图,根据三线合一的性质,底边上的中线sin45°=1，∵三角形的重心到三角形顶点的距离等于中点距离的2倍，∴重心到AB的距离=1×13=13.故选D.【点睛】此题考查等腰直角三角形，三角形的重心，解题关键在于画出图形29．下列说法正确的是( )A．三角形的三条高至少有一条在三角形内B．直角三角形只有一条高C．三角形的角平分线其实就是角的平分线D．三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部【答案】A【解析】【分析】根据三角形的中线，角平分线和高线的定义以及在三角形的位置对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A、三角形的三条高至少有一条在三角形内，正确；B、直角三角形只有三条高，而题目中是只有一条高，错误；C、三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，错误；D、锐角三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部，但钝角三角形的高有的在外部，错误；故选A．【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，是基础题，熟记概念以及在三角形中的位置是解题的关键．30．如图，O为直线AB上一点，∠DOC为直角，OE平分∠AOC，OG 平分∠BOC，OF平分∠BOD，下列结论：①∠AOE与∠BOG互余②∠EOF 与∠GOF互补③∠DOE与∠DOG互补④∠AOC﹣∠BOD＝90°，其中正确的有（）个．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】【分析】根据余角和补角的定义以及角平分线的定义计算出各选项的结果判断即可．【详解】解：①∵∠AOC+∠BOC＝180°，OE平分∠AOC，OG平分∠BOC，∴∠AOE＝12∠AOC，∠GOB＝12∠BOC，∴∠AOE+∠BOG＝12（∠AOC+∠BOC）＝90°，∴∠AOE与∠BOG互余，故正确；②∵∠DOC＝90°，OG平分∠BOC，OF平分∠BOD，∴∠BOG+∠BOF＝12∠BOC+12∠BOD＝12∠COD＝45°，∴∠EOF+∠GOF＝∠EOG+∠GOF+∠GOF＝90°+45°+45°＝180°，∴∠EOF与∠GOF互补，故正确；③∵∠DOE+∠DOG＝∠EOF+∠DOF+∠FOG+∠DOF，∵∠EOF+∠GOF＝180°，∴∠DOE+∠DOG＝180°+2∠DOF，∴∠DOE与∠DOG不互补，故错误；④∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠BOC＝90°﹣∠BOD，∴∠AOC﹣∠BOD＝90°，故正确，故选：B．【点睛】本题考查余角和补角的定义及性质，角平分线定义，角的和差计算，准确识图是解题的关键．。
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第一节三角形的高、中线与角平分线试题(含答案) (30)
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第一节三角形的高、中线与角平分线试题（含答案)如图，AD∥BC，BE平分∠ABC交AD于点E，BD平分∠EBC．(1)若∠DBC＝30°，求∠A的度数；(2)若点F在线段AE上，且7∠DBC－2∠ABF＝180°，请问图中是否存在与∠DFB相等的角？若存在，请写出这个角，并说明理由；若不存在，请说明理由．【答案】(1)∠A＝60°；(2)存在，∠DFB＝∠DBF.【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠EBC=2∠DBC=60°，∠ABC=2∠EBC=120°，根据平行线的性质得到∠A+∠ABC=180°，于是得到结论；（2）设∠DBC=x°，则∠ABC=2∠ABE=（4x）°，根据已知条件得到∠ABF=（72x-90）°，求得∠DBF=（90-12x）°，根据平行线的性质得到∠DFB+∠CBF=180°，于是得到∠DFB=（90-12x）°，即可得到结论．【详解】解：(1)∵BD平分∠EBC，∠DBC＝30°，∴∠EBC＝2∠DBC＝60°.∵BE平分∠ABC，∴∠ABC ＝2∠EBC ＝120°.∵AD ∥BC ，∴∠A ＋∠ABC ＝180°，∴∠A ＝60°.(2)存在∠DFB ＝∠DBF.理由如下：设∠DBC ＝x °，则∠ABC ＝2∠ABE ＝(4x)°.∵7∠DBC －2∠ABF ＝180°，∴(7x)°－2∠ABF ＝180°，∴∠ABF ＝（72x-90）°， ∴∠CBF ＝∠ABC －∠ABF ＝（12x+90）°， ∠DBF ＝∠ABC －∠ABF －∠DBC ＝（90-12x ）°. ∵AD ∥BC ，∴∠DFB ＋∠CBF ＝180°，∴∠DFB ＝（90-12x ）°， ∴∠DFB ＝∠DBF.【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．平行线的性质：①两直线平行同位角相等；②两直线平行内错角相等；③两直线平行同旁内角互补.92．已知，如图1，OB 、OC 分别为定角（大小不会发生改变）∠AOD 内部的两条动射线，∠AOC 与∠BOD 互补，∠AOB +∠COD ＝50°（1）求∠AOD 的度数；（2）如图2，射线OM、ON分别为∠AOB、∠COD的平分线，当∠COB 绕着点O旋转时，下列结论：①∠AON的度数不变；②∠MON的度数不变．其中只有一个是正确的，请你做出正确的选择并求值．（3）如图3，OE、OF是∠AOD外部的两条射线，且∠EOB＝∠COF＝110°，OP平分∠EOD，OQ平分∠AOF，当∠BOC绕着点O旋转时，∠POQ 的大小是否会发生变化？，若不变，求出其度数；若变化，说明理由．【答案】（1）∠AOD＝115°；（2）②正确，∠MON的度数为90°不变；理由见解析；（3）∠POQ的大小不变为135°．【解析】【分析】（1）根据角的定义可知∠AOC+∠BOD=180°，与∠AOB+∠COD=50°，结合可得∠BOC的度数，即可求出∠AOD的度数；（2）根据角平分线的定义得出∠MON=∠CON+∠BOM+∠BOC=25°+65°=90°；（3）先求得∠DOE+∠AOF的值，再根据角平分线的定义得出∠POD+∠AOQ，再加上∠AOD即可得∠POQ的值．【详解】解：（1）∵∠AOC与∠BOD互补，∴∠AOB+∠COD+2∠BOC＝180°，∵∠AOB+∠COD＝50°，∴∠BOC＝65°，∴∠AOD＝∠BOC+∠AOB+∠COD＝115°；（2）②正确，∠MON的度数为90°不变；理由如下：∵OM、ON分别为∠AOB、∠COD的平分线，∴∠CON+∠BOM＝12（∠AOB+∠COD）＝12×50°＝25°，∴∠MON＝∠CON+∠BOM+∠BOC＝25°+65°＝90°，故②正确，∠MON的度数为90°不变；（3）∠POQ的大小不变为135°，∵∠EOB＝∠COF＝110°，∠BOC＝65°，∴∠COE＝∠BOF＝110°﹣65°＝45°，∴∠COE+∠BOF＝∠COD+∠DOE+∠AOB+∠AOF＝90°，∵∠AOB+∠COD＝50°，∴∠DOE+∠AOF＝40°，∵OP平分∠EOD，OQ平分∠AOF，∴∠DOP+∠AOQ＝12（∠DOE+∠AOF）＝20°，∴∠POQ＝∠DOP+∠AOQ+∠AOD＝20°+115°＝135°，故∠POQ的大小不变为135°．故答案为：（1）∠AOD＝115°；（2）②正确，∠MON的度数为90°不变；理由见解析；（3）∠POQ的大小不变为135°．【点睛】本题考查角的有关计算以及角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．93．已知O为直线AB上的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE．（1）如图1，若∠COF=34°，则∠BOE=______；（2）如图1，若∠BOE=80°，则∠COF=______；（3）若∠COF=m°，则∠BOE=______度；∠BOE与∠COF的数量关系为______．（4）当∠COE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，（3）中∠BOE与∠COF 的数量关系是否仍然成立？请说明理由．【答案】（1）68°(2) 40°（3）2m∠BOE=2∠COF;(4)成立，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据互余得到∠EOF=90°-34°，再由OF平分∠AOE，得到∠AOE=2∠EOF，然后根据邻补角的定义即可得到∠BOE；（2）设∠COF=n°，根据互余得到∠EOF=90°-n°，再由OF平分∠AOE，得到∠AOE=2∠EOF=180°-2n°，然后根据邻补角的定义得到∠BOE=180°-（180°-2n°）=2n°=80°，于是得到结论；（3）当∠COF=m°，根据互余得到∠EOF=90°-m°，再由OF平分∠AOE，得到∠AOE=2∠EOF=180°-2m°，然后根据邻补角的定义得到∠BOE=180°-（180°-2m°）=2m°，所以有∠BOE=2∠COF；（4）同（3），可得到∠BOE=2∠COF．【详解】解：（1）∵∠COE是直角，∠COF=34°，∴∠EOF=90°-34°=56°，∵OF平分∠AOE．∴∠AOE=2∠EOF=112°，∴∠BOE=180°-112°=68°；（2）设∠COF=n°，∴∠EOF=90°-n°，∴∠AOE=2∠EOF=180°-2n°，∴∠BOE=180°-（180°-2n°）=2n°=80°，∴∠COF=40°；（3）当∠COF=m°，∴∠EOF=90°-m°，∴∠AOE=2∠EOF=180°-2m°，∴∠BOE=180°-（180°-2m°）=2m°，∴∠BOE=2∠COF；（4）∠BOE与∠COF的数量关系仍然成立．理由如下：设∠COF=n°，∵∠COE是直角，∴∠EOF=90°-n°，又∵OF平分∠AOE．∴∠AOE=2∠EOF=180°-2n°，∴∠BOE=180°-（180°-2n°）=2n°，即∠BOE=2∠COF．【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义以及互余互补．解题的关键是注意找出所求角与已知角之间的关系．94．在△ABC中，AB﹦9，BC﹦2，并且AC为奇数，那么△ABC的周长为多少？【答案】20【解析】【分析】根据三角形三边关系,找到AC的取值范围,由AC为奇数求出AC长度,即可求出三角形周长.【详解】解：∵AB﹣BC＜AC＜AB﹢BC，（三角形三边关系）∵9﹣2＜AC＜9﹢2，即7＜AC＜11又A C为奇数，∵A C﹦9∵∵ABC的周长﹦9+9+2﹦20【点睛】本题考查了三角形的三边关系,三角形的周长,属于简单题,熟悉三边关系是解题关键.95．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD（1）若∠AOC＝60°，求∠BOE的度数；（2）若OF平分∠AOD，试说明OE⊥OF．【答案】（1）∠BOE＝30°；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由对顶角的性质可得∠BOD的度数，利用角平分线的性质即可得出∠BOE的度数；（2）由角平分线的性质可得∠DOF＝12∠AOD，∠DOE＝12∠BOD，利用平角的定义可求出∠EOF的度数，根据垂直的定义即可得答案.【详解】（1）∵直线AB、CD相交于点O，∴∠BOD＝∠AOC＝60°，又∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝12∠BOD＝30°；（2）∵OF平分∠AOD，∴∠DOF＝12∠AOD，又∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝12∠BOD，∴∠EOF＝∠DOF+∠DOE＝12（∠AOD+∠BOD）＝12×180°＝90°．∴OE⊥OF．【点睛】此题主要考查了垂直定义以及对顶角和角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键.96．如图，P是等腰三角形ABC底边BC上的任一点，PE⊥AB 于E,PF⊥AC于F，BH是等腰三角形AC边上的高。
人教版八年级数学上册第11章 1-2三角形的高、中线与角平分线 同步练习题(含答案)
11.1.2三角形的高、中线与角平分线一、选择题1.画△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是（）A．B．C．D．2．下列说法正确的是（）A．三角形三条高都在三角形内B．三角形三条中线相交于一点C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外D．三角形的角平分线是射线3.如图，已知BD是△ABC 的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长的差是（）A．2 B．3 C．6 D．不能确定（第3题）（第4题）（第6题）（第7题）4.如图，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC的高的有（）A．2条 B．3条 C．4条 D．5条5．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．正确的是（）A．①②B．③④C．①④D．②③6.王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（ ）A ．0根B ．1根C ．2根D ．3根7.如图，工人师傅砌门时，常用木条EF 固定矩形门框ABCD ，使其不变形，这种做法的根据是（ ）A ．两点之间线段最短B ．矩形的对称性C ．矩形的四个角都是直角D ．三角形的稳定性8.三角形的高线是（ ） A ．直线B ．线段C ．射线D ．三种情况都可能 二、填空题9.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AD ，垂足为点D ，有下列说法：①点A 与点B 的距离是线段AB 的长；②点A 到直线CD 的距离是线段AD 的长；③线段CD 是△ABC 边AB 上的高；④线段CD 是△BCD 边BD 上的高． 上述说法中，正确的个数为_________个10.如图，△ABC 的角平分线AD 、中线BE 相交于点O ，则①AO 是△ABE 的角平分线；②BO 是△ABD 的中线；③DE 是△ADC 的中线；④ED 是△EBC 的角平分线的结论中正确的有_________.11．如图，小明的父亲在院子的门板上钉了一个加固板，从数学角度看，这样做的原因是______________________．（第9题） （第10题） （第11题） （第12题）12.如图所示，CD 是△ABC 的中线，AC=9cm ，BC=3cm ，那么△ACD 和△BCD 的周长差是___________cm ．13.AD 是△ABC 的一条高，如果∠BAD=65°，∠CAD=30°，则∠BAC=______．14.如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，CD ⊥AB 于点D ．则图中共有_____个直角三角形．15.如图，在△ABC 中，BD 是角平分线，BE 是中线，若AC=24cm ，则AE=cm ，若∠ABC=72°，则∠ABD=_____度． 16.如图所示：（1）在△ABC 中，BC 边上的高是_____；（2）在△AEC 中，AE 边上的高是_____．17.三角形一边上的中线把三角形分成的两个三角形的面积关系为_____.18.如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，DE ∥AC ，DC ∥EF ，则与∠ACD 相等角有_____个．三、解答题19．如图，AD 是△ABC 的角平分线，过点D 作直线DF ∥BA ，交△ABC 的外角平分线AF 于点F ，DF 与AC 交于点E ．求证：DE=EF ．（第18题）（第16题） （第19题）（第14题） （第15题）20.若等腰三角形一腰上的中线分周长为１２cm和１５cm两部分，求这个等腰三角形的底边和腰的长.21.如图：（1）画出△ABC的BC边上的高线AD；（2）画出△ABC的角平分线CE．第21题22.△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E ．（1）∠B=30°，∠C=70°，求∠EAD的大小．（2）若∠B＜∠C，则2∠EAD与∠C-∠B是否相等？若相等，请说明理由．第22题23.已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF ．第23题一、选择题 1.C 2.B 3.A 4.B 5.D 6.B 7.D 8.B二、填空题9.4 10.2 11.利用三角形的稳定性使门板不变形． 12..6 13.95°或35° 14.3 15.12,36 16.AB,CD 17.相等 18.4三、解答题19.证明：∵AD 是△ABC 的角平分线，AF 平分△ABC 的外角，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵DF ∥BA ，∴∠4=∠ADE ，∠1=∠F∴∠3=∠ADE ，∠2=∠F∴DE=EA EF=EA∴DE=EF20.在ＡＢＣ∆中，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ是中线，设ＡＢ＝x,BC=y.(1)当AB+AD=12时，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+15211221x y x x ，解得,118⎩⎨⎧==y x ∴三角形三边的长为８，８，１１； （２）当AB+AD=1５时，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+12211521x y x x ，解得,y x ⎩⎨⎧==710∴三角形三边的长为１０，１０，７； 经检验，两种情况均符合三角形的三边关系.∴三角形三边的长分别为８，８，１１或１０，１０，７.21. 解：（1）如图所示：AD 即为所求；（2）如图所示：CE 即为所求．22.解：（1）∵∠B=30°，∠C=70°∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°∵AE 是角平分线，∴∠EAC=21∠BAC=40°∵AD 是高，∠C=70°∴∠DAC=90°-∠C=20°∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=40°-20°=20°；（2）由（1）知，∠EAD=∠EAC-∠DAC=21∠BAC-（90°-∠C ）① 把∠BAC=180°-∠B-∠C 代入①，整理得∠EAD=21∠C-21∠B ，∴2∠EAD=∠C-∠B ．23.证明： ∵∠ACB=90°， ∴∠1+∠3=90°，∵CD ⊥AB ，∴∠2+∠4=90°，又∵BE 平分∠ABC ，∴∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵∠4=∠5，∴∠3=∠5，即∠CFE=∠CEF ．。
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第一节三角形的高、中线与角平分线试题(含答案) (71)
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第一节三角形的高、中线与角平分线试题（含答案)一、单选题1．对于任意三角形的高，下列说法不正确的是（）A．锐角三角形有三条高B．直角三角形只有一条高C．任意三角形都有三条高D．钝角三角形有两条高在三角形的外部【答案】B【解析】【分析】【详解】试题分析：直角三角形有3条高，其中有两条就是直角三角形的两条直角边．考点：三角形的三线2．如图，三角形ABC中，D为BC上的一点，且S△ABD=S△ADC，则AD 为（）A．高B．角平分线C．中线D．不能确定【答案】C【解析】试题分析：三角形ABD和三角形ACD共用一条高，再根据S△ABD=S△ADC，列出面积公式，可得出BD=CD．解：设BC边上的高为h，∵S△ABD=S△ADC，∵，故BD=CD，即AD是中线．故选C．考点：三角形的面积；三角形的角平分线、中线和高．3．三角形三条中线的交点叫做三角形的A．内心B．外心C．中心D．重心【答案】D【解析】试题分析：三角形的重心是三角形三条中线的交点．故选D．考点：三角形的重心．4．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A．B． C．D．【答案】A【解析】【分析】经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高，根据概念即可得出.【详解】根据定义可得A是作BC边上的高，C是作AB边上的高，D是作AC边上的高.故选A.考点：三角形高线的作法5．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：根据三角形的高线的定义可得，则D选项中线段BE是∵ABC的高.考点：三角形的高6．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（）A．AB＝2BF B．∠ACE＝1∠ACB2C．AE＝BE D．CD⊥BE【答案】C【解析】【分析】【详解】试题分析:∵CD，CE，CF分别是∵ABC的高、角平分线、中线∵ACB ，AB=2BF∵CD∵BE，∵ACE=12故选B考点：三角形的高，角平分线，中线..7．下列命题中，正确的是（）A．三角形的一个外角大于任何一个内角B．三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形C．两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等D．三角形的三条高都在三角形内部【答案】B【解析】试题分析：A、当钝角三角形时，钝角的外角就小于内角；C、当两条边和两边的夹角对应相等的时候，两个三角形全等；D、当三角形为直角三角形时，其中有两条高在三角形上.考点：三角形的性质.8．如图，△ABC 中，AD 为△ABC 的角平分线，BE 为△ABC 的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（ ）A ．59°B ．60°C ．56°D ．22°【答案】A【解析】【分析】【详解】 根据题意可得，在∵ABC 中，70,48︒︒∠=∠=C ABC ，则62︒∠=CAB ，又AD 为∵ABC 的角平分线，1262231︒︒∴∠=∠=÷=又在∵AEF 中，BE 为∵ABC 的高∴90159359︒︒︒∠=-∠=∴∠=∠=EFA EFA考点：1、三角形的内角内角之和的关系 2、对顶角相等的性质.9．下列说法错误的是（ ）．A ．锐角三角形的三条高线，三条中线，三条角平分线分别交于一点B ．钝角三角形有两条高线在三角形外部C ．直角三角形只有一条高线D ．任意三角形都有三条高线，三条中线，三条角平分线【答案】C【解析】试题分析：A、正确，锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点；B、正确，钝角三角形有两条高线在三角形的外部；C、错误，直角三角形也有三条高线；D、正确．故选C．考点：三角形的角平分线、中线和高．10．如图所示，AM是△ABC的中线，那么若用S1表示△ABM的面积，用S2表示△ACM的面积，则S1和S2的大小关系是( )A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1=S2D．以上三种情况都有可能【答案】C【解析】试题分析:由图可得，AM是∵ABC的中线，显然，∵ABM与∵ACM有长度相等的边，即BM=CM，又这两边上的高相等，即∵ABC中BC边上的高，所以，S1=S2.故选C.考点：三角形的中线.。
人教版八年级上册数学三角形的高、中线与角平分线同步练习(含答案)
人教版八年级上册数学11.1.2三角形的高、中线与角平分线同步练习一、单选题1．如图，在△ABC中，AD、CE是中线，若四边形BDFE的面积是6，则△ABC的面积为（）A．12B．15C．18D．242．如图，线段AD把ABC分成面积相等的两部分，则线段AD是（）A．ABC的中线B．ABC的高C．ABC的角平分线D．以上都不对3．如图，A、B、C分别是DB、EC、F A的中点，若△DEF的面积为21，那么△ABC 的面积是（）A．6B．5C．4D．34．如图，在△ABC中，BP平分△ABC，AP BP于点P，连接PC，若△P AB的面积为26cm，△PBC的面积为2cm．8cm，则△P AC的面积为（）2A ．2B ．2.5C ．3D ．4 5．如图，已知AM 是△ABC 的中线，点P 是AC 边上一动点，若△ABC 的面积为10，AC =4，则MP 的最小值为（ ）A ．5B ．2.5C ．1.4D ．1.25 6．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定 7．如图,AD 、BE 、CF 是△ABC 三边的中线，若S △ABC =12，则图中的阴影部分的面积是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 8．如图，AD ，AE ，AF 分别是ABC 的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（ ）A ．2BC CD =B ．12BAE BAC ∠=∠ C ．90AFB ∠=︒D ．AE CE =二、填空题9．如图，在△ABC 中，D 是BC 上的一点，且BC ＝4BD ，E 是AC 的中点，BE 与AD 相交于点F ，若△BDF 的面积为1，则△ABC 的面积为_________.10．如图，△ABC 的面积为25cm 2，BP 平分△ABC ，过点A 作AP △BP 于点P ，则△PBC 的面积为________；11．如图，△ABC 的中线BD 、CE 相交于点F ，若四边形AEFD 的面积为6，则△CBF 的面积为_________．12．如图，点D 是ABC ∆的边BC 上任意一点，点E 、F 分别是线段AD 、CE 的中点，且ABC ∆的面积为40，则∆BEF 的面积=_________．13．如图，在ABC 中，点D 、E 、F 分别在三边上，E 是AC 的中点，AD 、BE 、CF 交于一点G ，2BD DC =，8,3BGD AGE S S ==，则ABC 的面积是_________．14．已知：如图所示，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别为BC ，AD ，CE 的中点，且232cm ABC S =，则阴影部分的面积为______2cm ．15．如图，在ABC ∆中，点D 在BC 上，点E 是AD 的中点，点F 在BE 上，且2EF BF =，若5∆=BCF S ，则ABC S ∆=________．16．如图，在ABC 中，G 是边BC 上任意一点，D 、E 、F 分别是AG 、BD 、CE 的中点，48ABC S =△，则DEF S △的值为______．三、解答题17．如图， △ABC 中，AE ，CD 是△ABC 的两条高，AB ＝4，CD ＝2 （1）请画出AE ，CD ；（2）求△ABC 的面积；（3）若AE ＝3，求BC 的长．18．如图，在ABC 中（AB BC >），2AC BC =，BC 边上的中线AD 把ABC 的周长分成60和40两部分，求AC 和AB 的长．19．如图所示，AD，CE是△ABC的两条高，AB＝6cm，BC＝12cm，CE＝9cm．（1）求△ABC的面积；（2）求AD的长．20．如图，已知AD、AE分别是ABC的高和中线，ABE△的面积2=，12cmAB=．求：CAB∠=︒，6cm4.8cmAD=，90（1）BC的长；（2）ABC的周长．参考答案：1．C2．A3．D4．A5．B6．C7．B8．D9．2010．212.5cm11．612．1013．3014．815．3016．617．（2）4；（3）8 318．48AC=，28AB=19．（1）27；（2）4.520．（1）10cmBC=；（2）ABC的周长=24cm．答案第1页，共1页。
三角形(压轴必刷30题5种题型专项训练)—2023-2024学年八年级数学上册(人教版)(解析版)
三角形（压轴必刷30题5种题型专项训练）一．三角形的角平分线、中线和高（共1小题）1．（2022秋•瑞金市校级月考）如图，△ABC的周长是21cm，AB＝AC，中线BD分△ABC为两个三角形，且△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，求AB，BC．【分析】由BD是中线，可得AD＝CD，又由△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，△ABC的周长是21cm，AB＝AC，可得AB﹣BC＝6cm，2AB+BC＝21cm，继而求得答案．【解答】解：∵BD是中线，∴AD＝CD＝AC，∵△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，∴（AB+AD+BD）﹣（BD+CD+BC）＝AB﹣BC＝6cm①，∵△ABC的周长是21cm，AB＝AC，∴2AB+BC＝21cm②，联立①②得：AB＝9cm，BC＝3cm．【点评】此题考查了三角形面积与三角形的中线．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．二．三角形三边关系（共1小题）2．（2022春•徐汇区校级期末）周长为30，各边互不相等且都是整数的三角形共有个．【分析】不妨设三角形三边为a、b、c，且a＜b＜c，由三角形三边关系定理及题设条件可确定c的取值范围，以此作为解题的突破口．【解答】解：设三角形三边为a、b、c，且a＜b＜c．∵a+b+c＝30，a+b＞c∴10＜c＜15∵c为整数∴c为11，12，13，14∵①当c为14时，有5个三角形，分别是：14，13，3；14，12，4；14，11，5；14，10，6；14，9，7；②当c为13时，有4个三角形，分别是：13，12，5；13，11，6；13，10，7；13，9，8；③当c为12时，有2个三角形，分别是：12，11，7；12，10，8；④当c为11时，有1个三角形，分别是：11，10，9；故答案为：12个．【点评】此题主要考查学生对三角形三边关系的理解及运用能力．三．三角形内角和定理（共12小题）3．（2021秋•新罗区校级月考）在△ABC中，∠A＝36°，当∠C＝，△ABC为等腰三角形．【分析】分三种情形分别讨论，运用三角形内角和定理即可解决问题【解答】解：①当AB＝AC时，∵∠A＝36°，∴∠C＝∠B＝72°．②当CA＝CB时，∵∠A＝∠B＝36°，∴∠C＝108°．③当BA＝BC时，∴∠C＝∠A＝36°，综上所述，∠C的值为72°或108°或36°，故答案为：72°，36°，108°．【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和定理的运用，解题的关键是用分类讨论的思想思考问题．4．（2022秋•潍坊期末）如图，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠BDC＝∠BOD，AP，DP分别平分∠CAO和∠BDC，若∠C+∠P+∠B＝165°，则∠C的度数是．【分析】设∠C＝∠AOC＝∠BOD＝∠BDO＝x，∠CAP＝∠PAB＝y，∠P＝z，则∠B＝2y，构建方程组解决问题即可．【解答】解：∵∠C＝∠COA，∠BDC＝∠BOD，∠AOC＝∠BOD，∴∠C＝∠AOC＝∠BOD＝∠BDO，∴∠B＝∠CAO，设∠C＝∠AOC＝∠BOD＝∠BDO＝x，∠CAP＝∠PAB＝y，∠P＝z，则∠B＝2y，则有，解得，∴∠C＝70°，故答案为70°．【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题．5．（2021秋•武昌区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝2α，CD平分∠ACB，∠CAD＝30°﹣α，∠BAD＝30°，则∠BDC＝．（用含α的式子表示）【分析】延长CB到E，使CE＝CA，连接DE，EA，利用SAS证明△ADC≌△EDC，得AD＝ED，∠ADC＝∠EDC，再证明△EDA为等边三角形，得出AB是∠EAD的角平分线，再通过导角得出答案．【解答】解：如图，延长CB到E，使CE＝CA，连接DE，EA，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝，在△ADC与△EDC中，，∴△ADC≌△EDC（SAS），∴AD＝ED，∠ADC＝∠EDC，∵∠CAD＝30°﹣α，∠ACD＝α，∴∠ADC＝180°﹣（30°﹣α）﹣α＝150°，∴∠EDC＝∠ADC＝150°，∴∠EDA＝360°﹣150°﹣150°＝60°，∵ED＝AD，∴△EDA为等边三角形，∴∠EAD＝∠AED＝60°，∵∠BAD＝30°，∴∠EAB＝60°﹣30°＝30°，∴AB是∠EAD的角平分线，∵AB是ED的垂直平分线，∴BD＝BE，∴∠BED＝∠BDE，∵∠ACB＝2α，∠EAC＝∠EAD+∠DAC＝60°+30°﹣α＝90°﹣α，∴∠AEC＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α，∴∠EDB＝∠AEC﹣∠AED＝90°﹣α﹣60°＝30°﹣α，∴∠EDB＝∠BED＝30°﹣α，∴∠DBC＝∠BDE+∠BED＝（30°﹣α）×2＝60°﹣2α，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣（60°﹣2α）﹣α＝120°+α，故答案为：120°+α．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．6．（2020秋•杏花岭区校级月考）如图，在第1个△ABA1中，∠B＝40°，∠BAA1＝∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得在第2个△A1CA2中，∠A1CA2＝∠A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3个△A2DA3中，∠A2DA3＝∠A2A3D；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以A3为顶点的内角的度数为；第n个三角形中以A n为顶点的底角的度数为．【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形的以An为顶点的底角的度数．【解答】解：∵在△ABA1中，∠B＝40°，AB＝A1B，∴∠BA1A＝（180°﹣∠B）＝（180°﹣40°）＝70°，∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，∴∠CA2A1＝∠BA1A＝×70°＝35°；同理可得，∠DA3A2＝×70°＝17.5°，∠EA4A3＝×70°，以此类推，第n个三角形的以An为顶点的底角的度数＝．故答案为：17.5°，．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，进而找出规律是解答此题的关键．7．（2022春•台江区校级期末）如图，在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，∠BAC＞∠C，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F＝（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH＝∠ABE+∠C．其中正确的是．【分析】①根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FJD＝∠BJH，证明结论正确；②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；③证明∠DBE＝∠BAC﹣∠C，根据①的结论，证明结论正确；④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确．【解答】解：设BE交FH于点J．①∵BD⊥FD，∴∠FGD+∠F＝90°∵FH⊥BE，∴∠BGJ+∠DBE＝90°，∵∠FGD＝∠BGJ，∴∠DBE＝∠F，①正确；②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∠BEF＝∠CBE+∠C，∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C，∠BAF＝∠ABC+∠C，∴2∠BEF＝∠BAF+∠C，②正确；③∠ABD＝90°﹣∠BAC，∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，∵∠CBD＝90°﹣∠C，∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，由①得，∠DBE＝∠F，∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，∴∠F＝（∠BAC﹣∠C）；③正确；④∵∠AEB＝∠EBC+∠C，∵∠ABE＝∠CBE，∴∠AEB＝∠ABE+∠C，∵BD⊥FC，FH⊥BE，∴∠FGD＝∠BGH＝∠FEB，∴∠BGH＝∠ABE+∠C，④正确，故答案为：①②③④．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键．8．（2021秋•雷州市月考）如图，D是△ABC的BC边上的一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°，∠BAC＝70°．（1）求∠B的度数．（2）求∠C的度数．【分析】（1）先由三角形外角的性质得出∠ADC＝∠B+∠BAD，再由∠ADC＝80°，∠B＝∠BAD即可得出∠B的度数；（2）直接根据三角形的内角和定理得出∠C的度数．【解答】解：（1）∵∠ADC是△ABD的一个外角，∴∠ADC＝∠B+∠BAD，又∵∠ADC＝80°，∠B＝∠BAD，∴∠B＝∠ADC＝×80°＝40°；（2）在△ABC 中，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣40°﹣70°＝70°．【点评】本题考查的是三角形内角和定理及外角的性质，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键．9．（2021春•东台市月考）如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA．（1）∠EAC与∠B相等吗？为什么？（2）若∠B＝50°，∠CAD：∠E＝1：3，求∠E的度数．【分析】（1）由于AD平分∠BAC，根据角平分线的概念可得∠BAD＝∠CAD，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，结合已知条件可得∠EAC与∠B相等；（2）若设∠CAD＝x°，则∠E＝3x°．根据（1）中的结论以及三角形的内角和定理及其推论列方程进行求解即可．【解答】解：（1）相等．理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．又∠EAD＝∠EDA，∴∠EAC＝∠EAD﹣∠CAD＝∠EDA﹣∠BAD＝∠B；（2）设∠CAD＝x°，则∠E＝3x°，由（1）知：∠EAC＝∠B＝50°，∴∠EAD＝∠EDA＝（x+50）°在△EAD中，∵∠E+∠EAD+∠EDA＝180°，∴3x+2（x+50）＝180，解得：x＝16．∴∠E＝48°．【点评】（1）建立要证明的两个角和已知角之间的关系，根据已知的相等的角，即可证明；（2）注意应用（1）中的结论，主要是根据三角形的内角和定理及其推论用同一个未知数表示相关的角，再列方程求解．10．（2021秋•新建区校级月考）如图，∠B＝50°，点P在∠ABC内部，∠P的两边分别交AB，BC于点E，F．（1）若PE⊥AB，PF⊥BC．①如图1，则∠P＝°；②如图2，EQ平分∠BEP，FQ平分∠BFP，求∠Q的度数．（2）若∠BEP与∠BFP两角的平分线交于ABC内一点Q，请写出∠Q与∠P的数量关系，并说明理由．【分析】（1）①由∠BEP＝∠BFP＝90°，∠ABC＝50°，解可得∠EPF＝130°；②根据EQ平分∠BEP，FQ平分∠BFP，得∠QEP＝45°，∠QFP＝45°，即可得∠Q＝140°；（2）分两种情况：①四边形BEPF为凸四边形时，由∠B+2∠2+2∠4+∠P＝360°，∠2+∠4＝360°﹣∠P﹣∠Q，消去∠2、∠4即可得∠Q+∠P＝200°；②四边形BEPF为凹四边形时，可得2∠Q﹣∠P＝40°．【解答】解：（1）①∵PE⊥AB，PF⊥BC，∴∠BEP＝∠BFP＝90°，∵∠ABC＝50°，∴∠EPF＝360°﹣∠BEP﹣∠BFP﹣∠ABC＝130°，故答案为：130；②∵EQ平分∠BEP，FQ平分∠BFP，∴∠QEP＝∠BEP＝45°，∠QFP＝∠BFP＝45°，∴∠Q＝360°﹣∠QEP﹣∠QFP﹣∠EPF＝140°；（2）①四边形BEPF为凸四边形时，如图：∵EQ平分∠BEP，FQ平分∠BFP，∴∠BEP＝2∠2，∠BFP＝2∠4，∵∠B+∠BEP+∠BFP+∠P＝360°，∴∠B+2∠2+2∠4+∠P＝360°，而∠B＝50°，∴2∠2+2∠4＝310°﹣∠P，即∠2+∠4＝155°﹣∠P①，又∠2+∠4＝360°﹣∠P﹣∠Q②，由①②可得：155°﹣∠P＝360°﹣∠P﹣∠Q，整理得：∠Q+∠P＝205°．②四边形BEPF为凹四边形时，如图：∵EQ平分∠BEP，FQ平分∠BFP，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠B＝50°，∴2（∠2+∠3）+∠PEF+∠PFE＝130°（Ⅰ），又∠Q+（∠2+∠3）+∠PEF+∠PFE＝180°（Ⅱ），（Ⅱ）×2﹣（Ⅰ）得：2∠Q+∠PEF+∠PFE＝230°（Ⅲ），而∠P+∠PEF+∠PFE＝180°（Ⅳ），（Ⅲ）﹣（Ⅳ）得：2∠Q﹣∠P＝50°；同理当四边形BEPF、四边形BEQF均为凸四边形时，2∠Q﹣∠P＝310°，综上所述，∠Q与∠P的数量关系为∠Q+∠P＝205°或2∠Q﹣∠P＝50°或2∠Q﹣∠P＝310°．【点评】本题考查多边形内角和，涉及角平分线、角的和差等知识，解题的关键是掌握四边形的内角和是360°．11．（2022秋•东港区校级月考）已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC平分线，∠B＝30°，∠DAE＝15°，（1）求∠BAE的度数；（2）求∠C的度数．【分析】（1）由AD是BC边上的高可得出∠ADE＝90°，在△ADE中利用三角形内角和可求出∠AED的度数，再利用三角形外角的性质即可求出∠BAE的度数；（2）根据角平分线的定义可得出∠BAC的度数，在△ABC中利用三角形内角和可求出∠C的度数．【解答】解：（1）∵AD是BC边上的高，∴∠ADE＝90°．∵∠ADE+∠AED+∠DAE＝180°，∴∠AED＝180°﹣∠ADE﹣∠DAE＝180°﹣90°﹣15°＝75°．∵∠B+∠BAE＝∠AED，∴∠BAE＝∠AED﹣∠B＝75°﹣30°＝45°．（2）∵AE是∠BAC平分线，∴∠BAC＝2∠BAE＝2×45°＝90°．∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣90°﹣30°＝60°．【点评】本题考查了三角形内角和定理以及三角形外角的性质，解题的关键是：（1）在△ADE中利用三角形内角和求出∠AED的度数；（2）利用角平分线的定义求出∠BAC的度数．12．（2022秋•香洲区校级月考）△ABC中，∠C＝80°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）若点P在边AB上，且∠α＝50°，如图1，则∠1+∠2＝；（2）若点P在边AB上运动，如图2所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为．（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图3，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由【分析】（1）连接CP，根据三角形外角性质，即可得到∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠ECP+∠EPC，再根据∠1+∠2＝∠ACB+∠DPE进行计算即可；（2）连接CP，根据三角形外角性质，即可得到∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠ECP+∠EPC，再根据∠1+∠2＝∠ACB+∠DPE进行计算即可得到∠α、∠1、∠2之间的关系；（3）根据三角形外角性质，即可得到∠1＝∠C+∠CMD，∠CMD＝∠2+∠α，进而得到∠1＝∠C+∠2+∠α，据此可得∠α、∠1、∠2之间的关系．【解答】解：（1）如图1，连接CP，∵∠1是△CDP的外角，∴∠1＝∠DCP+∠DPC，同理可得，∠2＝∠ECP+∠EPC，∴∠1+∠2＝∠ACB+∠DPE＝80°+50°＝130°，故答案为：130°；（2）如图，连接CP，∵∠1是△CDP的外角，∴∠1＝∠DCP+∠DPC，同理可得，∠2＝∠ECP+∠EPC，∴∠1+∠2＝∠ACB+∠DPE＝80°+∠α，故答案为：∠1+∠2＝80°+∠α；（3）∠1＝80°+∠2+∠α，理由如下：如图3，∵在△CDM中，∠1＝∠C+∠CMD，在△EMP中，∠CMD＝∠2+∠α，∴∠1＝∠C+∠2+∠α，即∠1＝80°+∠2+∠α．【点评】本题主要考查了三角形外角性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．13．（2021秋•仙桃校级月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠BAC＝80°，∠B＝60°，求∠AEC的度数．【分析】根据三角形的内角和定理求出∠C，再根据直角三角形两锐角互余求出∠DAC，然后根据角平分线的定义求出∠DAE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：∵∠BAC＝80°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°，∵AD⊥BC，∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣40°＝50°，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠DAC＝×50°＝25°，∴∠AEC＝∠DAE+∠ADE＝25°+90°＝115°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的角平分线和高线的定义，解题的关键是学会用分类的思想思考问题，属于中考常考题型．14．（2020秋•官渡区校级月考）如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE是△ABC的一条角平分线，若∠B＝42°，∠C＝70°，求∠AEC和∠DAE的度数．【分析】由三角形内角和定理可求得∠BAC的度数，在Rt△ADC中，可求得∠DAC的度数，AE是角平分线，有∠EAC＝∠BAC，故∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC．【解答】解：∵∠B＝42°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝68°，∵AE是角平分线，∴∠EAC＝∠BAC＝34°．∵AD是高，∠C＝70°，∴∠DAC＝90°﹣∠C＝20°，∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝34°﹣20°＝14°，∠AEC＝90°﹣14°＝76°．【点评】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，解答的关键是熟练掌握三角形的内角和定理．四．三角形的外角性质（共10小题）15．（2022春•云龙区校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝∠ADB；③∠ADC+∠ABD＝90°；④，其中正确的结论有．【分析】根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF＝2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，根据三角形外角性质得出∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠EAC＝∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．【解答】解：①∵AD平分∠EAC，∴∠EAC＝2∠EAD，∵∠ABC＝∠ACB，∴∠EAD＝∠ABC，∴AD∥BC，故①正确；②∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，∴∠ACB＝2∠ADB，故②错误；③在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，∵CD平分△ABC的外角∠ACF，∴∠ACD＝∠DCF，∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD，∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，∴∠ADC+∠ABD＝90°，故③正确；④∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∠DCF＝∠ADC，∵∠ADC+∠ABD＝90°，∵∠DCF＝90°﹣∠ABC＝∠DBC+∠BDC，∴∠BDC＝90°﹣2∠DBC，∴∠ADB＝∠DBC＝45°﹣∠BDC，故④正确；故答案为：①③④．【点评】此题考查了三角形外角性质，平行线的判定与性质，主要考查学生的推理能力，有一定的难度．16．（2022秋•游仙区校级月考）如图，D是△ABC内一点，连接AD、BD、CD，P是∠BDC的角平分线的反向延长线上的一点，连接BP，∠ABP＝2∠PBD，△ABC和△ACD的外角平分线相交于点Q，若∠Q ＝45°，∠BDC＝4∠ABD，则∠P的度数为°．【分析】设∠PBD＝α，表示出∠BDE＝6α，于是∠P＝5α，由∠Q＝45°可推出∠BAC+∠ACD＝90°，根据∠BDC＝∠ABD+∠BAC+∠ACD求得α的值，进一步得出结果．【解答】解：如图，设PD的延长线交BC于E，设∠PBD＝α，则∠ABP＝2α，∴∠ABD＝∠ABP+∠PBD＝3α，∴∠BDC＝4∠ABD＝12α，∵DE平分∠BDC，∴∠BDE＝＝6α，∴∠P＝∠BDE﹣∠PBD＝6α﹣α＝5α，在△ACQ中，∠QAC+∠ACQ＝180°﹣∠Q＝135°，∵AQ平分∠FAC，CQ平分∠ACG，∴∠FAC＝2∠QAC，∠ACG＝2∠ACQ，∴∠FAC+∠ACG＝2（∠QAC+∠ACQ）＝270°，∴∠BAC+∠ACD＝180°﹣∠FAC+180°﹣∠ACG＝90°，∵∠BDC＝∠ABD+∠BAC+∠ACD，∴12α＝3α+90°，∴α＝10°，∴∠P＝5α＝50°，故答案为：50．【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理及其推论等知识，解决问题的关键是设未知数，寻找角之间的数量关系．17．（2021•惠济区校级开学）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC＝90°+，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线∴∴又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A∴∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论：．【分析】（1）根据提供的信息，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠O与∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC与∠A的关系；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC与∠OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．【解答】解：（1）探究2结论：∠BOC＝∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACD，又∵∠ACD是△ABC的一外角，∴∠ACD＝∠A+∠ABC，∴∠2＝（∠A+∠ABC）＝∠A+∠1，∵∠2是△BOC的一外角，∴∠BOC＝∠2﹣∠1＝∠A+∠1﹣∠1＝∠A；（2）探究3：∠OBC＝（∠A+∠ACB），∠OCB＝（∠A+∠ABC），∠BOC＝180°﹣∠0BC﹣∠OCB，＝180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC），＝180°﹣∠A﹣（∠A+∠ABC+∠ACB），结论∠BOC＝90°﹣∠A．【点评】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键，读懂题目提供的信息，然后利用提供信息的思路也很重要．18．（2021秋•回民区校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，点E在BD上，点F在CA的延长线上，EF∥AD．（1）求∠BAF的度数．（2）求∠F的度数．【分析】（1）根据外角的性质即可得到结论；（2）根据角平分线的定义得到∠DAC＝BAC＝35°，根据平行线的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠BAF＝∠B+∠C，∵∠B＝40°，∠C＝70°，∴∠BAF＝110°；（2）∵∠BAF＝110°，∴∠BAC＝70°，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAC＝BAC＝35°，∵EF∥AD，∴∠F＝∠DAC＝35°．【点评】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．19．（2020秋•顺昌县月考）如图，已知：点P是△ABC内一点．（1）求证：∠BPC＞∠A；（2）若PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，∠A＝40°，求∠P的度数．【分析】（1）延长BP交AC于D，根据△PDC外角的性质知∠BPC＞∠1；根据△ABD外角的性质知∠1＞∠A，所以易证∠BPC＞∠A．（2）由三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB＝140°，由角平分线和三角形内角和定理即可得出结果．【解答】（1）证明：延长BP交AC于D，如图所示：∵∠BPC是△CDP的一个外角，∠1是△ABD的一个外角，∴∠BPC＞∠1，∠1＞∠A，∴∠BPC＞∠A；（2）在△ABC中，∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣40°＝140°，∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，在△ABC中，∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×140°＝110°．【点评】此题主要考查了三角形的外角性质、三角形内角和定理、三角形的角平分线定义；熟练掌握三角形的外角性质和三角形内角和定理是解决问题的关键．20．（2022秋•威县校级月考）综合与探究：【情境引入】（1）如图1，BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，说明∠D＝90°+∠A的理由．【深入探究】（2）①如图2，BD，CD分别是△ABC的两个外角∠EBC，∠FCB的平分线，∠D与∠A之间的等量关系是；②如图3，BD，CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，BD，CD交于点D，探究∠D与∠A之间的等量关系，并说明理由．【拓展应用】（3）请用以上结论解决下列问题：如图4，在△ABC中，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，M，N，Q 分别在DB，DC，BC的延长线上，BE，CE分别平分∠MBC，∠BCN，BF，CF分别平分∠EBC，∠ECQ．若∠A＝80°，则∠F的度数是．【分析】（1）利用角平分线的定义得出∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB），再利用三角形内角和定理即可求解；（2）①利用三角形内角和定理可得∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，利用角平分线的定义可得∠EBD＝∠DBC，∠BCD＝∠DCF，从而得到∠A﹣2（180°﹣∠D）＝﹣180°，化简即可求解；②利用三角形的外角性质可得∠DCE＝∠DBC+∠D，∠A+2∠DBC＝2∠DCE，从而得到∠A+2∠DBC＝2∠DBC+2∠D，化简即可求解；（3）由（1）知：∠D＝90°+∠A，即可求出∠A，利用三角形内角和定理可得∠MBC+∠NCB，再利用角平分线的性质可得∠CBE+∠BCE，利用三角形内角和定理可得∠E，再由（2）②可知∠F＝∠E，求解即可．【解答】解：（1）∵BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB），∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠1+∠2+∠D＝180°，∴∠D＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），∴∠D＝90°+∠A；（2）①∠D与∠A之间的等量关系是：∠D＝90°﹣∠A，理由如下：∵BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线，∴∠EBD＝∠DBC，∠BCD＝∠DCF，∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠ABC＝180°﹣2∠DBC，∠ACB＝180°﹣2∠DCB，∴∠A+180°﹣2∠DBC+180°﹣2∠DCB＝180°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠D，∴∠A﹣2（∠DBC+∠DCB）＝﹣180°，∴∠A﹣2（180°﹣∠D）＝﹣180°，∴∠A+2∠D＝180°，∴∠D＝90°﹣∠A，故答案为：∠D＝90°﹣∠A；②∠D与∠A之间的等量关系是：∠D＝∠A，理由如下：∵BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，∵∠DCE＝∠DBC+∠D，∠A+2∠DBC＝2∠DCE，∴∠A+2∠DBC＝2∠DBC+2∠D，∴∠A＝2∠D，∴∠D＝∠A；（3）由（1）知：∠D＝90°+∠A，∵∠A＝80°，∴∠D＝130°，∴∠DBC+∠DCB＝50°，∴∠MBC+∠NCB＝360°﹣50°＝310°，∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，∴∠CBE+∠BCE＝（∠MBC+∠NCB）＝155°，∴∠E＝180°﹣155°＝25°．由（2）②知：∠F＝∠E，∴∠F＝∠E＝12.5°，故答案为：12.5°．【点评】本题考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟记三角形外角性质，内角和定理，角平分线的定义．21．（2021秋•信丰县校级月考）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．【分析】要求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数，只要求出∠D+∠1+∠2的度数，利用三角形外角性质得，∠1＝∠A+∠E，∠2＝∠B+∠C；在△DOF中，∠D+∠1+∠2＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠D+∠1+∠2＝180°．【解答】解：∵∠1是△AEF的外角，∴∠1＝∠A+∠E．∵∠2是△BOC的外角，∴∠2＝∠B+∠C．在△DOF中，∠D+∠1+∠2＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠D+∠1+∠2＝180°．【点评】考查三角形外角性质与内角和定理．将∠A+∠B+∠C+∠D+∠E拼凑在一个三角形中是解题的关键．22．（2020秋•兴义市校级月考）（1）如图1，这是一个五角星ABCDE，你能计算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数吗？为什么？（必须写推理过程）（2）如图2，如果点B向右移动到AC上，那么还能求出∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E的大小吗？若能结果是多少？（可不写推理过程）（3）如图，当点B向右移动到AC的另一侧时，上面的结论还成立吗？（4）如图4，当点B、E移动到∠CAD的内部时，结论又如何？根据图3或图4，说明你计算的理由．【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠C＝∠1，∠B+∠D＝∠2，然后利用三角形的内角和定理列式即可得解；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠D＝∠1，在△BCE中，利用三角形的内角和列式计算即可得解；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠C＝∠1，∠B+∠D＝∠2，然后利用三角形的内角和定理列式即可得解；（4）延长CE与AD相交，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠C＝∠1，∠B+∠E＝∠2，然后利用三角形的内角和定理列式即可得解．【解答】解：（1）如图，由三角形的外角性质，∠A+∠C＝∠1，∠B+∠D＝∠2，∵∠1+∠2+∠E＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；（2）如图，由三角形的外角性质，∠A+∠D＝∠1，∵∠1+∠DBE+∠C+∠E＝180°，∴∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E＝180°；（3）如图，由三角形的外角性质，∠A+∠C＝∠1，∠B+∠D＝∠2，∵∠1+∠2+∠E＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；（4）如图，延长CE与AD相交，由三角形的外角性质，∠A+∠C＝∠1，∠B+∠E＝∠2，∵∠1+∠2+∠D＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形内角和定理，比较简单，关键在于准确识图，理清图中各角度之间的联系与转化．23．（2022秋•冷水滩区校级月考）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC＝90°+∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A．（1）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．（2）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）（3）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）【分析】（1）根据角平分线的定义表示出∠OBC，∠OCD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ACD和∠OCD，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理即可得解；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠DBC和∠BCE，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；（3）根据四边形内角和等于360°求出∠ABC+∠BCD，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后利用三角形内角和定理列式整理即可得解．【解答】解：（1）探究2结论：∠BOC＝∠A．理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCD＝∠ACD，又∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD＝∠A+∠ABC，∴∠OCD＝（∠A+∠ABC）＝∠A+∠ABC＝∠A+∠OBC，又∵∠OCD是△BOC的一个外角，∴∠BOC＝∠OCD﹣∠OBC＝∠A+∠OBC﹣∠OBC＝∠A；（2）探究3：结论∠BOC＝90°﹣∠A．根据三角形的外角性质，∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，∵O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，∴∠OBC＝∠DBC，∠OCB＝∠BCE，∴∠OBC+∠OCB＝（∠DBC+∠BCE）＝（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC），∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∴∠OBC+∠OCB＝90°+∠A，在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；（3）拓展：结论∠BOC＝（∠A+∠D）．在四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD＝（360°﹣∠A﹣∠D），∵O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠BCD，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠BCD）＝（360°﹣∠A﹣∠D），在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D）＝（∠A+∠D），即∠BOC＝（∠A+∠D）．【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．24．（2023•东兴区校级二模）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠PBC+∠PCB，进而求出∠BPC即可解决问题；（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°﹣∠A，求出∠E＝∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°；③∠Q＝2∠E；④∠E＝2∠Q；分别列出方程，求解即可．【解答】（1）解：∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝（180°+∠A）＝90°+∠A∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；（3）延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝∠ABC+∠MBC＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；③∠Q＝2∠E，则90°﹣∠A＝∠A，解得∠A＝60°；④∠E＝2∠Q，则∠A＝2（90°﹣∠A），解得∠A＝120°．综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．五．多边形内角与外角（共6小题）25．（2021秋•盖州市校级月考）如果一个多边形的内角和等于1800°，则这个多边形是边形；如果一个n边形每一个内角都是135°，则n＝；如果一个n边形每一个外角都是36°，则n ＝．【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．【解答】解：这个多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°＝1800°，解得：n＝12，则这个多边形是12．如果一个n边形每一个内角都是135°，∴每一个外角＝45°，则n＝＝8，如果一个n边形每一个外角都是36°，则n＝＝10，故答案为：十二，8，10．【点评】此题考查了多边形的内角和定理．注意多边形的内角和为：（n﹣2）×180°．26．（2021秋•河东区校级期末）如图，AD，CE是△ABC的两条高，它们相交于点P，已知∠BAC的度数为α，∠BCA的度数为β，则∠APC的度数是．【分析】利用三角形的内角和定理和三角形的外角性质解决问题即可．【解答】解：∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣（α+β），∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣[180°﹣（α+β）]＝α+β﹣90°，∴∠APC＝∠AEC+∠BAD＝α+β故填α+β．【点评】主要考查了三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件，同时考查了四边形内角和定理．垂直和直角总是联系在一起．27．（2021秋•仙桃校级月考）如图，在五边形ABCDE中，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC．（1）五边形ABCDE的内角和为度；（2）若∠C＝100°，∠D＝75°，∠E＝135°，求∠P的度数．【分析】（1）根据多边形内角和公式求出即可；（2）求出∠EAB+∠ABC，根据角平分线定义求出∠PAB+∠PBA，即可求出答案．【解答】解：（1）五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，故答案为：540；（2）∵在五边形ABCDE中，∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E＝540°，∠C＝100°，∠D＝75°，∠E＝135°，∴∠EAB+∠ABC＝230°，∵AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，∴∠PAB＝∠EAB，∠PBA＝∠ABC，∴∠PAB+∠PBA＝115°，∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝65°．【点评】本题考查了多边形的内角和外角，能熟记多边形的内角和定理是解此题的关键．28．（2022秋•礼县月考）小明计算一个多边形的内角和时误把一个外角加进去了，得其和为2620°．（1）求这个多加的外角的度数；（2）求这个多边形的边数．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°可知，多边形的内角和是180°的倍数，然后求出多边形的边数以及多加的外角的度数即可得解．【解答】解：设多边形的边数为n，多加的外角度数为α，则（n﹣2）•180°＝2620°﹣α，∵2620°＝14×180°+100°，内角和应是180°的倍数，∴小明多加的一个外角为100°，∴这是14+2＝16边形的内角和．故这个多加的外角的度数为100°，这个多边形的边数是16．【点评】本题考查了多边形的内角和公式，根据多边形的内角和公式判断出多边形的内角和公式是180°的倍数是解题的关键．29．（2020秋•夏津县校级月考）如图，AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线．（1）判断∠AOB与∠COD有怎样的数量关系，为什么？（2）若∠AOD＝∠BOC，AB、CD有怎样的位置关系，为什么？【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠1＝DAB，∠2＝ABC，∠3＝ADC，∠4＝BCD，根据四边形的内角和即可得到结论；（2）由（1）证得∠AOB+∠COD＝180°，得到∠AOD+∠BOC＝180°，根据角平分线的定义得到∠BAD+∠ADC＝180°，由平行线的判定定理即可得到结论．【解答】解：（1）∠AOB+∠COD＝180°，理由：∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线，∴∠1＝DAB，∠2＝ABC，∠3＝ADC，∠4＝BCD，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝（∠DAB+∠ABC+∠ADC+∠BCD）＝＝180°，∴∠AOB+∠COD＝360°﹣∠1﹣∠2﹣∠3﹣∠4＝180°；（2）AB∥CD；理由：由（1）证得∠AOB+∠COD＝180°，∴∠AOD+∠BOC＝180°，∵∠AOD＝∠BOC，∴∠AOD＝90°，∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线，∴∠OAD+∠ADO＝（∠BAD+∠ADC）＝90°，∴∠BAD+∠ADC＝180°，∴AB∥CD．【点评】本题考查了多边形的内角和外角，平行线的判定，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．30．（2019秋•广丰区校级月考）请你参与下面探究过程，完成所提出的问题．（1）探究1：如图1，P是△ABC的内角∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点，若∠A＝70°，则∠BPC＝度；（2）探究2：如图2，P是△ABC的外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BP和CP的交点，求∠BPC与∠A的数量关系？并说明理由．（3）拓展：如图3，P是四边形ABCD的外角∠EBC与∠BCF的平分线BP和CP的交点，设∠A+∠D ＝α．①直接写出∠BPC与α的数量关系；②根据α的值的情况，判断△BPC的形状（按角分类）．。
初中数学三角形的高、中线和角平分线同步练习题5套(含答案)
三角形的高、中线和角平分线同步练习题5套（含答案）（一）1．填空题：(1)从三角形一个顶点向它的对边画______，以______和______为端点的线段叫做三角形这边上的高．如图，若CD 是△ABC 中AB 边上的高，则∠ADC ______∠BDC ＝______，C 点到对边AB 的距离是______的长．(2)连结三角形的一个顶点和它______的______叫做三角形这边上的中线． 如右图，若BE 是△ABC 中AC 边上的中线，则AE ______.______21EC (3)三角形一个角的______与这个角的对边相交，以这个角的______和______为端点的线段叫做三角形的角平分线．一个角的平分线与三角形的角平分线的区别是________________________________ ______________________________________．如图，若AD 是△ABC 的角平分线，则∠BAD ______∠CAD ＝21______或∠BAC ＝2______＝2______． 2．已知：△GEF ，分别画出此三角形的高GH ，中线EM ，角平分线FN ．3．(1)分别画出△ABC 的三条高AD 、BE 、CF ．(∠A 为锐角) (∠A 为直角) (∠A 为钝角)(2)这三条高AD 、BE 、CF 所在的直线有怎样的位置关系?4．(1)分别画出△ABC 的三条中线AD 、BE 、CF ．(2)这三条中线AD 、BE 、CF 有怎样的位置关系?(3)设中线AD与BE相交于M点，分别量一量线段BM和ME、线段AM和MD的长，从中你能发现什么结论?5．(1)分别画出△ABC的三条角平分线AD、BE、CF.(2)这三条角平分线AD、BE、CF有怎样的位置关系?(3)设△ABC的角平分线BE、CF交于N点，请量一量点N到△ABC三边的距离，从中你能发现什么结论?（一）参考答案1．(1)垂线，顶点、垂足，＝，90°，高CD的长．(2)所对的边的中点、线段，＝，AC(3)平分线，顶点、交点，一个角的平分线是射线，而三角形的角平分线是线段．＝，∠BAC，∠BAD，∠DAC2．略．3．(1)略，(2)三条高所在直线交于一点．4．(1)略，(2)三条中线交于一点，(3)BM＝2ME．5．(1)略，(2)三条角平分线交于一点，(3)点N到△ABC三边的距离相等．三角形的高、中线与角平分线（二）一.选择题:1.△ABC中，AB=AC=4，BC=a,则a的取值范围是( )A.a＞0 B.0＜a＜4 C.4＜a＜8 D.0＜a＜82.△ABC中，CA=CB，D为BA中点，P为直线CD上的任一点，那么PA与PB的大小关系是( ) A.PA ＞PB B.PA＜PB C.PA=PB D.不能确定3.△ABC中，AB=7，AC=5，则中线AD之长的范围是( )A.5＜AD＜7B.1＜AD＜6C.2＜AD＜12D.2＜AD＜54.△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上中线AP=12，则AB，AC关系为( )A.AB＞ACB.AB=ACC.AB＜ACD.无法确定5.三条线段a,b,c长度均为整数且a=3,b=5.则以a,b,c为边的三角形共有( )A.4个B.5个C.6个D.7个6.一个三角形中，下列说法正确的是( )A.至少有一个内角不小于90°B.至少一个内角不大于30°C. 至少一个内角不小于60°D. 至少一个内角不大于45°7.△ABC中，∠A=40°,高BD和CE交于O，则∠COD为( )A.40°或140°B. 50°或130°C. 40°D. 50°8.已知，如图1，△ABC中，∠B＝∠DAC，则∠BAC和∠ADC的关系是( )A.∠BAC＜∠ADCB.∠BAC＝∠ADCC.∠BAC＞∠ADCD.不能确定9.在△ABC中，已知∠A＋∠C＝2∠B，∠C－∠A＝80°，则∠C的度数是( )A.60°B.80°C.100°D.120°10.如图2，∠B＝∠C，则∠ADC与∠AEB的关系是( )A.∠ADC＞∠AEBB.∠ADC＝∠AEBC.∠ADC＜∠AEBD.不能确定二、填空题:1.△ABC中，∠A-∠B=10°,2∠C-3∠B=25°,则∠A= .2.等腰三角形周长为21cm,一中线将周长分成的两部分差为3cm,则这个三角形三边长为________.3.点A、B关于直线l对称，点C、D也关于l对称，AC、BD交于O，则O点在上.4.△ABC周长为36，AB=AC,AD⊥BC于D，△ABD周长为30cm,则AD= .5.等腰三角形一腰上的高与另一腰夹角为45°,则顶角为 .6.三角形三边的长为15、20、25，则三条高的比为 .7.若三角形三边长为3、2a-1、8，则a的取值范围是 .8.如果等腰三角形两外角比为1∶4则顶角为 . 9.等腰三角形两边比为1∶2,周长为50，则腰长为 . 10.等腰三角形底边长为20，腰上的高为16.则腰长为 . 三、解答题:1.△ABC 中AB=AC ，D 在AC 上，且AD=BD=BC.求△ABC 的三内角度数.2.如图，AC=BD ，AD ⊥AC ，BD ⊥BC ，求证AD=BC.3.CD 为Rt △ABC 斜边的中线 V ，DE ⊥AC 于E ，BC=1，AC=3.求△CED 的周长.4. 如图，AD 为△ABC 的中线，∠ADB 的平分线交AB 于E ，∠ADC 的平分线交AC 于E,求证BE+CF ＞EF.5.△A BC 中，AD ⊥BC 交边BC 于D.(1)若∠A=90° 求证：AD+BC ＞AB+AC(2)若∠A ＞90°,(1)中的结论仍然成立吗？若不成立，请举反例，若成立，请给出证明 6.如图，将一张长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在点D ′、C ′的位置,ED ′ 的延长线与BC 交于点G ，若∠EFG ＝50°，求∠1、∠2的度数.（二）参考答案一、选择：DCBBB CABCB 二、填空：(1).55° (2).(8,8,5)或(6,6,9) (3).l (4).12 (5).45°或135° (6).20∶15∶12 (7).3＜a ＜6 (8).140° (9).20 (10).350三.解答：1.设∠A=x AD=DB=BCAB=AC ∴∠ABD=x ∠BDC=2x ∠ABC=∠C=2x ∠DBC=x ∴5x=180° x=36° ∴∠A=36°∠C=72° ∠ABC=72°2.连DC ，∠DAC=∠DBC=90° AC=BD DC=DC ∴Rt △DAC ≌△CBD (HL) ∴AD=BC.3.∵∠ACB=90° BC=1 AC=3 ∴AB=2 ∠A=∠ACD=30°C D=1 DE=21CE=23 周长为2334.延长ED 至G ，使ED=DG ，连GC ，GF DE 平分∠BDA ，DF 平分∠ADC ∴∠EDF=90°,ED=DG ∴EF=FG ，△BED ≌△CGD ∴BE=GC ；GC+CF ＞GF.∴BE+CF ＞EF.5.(1)∵∠A=90°∴AB2+AC2=BC2AB ·AC=AD ·BC.(AB+AC)2=AB2+AC2+2AB ·AC=BC2+2AD ·BC ＜BC2+2AD ·BC+AD2=(BC+AD)2∴AD+BC ＞AB+AC. (2)若∠A ＞90°,上述结论仍成立.证∵∠A ＞90°,作AE ⊥AB 交BC 于E ，则AD 为Rt △BAE 斜边上的高 由(1)∴AD+BE ＞AB+AE ① 在△AE C 中 AE+EC ＞AC ②；①+② AD+BE+EC+AE ＞AB+AC+AE ∴AD+BC ＞AB+AC 6、80°，100°三角形的高、中线与角平分线（三）一、选择题1.一定在三角形内部的线段是( )A.锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线B.钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线C.任意三角形的一条中线、两条角平分线、三条高D.直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线2.如图,△ABC 中,点E 是BC 上的一点,EC=2BE,BD 是边AC 上的中线,若S △ABC =12,则S △ADF -S △BEF =( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题3.空调外机安装在墙壁上时,一般都会按如图所示的方法固定在墙壁上,这种方法应用的数学知识是三角形的 .4.如图所示,∠BAD=45°,AE=4 cm.(1)如果AD 是△ABC 的角平分线,那么∠DAC= ;(2)如果AE=CE,那么线段BE 是△ABC 的 ,AC 的长为 ; (3)如果AF 是△ABC 的高,那么图中以AF 为高的三角形有 个.5.如图,在△ABC中,AD是△ABC边BC上的中线,CE是△ACD边AD上的中线,F是EC的中点.若S△BFC=1,则S△ABC= .三、解答题6.如图,已知AD、AE分别是△ABC的高和中线,AB=9 cm,AC=12 cm,BC=15 cm,∠BAC=90°.试求:(1)△ABE的面积;(2)AD的长度;(3)△A CE与△ABE的周长的差.7.在△ABC中,AB=AC,AC边上的中线BD把△ABC的周长分为24和18两部分,求三角形的三边长.（三）参考答案1.答案 A A项,锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线一定在三角形内部,故本选项正确;B项,钝角三角形的三条高有两条在三角形的外部,故本选项错误;C项,任意三角形的一条中线、两条角平分线都在三角形内部,但三条高不一定都在三角形内部,故本选项错误;D项,直角三角形的三条高有两条是直角边,不在三角形内部,故本选项错误.故选A.2.答案B∵S△ABC=12,EC=2BE,点D是AC的中点,∴S△ABE=S△ABC=4,S△ABD=S△ABC=6,∴S△ADF-S△BEF=S△ABD-S△ABE=6-4=2.故选B.3.答案稳定性解析题中方法应用的数学知识是三角形的稳定性.4.答案(1)45°(2)中线;8 cm (3)6解析(1)∵AD是△ABC的角平分线,∴∠DAC=∠BAD=45°.(2)∵AE=CE,∴线段BE是△ABC的中线,AC=2AE=2×4=8(cm).(3)以AF为高的三角形有△ABD、△ABF、△ABC、△ADF、△ADC、△AFC,共6个. 5.答案 4解析如图,连接BE.∵点D、E分别为BC、AD的中点,∴S△ABD=S△ACD=S△ABC,S△BDE=S△ABD=S△ABC,S△CDE=S△ACD=S△ABC,∴S△BCE=S△BDE+S△CDE=S△ABC+S△ABC=S△ABC,∵点F是CE的中点,∴S△BEF=S△BFC=S△BCE=×S△ABC=S△ABC,∵S△BFC=1,∴S△ABC=4.6.解析(1)∵△ABC是直角三角形,∠BAC=90°,AB=9 cm,AC=12 cm,∴S△ABC=AB·AC=×9×12=54(cm2).∵AE是边BC上的中线,∴BE=EC,∴BE·AD=EC·AD,即S△ABE=S△AEC,∴S△ABE=S△ABC=27 cm2.∴△ABE的面积是27 cm2. (2)∵∠BAC=90°,AD是边BC上的高,∴AB·AC=BC·AD,∴AD===(cm),即AD的长度为 cm.(3)∵AE为BC边上的中线,∴BE=CE,∴△ACE的周长-△ABE的周长=AC+AE+CE-(AB+BE+AE)=AC-AB=12-9=3(cm),即△ACE与△ABE的周长的差是3 cm.7.解析如图,设AB=AC=a,BC=b,则有或解得或这时三角形的三边长分别为16,16,10或12,12,18,它们都能构成三角形.所以三角形的三边长分别为16,16,10或12,12,18.三角形的高、中线与角平分线（四）一、选择题1、已知三角形的两边分别为4和9，则此三角形的第三边可能是（）A． 4 B． 5 C．9 D． 132、下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是( )A．5 cm、7 cm、2 cm B．7 cm、13 cm、10 cmC．5 cm、7 cm、11 cm D．5 cm、10 cm、13 cm3、如图，已知BE，CF分别为△ABC的两条高，BE和CF相交于点H，若∠BAC=50°，则∠BHC为（）A．115°B．120°C．125°D．130°4、下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（）A．2、3、4 B．1、2、3 C．3、4、5 D．4、5、65、若△ABC内一点O到三角形三条边的距离相等，则O为△ABC（）的交点．A．角平分线B．高线C．中线D．边的中垂线6、如图，在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH=∠ABE+∠C其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④7、下列各组数可能是一个三角形的边长的是（）A．1，2，4 B．4，5，9 C．4，6，8 D．5，5，118、如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（）A．AB=2BF B．∠ACE=∠ACB C．AE=BE D．CD⊥BE9、一个三角形中直角的个数最多有（）Ａ．3Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．010、下列图形不具有稳定性的是（）11、下列各组中的三条线段能组成三角形的是（）Ａ．3，4，8 Ｂ．5，6，11Ｃ．5，6，10 Ｄ．4，4，812、如图所示，其中三角形的个数是（）Ａ．2个Ｂ．3个Ｃ．4个Ｄ．5个13、下列图形不具有稳定性的是（）A．正方形B．等腰三角形C．直角三角形D．钝角三角形14、如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，分别交BC，AB，BC于点C，D，E，则下列说法中不正确的是（）A．AC是△ABC和△ABE的高B．DE，DC都是△BCD的高C．DE是△DBE和△ABE的高D．AD，CD都是△ACD的高二、填空题15、在△ABC是AB＝5，AC＝3，BC边的中线的取值范围是。
2023-2024学年秋季八上数学课时练《11.1.2 三角形的高、中线与角平分线》03(含答案)
第十一章三角形11.1与三角形有关的线段第2课时三角形的高、中线与角平分线一、选择题1．如图，△ABC中AB边上的高线是（）A．线段DA B．线段CA C．线段CD D．线段BD2．如图，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，则图中可以作为三角形“高”的线段有（）A．1条B．2条C．3条D．5条3．如图，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，那么下列说法中不正确的是（）A．DE是△BCD的中线B．BD是△ABC的中线C．AD＝DC，BE＝EC D．AD＝EC，DC＝BE4．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA边上的点，且AE，BF，CD交于点O，它们将△ABC分成6个面积相等的三角形，则AE，BF，CD一定都是△ABC的（）A．高B．中线C．角平分线D．三边的垂直平分线5．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式错误的是（）A ．AB ＝2BF B ．∠ACE ＝12∠ACB C ．AE ＝BE D ．CD ⊥BE6．如图，CO 是△ABC 的角平分线，过点B 作BD ∥AC 交CO 的延长线于点D ，若∠A ＝45°，∠AOD ＝80°，则∠CBD 的度数为（ ）A ．100°B ．110°C ．125°D ．135°7．如图，已知AD 是△ABC 的边BC 上的中线，CE 是△ADC 的边AD 上的中线，若△ABD 的面积为16 cm 2，则△ACE 的面积为（ ）A ．32 cm 2B ．16 cm 2C ．8 cm 2D ．4 cm 28．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12 cm 和21 cm 两部分，则这个等腰三角形底边的长为（ ）A ．17 cmB ．5 cmC ．5 cm 或17 cmD ．无法确定9．如图，∠ACB >90°，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，垂足分别为点D ，点E ，点F ，△ABC 中BC 边上的高是（ ）A．CF B．BE C．AD D．CD二、填空题10．已知在△ABC中，EC平分∠ACB，∠1＝∠2，若∠ACE＝23°，则∠EDC的度数为________．11．已知三角形的三边长分别为2，x-3，4，求x的取值范围．12．等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么它的底边为。
2022—2023学年人教版数学八年级上册三角形的高、中线与角平分线同步练习题含答案
2022—2023学年人教版数学八年级上册三角形的高、中线与角平分线同步练习题学校:___________姓名：___________班级：___________一、单选题1．如图，△ABC中BC边上的高和△AEC中AE边上的高分别是（）A．EF和CD B．BC和CD C．AB和CD D．AB和EF2．如图，ABC的面积是2，AD是ABC的中线，13AF AD=，12CE EF=，则CDE△的面积为（）A．29B．16C．23D．493．数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF，数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作S△ABC，小颖画的三角形面积记作S△DEF，那么你认为()A．S△ABC >S△DEF B．S△ABC <S△DEFC．S△ABC =S△DEF D．不能确定4．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积是8cm2，则阴影部分面积等于（）A ．2cm 2B ．1.5cm 2C ．1cm 2D ．0.5cm 25．如图，BD 是ABC 的边AC 上的中线，AE 是ABD △的边BD 上的中线，BF 是ABE △的边AE 上的中线，若ABC 的面积是32，则阴影部分的面积是（ ）A ．9B ．12C ．18D ．206．请你量一量如图ABC 中BC 边上的高的长度，下列最接近的是( )A ．0.5cmB ．0.7cmC ．1.5cmD ．2cm7．如图，已知D 、E 分别为△ABC 的边BC 、AC 的中点，连接AD 、DE ，AF 为△ADE 的中线．若四边形ABDF 的面积为10，则△ABC 的面积为（ ）A ．12B ．16C ．18D ．208．已知A ，B 两点在数轴上的位置如图所示，原点为O ，现A 点以2m/s 的速度向左运动，B 点以1m/s 的速度向左运动，若A ，B 两点同时出发，当OA ：OB ＝1：2时，用时为（ ）A ．2sB ．14sC ．73s 或1sD ．12s 或2s二、填空题 9．填空：（1）如图（1）,,AD BE CF 是ABC 的三条中线，则2AB =______，BD =______，12AE =______．（2）如图（2）,,AD BE CF 是ABC 的三条角平分线，则1∠=______，132∠=______，2ACB ∠=______．10．已知BD 、CE 是△ABC 的高，直线BD 、CE 相交所成的角有一个角为45︒，则BAC ∠等于______．11．如图，AC//BD ，OA ，OB 分别平分BAC ∠和ABD ∠，OE AB ⊥，垂足为E ，如果OE 5=，那么AC 与BD 的距离是________12．如图，在ABC 中，90,BAC AD ∠=︒是高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交AD 于点G ，交BE 于点H ，下面说法正确的是____________．△ABE △的面积等于BCE 的面积；△AFG AGF ∠=∠；△2FAG ACF ∠=∠；△CG 是ACD △的角平分线13．如图，AD 是△ABC 的中线，BE 是△ABD 的中线，EF ⊥BC 于点F．若24ABCS=，BD = 4 ，则EF 长为___________．14．若AD是△ABC的高，△BAD=70°，△CAD=20°，则△BAC的度数为_____．15．连结三角形的一个顶点和它________________的________叫做三角形这边上的中线．如图，若BE是ABC中AC边上的中线，则AE________12EC=________．16．如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面积为32π，则半圆的半径OA的长为__________．三、解答题17．如图，△ABE中，△E＝90°，AC是△BAE的角平分线.(1)若△B ＝40°，求△BAC 的度数；(2)若D 是BC 的中点，△ADC 的面积为16，AE ＝8，求BC 的长.18．如图，在ABC 中（AB BC >），2AC BC =，BC 边上的中线AD 把ABC 的周长分成60和40两部分，求AC 和AB 的长．19．在平面内，分别用3根、5根、6根……火柴棒首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下．问：(1)4根火柴棒能搭成三角形吗？(2)8根、12根火柴棒分别能搭成几种不同形状的三角形？并画出它们的示意图． 20．如图，在正方形网格中有一个ABC ，按要求进行作图（只用直尺）(1)画出将ABC向右平移6格，再向上平移3格后的DEF；(2)画出ABC中AC边上的高BH；(3)请在图中直接标记出3个使BCP的面积等于3的格点1P、2P、3P．参考答案：1．C【分析】根据三角形高的定义，△ABC中BC边上的高为从BC边相对的顶点A向BC边作的垂线段，△AEC中AE边上的高为从AE边相对的顶点C向AE边作的垂线段，观察图形，找出符合要求的线段即可．【详解】解：根据三角形高的定义可知，AB是△ABC中BC边上的高，CD是△AEC中AE 边上的高，故选C．【点睛】本题考查三角形高的定义：从三角形一个端点向它的对边作一条垂线，三角形顶点和它对边垂足之间的线段称三角形这条边上的高．2．A【分析】根据中线的性质即可求出S△ACD，然后根据等高时，面积之比等于底之比，即可依此求出S△CDF，S△CDE．【详解】解：△△ABC的面积是2，AD是△ABC的中线，△S△ACD＝12S△ABC＝1，△AF＝13 AD，△DF＝23AD，△S△CDF＝23S△ACD＝23×1＝23，△CE＝12EF，△CE＝13 CF△S△CDE＝13S△CDF＝13×23＝29，故选：A．【点睛】此题考查的是三角形的面积关系，掌握中线的性质和等高时，面积之比等于底之比是解决此题的关键．3．C【分析】在两个图形中分别作BC、EF边上的高，欲比较面积，由于底边相等，所以只需比较两条高即可．【详解】解：如图，过点A、D分别作AG△BC，DH△EF，垂足分别为G、H，在△ABG 和△DHE 中，AB =DE =5， △B =50°，△DEH =180°-130°=50°， △△B =△DEH ，△AGB =△DHE =90°， △△AGB △△DHE (AAS)， △AG =DH ． △BC =4，EF =4， △S △ABC =S △DEF ． 故选：C ．【点睛】要题考查全等三角形的判定和性质，等底等高两三角形面积相等．证明△AGB △△DHE 是解题的关键． 4．A【分析】先由D 为BC 中点，求出△ABD 和△ACD 面积，再由点E 为AD 中点求出△BCE 面积，再根据F 是CE 中点，知阴影部分面积等于△BCE 面积的一半，即可求解． 【详解】解：△D 是BC 中点，△ABC 的面积是8cm 2， △1=42ABD ACD ABC S S S ==△△△cm 2， △E 是AD 中点，△1=22ABE BDE ABD S S S ==△△△cm 2，1=22ACECDEACDS SS ==cm 2，△4CBE S =△cm 2， △F 为CE 中点， △1=22CBE S S =△阴影cm 2， 故选：A ．【点睛】本题考查了三角形面积的等积变换，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题关键．5．B【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可． 【详解】△BD 是ABC 的边AC 上的中线，△11321622ABD BCD ABC S S S ===⨯=△△，△AE 是ABD △的边BD 上的中线， △1116822ABEADEABDSSS ===⨯=， 又△BF 是ABE △的边AE 上的中线，则CF 是ACE 的边AE 上的中线， △118422BEFABFABESSS ===⨯=，182CEFACFADECEDACES SSSS =====，则4812BEFCEFS SS =+=+=阴影，故选：B ．【点睛】本题考查了中线的性质，清晰明确三角形之间的等量关系，进行等量代换是解题的关键． 6．D【分析】作出三角形的高，然后利用刻度尺量取即可． 【详解】解：如图所示，过点A 作AO △BC ，用刻度尺直接量得AO 更接近2cm ， 故选：D ．【点睛】题目主要考查利用刻度尺量取三角形高的长度，作出三角形的高是解题关键． 7．B【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积即可得到结论． 【详解】设AEF S x =△， △AF 为△ADE 的中线． △,2AEFADFADESSx Sx ===△E 分别为△ABC 的边AC 的中点，△2,4ADECDECDASSx Sx ===△D 分别为△ABC 的边BC 的中点， △4,8CDABDAABCSSx Sx ===△四边形ABDF 的面积=510FDABDAS Sx +==解得2x = △816ABCSx ==故选：B【点睛】本题考查了三角形的面积，熟练三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键． 8．C【分析】设A ，B 两点同时出发运动的时间为t s ，分类讨论△当A 点在O 点右侧时和△当A 点在O 点左侧时，分别用t 表示出OA 和OB ，再列出等式，解出t 即可． 【详解】设A ，B 两点同时出发运动的时间为t s ， 分类讨论△当A 点在O 点右侧时，即32t <时， 此时1OB t =+，32OA t =-， △OA ：OB =1：2 △(32)t -：(1)t +=1：2 解得：312t =<，符合题意； △当A 点在O 点左侧时，即32t >， 此时1OB t =+，23OA t =-， △OA ：OB =1：2 △(23)t -：(1)t +=1：2 解得：7332t =>，符合题意． 综上可知1t =或73t =时，OA ：OB =1：2 故选C ．【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题，利用分类讨论的思想是解答本题的关键． 9． AF 或BF CD AC 2∠ ABC ∠ 4∠【分析】（1）根据三角形的中线定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线可得E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 上的中点，进而得到答案．（2）根据角平分线定义，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线即可解答．【详解】解：（1）△CF 是AB 边上的中线，△AB ＝2AF ＝2BF ；△AD 是BC 边上的中线，△BD ＝CD ，△BE 是AC 边上的中线，△AE ＝12AC ，（2）△AD 是BAC ∠的角平分线，△12∠=∠ ，△BE 是ABC ∠的角平分线， △132∠=ABC ∠， △CF 是ACB ∠的角平分线，△2ACB ∠=4∠．故答案为：AF 或BF ；CD ；AC ；2∠；ABC ∠；4∠【点睛】此题主要考查了三角形的中线、角平分线，解题的关键是掌握三角形的中线及角平分线的定义．10．45°或135°【分析】分两种情况：（1）当△A 为锐角时，如图1，（2）当△A 为钝角时，如图2，根据三角形的内角和计算得出结果．【详解】解：分两种情况：（1）当△A 为锐角时，如图1，△△DOC ＝45°，△△EOD ＝135°，△BD 、CE 是△ABC 的高，△△AEC ＝△ADB ＝90°，△△EAO +△AEO +△AOE =180°=△DAO +△DOA +△ADO ，△△AEO +△EAD +△ADO +△EOD =360°△△A ＝360°−90°−90°−135°＝45°；（2）当△A 为钝角时，如图2，△△F ＝45°，△ADF ＝△AEF ＝90°，同理△DAE ＝360°−90°−90°−45°＝135°，△△BAC ＝△DAE ＝135°，则△BAC 的度数为45°或135°，故答案为：45°或135°．【点睛】本题考查了三角形的高和三角形的内角和，明确三角形内角和，三角形的高所构成了两个直角；本题是易错题，容易漏解，要分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行计算． 11．10【分析】过点O 作OM AC ⊥于M ，作ON BD ⊥于N ，利用平行线的性质可证得OM△BD ，进而可证得MN 为AC 和BD 的距离，根据角平分线的性质可知OE=OM=OE ，即可求得MN 的长度．【详解】解：如图，过点O 作OM AC ⊥于M ，作ON BD ⊥于N ．△OA 、OB 分别平分BAC ∠和ABD ∠，OE AB ⊥，△OM OE ON 5===，又 AC △BD ，OM AC ⊥，△OM BD ⊥，又ON BD ⊥，△M ，O ，N 三点共线，△ AC 与BD 之间的距离为MN=OM ON 10+=．故答案为：10．【点睛】本题考查求平行线间的距离、角平分线的性质、八个基本事实，熟练掌握角平分线的性质，作出AC 和BD 之间的距离是解答的关键．12．△△△△【分析】根据等底同高的三角形的面积相等即可判断△；根据直角三角形两锐角互余求出△ABC ＝△CAD ，根据三角形的外角性质即可推出△；根据直角三角形两锐角互余求出△BAD ＝△ACD ，根据角平分线定义即可判断△；根据三角形的角平分线的定义判断△即可．【详解】解：△BE 是中线，△AE ＝CE ，△△ABE 的面积＝△BCE 的面积（等底同高的三角形的面积相等），△正确；△CF 是角平分线，△△ACF ＝△BCF ，△AD 为高，△△ADC ＝90°，△△BAC ＝90°，△△ABC ＋△ACB ＝90°，△ACB ＋△CAD ＝90°，△△ABC ＝△CAD ，△△AFG ＝△ABC ＋△BCF ，△AGF ＝△CAD ＋△ACF ，△△AFG ＝△AGF ，△正确；△AD 为高，△△ADB ＝90°，△△BAC ＝90°，△△ABC ＋△ACB ＝90°，△ABC ＋△BAD ＝90°，△△ACB ＝△BAD ，△CF 是△ACB 的平分线，△△ACB ＝2△ACF ，△△BAD ＝2△ACF ，即△F AG ＝2△ACF ，△正确；△CF 是△ACB 的平分线，CF 交AD 于点G ，△CG 是△ACD 的角平分线，△正确；故答案为：△△△△．【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高线等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．13．3【分析】因为S △ABD =12S △ABC ，S △BDE =12S △ABD ；所以S △BDE =14S △ABC ，再根据三角形的面积公式求得即可．【详解】解：△AD 是△ABC 的中线，S △ABC =24，△S △ABD =12S △ABC =12，同理，BE 是△ABD 的中线，612BDE ABD SS ==，△S △BDE =12BD •EF ，△12BD •EF =6， 即1462EF ⨯⨯= △EF =3．故答案为：3．【点睛】此题考查了三角形的面积，三角形的中线特点，理解三角形高的定义，根据三角形的面积公式求解，是解题的关键．14．90°或50°【分析】分高AD 在△ABC 内部和外部两种情况讨论求解即可．【详解】解：△如图1，当高AD 在△ABC 的内部时，△BAC =△BAD +△CAD =70°+20°=90°；△如图2，当高AD 在△ABC 的外部时，△BAC =△BAD -△CAD =70°-20°=50°，综上所述，△BAC 的度数为90°或50°．故答案为：90°或50°．【点睛】本题考查了三角形的高线，难点在于要分情况讨论．15． 所对边的中点 线段 ＝ AC【分析】根据三角形中线的定义，即可求解．【详解】解：连结三角形的一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形这边上的中线． △BE 是ABC 中AC 边上的中线， △12AE EC AC == 故答案为：所对边的中点；线段；＝；AC ；【点睛】本题主要考查了三角形的中线，熟练掌握连结三角形的一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形这边上的中线是解题的关键．16．3.【分析】如图，连接,,,OC OD CD 证明//,CD AB 再证明32OCD S S π=阴影扇形=，从而可以列方程求解半径．【详解】解：如图，连接,,,OC OD CD点C 、D 分别是半圆AOB 上的三等分点，60,AOC COD DOB ∴∠=∠=∠=︒,OC OD =COD ∴为等边三角形，60,OCD ∴∠=︒,AOC DCO ∴∠=∠,COD BCD S S ∴=32OCD S S π∴=阴影扇形=， 2603,3602OA ππ•∴= 解得：3,OA = （负根舍去），故答案为：3.【点睛】本题考查的圆的基本性质，弧，弦，圆心角之间的关系，平行线的判定与性质，扇形面积的计算，掌握以上知识是解题的关键．17．(1)25BAC ∠=︒；(2)8BC =【分析】（1）先利用互余计算出△BAE ＝50°，再利用角平分线的定义得到△BAC ＝12△BAE ＝25°；（2）先根据三角形面积公式得出DC ，利用D 是BC 的中点得到BC 即可．（1）解：△△B ＝40°，△E ＝90°，△△BAE ＝90°﹣40°＝50°，△AC 是△BAE 的角平分线，△△BAC ＝12△BAE ＝25°；（2）△S △ADC ＝12DC •AE ， △12×DC ×8＝16，△D 是BC 的中点，△BC ＝2CD ＝8.【点睛】本题考查了角平分线的定义，线段的中点，角平分线的定义的正确运用是解题的关键．18．48AC =，28AB =【分析】由题意可得60AC CD +=，40AB BD +=，由中线的性质得244AC BC CD BD ===，故可求得48AC =，即可求得28AB =．【详解】由题意知100AC CD BD AB +++=，60AC CD +=，40AB BD +=△2AC BC =，D 为BC 中点△244AC BC CD BD === △156044AC CD AC AC AC +=+== 即460485AC =⨯= 则BC =24，CD =BD =12则40401228AB BD =-=-=且28＞24符合题意．【点睛】本题考查了中线的性质，中线是三角形中从某边的中点连向对角的顶点的线段．19．(1)4根火柴棒不能搭成三角形(2)8根火柴棒能搭成一种三角形，12根火柴棒能搭成三种不同的三角形，画图见解析【分析】（1）把4分成3个数只能分成1，1，2三个数，故4根火柴棒不能搭成三角形；（2）利用三角形三边关系定理求解即可．（1）解：△把4分成3个数只能分成1，1，2三个数，而1+1＝2，△4根火柴棒不能搭成三角形；（2）△ 8根火柴棒能搭成一种三角形，示意图如下：△12根火柴棒能搭成三种不同的三角形，其边长分别为：(4，4，4)，(5，5，2)，(3，4，5)，示意图如下：【点睛】本题主要考查了三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．20．(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）按要求分别画出平移A、B、C三点后的点D、E、F，并依次连接，即得到△ABC 平移后的△DEF；（2）按要求画即可；（3）作三格点1P、2P、3P，使CP1=CP3=BP2=3即可．（1）平移后的△DEF如下图所示：（2）所画的高BH如下图所示：（3）由于CP1=CP3=BP2=3，则此三点1P、2P、3P满足题意．【点睛】本题考查了作图：作图形的平移，画三角形边上的高、三角形的面积，学会利用数形结合是解题的关键．。
七下数学每日一练：三角形的角平分线、中线和高练习题及答案_2020年综合题版
（1） 求△ABD与△BEC的面积；
（2） △AOE与△BOD的面积相等吗？为什么？
考点： 三角形的角平分线、中线和高;三角形的面积;
答案
~~第3题~~ (2019泰兴.七下期中)
中，三个内角的平分线交于点O，过点O作
，交边AB于点D．
（1） 如图1，
①若∠ABC=40°，则∠AOC=，∠ADO=；
，垂足为 ，求
的度数；
=
AD是
的平分线，
，
.
（1） 如图2，若点 是 延长线上的一点，
、
的平分线交于点 ，求 的度数.
考点： 三角形的角平分线、中线和高;三角形内角和定理;
答案
~~第2题~~ (2019苏州.七下期末) 如图，点D与点E分别是△ABC的边长BC、AC的中点，△ABC的面积是20cm .
③ 过点B画BF⊥AC，垂足为F
（2） 填空： ① 点B、C两点的距离是线段的长度，AD的长度表示点A到直线的距离.
② 点B到直线AC的距离是线段的长度.
③点E到直线AB的距离是.
考点： 两点间的距离;点到直线的距离;三角形的角平分线、中线和高;
答案
2020年 七 下 数 学 ： 图 形 的 性 质 _三 角 形 _三 角 形 的 角 平 分 线 、 中 线 和 高 练 习 题 答 案
1.答案： 2.答案： 3.答案：
4.答案： 5|+|2x﹣y|=0，试分别求出1秒钟后，线段OA、OB的长．
（2） 如图2，设∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线相交于点P．问：点A、B在运动的过程中，∠P的大小是
否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．
（3） 如图3，延长BA至E，在∠ABO的内部作射线BF交x轴于点C，若∠EAC、∠FCA、∠ABC的平分线相交于点G
三角形的高、中线与角平分线专题(含答案)
11.1.2三角形的高、中线与角平分线一、选择题1.以下说法正确的有() ①三角形的中线、角平分线都是射线; ②三角形的三条高所在直线相交于一点; ③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点; ④三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分; ⑤直角三角形的三条高相交于直角顶点．A.5个B.4个C.3个D.2个2.如图所示，CD、CE、CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是()A.BA=2BFB.∠ACE=12∠ACBC.AE=BED.CD⊥AB3.画△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是()A. B. C. D.4.如图，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，则图中可以作为三角形“高”的线段有()A.1条B.2条C.3条D.5条5.若AD是△ABC的中线，下列结论错误的是()A.AB=BCB.BD=DCC.AD平分BCD.BC=2DC6.如图，△ABC中AB边上的高线是()A.线段DAB.线段CAC.线段CDD.线段BD7.如图，AD，BE，CF依次是△ABC的高、中线和角平分线，下列各式中错误的是()A.AE=CEB.∠ADC=90∘C.∠CAD=∠CBED.∠ACB=2∠ACF8.如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，S△ABC=4cm2，则S△BEF等于()A.2cm2B.1cm2C.12cm2D.14cm29.如果AD是△ABC的中线，那么下列结论： ①BD=12CB; ②AB=AC; ③S△ABD=S△ACD.其中一定成立的有()A.3个B.2个C.1个D.0个10.如图，已知P是△ABC的重心，连接AP并延长交BC于点D，若△ABC的面积为20，则△ADC的面积为()A.10B.8C.6D.511.填空：(1)如图(1)，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则AB=2，BD=，AE=12．(2)如图(2)，AD，BE，CF是△ABC的三条角平分线，则∠1=∠，∠3=12，∠ACB=2．12.如图，AB⊥BD于点B，AC⊥CD于点C，且AC与BD交于点E.已知AE=5，DE=2，CD=95，则AB的长为．13.若AD是△ABC的高，∠BAD=70∘，∠CAD=20∘，则∠BAC的度数为．14.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE//BC，交AC于点E.若∠AED=50°，则∠D的度数为______．15.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，EC⊥BC交AB于点E，CF⊥AB，垂足为点F，BG⊥AC，垂足为点G．(1)分别写出△ABC各条边上的高；(2)CF是哪几个三角形的高？16.如图，D是△ABC中BC边上的一点，DE//AC交AB于点E，若∠EDA=∠EAD，试说明AD是△ABC的角平分线．17.如图，在△ABC中，AB=2，BC=4.△ABC的高AD与CE的比是多少？(提示：利用三角形的面积公式．)18.如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90∘.试求：(1)AD的长;(2)△ABE的面积;(3)△ACE与△ABE的周长的差．19.如图，AD是△ABC的角平分线．DE // AC，DE交AB于点E，DF // AB，DF交AC于点F.图中∠1与∠2有什么关系？为什么？20.在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C均在小正方形的顶点上．(1)画出△ABC中BC边上的高AD;(2)画出△ABC中AC边上的中线BE;(3)直接写出△ABE的面积为．11.1.2三角形的高、中线与角平分线1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】C4.【答案】D5.【答案】A6.【答案】C7.【答案】C8.【答案】B9.【答案】B10.【答案】A11.【答案】AF或BFCDAC∠2∠ABC∠4或∠ACF12.【答案】9213.【答案】90∘或50∘14.【答案】25°15.【答案】解：(1)由题意，可得△ABC中，AB边上的高是CF，BC边上的高是AD，AC边上的高是BG；(2)∵CF⊥AB，垂足为点F，∴CF是△BCF，△BCE，△BCA，△FCE，△FCA，△ECA的高．16.【答案】解：∵DE//AC，∴∠ADE=∠CAD，∵∠EDA=∠EAD，∴∠CAD=∠EAD，∴AD是△ABC的角平分线．17.【答案】解：∵AD和CE分别是△ABC边BC和边AB上的高，∴S△ABC=12BC·AD=12AB·CE，即2AD=CE，．18.【答案】解：(1)∵∠BAC=90∘，AD是边BC上的高，∴12AB⋅AC=12BC⋅AD，∴AD=AB⋅AC BC=6×810=4.8(cm)，即AD的长为4.8cm．(2)∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90∘，AB=6cm，AC=8cm，∴S△ABC=12AB⋅AC=12×6×8=24(cm2).又∵AE是△ABC的中线，∴BE=EC，∴12BE⋅AD=12EC⋅AD，即S△ABE=S△AEC，∴S△ABE=12S△ABC=12(cm2)，∴△ABE的面积是12cm2．(3)∵AE为BC边上的中线，∴BE=CE，∴△ACE的周长−△ABE的周长=AC+AE+CE−(AB+BE+AE)=AC−AB=8−6=2(cm)，即△ACE与△ABE的周长的差是2cm．19.【答案】解：∠1=∠2．理由如下：因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠DAC.因为DE//AC，所以∠DAC=∠1.因为DF//AB，所以∠DAB=∠2．所以∠1=∠2．20.【答案】解：(1)如图所示，线段AD即为所求．(2)如图所示，线段BE即为所求．(3)4．。
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第一节三角形的高、中线与角平分线试题(含答案) (90)
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第一节三角形的高、中线与角平分线试题（含答案)如图所示，已知AD 是△ABC 的边BC 上的中线．（1）作出△ABD 的边BD 上的高．（2）若△ABC 的面积为10，求△ADC 的面积．（3）若△ABD 的面积为6，且BD 边上的高为3，求BC 的长．【答案】（1）如图所示见解析；（2）5；（3）8．【解析】【分析】（1）根据三角形中高的定义来作高线；（2）根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分即可求解；（3）先求出△ABC的面积，再根据三角形的面积公式求得即可．【详解】（1）如图所示：（2）∵AD是△ABC的边BC上的中线，△ABC的面积为10，∴△ADC 的面积=1△ABC的面积=5．2（3）∵AD是△ABC的边BC上的中线，△ABD的面积为6，∴△ABC的面积为12．∵BD边上的高为3，∴BC=12×2÷3=8．【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高．（1）理解三角形高的定义；（2）熟悉三角形中线的性质；（3）根据三角形的面积公式求解．92．在△ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把△ABC的周长分成6和12两部分，求三角形三边的长．【答案】三角形的三边长分别为8，8，2．它们都能构成三角形．【解析】【分析】结合题意画出图形，利用三角形的中线的定义，以及三角形的周长和三角形的三边关系求三角形三边的长.【详解】解：如图，设AB=AC=a，BC=b，则有a+12a=6且12a+b=12；或a+12a=12且12a+b=6，得到a=4，b=10或a=8，b=2，∵4+4<10不满足三角形两边之和大于第三边，应舍去．故三角形的三边长分别为8，8，2．它们都能构成三角形．【点睛】三角形的中线即三角形一个顶点与对边中点所连接的线段.93．如图，△ABC 是直角三角形，∠BAC=90°，AD 、AE 分别是△ABC 的高和中线，AB=3，AC=4，BC=5．求线段AD 的长和△ABE 的面积。
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三角形高中线角平分线专项练习30题（有答案）令狐采学1．如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F．（1）试说明∠BCD=∠ECD；（2）请找出图中所有与∠B相等的角（直接写出结果）．2．如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，（1）∠ABE=15°，∠BAD=35°，求∠BED的度数；（2）在△BED中作BD边上的高；（3）若△ABC的面积为60，BD=5，则点E到BC边的距离为多少？3．在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABD和△ADC的周长之差为4（AB＞AC），AB与AC的和为14，求AB和AC的长．4．如图△ABC中，∠A=20°，CD是∠BCA的平分线，△CDA 中，DE是CA边上的高，又有∠EDA=∠CDB，求∠B的大小．5．△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E．（1）∠B=30°，∠C=70°，求∠EAD的大小．（2）若∠B＜∠C，则2∠EAD与∠C﹣∠B是否相等？若相等，请说明理由．6．在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B=20°，∠C=60°，求∠CAD和∠DAE的度数．7．在△ABC中．（1）若∠A=60°，AB、AC边上的高CE、BD交于点O．求∠BOC 的度数．（如图）（2）若∠A为钝角，AB、AC边上的高CE、BD所在直线交于点O，画出图形，并用量角器量一量∠BAC+∠BOC=_________ °，再用你已学过的数学知识加以说明．（3）由（1）（2）可以得到，无论∠A为锐角还是钝角，总有∠BAC+∠BOC= _________ °．8．在△ABC中，已知∠ABC=60°，∠ACB=50°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点．求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．9．如图，△ACB中，∠ACB=90°，∠1=∠B．（1）试说明CD是△ABC的高；（2）如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD的长．10．如图，已知△ABC的高AD，角平分线AE，∠B=26°，∠ACD=56°，求∠AED的度数．11．如图，△ABC中，∠ABC=40°，∠C=60°，AD⊥BC于D，AE是∠BAC的平分线．（1）求∠DAE的度数；（2）指出AD是哪几个三角形的高．12．如图，在△ABC中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC 上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．13．如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=20°，AD为△ABC 的高，AE为角平分线（1）求∠EAD的度数；（2）寻找∠DAE与∠B、∠C的关系并说明理由．14．如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=40°，求∠ADB的度数．15．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，（1）若∠B=47°，∠C=73°，求∠DAE的度数．（2）若∠B=α°，∠C=β°（α＜β），求∠DAE的度数（用含α、β的代数式表示）16．如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠B=60°，∠C=45°，求∠ADB和∠ADC的度数．17．已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．18．如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．（1）．若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．（2）．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=（∠C﹣∠B）．（3）．如图（2）若将点A在AD 上移动到A´处，A´E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA´E，（2）中的结论还正确吗？为什么？19．如图，已知△ABC的周长为21cm，AB=6cm，BC边上中线AD=5cm，△ABD周长为15cm，求AC长．20．我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，如图，若△ABC 的三条内角平分线相交于点I，过I作DE⊥AI 分别交AB、AC于点D、E．（1）请你通过画图、度量，填写右上表（图画在草稿纸上，并尽量画准确）（2）从上表中你发现了∠BIC与∠BDI之间有何数量关系，请写出来，并说明其中的道理．∠BAC的度数40°60°90°120°∠BIC的度数∠BDI的度数21．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数．22．如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，填空：（1）BE=_________ =_________（2）∠BAD= _________ _________（3）∠AFB= _________ =90°（4）S△ABC= _________ S△ABE．23．如图，BM是△ABC的中线，AB=5cm，BC=3cm，那么△ABM 与△BCM的周长是差是多少？24．在△ABC中，AB=AC，AD是中线，△ABC的周长为34cm，△ABD的周长为30cm，求AD的长．25．如图，在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，三角形ABD的周长比三角形ACD的周长小5，你能求出AC与AB的边长的差吗？26．如图，在△ABC中，AC=AB，AD是BC边上的中线，则AD⊥BC，请说明理由．27．如图，∠BAD=∠CAD，则AD是△ABC的角平分线，对吗？说明理由．28．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，求AC的长．29．如图所示，AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线，已知DE=2cm，求BD，BE，BC的长．30．如图所示，AD是△ABC的中线，AB=6cm，AC=5cm，求△ABD 和△ADC的周长的差．参考答案：1．（1）∵∠B=70°，CD⊥AB于D，∴∠BCD=90°﹣70°=20°，在△ABC中，∵∠A=30°，∠B=70°，∴∠ACB=180°﹣30°﹣70°=80°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=∠ACB=40°，∴∠ECD=∠BCE﹣∠BCD=40°﹣20°=20°，∴∠BCD=∠ECD；（2）∵CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，∴∠CED=90°﹣∠ECD=90°﹣20°=70°，∠CDF=90°﹣∠ECD=90°﹣20°=70°，所以，与∠B相等的角有：∠CED和∠CDF．2．（1）∵∠BED是△ABE的一个外角，∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+35°=50°．（2）如图所示，EF即是△BED中BD边上的高．（3）∵AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，∴S△BED=S△ABC=×60=15；∵BD=5，∴EF=2S△BED÷BD=2×15÷5=6，即点E到BC边的距离为6．3．∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∴△ABD的周长﹣△ADC的周长=（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）=AB﹣AC=4，（2分）即AB﹣AC=4①，又AB+AC=14②，①+②得．2AB=18，解得AB=9，②﹣①得，2AC=10，解得AC=5，∴AB和AC的长分别为：AB=9，AC=5．4．∵DE是CA边上的高，∴∠DEA=∠DEC=90°，∵∠A=20°，∴∠EDA=90°﹣20°=70°，∵∠EDA=∠CDB，∴∠CDE=180°﹣70°×2=40°，在Rt△CDE中，∠DCE=90°﹣40°=50°，∵CD是∠BCA的平分线，∴∠BCA=2∠DCE=2×50°=100°，在△ABC中，∠B=180°﹣∠BCA﹣∠A=180°﹣100°﹣2 0°=60°．故答案为：605．（1）∵∠B=30°，∠C=70°∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=80°∵AE是角平分线，∴∠EAC=∠BAC=40°∵AD是高，∠C=70°∴∠DAC=90°﹣∠C=20°∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=40°﹣20°=20°；（2）由（1）知，∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=∠BAC ﹣（90°﹣∠C）①把∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C代入①，整理得∠EAD=∠C ﹣∠B，∴2∠EAD=∠C﹣∠B．6．∵AD是高，∠C=60°，∴∠CAD=90°﹣∠C=90°﹣60°=30°；∵∠B=20°，∠C=60°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣20°﹣60°=100°，∵AE是角平分线，∴∠CAE=∠BAC=×100°=50°，∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=50°﹣30°=20°．7．（1）∵BD、CE分别是边AC，AB上的高，∴∠ADB=∠BEC=90°，又∵∠BAC=60°，∴∠ABD=180°﹣∠ADB﹣∠A=180°﹣90°﹣60°=30∴∠BOC=∠EBD+∠BEO=90°+30°=120°；（2）如图所示：∠BAC+∠BOC=180°；理由如下：∵BD、CE分别是边AC，AB上的高，∴∠ADB=∠BEC=90°，∵∠ABD=180°﹣∠ADB﹣∠BAD=180°﹣90°﹣∠B =90°﹣∠BAD，∠O=180°﹣∠BEO﹣∠DBA=90°﹣∠DBA=90°﹣（﹣∠BAD）=∠BAD，∵∠BAC=180°﹣∠DAB，∴∠BAC=180°﹣∠O，∴∠BAC+∠O=180°；（3）由（1）（2）可得∠BAC+∠BOC=180°．8．∵BE是AC上的高，∴∠AEB=90°，∵∠ABC=60°，∠ACB=50°，∴∠A=180°﹣60°﹣50°=70°，∴∠ABE=180°﹣90°﹣70°=20°，∵CF是AB上的高，∴∠AFC=90°，∴∠ACF=180°﹣90°﹣70°=20°，∵∠ABE=20°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=60°﹣20°=40°，∵∠ACF=20°，∠ACB=50°，∴∠BCH=30°，∴∠BHC=180°﹣40°﹣30°=110°．9．（1）∵∠1+∠BCD=90°，∠1=∠B∴∠B+∠BCD=90°∴△BDC是直角三角形，即CD⊥AB，∴CD是△ABC的高；（2）∵∠ACB=∠CDB=90°∴S△ABC=AC•BC=AB•CD，∵AC=8，BC=6，AB=10，∴CD===10.∵∠B=26°，∠ACD=56°∴∠BAC=30°∵AE平分∠BAC∴∠BAE=15°∴∠AED=∠B+∠BAE=41°11．（1）∵AD⊥BC于D，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵∠ABC=40°，∠C=60°，∴∠BAD=50°，∠CAD=30°，∴∠BAC=50°+30°=80°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=40°，∴∠DAE=50°﹣40°=10°．（2）AD是△ABE、△ABD、△ABC、△AED、△AE C、△ADC的高．12．∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣66°﹣54°=60°．又∵BE是AC边上的高，所以∠AEB=90°，∴∠ABE=180°﹣∠BAC﹣∠AEB=180°﹣90°﹣60°=30°．同理，∠ACF=30°，∴∠BHC=∠BEC+∠ACF=90°+30°=120°．13．（1）∵在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠C﹣∠B=1 80°﹣20°﹣60°=100°，又∵AE为角平分线，∴∠EAB=∠BAC=50°，在直角△ABD中，∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°，∴∠EAD=∠EAB﹣∠BAD=50°﹣30°=20°；（2）根据（1）可以得到：∠EAB=∠BAC=（18﹣∠B﹣∠C）∠BAD=90°﹣∠B，则∠EAD=∠EAB﹣∠BAD=（180°﹣∠B﹣∠C）（90°﹣∠B）=（∠B﹣∠C）．14．∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，∴∠DAC=∠BAD=30°，∵CE是△ABC的高，∠BCE=40°，∴∠B=50°，∴∠ADB=180°﹣∠B﹣∠BAD=180°﹣30°﹣50°=100 15．（1）∵∠B=47°，∠C=73°，∴∠BAC=180°﹣47°﹣73°=60°，∵AD是△ABC的BC边上的高，∴∠BAD=90°﹣47°=43°，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE=∠BAC=30°，∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=43°﹣30°=13°；（2））∵∠B=α°，∠C=β°，∴∠BAC=180°﹣α°﹣β°，∵AD是△ABC的BC边上的高，∴∠BAD=90°﹣α°，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE=∠BAC=（180°﹣α°﹣β°），∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=90°﹣α°﹣（180°﹣α°﹣°），=90°﹣α°﹣90°+α°+β°，=（β﹣α）°16．∵∠B=60°，∠C=45°，∴∠BAC=180°﹣60°﹣45°=75°，∵AD为∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=37.5°，在△ABD中，∠ADB=180°﹣∠BAD﹣∠B=82.5°，则∠ADC=180°﹣∠ADB=97.5°．17．∵∠ACB=90°，∴∠1+∠3=90°， ∵CD ⊥AB ， ∴∠2+∠4=90°， 又∵BE 平分∠ABC ， ∴∠1=∠2， ∴∠3=∠4， ∵∠4=∠5， ∴∠3=∠5，即∠CFE=∠CEF ．18．（1）在△ABC 中，∠BAC=180°﹣∠B ﹣∠C=180°﹣50°﹣80°=50°； ∵AD 是角平分线， ∴∠DAC=∠BAC=25°；在△ADC 中，∠ADC=180°﹣∠C ﹣∠DAC=75°； 在△ADE 中，∠DAE=180°﹣∠ADC ﹣AED=15°． （2）∠DAE=180°﹣∠ADC ﹣AED=180°﹣∠ADC ﹣90°=90°﹣∠ADC=90°﹣（180°﹣∠C ﹣∠DAC ）=90°﹣（180°﹣∠C ﹣∠BAC ）=90°﹣[180°﹣∠C ﹣（180°﹣∠B ﹣∠C ）]=（∠C ﹣∠B ）． （3）（2）中的结论仍正确．∠A ′DE=∠B+∠BAD=∠B+∠BAC=∠B+（180°﹣∠B ﹣∠C ）=90°+∠B ﹣∠C ；在△DA ′E 中，∠DA ′E=180°﹣∠A ′ED ﹣∠A ′DE=180°﹣90°﹣（90°+∠B ﹣∠C ）=（∠C ﹣∠B ）． 19．∵AB=6cm ，AD=5cm ，△ABD 周长为15cm ， ∴BD=15﹣6﹣5=4cm ， ∵AD 是BC 边上的中线， ∴BC=8cm ，∵△ABC 的周长为21cm ， ∴AC=21﹣6﹣8=7cm ． 故AC 长为7cm ．20．（1）填写表格如下： ∠BAC 的度数 40° 60° 90° 120° ∠BIC 的度数 110° 120° 135°150°∠BDI 的度数 110° 120° 135°（2）∠BIC=∠BDI ，理由如下：∵△ABC 的三条内角平分线相交于点I ， ∴∠BIC=180°﹣（∠IBC+∠ICB ） =180°﹣（∠ABC+∠ACB ） =180°﹣（180°﹣∠BAC ） =90+∠BAC ； ∵AI 平分∠BAC ，∴∠DAI=∠DAE ． ∵DE ⊥AI 于I ，∴∠AID=90°．∴∠BDI=∠AID+∠DAI=90°+∠BAC ． ∴∠BIC=∠BDI ．21．∵∠A=50°，∠C=60° ∴∠ABC=180°﹣50°﹣60°=70°， 又∵AD 是高， ∴∠ADC=90°， ∴∠DAC=180°﹣90°﹣∠C=30°， ∵AE 、BF 是角平分线， ∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°， ∴∠DAE=∠DAC ﹣∠EAF=5°， ∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°， ∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°， ∴∠DAC=30°，∠BOA=120°． 故∠DAE=5°，∠BOA=120°． 22．（1）∵AE 是中线， ∴BE=CE=BC ， （2）∵AD 是角平分线， ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC ， （3）∵AF 是高， ∴∠AFB=∠AFC=90°，（4）S△ABC=，S△ABE=，∵BC=2BE，∴S△ABC=2S△ABE，故答案为CE，BC，∠CAD，∠BAC，∠AFC，2 23．∵BM是△ABC的中线，∴MA=MC，∴C△ABM﹣C△BCM=AB+BM+MA﹣BC﹣CM﹣BM =AB﹣BC=5﹣3=2cm．答：△ABM与△BCM的周长是差是2cm．24．方法1：由题意知：AB+AC+BC=34，AB+AD+BD =30，∵AB=AC，BD=BC，∴②×2得：2AB+2AD+BC=60③，③﹣①得：2AD=26，∴AD=13cm．方法2：∵AB=AC，D是中点，且AB+AC+BC=34，∴BD=BC，AB=（AB+AC），∴AB+BD=（AB+AC）+BC=（AB+AC+BC）=17cm（周长的一半）．∵AB+BD+AD=30cm，AD=30﹣17=13cm．25．能．由题意知：△ABD的周长=AB+BD+AD，△ACD的周长=AC+CD+AD，又因为AD是BC边上的中线，所以BD=CD．∵△ABD的周长比△ACD的周长小5，∴AC+CD+AD﹣（AB+BD+AD）=AC﹣AB=5．即AC与AB的边长的差为526．∵AD是BC边上的中线，∴BD=DC，∵AC=AB，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠ADB=∠ADC，∵∠ADB+∠ADC=180°，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴AD⊥BC．27．错误．因为AD虽然是线段，但不符合三角形角平分线定义这里射线AD是∠BAC的平分线．28．∵AD是BC边上的中线，∴D为BC的中点，CD=BD．∵△ADC的周长﹣△ABD的周长=5cm．∴AC﹣AB=5cm．又∵AB+AC=11cm，∴AC=8cm．即AC的长度是8cm．29．∵AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线，∴BD=CD=2DE=4cm，∴BE=BD+DE=6cm，∴BC=2BD=8cm．30．∵AD是△ABC中BC边上的中线，∴BD=DC=BC，∴△ABD和△ADC的周长的差=（AB+BC+AD）﹣AC+BC+AD）=AB﹣AC=1．。