习题分析与解答

ab
sin d
f dr
ab
1 2
mb2
W f fdr 42.4J ab
2-15：删除。
2-16 一质量为 10 kg 的质点，在力
(N)作用下，沿一直线运动。在 t=0 时，
质点在 m 处，其速度为 m/s。求这质点在以后任意时刻的速度和位置。
分析 这是在变力作用下的动力学问题．由于力是时间的函数,而加速度a＝dv/dt,这时,
(A) 子弹减少的动能转变为木块的动能
m
(B) 子弹-木块系统的机械能守恒 (C) 子弹动能的减少等于子弹克服木块阻力所作的功
习题 2-10 图
(D) 子弹克服木块阻力所作的功等于这一过程中产生的热
2-11 质量为 m 的物体放在质量为 M 的物体之上， M 置于倾角为 的斜面上，整个系 统处于静止，若所有接触面的摩擦系数均为 ，则斜面给物体 M 的摩擦力为
2-6 对质点组有以下几种说法： (1) 质点组总动量的改变与内力无关；
a B
(2) 质点组总动能的改变与内力无关； (3) 质点组机械能的改变与保守内力无关．
习题 2-5 图
下列对上述说法判断正确的是( C )
(A) 只有(1)是正确的
(B) (1)、(2)是正确的
(C) (1)、(3)是正确的
m
dv dt
(3)
根据始末条件对式(3)积分,有
t
dt
0
m F
1 2
vm
0
1
v2 vm2
1
dv
则
t mvm ln3
2F
又因式(3)中 m dv mvdv ,再利用始末条件对式(3)积分,有 dt dx
x
dx
m
0
F
1 2
vm
0
1
v2 vm2
1 dv
。
则
x mvm2 ln 4 0.144 mvm2
习题 2-9 图
D以及弹簧组成的系统，有( D )
(A) 动量守恒,机械能守恒
(B) 动量不守恒,机械能守恒
(C) 动量不守恒,机械能不守恒 (D) 动量守恒,机械能不一定守恒
2-10 如习题2-10图所示,子弹射入放在水平光滑地面上静止的木块后而穿出。以地面为
参考系，下列说法中正确的说法是( C )
(D) (2)、(3)是正确的
2-7 有两个倾角不同、高度相同、质量一样的斜面放在光滑的水平面上,斜面是光滑的,
有两个一样的物块分别从这两个斜面的顶点由静止开始滑下，则( D )
(A) 物块到达斜面底端时的动量相等
(B) 物块到达斜面底端时动能相等
(C) 物块和斜面(以及地球)组成的系统,机械能不守恒
2F 3
F
2-18 沿半球形碗的光滑的内面，质量为 m 的小球以角速度在一水平面内作匀速圆周运 动，如题图 2-18 所示。碗半径为 R，求小球作匀速圆周运动的水平面离碗底高度为多少
分析 维持钢球在水平面内作匀角速度转动时,必须使钢球受到一与向心加速度相对应 的力(向心力),而该力是由碗内壁对球的支持力FN 的分力来提供的,由于支持力FN 始终垂直 于碗内壁,所以支持力的大小和方向是随ω而变的．取图示Oxy 坐标,列出动力学方程,即可求
动力学方程就成为速度对时间的一阶微分方程,解此微分方程可得质点的速度v (t)；由速度的
定义v＝dx /dt,用积分的方法可求出质点的位置．
解 因加速度a＝dv/dt,在直线运动中,根据牛顿运动定律有
120t 40 m dv dt
依据质点运动的初始条件,即t0 ＝0 时v0 ＝ m·ｓ-1 ,运用分离变量法对上式积分,得
(D) 物块和斜面组成的系统水平方向上动量守恒
2-8 对功的概念有以下几种说法：
(1) 保守力作正功时,系统内相应的势能增加；
(2) 质点运动经一闭合路径,保守力对质点作的功为零；
(3) 作用力和反作用力大小相等、方向相反,所以两者所作功的代数和必为零．
下列上述说法中判断正确的是( C )
(A) (1)、(2)是正确的
（
）。
2-12 在合外力
的作用下，质量为 6kg 的物体沿 轴运动，若
时物体的状态为 ， ，则物体运动了 时其加速度大小为 a
O
（
），速度大小为（
）。
2-13 一质量为 m 的质点在力
从静止开始( )作直线运动，则当
的作用下（式中 t 为时刻）， 时质点的速率等于（ 0 ）。
2-14 质量
的物体，从静止开始沿固定的 圆弧轨道下
解钢球距碗底的高度．
解 取钢球为隔离体,其受力分析如图(b)所示．在图示坐标中列动力学方程
FNsin θ man mRω2sin θ
(1)
FN cosθ mg
(2)
且有
cosθ R h
(3)
R
由上述各式可解得钢球距碗底的高度为
h
R
g ω2
可见,h 随ω的变化而变化．
a
N
R
m
r
习题 2-18 图
解 小球在运动过程中受到重力P 和圆轨道对它的支持力FN ．取图(b)所示的自然坐标
系,由牛顿定律得
Ft
mgsin α
m dv dt
(1)
Fn
FN
mg cos α
m
mv2 R
(2)
由 v ds rdα ,得 dt rdα ,代入式(1),并根据小球从点A 运动到点C 的始末条件,进
dt dt
v
力是支持力FN 和重力的法向分量mgcosα．由此,可分别列出切向和法向的动力学方程Fｔ＝
mdv/dt和Fn＝man ．由于小球在滑动过程中加速度不是恒定的,因此,需应用积分求解,为使运
算简便,可转换积分变量． 倡该题也能应用以小球、圆弧与地球为系统的机械能守恒定律求
解小球的速度和角速度,方法比较简便．但它不能直接给出小球与圆弧表面之间的作用力．
(D) 它受到的合外力大小不变,其速率不断增加 2-5 习题2-5图所示，系统置于以a ＝1/4 g 的加速度上升的升降机
习题 2-4 图
内,A、B 两物体质量相同均为m，A所在的桌面是水平的,绳子和定滑轮质量均不计,若忽略滑
轮轴上和桌面上的摩擦,并不计空气阻力，则绳中张力为( A )
A
(A) 5/8mg (B) 1/2mg (C) mg (D) 2mg
方成正比,它能达到的最大速率是 vm。试计算从静止加速到 vm/2 所需时间以及所走过的路程。
分析 该题依然是运用动力学方程求解变力作用下的速度和位置的问题,求解方法与前
两题相似,只是在解题过程中必须设法求出阻力系数k．由于阻力Fr ＝kv2 ,且Fr又与恒力F 的
方向相反；故当阻力随速度增加至与恒力大小相等时,加速度为零,此时速度达到最大．因此,
习题 2-19 图
2-19 火车在平直轨道上以匀加速度 向前行驶。在车中用悬线挂一小球，悬线与竖直方 向成 角而静止，如图 2-19 所示，试分别以地面和车厢为参照系求 角。
分析 以地面为参照系，是惯性参照系，直接运动用牛顿第二定律；以车厢为参照系， 由于车厢加速运动，不是惯性参照系，因此不能直接运动牛顿第二定律。
以地面：小球受到重力和拉力的作用，其合力产生加速度 a
即：
G T ma
mg T cos; ma T sin
m2
a1
最终结果为 arctg a g
m1
m1
m2
习题 2-20 图
以车为参考系，小球相对于车厢静止，惯性力为 F，则惯性力、拉力以及重力的合力习平题衡2-21 图
T cos mg ，结果同样是 arctg a
b
习题 2-14 图
滑，如题图 2-14 所示。已知圆弧轨道半径为 R 4m ，物体滑至轨道末端 b 时的
速率为
，求摩擦力的功。
分析 根据动能定理，在小球下落过程中，摩擦力与重力在轨道切线方向的 分力做功，轨道法向分量与轨道支持力不做功。
mg sin
ab
f
dr
1 2
m
2 b
1 2
m
2 a
mgr
(A) 不得小于 μgR
(B) 必须等于 μgR
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(C) 不得大于 μgR
(D) 还应由汽车的质量m 决定
2-4 如习题2-4图所示，一物体沿固定圆弧形光滑轨道由静止下滑,在下
滑过程中，则( B )
(A) 它的加速度方向永远指向圆心,其速率保持不变
(B) 它受到的轨道的作用力的大小不断增加
(C) 它受到的合外力大小变化,方向永远指向圆心
根据速度最大值可求出阻力系数来．但在求摩托车所走路程时,需对变量作变换．
解 设摩托车沿x 轴正方向运动,在牵引力F和阻力Fr 同时作用下,由牛顿定律有
F kv2 m dv
(1)
dt
当加速度a ＝dv/dt ＝0 时,摩托车的速率最大,因此可得
k＝F/vm2
(2)
由式(1)和式(2)可得
F1
v2 vm2
v
dv
t 12.0t 4.0dt
v0
0
v＝++
又因v＝dx /dt,并由质点运动的初始条件：t0 ＝0 时x0 ＝ m,对上式分离变量后积分,有
x dx
t 6.0 4.0t 6.0t 2 dt
x0
0
x ＝++ +
2-17 质量为 m 的摩托车,在恒定的牵引力 F 的作用下工作,它所受的阻力与其速率的平
第二章 质点动力学习题解答
2-1 如题图2-1中(a)图所示,质量为m 的物体用平行于斜面的细线联结置于光滑的斜面 上,若斜面向左方作加速运动,当物体刚脱离斜面时,它的加速度的大小为( D )
(A) gsin θ (B) gcos θ (C) gtan θ (D) gcot θ 2-2 用水平力FN把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止．当FN逐渐增大时,物体 所受的静摩擦力Ff的大小( A ) (A) 不为零,但保持不变 (B) 随FN成正比地增大 (C) 开始随FN增大,达到某一最大值后,就保持不变 (D) 无法确定 2-3 一段路面水平的公路,转弯处轨道半径为R,汽车轮胎与路面间的摩擦因数为μ,要使 汽车不至于发生侧向打滑,汽车在该处的行驶速率( C )
F ma T sin
g
2-20 如图 2-20 所示，绳从圆柱体中 m1 中的小孔内穿过，已知绳与圆柱体有摩擦，且 圆柱体相对于绳子向下滑动的加速度为 a。求 m2 对地的加速度及绳子的张力。
分析：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度相等，其对于 m1 则为牵连加速度，又知 m1 对绳子的相对加速度为 a，故可求得 m1 对地加速度。 解：设 m1 对地加速度为 a2，绳的加速度为 a1，则：
(B) (2)、(3)是正确的
(C) 只有(2)是正确的(D) 只有(3)是正确的
2-9 如图所示,质量分别为m1和m2的物体A和B，置于光滑
桌面上，A和B之间连有一轻弹簧。另有质量为m1和m2的物体C
和D分别置于物体A与B之上，且物体A和C、B和D之间的摩擦因
数均不为零。首先用外力沿水平方向相向推压A和B，使弹簧被 压缩，然后撤掉外力，则在A和B弹开的过程中，对A、B、C、
行积分,有
v
vdv
α
rgsin αdα
v0
90o
得
v 2rgcosα
则小球在点C 的角速度为
ω v 2gcosα / r r
由式(2)得
FN
m mv2 r
mgcosα
3mg cos α
由此可得小球对圆轨道的作用力为
负号表示F′N 与en 反向．
FN FN 3mgcos α
2-23 一架以 ×102 m·s-1 的速率水平飞行的飞机,与一只身长为 m、质量为 kg 的飞鸟相 碰．设碰撞后飞鸟的尸体与飞机具有同样的速度,而原来飞鸟对于地面的速率甚小,可以忽略 不计．试估计飞鸟对飞机的冲击力(碰撞时间可用飞鸟身长被飞机速率相除来估算)．根据本 题的计算结果,你对于高速运动的物体(如飞机、汽车)与通常情况下不足以引起危害的物体 (如飞鸟、小石子)相碰后会产生什么后果的问题有些什么体会
a2 a1 a
①
又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力 f 在数值上等于绳的张力 T ，由牛顿定律，
有
m2 g T m2a1
②
T m1g m1a2
③
联立①、②、③式，得
a2
(m2
m1 )g m1 m2
m2a
f T m1m2 (2g a) m1 m2
2-21 如图 2-21 所示，升降机以向上的加速度 a1 运动，升降机内有一轻定滑轮。质量分 别为 m1 和 m2 的两物体，由绕过定滑轮的轻绳连接,如图所示。若 m1>m2，求两物体相对升 降机的加速度和绳的张力。
m1 m2
m1 m2
2-22 一质量为m 的小球最初位于如图2-22(a)所示的A 点,然后沿半径为r的光滑圆轨道 ADCB下滑．试求小球到达点C时的角速度和对圆轨道的作用力．
分析 该题可由牛顿第二定律求解．在取自然坐标的情况下,沿圆弧方向的加速度就是
切向加速度aｔ,与其相对应的外力Fｔ是重力的切向分量mgsinα,而与法向加速度an相对应的外
分析 m1 向下运动，相对于地面 的加速度为升降机加速度与相对于升 降机的加速度矢量和，m2 向上运动。 分别列出动力学方程，联立求解。
(a)
(b)
习题 2-22 图
解： m1： m1g T m1a a1
m2：T m2 g m2 a a1
上两式联立： a m1 m2 a1 g ，T 2m1m2 a1 g