第二章-4边际分布
概率论第二章知识点
第二章知识点：1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）：若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<则称X 服从12,x x 处参数为p 的两点分布。
两点分布的概率分布：12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<两点分布的期望：()E X p =两点分布的方差：()(1)D X p p =-（2）二项分布： 若一个随机变量X 的概率分布由式{}(1),0,1,...,.k k n k n P x k C p p k n -==-=给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)). 两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=二项分布的期望：()E X np =二项分布的方差：()(1)D X np p =-（3）泊松分布：若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...!kP X k e k k λλλ-==>=则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X~P (λ)泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...!kP X k e k k λλλ-==>=泊松分布的期望：()E X λ=泊松分布的方差：()D X λ=4.连续型随机变量：如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有(){}()xF x P X x f t dt -∞=≤=⎰，则称X 为连续型随机变量，称()f x 为X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。
5.常用的连续型分布： （1）均匀分布：若连续型随机变量X 的概率密度为则称X 在区间（a,b ）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)均匀分布的概率密度： 均匀分布的期望：()2a bE X +=均匀分布的方差：2()()12b a D X -=（2）指数分布：若连续型随机变量X 的概率密度为00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩则称X 服从参数为λ的指数分布，记为 X~e (λ)指数分布的概率密度：00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(b x a ab x f ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(bx a ab x f指数分布的期望：1()E X λ=指数分布的方差：21()D X λ=（3）正态分布：若连续型随机变量X 的概率密度为22()21()x f x ex μσ--=-∞<<+∞则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布，记为X~N(μ,2σ)正态分布的概率密度：22()21()x f x ex μσ--=-∞<<+∞正态分布的期望：()E X μ=正态分布的方差：2()D X σ=（4）标准正态分布：20,1μσ==2222()()x t xx ex e dt ϕφ---∞=⎰标准正态分布表的使用： （1）0()1()x x x φφ<=--（2）~(0,1){}{}{}{}()()X N P a x b P a x b P a x b P a x b b a φφ<≤=≤≤=≤<=<<=-（3）2~(,),~(0,1),X X N Y N μμσσ-=故(){}{}()X x x F x P X x P μμμφσσσ---=≤=≤={}{}()()a b b a P a X b P Y μμμμφφσσσσ----<≤=≤≤=-定理1： 设X~N(μ,2σ),则~(0,1)X Y N μσ-=6.随机变量的分布函数：设X 是一个随机变量，称(){}F x P X x =≤为X 的分布函数。
概率论与数理统计正态分布4-3二维正态分布课件
统计决策
基于二维正态分布，可以制定统 计决策规则，例如置信区间和预 测区间的确定。
在金融领域的应用
1 2 3
资产定价
二维正态分布可以用于资产定价模型，如期权定 价模型，以模拟两个相关资产的价格变动。
风险管理
在金融领域，二维正态分布可用于评估投资组合 的风险，例如计算投资组合的VaR值（风险价 值）。
例如，对于二维正态分布的均值向量，可以通过样本数据的均值向量进行检验， 判断其与理论值是否存在显著差异。
非参数检验
非参数检验是在总体分布形式未知或认为总体分布形式与理论分布形式存在较大差异的情况下，利用 样本数据对总体分布进行检验的方法。在二维正态分布的情境下，非参数检验通常包括核密度估计、 散点图和多维距离等方法。
特性
分布函数具有连续性、非负性和归一性等特性，能够完整描述随机向量的概率 分布。
03
二维正态分布的应用
在统计学中的应用
参数估计
二维正态分布可以用于估计两个 变量的联合概率分布，从而对参 数进行估计，如线性回归中的参 数估计。
假设检验
在统计分析中，二维正态分布可 以用于检验两个变量之间是否存 在某种关系，例如相关性检验或 因果关系检验。
金融数据分析
二维正态分布可以用于分析金融数据，例如股票 价格和交易量的关系。
在物理和工领域的应用
信号处理
在通信和雷达信号处理中，二维正态分布可用于 描述信号的功率谱密度。
地震学
在地震学中，二维正态分布可用于描述地震事件 的时空分布。
图像处理
在图像处理中，二维正态分布可用于描述图像的 像素强度分布。
边缘分布的特性
总结词
边缘分布是指将二维正态分布的其中一个随机变量固定，得到的另一个随机变量 的分布。
概率论与数理统计课件3-2边际分布和条件分布
fY ( y )
f ( x , y )d x
y 1 d x ln(1 y ), 0 y 1, 0 1 x 0, 其它.
x
y
f X Y ( x y) d x fY X ( y x ) d y
由连续型随机变量条件密度函数定义可得：
f ( x , y ) fY ( y ) f X Y ( x y ) f X ( x ) f Y X ( y x )
说明 联合分布、边际分布、条件分布的关系如下
注意：这个例子告诉我们在直接求Y 的分布有困难时， 有时借助条件分布即可克服困难.
5.连续型随机变量的条件分布
条件密度函数
f ( x, y ) f X Y ( x y) ; fY ( y ) f ( x, y ) fY X ( y x) f X ( x)
条件分布函数
FX Y ( x y ) FY X ( y x )
j
i
Y y j ) pi j .
xi x
给定X xi 条件下 Y 的条件分布函数为 F ( y xi ) P (Y y X xi )
yj y
P(Y y
X xi ) p j i ；
yj y
例1
Y
0 1 2
Pi
已知 ( X , Y ) 具有联合分布律:
X 的边际密度函数为 ： Y 的边际密度函数为 ：
注意1： 由联合分布可以求出边际分布.
但由边际分布一般无法求出联合分布.
所以联合分布包含更多的信息.
注意2： 二维正态分布的边际分布是一维正态： 若 (X, Y) N ( )，
测度论基础知识
4、独立同分布下的中心 极限定理
P 208 例4.1.5 P 209 2、 4(1)、 13 P 217 2、 4、 7、 13 P 225 10、 14、 19、 20 P 237 1、 9、 15
测度论基础知识
1、集合
集合：按照某种规定而 能识别的一些具体对象 或事物的总体. 通常用A,B,C,…表示.
4、De Morgan公式：
( A B) A B , ( A B) A B
c c c c c c
(A ) A
c c
对于集合序列
1、对集合序列 { An，n 1}，称 An为{ An }的
k 1 n k
上极限集, 记为lim An或 lim sup An ,即
1、设随机变量 X的密度函数为 1 | x | p( x ) e , x 2 2X与| X | 是否独立？ 1X与| X | 是否不相关？
2、设二维随机变量 ( X,Y )的密度函数为 1 p( x,y ) 1 ( x,y ) 2 ( x,y ) 2 其中1 ( x,y)和 2 ( x,y)都是二维正态密度函数 , 且它们 1 1 对应的二维随机变量的 相关系数为 和 .它们的 3 3 边际密度函数所对应的 随机变量的数学期望都 是 0，
n
lim An lim sup An An n
n
n
k 1 n k
2、对集合序列 { An，n 1}，称 An为{ An }的
k 1 n k
下极限集, 记为lim An或 lim inf An ,即
n n
lim An lim inf An An
32 边际分布与条件分布精品文档
设二维离散型随机变量 , 的概率分布为
p x i, y j p iji,j 1 ,2 ,
对于固定的 ，j 若 pyj0，则称 p x iyjp p x i , y jyjp p .ijji 1 ,2 ,
ey, 0xy； y
f(x,y)0,
其它 .
求 fX(x),fY(y).
x
解： (1) 当x0时 ,fX(x)0;
O
x
当x0时，
fX(x)f(x,y)dy x f(x,y)dy
eydy ex . x
从而
ex, x0;
fX(x)
0,
其它 .
yx
x
§2.10 二维随机变量的边缘分布 盐城工学院概率论与数理统计课题组
( 2 ) 当y0时 , fY(x)0;
y
当y0时，
y
fY(y)f(x,y)பைடு நூலகம்x y eydx yey.
0
O
从而
yey, y0;
fY(y)0,
其它 .
yx
y
x
盐城工学院概率论与数理统计课题组
212 12
这里二元1,2,1,2,为常数，10,20,1
正态分布密度函数,求出它的两个边际分布。
解：fx
f
x,ydy
x1,y2
1
1
e dv 212
u22ruvv2
1
2 2 1 12
f (x)
d dx
F
(x)
f(x,y)dy.
§2.10 二维随机变量的边缘分布 盐城工学院概率论与数理统计课题组
边际分布
fη ( y) = ∫
+∞
−∞
− 1 f (x, y)dx = e 2πσ2
( y−µ2 )2 2σ22
− ∞ < y < +∞
即
η ~ N(µ2 ,σ )
2 2
因而二维正态分布N(µ1，µ2，σ12,，σ22，ρ)的两个 边际概率密度都是一维正态分布，分别为N(µ1，σ12) 和N(µ2，σ22)，且不依赖于参数ρ，也即，如果ρ1≠ρ2， 则两个二维正态分布：N (µ1，µ2，σ12，σ22 ，ρ1)、 N(µ1，µ2，σ12，σ22 ，ρ2)是不相同的。 但由上例知它们有完全相同的两个边际概率密度， 由此可知，由边际分布不能唯一确定联合分布。 事实上，二维随机变量(ξ，η)的联合分布的确含 有比边际分布更多的内容，因而对单个随机变量ξ和η 的研究并不能代替对二维随机变量(ξ，η)整体的研究。
0 1
p
i•
η的分布
5 9 4 9
j
p•
5 ⋅ 9 5 ⋅ 9 5 9
5 9 4 9
4 ⋅ 9 4 ⋅ 9 4 9
5 9 4 9
1
由以上例子可以看出，如果知道了二维随机变 量(ξ，η)的联合分布律，那么ξ和η的边际分布律即 可由联合分布律求出，这个事实直观上是容易理解 的，因为(ξ，η)的总体规律性（即联合分布律）如 果确定了，那么它的个别分量的规律性（即边际分 布律）当然也确定了。 反之，知道(ξ，η)的边际分布，则不一定能求 出它的联合分布律。事实上，今后将会看到，只有 当ξ，η相互独立时，才能由(ξ，η)的边际分布求出 它的联合分布律。
设二维连续型随机变量(ξ，η)的联合概率密度为 f(x，y)，由
Fξ ( x) = P{ξ ≤ x} = F ( x,+∞) = ∫
§3.2边际分布、独立性
边际密度函数 p(x, y) pX (x) pY ( y)
例3.2.7
根据独立性能找到联合分布 例3.2.8 若无独立性，则不能直接找到联合分布
END
例3.2.6
X P
Y P
-1 0 1/4 1/2
0
1
1/2 1/2
1 1/4
P(XY 0) 1 求(1) pij (2) X ,Y独立？
按列相加
i
i
例3.2.2 已知( X ,Y ) ~ pij ,求pi , p j
Y0
X
0
0.09
1 0.21
3 0.24
pi P(X i)
0.09 0.21 0.24 0.54
1
0.07
0.09 0.07 p j P(Y j) 0.16
0.12
0.21 0.12 0.33
0.27
只有 不同的二维，那它们的边际分布一样
习题3.2 第2题
2、边际分布列
已知（X，Y）的联合分布列，求X,Y的分布列
pi P(X xi ) P(X xi ,Y ) P(X xi ,Y y j ) pij
按行相加
j
j
p j P(Y y j ) P( X ,Y y j ) P( X xi ,Y y j ) pij
例3.2.1 二维指数分布的边际分布也是 一维指数分布
二维指数分布的分布函数
1 ex e y exyxy x 0, y 0
F(x, y)
0
else
0
边际分布
1 ex F(x) F(x,)
一维指数分布 0
x0 else
1 e y F( y) F(, y)
薪酬管理02第二章、薪酬管理理论
内容：
• 随着经济发展格局的转变，劳动者在收益分配中的地位不 断提高，出现了利益分享工资论、效率工资理论等新型的 工资决定理论。分享经济理论是美国经济学家马丁·魏茨曼 在20世纪7O年代提出来的一个新的工资决定理论。这一理 论对于解决通货膨胀问题、扩大就业和提高产量、激励工 人与劳资相融都有积极的效应。
他的生活所必需的生活资料的水平。他还认为，一旦工资高于这一水
平，则会出现人口增长和劳动力供给的增长，从而造成工资下降到维
持生存的水平；反之，如果工资低于维持生存的水平，则会造成人口
减少和劳动力供给的下降，从而使工资上升到维持生存的水平。杜尔
阁的工资理论是很有见解的，这在当时可以说是最好的工资理论。
•
卖他的劳动时的价格高低，不能完全由他本人决定，而是同购买他的
劳动的人双方协议的结果。他并且说，由于有大量可以挑选的工人，
当然购买者可以优先选用讨价最低的工人。因此，在彼此竞争的条件
下，工人们不得不降低价格。可见，杜尔阁已正确认识到资本主义社
会，工人与工人之间的竞争，其结果必然使工人的工资只限于为维持
32 32 17 2 -13 -43
10
总利润
32 64 81 83 70 27
垄断竞争条件下边际生产率计算表
12
3
4
劳动力 总产量 产品价格 总产值
数量
P
1
4
15元
60
2
8
14
112
3
11
13
143
4
13
12
156
5
14
11
154
6
13
10
130
5
边际实 物产量
概率论及数理统计第二章答案
k 001.1,0,1,2...,315221()13113lim ()1132132=313kk k k k k C C C C ∞=∞→∞=ξξ=ξ=1⋃ξ=2ξ≤ξ≤2ξ≥====-ξ⋃ξξξ⨯∑∑2设随机变量的分布列为P(=k)=C()求：（1）C 的值 （2）P() (3)P(<<)(4)P(1) (5)P(1)解：（1） 由正则性可得：即解得 C （2） P(=1=2)=P(=1)+P(=2)=()121201218)()333271521218(3)()(1)(2)()()223333278(4)(12)(1)(2)272115(1)1(1)1(0)1()333P P P P P P P P P (+⨯=<ξ<=ξ=+ξ==⨯+⨯=≤ξ≤=ξ=+ξ==ξ≥=-ξ<=-ξ==-⨯=P972.4解：ξ的取值为3,4,5 P (ξ=3)=c351=101, P (ξ=4)=c c 3523=103, P (ξ=5)=cc3524=53 所以，ξ的分布列为：k a-7015716702.9a a a =70.999k 70.9975930.999!70,9990410.999!K k k k k e e k e k ξξξξλ=-=-=≤≤≥≥!≈<≈>∑∑∑解,设此种商品当月销售量为件，每月进货件，则当是就不会脱销.则有： P （）0.999 又已知服从7的泊松分布.因此有： 则至少应进16件此种商品.P982.10解：设x 为时间t 内通过交叉路口的汽车数量，则()^()!tt k p x k e k λλ-==(0)λ> 0,1,2,3k =1t =时，(0)0.2p x e λ-===，即ln 5λ= 2t ∴=时，2ln 5t λ=，2ln 5(1)25p x ==(0)0.04p x ==又(1)1(0)(1)p x p x p x >=---= 2ln 5(1)0.9625p x ∴>=-即在两分钟内有多余一辆车通过的概率为2ln 50.9625-.()()500500335002.111/500,.()(,500,1/500)500b K,500,1/500)=1/500499/500,n p np=5001/5001K K K KP K b K P K ξξξξ==-≥==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭⨯=∑∑解：由题意已知在指定的一页上出现一个错误的概率为设在指定一页上出现的错误个数为则：P(3)=又其中（直接计算（3）过于麻烦，且很大，很小.这时有很210=np=np b n p 3)10.08032(0.08032KK e K P e λλλξξ--=≈!≥<≈-=∑小，可以近似利用泊松定理取 1，由于不太大时，（K;;) 有（3）=1-P(查表）即在指定的一页上至少有三个错误的概率为2.13解：边际分布列：0(1)()!()!!(1)!!()!!(0,1,2,0)nn m n m nm mm nn nm n m m p p P n p e m n m e n p p e n m n m n n λλλλξλλλ--=---=-====--=-=>∑∑∑……(1)()()(,)!()!(0,1,n)pmm n n m m n m n e p p p e P m p n m m n m m m λλλληξη-∞--==-======-=∑∑……，2.15解：由题意44444444(,,)0.50.30.24!0.50.30.2(,,0,1,2,3,44)(4)!!()0.50.5,0,1,2,3,4()0.30.7,0,1,2,3,4()0.20.8,0,1,2,3,4m nm n k m m n k mm m n n n k k k p m n k C C m n k m n k m m p m C m p n C n p k C k ξηζξηζξηζ----======++=-=========其中且、、的分布列分别为2.17解：1212121212121212121212()1p(0,0 )(0,1)(0,2)(1,0)(2,0)1(1,1)(1,2)(2,1)(2,2)p p p p p p p p p ξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξ=∴==+==+==+==+===∴===========∴的联合分布列：∴p(1ξ=2ξ)=02.18证：由题意设η所有的可能取值为1231,,...,n n a a a a a -（n ∈R ）其中P(ξ=a ，η=i a )=i p 则对于任意的i ∈R ，而p(=a ξ)p(i a η=)=1*i p 所以P(ξ=a ，η=i a )= p(=a ξ)p(i a η=) 所以ξ与任意的离散型随机变量η相互独立2.19 解:法一：由题意得:若ξ与η相互独立，则P(ξ=2,η=2)=P(ξ=2)P(η=2) P(ξ=2，η=3)=P(ξ=2)P(η=3)所以 a=(1/9+a)(1/3+a+b)B=(1/18+b)(1/3+a+b)1/3+1/3+a+b=1 a=2/9 b=1/9所以a=2/9,b=1/9时ξ与η相互独立法二：解：由归一性可知 α+β=31因为ξ,η相互独立，所以P （i ξi η）=P （i ξ）P （i η） （i=1,2 j=1,2,3） 所以 P （1ξ)P(1η)=61 P （1ξ)P(2η)=91 P （1ξ)P(3η)=181 所以 P(1η):P(2η):P(3η)=3:2:1又因为 P （2ξ)P(1η)=31P （2ξ)P(2η)=α P （2ξ)P(3η)=β所以有 31：α：β=3:2:1所以 α=92 β=91则2ηε=的分布列为分布列。
2023年运筹学基础自考复习资料
第一章导论一、运筹学与管理决策1: 运筹学是一门研究怎样有效地组织和管理人机系统旳科学。
2: 运筹学应用分析旳, 经验旳和数量旳措施。
为制定最优旳管理决策提供数量上旳根据。
3: 运筹学也是对管理决策工作进行决策旳计量措施。
4: 企业领导旳重要职责是作出决策, 首先确定问题, 然后制定目旳, 确认约束条件和估价方案, 最终选择最优解。
5: 分析程序有两种基本形式: 定性旳和定量旳。
定性分析旳技巧是企业领导固有旳, 伴随经验旳积累而增强。
运筹学位管理人员制定决策提供了定量基础。
6: 运筹学旳定义: 运筹学运用计划措施和有关多学科旳规定, 把复杂功能关系表达成数学模型, 其目旳是通过定量分析为决策和揭发新问题提供数量根据。
二、计算机与运筹学计算机是运筹学旳不可分割旳部分和不可缺乏旳工具, 并且计算机措施和运筹学是并行发展旳。
计算机是运筹学发展旳基本要素。
运筹学和计算机措施旳分界线将会消失。
三、决策措施旳分类分类：1定性决策:基本上根据决策人员旳主观经验或感觉或知识制定旳决策。
2定量决策:借助于某些正规旳计量措施做出旳决策。
3混合性决策:必须运用定性和定量两种措施才能制定旳决策。
作为运筹学应用者, 接受管理部门旳规定, 去搜集和阐明数据, 建立和试验数学模型。
决策人员采用计量措施旳几种状况:1要处理旳问题是复杂旳并且具有许多变量。
2阐明能决策旳问题旳多种状况旳数据是可以得到旳。
3待决策旳各项目旳可以确定为多种数量关系。
4对应于上述状况, 有关旳切实可行旳模型是目前可以建立起来旳。
四、应用运筹学进行决策过程旳几种环节1.观测待决策问题所处旳环境2.分析和定义待决策旳问题3.确定模型符号或抽象模型4.选择输入资料: 保留旳记录, 目前试验, 推测等方式搜集这些资料5提出解并验证它旳合理性:要试图变化输入观测发生什么样旳输出, 叫做敏感度试验。
6实行最优解收益表是现实企业在整个过程中效能旳模型, 平衡表是现实企业财务状况旳模型。
边际分布函数
边际分布函数1. 引言边际分布函数是统计学中的一个重要概念，它描述了一个或多个随机变量的边际分布。
在统计分析中，我们经常需要考虑多个随机变量之间的关系，利用边际分布函数可以将多变量问题简化为单变量问题，帮助我们更好地理解数据。
2. 边际分布函数的定义边际分布函数，也称为边际分布累积函数，是一个随机向量中某个元素的分布函数。
对于一个二元随机变量(X,Y)，其边际分布函数可以定义为F X(x)=P(X≤x)和F Y(y)=P(Y≤y)。
3. 边际分布函数的性质边际分布函数具有以下几个重要性质：3.1 单调性边际分布函数是非减函数，对于任意的x1≤x2，有F X(x1)≤F X(x2)。
3.2 极限性质对于随机变量X，当x趋于无穷大时，边际分布函数趋于1，即lim x→∞F X(x)=1。
当x趋于负无穷大时，边际分布函数趋于0，即lim x→−∞F X(x)=0。
3.3 一致性对于边际分布函数F X(x)，F X(x)在x处的右连续性即F X(x)=lim t→x+F X(t)=F X(x+)。
4. 边际分布函数的计算方法边际分布函数的计算可以通过累积分布函数（CDF）的方法来实现。
对于一个二元随机变量(X,Y)，其联合分布函数为F XY(x,y)，边际分布函数可以通过如下公式计算得出：F X(x)=lim y→∞F XY(x,y)F Y(y)=lim x→∞F XY(x,y)在实际应用中，我们可以通过对数据进行统计分析，以及使用概率密度函数和累积分布函数进行计算，得到边际分布函数的具体数值。
5. 使用边际分布函数的好处边际分布函数在统计学中有着广泛的应用，它有以下几个好处：5.1 简化分析问题在研究多变量问题时，边际分布函数可以将问题简化为单变量问题，使得分析更为直观和简单。
5.2 描述单变量特征边际分布函数可以帮助我们理解单个随机变量的分布特征，如均值、方差等。
通过分析边际分布函数，可以更好地了解单个变量的概率分布情况。
2023年4月8日补考下午中级经济师考试《经济基础知识》真题及解析
2023年4月8日补考下午中级经济师考试《经济基础知识》真题及解析1. 【单选题】两个变量间Pearson系数为0.35，这表明（江南博哥）两者之间( )A. 高度相关B. 中度相关C. 低度相关D. 不相关正确答案：C收起知识点解析参考解析：【江南博哥独家解析，禁止转载】当 Irl≥0.8 时，可视为高度相关;当0.5 ≤Irl ＜0.8 时，可视为中度相关;当 0.3 ≤ Irl<0.5 时，可视为低度相关;当 Irl<0.3 时，说明两个变量之间的相关程度极弱，可视为无线性相关关系。
2. 【单选题】我国《反垄断法》规定，()负责组织、协调、指导反垄断工作。
A. 反垄断委员会B. 商务部C. 国家发展改革委员会D. 国家工商行政管理总局正确答案：A收起知识点解析参考解析：【江南博哥独家解析，禁止转载】国务院设立反垄断委员会，负责组织、协调、指导反垄断工作。
【考查考点】第三十七章第四节反垄断机构设置3. 【单选题】为了加快建立社会主义市场经济体制，我国从()开始实施分税制财政体制。
A. 1995B. 1998C. 1994D. 1996正确答案：C收起知识点解析参考解析：参考答案解析:从1994年开始实施分税制财政体制。
4. 【单选题】根据合同法原理，当事人一方以订立合同为目的，就合同的主要条款向另一方提出建议的意思称为（）A. 协议B. 要约C. 承诺D. 要约邀请正确答案：B收起知识点解析参考解析：【江南博哥独家解析，禁止转载】要约也叫发盘,是当事人一方以订立合同为目的,就合同的主要条款向另一方提出建议的意思表示。
发出要约的人是要约人,接受要约的人为受要约人或相对人。
【考查考点】第三十五章第三节5. 【单选题】下列统计变量中，属于顺序变量的是( )A. 税收收入B. 产品质量等级C. 降水量D. 私营企业就业人数正确答案：B收起知识点解析参考解析：【江南博哥独家解析，禁止转载】顺序数据是对顺序变量的观测结果,也表现为类别,一般用文字表述,也可用数值代码表示。
第二章(92)--消费者行为理论
第二章消费者行为一、名词解释1．效用；2．边际效用；3．消费者剩余；4．消费者偏好；5．消费者均衡；6．无差异曲线；7．边际替代率；8．恩格尔系数；9．价格----消费曲线；10．收入----消费曲线；11．收入效应；2．替代效应；3．吉芬商品；4．攀比效应；15．虚荣效应。
二、判断题(正确的在括号内画T，错误的画P)1．某物品对同一消费者，效用具有可比性，对不同的消费者缺乏可比性。
( )2．同一物品的效用会因时空条件的变动而变动。
( )3．总效用是衡量物品价值量的重要尺度。
( )4．无差异曲线分析是以基数效用为基础的。
( )5．当某种物品的边际效用等于零时，总效用取最大值。
( )6．货币的边际效用是指最后一单位货币的效用，其数值是逐渐递增的。
( )7．一定数量的某种资源用于不同的用途时，采用边际效用均等的法则进行配置，可以实现资源的总效用最大化。
( )8．消费者剩余是消费者在购买商品时的货币节余。
( )9．生产者剩余是生产者的实际节余。
( )10．在无差异曲线图中，两条无差异曲线有可能相交。
( )11．无差异曲线凸向原点的直接原因是边际替代率递减。
( )12．消费者均衡条件可以表述为：消费者在购买每一种商品时所花费的最后一单位货币的边际效用均相等。
( ) 13．凡是吉芬品肯定就是劣质品，而劣质品不一定都是吉芬品。
( )14．当某种商品价格下降时，若替代效应的增加幅度小于收入效应的减少幅度，则该商品一定是吉芬品。
( ) 15．总效用决定了产品的价格，而边际效用决定了消费的数量。
( )16．在物品世界中，并不是所有物品都服从边际效用递减规律。
( )三、选择题(一)单项选择1．相对一单位Y商品，某消费者更想获得一单位X商品，原因是( )。
A．商品X的价格合理B．商品X供应紧缺C．商品X用于满足精神需要D．商品X具有更多的效用2．当物品的总效用达到最大值时，其( )。
A．边际效用达到最大值B．边际效用为零C．边际效用为正D．边际效用为负3．序数效用论认为，商品效用的大小( )。
边际分布和联合分布的关系
边际分布和联合分布的关系嘿，你想了解边际分布和联合分布的关系呀，这就像去探究一个大家族里各个小家庭和整个家族的联系呢。
先来说说联合分布吧。
这就好比是一个大拼图，这个拼图完整地展现了所有元素组合在一起的情况。
比如说，有男生和女生，他们分别来自不同的城市，有北京、上海、广州。
那联合分布就像是把男生来自北京、女生来自上海这种各种可能的组合情况都统计出来，它能让我们看到整体的、各种因素组合起来的全貌。
那边际分布呢？它就像是从这个大拼图里抽出一条边或者一块特定的部分来看。
还是刚刚男生女生的例子，边际分布可能就只关注男生的来源情况，不管女生的事儿了。
这就像是从大家族里单独拎出某一个小家庭来看他们自己的状况。
从数学的角度看，边际分布是通过对联合分布中的某些变量进行求和或者积分得到的。
这就好比从那个大拼图里，把和自己想要的小家庭无关的部分都去掉，只留下自己想看的那部分。
其实呀，边际分布就像是联合分布的一个影子。
联合分布描绘的是整个舞台上所有演员的表演情况，边际分布则是只看其中某一类演员的表演情况。
它们之间的联系可紧密了。
边际分布里的信息其实是从联合分布里提炼出来的。
就像从一锅大杂烩里挑出自己爱吃的菜，这个菜虽然单独挑出来了，但它的原料和做法都是来自那锅大杂烩的。
再打个比方，联合分布像是一幅五彩斑斓的大画，画里有山有水有人物有动物。
边际分布就像是从这幅大画里单独剪出画人物的那部分，或者画山水的那部分。
虽然是单独的部分，但它的颜色、风格等都是从那幅大画中来的。
很多时候，我们通过研究边际分布可以得到联合分布的一些特性。
这就好比我们看一个人的手指，虽然只是身体的一小部分，但也能大概推测出这个人整体的健康状况。
反过来呢，知道了联合分布就一定能得到边际分布，这是必然的，就像知道了一个大蛋糕的配方和做法，肯定能知道其中某一种原料用了多少一样。
边际分布和联合分布的关系不是那种简单的独立关系，而是相互依存、相互透露信息的关系。
这就像森林和树木，树木组成了森林，森林又影响着每一棵树木的生长环境。
边际分布函数
边际分布函数边际分布函数（Marginal Distribution Function）是概率论中的一个重要概念，它描述了一个或多个随机变量的单独分布情况。
在统计学和机器学习中，我们经常需要对多个随机变量进行分析，而边际分布函数可以帮助我们更好地理解这些变量的单独分布情况。
下面是一个Python函数，用于计算二维随机变量X和Y的边际分布函数：```pythondef marginal_distribution(X, Y):"""计算二维随机变量X和Y的边际分布函数参数：X -- 一维numpy数组，表示随机变量X的取值Y -- 一维numpy数组，表示随机变量Y的取值返回值：FX -- 一维numpy数组，表示X的边际分布函数FY -- 一维numpy数组，表示Y的边际分布函数"""# 计算X和Y的频数表freq_table = {}for i in range(len(X)):key = (X[i], Y[i])if key in freq_table:freq_table[key] += 1else:freq_table[key] = 1# 计算FX和FYFX = []FY = []for x in set(X):fx = sum([freq_table[(x, y)] for y in Y]) FX.append(fx / len(X))for y in set(Y):fy = sum([freq_table[(x, y)] for x in X]) FY.append(fy / len(Y))return FX, FY```该函数接受两个一维numpy数组X和Y作为参数，分别表示二维随机变量X和Y的取值。
函数首先计算X和Y的频数表，然后根据频数表计算出X和Y的边际分布函数FX和FY，并将它们存储在一维numpy数组中返回。
为了更好地理解该函数的实现过程，我们可以简单地解释一下其中的几个关键步骤：1. 频数表的计算：使用字典freq_table来存储(X,Y)对出现的频数。
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二维正态随机变量的边缘概率密度
解
pX(x)
p(x,y)d
y
在 21 1r2 x 1 2122rx11 2y2y 2 222中 ，
对 y进 行 配 方 ， 得
2 1 1 r2 x 1 2 1 2 2 rx 1 1 2 y 2 y 2 2 2 2
c(y 2x),0x1,0yx
p(x,y)
0,
其 它 暂时固定
求 (1) c 的值; (2) 两个边缘密度 .
当 解x1 (或 2) xp X0 时 x,对 yp x , y, dy,y
yx
都p x 有 ,y0,故 pX x0.
当 0x1时,
pXx0px,ydx
x
x 0 x1 x x
x
0
px,ydxxpx,
对连续型 r.v ( X,Y ) ，
X 和Y 的联合概率密度为 p(x, y)
则 ( X,Y ) 关于 X 的边缘概率密度为
pX(x)
p(x,y)d
y
x
事实上 ,
x
F X(x)F (x, )
(
p(u,y)dy)du
F Y(y)F( ,y) y( f(x,v)d)xdv
( X,Y )关于Y 的边缘概率密度为
当|x|≤1时,
y 1x2
Y
x 1x X
1x2
1x2
p1(x)[
]p(x,y)dy 1x2 1x2
1 1x2 dy
1x2
2
1 x2
y 1x2
2
p1(x)
1x2 | x|1
0
| x|1
均匀分布的边缘密度不再是一维均匀分布 同理,
2
p2(y)
1 y2 | y|1
0
| y|1
例3 设(X,Y)的概率密度是
ydx.
当 0x1时,
pXx0px,ydx
x
0
px,ydxxpx,yd
x.
x24y(2x)dy
05
y
yx
12x2(2 x), 5
x
综上 ,
x 0 x1 x x
pXx152x22x,0x1, 注意取值范围
0, ,其它 .
例 3 设(X,Y)的概率密度是
c(y 2x),0x1,0yx
p(x,y)
y5
24 3
y2
y( 2y ),
52
2
综上 ,
pY(y) 254y(2 32yy22), 0y1
0,
其它
注意取值范围
在求连续型 r.v 的边缘密度时，往往要求联 合密度在某区域上的积分. 当联合密度函数是分 片表示的时候，在计算积分时应特别注意积分限 .
若二维随机变量（X,Y）具有概率密度
二、离散型随机变量的边缘分布律
一般地，对离散型 r.v ( X,Y )， X和Y 的联合分布律为
P (X x i,Y y j) p i,j i,j 1 ,2 ,
则 (X,Y) 关于X 的边缘分布律为
P Xx i PXxi,Yyj pij Pi .
j1
j1
i 1 ,2 ,
XxiXxiXxi
二、边缘分布
边缘分布函数 离散型随机变量的边缘分布律 连续型随机变量的边缘概率密度
二维联合分布全面地反映了二维随机变量 (X,Y)的取值及其概率规律. 而单个随机变量X,Y 也具有自己的概率分布. 那么要问:二者之间有 什么关系呢?
这一节里,我们就来探求这个问题 .
一、边缘分布函数
二维随机变量 (X,Y)作为一个整体, 具有分布函
数 Fx, y, 而 X 和 Y 都是随机变量 , 也有各自的分 布函数, 分别记为 FXx,F Yy, 依次称为二维随机
变量 (X,Y) 关于 X 和 Y的边缘分布函数.
F X x P X x P X x ,Y Fx, F Y y P Y y P X , Y y F , y
55
1 2•3
55
p• j 3
5
1 pi•
3•2 3 55 5 2•2 2 55 5
21
5
不放回
Y
X
0
1
pi•
0 3•2
54
1 2•3
54
p• j 3
5
3•2 3 54 5 2•1 2 54 5
21
5
联合分布与边缘分布的关系：
由联合分布可以确定边缘分布; 但由边缘分布一般不能确定联合分布.
三、连续型随机变量的边缘概率密度
c(y 2x),0x1,0yx
p(x,y)
0,
其它
求 (1) c的值； （2）两个边缘密度。 y
解 (1) 1p(x, y)dxdy R2
yx
1x
dx cy(2x)dy 00
0
x1
x
c 1 2x2x3 dx 20
故
= 5c/24 , c =24/5.
例3 设 (X,Y) 的概率密度是
Yyj
j1
j1 Xxi ,Yyj
(X,Y) 关于 Y 的边缘分布律为
PYyj PXxi,Yyj pij p.j
i1
i1
j1,2,
Y
X
y1
y2
…
yj
…
p i
x1
p 11
p 12
…
p1 j
…
p1
x2
p 21
p 22
…
p2 j
…
p 2
xi
p i1
pi2
…
p ij
…
p i
pj
p 1
p 2
…
pj
…
我们常将边缘概率函数写在联合概率函数 表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词.
例1 袋中有二个白球，三个黑球，从中取两次球
定义: X
1 0
第一次取到白球 1
Y
第一次取到黑球
0
第二次取到白球 第二次取到黑球
求(X,Y)的联合分布及边缘分布,分有放回和无放回讨论.
解：有放回
Y
X
0
0 3•3
0,
其暂它 时固定
求 (1) c的值; (2) 两个边缘密度 .
解 当 (2)y1或 pYy y0 时 ,对 px x, y d,x,y y
都p x 有 ,y0,故 p Yy0.
1
当0 y1时,
y
yx
y
pHale Waihona Puke y px,ydx
1
y
px,
ydx 1
px,
ydx.
0 y1 x
y
124y(2x)dx
pY(y)
p(x,y)dx
y
例2 设随机向量(X,Y)服从区域D上的均匀分布,
其中 D={(x,y),x2+y2≤1},求X,Y的边缘密度函数p1(x)和p2(y).
解
(1)由题意得:
p(x,
1
y)
0
p1(x)
p(x,y)dy
x2 y2 1 其它
当|x|>1时,p(x,y)=0, 所以, p1(x)=0 x -1
p (x ,y ) 212 11 r2ex 2 ( p 1 1 r { 2 )[x ( 11 )2
2r(x 1 1)(y 2 2)(y 2 2)2]}
x , y ,
其中 1,2,1,2,r均为常数,且 10,20, | r | 1
则称（ X,Y）服从参数为 1, 2, 1, 2,r的二维