第二章 理论分布与抽样分布

解:
1 9 U X i ~ N (0,1), 9 i 1
9 2
Yi ~ N (0,1) 3
Yi 1 9 2 故 V Yi ~ 2 (9) U与V独立, 9 i 1 i 1 3
9U U ~ t (9) 所以 Z 9V V /9
§4 次序统计量及其分布
① )
课堂练习(3)
设 X ~ N( , 2), 则随 的增大， 概率 P{| X | < } (③ )
① 单调增大 ③ 保持不变
② 单调减少 ④ 增减不定
正态分布的 3 原则
设 X ~ N(, 2), 则 P( | X | < ) = 0.6828. P( | X | < 2 ) = 0.9545. P( | X | < 3 ) = 0.9973.
3 ).
课堂练习(2)
设 X ~ N(, 42), Y ~ N(, 52), 记
p1 = P{X≤ 4}，p2 = P{Y≥ +5}, 则( ① ② ③ ④ 对任意的 ，都有 p1 = p2 对任意的 ，都有 p1 < p2 只个别的 ，才有 p1 = p2 对任意的 ，都有 p1 > p2
若 X ~ N(, 2),
则
a P(X<a) =
a P(X>a) = 1
例
设 X ~ N(10, 4), 求 P(10<X<13), P(|X10|<2).
解: P(10<X<13) = (1.5)(0) = 0.9332 0.5 = 0.4332 P(|X10|<2) = P(8<X<12) = 2(1)1 = 0.6826
n n 2 i i i 1 i 1
尽管统计量不依赖于未知参数，但是它的分 布一般是依赖于未知参数的。
课 堂 练 习 (1)
设X1, X2, …, Xn 是来自总体 N(, 2)的一个样本,
其中 已知，2 未知, 以下哪些是统计量
1 n (1) Xi n i 1
n
1 n (2) ( X i )2 n i 1
§2 经验分布函数
设 x1,x2,…,xn 是取自总体分布函数为F(x)的样本， 若将样本观测值由小到大进行排列,为x(1), x(2), …, x(n)，则称 x(1), x(2), …, x(n) 为有序样本， 用有序样本定义如下函数
0 当 x x(1)
Fn(x) = k / n
1
当 x(k) x x(k+1) , k=1,2,…,n-1
2
1 n (3) ( X i X )2 n i 1
2
1 Xi (4) n i 1
(5) X 1 X 2
2 2
(6) 2 X 1 X 2 ...X n
几个常用的统计量：
3. 样本 k 阶矩
原点矩
中心矩
数理统计中常用到如下三个分布：
2 — 分布、 t — 分布、 F — 分布
称为自由度为 n1, n2的F — 分布, 其概率密度为
该密度函 数的图象 也是一取 非负值的 偏态分布
2. F — 分布的分位点
对于 0<<1，若存在 F(n1, n2)>0 满足 P{FF(n1, n2)} = ，
则称 F(n1, n2)为
F(n1, n2)的下侧 分位点
3. F — 分布性质:
Yi ~ N ( 0 ,1 ) 3
~ 9 Yi 2 1 9 2 Y ( ) Yi ~ 2 (9)，且 故 9 i 1 i 1 3 X 所以 U ~ ~ t (9) Y /9
~ 独立, X 与Y
三、F — 分布 1. 构造 若X ~ 2(n1)， Y ~ 2(n2)，X与Y独立，则
课 堂 练 习 (5)
设随机变量 X 和 Y 相互独立，且都服从正态分布 N(0, 9). 而X1, X2, …, X9和Y1, Y2, …, Y9分别是来自总 体 X 和 Y 的样本，则统计量
Z
服从 (
X1 X 9
Y Y .... Y
2 1 2 2
2 9
t
) 分布，参数为 ( 9 ).
3. t(n) 的性质: (1) p(t) 关于 t=0 (纵轴) 对称。 (2) p(t) 的极限为 N(0，1) 的密度函数.
4. 分位点 设T～t(n)，若对0<<1, 存在 t(n)>0， 满足 P{Tt(n)} = 则称 t(n)为 t(n) 的下侧 分位点.
t1 (n)
设X1, X2, …, Xn 是来自总体 N(, 2)的一个样本,
Y1 ( X 1 X 6 ) / 6, Y2 ( X 7 X 8 X 9 ) / 3, S ( X i Y2 ) / 2, Z 2(Y1 Y2 ) / S
2 2 i 7 9
证明: Z ~ t (2)
一般总体的结论
设 X 为总体, 且 E(X) = , Var(X) = 2,
为样本, 则
正态总体的结论
为样本, 则 (1) (2) (3) (4) 独立.
设总体
课 堂 练 习 (2)
设X1, X2, …, Xn 是来自总体 N(, 2)的一个样本,
则
Xi i 1
(1.66) = 0.9515,
故 b = 1.66
(1.65) = 0.9505,
故 a = 1.65
一般正态分布的标准化
定理 设 X ~ N(, 则 Y ~ N(0, 1). 推论: 若 X ~ N(,
2), 2),
Y
X

,
x 则 F ( x)
例
设 X ~ N(, 2), P(X 5) = 0.045, P(X 3) = 0.618, 求 及 .
解:
5 1.69 3 0.3

= 1.76
=4
课堂练习(1)
已知 X ~ N(3, 22), 且 P{X>k} = P{X≤k}, 则 k = (
当 x x(n)
则Fn(x)是一非减右连续函数，且满足
Fn() = 0 和 Fn() = 1 由此可见，Fn(x)是一个分布函数，并称 Fn(x)为经验分布函数。
§3 统计量与抽样分布
当人们需要从样本获得对总体各种参数的认识 时，最好的方法是构造样本的函数，不同的函 数反映总体的不同特征。
( x )
x 0 x
1 ( x )
x
1 (1) (0) , 2 (2) ( x) (x) 1, ( x ) 1 (x )
(x) 的计算
(1) x 0 时, 查标准正态分布分布函数表. (2) x < 0时, 用 (x ) 1 ( x ).
注:
例4.1.4 设随机变量X 和Y 相互独立且都服从正态 分布 N (0,9) ,而 X1 ,, X 9 和 Y1 ,, Y9 分别是来自总体 X和Y的 s.r.s,则
U X X 1 9 ~ t (9) Y 2 Y 2 1 9
1 9 证明： X X i ~ N ( 0 ,1 ), 9 i 1
, b= 时,则 X ~ 2 (2).
当 a=
解：由题意得
a ( X 1 2 X 2 ) ~ N ( 0 ,1 ) b ( 3 X 3 4 X 4 ) ~ N ( 0 ,1 ) D [ a ( X 1 2 X 2 )] 1 D [ b ( 3 X 3 4 X 4 )] 1
样本: X1， … ，Xn 次序统计量: X(1) … X(n) 总体分布: F(x), p(x)
4.3.3 4.3.4
样本极差 样本中位数
R= X(n) X(1)
样本p分位数
若 X ~ N(0, 1), 则 (1) P(X a) = (a); (2) P(X>a) =1(a); (3) P(a<X<b) = (b)(a); (4) 若a 0, 则 P(|X|<a) = P(a<X<a) = (a)(a) = (a) [1 (a)] = 2(a)1
例 设 X ~ N(0, 1), P(X>1.96) ,
求 P(|X|<1.96)
解: P(X>1.96) = 1 (1.96)
= 1(1 (1.96)) = (1.96)
= 0.975 (查表得) P(|X|<1.96) = 2 (1.96)1 = 2 0.9751 = 0.95

a =0.05 b=0.01
二、t — 分布
1. 构造 若 X ～N(0, 1), Y～2(n), X 与 Y 独立，则
t(n) 称为自由度为 n 的 t — 分布。
2. t(n) 的概率密度为:
t分布的密度函 数的图象是一关 于纵轴对称的分 布，与标准正态 分布的密度函数 形状类似，只是 峰比标准正态分 布低一些尾部的 概率比标准正态 分布的大一些。
例
设 X ~ N(0, 1), P(X b) = 0.9515,
P(X a) = 0.04947, 求 a, b.
解: (b) = 0.9515 >1/2,
而 (a) = 0.0495 < 1/2,
所以 b > 0,
反查表得:
所以 a < 0,
(a) = 0.9505, 反查表得:
第四章 理论分布与抽样分布
§1 正态分布
( x )2 1 exp p( x ) , 2 2 2