理论分布与抽样分布概述
理论分布和抽样分布的概念
抽样分布与理论分布一、抽样分布总体分布：总体中所有个体关于某个变量的取值所形成的分布。
样本分布：样本中所有个体关于某个变量大的取值所形成的分布。
抽样分布：样品统计量的概率分布，由样本统计量的所有可能取值和相应的概率组成。
即从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本最多可抽取m 个样本，m 个样本统计值形成的频率分布，即为抽样分布。
样本平均数的抽样分布：设变量X 是一个研究总体，具有平均数μ和方差σ2。
那么可以从中抽取样本而得到样本平均数x ，样本平均数是一个随机变量，其概率分布叫做样本平均数的抽样分布。
由样本平均数x 所构成的总体称为样本平均数的抽样总体。
它具有参数μx 和σ2x ，其中μx 为样本平均数抽样总体的平均数，σ2x 为样本平均数抽样总体的方差，σx 为样本平均数的标准差，简称标准误。
统计学上可以证明x 总体的两个参数 μx 和σ2x 与X 总体的两个参数μ和σ2有如下关系：μx = μ σ2x = σ2 /n由中心极限定理可以证明，无论总体是什么分布，如果总体的平均值μ和σ2都存在，当样本足够大时（n>30），样本平均值x 分布总是趋近于N （μ，n2)分布。
但在实际工作中，总体标准差σ往往是未知的，此时可用样本标准差S 估计σ。
于是，以nS估计σx ，记为X S ，称为样本标准误或均数标准误。
样本平均数差数的抽样分布：二、正态分布2.1 正态分布的定义：若连续型随机变量X 的概率密度函数是⎪⎭⎫ ⎝⎛--=σμπσx ex f 22121)( （-∞＜x ＜+∞）则称随机变量X 服从平均数为μ、方差为σ2的正态分布，记作X~N （μ，σ2）。
相应的随机变量X 概率分布函数为 F （x ）=⎰∞-x dx x f )(它反映了随机变量X 取值落在区间（-∞，x ）的概率。
2.2 标准正态分布当正态分布的参数μ=0，σ2=1时，称随机变量X 服从标准正态分布，记作X~N （0,1）。
理论分布和抽样分布
所构成，其中事件A包含有m个基本事件，
则事件A的概率为m/n，即
P（A）=m/n
这样定义的概率称为古典概率。
13
2.1 概率的统计学意义
例如，在有两个孩子的家庭中，孩子性别
的组成有四种类型。即：男男、男女、女
男、女女。它们是四个基本事件，而且是
互不相容且等可能的，那么两个男孩的事
件A1为四个基本事件(n)中的一个(m) ， A1的概率
27
第二章 理论分布和抽样分布
将Y的一切可能y1值 y2 ， ，…，以及取得这些 值的概率p( y1) 、p( y2 ) …，排列起来， 就构成了 离散型随机变量的概率分布(probabiit distribution)。
表2-2 离散型随机变量的概率分布表。
Y
y1
y2
…
P(yi) p( y1 ) p( y2 )
本章在介绍概率论中最基本的两个概念——事件、概 率的基础上，重点介绍生物科学研究中常用的几种随 机变量的概率分布：间断性变数总体的理论分布：二 项分布、泊松分布；连续性变数总体的理论分布，即 正态分布； 从这两类理论分布中抽出的样本统计数的
分布，即抽样分布和t分布。
2
2.1 概率的统计学意义
一、事 件 1. 必然现象与随机现象 在自然界与生产实践和科学试验中，人们会观察到各种
这里的0.05或0.01称为小概率标准，生物 试验研究中通常使用这两个小概率标准。
21
2.3 理论分布
事件的概率表示了一次试验某一个结果发 生的可能性大小。若要全面了解试验，则 必须知道试验的全部可能结果及各种可能 结果发生的概率，即必须知道随机试验的 概率分布(probability distribution)。为 了深入研究随机试验 ，我们先引入随机变 量(random variable)的概念。
抽样分布知识点总结
抽样分布知识点总结抽样分布是统计学中一个重要的概念，它描述了在进行抽样时得到的样本统计量的分布情况。
抽样分布是统计推断的基础，它可以帮助我们理解抽样误差以及估计参数的可信度。
在本文中，我们将对抽样分布的基本概念、性质和相关理论进行总结和讨论。
一、基本概念1.1 抽样与总体在统计学中，总体是指我们想要研究的所有个体的集合，而抽样则是从总体中选取一部分个体作为样本，以获得对总体特征的估计。
抽样可以是随机抽样、分层抽样、系统抽样等方法，目的是代表性地反映总体的特征。
1.2 样本统计量在抽样中，对样本数据进行统计分析得到的统计量称为样本统计量，常见的样本统计量有均值、方差、标准差、比例等。
样本统计量能够提供有关总体参数的估计和推断。
1.3 抽样分布抽样分布是描述样本统计量的分布情况的统计学概念。
当我们从总体中抽取多个样本，并计算每个样本的统计量时，得到的这些统计量的分布就是抽样分布。
抽样分布可以反映出样本统计量的可变性、偏移和分布形态等特征。
二、性质2.1 中心极限定理中心极限定理是抽样分布理论中的重要定理，它描述了在一定条件下，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。
中心极限定理对于理解抽样分布的性质和应用具有重要意义，也为许多统计推断方法提供了理论基础。
2.2 大数定律大数定律是另一个重要的抽样分布性质，它描述了当样本容量足够大时，样本均值会收敛于总体均值，即样本均值的抽样分布会集中在总体均值附近。
大数定律为我们理解样本统计量的稳定性和准确性提供了重要参考。
2.3 置信区间置信区间是根据抽样分布推断总体参数的一种方法，通过对抽样分布的分布情况进行分析，我们可以建立对总体参数的置信区间，从而对总体特征进行推断。
置信区间对于统计推断的可信度和精度有着重要的作用。
三、理论基础3.1 样本容量样本容量是影响抽样分布的一个重要因素，在实际抽样中，样本容量的大小对于样本统计量的分布情况有着重要的影响。
通常情况下，样本容量越大，抽样分布的稳定性和准确性越高。
3-理论分布与抽样分布
68-95-99.7规则
➢ 正态分布有其特定的数据分布规则： ▪ 平均值为, 标准差为σ的正态分布 ▪ 68%的观察资料落在的1σ之内 ▪ 95%的观察资料落在的2σ之内 ▪ 99.7%的观察资料落在的3σ之内
19
20
三、68-95-99.7规则
68.26% 的资料 95.45% 的资料 99.73% 的资料 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3s -2s -s +s +2s +3s
体称为样本平均数的抽样总体。其平均数和标准差分
别记为 和 。x
s x
是样s x本平均数抽样总体的标准差，简称标准误 (standard error)，它表示平均数抽样误差的大小。统 计学上已证明x总体的两个参数与x 总体的两个参数有 如下关系：
u=(x-μ)／σ
x～N(0,1)
上一张 下一张 主 页 退12出
3.3.3 正态分布的概率计算 1. 标准正态分布的概率计算
设u服从标准正态分布，则u在[u1，u2 ）内取 值的概率为：
＝Φ(u2)－Φ(u1)
(3-16)
Φ(u1)与Φ(u2)可由附表1查得。
上一张 下一张 主 页 退13出
例如，u=1.75时，由附表1可以查出 Φ(1.75)=0.95994
图3-6 μ相同而σ不同的3个正态分布比较大 8
（6）分布密度曲线与横轴所围成的区间面积为1， 即：
（7） 正态分布的次数多数集中在平均数μ的附 近，离均数越远，其相应次数越少，在3σ以外的 极少，这就是食品工业控制中的3σ 原理的基础。
上一张 下一张 主 页 退 9出
3.3.2 标准正态分布
上一张 下一张 主 页 退16出
(1) P(u＜-1.64)=0.05050 (2) P (u≥2.58)=Φ(-2.58)=0.024940 (3) P (｜u｜≥2.56)
统计学考研复习指导常考分布与抽样理论梳理
统计学考研复习指导常考分布与抽样理论梳理统计学是考研复习中的一门重要科目，而分布与抽样理论是统计学中的基础知识之一。
掌握分布与抽样理论对于考研复习非常重要，因此本文将对常考的分布与抽样理论进行梳理。
以下是各个分布与抽样理论的详细内容。
1. 正态分布正态分布是统计学中最常用的概率分布之一，也被称为高斯分布。
它具有许多特性，例如其形状对称、均值、方差决定了整个分布的特征等。
正态分布在统计学中的应用广泛，例如用于描述实际数据的分布情况、进行假设检验等。
2. t分布t分布是用于小样本情况下的概率分布。
在实际应用中，由于通常无法获得大样本数据，因此需要使用t分布进行统计推断。
t分布与正态分布有一定的关联，其形状与自由度有关。
在考研复习中，需要了解t分布的特性、应用以及与正态分布的关系。
3. 卡方分布卡方分布是用于分析分类数据的概率分布，常用于检验两个变量之间的独立性。
卡方分布的形状与自由度有关，自由度越大，分布越接近正态分布。
在考研复习中，需要掌握卡方分布的性质、应用以及与正态分布的关系。
4. F分布F分布是用于分析方差比较的概率分布，常用于方差分析等统计方法。
F分布的形状与两个自由度参数有关，具有右偏分布且不对称的特点。
在考研复习中，需要了解F分布的特性、应用以及与正态分布、卡方分布的关系。
5. 抽样与抽样分布抽样是指从总体中选取样本的过程，而抽样分布是指统计量在不同样本中的分布情况。
了解抽样与抽样分布非常重要，因为统计推断是建立在样本上的，而不是在总体上。
在考研复习中，需要掌握不同抽样方法的特点、抽样分布的基本概念以及与统计推断的应用。
总结：通过对常考的分布与抽样理论进行梳理，我们可以更好地理解统计学考研复习中的重要内容。
掌握分布与抽样理论，对于进行统计分析、假设检验以及进行统计推断非常重要。
在考研复习过程中，建议系统学习各个分布的特性、应用以及与其他分布的关系，同时理解抽样与抽样分布的基本概念和应用方法。
3 理论分布与抽样分布
【例3.7】 已知u～N(0，1)，试求： (1) P(u＜-1.64)＝?
(2) P (u≥2.58)=?
(3) P (｜u｜≥2.56)=? (4) P(0.34≤u＜1.53) =?
(1) P(u＜-1.64)=0.05050
(2) P (u≥2.58)=Φ(-2.58)=0.024940
加减不同倍数σ区间的概率)是经常用到的。
P(μ-σ≤x＜μ+σ)= 0.6826
P(μ-2σ≤x＜μ+2σ) = 0.9545 P (μ-3σ≤x＜μ+3σ) = 0.9973
P (μ-1.96σ≤x＜μ+1.96σ) = 0.95
P (μ-2.58σ≤x＜μ+2.58σ)= 0.99
在数理统计分析中，不仅注意随机变量x落在平均数加减不 同倍数标准差区间（μ-kσ , μ+kσ）之内的概率，更关心的是x落在 此区间之外的概率。
二项分布---二项分布的定义及其特点
二项分布的应用条件： （1）各观察单位 只具有相互对立 的一种结果，如合格或不 合格， 生存或死亡等等，非此即彼； （2）已知发生某一结果 (如死亡) 的概率为p，其对立结果 的概率则为1-P=q，实际中要求p 是从大量观察中获得的比较 稳定的数值； （3）n次观察结果互相独立，即每个观察单位的观察结果不
P (-2.58≤u＜2.58)=0.99
标准正态分布的三个常用概率如图示
u变量在上述区间以外取值的概率分别为： P(｜u｜≥1)=2Φ(-1)=1- P(-1≤u＜1) =1-0.6826=0.3174 P(｜u｜≥2)=2Φ(-2) =1- P（-2≤u＜2） =1-0.9545=0.0455 P(｜u｜≥3)=1-0.9973=0.0027 P(｜u｜≥1.96)=1-0.95=0.05 P(｜u｜≥2.58)=1-0.99=0.01
统计学中的抽样分布基本理论
统计学中的抽样分布基本理论统计学是一门广泛应用于各个领域的学科。
在许多领域都需要数据支撑决策，统计学是收集、分析和解释数据的科学。
而抽样分布的基本理论则是统计学中最为基础且至关重要的概念之一。
什么是抽样分布？抽样分布指的是在总体中选取一定数量样本的情况下，样本所呈现的分布情况。
这个分布被称为抽样分布。
抽样分布正是在原本无法得出准确结果时，在对样本进行检测和分析加以处理得出的模拟分布情况。
抽样分布的定义我们假设样本是从一个总体中随机抽取的，这个总体具有一个概率分布，并且每个样本都独立地从该概率分布中抽取。
根据中心极限定理，当样本数量足够大时，样本均值的分布将会近似正态分布，均值为总体均值，标准差为总体标准差除以样本量的平方根。
这个近似于正态分布的抽样分布称为样本均值的抽样分布。
抽样分布中的t分布因为在实际应用中，样本的真实总体均值和总体标准差都是为了推断或预测总体特征，而在抽样时这些特征是不确定的，所以会有一定误差。
这时我们便需要用到其它类型的抽样分布。
t分布就是这样一种抽样分布方式，它在样本量较小时，比正态分布更适用。
它类似于正态分布，但在小样本情况下，会有更宽的尾部和更高的峰值。
t分布具有参数自由度 (df) ，其在自由度越大时，越接近于正态分布。
当自由度大于30时，两者基本一致。
了解抽样分布形式和方法对于进行更高质量的统计分析意义重大。
在统计中，我们总是使用概率论和数理统计中的一些基本思想来尽可能减少污染。
特别是在数据采集的实际工作中，数据样本的选取是统计分析的重要基础之一，样本均值的分布越正常，那么就可以推断出样本中的点集越正常。
抽样分布是推断总体、检验总体分布、总体均值、总体比率、总体标准差等经典统计问题的基础。
8-抽样分布
样本方差的抽样分布
1. 在重复选取容量为n的样本时，由样本方差的所有 可能取值形成的相对频数分布 2. 对于来自正态总体的简单随机样本，则比值
(n 1) s 2
的抽样分布服从自由度为 (n -1) 的2分布，即
2
(n 1) s 2 ~ (n 1) 2
2
2分布(图示)
不同容量样本的抽样分布
统计量
抽样分布
抽样分布 ( sampling distribution) 抽样误差
抽样分布
一、抽样分布的概念 二、样本均值抽样分布的形式 三、样本均值抽样分布的特征
三种不同性质的分布
总体分布
样本分布
抽样分布
总体分布(population distribution)
1. 2. 3.
M为样本数目
比较及结论：1. 样本均值的均值(数学期望) 等于总 体均值。 2. 样本均值的方差等于总体方差的1/n。
总体分布
.3 P(x)
抽样分布
.3 .2 .1 0 1 2 3 4
.2 .1 0 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 x
= 2.5
σ2 =1.25
x 2.5 2 x 0.625
2.
3.
称F为服从自由度n1和n2的F分布，记为
U n1 F V n2
F ~ F (n1 , n2 )
例： (X1,X2,…,X5)为取自正态总体X~(0,σ2)的样本，
2 3( X 12 X 2 ) 求统计量 2 2( X 32 X 4 X 52 )
的分布
Xi
解
X i ~ N (0, 2 )
理论分布与抽样分布
若记体重概率分布密度函
数为f(x)，则x取值于区间
[a,b）的概率为图中阴影
部分的面积，即
b
P(a≤x<b)=
f (x)dx a
上式为连续型随机变量 x
在 区间[a,b）上取值概率
的表达式。可见，连续型
随机变量的概率由概率分
布密度函数确定。
理论分布与抽样分布
1.3连续型随机变量的概率分布
连续型随机变量概率分布的性质：
理论分布与抽样分布
1.3连续型随机变量的概率分布
126头基础母羊的体重的次数分布表
组别
组中值 次数（f）
图中纵坐标取频率与组距
36.0
37.5
1
的比值 。可以设想 ，如
39.0
40.5
1
果样本取得越来越大
42.0
43.5
6
(n→+∞)，组分得越来越
45.0
46.5
18
细(i→0)，某一范围内的
理论分布与抽样分布
2.1贝努力试验及其概率公式
在n重贝努利试验中，事件 A 可能发生0，1， 2，…，n次，现在我们来求事件 A 恰好发生k (0≤k≤n) 次的概率 Байду номын сангаасn(k) 。
先取n=4，k=2来讨论。在4次试验中，事件A发 生2次的方式有以下 C 42种：
A1A2 A3A4
A1 A2 A3 A4
1、分布密度函数总是大于或等于0，即 f(x)≥0；
2、当随机变量x取某一特定值时，其概率等于0；即
c
P(xc) f(x)dx0
(c为任意实数)
c
3、 在一次试验中 随机变量 x 之取值必在[-∞， +∞]
生物统计理论分布和抽样分布
第四章理论分布和抽样分布一、基本概念1．必然事件：在同一组条件的实现下必然要发生的一类事件。
如人总是要死的，水在标准大气压下加热到100℃必然化为蒸汽。
P（A）＝1。
2．不可能事件：在同一组条件的实现下必然不发生的一类事件。
如水在标准大气压下温度低于0℃不可能呈气态。
P（A）＝0。
3．随机事件（偶然事件）：在同一组条件的实现下可能发生，也可能不发生的一类事件。
如种子可能发芽，也可能不发芽；硬币抛上落下可能正面朝上，也可能反面朝上。
P（A）∈[0，1]。
4．频率a：假定在相似条件下重复进行同一类试验调查，事件A发生的次数a与总试验次数n的比称之。
如抛硬币，10次有7次朝上，a＝7/10。
5．概率P：当试验总次数n逐渐增大时，事件A的频率愈来愈稳定地接近定值P，则事件A地概率为P。
6．小概率的实际不可能性原理：凡概率很小的事件（农业上一般指P<0.05的事件），在二、计算事件概率的法则1．和事件：C＝A＋B A：身高在1.65以下；B：身高在1.65～1.75之间；C：身高在1.75以下。
2．积事件：C＝A×B A：身高在1.65以下；B：男同学；C：身高在1.65以下的男同学。
3. 互斥事件：A·B＝V （V表示空集） A：小麦种子发芽；B：小麦种子不发芽。
4．对立事件：如果A＋B是必然事件，即A＋B＝U（U为全集）；而A·B＝V，即A与B 是互斥事件，则称B为A的对立事件，B＝A（补集），如上例发芽与不发芽。
5．完全事件：如A·B＝V且A＋B＝U，则称A与B为完全事件系，如小麦发芽与不发芽就构成完全事件系。
6．对立事件的概率：A()1(A)=-P P7．互斥事件的概率加法：()(A)()P＝+=+如身高小于1.60m的概率为(A)P A B P P B0.15；身高小于1.70m且大于等于1.60m的概率为()P B＝0.62；则身高小于1.70m的概率()(A)()+=+＝0.77P A B P P B8．独立事件的概率乘法：()(A)()P A B P P B=。
第二章 理论分布与抽样分布(二)
照正态分布计算的相应理论分布分位数的差（称为分位数的残差）作为纵坐标，把样本表现为直角坐
标系的散点，所描绘的图形。如果资料服从正态分布，残差散点基本在Y=0上下均匀分布。（分位数
的残差图）。
Detrended Normal P-P Plot of 血清总胆固醇
.08
Detrended Normal Q-Q Plot of 血清总胆固醇
34
4. 探索分析
➢结果分析
35
4. 探索分析
➢结果分析
M估计值
36
4. 探索分析
➢结果分析
分别利用Kolmogorov-Smimov检验和Shapiro-Wilk检验两种方法来确 定变量是否服从正态分布。其中，Statistic表示检验统计量的值，df 代表自由度，Sig.表示显著性水平。一般来说，Sig.>0.05则代表接受 零假设，即接受变量服从正态分布的假设。本例中，两个变量的两 种方法的Sig.值均大于0.05，因此两个变量均服从正态分布。
7
2 频数分析
频数分析过程的操作界面
（4）Statistics按钮 单击该按钮会弹出新的对话框，该对话框主要用于确定将要在输出结果 中出现的统计量，选中统计量前的复选框表示输出该统计量。 （5）Charts按钮 用于确定将输出的图形类型和图形取值。 （6）Format按钮 定义输出频数表的格式
8
2 频数分析
4
1.基本描述性统计量的定义及计算
描述离散趋势的统计量 ✓ 样本方差（Variance） ✓ 样本标准差（Std. deviation） ✓ 极差（Range） ✓ 均值标准误差（Standard Error of Mean） 描述总体分布形态的统计量 ✓ 偏度（Skewness） ✓ 峰度（Kurtosis）
理论分布与抽样分布
在回归分析中的应用
建立回归模型
根据自变量和因变量的关系，建立合 适的回归模型，如线性回归、非线性 回归等。
估计模型参数
利用样本数据对回归模型的参数进行 估计，得到回归方程的系数和截距。
检验模型显著性
通过计算F值或t值等统计量，对回归 模型的显著性进行检验，判断自变量 对因变量是否有显著影响。
预测和控制
理论分布与抽样分布
目 录
• 引言 • 理论分布概述 • 抽样分布概述 • 理论分布与抽样分布的关系 • 理论分布与抽样分布在实践中的应用 • 总结与展望
01
引言
目的和背景
阐述理论分布与抽样分布的概念及其关系 分析在统计学中理论分布与抽样分布的重要性 探讨如何利用理论分布与抽样分布进行统计推断
汇报范围
在方差分析中的应用
方差齐性检验
在进行方差分析前，需要对各组的方差 进行齐性检验，以确定是否满足方差分
析的前提条件。
计算统计量
利用样本数据计算各组均值、总均值、 组间方差和组内方差等统计量。
建立模型
根据研究问题和数据特点，建立方差 分析模型，包括因素、水平、交互作 用等。
进行F检验
根据方差分析模型，计算F值，并利 用F分布进行假设检验，判断因素对 结果是否有显著影响。
抽样分布的形状和特性与总体分布密切相 关。
依赖于样本量
统计量的分布
随着样本量的增加，抽样分布的形状逐渐 趋近于正态分布。
抽样分布描述的是统计量（而非单个样本 值）的分布情况。
抽样分布的形成原理
中心极限定理
当从均值为μ、方差为σ^2的总体中随机抽取容量为n的样本时，随着n的增大，样本均值的抽样分布逐渐趋近于 均值为μ、方差为σ^2/n的正态分布。
理论分布和抽样分布
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确定拒绝域
根据显著性水平和检验统计量 的分布，确定拒绝原假设的区 域。
作出决策
将计算得到的检验统计量值与 拒绝域进行比较，决定是否拒 绝原假设。
抽样分布在假设检验中的意义和作用
提供理论基础
确定拒绝域
通过抽样分布可以确定检验统计量的分布和拒绝域 ，从而进行假设检验的决策。
抽样分布理论为假设检验提供了理论基础， 使得我们能够从样本数据中推断总体参数。
05 抽样分布在参数估计中的 应用
点估计方法介绍
矩估计法
利用样本矩来估计总体矩，从而得到参数的估计 值。
最大似然估计法
根据样本数据，选择使得似然函数达到最大值的 参数值作为估计值。
最小二乘法
通过最小化误差的平方和来得到参数的估计值。
区间估计方法介绍
置信区间法
利用样本数据构造一个置信区间，该区 间以一定的概率包含总体参数的真值。
进行假设检验
在参数假设检验中，需要利用抽样分布来确定检验统计量的分布及其临界值。
06 抽样分布在假设检验中的 应用
假设检验的基本思想和步骤
选择检验统计量
根据假设选择合适的检验统计 量，如$t$统计量、$F$统计量 等。
计算检验统计量的值
根据样本数据计算检验统计量 的值。
建立假设
根据研究问题提出原假设 （$H_0$）和备择假设 （$H_1$）。
报告范围
01 理论分布的定义、性质及其常见的类型。
02 抽样分布的概念、性质及其与样本量的关系 。
03
理论分布和抽样分布在假设检验、置信区间 估计等统计推断方法中的应用。
04
通过实例和案例分析，展示理论分布和抽样 分布在实践中的具体应用。
第二章理论分布与抽样分布
P(A) lnim an
式中P代表概率，P(A)代表事件A的概率。 P(A)的取集范围为：0≤ P(A) ≤1。
随机事件的概率表现了事件的客观统计规律性，它反映了事件在一次试 验中发生可能性的大小，概率大表示事件发生的可能性大，概率小表示事 件发生的可能性小。
立。 例如，事件A为“花的颜色为黄色”，事件B为“产量高”，如果花的颜色
与产量无关，则事件A和B相互独立。
第二章理论分布与抽样分布 12
2.1 事件、概率和随机变量-概率的计算法则
互斥事件的加法
假定两互斥事件A和B的概率分别为P(A)和P(B)，则 P(A+B)=P(A)+P(B)
例如：某一批水样中，Cd的含量≤0.03mg/L的概率
第二章理论分布与抽样分布 8
2.1 事件、概率和随机变量-事件间的关系
互斥事件 如果事件A和B不能同时发生，即A和B是不可能事件，则
称事件A和B互斥。例如饮用水中Cd污染＜0.003mg/L和 =0.003mg不可能同时发生，为互斥事件。
第二章理论分布与抽样分布 9
2.1 事件、概率和随机变量-事件间的关系
第二章 理论分布与抽样分布
第二章理论分布与抽样分布 1
2.1 事件、概率和随机变量
（1）事件和事件发生的概率 （2）事件间的关系 （3） 计算事件概率的法则 （4）随机变量
第二章理论分布与抽样分布 2
2.1 事件、概率和随机变量
事件(event)：在自然界中一种事物，常存在几种 可能出现的情况，每一种可能出现的情况称为 事件。
对立事件
事件A和B不可能同时发生，但必发生其一，即A＋B为必然事件
3理论分布与抽样分布
件，记作A1A2…An= Ai i1
(三) 互斥事件
事件A和B不可能同时发生，即AB为不可能事件，记作 A·B=V，称事件A和B互斥或互不相容。
例如，有一袋种子，按种皮分黄色和白色。若记A为“取 到黄色”，B为“取到白色”，显然A和B不可能同时发生， 即一粒种子不可能既为黄色又为白色，说明事件A和B互斥。
由若干个基本事件组合而成的事件称为 复合事件 （compound event）。如 “取得一个编号是 2的倍 数”是一个复合事件，它由 “ 取得一个编号是2 ”、 “ 是4”、“是6、“是8”、“是10”5个基本事件组 合而成。
（2）必然事件 我们把在一定条件下必然会发生的事件称为 必然事件（certain event），用Ω表示。 例如，在严格按妊娠期母猪饲养管理的要求 饲养的条件下，妊娠正常的母猪经114天左右产 仔，就是一个必然事件。
(一) 和事件
事件A和B至少有一个发生而构成的新事件称为事件A和
B的和事件，记为A+B，读作“或A发生，或B发生”。
例如，有一批种子，包含有能发芽的和不能发芽的。
若A为“取到能发芽种子”，B为“取到不能发芽种子”，
则A+B为“或者取到能发芽种子或者取到不能发芽种子”。
事件间的和事件可以推广到多个事件：事件A1、
= 0.0695
C 10 30
即在30头奶牛中有8头曾有流产史，从这群 奶牛随机抽出 10 头奶牛其中有2头曾有流产史 的概率为6.95%。
（三）概率的性质
1、对于任何事件A，有0≤P（A）≤1；
2、必然事件的概率为1，即P（Ω）=1； 3、不可能事件的概率为0，即P（ф）=0。
三、小概率事件实际不可能性原理
P（A）=m/n
统计学中的抽样分布理论
统计学中的抽样分布理论统计学是一门深奥而又广泛应用的学科，其中抽样分布理论是其中一个重要支柱。
本文将从抽样、样本统计量和抽样分布三个方面进行论述，以便更好的理解其理论和应用。
一、抽样与样本统计量统计学的基本任务之一是推断总体特征。
但由于总体数据规模庞大，难以全面观察和分析，因此我们通常采用小样本的方式来代表总体。
这就是抽样的概念。
抽样是指从总体中随机抽取一部分数据，用这一部分数据代表总体，以此估计总体的特征。
常用的抽样包括简单随机抽样、分层抽样、整群抽样等。
在抽样中，一个样本统计量的重要性凸显出来，因为它可以帮助我们更好的估计总体的特征。
比如，一个数据集的均值和标准差就是两个重要的样本统计量。
二、抽样分布抽样分布是指在所有可能的样本中，某个样本统计量的分布情况。
这里需要区分参数（population）和统计量（sample statistic）之间的关系。
参数是总体参数，是我们想要研究的总体特征，比如总体均值、总体方差等。
统计量是在样本中计算出来的数值，比如样本均值、样本方差等。
样本统计量是对总体参数的估计，不同的样本统计量可能对总体参数的估计存在一定的差异。
抽样分布不同于总体分布。
总体分布是指总体中所有变量的分布，而抽样分布是指在所有可能的样本中，某个样本统计量的分布。
抽样分布是一个特殊的概率分布，其形状和参数取决于总体分布和样本大小。
这是因为在计算样本统计量时，会受到样本数量和样本变异的影响。
在实际使用中，我们通过抽样分布来推断总体参数。
具体方法是：首先，通过采样方法得到一个样本，计算该样本统计量的值。
然后，通过数学公式推算样本统计量的抽样分布，从而得到一个概率区间。
若该样本统计量恰好位于这个区间内，则认为该样本统计量的估计值与总体参数的差异可以用统计学上的概率来表示。
这个概率就是所谓的显著性水平（signicance level）。
三、中心极限定理中心极限定理是抽样分布理论中最为重要的定理之一。
抽样分布的基本概念与基本原理
抽样的基本概念
抽样分布的基本原理
第一节 抽样的基本概念
抽样调查的特点 经济性 时效性 必要性
抽样所需样本必需要有代表性 抽样误差与非抽样误差
抽样误差是指随机抽取于总体中的一部分 的样本而引起的误差
非抽样误差是指在调查过程中出现的所有 人为错误
❖ 抽样方法
抽样方式
解：由于总体标准差未知 ，所以采用t分布
t
x
S
n
其中，n=25,自由度＝n-1=24 t7 .6 8 .5,则 P (x 7 .6 ) P (t 2 .8 1 3 7 )
1 .6 / 2 5
查 t 分 布 表 得 ， 0 . 0 0 2 5 P ( x 7 . 6 ) 0 . 0 0 5
概率抽样
非概率抽样
简单随机抽样 整群抽样
多阶段抽样
分层抽样 系统抽样
方便抽样 自愿样本 配额抽样
判断抽样 滚雪球抽样
第二节 抽样分布的基本原理
总体参数与样本统计量 抽样分布定理
x 总体标准差 不明确时 的抽样分布
比率抽样分布
❖ 总体参数
总体平均值 总体方差 总体标准差 总体比率
Xi
随着自由度的增加，t-分布与正态分布之间的差
距将会不断减小（n>30）,且t-分布的离散程度
也将减小
t-分布的均值为0，方差为 (1) 2
❖ t分布与标准正态的对比
标准正态分布
标准正态分布
t (df = 13)
t 分布
x
t 分布与标准正态分布的比较
t (df = 5)
z
t
不同自由度的t分布
❖ t分布表的使用
样本统计量的概率分布，是一种理论分布
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即 P（A）=p≈m/n （ n 充分大）
1.2.2 概率的性质
（1）对于任何事件A，有0≤P（A）≤1； （2）必然事件的概率为1，即P（Ω）=1； （3）不可能事件的概率为0，即P（ф）=0。
② 每次试验的可能结果不止一个 ，并且事先知道会有哪些可能的
结果；
③ 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个 ，但在一次试验
之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。
（2） 随机事件
随机试验的每一种可能结果，在一定条件 下可能发生，也可能不发生，称为随机事件 （random event），简称事件(event），通常
➢ 但在相同条件下进行大量重复试验时，其试验结果却呈现出某 种固有的、特定的规律性——频率的稳定性，通常称之为随机
1.1.2 随机试验与随机事件
（1） 随机试验 通常我们把根据某一研究目的，在一定条件
下对自然现象所进行的观察或试验统称为试验 （trial）。当一个试验如果满足下述三个特性 ，则称其为一个随机试验（random trial），简 称试① 验试验。可以在相同条件下多次重复进行；
【例】 对10种品牌袋装奶粉进行质量检测，其可能结果是“0种合格” 、 “1种合格”、“2种合格”、“…”、“10种袋装奶粉都合格”为0、1、2、…、10。
【例】 食品加工中高温杀菌可能结果只有两 种，即“全部杀死细菌”与“未能全部杀死细菌 ”。 若用变量 x 表示试验的两种结果，则可令 x =0表示“未能全部杀死细菌”，x =1表示“全部 杀死细菌”。
2.2 离散型随机变量的概率分布
要了解离散型随机变量x的统计规律，就必 须知道它的一切可能值xi及取每种可能值的 概率pi。
2、概率分布
事件的概率表示一次试验某一个结果发生的可能性大小。必须知道随机 试验的概率分布。
2.1 随机变量
描述随机事件的变量称为随机变量。 随机变量的取值在一次试验前不能确定，具有随机性。 做一次试验，其结果有多种可能。每一种可能结果都可用一个数来表
示，把这些数作为变量 x 的取值，则试验结果可用变量 x 来表示。
理论分布与抽样分布概 述
2020年4月28日星期二
1 事件与概率
1.1 事 件
1.1.1 必然现象与随机现象
在自然界与生产实践和科学试验中，人们
必然现象：事前可预言其结果的，即在保持条件不变的情况下，重复
会进行观试察验，到其各结果种总是各确样定的的，必现然象发生，的把（或它必然们不归发生纳）起。 来
试验结果和取此结果的概率可以一一列出。
连续型随机变量：如果表示试验结果的变 量x ，其可能取值为某范围内的任何数值 ，且x 在其取值范围内的任一区间中取值时 ，不其能列概出率试是验结确果定和的取此(c结o果nt的in概uo率u，s 只ra能nd给o出m一定范围 v和ar在ia此bl范e)围。内取值的概率。
，大体上分为两大类：
随机现象：事前不可预言其结果的，即在 保持条件不变的情况下，重复进行试验， 其结果未必相同（带有偶然性和不确定性 ）。 有如下特点：
➢ 在一定的条件实现时，有多种可能的结果发生，事前人们不能 预言将出现哪种结果；
➢ 对一次或少数几次观察或试验而言，其结果呈现偶然性、不确 定性；
【例】 测定关中地区不同小麦品种的蛋白质 含量，其蛋白质含量在9.3-13.5％之间，如用 x 表示测定结果，那么 x 值可以是这个范围内 的任何实数。
离散型随机变量：如果表示试验结果的变 量x，其可能取值为可列个 ，且以各种确定 的概率取这些不同的值 ( discrete random variable)；
如此定义的概率称为统计概率（statistics probability）
，或者称后验概率（posterior probability）。
例：为了确定抛掷一枚硬币出现正面朝上这个事件的概率 ，历史上有人作 过成千上万次抛掷硬币的试验。下表列出了他们的试验记录。
可看出，随着实验次数的增多，正面朝上这个事件发生的频率越来越 稳定地接近0.5，我们就把0.5作为这个事件的概率。
概率：刻划事件发生可能性大小的数量指标
统计概率定义： 在相同条件下进行 n 次重复试验，如果随机
事件A 发生的次数为 m ，那么 m/n 称为随机事 件 A 的频率（frequency）；当试验重复数 n 逐 渐增大时，随机事件 A 的频率越来越稳定地接 近某一数值 p ， 那么就把 p 称为随机事件 A 的 概率。
由若干个基本事件组合而成的事件称为
b 必然事件
在一定条件下必然会发生的事件（certain event），用Ω表示。 例如，一个大气压下，水 加热到100C，水会沸腾；种瓜得瓜、种豆得豆 。
c 不可能事件
在一定条件下不可能发生的事件（impossible event），用ф表示。
例如，在满足一定孵化条件下，从石头孵化出小鸡，就是一个不可能事件。
用A、B、C 等来表示。
a 基本事件
不能再分的事件（elementary event） ， 也称为样本点（sample point）。
例如，从编号为1、2、3、…、10 的十个 篮球中随机抽取1个篮球，有10种不同的可 能结果：
“ 取 得 一 个 编 号 是 1” 、 “ 取得一个编 号是2”、…、“取得一个编号是10”，这10个 事件都是不可能再分的事件，它们都是基本 事件。
必然事件与不可能事件实际上是确定性现象，它们不是随机事件， 但
是为了方便起见，我们把它们看作为两个特殊的随机事件。
1.2 概 率
1.2.1 概率统计定义
研究随机试验，仅知道可能发生哪些随 机事件是不够的，还需了解各种随机事 件发生的可能性大小，以揭示这些事件 的内在的统计规律性，从而指导实践。
这就要求有一个能够刻划事件发生可能 性大小的数量指标，这个指标应该是事 件本身所固有的，且不随人的主观意志 而改变，称之为概率（probability）。事 件A 的概率记为P（A）。