应用统计基本概念与抽样分布
抽样与抽样分布
抽样与抽样分布在统计学中，抽样是一种常用的数据收集方法，通过从总体中选择一部分样本来进行研究和分析。
抽样的目的是通过样本来推断总体的特征和性质。
在进行抽样时，我们需要了解抽样的方法和抽样分布的概念。
一、抽样方法1. 无偏抽样无偏抽样是指所有样本有相同被选中的机会。
这样可以确保样本的代表性，从而减小样本估计值和总体真值之间的误差。
常见的无偏抽样方法包括简单随机抽样、系统抽样和分层抽样等。
2. 有偏抽样有偏抽样是指样本的选择并不具有相等的机会。
这样可能导致样本的代表性不足，从而产生较大的估计误差。
有时，有偏抽样也可以用于特定的研究目的，但需要明确地说明和分析偏差带来的影响。
二、抽样分布1. 抽样分布的概念抽样分布是指统计量在各个可能样本上的取值分布。
统计量可以是样本均值、样本方差等。
抽样分布的性质对于进行统计推断和假设检验非常重要。
2. 样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布在中心极限定理的条件下近似服从正态分布。
中心极限定理指出，当样本容量足够大时，无论总体分布如何，样本均值的抽样分布都会接近正态分布。
3. 样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布在满足一些条件的情况下也近似服从正态分布。
这些条件包括样本容量足够大、总体比例接近0.5以及样本与总体之间的独立性等。
4. 样本方差的抽样分布样本方差的抽样分布不服从正态分布。
通常情况下，样本方差的抽样分布呈右偏态，即偏度大于0。
为了得到样本方差的抽样分布，可以使用抽样分布的近似分布，如卡方分布。
三、应用案例抽样与抽样分布的方法和理论在实际统计学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用案例：1. 调查研究在进行调查研究时，我们经常需要从总体中选择一部分样本进行问卷调查或面访。
通过利用抽样与抽样分布的方法，我们可以将样本的调查结果推广到总体中，从而得到总体的特征和性质。
2. 假设检验假设检验是统计学中常用的推断方法之一。
通过比较样本统计量与假设的总体参数值，我们可以判断假设的合理性。
统计学中的中心极限定理与抽样分布
统计学中的中心极限定理与抽样分布统计学是一门研究收集、整理、分析和解释数据的学科。
在统计学中，中心极限定理和抽样分布是两个重要的概念和原理。
它们在统计学的应用中起着至关重要的作用。
本文将对中心极限定理和抽样分布进行详细阐述。
一、中心极限定理中心极限定理是统计学中的一项核心概念，它描述了当从总体中抽取样本时，样本均值的分布会趋近于正态分布。
简而言之，中心极限定理指出，当样本容量足够大时，无论总体的分布形态如何，样本均值的分布都会接近于正态分布。
中心极限定理的重要性在于它为统计分析提供了一个基本的理论依据。
通过中心极限定理，我们可以进行推断性统计分析，并利用正态分布的性质进行假设检验、置信区间估计等。
以投掷硬币的实验为例，如果我们重复投掷大量次数，每次记录正面朝上的次数，那么这些次数的平均值将会呈现出正态分布。
即使每次投掷的结果并非正态分布，但通过中心极限定理，样本均值的分布将趋近于正态分布。
二、抽样分布抽样分布是指对从总体中抽取的样本数据进行统计分析后得到的分布。
在统计学中，我们通常不直接分析总体，而是通过对样本的分析来推断总体的特征。
而抽样分布则是这样的推断过程中，样本统计量的分布情况。
常见的抽样分布包括 t 分布、F 分布和卡方分布等。
这些分布是在特定条件下得出的，它们在统计推断中起着重要的作用。
1. t 分布t 分布是一种在小样本条件下使用的概率分布。
它与正态分布相似，但相对于正态分布而言，t 分布的尾部较宽。
t 分布的形态取决于自由度（样本容量减1），随着自由度的增加，t 分布逐渐逼近于正态分布。
t 分布常用于小样本条件下的统计推断，例如对两个样本均值进行比较时，使用 t 检验来判断两者是否有显著性差异。
2. F 分布F 分布是一种用于比较两个或更多组数据变异性的概率分布。
F 分布的形态取决于两个自由度，分子自由度表示组间变异的自由度，分母自由度表示组内变异的自由度。
F 分布常用于方差分析，用于比较多个样本组之间的差异性。
抽样分布的概念及重要性
抽样分布的概念及重要性抽样分布是统计学中一个重要的概念，它描述了从总体中抽取样本的过程中，统计量的分布情况。
在统计学中，我们通常无法对整个总体进行研究，而是通过抽取样本来推断总体的特征。
抽样分布的概念帮助我们理解样本统计量的变异性，并为统计推断提供了理论基础。
本文将介绍抽样分布的概念及其重要性。
一、抽样分布的概念抽样分布是指在相同条件下，重复从总体中抽取样本，并计算样本统计量的分布情况。
在抽样分布中，样本统计量可以是样本均值、样本比例、样本方差等。
抽样分布的特点是，当样本容量足够大时，样本统计量的分布会趋近于一个稳定的形态，即抽样分布的形状不会随着样本的变化而变化。
抽样分布的形态通常可以用正态分布来近似描述。
中心极限定理是支持抽样分布近似为正态分布的重要理论基础。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，无论总体分布是什么形态，样本均值的抽样分布都会近似于正态分布。
这使得我们可以利用正态分布的性质进行统计推断。
二、抽样分布的重要性抽样分布在统计学中具有重要的意义和应用价值。
以下是抽样分布的几个重要方面：1. 参数估计：抽样分布为参数估计提供了理论基础。
通过从总体中抽取样本，我们可以计算样本统计量，并利用抽样分布的性质来估计总体参数。
例如，通过计算样本均值来估计总体均值，通过计算样本比例来估计总体比例等。
2. 假设检验：抽样分布为假设检验提供了理论依据。
在假设检验中，我们需要根据样本数据来判断总体参数是否符合某个假设。
抽样分布的性质可以帮助我们计算出假设检验的统计量，并进行显著性检验。
3. 置信区间：抽样分布为置信区间的构建提供了理论基础。
置信区间是用来估计总体参数的范围，它可以告诉我们总体参数的估计结果的可信程度。
抽样分布的性质可以帮助我们计算出置信区间，并确定置信水平。
4. 抽样方法选择：抽样分布的性质可以帮助我们选择合适的抽样方法。
不同的抽样方法会对样本统计量的抽样分布产生不同的影响。
通过了解抽样分布的性质，我们可以选择适合的抽样方法，以提高统计推断的准确性。
统计学 第三章抽样与抽样分布
=10
= 50 X
总体分布
n= 4
x 5
n =16
x 2.5
x 50
X
抽样分布
从非正态总体中抽样
结论：
从非正态中体中抽样，所形成 的抽样分布最终也是趋近于正态分 布的。只是样本容量需要更大些。
总结：中心极限定理
设从均值为，方差为 2的一个任意总体中抽 取容量为n的样本，当n充分大时（超过30），样本 均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的
总体
样本
参数
统计量
总体与样本的指标表示法
总体参数
样本统计量
(Parameter) (Sample Statistic)
容量 平均数 比例 方差 标准差
N
n
X
x
p
2
s2
s
小练习
某药品制造商感兴趣的是用该公司开发的某 种新药能控制高血压人群血压的比例。进行了一 项包含5000个高血压病人个体的研究。他发现用 这种药后80%的个体，他们的高血压能够被控制。 假定这5000个个体在高血压人群中具有代表性的 话，回答下列问题： 1、总体是什么？ 2、样本是什么？ 3、识别所关心的参数 4、识别此统计量并给出它的值 5、我们知道这个参数的值么？
正态分布
一个任意分 布的总体
x
n
当样本容量足够 大时(n 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
x
X
总体分布
正态分布
非正态分布
大样本 小样本 大样本 小样本
正态分布
正态分布
非正态分布
三 中心极限定理的应用
中心极限定理(Central Limit theorem) 不论总体服从何种分布，从中抽取
统计学抽样与抽样分布
3. 需要包含所有低阶段抽样单位的抽样框；同时由于
实行了再抽样，使调查单位在更广泛的范围内展开
4. 在大规模的抽样调查中，经常被采用的方法
概率抽样（小结）
非概率抽样
n也叫非随机抽样，是指从研究目的出发，根据调查者的 经验或判断，从总体中有意识地抽取若干单位构成样本。
n重点调查、典型调查、配额抽样（是按照一定标准或一 定条件分配样本单位数量，然后由调查者在规定的数额内 主观地抽取样本）、方便抽样（指调查者按其方便任意选 取样本。如商场柜台售货员拿着厂家的调查表对顾客的调 查）等就属于非随机抽样。
样本分量：其中每一个Xi是一个随机变量，称为样本 分量。
样本观察值：一次抽样中所观察到的样本数据x1、x2、 x3称为样本观察值。 对于某一既定的总体，由于抽样的方式方法不同，样 本容量也可大可小，因而，样本是不确定的、而是可5
一、 几个概念
（二）样本总体与样本指标
样本指标（统计量）。在抽样估计中，用来反 映样本总体数量特征的指标称为样本指标，也 称为样本统计量或估计量，是根据样本资料计 算的、用以估计或推断相应总体指标的综合指 标。
3
总体和参数（续）
通常所要估计的总体指标有
X
NX
一、 几个概念
（二）样本总体与样本指标
样本总体。简称样本（Sample），它是按照随机原则， 从总体中抽取的部分总体单位的集合体 。
样本容量：样本中所包含的个体的数量，一般用n表示。 在实际工作中，人们通常把n≥30的样本称为大样本， 而把n<30的样本称为小样本。
（二）抽样平均误差（抽样标准误）
抽样平均误差是反映抽样误差一般水平的指标（因为 抽样误差是一个随机变量，它的数值随着可能抽取的 样本不同而或大或小，为了总的衡量样本代表性的高 低，就需要计算抽样误差的一般水平）。通常用样本 估计量的标准差来反映所有可能样本估计值与其中心 值的平均离散程度。
抽样分布知识点总结
抽样分布知识点总结抽样分布是统计学中一个重要的概念，它描述了在进行抽样时得到的样本统计量的分布情况。
抽样分布是统计推断的基础，它可以帮助我们理解抽样误差以及估计参数的可信度。
在本文中，我们将对抽样分布的基本概念、性质和相关理论进行总结和讨论。
一、基本概念1.1 抽样与总体在统计学中，总体是指我们想要研究的所有个体的集合，而抽样则是从总体中选取一部分个体作为样本，以获得对总体特征的估计。
抽样可以是随机抽样、分层抽样、系统抽样等方法，目的是代表性地反映总体的特征。
1.2 样本统计量在抽样中，对样本数据进行统计分析得到的统计量称为样本统计量，常见的样本统计量有均值、方差、标准差、比例等。
样本统计量能够提供有关总体参数的估计和推断。
1.3 抽样分布抽样分布是描述样本统计量的分布情况的统计学概念。
当我们从总体中抽取多个样本，并计算每个样本的统计量时，得到的这些统计量的分布就是抽样分布。
抽样分布可以反映出样本统计量的可变性、偏移和分布形态等特征。
二、性质2.1 中心极限定理中心极限定理是抽样分布理论中的重要定理，它描述了在一定条件下，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。
中心极限定理对于理解抽样分布的性质和应用具有重要意义，也为许多统计推断方法提供了理论基础。
2.2 大数定律大数定律是另一个重要的抽样分布性质，它描述了当样本容量足够大时，样本均值会收敛于总体均值，即样本均值的抽样分布会集中在总体均值附近。
大数定律为我们理解样本统计量的稳定性和准确性提供了重要参考。
2.3 置信区间置信区间是根据抽样分布推断总体参数的一种方法，通过对抽样分布的分布情况进行分析，我们可以建立对总体参数的置信区间，从而对总体特征进行推断。
置信区间对于统计推断的可信度和精度有着重要的作用。
三、理论基础3.1 样本容量样本容量是影响抽样分布的一个重要因素，在实际抽样中，样本容量的大小对于样本统计量的分布情况有着重要的影响。
通常情况下，样本容量越大，抽样分布的稳定性和准确性越高。
统计学5-2
五、样本平均值之差的分布
5.3 抽样分布
设x1是独立地抽自总体x1 ~N(μ1 ,σ12 )的一个容量为n1的样本， 则有：E(x1 -x 2 )=μ1 -μ 2 σ12 σ 2 2 D(x1 -x 2 )= + , n1 n 2 两个总体均为正态分布，则(x1 -x 2 )也为正态分布， σ12 σ 2 2 其均值为μ1 -μ 2，方差为 + n1 n 2
2 2( X )
n
一、抽样分布的含义 2、抽样分布的分类 样本均值的抽样分布 重置抽样样本均值的分布 不重置抽样样本均值的分布 样本成数的抽样分布 重置抽样样本均值的分布 不重置抽样样本均值的分布
5.3 抽样分布
二、样本均值的分布
1、总体方差 已知时，抽样平均数 x 的抽样分布
2
5.3 抽样分布
从正态总体中抽样得到的 样本平均数的分布服从正态分 布，从非正态总体中抽样得到 的样本平均数的分布呢？
中心极限定理
如果一个随机变量是由大量相互独立 的随机因素的综合影响所造成，而每一个 因素对这种综合影响中所起的作用不大. 则这种随机变量一般都服从或近似服从正 态分布. • 该定理表明：不论总体服从什么分布，只 要数学期望和方差存在，对这一总体进行重 复抽样，当样本容量n充分大时（n≥30）， n X i 或 X 就趋于正态分布。
小结：样本均值的分布
1、总体方差
x ~ N (, 重置抽样：
已知时
2
2
X ~ N ( , 2 )
X
/ n)
X ~ N (0,1) / n
不重置抽样：
2、总体方差 未知时 （1）大样本n≥30
2
2
N n X ~ N[ , ( )] n N 1
抽样分布样本统计量的分布及其应用
抽样分布样本统计量的分布及其应用在统计学中，抽样是一种数据分析的方法，它通过对总体中的一部分个体进行观察和测量来推断总体的特征。
而抽样分布是指抽取相同样本量的多个样本后得到的统计量的分布。
样本统计量是对样本数据进行计算得到的统计指标，它可以用来估计总体参数，并进行假设检验。
1. 抽样分布的基本概念抽样分布具有一些基本性质，首先是无偏性。
当样本容量趋向于总体容量时，样本统计量的期望值会无限接近总体参数的真实值。
其次是有效性，即样本统计量的方差趋近于零，它可以用来估计总体参数的精确度。
最后是一致性，样本统计量在样本容量逐渐增大时趋近于总体参数。
2. 抽样分布的常见形式常见的抽样分布有正态分布、t分布和卡方分布。
其中正态分布应用最为广泛，它在中心极限定理的作用下，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。
而t分布则适用于当总体标准差未知、样本容量较小的情况下，它的形状比正态分布要略扁平一些。
卡方分布则主要用于样本方差的估计与检验。
3. 抽样分布的应用抽样分布的应用非常广泛，常用于以下几个方面：3.1 参数估计通过抽样分布，我们可以利用样本统计量对总体参数进行估计。
例如，可以利用样本均值估计总体均值，利用样本标准差估计总体标准差。
通过计算置信区间，我们可以得到对总体参数的范围估计。
3.2 假设检验假设检验是统计学中非常重要的一项工具，用于判断样本数据是否支持某个假设。
基于抽样分布，我们可以计算统计量的P值，进而判断样本数据与假设的一致性。
常用的假设检验有均值检验、方差检验、比例检验等。
3.3 质量控制在生产过程中，质量控制是非常关键的。
通过对样本数据进行分析，可以判断生产过程是否正常。
例如，可以通过控制图分析样本均值的变化情况，以判断过程是否处于控制状态。
3.4 统计决策在实际决策中，我们往往需要依据样本数据来进行判断。
抽样分布提供了一种基于统计的决策依据。
例如，在市场调研中，我们可以通过对样本数据进行分析，对市场潜力进行预测，从而指导营销策略的制定。
《统计学》第9章 抽样与抽样分布
二、抽样中的基本概念
⚫ 样本比例（成数）
p = n1 ，q = n0 = 1− p
n
n
⚫ 样本是非标志的标准差
(n = n0 + n1)
sp =
n p (1− p) =
n −1
n pq n −1
⚫ 样本是非标志的方差
s
2 p
=
n n −1
p(1 −
p)
=
n n −1
pq
第一节 抽样和抽样方法
三、抽样方法
三、抽样方法
⚫ 多阶段抽样
⚫ 在实践中总体所包括的单位数很多，分布很广，通过一次 抽样就选出有代表性的样本是很困难的。此时可将整个抽 样过程分为几个阶段，然后逐阶段进行抽样，最终得到所 需要的有代表性的样本。
第一节 抽样和抽样方法
三、抽样方法
⚫ 多阶段抽样
⚫ 阶段数不宜过多，一般采用两个、三个阶段，至多四个阶 段为宜，否则，手续繁琐，效果也不一定好。
第一节 抽样和抽样方法
二、抽样中的基本概念
⚫ 总体参数
⚫ 总体参数是根据总体各单位的标志值或特征计算的、反 映总体某一属性的综合指标。
⚫ 总体参数是唯一的、确定的常数，但一般情况下又是未 知的。
⚫ 常用的总体参数有 ⚫ 总体均值 ⚫ 总体标准差、总体方差 ⚫ 总体比例（成数）
第一节 抽样和抽样方法
⚫ 样本标准差
s =
1 n −1
n i =1
(xi
−
x )2，或s
=
1
m
m
(xi − x )2 fi
fi −1 i=1
i =1
⚫ 样本方差
( ) ( ) s2 = 1 n n −1 i=1
概率论与数理统计基本概念及抽样分布PPT课件
~
2 (n1 ),
2 2
~
2 (n2 ), 且它们相互独立，
则
2 1
2 2
~
2 (n1
n2 )
《概率统计》
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结束
4. 2分布的百分位点
对给定的α（0＜α＜1）
（1）称满足
P{ 2
2
(n)}
，即
f ( y)dy
x2 ( n)
的点为 2分布的上100α百分位点。
f(y)
（2）称满足
注：在研究中，往往关心每个个体的一个(或几个)数量指标和 该数量指标在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有的数量 指标的全体就是总体.
或，总体：研究对象的某项数量指标的值的全体.
《概率统计》
某批 灯泡的 寿命
该批灯泡寿命的 全体就是总体
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结束
为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若 干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程 为 “抽样”.
( x)
（1）称满足条件 P{X＞Xα} =α，
α
即
( x)dx
X
的点Xα为N(0，1)分布的上100α百分位点.
X1－α
0
由于 P{X X } 1 记 －Xα= X1－α
（2）称满足条件 P {| X | X }
2
2
的点 X 为N(0，1)分布的双侧100α百分位点.
X
2
则
E(X )
E(1 n
n i 1
Xi)
1 n
n i 1
E(Xi )
1 n
n
D(X ) D(1 n
n i1
Xi)
统计学中的抽样分布和抽样误差
统计学中的抽样分布和抽样误差统计学是一门研究数据收集、处理和分析的学科，而在进行统计分析时，抽样是一项重要的技术。
抽样分布和抽样误差是统计学中关键的概念，本文将具体介绍它们的定义、特点和应用。
一、抽样分布在统计学中，抽样分布指的是从总体中抽取样本的过程中得到的样本统计量的概率分布。
样本统计量可以是样本均值、样本方差等。
抽样分布是由大量不同的样本所形成的，它们具有一定的数学特性。
抽样分布的特点有：1. 抽样分布的中心趋向于总体参数。
当样本容量足够大时，抽样分布的中心会接近总体参数的真值。
2. 抽样分布的形状可能与总体分布相同，也可能近似于正态分布。
中心极限定理是解释抽样分布接近正态分布的重要定理。
3. 样本容量越大，抽样分布的方差越小。
样本容量增大，抽样误差减小。
抽样分布在实际应用中具有重要价值。
通过了解抽样分布的性质，我们可以进行假设检验、构建置信区间以及进行参数估计等统计推断。
二、抽样误差抽样误差是指由于从总体中抽取样本而导致的估计值与总体参数值之间的差异。
它是统计推断中常见的误差来源，也是统计分析中需要控制的重要因素。
抽样误差的大小受到多个因素的影响，包括样本容量、总体变异性以及抽样方法等。
通常情况下，样本容量越大，抽样误差越小，因为更大的样本容量能够更好地代表总体。
为了降低抽样误差，我们可以采取以下策略：1. 增加样本容量。
增大样本容量可以减小抽样误差，提高估计值的准确性。
2. 采用随机抽样方法。
随机抽样可以降低抽样误差，确保样本的代表性。
3. 控制变异性。
尽量减少总体的变异性，可以减小抽样误差。
抽样误差的存在对于统计推断的可靠性有着重要的影响。
在进行数据分析和解释时，我们需要正确理解抽样误差的概念，并将其考虑在内。
总结：统计学中的抽样分布和抽样误差是进行统计推断不可或缺的概念。
抽样分布是样本统计量的概率分布，具有一定的数学特性，可以用于进行假设检验和置信区间估计。
抽样误差是由于从总体中抽取样本而导致的估计值与总体参数值之间的差异，它的大小受到多个因素的影响。
应用数理统计方法
应用数理统计方法一、前言数理统计是一门基础性的学科，它在各个领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍数理统计的基本概念和方法，以及如何应用这些方法解决实际问题。
二、基本概念1.总体和样本总体是指研究对象的全体，样本是从总体中抽取出来的一部分。
在实际应用中，由于总体往往非常庞大，因此我们只能对样本进行研究，通过对样本的研究来推断总体的特征。
2.参数和统计量参数是描述总体特征的数字指标，如平均数、方差等；统计量则是描述样本特征的数字指标，如样本均值、样本方差等。
通过对统计量进行分析，我们可以推断出总体参数的值。
3.抽样方法抽样方法包括随机抽样、系统抽样、整群抽样等。
其中随机抽样是最常用的一种方法，在实际应用中也被广泛采用。
三、数据处理1.数据收集在进行数据处理之前，首先需要收集数据。
数据可以通过问卷调查、实验观测等方式获取。
2.数据清洗在收集到数据之后，需要对数据进行清洗。
数据清洗包括删除重复数据、填补缺失数据等，以保证数据的准确性和完整性。
3.描述统计描述统计是对收集到的数据进行总结和分析的过程。
常用的描述统计方法包括频数分布、直方图、箱线图等。
四、概率分布1.离散型随机变量离散型随机变量是指取有限或无限个值的随机变量，如二项分布、泊松分布等。
2.连续型随机变量连续型随机变量是指取任意实数值的随机变量，如正态分布、指数分布等。
五、参数估计在实际应用中，我们往往只能通过样本来推断总体参数的值。
参数估计是根据样本统计量来推断总体参数值的过程。
常用的参数估计方法包括点估计和区间估计。
六、假设检验假设检验是一种通过样本推断总体特征是否符合某种假设的方法。
假设检验包括单样本检验、双样本检验等多种类型。
七、回归分析回归分析是一种通过建立数学模型来研究变量之间关系的方法。
回归分析包括简单线性回归、多元线性回归等多种类型。
八、实例应用1.医学领域在医学领域中，数理统计被广泛应用于临床试验、流行病学研究等方面。
例如，可以利用假设检验来判断某种药物是否有效，或者利用回归分析来研究某些因素对疾病发生的影响。
三大抽样分布的定义及应用
三大抽样分布的定义及应用三大抽样分布是指正态分布、t分布和卡方分布。
它们在统计学中具有重要的应用，并且广泛地被用于估计和推断总体参数。
正态分布是指具有钟形曲线的连续概率分布，其概率密度函数的形状由均值和标准差决定。
在实际应用中，正态分布广泛用于描述许多自然现象，例如人的智力分布、心脏跳动的间隔时间等等。
对于大样本量的情况下，根据中心极限定理，样本均值的分布可以近似服从正态分布。
因此，正态分布在统计推断中起到了至关重要的作用，例如用于构建置信区间、假设检验、回归分析等。
t分布是由英国统计学家威廉·戴韦提出的，是用来处理小样本量情况下的统计推断问题的一种概率分布。
t分布与正态分布相似，但是其概率密度函数的形状更加平坦，有更宽的尾部。
t分布的自由度是影响其形状的一个参数，自由度越小，尾部越厚重。
在小样本量的情况下，使用t分布进行统计推断可以更准确地估计总体参数。
例如，当样本量较小时，使用t分布来计算置信区间或进行假设检验，可以避免过度自信导致错误的推断结果。
卡方分布是由皮尔逊提出的，是应用在统计推断中的一种概率分布。
卡方分布常用于分析分类数据的相关性以及拟合度。
在这两个统计问题中，卡方分布提供了一个用于检验观察值与期望值之间的差异程度的方法。
卡方分布的自由度取决于数据的维度。
在统计推断中，卡方分布被广泛用于拟合度检验，例如用于检验样本的观察频数与理论频数是否有显著差异。
正态分布、t分布和卡方分布的应用在各个领域和学科中都非常广泛。
在医学研究中，这些分布被用于分析临床试验的数据，进行数据建模以及推断总体参数。
在市场研究中，这些分布被用于对市场数据进行概率分析和预测。
在财务管理中，这些分布被用于分析股价的波动性和风险评估。
在工程领域中，这些分布被用于分析产品的可靠性和质量控制。
总之，正态分布、t分布和卡方分布是统计学中的三大抽样分布，它们在统计推断中具有重要的应用价值。
通过使用这些分布进行数据分析和推断，我们可以准确地估计总体参数，进行假设检验，以及进行优化和决策制定等重要统计任务。
概率论与数理统计教案统计量和抽样分布
一、统计量和抽样分布的概念介绍1.1 统计量的定义讲解统计量的概念，即根据样本数据所定义的量，用来描述样本的某些特征。
例如，样本均值、样本方差等。
1.2 抽样分布的定义解释抽样分布是指在一定的抽样方法下，统计量的概率分布。
例如，正态分布、t分布等。
二、统计量的估计方法2.1 点估计介绍点估计的概念，即用一个具体的数值来估计总体参数。
例如，用样本均值来估计总体均值。
2.2 区间估计讲解区间估计的方法，即根据样本数据，给出总体参数估计的一个区间，该区间以一定的概率包含总体参数。
例如，置信区间。
三、抽样分布的性质及应用3.1 抽样分布的性质讲解抽样分布的一些基本性质，如独立性、对称性、无偏性等。
3.2 抽样分布的应用介绍抽样分布在实际问题中的应用，如利用抽样分布来判断总体均值的假设检验问题。
四、假设检验的基本概念和方法4.1 假设检验的定义解释假设检验是一种统计推断方法，通过观察样本数据，对总体参数的某个假设进行判断。
4.2 假设检验的方法讲解常见的假设检验方法，如单样本t检验、双样本t检验、卡方检验等。
4.3 假设检验的判断准则介绍假设检验的判断准则，如P值、显著性水平等，并解释其含义和作用。
六、正态分布及其应用6.1 正态分布的定义与性质详细介绍正态分布的概念、概率密度函数、累积分布函数以及其性质，如对称性、钟形曲线等。
6.2 标准正态分布解释标准正态分布的概念，即均值为0，标准差为1的正态分布。
讲解标准正态分布表的使用方法。
6.3 正态分布的应用介绍正态分布在实际问题中的应用，如利用正态分布来分析和估计总体均值、方差等参数。
七、t 分布及其应用7.1 t 分布的定义与性质讲解t 分布的概念、概率密度函数、累积分布函数以及其性质。
解释t 分布与正态分布的关系。
7.2 t 分布的自由度介绍t 分布的自由度概念，即样本量。
讲解自由度对t 分布形状的影响。
7.3 t 分布的应用介绍t 分布在实际问题中的应用，如利用t 分布进行小样本推断、假设检验等。
应用统计学(第四章 概率与概率分布)
服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量，x的取值落在区间 [x1,x2) 的概率P(x1≤x<x2)，等于服从标准正态分布的随机变 量u在[(x1-μ)/σ, (x2-μ)/σ)内取值的概率。
u x
P(a u b) Φ(b) Φ(a) P( u a) 2Φ(a) P( u <a) 1 2Φ(a) P(0 u<a) Φ(a) 0.50 P(u a) 1 Φ(a) Φ(a)
1)正态分布的特征
a. x=μ 时 f(x) 值最大，密度曲线以μ为中心分布
b. x-μ绝对值相等时f(x) 相等，密度曲线以μ为中心两侧 对称
c. f(x)是非负函数，以x轴为渐近线
d.正态分布曲线由参数μ，σ 决定， μ 确定正态分 布曲线在x轴上的中心位置，σ 确定正态分布的变异度
e.正态分布曲线在x =μ±σ 处各有一个拐点，曲线通
是根据随机事件本身的特性直接计算其概率 随机事件若满足
试验的所有可能结果只有有限个，即样本空间中的基本 事件只有有限个
各个试验的可能结果出现的可能性相等，即所有基本事 件的发生是等可能的
试验的所有可能结果两两互不相容
则若样本空间由n个等可能的基本事件所构成，其中事件A 包含有m个基本事件，则事件A的概率为m/n，即 P(A)=m/n
x-
x+
b.连续型变量的概率分布
连续型随机变量的概
率分布因取值数不可数而 样本容量 n 足够大时，频率分
不能用分布律来表示
布趋于稳定，近似地看成总
体概率分布
n 无限大时
频率转化为概率 频率密度转化为概率密度 频率分布转化为概率分布 曲线为总体概率密度曲线 函数f(x)称为概率密度函数
统计学中的抽样分布理论
统计学中的抽样分布理论统计学是一门深奥而又广泛应用的学科，其中抽样分布理论是其中一个重要支柱。
本文将从抽样、样本统计量和抽样分布三个方面进行论述，以便更好的理解其理论和应用。
一、抽样与样本统计量统计学的基本任务之一是推断总体特征。
但由于总体数据规模庞大，难以全面观察和分析，因此我们通常采用小样本的方式来代表总体。
这就是抽样的概念。
抽样是指从总体中随机抽取一部分数据，用这一部分数据代表总体，以此估计总体的特征。
常用的抽样包括简单随机抽样、分层抽样、整群抽样等。
在抽样中，一个样本统计量的重要性凸显出来，因为它可以帮助我们更好的估计总体的特征。
比如，一个数据集的均值和标准差就是两个重要的样本统计量。
二、抽样分布抽样分布是指在所有可能的样本中，某个样本统计量的分布情况。
这里需要区分参数（population）和统计量（sample statistic）之间的关系。
参数是总体参数，是我们想要研究的总体特征，比如总体均值、总体方差等。
统计量是在样本中计算出来的数值，比如样本均值、样本方差等。
样本统计量是对总体参数的估计，不同的样本统计量可能对总体参数的估计存在一定的差异。
抽样分布不同于总体分布。
总体分布是指总体中所有变量的分布，而抽样分布是指在所有可能的样本中，某个样本统计量的分布。
抽样分布是一个特殊的概率分布，其形状和参数取决于总体分布和样本大小。
这是因为在计算样本统计量时，会受到样本数量和样本变异的影响。
在实际使用中，我们通过抽样分布来推断总体参数。
具体方法是：首先，通过采样方法得到一个样本，计算该样本统计量的值。
然后，通过数学公式推算样本统计量的抽样分布，从而得到一个概率区间。
若该样本统计量恰好位于这个区间内，则认为该样本统计量的估计值与总体参数的差异可以用统计学上的概率来表示。
这个概率就是所谓的显著性水平（signicance level）。
三、中心极限定理中心极限定理是抽样分布理论中最为重要的定理之一。
应用统计学第6章 抽样分布与参数估计
μx
6. 3抽样分布
多大是足够的大？
6. 3抽样分布
例子
假设总体的平均数μ = 8 且标准差σ = 3. 假 设选中容量n = 36随机样本。
样本平均数介于7.8和8.2之间的概率是多少?
第6章 6. 3抽样分布
例子
(续)
结论:
即使总体非正态分布, 中心极限定理可以应用 (n > 30)
6.2 抽样误差
样本统计量和对应的总体参数之间的差异，称之为抽 样误差。
抽样误差的产生是由于抽样的非全面性和随机性所引 起的，是偶然性误差。
非抽样误差
抽样框误差 系统性误差 测量误差 登记误差
6. 3抽样分布
6. 3抽样分布
6.3.1 样本均值的抽样分布
6. 3抽样分布
1.样本均值的均值
样)
6. 3抽样分布
p的抽样分布
近乎正态分布分布，如果:
n 5
P( ps)
抽样分布
.3
且
.2
.1
n(1 ) 5
0 0 . 2 .4 .6
p
81
μ 其中 p
π
且
π(1 π)
σp
n
(其中 π = 总体比例)
6. 3抽样分布
比例的Z值
使用公式将p标准化为Z值:
p
Z
σp
p (1 )
n
在判断样本中，我们得到预先选好的专家就主题 发表的意见。
6.1 抽样理由和抽样方法
样本类型:概率样本
在概率样本中, 样本中条目的选择基于已知的概率。
概率样本
简单 随机样本
系统样本
分层样本 群样本
6.1 抽样理由和抽样方法
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• 例1.2 设总体X服从参数为 , 2 的正态分布，
求样本 ( X1, X 2, , X n ) 的分布密度。
解：总体X的分布密度为
f ,
2
(x)
1
1( x )2
e2
2
x
所以( X1, X 2,
f (x1, x2 ,
, X n ) 的概率分布为
, xn ) (
1
2
)n
exp(
1
2
2
(xi )2 )
• 统计量
• 统计量的定义
定义1.2 设 ( X1, X 2, , X n ) 为总体X的一个样本， T T ( X1, X 2, , X n )为 X1, X 2 , X n 的连续函数， 且不含有任何未知参数，则称T为一个统计量。
注:1.统计量是完全由样本确定的一个量，即样 本有一个观测值时,统计量就有一个唯一确定的 值;
的分布 P( X1 x1, X 2 x2 , X10 x10 )
10
10
P( X i xi ) pxi (1 p)1xi
i 1
i 1
p xi (1 p)10 xi
pT1 (1 p)10T1
• 由于P( X1 x1, X 2 x2 , X10 x10 ,T1 t1)
10
• 其分布密度为
f(n)
(x)
nx n1
n
0
0 x
其它
f (1)
(x)
n(
x) n1
n
0
0 x
其它
• 充分统计量
• 例：某厂要了解其产品的不合格率p，检验员 检查了10件产品，检查结果是，除前二件是 不合格品（记为 X1 1, X 2 1）外，其它都是 合格品（记为 X i 0,i 3,4,, n ）。当厂长问 及检查结果时检验员可作如下两种回答：
10
P( X i xi ) pxi (1 p)1xi
• 例1.3 设总体X为连续型的,求最大顺序统计量 与最小顺序统计量的分布密度 . 解: 最大顺序统计量 X (n) 的分布函数为
F(n) (x) P( X (n) x) P( X 1 x, X 2 x, X n x)
n
i 1
P(
X
i
x)
[F (x)]n
• 最小顺序统计量 的分布函数为
简单称随样机本样的本分，布F为(x样) 为本总分体布X。的如分果布函( X数1, X，2则, 样, X本n分) 为
布有比较简单的形式
F（x1, x2 ,, xn ) P( X1 x1, X 2 x2 ,, X n xn )
P( X1 x1)P( X 2 x2 )
n
i 1
F
(
xi
)
P( X n xn )
2.统计量是一个随机变量，它将高维随机变 量问题转化为一维随机变量来处理 ,但不会损 失所讨论问题的信息量.
• 常见的统计量 1.样本均值 2.样本方差 3.k 阶原点矩 4.k 阶中心矩
最大顺序统计量:X(1)
5.顺序统计量最小顺序统计量:X(n)
第K顺序统计量:X(k)
6.样本极差 与中位数
§1.2 总体、个体、样本
• 1.2.1 总体与个体 我们把所研究对象的全体称为总体或母体。
组成总体的每个单元称为个体 总体X可看作一个随机变量 ,称X的概率分布
为总体分布，称X的数字特征为总体的数字特 征 ,对总体进行研究就是对总体的分布或对总体 的数字特征进行研究 . • 1.2.2 样本
从总体中抽取的一部分个体称为样本或者子 样，其中所含个体的个数称为样本容量 .
F(1) (x) P( X (1) x) 1 P( X (1) x)
1 P(X1 x, X 2 x, , X n x)
n
1
பைடு நூலகம்
i 1
P(
X
i
x)
1 [1
F (x)]n
• 如果总体中服从均匀分布则
0
F(
n)
(
x)
xn
n
1
x0
0 x x
0
F(1)
(
x)
1
(
x)n
n
1
x0
0 x x
数理统计的基本概念与抽样分布
例:某钢筋厂每天可以生产某型号钢筋10000根， 钢筋厂每天需要对生产过程进行控制，对产品的 质量进行检验。如果把钢筋的强度作为钢筋质量 的重有指标，于是质量管理人员需要做如下方面 的工作
第一，对生产出来的钢筋的强度进行检测，获 得必要的数据。
第二，对通过抽样获取的部分数据进行整理、 分析并推断出这10000根钢筋的质量是否合乎要 求。
X服从0-1分布，参数就是次品率p。如果为简单随机样 本，求样本分布.
P(解X：总x体)X的p概x率(1分布p为)1x ,
所以( X1, X 2 , , X n )的概率分布为
n
P( X 1
x1, X 2
x2 ,, X n
xn )
p xi (1 i 1
p )1 xi
n
n
xi
n xi
p i1 (1 p) i1
样本具有二重性：随机性和确定性
• 定义1.1 设总体X的样本满足 ⑴ 独立性：每次观测结果既不影响其它结果，也不受其
它结果的影响；即相互独立； ⑵ 代表性：样本中每一个个体都与总体X有相同分布。 则称此样本为简单随机样本。
进行有放回抽样就是简单随机样本 ,无放回抽样就 不是简单随机样本。但N很大，n相对较小时无放回抽 样得到的样本可以近似看作简单随机样本.
(1) 10件中有两件不合格；
(2) 前两件不合格。
这两种回答反映了检验员对样本的两种不同 的加工方法。其所用的统计量分别为
10
T1 X i ; I 1
T2 X 1 X 2
• 显然，第二种回答是不能令人满意的，因为统 计量不包含样本中有关p的全部信息。而第一 种回答是综合了样本中有关p的全部信息。因 为样本 ( X1, X 2 , X10 )提供了两种信息：
它完全由总体X的分布函数确定
两种形式
n
f
(x1, x2 ,,
xn )
i 1
f
(xi
)
n
P( X 1
x1, X 2
x2 ,, X n
xn )
i 1
pi
例1.1 设有一批产品，其次品率为p，如果记“X 0 ”
表示抽取一件产品是次品；X“ 1 ” 表示抽取一件
产品是正品；那么，产品的质量就可以用X的分布来衡 量。
(1) 10次检验中不合格品出现了几次；
(2) 不合格品出现在哪几次试验上。
第二种信息（试验编号信息）对了解不合格
品率p是没有什么帮助的 .
充分统计量就是能把含在样本中有关总体或
者参数的信息一点都不损失地提取出来。或者
说充分统计量包含了有关总体或有关参数的全 部信息.
考虑样本 ( X1, X 2 , X10 )