常用的统计量抽样分布总结

常用的统计量抽样分布

一．正态分布

1. ∑==n

i i X n X 1

1EX →

2. 2

12)(11∑=--=n i i X X n S ][112

1

2∑=--=n i i X n X n DX →

3. 定理：

X ～),(2σμN ，n X X X ,,,21 为X 的样本，则 (1). X ～),

(2

n

N σμ，

(2).

2

2

)1(σ

S n -～)1(2-n χ,

(3). X 与2S 相互独立。 二．2χ分布 1. 定义

设n X X X ,,,21 独立同分布，且～)1,0(N ，则)(~2122

n X n

i i χχ∑==

2. 性质：

(1). 若X ～)(12n χ，Y ～)(22n χ，且X ,Y 独立，则X +Y ～)(212n n +χ。 (2). 若X ～)(2n χ，则n EX =，2DX n =。 三．t 分布 1. 定义

设X ～)1,0(N ,Y ～)(2n χ，且X ,Y 独立，则n

Y X T =～)(n t 。

2. 定理：

设n X X X ,,,21 独立同分布，且～),(2σμN ，则

n

S X μ

-σ

σ

μS

n X )(-=1

)1()

(2

2

---=

n S

n n X σσ

μ～)1(-n t

（因为

n

X σ

μ-～)1,0(N ，

2

2

)1(σ

S n -～)1(2-n χ）。

3. 定理：

设1,,,21n X X X 为总体X ～),(21σμN 的样本，

1,,,21n Y Y Y 为总体Y ～),(22σμN 的样本，且Y X ,独立，则

2

1211

1)()(n n S Y X w

+---μμ～)2(21-+n n t ，其中

2

)1()1(212

2

22112-+-+-=n n S n S n S w

。

证：因为

2

2

11)1(σ

S n -～)1(12

-n χ,

2

2

2

2)1(σ

S n -～)1(22-n χ，

所以

2

2

2

2211)1()1(σS n S n -+-～)2(212-+n n χ；

又X ～),

(1

2

1n N σμ，Y ～),

(2

2

2n N σμ，

所以X Y -～),

(2

2

1

2

21n n N σσμμ+

+，

所以

2

12111)

()(n n Y X +---σ

μμ～)1,0(N ，所以 2

12111)()(n n S Y X w

+---μμ

2

12111)

()(n n Y X +---=

σμμ/

)2/()1()1(212

2

2

2211-+-+-n n S n S n σ

～)2(21-+n n t 。

四．F 分布 1. 定义

设U ～)(12n χ,V ～)(22n χ,且V U ,独立，则2

1n V

n U

F =～),(21n n F 。

2. 定理：

设F ～),(21n n F ，则F

1

～),(12n n F 3. 定理：

设1,,,21n X X X 为总体X ～),(211σμN 的样本，

1,,,21n Y Y Y 为总体Y ～),(2

22σμN 的样本，且Y X ,独立，则

)1,1(~//2122

222

121--=n n F S S F σσ。

常用的统计量抽样分布示例

例 1 设2521X X X ，

，是来自总体()1~2

χX 的一个样本，则∑=25

1

i i

X

服从

()252χ分布；

例2设随机变量21,X X ,3X 相互独立，1X ～)1,0(N ,2X ～)2

1

,0(N ,3X ～

)3

1,0(N ，则232

2

2132X X X ++服从)3(2χ分布。 例3 设总体X 服从)2,0(2

N ，而1521,,,X X X 为来自总体X 的简单随机样

本,则随机变量)

(22

152112

10

2221x X X X X Y ++++= 服从)5,10(F 分布。 例 4 设随机变量Y X ,相互独立且都服从)3,0(2

N ，而921,,,X X X 和

921,,,Y Y Y 为分别来自总体X 和Y 的简单随机样本,则统计量

29

2

1

9

21Y

Y X X X U ++++=

服从)9(t 分布。

例5 设n X X X ,,,21 )2(≥n 为来自总体)1,0(N 的简单随机样本,X 是样本均

值，2

S 是样本方差，则 D .