(完整版)全国中等职业技术学校通用教材(第五版)数学教案_第1章

全国中等职业技术学校通用教材(第五版)数学教案_第1章

如：
根据公式，上式可变为
即：
可直接开方方法求解，求得解为
③因式分解法
什么样的一元二次方程适合运用此种方法求解？
如：
即有a+b=-3；a×b=2，解得
a=-1；b=-2 ,则原式可变为
（x-1）（x-2）=0
求得解为x=1，或x=2。
学生听课做笔记
思考：为什么要这样？
教师活动
学生活动
④公式法
什么样的一元二次方程适合运用此种方法求解？
学生思考做练习
教师活动
学生活动
小结：（5分钟）
幂的运算法则
常用乘法公式
因式分解
课后作业：
练习册P2 A组，
板书设计
教学随笔
第一章数式与方程第一节数式的运算二
一、幂的运算法则（其中a、b不为0，m、n是整数）
二、常用乘法公式
三、因式分解
多项式的因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积，多项式的因式分解和整式的乘法是相反方向的变换。
学生听课做笔记
教师活动
学生活动
解-8的立方根为
16的四次方根为
小结：（5分钟）
指数幂、根、根式
课后作业：
练习册P4 B组
板书设计
教学随笔
第一章数式与方程第一节数式的运算四
一、指数幂
1.正整数幂
2.零指数幂
3.负整数指数幂
二、根
1.平方根若，则称x为a的平方根（二次方根）。
2.立方根若，则称x为a的立方根（三次方根）。
3.n次方根若（a是一个实数，n是大于1的正整数）则称数x为a的一个n次方根。
三、n次根式
我们把形如（有意义时）的式子称为n次根式，其中n称为根指数，a称为被开方数，正的n次方根称为a的n次算术根，并且（n>1,n是正整数）

2024年度-高教版中职数学基础模块上册电子教案完整版

二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$（ $aneq0$）的函数，其图像是一个抛物线。
03
指数函数
指数函数是形如$y=a^x$（ $a>0,aneq1$）的函数，其图像是一个指数曲线。
05
04
对数函数
对数函数是形如$y=log_a
x$（
$a>0,aneq1$）的函数，其图像是一
个对数曲线。
14
斜率计算
直线的斜率k是直线倾斜角的正切值，即k = tanα。已知直线上两点坐标(x1, y1)和(x2, y2)，可以通过斜率公式k = (y2 - y1) / (x2 - x1)计算直线的斜率。
斜率性质
当直线与x轴垂直时，斜率不存在；当直线与x轴平行或重合时，斜率为0。
25
圆方程求解与圆心半径确定
04
三角函数及其应用
15
任意角三角函数定义及性质
任意角三角函数的定义
通过单位圆上的点的坐标来定义任意角的正弦、余弦和正切函数。
三角函数的性质
包括周期性、奇偶性、增减性、最值等性质。
诱导公式
利用周期性将任意角的三角函数转化为锐角三角函数进行计算。
16
三角函数图像和变换
三角函数图像
正弦函数、余弦函数和正切函数的图像及其特点。
其他应用
如地理中的太阳高度角计算、物理中的力学问题等。
18
05
数列与数学归纳法
19
数列概念及表示方法
数列定义
按照一定顺序排列的一列数。
数列的表示方法
通项公式、递推公式、图像法和列表法。
数列的分类
有穷数列和无穷数列；递增数列、递减数列和常数列；周期数列和非周期数列。

中职数学教案

动物科技学院数学课程技术理论教学教案注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分。

如：{直角三角形}；{大于104的实数} （2）错误表示法：{实数集}；{全体实数} 例3 用描述法表示下列集合（1）不等式2x+1《=0的解集（2）所有奇数组成的集合（3）由第一象限内所有的点组成的集合3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。

注：何时用列举法？何时用描述法？（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法。

如：集合{1000以内的质数}（2）有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。

如：集合}1|),{(2+=x y y x ；集合{1000以内的质数} 五、集合与集合的关系1. 元素与集合之间的关系是什么？元素与集合是从属关系，即对一个元素x 是某集合A 中的元素时，它们的关系为x ∈A ．若一个对象x 不是某集合A 中的元素时，它们的关系为x A ．2. 集合有哪些表示方法？列举法，描述法，Venn 图法．数与数之间存在着大小关系，那么，两个集合之间是不是也存在着类似的关系呢？先看下面两个集合：A ＝｛1，2，3｝，B ＝｛1，2，3，4，5｝．它们之间有什么关系呢？两集合相等：如果集合A 中的每一个元素都是集合B 中的元素，即A B ，反过来，集合B 的每一个元素也都是集合A 中的元素，即B 》A ，那么就说集合A 等于集合B ，记作A ＝B ． 3. 子集、真子集的有关性质由子集、真子集的定义可推知：（1）对于集合A ，B ，C ，如果A B ，B C ，那么A C ．（2）对于集合A ，B ，C ，如果A B ，B C ，那么A C ．（3）A A．（3）空集是任何非空集合的真子集．六、小结回顾本节课学习了以下内容：元素三要素：确定性、互异性、无序性表示法：列举法、描述法、Veen图法分类：有限集和无限集集合与元素：“属于”或者”不属于“，记成a∈A，a∉A集合与集合：子集、相等、真子集、空集子集：A中任意一元素均为B中的元素，记做A⊆B或B⊇A真子集：A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素A中没有，记做A B（或B A）空集：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

中职教育-数学(基础模块)上册课件：第一章.ppt

特别地，不含任何元素的集合称为空集，记作．例如，方程 x2 1 0 在实数范围内的解集就是空集．
例1 下列对象能否组成一个集合？（1）所有短发的女生；（2）小于10的正奇数；（3）方程x2－9=0的所有解；（4）不等式x－7＞0的所有解．
解（1）由于短发没有具体的标准，表述的对象是不确定的，所以不能构成一个集合．
例指出条件p是结论q的什么条件．（1）p ：x 1 ，q ：| x| 1；（2）p ：x 5 ，q ：x 0；（3）p ：x 4 ，q ：(x 4)2 0 ；（4）p ：x 0 ，q ：xy 0；（5）p ：x2 49，q ：x 7 0；（6）p ： 4x 12 0 ，q ：x 3 ．
g ，o ，d．
（2）解方程x2 2x 3 0 得
所以该方程的解集为
x1 3，x2 1，
3，1 ．
例4 用描述法表示下列集合：（1）大于3的所有奇数组成的集合；（2）不等式3x 1…0 的解集；（3）直线 y 2x 1 上的点组成的集合．
解（1）该集合中元素的共同属性可以描述为 x 3，且x 2k 1，k Z ，
（2）由于小于10的正奇数包括1，3，5，7，9五个数，它们是确定的对象，因此可以构成一个集合．
（3）方程 x2 9 0 的解为3和－3 ，它们是确定的对象，因此可以构成一个集合．
（4）解不等式x 7 0 ，可得 x 7，它们是确定的对象，因此可以构成一个集合．由方程的所有解组成的集合称为这个方程的解集；由不等式的所有解组成的集合称为这个不等式的解集．显然，方程的解集和不等式的解集都是数集．
它的真子集．
1.2.2 集合相等
一般地，如果两个集合的元素完全相同，那么就说这两个集合相等．集合A等于集合B，记作，读作“A等于B”．

中职数学(基础模块)教案

中职数学（基础模块）教案1．1集合的概念知识目标：（1）理解集合、元素及其关系；（2）掌握集合的列举法与描述法，会用适当的方法表示集合．能力目标：通过集合语言的学习与运用，培养学生的数学思维能力.教学重点：集合的表示法．教学难点：集合表示法的选择与规范书写．课时安排：2课时．1.2集合之间的关系知识目标：（1）掌握子集、真子集的概念；（2）掌握两个集合相等的概念；（3）会判断集合之间的关系.能力目标：通过集合语言的学习与运用，培养学生的数学思维能力.教学重点：集合与集合间的关系及其相关符号表示．教学难点：真子集的概念．课时安排：2课时．1.3集合的运算（1）知识目标：（1）理解并集与交集的概念；（2）会求出两个集合的并集与交集．能力目标：（1）通过数形结合的方法处理问题，培养学生的观察能力；（2）通过交集与并集问题的研究，培养学生的数学思维能力．教学重点：交集与并集．教学难点：用描述法表示集合的交集与并集．课时安排：2课时．1.3集合的运算（2）知识目标：（1）理解全集与补集的概念；（2）会求集合的补集．能力目标：（1）通过数形结合的方法处理问题，培养学生的观察能力；（2）通过全集与补集问题的研究，培养学生的数学思维能力．教学重点：集合的补运算．教学难点：集合并、交、补的综合运算．课时安排：2课时．1.4充要条件知识目标：了解“充分条件”、“必要条件”及“充要条件”．能力目标：通过对条件与结论的研究与判断，培养思维能力．教学重点：（1）对“充分条件”、“必要条件”及“充要条件”的理解．（2）符号“”，“”，“”的正确使用．教学难ZYB重油煤焦油专用泵点：“充分条件”、“必要条件”、“充要条件”的判定．课时安排：2课时．2.1不等式的基本性质知识目标：⑴理解不等式的基本性质；⑵了解不等式基本性质的应用．能力目标：⑴了解比较两个实数大小的方法；⑵培养学生的数学思维能力和计算技能．教学重点：⑴比较两个实数大小的方法；⑵不等式的基本性质．教学难点：比较两个实数大小的方法．课时安排：1课时．2．2区间知识目标：⑴掌握区间的概念；⑵用区间表示相关的集合．能力目标：通过数形结合高温导热油泵的学习过程，培养学生的观察能力和数学思维能力．教学重点：区间的概念．教学难点：区间端点的取舍．课时安排：1课时．2.3一元二次不等式知识目标：⑴了解方程、不等式、函数的图像之间的联系；⑵掌握一元二次不等式的图像解法．能力目标：⑴通过对方程、不等式、函数的图像之间的联系的研究，培养学生的观察能力与数学思维能力；⑵通过求解一元二次不等式，培养学生的计算技能．教学重点：⑴方程、不等式、函数的图像之间的联系；⑵一元二次不等式的解法．教学难点：一元二次不等式的解法．课时安排：2课时．2.4含绝对值的不等式知识目标：（1）理解含绝对值不等式或的解法；（2）了解或的解法．能力目标：（1）通过含绝对值不等式的学习；培风冷式离心油泵养学生的计算技能与数学思维能力；（2）通过数形结合的研究问题，培养学生的观察能力．教学重点：（1）不等式或的解法．（2）利用变量替换解不等式或．教学难点：利用变量替换解不等式或．课时安排：2课时．3.1函数的概念及其表示法知识目标：(1)理解函数的定义；(2)理解函数值的概念及表示；(3)理解函数的三种表示方法；(4)掌握利用“描点法”作函数图像的方法．能力目标：(1)通过函数概念的学习，培养学生的数学思维能力；(2)通过函数值的学习，培养学生的计算能力和计算工具使用技能；(3)会利用“描点法”作简单函数的图像，培养学生的观察能力和数学思维能力．教学重点：(1)函数的概念；(2)利用“描点法”描绘函数图像．教学难点：(1)对函数的概念及记号的理解；(2)利用“描点法”描绘函数图像．课时安排：2课时．3.2函数的性质知识目标：⑴理解函数的单BWCB沥青泵调性与奇偶性的概念；⑵会借助于函数图像讨论函数的单调性；⑶理解具有奇偶性的函数的图像特征，会判断简单函数的奇偶性．能力目标：⑴通过利用函数图像研究函数性质，培养学生的观察能力；⑵通过函数奇偶性的判断，培养学生的数学思维能力．教学重点：⑴函数单调性与奇偶性的概念及其图像特征；⑵简单函数奇偶性的判定．教学难点：函数奇偶性的判断．（*函数单调性的判断）课时安排：2课时．3.3函数的实际应用举例知识目标：（1）理解分段函数的概念；（2）理解分段函数的图像；（3）了解实际问题中的分段函数问题．能力目标：（1）会求分段函数的定义域和分YHB立式齿轮泵段函数在点处的函数值；（2）掌握分段函数的作图方法；（3）能建立简单实际问题的分段函数的关系式．教学重点：（1）分段函数的概念；（2）分段函数的图像．教学难点：（1）建立实际问题的分段函数关系；（2）分段函数的图像．课时安排：2课时．4.1实数指数幂(1)知识目标：⑴复习整数指数幂的知识；⑵了解n次根式的概念；⑶理解分数指数幂的定义.能力目标：⑴掌握根式与分数指数幂之间的转化；⑵会利用计算器求根式和分数指数幂的值；⑶培养计算工具使用技能.教学重点：分数指数幂的定义．教学难点：根式和分数YHB轴头齿轮油泵指数幂的互化．课时安排：2课时．4.1实数指数幂（2）知识目标：⑴掌握实数指数幂的运算法则；⑵通过几个常见的幂函数，了解幂函数的图像特点.能力目标：⑴正确进行实数指数幂的运算；⑵培养学生的计算技能；⑶通过对幂函数图形的作图与观察，培养学生的计算工具使用能力与观察能力.教学重点：有理数指数幂的运算．教学难点：有理数指数幂的运算．课时安排：2课时．4．2指数函数知识目标：⑴理解指数函数的图像及性质；⑵了解指数模型，了解指数函数的应用．能力目标：⑴会画出指数函数的简图；⑵会判断指数函数的单调性；⑶了解指数函数在生活生产中的部分应用，从而培养学生分析与解决问题能力．教学重点：⑴指数函数的概念、图像和性质；⑵指数沥青拌合站增压泵函数的应用实例．教学难点：指数函数的应用实例．课时安排：2课时．4．3对数知识目标：⑴理解对数的概念，理解常用对数和自然对数的概念；⑵掌握利用计算器求对数值的方法；⑶了解积、商、幂的对数．能力目标：⑴会进行指数式与对数式之间的互化；⑵会运用函数型计算器计算对数值；⑶培养计算工具的使用技能．教学重点：指数式与对数式的关系．教学难点：对数的YCB齿轮泵概念．课时安排：2课时．4．4对数函数知识目标：⑴了解对数函数的图像及性质特征；⑵了解对数函数的实际应用. 能力目标：⑴观察对数函数的图像，总结对数函数的性质，培养观察能力；⑵通过应用实例的介绍，培养学生数学思维能力和分析与解决问题能力.教学重点：对数函数的图像及性质.教学难点：对数函数的应用中实际ZYB-33.3A问题的题意分析．课时安排：2课时．5．1角的概念推广知识目标：⑴了解角的概念推广的实际背景意义；⑵理解任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念．能力目标：（1）会判断角所在的象限；（2）会求指定范围内与已知角终边相同的角；（3）培养观察能力和计算技能．教学重点：终边相同角的概念．教学难点：终边相同角的表示和确定．课时安排：2课时．5．2弧度制知识目标：⑴理解弧度制的概念；⑵理解角度制与弧度制的换算关系.能力目标：（1）会进行角度制与弧度制的换算；（2）会利用计算器进行角度制与弧度制的换算；（3）培养学生的计算技能与计算工具使用技能．教学重点：弧度制的概念，弧度与角度的换算．教学难点：弧度制的概念．课时安排：2课时．5．3任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数知识目标：⑴理解任意角的三角函数的定义及定义域；⑵理解三角函数在各象限的正负号；⑶掌握界限角的三ZYB系列渣油泵角函数值．能力目标：⑴会利用定义求任意角的三角函数值；⑵会判断任意角三角函数的正负号；⑶培养学生的观察能力．教学重点：⑴任意角的三角函数的概念；⑵三角函数在各象限的符号；⑶特殊角的三角函数值．教学难点：任意角的三角函数值符号的确定．课时安排：2课时．5．4同角三角函数的基本关系知识目标：理解同角的三角函数基本关系式．能力目标：⑴已知一个三角函数值，会利用同角三角函数的基本关系式求其他的三角函数值；⑵会利用同角三角函数的基本关系式求三角式的值．教学重点：同角的三角函数基本关系式的应用．教学难点：应用平方关系求正弦或余弦值时，正负号的确定.课时安排：2课时．5．5诱导公式知识目标：了解“”、“”、“180°”的诱导公式．能力目标：（1）会利用简化公式搅拌站渣油泵将任意角的三角函数的转化为锐角的三角函数；（2）会利用计算器求任意角的三角函数值；（3）培养学生的数学思维能力及应用计算工具的能力．教学重点：三个诱导公式．教学难点：诱导公式的应用．课时安排：2课时．5.6三角函数的图像和性质知识目标：(1)理解正弦函数的图像和性质；(2)理解用“五点法”画正弦函数的简图的方法；(3)了解余弦函数的图像和性质．能力目标：(1)认识周期现象，以正弦ZYB型增压渣油泵函数、余弦函数为载体，理解周期函数；(2)会用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图；(3)通过对照学习研究，使学生体验类比的方法，从而培养数学思维能力．教学重点：（1）正弦函数的图像及性质；（2）用“五点法”作出函数y=sinx在上的简图．教学难点：周期性的理解．课时安排：2课时．5.7已知三角函数值求角知识目标：（1）掌握利用计算器求角度的方法；（2）了解已知三角函数值，求指定范围内的角的方法．能力目标：（1）会利用计算器求角；（2）已知三角函数值会求指定范围内的角；（3）培养使用计算工具的技能．教学重点：已知三角函数值，利用计算器求角；利用诱导公式求出指定范围内的角．教学难点：已知三角函数值，利用计算器求指定范围内的角．课时安排：2课时．6．1数列的概念知识目标：（1）了解数列的有关ZYB重油泵概念；（2）掌握数列的通项（一般项）和通项公式．能力目标：通过实例引出数列的定义,培养学生的观察能力和归纳能力．教学重点：利用数列的通项公式写出数列中的任意一项并且能判断一个数是否为数列中的一项．教学难点：根据数列的前若干项写出它的一个通项公式．课时安排：2课时．6．2等差数列（一）知识目标：（1）理解等差数列的定义；（2）理解等差数列通项公式．能力目标：通过学习等差数列的通项公式,培养学生处理数据的能力．教学重点：等差数列的通项公式．教学难点：等差数列通项公式的推导．课时安排：2课时．6．2等差数列知识目标：理解等差数列通项公式及前项和公式．能力目标：通过学习前项和公ZYB煤焦油泵式,培养学生处理数据的能力．教学重点：等差数列的前项和的公式．教学难点：等差数列前项和公式的推导．课时安排：2课时．6．3等比数列知识目标：（1）理解等比数列的定义；（2）理解等比数列通项公式．能力目标：通过学习等比数列的通项公式,培养学生处理数据的能力．教学重点：等比数列的通项公式．教学难点：等比数列通项公式的推导．课时安排：2课时．6．3等比数列知识目标：理解等比数列前项和公式．能力目标：通过学习等沥青拌合站重油泵比数列前项和公式,培养学生处理数据的能力．教学重点：等比数列的前项和的公式．教学难点：等比数列前项和公式的推导．课时安排：3课时．7.1平面向量的概念及线性运算知识目标：（1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念；（2）掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．能力目标：通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力．教学重点：向量的线性运算．教学难点：已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件．课时安排：2课时．7.2平面向量的坐标表示知识目标：（1）了解向量坐标的概念，了解向量加法、减法及数乘向量运算的坐标表示；（2）了解两个向量平行的充要条件的坐标形式.能力目标：培养学生应用向量知识解决问题的能力.教学重点：向量线性运算的坐标表高温导热油泵示及运算法则.教学难点：向量的坐标的概念.采用数形结合的方法进行教学是突破难点的关键. 课时安排：2课时．7.3平面向量的内积知识目标：（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义；（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.能力目标：通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力．教学重点：平面向量数量积的概念及计算公式.教学难点：数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．课时安排：2课时．8．1两点间的距离与线段中点的坐标知识目标：掌握两点间的距离公式与中点坐标公式；能力目标：用“数形结合”的方法，介绍两个公式．培养学生解决问题的能力与计算能力．教学重点：两点间的距离公式与YHB润滑齿轮泵线段中点的坐标公式的运用教学难点：两点间的距离公式的理解课时安排：2课时．8．2直线的方程知识目标：（1）理解直线的倾角、斜率的概念；（2）掌握直线的倾角、斜率的计算方法．能力目标：采用“数形结合”的方法，培养学生有条理地思考问题．教学重点：直线的斜率公式的应用．教学难点：直线的斜率概念和公式的理解．课时安排：2课时．8．2直线的方程（二）知识目标：（1）了解直线与方程的关系；（2）掌握直线的点斜式方程、斜截式方程，理解直线的一般式方程．能力目标：培养学生解决问题的能沥青拌合站增压泵力与计算能力．教学重点：直线方程的点斜式、斜截式方程．教学难点：根据已知条件，选择直线方程的适当形式求直线方程．课时安排：2课时．8．3两条直线的位置关系（一）知识目标：（1）掌握两条直线平行的条件；（2）能应用两条直线平行的条件解题．能力目标：培养学生的数学思维及分析问题和解决问题的能力．教学重点：两条直线平行的条件．教学难点：两条直线平行的判断及应用．课时安排：2课时．8．3两条直线的位置关系（二）知识目标：（1）掌握两条直线平行的条件；（2）能应用点到直线的距离公式解题．能力目标：培养学生的数学思维及分析问题和解决问题的能力．教学重点：两条直线的位置关系，点到直线的距离公式．教学难点：两条直线的位置关系的ZYB点火增压燃油泵判断及应用．课时安排：2课时．8．4圆（一）知识目标：（1）了解圆的定义；（2）掌握圆的标准方程和一般方程．能力目标：培养学生解决问题的能力与计算能力．教学重点：圆的标准方程和一般方程的理解与应用．教学难点：对圆的标准方程和一般方程的正确认识．课时安排：2课时．8．4圆（二）知识目标：（1）理解直线和圆的位置关系；（2）了解直线与圆相切在实际中的应用．能力目标：培养学生的数学思维及分析问题和解决问题的能力．教学重点：直线与圆的位置关系的理解和掌握．教学难点：直线与圆的位置关系的判定．课时安排：2课时．9.1平面的基本性质知识目标：（1）了解平面的概念、平面的基本性质；（2）掌握平面的表示法与画法．能力目标：培养学生的空间想象能3GR普通型三螺杆泵力和数学思维能力．教学重点：平面的表示法与画法．教学难点：对平面的概念及平面的基本性质的理解．课时安排：2课时．9.2直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质知识目标：（1）了解两条直线的位置关系；（2）掌握异面直线的概念与画法，直线与直线平行的判定与性质；直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定与性质；平面与平面的位置关系，平面与平面平行的判定与性质．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．教学重点：直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质．教学难点：异面直线的想象与理YCB齿轮泵解．课时安排：2课时．9.3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角知识目标：（1）了解两条异面直线所成的角的概念；（2）理解直线与平面垂直、直线与平面所成的角的概念，二面角及其平面角的概念．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．教学重点：异面直线的概念与两条异面直线所成的角的概念、直线与平面所成的角的概念、二面角及其平面角的概念．教学难点：两条异面直线所成的角的概念、二面角的平面角的确定．课时安排：2课时．9.4直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质知识目标：（1）了解空间两条直线垂直的概念；（2）掌握与平面垂直的判定方法与性质，平面与平面垂直的判定方法与性质．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．教学重点：直线与平面、平面与平面垂直的判定方法与性质．教学难点：判定空间直线与直KCB型不锈钢齿轮泵线、直线与平面、平面与平面垂直．课时安排：2课时．9.5柱、锥、球及其简单组合体(一)知识目标：（1）了解棱柱、棱锥的结构特征；（2）掌握棱柱、棱锥面积和体积计算.能力目标：培养学生的观察能力，数值计算能力及计算工具使用技能.教学重点：正棱柱、正棱锥的结构特征及相关的计算．教学难点：正棱柱、正棱锥的相关计算．课时安排：2课时．9.5柱、锥、球及其简单组合体（二）知识目标：（1）了解圆柱、圆锥、球的结构特征；（2）掌握圆柱、圆锥、球的面积和体积计算.能力目标：培养学生的观察能力，数值计算能力及计算工具使用技能.教学重点：圆柱、圆锥、球的结构特征及相关的计算．教学难点：简单组合体的结构特征及其面积、体积的计算．课时安排：2课时．10．1计数原理知识目标：掌握分类计数原理和分步计数原理．能力目标：培养学生的观察、分析能力．教学重点：掌握分类计数原理和分步计数原理．教学难点：区别与运用分类计数原理RYB电动齿轮泵和分步计数原理．课时安排：2课时．10．2概率（一）知识目标：（1）理解必然事件、不可能事件、随机事件的意义；（2）理解事件的频率与概率的意义以及二者的区别与联系．能力目标：培养学生的观察、分析能力．教学重点：事件的概率的定义．教学难点：概率的计算．课时安排：2课时．10．2概率（二）知识目标：掌握古典概型，互斥事件的概念．能力目标：培养学生的观察、分析能力．教学重点：运用公式计算等可能事件的概率．教学难点：概率的计算．课时安排：2课时．10.3总体、样本与抽样方法（一）知识目标：理解总体、个体、样本等概念．能力目标：培养学生认识世界、探ZYB增压燃油泵索世界的辩证唯物观．教学重点：总体、个体、样本、样本的容量的概念．教学难点：总体、个体、样本之间的关系．课时安排：2课时．10.3总体、样本与抽样方法（二）知识目标：了解简单随机抽样、系统抽样、分层抽样等三种抽样方法．能力目标：培养学生认识世界、探索世界的辩证唯物观．教学重点：了解简单随机抽样、系统抽样、分层抽样等三种抽样方法．教学难点：对简单随机抽样、系统抽样、分层抽样等三种抽样方法的理解．课时安排：2课时．10.4用样本估计总体知识目标：（1）了解用样本的频率分布估计总体；（2）掌握用样本均值、方差和标准差估计总体的均值、方差和标准差．能力目标：培养学生认识世界、探索世界的辩证唯物观．教学重点：计算样本均值、样NYP高粘度保温泵本方差及样本标准差．教学难点：列频率分布表，绘频率分布直方图．课时安排：2课时．10.5一元线性回归知识目标：（1）了解相关关系的概念；（2）掌握一元线性回归思想及回归方程的建立．能力目标：增强学生的数据处理能力，计算工具的使用能力，分析问题和解决问题的能力，培养严谨、CYB稠油泵细致的学习和工作作风．教学重点：掌握一元回归方程．教学难点：理解相关关系、回归分析概念．课时安排：2课时/ktyzyb/KZYB.html//七年级英语期末考试质量分析一、试卷分析：本次试卷的难易程度定位在面向大多数学生。

全国中职技校通用教材数学(第四版上册)教案

·全国中职技校通用教材《数学》（第四版·上册）教案·课题指数函数●教学目标1、知识目标：（1）理解指数函数的定义；（2）初步掌握指数函数的图象、性质及其简单应用。

2、能力目标：（1）提高学生的作图能力；（2）增强学生观察、分析和归纳的能力；（3）进一步发展学生的数学实践能力。

3、情感目标：（1）在自主探究的过程中，培养学生勇于探索的精神和善于合作的意识；（2）在发现规律的过程中，激发学生的学习兴趣。

●教学重点和难点重点是理解指数函数的定义，把握图象和性质及其应用。

难点是弄明白底数对函数的影响认识。

●教学方法与手段教法：开放式探究、启发式引导、互动式讨论、反馈式评价。

学法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。

手段：以问题为载体，以学生活动为主线，精心构建学生自主探究的教学环境。

●教学用具挂图、三角尺、计数器等。

●教学时间2课时。

●教学过程I、导入新课（约6分钟）我们在第1章学习了基于定义、法则以及计算器的指数运算，今天我们在此基础上来研究一类新的常见函数——指数函数。

2.4指数函数（板书）这类函数之所以重点专题学习，原因就是在实际生活中经常会遇到呈指数增长或衰减这样的问题。

比如我们看下面的问题：问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x之间的函数关系是怎样的呢？（出示挂图1如下并共同分析）由学生归纳回答：y与x之间的关系式为y=2x。

问题2：有一根1米长的绳子，第一次剪去绳长一半，第二次再剪去剩余绳子的一半……剪了x次后绳子剩余的长度为y米，试写出y与x之间的函数关系。

（出示挂图2如下并共同分析）1）x。

由学生归纳回答：y与x之间的关系式为y=（2挂图1在以上两个问题中，我们可以看到这两个函数与我们前面研究的函数有所区别，即从形式上看属于幂的形式，且自变量x均在指数的位置上，我们把形如这样的函数称为指数函数。

人教版中职数学教材-基础模块上册全册教案[1-5章共41份教案][精品全套]

人教版中职数学教材基础模块上册全册教案目录第三章函数 (1)3.1.1 函数的概念 (1)3.1.2 函数的表示方法 (5)3.1.3 函数的单调性 (8)3.1.4 函数的奇偶性 (13)3.2.1 一次、二次问题 (17)3.2.2 一次函数模型 (20)3.2.3 二次函数模型 (24)3.3 函数的应用 (29)第四章指数函数与对数函数 (32)4.1.1 有理指数(一) (32)4.1.1 有理指数(二) (36)4.1.2 幂函数举例 (40)4.1.3 指数函数 (43)4.2.1 对数 (48)4.2.2 积、商、幂的对数 (51)4.2.3 换底公式与自然对数 (55)4.2.4 对数函数 (57)4.3 指数、对数函数的应用 (60)第五章三角函数 (63)5.1.1 角的概念的推广 (63)5.1.2 弧度制 (67)5.2.1 任意角三角函数的定义 (71)5.2.2 同角三角函数的基本关系式 (76)5.2.3 诱导公式 (80)5.3.1 正弦函数的图象和性质 (85)5.3.2 余弦函数的图象和性质 (89)5.3.3 已知三角函数值求角 (92)第三章函数3.1.1函数的概念【教学目标】1. 理解函数的概念，会求简单函数的定义域．2. 理解函数符号y＝f (x)的意义，会求函数在x＝a处的函数值．3. 通过教学，渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点．【教学重点】函数的概念及两要素，会求函数在x＝a处的函数值，求简单函数的定义域．【教学难点】用集合的观点理解函数的概念．【教学方法】这节课主要采用问题解决法和分组教学法．运用现代化教学手段，通过两个实例，分析抽象出函数概念，使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素．然后通过求函数值与定义域的两类题目，深化对函数概念的理解．3.1.2函数的表示方法【教学目标】1. 了解函数的解析法、列表法、图象法三种主要表示方法．2. 已知函数解析式会用描点法作简单函数的图象．3. 培养学生数形结合、分类讨论的数学思想方法，通过小组合作培养学生的协作能力．【教学重点】函数的三种表示方法；作函数图象．【教学难点】作函数图象．【教学方法】这节课主要采用问题解决法和分组讨论教学法．本节课先借助一个实例，简要介绍函数的三种表示方法，进一步刻画函数概念；然后通过两个例题，使学生初步感知如何由解析式分析函数性质以指导画图，避免画图的盲目性．通过本节教学，使学生初步了解数形结合研究函数的方法，为下面学习函数的单调性和奇偶性做铺垫．【教学过程】新课3．针对上面的例子，思考并回答下列问题：(1) 在上例描点时，是怎样确定一个点的位置的？哪个变量作为点的横坐标？哪个变量作为点的纵坐标？(2) 函数的定义域是什么？(3) s的值能大于200吗？能是负值吗？为什么？函数的值域是什么？(4) 距离s 随行驶时间t 的增大有怎样的变化？4．例1作函数y＝x3 的图象．解列表画图5．结合例1完成下列问题：(1) 函数y＝x3 的定义域、值域是什么？(2) 函数值y随x的增大有怎样的变化？(3) f(a)与f(－a)相等吗？有怎样的关系？(4) 函数图象是轴对称图形还是中心对称图教师引导学生利用函数图象分析回答函数的性质．师：由上例可以看出，我们在列表、作图时，要认真分析函数，避免盲目列表计算．函数的图象有利于我们研究函数的性质，如本例中函数的定义域、值域以及y随x增大而增大等性质．教师引导学生分析：函数y＝x3 的定义域是R，当x＞0时，y＞0，这时函数的图象在第一象限，y 的值随着x 的值增大而增大；当x＜0时，y＜0，这时函数的图象在第三象限，y 的值随着x 的值减小而减小．教师引导学生完成列表、描点及连线，完成函数图象．师生合作完成例1，让学生体会取值前如何分析研究函数式的特点．学生分组讨论完成，从讨论中掌握分析函数性质的方法．力．本题的设置起到了承上启下的作用．为突破本节课难点而设计．问题(4)为下节引入函数的单调性做准备．让学生在作图过程中体会函数的性质，从做中学．尽可能把主动权交给学生，使学生在自主探索中发现问题解决问题．问题(3)(4)的设置是为引入函数的奇偶性作准备．新课形？6．例2作函数y＝1x2的图象．解列表画图7．结合例2解答下列问题：(1) 函数y＝1x2的定义域、值域是什么？(2) 在第一象限中，函数值y随x的增大有怎样的变化？在第二象限中呢？(3) f (a)与f (－a)相等吗？有怎样的关系？(4) 函数图象是轴对称图形还是中心对称图形？学生小组合作分析课本例2如何取值．学生作出例2图象，教师针对出现的情况进行点评或让学生互评．教师强调自变量的取值，即{x | x≠0}．学生分组讨论完成，从讨论中掌握分析函数性质的方法．避免为作图象而作图象，让学生在画图的过程中学习．让学生进一步掌握分析函数性质的方法．并为下一步学习函数的单调性与奇偶性做准备．小结1. 函数的三种表示方法．2. 作函数图象．学生畅谈本节课的收获，老师引导梳理，总结本节课的知识点．梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结．作业教材P65 ，练习A组第3题；练习B 组第2题．巩固拓展．3.1.3函数的单调性【教学目标】1．理解函数单调性的概念，掌握判断函数的单调性的方法．2．通过教学，使学生领会数形结合的数学方法；培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．3．体验数学的严谨性，渗透由一般到特殊的辩证唯物主义观点．【教学重点】函数单调性的概念；学会运用图象法观察函数的单调性和用定义法证明一些函数的单调性．【教学难点】利用函数单调性的定义判断和证明函数的单调性．【教学方法】这节课主要采用类比教学法和分组教学法．教师用问题引导学生从函数图象的变化趋势类比得出增减函数的概念，然后对图象进行代数分析，得出用定义证明函数单调性的步骤．从形的直观感知到严密的代数分析，使学生领会数形结合研究函数的方法．借助两个证明题，深化学生对单调性概念的理解．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入从常见的美丽的建筑物图片入手，让学生感知数学的美，激发学生的学习兴趣．师：播放动画，师生共同欣赏后，引导学生观察部分曲线的变化趋势，引入课题．联系实际，激发兴趣．新课1．课件展示下列函数图象师：提出问题，引导观察思考：1．观察图象的变化趋势怎样？2．你能看出当自变量增大或减少时函数值如何变化吗？生：观察动画，思考回答．从图象直观感知函数的单调性．新课2．增函数与减函数的定义：增函数：在给定的区间上自变量增大(减少)时，函数值也随着增大(减少)．减函数：在给定的区间上自变量增大(减少)时，函数值也随着减少(增大)．3．例1给出函数y＝f (x)的图象，如图所示，根据图象指出这个函数在哪个区间上是增函数？在哪个区间上是减函数？解函数y＝f (x)在区间[－1，0]，[2，3]上是减函数；在区间[0，1]，[3，4]上是增函数．4．练习1(1) 观察教材P64 例1的函数图象，说出函数在(－∞，＋∞)上是增函数还是减函数；(2) 观察教材P65 例2的函数图象，分别说出函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上是增函数还是减函数．5．设y＝f (x)，在给定的区间教师引导学生归纳增函数与减函数的定义．学生观察图象完成此题，掌握用图象来判断函数单调性的方法．教师强调，在说明函数单调性时，要指出明确的区间．学生回答，教师点评．教师带领学生结合增函数图象分析如何利通过观察函数图象直接给出增函数、减函数的定义，符合学生的特点，容易被学生接受．从观察直观图象入手，加深对单调性定义的理解，掌握用图象法判定函数单调性的方法，使学过的知识及时得到应用．通过练习1，让学生进一步掌握利用函数的图象来判断函数单调性的方法，从而提高学生的读图能力，并与前面学过的知识结合，对学过的函数有更新的认识．新在此图象上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，记∆x＝x2－x1，∆y＝y2－y1．6．例2 证明函数f (x)＝3 x＋2在区间(－∞，＋∞)上是增函数．证明设x1，x2是任意两个不相等的实数，则∆x＝x2－x1∆y＝f (x2)－f (x1)用函数的解析式来判断一个函数是增函数．学生类比分析如何利用函数的解析式来判断一个函数是减函数．教师指出利用函数图象判断单调性的局限性，引导学生从函数解析式入手证明单调性的思路与步骤．教师讲解例题2，板书详细的解题过程．将增函数、减函数定义中的定性说明转化为定量分析．从而给出利用函数解析式来判断函数单调性的方法．启发学生思考，完成从直观到抽象、从感性思维到理性思维的升华．在板书例题的过程中，突出解题思路与步骤．通过例题解答，加深对函数单调性定义的理解，并自然而然地将定义运用到判定函数单调性中，理论与实践相辅相成．课新课＝(3 x2＋2)－(3 x1＋2)＝3(x2－x1)，∆y∆x＝3(x2－x1)x2－x1＞0．因此，函数f (x)＝3 x＋2在区间(－∞，＋∞)上是增函数．7．总结由函数的解析式判定函数单调性的步骤：S1 计算∆x和∆y；S2 计算k＝∆y∆x．当k＞0时，函数在这个区间上是增函数；当k＜0时，函数在这个区间上是减函数．8．例3证明函数f (x)＝1x在区间(0，＋∞)上是减函数．证明：设x1，x2是任意两个不相等的正实数．因为∆x＝x2－x1，∆y＝f(x2)－f(x1)＝1x2－1x1＝2121xxxx-＝－2112xxxx-＝－21xxx∆．又因为x1 x2＞0，所以∆y∆x＝－211xx＜0．因此，函数f (x)＝x1在区间(0，＋∞)上是减函数．9．练习2证明函数f (x)＝3x在区间(－∞，0)上是减函数．教师引导学生总结解题步骤，可简记为：一设、二求、三判定．学生讨论并试解例题．老师点拨、解答学生疑难．学生模仿练习．突出重点，深化证明步骤，分解难点．通过学生讨论、老师点拨，顺利帮助学生判断∆y∆x的正负．巩固用函数解析式来判定单调性的思路和步骤．巩固理解，形成技能．小结1. 函数单调性的定义；2. 判定函数单调性的方法．学生阅读课本P66～68，畅谈本节课的收获．老师引导梳理，总结本节课的知识点．梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结．作业教材P 69，练习A组第2题；练习B组第1、2题．巩固拓展．3.1.4函数的奇偶性【教学目标】1. 理解奇函数、偶函数的概念；掌握奇函数、偶函数的图象特征．2. 掌握判断函数奇偶性的方法．3. 通过教学，渗透数形结合思想，培养学生类比推理的能力，体会由具体到抽象、由特殊到一般的辩证唯物主义思想．【教学重点】奇偶性概念与函数奇偶性的判断．【教学难点】理解奇偶性概念与奇函数、偶函数的定义域．【教学方法】这节课主要采用类比教学法．先由两个具体的函数入手，引导学生发现函数f(x)在x与在－x的函数值之间的关系，由特殊到一般引出奇函数的定义，再由点的对称关系得出奇函数的图象特征．然后由学生自主探索，类比得出偶函数定义．结合定义与例题总结出判断函数奇偶性的步骤，在解题过程中深化对概念的理解．【教学过程】3.2.1一次、二次问题【教学目标】1. 通过实际问题感知一次、二次函数在实际生活中的应用．2. 培养学生从实际问题中抽象出数学模型并应用模型去解决实际问题的能力．3. 通过教学，培养学生应用数学的意识，提高学生分析问题、解决问题的能力．【教学重点】从实际问题中抽象简单的数学模型．【教学难点】从实际问题中抽象简单的数学模型．【教学方法】这节课主要采用问题解决法．教师引导学生对实际问题先用列表计算与画图的方法来直观感知，然后抽象成一次函数和二次函数来研究，通过教学，培养学生从实际问题中抽象出一次、二次函数模型并应用模型去解决实际问题的能力．【教学过程】3.2.2一次函数模型【教学目标】1. 掌握正比例函数和一次函数的关系；理解并掌握一次函数的性质．2. 培养学生数形结合研究函数性质的能力，渗透平移变换的数学思想．3. 体验数学的严谨性，培养学生理性分析问题的良好习惯．【教学重点】一次函数的性质．【教学难点】对正比例函数和直线的关系的理解．【教学方法】这节课主要采用讲练结合法．先定义一次函数，对特殊的一次函数——正比例函数，则采用由曲线与方程的角度来描述正比例函数与直线的关系，然后再考察一次函数与正比例函数的关系，从而得出一次函数的图象也是一条直线的结论，并结合函数的单调性深入分析一次函数的性质，将学生初中对具体的一次函数的认识上升到一般的理性结论.【教学过程】3.2.3二次函数模型【教学目标】1. 理解并掌握二次函数的图象和性质；了解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系；2. 通过教学，使学生初步掌握数形结合研究二次函数的方法；3. 渗透数形结合思想，渗透由特殊到一般的辩证唯物主义观点，培养学生观察分析、类比抽象的能力．【教学难点】函数对称性的分析与数形结合研究二次函数的方法．【教学方法】这节课主要采用启发式教学法和讲练结合法．本节课通过对例题中的二次三项式进行代数分析，探究二次函数性质的由来，使学生从初中对二次函数的直观感知上升到理性认识的高度．更重要的是在学习函数的一般通性之后，以二次函数为载体较系统地呈现数形结合研究函数的方法，为后面学习其它函数的性质奠定基础．【教学过程】新课观察图象并完成填空函数y＝a x2的图象，当a＞0时开口．当a＜0时开口，对称轴是，顶点坐标是．函数是函数（用奇或偶填空）．| a | 越大，开口越．例1研讨二次函数f (x)＝12x2＋4 x＋6的性质与图象．解(1) 因为f (x)＝12x2＋4 x＋6＝12(x2＋8 x＋12)＝12(x＋4)2－2．由于对任意实数x，都有12(x＋4)2≥0，所以 f (x)≥－2，并且，当x＝－4时取等号，即f(－4)＝－2．得出性质：x＝－4时，取得最小值－2．记为y min＝－2．点(－4，－2)是这个图象的顶点．(2) 当y＝0时，12x2＋4 x＋6＝0，x2＋8 x＋12＝0，解得x1＝－6，x2＝－2．生：观察图象，小组合作讨论．然后每组选一名代表汇报各组的交流结果，最后师生一起汇总得出结论．师生共同解决例1，教师详细板书解题过程，带领学生仔细分析各个性质的由来．教师引导学生观察图象可得出：函数的对称轴是直线x＝－4．师:这个结论是否是正确的呢？教师通过问题1、2，引导学生证明上述结论正确．通过对例1中二次三项式的代数分析，使学生对二次函数的直观感知上升到理性认识的高度，更重要的是使学生掌握数形结合研究函数的方法，初步培养学生的画图、识图能力．分析图象与x轴的交点，一方面为描点作图，另一方面为下节研究函数与方程，不等式的关系做铺垫．对称性的教学设计是为了启发学生完成从直观到抽象、从感性思维到理性思维的升华．教师让学生经历“观察—发现—验证—归纳”四2xy=2xy-=22xy=23xy=22xy-=23xy-=新课故该函数图象与x 轴交于两点(－6，0)，(－2，0)．(3) 列表作图．以x＝－4为中间值，取x 的一些值，列出这个函数的对应值表然后画出函数的图象．观察上表或图形回答：1．关于x＝－4对称的两个自变量的值对应的函数值有什么特点？答：相同．2．－4－h 与－4＋h (h＞0) 关于x＝－4对称吗？分别计算－4－h与－4＋h的函数值，你能发现什么？答：f (－4－h)＝f (－4＋h)．得出性质：直线x＝－4为该函数的对称轴．函数在(－∞，－4]上是减函数，在[－4，＋∞)上是增函数．小结例2中的函数性质：1．开口．2．最值．3．顶点．4．对称轴．5．单调性．练习2(课本例3)用配方法求函数f (x)＝3 x2＋2 x＋1的最小值和图象的对称轴，并说出它在哪个区间上是增函数，在哪个区间上是减函数？解：f (x)＝3 x2＋2 x＋1＝3(x2＋23x)＋1＝3(x2＋23x＋19－19)＋1＝3(x＋13)2＋23学生模仿练习．老师巡回观察点拨、解答学生疑难．例2是二次函数中a＜0的类型，学生可类比例1，自己得出图象与性质．例1与例2分别是二次函数中a＞0，a＜0的两种类型，教师引导学生填表，自己总结出二次函数的性质表格，对比记忆．个过程，感受数学的严密性、科学性．小结函数性质，将例1的分析条理化．通过练习2，进一步练习配方法以及巩固二次函数的性质．以表格的形式整理二次函数性质，使知识结构一目了然．y-2-6 O x-4-2新课所以y＝f(－13)＝23，函数图象的对称轴是直线x＝－13，在(－∞，－13]上是减函数，在[－13，＋∞)上是增函数．例2 研讨二次函数f (x)＝－x2－4x＋3的性质与图象．小结二次函数的性质．(表格见课件)例3 已知二次函数y＝x2－x－6说出：(1) x 取哪些值时，y＝0；(2) x 取哪些值时，y＞0，x 取哪些值时，y＜0．解 (1)求使y＝0的x 的值，即求二次方程x2－x－6＝0的所有根．方程的判别式∆＝(－1)2－4×1×(－6)＝25＞0，解得：x1＝－2，x2＝3．(2)画出简图，函数的开口向上．从图象上可以看出，它与x轴相交于两点(－2，0)，(3，0)，这两点把x轴分成三段．所以当x∈(－2，3)时，y＜0．当x∈(－∞，－2)∪(3，＋∞)时，y＞0．练习3 下列函数自变量在什么范围内取值时，函数值大于0、小于0或等于0．(1) y＝x2＋7 x－8；(2) y＝－x2＋2 x＋8．例3板书详细的解题过程．通过此例题，教师总结一元二次方程、一元二次不等式与二次函数之间的关系：求二次方程ax2＋bx＋c＝0的解，就是求二次函数：y＝a x2＋bx＋c(a≠0)的根；求不等式 a x2＋b x＋c＜0的解集，就是求使二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0 )的函数值小于0的自变量的取值范围；求不等式 a x2＋b x＋c＞0的解集，就是求使二次函数y＝a x2＋b x＋c(a≠0)的函数值大于0的自变量的取值范围．学生模仿练习．老师巡回观察点拨、解答学生疑难．本例题有两种方法，方法一：在图象中用区间分析法，方法二；求一元二次方程或一元二次不等式的解集的方法．教师在讲解时可根据学生的实际情况进行讲解和拓展．方法一：在图象中用区间分析法是比较简单的一种方法，通过此法可进一步培养学生的读图，识图能力，培养学生数形结合的思想．巩固用图象法解一元二次不等式的步骤．利用表格总结，使所学知识系统化．ｏ-2 3-6yx3.3函数的应用【教学目标】1. 会应用一次函数和二次函数解决有关简单实际问题．2. 培养学生建立简单的数学模型及应用模型去解决实际问题的能力．3. 通过教学，培养学生应用数学的意识，提高学生分析问题、解决问题的能力．【教学重点】应用函数知识解决一些简单的实际问题．【教学难点】从实际问题中抽象出函数模型．【教学方法】这节课主要采用讲练结合法．教师将四个例题与练习穿插在一起，教师引导与学生主动参与相结合，培养学生的审题能力，以及从实际问题中抽象出数学模型并应用模型去解决实际问题的能力．【教学过程】第四章指数函数与对数函数4.1.1有理指数(一)【教学目标】1. 理解整数指数幂及其运算律，并会进行有关运算．2. 培养学生的观察、分析、归纳等逻辑思维能力．3. 培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养学生合作交流等良好品质．【教学重点】零指数幂、负整指数幂的定义．【教学难点】零指数幂及负整指数幂的定义过程，整数指数幂的运算．【教学方法】这节课主要采用问题解决法和分组教学法．在引入指数幂时，以在国际象棋棋盘上放米粒为导入素材，既体现数学的应用价值，也能引起学生的学习兴趣．从正整指数的运算法则中的a mm-n (m＞n，a ≠ 0)a n＝a这一法则出发，通过取消m＞n的限制引入了零指数幂和负整指数幂的定义，从而把正整指数幂推广到整数指数幂．在本节教学中，要以取消m＞n这一条件为出发点，让学生积极大胆地猜想，以此增强学生的参与意识，从而提高学生的学习兴趣．4.1.1有理指数(二)【教学目标】1. 了解根式的概念和性质；理解分数指数幂的概念；掌握有理数指数幂的运算性质．2. 会对根式、分数指数幂进行互化．培养学生的观察、分析、归纳等逻辑思维能力．3. 培养学生用事物之间普遍联系的观点看问题．【教学重点】分数指数幂的概念以及分数指数幂的运算性质．【教学难点】对分数指数幂概念的理解．【教学方法】这节课主要采用问题解决教学法．在引入分数指数幂时，先讲方根的概念，根据方根的定义，得到根式具有的性质．在利用根式的运算性质对根式的化简过程中，引导学生注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律．在对根式的性质进行练习以后，为了解决运算的合理性，引入了分数指数幂的概念，从而将指数幂推广到了有理数范围．在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，将有理指数幂推广到实数指数幂．考虑到职校学生的实际情况，并没有给出严格的推证．【教学过程】4.1.2 幂函数举例【教学目标】1. 了解幂函数的概念，会求幂函数的定义域，会画简单幂函数的图象．2. 培养学生用数形结合的方法解决问题．注重培养学生的作图、读图的能力．3. 培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养合作交流等良好品质．【教学重点】幂函数的定义．【教学难点】会求幂函数的定义域，会画简单幂函数的图象．【教学方法】这节课主要采用启发式和讲练结合的教学方法．从函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x 等导入，通过观察这类函数的解析式，归纳其共性，引入幂函数的概念．在例1求函数的定义域中，对于分数指数及负整指数的幂函数要转化为分式或根式的形式，讲解时，注意引导，让学生在解答问题的过程中自己归纳总结规律．函数图象是研究函数性质的有利工具，教师在讲授例2时，可以采用分组的方式，让学生一起合作完成函数的图象，并从本例中找出幂函数的某些性质．【教学过程】24.1.3指数函数【教学目标】1. 掌握指数函数的定义、图象、性质及其简单的应用．2. 培养学生用数形结合的方法解决问题的能力．3. 培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养独立思考等良好的个性品质．【教学重点】指数函数的图象与性质．【教学难点】指数函数的图象性质与底数a的关系．【教学方法】这节课主要采用讲练结合和小组合作的教学方法．本节课由生活中的真实例子导入新课，引入指数函数的定义，并通过一组练习深化指数函数的定义．先通过列表——描点——连线得到指数函数的图象，然后在教师的启发下，充分利用函数的图象来研究函数的性质．为了加强学生对函数性质的应用，增加了一道求函数定义域的例题，然后安排一定数量的练习，体现练为主线，讲练结合的教学方法．【教学过程】4.2.1对数【教学目标】1. 理解对数的概念，掌握对数式与指数式的互化．2. 培养学生的类比、分析、转化能力，提高理解和运用数学符号的能力．3. 通过对数概念的建立，明确事物的辩证发展和矛盾转化的观点，培养学生科学严谨的治学态度．【教学重点】对数的概念，对数式与指数式的相互转化．【教学难点】对数概念及性质的理解掌握．【教学方法】这节课主要采用启发式和分组合作教学法．在教学过程中遵循学生是教学的主体的精神，要给学生提供各种可能的参与机会，调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动．利用多媒体辅助教学，引导学生从实例出发，认识对数的模型，体会引入对数的必要性．在教学重难点上，步步设问、启发学生积极思维，通过课堂练习、学生讨论的方式来加深理解重点，更好地突破难点和提高教学效率．让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权．。

中职数学基础模块上下册全册教案【配套人教版教材】

中职数学教材基础模块上下册全册教案目录第一章集合 (1)1.1.1 集合的概念 (1)1.1.2 集合的表示方法 (5)1.1.3 集合之间的关系(一) (8)1.1.3 集合之间的关系(二) (11)1.1.4 集合的运算(一) (14)1.1.4 集合的运算（二) (18)1.2.1 充要条件 (21)1.2.2 子集与推出的关系 (24)第二章不等式 (27)2.1.1 实数的大小 (27)2.1.2 不等式的性质 (31)2.2.1 区间的概念 (35)2.2.2 一元一次不等式(组)的解法 (38)2.2.3 一元二次不等式的解法(一) (42)2.2.3 一元二次不等式的解法(二) (45)2.2.4 含有绝对值的不等式 (48)2.3 不等式的应用 (51)第三章函数 (54)3.1.1 函数的概念 (54)3.1.2 函数的表示方法 (58)3.1.3 函数的单调性 (61)3.1.4 函数的奇偶性 (65)3.2.1 一次、二次问题 (69)3.2.2 一次函数模型 (72)3.2.3 二次函数模型 (76)3.3 函数的应用 (81)第四章指数函数与对数函数 (83)4.1.1 有理指数(一) (83)4.1.1 有理指数(二) (87)4.1.2 幂函数举例 (91)4.1.3 指数函数 (94)4.2.1 对数 (98)4.2.2 积、商、幂的对数 (101)4.2.3 换底公式与自然对数 (105)4.2.4 对数函数 (107)4.3 指数、对数函数的应用 (110)第五章三角函数 (113)5.1.1 角的概念的推广 (113)5.1.2 弧度制 (117)5.2.1 任意角三角函数的定义 (120)5.2.2 同角三角函数的基本关系式 (124)5.2.3 诱导公式 (128)5.3.1 正弦函数的图象和性质 (133)5.3.2 余弦函数的图象和性质 (137)5.3.3 已知三角函数值求角 (140)第六章数列 (1)6.1.1 数列的定义 (1)6.1.2 数列的通项 (5)6.2.1 等差数列的概念 (9)6.2.2 等差数列的前n 项和 (15)6.3.1 等比数列的概念 (19)6.3.2 等比数列的前n项和 (23)6.4 数列的应用 (26)第七章平面向量 (29)7.1.1 位移与向量的表示 (29)7.1.2 向量的加法 (33)7.1.3 向量的减法 (37)7.2 数乘向量 (41)7.3.1 向量的分解 (45)7.3.2 向量的直角坐标运算 (48)7.4.1 向量的内积 (55)7.4.2 向量内积的坐标运算与距离公式 (59)7.5 向量的应用 (63)第八章直线和圆的方程 (66)8.1.1 数轴上的距离公式与中点公式 (66)8.1.2 平面直角坐标系中的距离公式和中点公式 (69)8.2.1 直线与方程 (73)8.2.2 直线的倾斜角与斜率 (75)8.2.3 直线方程的几种形式（一） (78)8.2.3 直线方程的几种形式（二） (81)8.2.4 直线与直线的位置关系（一） (85)8.2.4 直线与直线的位置关系（二） (90)8.2.5 点到直线的距离 (93)8.3.1 圆的标准方程 (95)8.3.2 圆的一般方程 (97)8. 4 直线与圆的位置关系 (101)8.5 直线与圆的方程的应用 (104)第九章立体几何 (106)9.1.1立体图形及其表示方法 (106)9.1.2 平面的基本性质 (109)9.2.1空间中的平行直线 (112)9.2.2 异面直线 (116)9.2.3 直线与平面平行 (119)9.2.4 平面与平面的平行关系 (123)9.3.1 直线与平面垂直 (128)9.3.2 直线与平面所成的角 (131)9.3.3 平面与平面所成的角 (134)9.3.4 平面与平面垂直 (136)9.4.1棱柱 (139)9.4.2棱锥 (142)9.4.3 直棱柱和正棱锥的侧面积 (144)9.4.4 圆柱、圆锥（一） (147)9.4.4圆柱、圆锥（二） (150)9.4.5 球 (153)9.4.6 多面体与旋转体的体积(一) (156)9.4.6多面体与旋转体的体积(二) (159)第十章概率与统计初步 (163)10.3.4 一元线性回归 (163)10.1计数原理 (167)10.2概率初步 (171)10.3.1 总体、样本和抽样方法（一） (175)10.3.1 总体、样本和抽样方法（二） (178)10.3.1 总体、样本和抽样方法（三） (181)10.3.2频率分布直方图 (184)10.3.3 用样本估计总体 (187)第一章集合1.1.1集合的概念【教学目标】1. 初步理解集合的概念；理解集合中元素的性质．2. 初步理解“属于”关系的意义；知道常用数集的概念及其记法．3. 引导学生发现问题和提出问题，培养独立思考和创造性地解决问题的意识．【教学重点】集合的基本概念，元素与集合的关系．【教学难点】正确理解集合的概念．【教学方法】本节课采用问题教学和讲练结合的教学方法，运用现代化教学手段，通过创设情景，引导学生自己独立地去发现、分析、归纳，形成概念．【教学过程】1.1.2集合的表示方法【教学目标】1. 掌握集合的表示方法；能够按照指定的方法表示一些集合．2. 发展学生运用数学语言的能力；培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力．3. 让学生感受集合语言的意义和作用，学习从数学的角度认识世界；通过合作学习培养学生的合作精神．【教学重点】集合的表示方法，即运用集合的列举法与描述法，正确表示一些简单的集合.【教学难点】集合特征性质的概念，以及运用描述法表示集合.【教学方法】本节课采用实例归纳，自主探究，合作交流等方法．在教学中通过列举例子，引导学生讨论和交流，并通过创设情境，让学生自主探索一些常见集合的特征性质．【教学过程】1.1.3集合之间的关系(一)【教学目标】1. 理解子集、真子集概念；掌握子集、真子集的符号及表示方法；会用它们表示集合间的关系．2. 了解空集的意义；会求已知集合的子集、真子集并会用符号及Venn图表示．3. 培养学生使用符号的能力；建立数形结合的数学思想；培养学生用集合的观点分析问题、解决问题的能力．【教学重点】子集、真子集的概念．【教学难点】集合间包含关系的正确表示．【教学方法】本节课采用讲练结合、问题解决式教学方法，并运用现代化教学手段辅助教学．设计典型题目，并提出问题，层层引导学生探究知识，让学生在完成题目的同时，思维得以深化；切实体现以人为本的思想，充分发挥学生的主观能动性，培养其探索精神和运用数学知识的意识．【教学过程】1.1.3集合之间的关系(二)【教学目标】1. 理解两个集合相等概念．能判断两集合间的包含、相等关系．2. 理解掌握元素与集合、集合与集合之间关系的区别．3. 学习类比方法，渗透分类思想，提高学生思维能力，增强学生创新意识．【教学重点】1. 理解集合间的包含、真包含、相等关系及传递关系．2. 元素与集合、集合与集合之间关系的区别．【教学难点】弄清元素与集合、集合与集合之间关系的区别．【教学方法】本节课采用讲练结合、问题解决式教学方法，并运用现代化教学手段进行教学．使学生初步经历使用最基本的集合语言表示有关数学对象的过程，体会集合语言，发展运用数学语言进行交流的能力．精心设计问题情境，引起学生强烈的求知欲望，通过启发，使学生的思考、发现、归纳等一系列的探究思维活动始终处于自主的状态中．【教学过程】1.1.4集合的运算(一)【教学目标】1. 理解交集与并集的概念与性质．2. 掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集和并集．3. 发展学生运用数学语言进行表达、交流的能力；培养学生观察、归纳、分析的能力．【教学重点】交集与并集的概念与运算．【教学难点】交集和并集的概念、符号之间的区别与联系．【教学方法】这节课主要采用发现式教学法和自学法．运用现代化教学手段，通过创设情景，提出问题，引导学生自己独立地去发现问题、分析归纳、形成概念．并通过对比，自学相似概念，深化对概念的理解．【教学过程】1.1.4集合的运算（二)【教学目标】1. 了解全集的意义；理解补集的概念，掌握补集的表示法；理解集合的补集的性质；会求一个集合在全集中的补集．2. 发展学生运用数学语言进行表达、交流的能力；培养学生建立数形结合的思想，将满足条件的集合用Venn图或数轴一一表示出来；提高学生观察、比较、分析、概括的能力．3. 鼓励学生主动参与“教”与“学”的整个过程，激发其求知欲望，增强其学习数学的兴趣与自信心．【教学重点】补集的概念与运算．【教学难点】全集的意义；数集的运算．【教学方法】本节课采用发现式教学法，通过引入实例，进而分析实例，引导学生寻找、发现其一般结果，归纳其普遍规律．【教学过程】新课我们在研究数集时，常常把实数集R作为全集．二、补集1. 定义．如果A 是全集U的一个子集，由U中的所有不属于A 的元素构成的集合，叫做A 在U 中的补集．记作U A．读作“A 在U中的补集”．2. 补集的Venn图表示．例1 已知：U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}．则U A＝；A ∩U A＝；A ∪U A＝．解{2，4，6}；∅；U．例2已知U＝{ x | x是实数}，Q＝{ x | x 是有理数}．则U Q＝；Q∩U Q＝；Q∪U Q＝．解{ x | x 是无理数}；∅；U．3. 补集的性质．(1) A ∪U A＝U；(2) A ∩U A＝∅；(3) U(U A)＝A．例3已知全集U＝R，A＝{x | x＞5}，求U A．解U A＝{x | x≤5}．练习 1(1) 已知全集U＝R，A＝{ x | x＜1}，求U A．(2) 已知全集U＝R，A＝{ x | x师：通过引导学生回答引例中的问题2“没有购进的品种构成的集合是什么？”，得出补集的定义和特征；介绍补集的记法和读法．生：根据定义，试用阴影表示补集．师：订正、讲解补集Venn图表示法.生：对例1口答填空．师：引导学生画出例2的Venn图，明确集合间关系，请学生观察并说出结果．师：以填空的形式出示各条性质．生：填写性质．师：结合数轴讲解例3.学生解答练习1，并总结解题规律．从引例的集合关系中直观感知补集涵义．通过画图来理解补集定义，突破难点．借助简单题目使学生初步理解补集定义．例2中补充两问，为学生得出性质做铺垫．结合具体例题和Venn图，使学生自己得出补集的各个性质，深化对补集概念的理解．培养学生数形结合的数学意识．AUC U A新课≤1}，求U A．练习2设U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{5，2，1}，B＝{5，4，3，2}．求U A；U B；U A ∩U B；UA ∪U B．练习3 已知全集U＝R，A＝{x | -１< x < 1}．求U A，U A∩U，U A∪U，A ∩U A，A ∪U A．学生做练习2、3，老师点拨、解答学生疑难．通过练习加深学生对补集的理解．小结补集定义记法图示性质1. 学生读书、反思，说出自己学习本节课的收获和存在问题．2. 老师引导梳理，总结本节课的知识点，学生填表巩固.让学生读书、反思，培养学生形成良好的学习习惯，提高学习能力．作业教材P17，练习A组第1～4题．学生课后完成．巩固拓展．1.2.1充要条件【教学目标】1. 使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念．2. 能在判断、论证中灵活运用上述三个概念．3. 培养学生思维的严密性．【教学重点】正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念．【教学难点】正确区分充分条件、必要条件．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念．【教学过程】1.2.2子集与推出的关系【教学目标】1. 正确理解子集和推出的关系．2. 掌握通过“推出”判断集合的关系．3. 启发学生发现问题和提出问题，培养学生独立思考的能力，学会分析问题和解决问题；培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力．【教学重点】理解子集和推出的关系．【教学难点】理解通过“推出”判断集合的包含关系．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，运用现代化教学手段进行教学．通过创设情景，用普遍联系的观点审视事物，引导学生自己去发现、分析、归纳，形成概念．穿插有针对性的练习及讲解，并配以题组训练模式，使学生边学边练，及时巩固，深化对概念的理解．【教学过程】第二章不等式2.1.1实数的大小【教学目标】1．理解并掌握实数大小的基本性质，初步学习用作差比较法来比较两个实数或代数式的大小．2．从学生身边的事例出发，体会由实际问题上升为数学概念和数学知识的过程．3．培养学生勤于分析、善于思考的优秀品质．善于将复杂问题简单化也是我们着意培养的一种优秀的思维品质．【教学重点】理解实数的大小的基本性质，初步学习作差比较的思想．【教学难点】用作差比较法比较两个代数式的大小．【教学方法】这节课主要采用讲练结合法．通过联系公路上的限速标志，引入不等式的问题，并且从关注数字的大小入手，引导学生学习用作差比较法来比较两个实数、代数式的大小．通过穿插有针对性的练习，引导学生边学边练，及时巩固，逐步掌握作差比较法．【教学过程】教学环节教学内容师生互动设计意图导入右面是公路上对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行使的速度不得超过40 km/h．若用v(km/h)表示汽车的速度，那么v 与40之间的数量关系用怎样的式子表示？右面是公路上对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行使的速度不得低于50 km/h．若用v(km /h)表示汽车的速度，那么v 与50之间的数量关系用怎样的式子表示？学生根据生活经验回答情境问题．答：v≤40．答：v≥50．从学生身边的生活经验出发进行新知的学习，有助于调动学生学习积极性．2.1.2不等式的性质【教学目标】1．掌握不等式的三条基本性质以及推论，能够运用不等式的基本性质将不等式变形解决简单的问题．2. 掌握应用作差比较法比较实数的大小．3．通过教学，培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探究的良好思维品质．【教学重点】不等式的三条基本性质及其应用．【教学难点】不等式基本性质3的探索与运用．【教学方法】这节课主要采用讲练结合法与分组探究教学法．通过引导学生回顾玩跷跷板的经验，师生共同探究天平两侧物体的质量的大小，引导学生理性地认识不等式的三条基本性质，并运用作差比较法来证明之．通过题组训练，使学生逐步掌握不等式的基本性质，为后面运用不等式的基本性质解不等式打下理论基础．【教学过程】教学环节教学内容师生互动设计意图导入【课件展示情境1】创设天平情境问题：观察课件，说出物体a和c哪个质量更大一些？由此判断：如果a＞b，b＞c，那么a和c的大小关系如何？从学生身边的生活经验出发进行新知的学习，有助于调动学生学习的积极性．新性质1(传递性) 学生思考、课新课如果a＞b，b＞c，则a＞c．分析要证a＞c，只要证a－c＞0．证明因为a－c＝(a－b)＋(b－c)，又由a＞b，b＞c，即a－b＞0，b－c＞0，所以(a－b)＋(b－c)＞0．因此a－c＞0．即a＞c．【课件展示情境2】性质2(加法法则)如果a＞b，则a＋c＞b＋c．证明因为(a＋c)－(b＋c)＝a－b，又由a＞b，即a－b＞0，所以a＋c＞b＋c．思考：如果a＞b，那么a－c＞b－c．是否正确？不等式的两边都加上(或减去)同一个数，不等号的方向不变．推论1如果a＋b＞c，则a＞c－b．证明因为a＋b＞c，所以a＋b＋(－b)＞c＋(－b)，即a＞c－b．不等式中任何一项，变号后可以从一边移到另一边．练习1(1)在－6＜2 的两边都加上9，得；(2)在4＞－3 的两边都减去6，得；(3)如果a＜b，那么a－3 b－3；(4)如果x＞3，那么x＋2 5；(5)如果x＋7＞9，那么两边都，得x＞2．回答得出性质1．引导学生判断：不等式的两边都加上(或减去)同一个数，不等号的方向是否改变？学生口答，教师点评．创设一种情境，给学生提供了想象的空间，为后续学习做好了铺垫．让学生在“做”数学中学数学，真正成为学习的主人．把课堂变为学生再发现、再创造的乐园．对不等式的性质及时练习，进行巩固．2.2.1区间的概念【教学目标】1. 理解区间的概念，掌握用区间表示不等式解集的方法，并能在数轴上表示出来．2. 通过教学，渗透数形结合的思想和由一般到特殊的辩证唯物主义观点．3. 培养学生合作交流的意识和乐于探究的良好思维品质，让学生从数学学习活动中获得成功的体验，树立自信心．【教学重点】用区间表示数集．【教学难点】对无穷区间的理解．【教学方法】本节课主要采用数形结合法与讲练结合法．通过不等式介绍闭区间的有关概念，并与学生一起在数轴上表示两种不同的区间，学生类比得出其它区间的记法．在此基础上引导学生用区间表示不等式的解集，为学习用区间法求不等式组的解集打下坚实的基础．【教学过程】新课全体实数也可用区间表示为(－∞，＋∞)，符号“＋∞”读作“正无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”．例1用区间记法表示下列不等式的解集：(1) 9≤x≤10；(2) x≤0.4．解(1) [9，10]；(2) (－∞，0.4]．练习1用区间记法表示下列不等式的解集，并在数轴上表示这些区间：(1) －2≤x≤3；(2) －3＜x≤4；(3) －2≤x＜3；(4) －3＜x＜4；(5) x＞3；(6) x≤4．例2用集合的性质描述法表示下列区间：(1) (－4，0)；(2) (－8，7]．解(1) {x | －4＜x＜0}；(2) {x | －8＜x≤7}．练习2用集合的性质描述法表示下列区间，并在数轴上表示这些区间：(1) [－1，2)；(2) [3，1]．例3在数轴上表示集合{x|x＜－2或x≥1}．解如图所示．练习3已知数轴上的三个区间：(－∞，－3)，(－3，4)，用表格呈现相应的区间，便于学生对比记忆．教师强调“∞”只是一种符号，不是具体的数，不能进行运算．学生在教师的指导下，得出结论，师生共同总结规律．学生抢答，巩固区间知识．学生代表板演，其它学生练习，相互评价．同桌之间讨论，完学生理解无穷区间有些难度，教师要强调“∞”只是一种符号，并结合数轴多加练习。

全国中等职业技术学校通用教材_数学(上)-4

uuur uuu uuu r r − AD = DA = CB
如图所示，在平行四边形ABCD中，找出与向量例r3 uuur uuu 共线的非零向量。 AB AD 解
uuu uuur r DC 与向量 AB 共线的向量有 BA 、 r uuur uuu uuu r 与向量 AD共线的向量有 DA 、BC
例题解析
例1 计算下列各式：（1）4(a＋b)－2(a－b)－2a （2）2(a＋2b＋c)－(3a＋2b－c) 解（1）4(a＋b)－2(a－b)－2a ＝4a＋4b－2a＋2b－2a＝6b （2）2(a＋2b＋c)－(3a＋2b－c) 2 2(a 2b c) (3a 2b c) ＝2a＋4b＋2c－3a－2b＋c ＝－a＋2b＋3c
的平行四边形的对角线AC表示的向量。这种求作不共线的两个向量和的方法叫做平行四边形法则平行四边形法则。平行四边形法则
单击鼠标继续
向量加法满足下列运算律： 1． a＋b＝b＋a ＝ 2． a＋0＝0＋a＝a 3． (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
向量的减法运算一般地，我们规定： a－b＝a＋(－b) 即，向量a减b规定为向量a加上b的负向量。
例题解析
如图所示，在平行四边形ABCD中，找出与向例r1 uuur uuu AD 量 AB 、相等的向量。解
uuu uuur r AB = DC uuur uuu r AD = BC
例 uuur 2 AD 的负向量。 uuu uuu uuu r r r 解 − AB = BA = CD
uuu r 如图所示，在平行四边形ABCD中，找出向量 AB 、
一般地，任意实数λ与向量a的乘积λa是一个向量，它的模 |λa| 等于 |λ||a|。当λ＞0时，它的方向与a的方向相同；当λ＜0时，它的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0。例如，向量－4a的长度是4|a|，方向与向量a相反。由此可知，λa与a是共线向量。对任意向量a、b，设λ、µ为实数，则有 1．λ(µa)＝（λµ）a 2．(λ＋µ)a＝λa＋µa 3．λ(a＋b)＝λa＋λb

人教版中职数学教材-基础模块上册全册教案[1-5章共41份教案][精品全套]

人教版中职数学教材基础模块上册全册教案目录第三章函数 (1)3.1.1 函数的概念 (1)3.1.2 函数的表示方法 (5)3.1.3 函数的单调性 (8)3.1.4 函数的奇偶性 (13)3.2.1 一次、二次问题 (17)3.2.2 一次函数模型 (20)3.2.3 二次函数模型 (24)3.3 函数的应用 (29)第四章指数函数与对数函数 (32)4.1.1 有理指数(一) (32)4.1.1 有理指数(二) (36)4.1.2 幂函数举例 (40)4.1.3 指数函数 (43)4.2.1 对数 (48)4.2.2 积、商、幂的对数 (51)4.2.3 换底公式与自然对数 (55)4.2.4 对数函数 (57)4.3 指数、对数函数的应用 (60)第五章三角函数 (63)5.1.1 角的概念的推广 (63)5.1.2 弧度制 (67)5.2.1 任意角三角函数的定义 (71)5.2.2 同角三角函数的基本关系式 (76)5.2.3 诱导公式 (80)5.3.1 正弦函数的图象和性质 (85)5.3.2 余弦函数的图象和性质 (89)5.3.3 已知三角函数值求角 (92)第三章函数3.1.1函数的概念【教学目标】1. 理解函数的概念，会求简单函数的定义域．2. 理解函数符号y＝f (x)的意义，会求函数在x＝a处的函数值．3. 通过教学，渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点．【教学重点】函数的概念及两要素，会求函数在x＝a处的函数值，求简单函数的定义域．【教学难点】用集合的观点理解函数的概念．【教学方法】这节课主要采用问题解决法和分组教学法．运用现代化教学手段，通过两个实例，分析抽象出函数概念，使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素．然后通过求函数值与定义域的两类题目，深化对函数概念的理解．3.1.2函数的表示方法【教学目标】1. 了解函数的解析法、列表法、图象法三种主要表示方法．2. 已知函数解析式会用描点法作简单函数的图象．3. 培养学生数形结合、分类讨论的数学思想方法，通过小组合作培养学生的协作能力．【教学重点】函数的三种表示方法；作函数图象．【教学难点】作函数图象．【教学方法】这节课主要采用问题解决法和分组讨论教学法．本节课先借助一个实例，简要介绍函数的三种表示方法，进一步刻画函数概念；然后通过两个例题，使学生初步感知如何由解析式分析函数性质以指导画图，避免画图的盲目性．通过本节教学，使学生初步了解数形结合研究函数的方法，为下面学习函数的单调性和奇偶性做铺垫．【教学过程】新课3．针对上面的例子，思考并回答下列问题：(1) 在上例描点时，是怎样确定一个点的位置的？哪个变量作为点的横坐标？哪个变量作为点的纵坐标？(2) 函数的定义域是什么？(3) s的值能大于200吗？能是负值吗？为什么？函数的值域是什么？(4) 距离s 随行驶时间t 的增大有怎样的变化？4．例1作函数y＝x3 的图象．解列表画图5．结合例1完成下列问题：(1) 函数y＝x3 的定义域、值域是什么？(2) 函数值y随x的增大有怎样的变化？(3) f(a)与f(－a)相等吗？有怎样的关系？(4) 函数图象是轴对称图形还是中心对称图教师引导学生利用函数图象分析回答函数的性质．师：由上例可以看出，我们在列表、作图时，要认真分析函数，避免盲目列表计算．函数的图象有利于我们研究函数的性质，如本例中函数的定义域、值域以及y随x增大而增大等性质．教师引导学生分析：函数y＝x3 的定义域是R，当x＞0时，y＞0，这时函数的图象在第一象限，y 的值随着x 的值增大而增大；当x＜0时，y＜0，这时函数的图象在第三象限，y 的值随着x 的值减小而减小．教师引导学生完成列表、描点及连线，完成函数图象．师生合作完成例1，让学生体会取值前如何分析研究函数式的特点．学生分组讨论完成，从讨论中掌握分析函数性质的方法．力．本题的设置起到了承上启下的作用．为突破本节课难点而设计．问题(4)为下节引入函数的单调性做准备．让学生在作图过程中体会函数的性质，从做中学．尽可能把主动权交给学生，使学生在自主探索中发现问题解决问题．问题(3)(4)的设置是为引入函数的奇偶性作准备．新课形？6．例2作函数y＝1x2的图象．解列表画图7．结合例2解答下列问题：(1) 函数y＝1x2的定义域、值域是什么？(2) 在第一象限中，函数值y随x的增大有怎样的变化？在第二象限中呢？(3) f (a)与f (－a)相等吗？有怎样的关系？(4) 函数图象是轴对称图形还是中心对称图形？学生小组合作分析课本例2如何取值．学生作出例2图象，教师针对出现的情况进行点评或让学生互评．教师强调自变量的取值，即{x | x≠0}．学生分组讨论完成，从讨论中掌握分析函数性质的方法．避免为作图象而作图象，让学生在画图的过程中学习．让学生进一步掌握分析函数性质的方法．并为下一步学习函数的单调性与奇偶性做准备．小结1. 函数的三种表示方法．2. 作函数图象．学生畅谈本节课的收获，老师引导梳理，总结本节课的知识点．梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结．作业教材P65 ，练习A组第3题；练习B 组第2题．巩固拓展．3.1.3函数的单调性【教学目标】1．理解函数单调性的概念，掌握判断函数的单调性的方法．2．通过教学，使学生领会数形结合的数学方法；培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．3．体验数学的严谨性，渗透由一般到特殊的辩证唯物主义观点．【教学重点】函数单调性的概念；学会运用图象法观察函数的单调性和用定义法证明一些函数的单调性．【教学难点】利用函数单调性的定义判断和证明函数的单调性．【教学方法】这节课主要采用类比教学法和分组教学法．教师用问题引导学生从函数图象的变化趋势类比得出增减函数的概念，然后对图象进行代数分析，得出用定义证明函数单调性的步骤．从形的直观感知到严密的代数分析，使学生领会数形结合研究函数的方法．借助两个证明题，深化学生对单调性概念的理解．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入从常见的美丽的建筑物图片入手，让学生感知数学的美，激发学生的学习兴趣．师：播放动画，师生共同欣赏后，引导学生观察部分曲线的变化趋势，引入课题．联系实际，激发兴趣．新课1．课件展示下列函数图象师：提出问题，引导观察思考：1．观察图象的变化趋势怎样？2．你能看出当自变量增大或减少时函数值如何变化吗？生：观察动画，思考回答．从图象直观感知函数的单调性．新课2．增函数与减函数的定义：增函数：在给定的区间上自变量增大(减少)时，函数值也随着增大(减少)．减函数：在给定的区间上自变量增大(减少)时，函数值也随着减少(增大)．3．例1给出函数y＝f (x)的图象，如图所示，根据图象指出这个函数在哪个区间上是增函数？在哪个区间上是减函数？解函数y＝f (x)在区间[－1，0]，[2，3]上是减函数；在区间[0，1]，[3，4]上是增函数．4．练习1(1) 观察教材P64 例1的函数图象，说出函数在(－∞，＋∞)上是增函数还是减函数；(2) 观察教材P65 例2的函数图象，分别说出函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上是增函数还是减函数．5．设y＝f (x)，在给定的区间教师引导学生归纳增函数与减函数的定义．学生观察图象完成此题，掌握用图象来判断函数单调性的方法．教师强调，在说明函数单调性时，要指出明确的区间．学生回答，教师点评．教师带领学生结合增函数图象分析如何利通过观察函数图象直接给出增函数、减函数的定义，符合学生的特点，容易被学生接受．从观察直观图象入手，加深对单调性定义的理解，掌握用图象法判定函数单调性的方法，使学过的知识及时得到应用．通过练习1，让学生进一步掌握利用函数的图象来判断函数单调性的方法，从而提高学生的读图能力，并与前面学过的知识结合，对学过的函数有更新的认识．新在此图象上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，记∆x＝x2－x1，∆y＝y2－y1．6．例2 证明函数f (x)＝3 x＋2在区间(－∞，＋∞)上是增函数．证明设x1，x2是任意两个不相等的实数，则∆x＝x2－x1∆y＝f (x2)－f (x1)用函数的解析式来判断一个函数是增函数．学生类比分析如何利用函数的解析式来判断一个函数是减函数．教师指出利用函数图象判断单调性的局限性，引导学生从函数解析式入手证明单调性的思路与步骤．教师讲解例题2，板书详细的解题过程．将增函数、减函数定义中的定性说明转化为定量分析．从而给出利用函数解析式来判断函数单调性的方法．启发学生思考，完成从直观到抽象、从感性思维到理性思维的升华．在板书例题的过程中，突出解题思路与步骤．通过例题解答，加深对函数单调性定义的理解，并自然而然地将定义运用到判定函数单调性中，理论与实践相辅相成．课新课＝(3 x2＋2)－(3 x1＋2)＝3(x2－x1)，∆y∆x＝3(x2－x1)x2－x1＞0．因此，函数f (x)＝3 x＋2在区间(－∞，＋∞)上是增函数．7．总结由函数的解析式判定函数单调性的步骤：S1 计算∆x和∆y；S2 计算k＝∆y∆x．当k＞0时，函数在这个区间上是增函数；当k＜0时，函数在这个区间上是减函数．8．例3证明函数f (x)＝1x在区间(0，＋∞)上是减函数．证明：设x1，x2是任意两个不相等的正实数．因为∆x＝x2－x1，∆y＝f(x2)－f(x1)＝1x2－1x1＝2121xxxx-＝－2112xxxx-＝－21xxx∆．又因为x1 x2＞0，所以∆y∆x＝－211xx＜0．因此，函数f (x)＝x1在区间(0，＋∞)上是减函数．9．练习2证明函数f (x)＝3x在区间(－∞，0)上是减函数．教师引导学生总结解题步骤，可简记为：一设、二求、三判定．学生讨论并试解例题．老师点拨、解答学生疑难．学生模仿练习．突出重点，深化证明步骤，分解难点．通过学生讨论、老师点拨，顺利帮助学生判断∆y∆x的正负．巩固用函数解析式来判定单调性的思路和步骤．巩固理解，形成技能．小结1. 函数单调性的定义；2. 判定函数单调性的方法．学生阅读课本P66～68，畅谈本节课的收获．老师引导梳理，总结本节课的知识点．梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结．作业教材P 69，练习A组第2题；练习B组第1、2题．巩固拓展．3.1.4函数的奇偶性【教学目标】1. 理解奇函数、偶函数的概念；掌握奇函数、偶函数的图象特征．2. 掌握判断函数奇偶性的方法．3. 通过教学，渗透数形结合思想，培养学生类比推理的能力，体会由具体到抽象、由特殊到一般的辩证唯物主义思想．【教学重点】奇偶性概念与函数奇偶性的判断．【教学难点】理解奇偶性概念与奇函数、偶函数的定义域．【教学方法】这节课主要采用类比教学法．先由两个具体的函数入手，引导学生发现函数f(x)在x与在－x的函数值之间的关系，由特殊到一般引出奇函数的定义，再由点的对称关系得出奇函数的图象特征．然后由学生自主探索，类比得出偶函数定义．结合定义与例题总结出判断函数奇偶性的步骤，在解题过程中深化对概念的理解．【教学过程】3.2.1一次、二次问题【教学目标】1. 通过实际问题感知一次、二次函数在实际生活中的应用．2. 培养学生从实际问题中抽象出数学模型并应用模型去解决实际问题的能力．3. 通过教学，培养学生应用数学的意识，提高学生分析问题、解决问题的能力．【教学重点】从实际问题中抽象简单的数学模型．【教学难点】从实际问题中抽象简单的数学模型．【教学方法】这节课主要采用问题解决法．教师引导学生对实际问题先用列表计算与画图的方法来直观感知，然后抽象成一次函数和二次函数来研究，通过教学，培养学生从实际问题中抽象出一次、二次函数模型并应用模型去解决实际问题的能力．【教学过程】3.2.2一次函数模型【教学目标】1. 掌握正比例函数和一次函数的关系；理解并掌握一次函数的性质．2. 培养学生数形结合研究函数性质的能力，渗透平移变换的数学思想．3. 体验数学的严谨性，培养学生理性分析问题的良好习惯．【教学重点】一次函数的性质．【教学难点】对正比例函数和直线的关系的理解．【教学方法】这节课主要采用讲练结合法．先定义一次函数，对特殊的一次函数——正比例函数，则采用由曲线与方程的角度来描述正比例函数与直线的关系，然后再考察一次函数与正比例函数的关系，从而得出一次函数的图象也是一条直线的结论，并结合函数的单调性深入分析一次函数的性质，将学生初中对具体的一次函数的认识上升到一般的理性结论.【教学过程】3.2.3二次函数模型【教学目标】1. 理解并掌握二次函数的图象和性质；了解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系；2. 通过教学，使学生初步掌握数形结合研究二次函数的方法；3. 渗透数形结合思想，渗透由特殊到一般的辩证唯物主义观点，培养学生观察分析、类比抽象的能力．【教学难点】函数对称性的分析与数形结合研究二次函数的方法．【教学方法】这节课主要采用启发式教学法和讲练结合法．本节课通过对例题中的二次三项式进行代数分析，探究二次函数性质的由来，使学生从初中对二次函数的直观感知上升到理性认识的高度．更重要的是在学习函数的一般通性之后，以二次函数为载体较系统地呈现数形结合研究函数的方法，为后面学习其它函数的性质奠定基础．【教学过程】新课观察图象并完成填空函数y＝a x2的图象，当a＞0时开口．当a＜0时开口，对称轴是，顶点坐标是．函数是函数（用奇或偶填空）．| a | 越大，开口越．例1研讨二次函数f (x)＝12x2＋4 x＋6的性质与图象．解(1) 因为f (x)＝12x2＋4 x＋6＝12(x2＋8 x＋12)＝12(x＋4)2－2．由于对任意实数x，都有12(x＋4)2≥0，所以 f (x)≥－2，并且，当x＝－4时取等号，即f(－4)＝－2．得出性质：x＝－4时，取得最小值－2．记为y min＝－2．点(－4，－2)是这个图象的顶点．(2) 当y＝0时，12x2＋4 x＋6＝0，x2＋8 x＋12＝0，解得x1＝－6，x2＝－2．生：观察图象，小组合作讨论．然后每组选一名代表汇报各组的交流结果，最后师生一起汇总得出结论．师生共同解决例1，教师详细板书解题过程，带领学生仔细分析各个性质的由来．教师引导学生观察图象可得出：函数的对称轴是直线x＝－4．师:这个结论是否是正确的呢？教师通过问题1、2，引导学生证明上述结论正确．通过对例1中二次三项式的代数分析，使学生对二次函数的直观感知上升到理性认识的高度，更重要的是使学生掌握数形结合研究函数的方法，初步培养学生的画图、识图能力．分析图象与x轴的交点，一方面为描点作图，另一方面为下节研究函数与方程，不等式的关系做铺垫．对称性的教学设计是为了启发学生完成从直观到抽象、从感性思维到理性思维的升华．教师让学生经历“观察—发现—验证—归纳”四2xy=2xy-=22xy=23xy=22xy-=23xy-=新课故该函数图象与x 轴交于两点(－6，0)，(－2，0)．(3) 列表作图．以x＝－4为中间值，取x 的一些值，列出这个函数的对应值表然后画出函数的图象．观察上表或图形回答：1．关于x＝－4对称的两个自变量的值对应的函数值有什么特点？答：相同．2．－4－h 与－4＋h (h＞0) 关于x＝－4对称吗？分别计算－4－h与－4＋h的函数值，你能发现什么？答：f (－4－h)＝f (－4＋h)．得出性质：直线x＝－4为该函数的对称轴．函数在(－∞，－4]上是减函数，在[－4，＋∞)上是增函数．小结例2中的函数性质：1．开口．2．最值．3．顶点．4．对称轴．5．单调性．练习2(课本例3)用配方法求函数f (x)＝3 x2＋2 x＋1的最小值和图象的对称轴，并说出它在哪个区间上是增函数，在哪个区间上是减函数？解：f (x)＝3 x2＋2 x＋1＝3(x2＋23x)＋1＝3(x2＋23x＋19－19)＋1＝3(x＋13)2＋23学生模仿练习．老师巡回观察点拨、解答学生疑难．例2是二次函数中a＜0的类型，学生可类比例1，自己得出图象与性质．例1与例2分别是二次函数中a＞0，a＜0的两种类型，教师引导学生填表，自己总结出二次函数的性质表格，对比记忆．个过程，感受数学的严密性、科学性．小结函数性质，将例1的分析条理化．通过练习2，进一步练习配方法以及巩固二次函数的性质．以表格的形式整理二次函数性质，使知识结构一目了然．y-2-6 O x-4-2新课所以y＝f(－13)＝23，函数图象的对称轴是直线x＝－13，在(－∞，－13]上是减函数，在[－13，＋∞)上是增函数．例2 研讨二次函数f (x)＝－x2－4x＋3的性质与图象．小结二次函数的性质．(表格见课件)例3 已知二次函数y＝x2－x－6说出：(1) x 取哪些值时，y＝0；(2) x 取哪些值时，y＞0，x 取哪些值时，y＜0．解 (1)求使y＝0的x 的值，即求二次方程x2－x－6＝0的所有根．方程的判别式∆＝(－1)2－4×1×(－6)＝25＞0，解得：x1＝－2，x2＝3．(2)画出简图，函数的开口向上．从图象上可以看出，它与x轴相交于两点(－2，0)，(3，0)，这两点把x轴分成三段．所以当x∈(－2，3)时，y＜0．当x∈(－∞，－2)∪(3，＋∞)时，y＞0．练习3 下列函数自变量在什么范围内取值时，函数值大于0、小于0或等于0．(1) y＝x2＋7 x－8；(2) y＝－x2＋2 x＋8．例3板书详细的解题过程．通过此例题，教师总结一元二次方程、一元二次不等式与二次函数之间的关系：求二次方程ax2＋bx＋c＝0的解，就是求二次函数：y＝a x2＋bx＋c(a≠0)的根；求不等式 a x2＋b x＋c＜0的解集，就是求使二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0 )的函数值小于0的自变量的取值范围；求不等式 a x2＋b x＋c＞0的解集，就是求使二次函数y＝a x2＋b x＋c(a≠0)的函数值大于0的自变量的取值范围．学生模仿练习．老师巡回观察点拨、解答学生疑难．本例题有两种方法，方法一：在图象中用区间分析法，方法二；求一元二次方程或一元二次不等式的解集的方法．教师在讲解时可根据学生的实际情况进行讲解和拓展．方法一：在图象中用区间分析法是比较简单的一种方法，通过此法可进一步培养学生的读图，识图能力，培养学生数形结合的思想．巩固用图象法解一元二次不等式的步骤．利用表格总结，使所学知识系统化．ｏ-2 3-6yx3.3函数的应用【教学目标】1. 会应用一次函数和二次函数解决有关简单实际问题．2. 培养学生建立简单的数学模型及应用模型去解决实际问题的能力．3. 通过教学，培养学生应用数学的意识，提高学生分析问题、解决问题的能力．【教学重点】应用函数知识解决一些简单的实际问题．【教学难点】从实际问题中抽象出函数模型．【教学方法】这节课主要采用讲练结合法．教师将四个例题与练习穿插在一起，教师引导与学生主动参与相结合，培养学生的审题能力，以及从实际问题中抽象出数学模型并应用模型去解决实际问题的能力．【教学过程】第四章指数函数与对数函数4.1.1有理指数(一)【教学目标】1. 理解整数指数幂及其运算律，并会进行有关运算．2. 培养学生的观察、分析、归纳等逻辑思维能力．3. 培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养学生合作交流等良好品质．【教学重点】零指数幂、负整指数幂的定义．【教学难点】零指数幂及负整指数幂的定义过程，整数指数幂的运算．【教学方法】这节课主要采用问题解决法和分组教学法．在引入指数幂时，以在国际象棋棋盘上放米粒为导入素材，既体现数学的应用价值，也能引起学生的学习兴趣．从正整指数的运算法则中的a mm-n (m＞n，a ≠ 0)a n＝a这一法则出发，通过取消m＞n的限制引入了零指数幂和负整指数幂的定义，从而把正整指数幂推广到整数指数幂．在本节教学中，要以取消m＞n这一条件为出发点，让学生积极大胆地猜想，以此增强学生的参与意识，从而提高学生的学习兴趣．4.1.1有理指数(二)【教学目标】1. 了解根式的概念和性质；理解分数指数幂的概念；掌握有理数指数幂的运算性质．2. 会对根式、分数指数幂进行互化．培养学生的观察、分析、归纳等逻辑思维能力．3. 培养学生用事物之间普遍联系的观点看问题．【教学重点】分数指数幂的概念以及分数指数幂的运算性质．【教学难点】对分数指数幂概念的理解．【教学方法】这节课主要采用问题解决教学法．在引入分数指数幂时，先讲方根的概念，根据方根的定义，得到根式具有的性质．在利用根式的运算性质对根式的化简过程中，引导学生注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律．在对根式的性质进行练习以后，为了解决运算的合理性，引入了分数指数幂的概念，从而将指数幂推广到了有理数范围．在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，将有理指数幂推广到实数指数幂．考虑到职校学生的实际情况，并没有给出严格的推证．【教学过程】4.1.2 幂函数举例【教学目标】1. 了解幂函数的概念，会求幂函数的定义域，会画简单幂函数的图象．2. 培养学生用数形结合的方法解决问题．注重培养学生的作图、读图的能力．3. 培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养合作交流等良好品质．【教学重点】幂函数的定义．【教学难点】会求幂函数的定义域，会画简单幂函数的图象．【教学方法】这节课主要采用启发式和讲练结合的教学方法．从函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x 等导入，通过观察这类函数的解析式，归纳其共性，引入幂函数的概念．在例1求函数的定义域中，对于分数指数及负整指数的幂函数要转化为分式或根式的形式，讲解时，注意引导，让学生在解答问题的过程中自己归纳总结规律．函数图象是研究函数性质的有利工具，教师在讲授例2时，可以采用分组的方式，让学生一起合作完成函数的图象，并从本例中找出幂函数的某些性质．【教学过程】24.1.3指数函数【教学目标】1. 掌握指数函数的定义、图象、性质及其简单的应用．2. 培养学生用数形结合的方法解决问题的能力．3. 培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养独立思考等良好的个性品质．【教学重点】指数函数的图象与性质．【教学难点】指数函数的图象性质与底数a的关系．【教学方法】这节课主要采用讲练结合和小组合作的教学方法．本节课由生活中的真实例子导入新课，引入指数函数的定义，并通过一组练习深化指数函数的定义．先通过列表——描点——连线得到指数函数的图象，然后在教师的启发下，充分利用函数的图象来研究函数的性质．为了加强学生对函数性质的应用，增加了一道求函数定义域的例题，然后安排一定数量的练习，体现练为主线，讲练结合的教学方法．【教学过程】4.2.1对数【教学目标】1. 理解对数的概念，掌握对数式与指数式的互化．2. 培养学生的类比、分析、转化能力，提高理解和运用数学符号的能力．3. 通过对数概念的建立，明确事物的辩证发展和矛盾转化的观点，培养学生科学严谨的治学态度．【教学重点】对数的概念，对数式与指数式的相互转化．【教学难点】对数概念及性质的理解掌握．【教学方法】这节课主要采用启发式和分组合作教学法．在教学过程中遵循学生是教学的主体的精神，要给学生提供各种可能的参与机会，调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动．利用多媒体辅助教学，引导学生从实例出发，认识对数的模型，体会引入对数的必要性．在教学重难点上，步步设问、启发学生积极思维，通过课堂练习、学生讨论的方式来加深理解重点，更好地突破难点和提高教学效率．让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权．。

全国技工院校公共课教材(中级)数学课件(一)

全国技工院校公共课教材(中级)数学课件(一)全国技工院校公共课教材(中级)数学教学内容•整数与有理数•代数与函数•几何与三角学•数据统计与概率教学准备•面向对象的教材和教辅资料•计算机和投影仪等教学设备•准备好的教学PPT和课件•练习题、习题辅导书等•老师要事先熟悉教材内容教学目标•掌握数学基本运算规则•理解代数与函数的概念及应用•理解几何与三角学的基本原理•掌握数据统计与概率的基本方法设计说明•融入实际问题，提高学生的学习兴趣•引入适量的思维训练和实践操作•根据不同学生的学习能力进行个别辅导•加强与其他课程的联系，拓宽学生的知识面教学过程第一课时：整数与有理数1.引入整数和有理数的概念，解释其实际应用2.教授整数与有理数的四则运算规则和特殊情况3.举例说明整数与有理数的运算实例4.练习题讲解与答疑第二课时：代数与函数1.介绍代数和函数的基本概念与符号2.讲解代数与函数的运算法则和应用3.通过实际问题引导学生理解代数与函数的实际应用4.练习题讲解与答疑第三课时：几何与三角学1.引入几何与三角学的概念及其在日常生活中的应用2.讲解几何与三角学的基本定理和公式3.以实际图形为例演示几何与三角学的应用4.练习题讲解与答疑第四课时：数据统计与概率1.解释数据统计与概率的基本概念和应用场景2.讲解数据统计的方法和概率的计算方式3.引导学生通过实际数据进行统计和概率计算4.练习题讲解与答疑课后反思•检查学生的作业，及时纠正错误•总结本堂课的教学经验和教学效果•对学生的问题进行进一步的辅导和解答•准备下一堂课的教学内容和教学准备以上是一份相关课件的整理，希望能对您的教学工作有所帮助。

抱歉，我只能根据您提供的信息进行一些基本的课件整理。

具体的课件内容和设计需要根据教学对象、教学目标和具体教材的要求进行个性化设计。

如果您有具体的教学要求或者需要进一步的教学帮助，请提供更多细节，我会尽力提供有针对性的帮助。

《中职数学》完整全套课件

《中职数学》完整全套课件一、教学内容本课件依据《中职数学》教材，主要涉及第三章“函数”的4.1至4.4节。

详细内容包括函数的基本概念、函数的性质、特殊函数及其图像、实际应用问题中的函数建模。

二、教学目标1. 理解函数的概念，掌握函数的定义、图像及基本性质。

2. 能够识别和运用常见的特殊函数，如线性函数、二次函数等，并解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决复杂问题的能力。

三、教学难点与重点教学难点：函数性质的理解与应用、特殊函数图像的识别与绘制。

教学重点：函数定义的理解、函数图像的分析、特殊函数的应用。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。

2. 学具：直尺、圆规、计算器。

五、教学过程1. 导入：通过展示实际生活中的函数实例，如手机话费计费问题，引出函数的概念。

展示实例，引导学生思考。

提问：话费与通话时间之间的关系是什么？引入函数定义。

2. 理论讲解：讲解函数的定义、术语。

分析函数的三要素：定义域、值域、对应关系。

举例说明不同类型的函数。

3. 例题讲解：选择几个典型的例题，详细讲解解题思路。

绘制函数图像，分析性质。

4. 随堂练习：分组讨论，解决几个实际问题。

学生上黑板演示解题过程。

5. 小结：回顾函数的概念、性质、图像等要点。

强调特殊函数的应用。

六、板书设计1. 板书函数定义、三要素。

2. 在黑板上绘制特殊函数图像，标注关键点。

3. 写出重要公式和结论。

七、作业设计1. 作业题目：求给定函数的定义域、值域。

绘制二次函数图像，并分析其性质。

解决生活中的函数问题。

答案：见附件。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：根据学生的学习反馈，调整教学方法和节奏。

2. 拓展延伸：引导学生阅读教材以外的数学资料，加深对函数的理解。

开展小组活动，讨论生活中遇到的函数问题，提高解决实际问题的能力。

本课件遵循实践情景引入、例题讲解、随堂练习的教学模式，旨在培养学生的逻辑思维和实际应用能力，使他们在学习数学的过程中感受到数学的乐趣。

数学(全本)中等职业技术学校PPT课件

解原式
ax
ax
2 a
(ax)(ax)(ax)(ax)a 2x2
原式
1 b ab b a (ab ) (ab )2 (ab )2 (ab )2
原式 a(ab 2b)2(ab (b a) (ab ). b)a(abb)
13
课堂练习：
2x 3
1．当x＝______时，分式1 3 x 没有意义。
a a
，求x。
.
6
整式的运算
幂的运算法则（a、b≠0，m、n是整数）
an•amanm
(am)n am•n
(ab)n anbn
常用乘法公式
(ab)(ab)a2b2
a2b2a22abb2
a 2 b 2 a 2 . 2 a b b 2
7
因式分解
多项式的因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积，多项式的因式分解和整式的乘法是相反方向的变换
分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，即
A A M B BM
A AM B BM
，（M为不等于零的整式）分式的运算：分式的加减运算是使用通分进行的；
分式的乘除运算是使用约分进行的。
.
12
例题解析
例计算：
(1) （2）（3） 1 1 ax ax
（3） x2 2x15
解原式= 5a2b(3ab4b21) 原式= x 2 (y 2 2 y 1 ) x 2 (y 1 )2 原式= (x3)(x5)
=(xy1)(xy1)
.
10
课堂练习：
1．计算
( x 2 x 2 5 ) ( 3 4 x 2 6 x )

全国中等职业技术学校通用教材_数学(上)-3

2．下列各角中哪些角与80°的角终边相同？ 440°、－280°、280°、400°。
弧度
我们规定，长度等于半径的圆弧对应的圆心角为1 弧度。弧度的单位符号是rad。
根据以上规定，在半径为r的圆中，长度为l的圆弧对应的圆心角α的大小是 l，即
r
l rad
r
例如，圆周的长度是2πr，它对应的圆心角的大小是
第3章三角函数
3.1 角的概念推广 3.2 任意角的三角函数 3.3 三角函数的图像和性质
3.1 角的概念推广
完成“将这扇门打开60°”的动作有两种选择。你能否找出一种简明的方法区分出开门的方向？
假设目前的准确时间是8:45，左图里挂钟显示的时间（10:15）快了一个半小时．要校准此钟，必须将分针（长针）往回拨一圈半。分针被拨动一圈的时候，它被拨动的角度是多少？再拨半圈，分针又转过多少度？从开始拨动到完成校准，分针被拨动的角度一共是多少？
β＝30°＋k·360°，k∈Z
由此推广，与α角终边相同的角（含α角在内）的一般表达式是：
β＝α＋k·360° ，k∈Z
由此推广，轴线角的一般表达式如下
终边位置 x轴的正半轴 x轴的负半轴
x轴( k∈Z) β＝180°＋k·360°( k∈Z) β＝k·180°( k∈Z) β＝90°＋k·360°( k∈Z) β＝270°＋k·360°( k∈Z) β＝90°＋k·180°( k∈Z)
而390°、320°角与40°角终边不相同（390°、320°与 40°的差值不是360°的整数倍）。
单击鼠标继续
1．下列各角是第几象限角？（如果是轴线角也请说明） 30°、 120°、 180°、 260°、300°、360°、390°、450°、－ 30°、－90°、－120°、－180°、－230°、－330°。

数学(全本)中等职业技术学校

2 a
(ax)(ax)(ax)(ax)a 2x2
原式 (a1 b )(a b b )2a (a b b )2 b(a a b )2
原式 a(ab 2b)2(ab (b a) (ab ). b)a(abb)
13
课堂练习：
1．当x＝______时，分式12 x
3
3 x
没有意义。
代数定义：
a
(a 0)
|
a
|
0
(a 0)
. a ( a 0 )
4
例题解析例1 求下列数的绝对值：
（1）3.4 解
（1）因为3.4>0，所以|3.4|＝3.4。
.
5
课堂练习：
1．__在__－_2_、__34 _、，94 分、数2有、_2 _5 __这__些__数__中__，_整__数__有，有
2．当x＝______时，分式12 x
3
3 x
的值为0。
3．计算：
（1）
31 1 a2b ab a3b3
（2）
3x (x2 5 )
2x4
x2
.
14
数的乘方和开方运算
正整数指数幂 a 14 a4 a4a2 4 4 a 43 an （n是正整数） n个 a
零指数幂 a0 1(a0) 负整数指数幂 ana1n(a0,n是正整数 ) 平方根若x2＝a (a≥0)，则称x为a的平方根
a1ba2
1 2abb2
b2
abb2
a32a2bab2 a2b2
分
析：分式的加、减法关键是求最小公分母，基本
方法：①先将各分母分解因式；②将所有因式全
部取出，公因式应取次数最高的；③将取出的因

《高职应用数学》(教案)

《高职应用数学》教案课程名称：高职应用数学总学时：64n a a aa 个(n 为正整数0≠)．1n a= (0a ≠，n 为正整数）整数指数幂的运算法则：(0a ≠，0b ≠，n m n a a +=； (m n a ；)nnnb a b =；．a (a ∈R ，n *∈N )p p pb a b =．p q p q N a a a +==log ()p q a a p q +=+=时，对数的运算法则：)log M N M ⨯=+已知直线l 经过点000()P x y ，，且斜率为k ．设点()P x y ，为直线l 上不同于点0P 的任意一点，由斜率公式可得00y y k x x -=-，整理得00()y y k x x -=-．点000()P x y ，也满足上述方程．由于上述方程是由直线上的一点和直线的斜率确定的，所以称为直线的点斜式方程．2）直线的斜截式方程设直线l 与x 轴交于点(0)A a ，，与y 轴交于点(0)B b ，，则a 称为直线l 在x 轴上的截距（或横截距）；b 称为直线l 在y 轴上的截距（或纵截距）．设直线l 与y 轴的交点为(0)B b ，，且直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为(0)y b k x -=-，即y kx b =+．3）直线的一般式方程把形如0Ax By C ++=（A B ，不全为零）的二元一次方程称为直线的一般式方程． 2、一元二次方程等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，称为一元二次方程．一元二次方程的一般形式为20(0)ax bx c a ++=≠．1）公式法一般地，式子24b ac -称为一元二次方程20ax bx c ++=根的判别式，通常用希腊字母“∆”表示，即24b ac ∆=-．当0∆时，方程20(0)ax bx c a ++=≠的实数根可写为0>，方程242b ac a-0=，方2b a-；，，，|0，并且||0，，，x x x ⎧⎪=⎨⎪-⎩的几何意义为：数轴上表示实数x 的点到原点由绝对值的几何意义可知，不等式|于3的所有点的集合；不等式||3x >表示的是数轴上到原点的距离大于3的所有点的集合．不等式||3x <的解集为(33)-，；不等式||3x >的解集为(3)(3)，，-∞-+∞．一般地，不等式||(0)x a a <>的解集为()a a -，；不等式||(0)x a a >>的解集是()()，，a a -∞-+∞．2）ax b c +<或ax b c +>型不等式对于||ax b c +<或||(0)ax b c c +>>型不等式，可以把ax b +看成一个整体，从而转化为||x a <或||(0)x a a >>型不等式来求解．例如，求解不等式|23|1x -<时，可先设23m x =-，则不等式|23|1x -<化为||1m <，其解集为11m -<<，即1231x -<-<．根据不等式的性质，可以求出12x <<，即原不等式|23|1x -<的解集为(12)，．3、区间的概念1）有限区间实数与数轴上的点之间是一一对应的关系，例如，集合{}|32x x -<<可以用数轴上位于3-与2之间的一条线段（不包括端点）来表示．由数轴上两点之间的全部实数所组成的集合称为区间，其中这两个点称为区间端点．不含端点的区间称为开区间，含有两个端点的区间称为闭区间．集合{}|32x x -<<表示的就是开区间，记作(32)-，．集合{}|32x x-表示的就是闭区间，记作[32]-，．只含左端点的区间称为右半开区间，例如，集合{}|32x x -<表示的区间就是右半开区间，记作[32)-，；只含右端点的区间称为左半开区间，例如，集合{}|32x x-<表示的区间就是左半开区间，记作(32]-，．综上所述，设a ，b 为任意实数，且a b <，则有①开区间：{}|()x a x b a b <<⇔，数集区间； ②闭区间：{}|[]x axb a b ⇔，数集区间；③右半开区间：{}|[)x a x b a b <⇔，数集区间； ④左半开区间：{}|(]x a x b a b <⇔，数集区间．以上的开区间、闭区间、右半开区间和左半开区间统称为有限区间． 2）无限区间集合{}|3x x >可以用数轴上位于3右侧的一条射线（不包括端点）来表示，如图1-6所示．由图可以看出，集合{}|3x x >所表示的区间的左端点为3，没有右端点，这时可以将其记作(3)，+∞，其中符号“+∞”读作“正无穷大”，表示右端点可以任意大，而并非某个具体的数．同理，集合{}|5x x <表示的区间可记作(5)，-∞，其中符号“-∞”读作“负无穷大”．类似地，集合{}|3x x表示的区间记作[3)，+∞，是右半开区间；集合{}|5x x 表示的区间记作(5]，-∞，是左半开区间．设a ，b 为任意实数，且a b <，则有（1）{}|()，数集区间x x a a >⇔+∞；（2）{}|()，数集区间x x b b <⇔-∞；（3）{}|[)≥，数集区间x x a a ⇔+∞；（4）{}|(]，数集区间x xb b ⇔-∞；（5）实数集R 如果用区间来表示，可以记作()，-∞+∞．以上这5种区间统称为无限区间．4、邻域的概念设点a 与δ是两个实数，且0δ>，则称集合{||}x x a δ-<为点a 的δ邻域，记作()U a δ，，其中将a 称为邻域中心，将δ称为邻域半径．有时还要用到去掉中心的邻域，即集合{0||}x x a δ<-<，称为点a 的δ去心邻域，记作o()U a δ，．5、一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的不等式，称为一元二次不等式，其一般形式为2()0ax bx c ++> 或 2()0ax bx c ++< (0)a ≠．①当240b ac ∆=->时，方程20(0)ax bx c a ++=>有两个不相等的实数解1x 和2x （12x x <），对应函数2(0)y ax bx c a =++>的图像与x 轴有两个交点，即1(0)x ，，2(0)x ，．此时不等式20(0)ax bx c a ++>>的解集为12()()，，x x -∞+∞，不等式20(0)ax bx c a ++<>的解集为12()x x ，．②当240b ac ∆=-=时，方程20(0)ax bx c a ++=>有两个相等的实数解0x ，对应函数2(0)y ax bx c a =++>的图像与x 轴只有一个交点，即0(0)x ，．此时不等式20(0)ax bx c a ++>>的解集为00()()，，x x -∞+∞，不等式20(0)ax bx c a ++<>的解集为∅．③当240b ac ∆=-<时，方程20(0)ax bx c a ++=>没有实数解，对应函数2(0)y ax bx c a =++>的图像与x 轴没有交点．此时不等式20(0)ax bx c a ++>>的解集为R ，不等式20(0)ax bx c a ++<>的解集为∅．1.2 函数一、函数的概念与性质 1、函数的概念设有两个变量x 和y ，D 是一个非空数集，若当变量x 在集合D 内任取一个值，变量y 依照一定法则f ，总有确定的值与之对应，则称变量y 是x 的函数，记为()y f x =，x D ∈，其中，D 称为函数的定义域，x 称为自变量，y 称为因变量．对于确定的0x D ∈，与之对应的0y 称为函数()y f x =在0x 处的函数值，记作00()x x y y f x ===．当x 取遍D 中的一切数值时，对应的函数值y 的集合称为函数()y f x =的值域，记作M ，即{}()M y y f x x D ==∈，．定义域函数的两要素对应法则解析法函数的表示方法表格法图示法2、函数的性质1）单调性设函数()y f x =在区间I 内有定义，若对区间I 内的任意两点12x x ，，当12x x <时，有12()()f x f x <，则称()y f x =在区间I 内单调增加，区间I 称为单调增区间；当12x x <时，有12()()f x f x >，则称()y f x =在区间I 内单调减少，区间I 称为单调减区间．单调增区间和单调减区间统称为单调区间．2）奇偶性设函数()y f x =的定义域关于原点对称（即若x D ∈，则x D -∈），若对于任意的x D ∈，都有()()f x f x -=，则称()y f x =为偶函数；若对于任意的x D ∈，都有()()f x f x -=-，则称()y f x =为奇函数．3）有界性设函数()f x 在区间I 上有定义，如果存在一个正数M ，使得与任一x I ∈所对应的函数值()f x 都满足不等式|()|f x M ，则称函数()f x 在I 内有界；如果这样的M 不存在，则称函数()f x 在I 内无界．4）周期性设函数()y f x =在区间D 上有定义，若存在常数0T ≠，对于任意的x D ∈，恒有()()f x T f x +=，则称()f x 是以T 为周期的周期函数．通常所说周期函数的周期是指它们的最小正周期，例如，sin y x =的周期是2π，tan y x =的周期是π．函数()y C C =为常数是周期函数，但不存在最小正周期．二、基本初等函数 1、常数函数常数函数()y C C =为常数的定义域为(+)-∞∞，，对应法则是对于任何()x ∈-∞+∞，，x 所对应的函数值y 恒等于常数C ．其函数图像为平行于x 轴的直线．2、幂函数幂函数()a y x a =为任意常数的定义域和值域由a 而定，但在(0)+∞，内都有定义，且其图像都经过点(11)，．3、指数函数指数函数(01)x y a a a =>≠，的定义域为()-∞+∞，，值域为(0)+∞，，图像都经过点(01)，．当1a >时，x y a =单调增加；当01a <<时，x y a =单调减少．指数函数的图像均在x 轴上方.4、对数函数对数函数log (01)a y x a a =>≠，是指数函数x y a =的反函数．对数函数的定义域为(0)+∞，，值域为()-∞+∞，，图像都经过点(10)，．当1a >时，log a y x =单调增加；当01a <<时，log a y x =单调减少．对数函数的图像在y轴的右方．当e a =时，log a y x =简记为ln y x =，它是常见的对数函数，称为自然对数．其中，e 2.71828182845904523536=为无理数．5、三角函数三角函数有：正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =；正切函数tan y x =，余切函数cot y x =；正割函数sec y x =，余割函数csc y x =．（1）sin x 和cos x 的定义域为()-∞+∞，，值域为[11]-，，都以2π为周期．sin x 是奇函数，cos x 是偶函数．（2）tan x 的定义域是ππ()2x k k ≠+∈Z ，cot x 的定义域是π()x k k ≠∈Z ，它们都以π为周期，且都是奇函数．6、反三角函数反三角函数是各三角函数在其特定单调区间上的反函数．（1）反正弦函数arcsin y x =是正弦函数sin y x =在区间ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的反函数，其定义域为[11]-，，值域为ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．（2）反余弦函数arccos y x =是余弦函数cos y x =在区间[0π]，上的反函数，其定义域为[11]-，，值域为[0π]，．（3）反正切函数arctan y x =是正切函数tan y x =在区间ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，内的反函数，其定义域为()-∞+∞，，值域为ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，．（4）反余切函数arc cot y x =是余切函数cot y x =在区间(0π)，内的反函数，其定义域为()-∞+∞，，值域为(0π)，．三、复合函数设y 是u 的函数()y f u =，u 是x 的函数()u x ϕ=．如果()u x ϕ=的值域与()y f u =的定义域的交集不是空集，则y 通过u 构成x 的函数[()]y f x ϕ=，称为x 的复合函数，其中u 称为中间变量．例如，2y u =，sin u x =，它们复合而成的复合函数为22(sin )sin y x x ==．利用复合函数的概念，可以把一个较复杂的函数分解成若干个简单函数．分解的原则是：由外向里，逐层分解．分解的结果是：分解成的每个简单函数都是基本初等函数或由基本初等函数经过有限次四则运算后形成的函数．四、初等函数和分段函数 1、初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合构成，并且用一个式子表示的函数称为初等函数． 2、分段函数引例自2018年8月1日起，北京巡游出租车（不含电动车）白天的基本收费标准是：行驶里程如果不超过3公里，则收费13元；如果超过3公里，则超出的部分按每公里2.3元收费；另外每运次加收1元燃油附加费．那么每运次的行驶里程数x 公里与费用y 元之间的关系为131314313(3) 2.3137.1 2.33x x y x x x x +⎧⎧==⎨⎨+-⨯+>+>⎩⎩，，，，，．以上的函数关系不是用一个式子表示的，而是在自变量不同范围内用不同的表达式来表示的，这样的函数称为分段函数．常见的分段函数：① 绝对值函数0||0，，，x x y x x x ⎧==⎨-<⎩② 符号函数10sgn 0010，，，，，x y x x x -<⎧⎪===⎨⎪>⎩1.3建立函数关系一、工程技术中函数的建立例要造一个圆柱形油罐，其体积为定值V ，试求油罐的表面积与底圆半径的函数关系．解设油罐的底圆半径为r ，油罐的高为h ，因2πV r h =，故2πVh r =．油罐的表面积为22π2πS rh r =+，将2πVh r =代入上式得所求函数为 222πVS r r=+，(0)r ∈+∞，．例某工厂建造一个小型车间，要求车间借助现有的一面墙建成两块矩形，设平行于原有墙面的矩形边长为x ，现有材料只够砌50 m 长的墙壁，试求围成的车间面积S 与边长x 的函数关系．解设矩形的宽为y ，根据题意有350y x +=，得503xy -=．车间面积为2(50)501333x x S xy x x -===-，(050)x ∈，．例弹簧在汽车悬吊系统中广泛应用，在弹性限度内，弹簧伸长量与受力大小成正比．现在有一弹簧受力4 N ，伸长了0.01 m ，求该弹簧的伸长量与受到的力之间的函数关系．解设弹簧受力为F N 时，其伸长量为l m ，由题意可知F kl =（k 为比例常数）．将已知条件4F =时，0.01l =，代入上式，得40.01k =， 400k =．由此得该弹簧伸长量l 与受到的力F 之间的函数关系为1400l F =．二、经济函数的建立 1、需求函数需求（量）是指在一定的价格条件下，消费者对某种商品有支付能力购买的商品量．人们对某一商品的需求受许多因素的影响，如商品的价格、质量，消费者的收入、偏好等．其中，商品的价格是影响需求量的主要因素，若把其他因素视为常量，则市场对某商品的需求量Q 是商品价格p 的函数，它是一《高职应用数学》教案课程名称：高职应用数学总学时：642.1 极限的概念一、数列的极限定义1 在某一法则下，当()n n +∈N 依次取123n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，，时，对应的实数排成一列数123n x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，，，这列数就称为数列，记作{}n x ．数列中的每一个数称为数列的项，第n 项n x 称为数列的一般项或通项．数列{}n x 可看作自变量为整数n 的函数()n x f n =，它的定义域是全体正整数，当自变量n 依次取123⋅⋅⋅，，，等一切正整数时，对应的函数值就排列成数列{}n x ．定义2 对于数列{}n x ，当n 无限增大时，如果数列的一般项n x 无限地接近于某一确定的数值a ，则称常数a 是数列{}n x 的极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记作lim n x x a →∞=；如果数列没有极限，则称数列是发散的．二、函数的极限数列是一种特殊的函数()n x f n =，它研究当自变量n →∞时，函数值()f n 的变化趋势．对于一般函数()y f x =，也可讨论自变量x 在某一变化过程中函数()f x 的变化趋势．函数自变量x 的变化过程可分为两种情况：x 的绝对值||x 无限增大，x 无限接近0x ．为了方便起见，我们规定：①x 的绝对值||x 无限增大用记号x →∞表示； x 小于0且绝对值||x 无限增大用记号x →-∞表示；x 大于0且绝对值||x 无限增大用记号x →+∞表示． ②x 无限接近0x 用记号0x x →表示；x 从0x 的左侧（即0x x <）无限接近0x 用记号0x x -→表示；x 从0x 的右侧（即0x x >）无限接近0x 用记号0x x +→表示．1）当x →∞时，函数()y f x =的极限例作出函数1y x=的图形，在0x >的前提下，讨论当x →+∞时，该函数的变化趋势，并说出它的极限．当x 沿x 轴的正方向无限增大时，曲线1y x=无限接近于x 轴，但始终不与x 轴相交，故当x →+∞时，函数1y x=以0为极限．定义3 当x 的绝对值无限增大，即x →∞时，如果函数值()f x 无限趋近于某一个确定的常数A ，那么A 就称为函数()f x 当x →∞时的极限，记作lim ()x f x A →∞=或()()f x A x →→∞．例4 讨论πlimarctan 2x x →∞=是否存在．解有πlim arctan 2x x →+∞=及πlim arctan 2x x →-∞=-．由于当x →+∞和x →-∞时，函数arctan x 不是无限接近于同一个确定的常数，所以limarctan x x →∞不存在．图2-2由上面的例子可以看出，如果lim ()x f x →+∞和lim ()x f x →-∞都存在并且相等，那么lim ()x f x →∞也存在并且与它们相等．如果lim ()x f x →+∞和lim ()x f x →-∞都存在，但不相等，那么lim ()x f x →∞不存在．定理1 lim ()x f x A →∞=的充分必要条件是lim ()lim ()x x f x f x A →+∞→-∞==．例讨论函数e x y =及e x y -=当x →∞时的极限．解如图2-3所示为这两个函数的图形．因为+lim e lim e 0x x x x →∞→-∞=+∞=，，所以lim e x x →∞不存在．又因为lim e 0lim e x x x x --→+∞→-∞==+∞，，所以lime x x -→∞不存在．2）当0x x →时，函数()f x 的极限对于函数()1f x x =+和21()1x g x x -=-，当1x →时，()f x 和()g x 的变化趋势如图所示．从图像容易看出，当1x →时，()f x 和()g x 都无限接近于2．定义4 设函数()y f x =在点0x 的附近有定义（在0x 处可以无定义），如果存在一个常数A ，当x 无限趋于00()x x x ≠时，函数()f x 的值无限趋近于A ，那么A 就称为函数()f x 当0x x →时的极限，记作lim ()x x f x A →=或0()()f x A x x →→．如果当x 从0x 的左边趋于0x （通常记作0x x -→）时，()f x 无限接近某常数A ，则常数A 称为函数()f x 当0x x →时的左极限，记作0lim ()x x f x A -→=或0()f x A -=．如果当x 从0x 的右边趋于0x （通常记作0x x +→）时，()f x 无限接近某常数A ，则常数A 称为函数()f x 当0x x →时的右极限，记作0lim ()x x f x A +→=或0()f x A +=．左极限与右极限统称为单侧极限．根据函数极限的定义并观察函数图像，我们可以确定一些常见函数的极限．例如，00lim x x x x →=，0limsin 0x x →=，0limcos 1x x →=，0lim ()x x C C C →=为常数，01lim x x→不存在．11<，试判断00x <，．讨论极限在实际中，我们经常遇到一类变量，它们的绝对值变得越0（或0）且0（或0A ）．二、极限的运算法则()lim ()x f x A g x B →==，0()]lim ()lim x x x g x f x →→±=±；()]lim ()lim g x f x ⋅=⋅∞n ma b ++++，此时分子、x 的最高次方，11n n m m a b --⎪++⎪=⎨++⎪⎪⎩此结论只与分子、分母的最高方次n m ，有关．6、∞-∞型它适用于lim[()()]f x g x -，其中lim ()f x =∞且lim ()g x =∞，记为“∞-∞”型．方法：先通分或先将分子有理化，就可以化成前面几种形式．例10 求3113lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭．2.3两个重要极限及无穷小的比较一、两个重要极限 1、0sin lim1x xx→=从图像可以观察出，当0x →时，函数sin xy x=的值无限趋近于1．此重要极限属于“0”型，常形象地表示为0sin lim1→=（□代表同一变量）．例1 求0sin 3limx xx→．例2 求下列极限：（1）0sin 3limsin 5x x x →；（2）0tan lim x x x →；（3）201cos lim x xx →-．2、1lim 1e xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭当x →∞时，函数11xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的变化趋势β．例如，当0x →时，32x x +与x 都是无穷小量，因为32002lim lim(2)2x x x xx x→→+=+=．所以当0x →时，32x x +与x 是同阶无穷小量．等价无穷小在求极限时有重要的作用．对此，有如下定理：定理设，ααββ''，且limαβ''存在，则有lim lim ααββ'='．这说明，在求两个无穷小之比的极限时，分子、分母可分别用它们的等价无穷小代替，这样可以简化某些极限的运算．因此，我们应该记住以下几个常用的等价无穷小．当0x →时，sin xx ，tan xx ，arcsin xx ，arctan xx ，211cos 2xx -，ln(1)x x +，e 1x x -．例5 求30sin lim 4x xx x→-．例6 求30tan sin limx x xx →-．2.4 函数的连续性一、连续函数的概念 1、函数的增量自变量从初值0x 变为终值x 时，终值与初值的差0x x -称为自变量x 的增量（通常也称为改变量），记作x ∆．增量x ∆可正可负．设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，当自变量x 在该领域内由0x 变到0x x +∆时，函数y 相应地由0()f x 变到0()f x x +∆，称00()()f x x f x +∆-为函数的增量（或改变量），记作y ∆或()f x ∆，则有00()()y f x x f x ∆=+∆-．2、函数连续的定义定义1 设函数()y f x =在点0x 的某一邻域内有定义，当自变量x 在0x 处的改变量x ∆趋于零时，相应地函数的改变量y ∆也趋于零，即000lim lim[()()]0x x y f x x f x ∆→∆→∆=+∆-=，则称函数()y f x =在点0x 处连续．0 0 >，在x根据连续函数的定义，通过上述例子，总结出的某邻域内有定义；存在；性质2（介值定理）如果函数()y f x =在闭区间[]a b ，上连续，且()()f a f b ≠，C 为介于()f a 与()f b 之间的任意数，则在开区间()a b ，内至少存在一点ξ，使得()f ξC =．性质3（零点定理）如果函数()y f x =在闭区间[]a b ，上连续，且()f a 与()f b 异号，即()()0f a f b ⋅<，那么在开区间()a b ，内至少存在一点ξ，使()0f ξ=．从几何意义上讲，如果函数()f x 在闭区间[]a b ，上的图形是一条连续曲线，其两个端点分别位于x 轴两侧，那么这条曲线与x 轴至少有一个交点．例7 证明方程326x x +=至少有一个根介于1和3之间．《高职应用数学》教案课程名称：高职应用数学总学时：643.1 导数的概念一、引例分析引例自由落体的瞬时速度21()2s f t gt ==，其中g 为常量．试求物体在0t 时刻的瞬时速度v ．给定时间变量t 在0t 时的一个增量t ∆，则在从时刻0t 到0t t +∆这段时间间隔内，物体运动路程的增量为00220020()()11()221()2s f t t f t g t t gt gt t g t ∆=+∆-=+∆-=∆+∆，从而求得物体在时间段t ∆内的平均速度为000()()12f t t f t s v gtg t t t +∆-∆===+∆∆∆．显然，当||t ∆无限变小时，平均速度v 无限接近于物体在0t 时刻的瞬时速度v ．因此，平均速度的极限值就是物体在0t 时刻的瞬时速度v ，即可定义00000()()lim limlimt t t f t t f t sv v t t∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆ 0001lim 2t gt g t gt ∆→⎡⎤=+∆=⎢⎥⎣⎦．二、定义定义1 设函数()y f x =在点0x 处及其左右近旁有定义，当自变量x 在点0x 处有增量x ∆时，相应地函数有增量00()()y f x x f x ∆=+∆-．如果当0x ∆→时，y ∆与x ∆之比的极限0000()()limlimx x f x x f x yx x ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 存在，则称函数()f x 在点0x 处可导，并称此极限值为()y f x =在点0x 处的导数，记作11(log )log e ln a a x x x a '==．特别地，1(ln )x x'=．例5 求下列函数在指定点处的导数：（1）πcos 2y x x ==，；（2）21x y x ==，．四、用导数表示实际量——变化率模型案例1 切线的斜率设曲线()y f x =在点00(())M x f x ，处有切线且斜率存在，求曲线()y f x =在点00(())M x f x ，处的切线斜率．在曲线上另取一点N ，设它的坐标为00(())x x f x x +∆+∆，，如图3-3所示．当割线MN 上的N 点沿着曲线无限接近M 点时，割线MN 的极限位置称为曲线在M 点的切线．设割线MN 的倾角为ϕ，切线MT 倾角为α，则割线MN 斜率为00()()tan MN f x x f x y k x xϕ+∆-∆===∆∆．显然当0x ∆→时，即点N 将沿着曲线趋近于M 点时，割线MN 趋近于极限位置MT （即切线MT ）．于是得到切线MT 的斜率为00000()()tan limlim ()MT x x f x x f x yk f x x xα∆→∆→+∆-∆'====∆∆．这就是说，函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '在几何上表示曲线()y f x =在点M 00(())x f x ，处切线的斜率．由直线的点斜式方程可以得到：（1）曲线()y f x =在点00(())M x f x ，处的切线方程为 000()()()y f x f x x x '-=-．（2）过切点00(())M x f x ，且与切线垂直的直线称为曲线()y f x =在点M 处的法线．如果0()0f x '≠，则法线斜率为01()f x -'，所以曲线()y f x =在点，，，，，，)．时刻的速度和加函数可以看成由函数()y t ψ=，1()t x ϕ-=复合成的函数1[()]y x ψϕ-=．所以，根据据复合函数的求导法则与反函数的求导法则，有d d d d ()d d d d d ()d yy y t t t x x t x t tψϕ'=⋅=='．反函数的求导法则：如果函数()x t ϕ=在区间t I 内单调、可导且()0t ϕ'≠，那么它的反函数1()t x ϕ-=在区间{}|()，x t I x x t t I ϕ==∈内也可导，且 11[()]()x t ϕϕ-'='或d 1d d d t xx t=．例6 求由参数方程cos sin ，x a t y b t =⎧⎨=⎩所确定的函数y 的导数d d yx ．例7 求摆线(sin )(1cos )，x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩在π2t =时相应点处的切线方程．三、对数求导法形如()[()]v x y u x = (()0u x >)的函数称为幂指函数，其中()u x ，()v x 是可导函数．幂指函数的求导方法可用对数求导法，即先将等式两边同时取对数，变成隐函数的形式，再利用隐函数求导法求其导数．例8 求x y x =(0)x >的导数．例9 求函数(1)(2)(3)(4)x x y x x ++=++的导数．3.5 函数的微分及其应用一、微分的概念当函数()y f x =在点0x 处有微分时，称函数()y f x =在点0x 处可微．一般地，函数()y f x =在区间()a b ，内任意点x 的微分称为函数的微分，记作d y ，即d ()d y f x x '=．由d ()d y f x x '=，得d ()d yf x x'=．由此可见，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数．因此导数也称微商．例1 求函数3y x =在1x =，0.01x ∆=时的改变量y ∆及微分d y ．例2 设ln(1)y x =+，求d y ．二、微分的几何意义点00()P x y ，和00()Q x x y y +∆+∆，是曲线()y f x =上邻近的两点．PT 为曲线在点P 处的切线，其倾斜角为α．容易得到0tan ()d RT PR xf x y α'==∆=．这就是说函数()y f x =在点0x 处的微分，在几何上表示曲线()y f x =在点00()P x y ，处切线PT 的纵坐标的增量RT ． TQ RQ TR =-表示y ∆与d y 之差，当||x ∆很小时，TQ 与RT 相比是微不足道的，因此，可用RT 近似代替RQ ．这就是说，当||x ∆很小时，有d y y ∆≈．因此在点P 的附近，可以用切线段来近似代替曲线段，即22||(d )(d )PQ PT x y ≈=+．三、微分的运算 1、微分的基本公式（1）d()0C =；（2）1d()d x x x ααα-=；（3）d()ln d x x a a a x =；（4）d(e )e d x x x =；|A δ，则的绝对误差限（简称绝对误差）测得圆钢截面的直径．利用公式4A D π=《高职应用数学》教案课程名称：高职应用数学总学时：64例5 求5lim ex x x →+∞．例6 求11lim 1ln x xx x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭．例7 求0lim ln (0)n x x x n +→>．在使用洛必达法则时的注意事项：（1）每次使用法则前，必须检验是否属于“00”或“∞∞”型未定式，若不是这两种未定式，应先转化为这两种未定式，否则不能使用该法则．（2）如果有可约因子，或有非零极限值的乘积因子，则可先约去或提出，以简化演算步骤．（3）当()lim()f x g x ''不存在（不包括∞的情形）时，并不能断定()lim ()f xg x 也不存在，此时应使用其他方法求极限．4.2 函数的单调性与极值一、函数的单调性函数在区间[]a b ，上的增减性和它的导数值有密切关系．定理1 设函数()f x 在[]a b ，上连续，在()a b ，内可导，则有（1）如果在()a b ，内()0f x '>，则函数()f x 在[]a b ，上单调增加；（2）如果在()a b ，内()0f x '<，则函数()f x 在[]a b ，上单调减少．有时，函数在其整个定义域上并不具有单调性，但在其各个部分区间上却具有单调性．要确定可导函数()f x 的单调区间，首先要求出使()0f x '=的点（驻点）；然后，用这些驻点将()f x 的定义域分成若干个子区间；最后在每个子区间上用定理1判断函数的单调性．一般地，如果()f x '在某区间内的个别点处为0，而在其余各点处都为正（或负），那么()f x 在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的．确定函数单调性的步骤：（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求出使函数()0f x '=和()f x '不存在的点，并以这些点为分界点，将定义域划分成若干个子区间；（3）确定()f x '在各个子区间的符号，从而确定()f x 的单调区间．例1 讨论函数23()3f x x x =-的单调性．二、函数的极值定义1 设函数()f x 在点0x 的某邻域内有定义，若对此邻域内任一点0()x x x ≠，均有0()()f x f x <，则称0()f x 是函数()f x 的一个极大值．同样，若对此邻域内任一点0()x x x ≠，均有0()()f x f x >，则称0()f x 是函数()f x 的一个极小值．函数的极大值与极小值统称为函数的极值．使函数取得极值的点0x 称为极值点．定理2（极值存在的必要条件）设()f x 在点0x 处具有导数，并且在点0x 处取得极值，那么0()0f x '=．由定理2可知，可导函数()f x 的极值点必是()f x 的驻点．反过来，驻点却不一定是()f x 的极值点．例如，0x =是函数3()f x x =的驻点，但不是其极值点．对于一个连续函数，它的极值点还可能是使导数不存在的点，这种点称为尖点．例如，函数()||f x x =，(0)f '不存在，但0x =是它的极小值点．定理3（极值存在的第一充分条件）设()f x 在点0x 处连续，且在点0x 的某一空心邻域内可导．当x 由小到大经过点0x 时，（1）如果()f x '由正变负，那么点0x 是极大值点；（2）如果()f x '由负变正，那么点0x 是极小值点；（3）如果()f x '不变号，那么点0x 不是极值点．求函数极值的步骤：（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求出()f x 的全部驻点及不可导点；（3）考察上述点两侧一阶导数的符号，确定极值点；（4）求出极值点处的函数值，得到极值．例2 求函数21y x =-的极值．定理4（极值存在的第二充分条件）设()f x 在点0x 处具有二阶导数且0()0f x '=，0()0f x ''≠．（1）如果0()0f x ''<，则()f x 在点0x 处取得极大值；（2）如果0()0f x ''>，则()f x 在点0x 处取得极小值．例3 求函数32()69f x x x x =-+的极值．4.3 曲线的凹凸点与拐点定义1 设函数()f x 在区间I 上连续，如果函数的曲线位于其上任意一点处切线的上方，则称该曲线在区间I 上是凹的；如果函数的曲线位于其上任意一点处切线的下方，则称该曲线在区间I 上是凸的.定理1 设()f x 在[]a b ，上连续，在()a b ，内具有一阶和二阶导数，那么（1）若在()a b ，内()0f x ''>，则()f x 在[]a b ，上的图像是凹的；（2）若在()a b ，内()0f x ''<，则()f x 在[]a b ，上的图像是凸的．例1 判断曲线ln y x =的凹凸性．例4 有一块边长为a 的正方形铁皮，从其四个角截去大小相同的四个小正方形，做成一个无盖的容器，问截去小正方形的边长为多少时，该容器的体积最大？4.5 曲率一、曲率及其计算公式设曲线是光滑的，在曲线上选定一点A 作为度量弧的基点，设在点A 处切线的倾斜角为α，曲线上另外一点B 处切线的倾斜角为αα+∆．我们用比值||||s α∆∆（即单位弧段上切线转过的角度大小）来表达弧段AB 的平均弯曲程度．记K sα∆=∆，称K 为弧段AB 的平均曲率．记0lims K sα∆→∆=∆，称K 为曲线在点A 处的曲率．于是，在0d limd s s sαα∆→∆=∆存在的条件下，有d d K s α=．此式说明曲线在点A 处的曲率可表示为转角微分d α与弧微分d s 之商，其中弧微分222d (d )(d )1d s x y y x '=+=+．例如，设圆的半径为R ，如图4-12所示，则圆的平均曲率1K RABα∆==．因为K 与点的位置无关，所以A 点处的曲率为1lim limA B AB AK K RABα→→∆===，即圆上任意一点处的曲率都是相等的，等于1R．可见，半径越小，弯曲程度越大，曲率越大，这与我们对圆的认识是一样的．设()y f x =且()f x 具有二阶导数（这时()f x '连续，从而曲线是光滑的）．因为()tan f x y α''==，所以，两边取微分，有2d sec d y x αα''=，于是 222d d d d sec 1tan 1y y y x x x yααα''''''==='++．又知2d 1d s y x '=+，从而得曲率的计算公式，即232d ||d (1)y K s y α''=='+．例1 计算直线y a x b =+上任意一点的曲率．例2 计算双曲线1xy =在点(11)，处的曲率．例3 设有两个弧形工件A ，B ，工件A 满足曲线方程3y x =，工件B 满足曲线方程2y x =，试比较这两个工件在1x =处的弯曲程度．二、曲率圆与曲率半径设曲线()y f x =在点()M x y ，处的曲率为K (0K ≠)．在点()M x y ，处的曲线的法线上，在凹的一侧取一点D ，使1DM K ρ-==．以D 为圆心，ρ为半径作圆，这个圆称为曲线在点M 处的曲率圆，曲率圆的圆心D 称为曲线在点M 处的曲率中心，曲率圆的半径ρ称为曲线在点M 处的曲率半径．曲线在点M 处的曲率K (0K ≠)与曲线在点M 处的曲率半径ρ有如下关系：11K K ρρ==，．例4 如图4-14所示，设工件表面的截线为抛物线20.4y x =．现要用砂轮磨削其内表面，问直径为多大时砂轮才比较合适？。

中等职业学校数学第一章方程与不等式第二节方程与方程组

第二节方程与方程组一、一元一次方程1．等式及其性质⑴ 等式：用等号“=”来表示相等关系的式子叫等式.例：若5x －5的值与2x －9的值互为相反数,则x ＝__．⑵ 性质：① 如果，那么b ±c ；② 如果，那么 bc ；如果，那么c b . 2. 方程、一元一次方程的概念⑴ 方程：含有未知数的等式叫做方程；使方程左右两边值相等的未知数的值，叫做方程的解；求方程解的过程叫做解方程. 方程的解与解方程不同.例：在①21x -；②213x x +=；③π3π3-=-；④13t +=中，等式有_______，方程有_______．（填入式子的序号）⑵ 一元一次方程：在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次，系数不等0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为 ax +b =0 .3. 解一元一次方程的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1. 例：解方程时，去分母、去括号后，正确结果是（ c ） A. B.b a ==±c a b a ==ac b a =()0≠c =c a ()0≠a 16110312=+-+x x 111014=+-+x x 111024=--+x xC. D.例：解下列方程：；（2）. 二、二元一次方程组1.二元一次方程：含有两个未知数（元）并且未知数的次数是一次的整式方程. 例：下列各方程中，是二元一次方程的为（）．A 、x 2+2y ＝9B 、x+＝2C 、xy －1＝0D 、+y ＝4 2. 二元一次方程组：由2个或2个以上的一次方程组成的方程组叫二元一次方程组.例：下列方程组中，不是二元一次方程组的是 ( )A ．112x y =⎧⎨-=⎩，B ．13x y x y +=⎧⎨-=⎩，C ．2104x y xy +=⎧⎨=⎩，D ．21x y x y =⎧⎨-=⎩，3．二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的一组未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有无数个解.例：方程x+y=5的解有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个4．二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.例：关于x 的方程组的解是，则|m -n |的值是（ D ） A.5 B. 3 C. 2 D. 15. 解二元一次方程的方法步骤：611024=--+x x 611024=+-+x x ()()()(1) 3175301x x x --+=+121253x x x -+-=-1y2x ⎩⎨⎧=+=n my x m x y -3⎩⎨⎧==11y x二元一次方程组一元一次方程.消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有代入消元和加减消元法两种.三．一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程叫一元二次方程。