初中数学几何证明题经典例题ppt课件
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几何证明举例教学课件ppt
Cபைடு நூலகம்
BD
(4) 以点A为圆心,m为半径画弧，交CD于点B;
(5) 连接AB.
△ABC即为所求作的三角形.
如图：已知AC＝BD，∠C=∠D=90°.
求证:Rt∆ABC≌Rt∆BAD.
D
O
A
C B
1.应用斜边直角边（HL）定理判定两个三角 形全等，要按照定理的条件，准确地找出“对应 相等”的边；
2.寻找使结论成立所需要的条件时，要注意 充分利用图形中的隐含条件，如“公共边、公共 角、对顶角等等”.
作业；
习题5.6 3题4题5题
现在你有几种判定直角三角形
全等的方法？
前
1.边角边 简称 “SAS” 三 个
2.角边角 简称 “ASA” 是
3.边边边
简称 “SSS”
基 本
4.角角边 简称 “AAS” 事
实
如图，在Rt△ABC和Rt△A ´B ´C´中，∠C= ∠C =90°，AB＝A ´B ´,AC＝A ´C ´. 能证明Rt∆ABC ≌Rt∆A´B´C´吗？
先利用基本作图“过一点作已知直线的 垂线”,作出三角形的直角顶点C.再根据直角 边AC的长确定顶点A，最后根据斜边长作出 另一个顶点B.
已知:线段l,m(l<m).
l
求作Rt∆ABC,使直角边AC=l,斜边AB=m.
m
作法： E
(1)任取一点C,作射线CD; A
(2) 过点C作射线CE⊥CD；
(3) 在CE上截取CA=l；
A/ ( A )
B/
B
C/ ( C)
方法2 将两个直角三角形的斜边重合在一起， 你能证明这两个直角三角形全等吗？
B(B/)
C
初中几何证明题省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
D
F
AEB源自●添加辅助线旳规范• 添加辅助线经常出目前几何证明题中，我 们怎样使用正确规范旳语言添加辅助线显 得尤为主要．经常使用旳辅助线词语，如 “连接”，“延长…到…使得…”， “作…与…平行”“ 作…与…垂直，垂 足为…”．
• 但也有同学会出现如“连接A,B两点，使 得——”，或者“延长——使得…与…平 行”这么旳不规范或错误．
3．环节规范
这里主要是我们许多同学会疏忽旳共性 问题，因为证明旳书写要体现严谨旳思 绪，但基于数学语言旳不熟练和思绪旳 不清楚以及不少同学旳粗枝大叶旳性格， 经常会出现跳跃环节旳现象．
4．逻辑规范 （1）思绪不清楚，书写时常颠三倒四； （2）根据不符或简化， 如： ∵∠CAB＝∠ACD． ∴AB∥CD．（内错角相等）
求证：（1）OA＝OB；（2）AB∥CD． 证明：
（1）∵ABC≌BAD， ∴∠CAB＝∠DBA． ∴OA＝OB．
（3）角旳正确表达
一样在上面证明中，也有同学将角旳符号表达错误 或者漏写． 证明： （2）∵△ABC≌△BAD， ∴AC＝BD． 又∵OA＝OB， ∴ OC＝OD．
∴∠C＝ODC．
2．格式规范 “∵∴” 旳书写和推出符号旳使用应统一． ∵△ABC≌△BAD =〉 AC＝BD． 又∵OA＝OB， =〉 OC＝OD =〉 ∠OCD＝∠ODC．
●经典旳几种证明书写旳规范形式 （全等旳证明）
• • 我们在初中阶段有一些经典旳规范证
明格
• 式，如：全等证明旳书写，我们发觉在教 材
• 中经常有这么旳格式作为规范能够参考．
思索题 已知：如图,△ABC中, ∠ C=90°,
AD是∠BAC旳平分线，DE⊥AB，垂足 为E，F在AC上，BD=DF. 求证：CF=EB． C
F
AEB源自●添加辅助线旳规范• 添加辅助线经常出目前几何证明题中，我 们怎样使用正确规范旳语言添加辅助线显 得尤为主要．经常使用旳辅助线词语，如 “连接”，“延长…到…使得…”， “作…与…平行”“ 作…与…垂直，垂 足为…”．
• 但也有同学会出现如“连接A,B两点，使 得——”，或者“延长——使得…与…平 行”这么旳不规范或错误．
3．环节规范
这里主要是我们许多同学会疏忽旳共性 问题，因为证明旳书写要体现严谨旳思 绪，但基于数学语言旳不熟练和思绪旳 不清楚以及不少同学旳粗枝大叶旳性格， 经常会出现跳跃环节旳现象．
4．逻辑规范 （1）思绪不清楚，书写时常颠三倒四； （2）根据不符或简化， 如： ∵∠CAB＝∠ACD． ∴AB∥CD．（内错角相等）
求证：（1）OA＝OB；（2）AB∥CD． 证明：
（1）∵ABC≌BAD， ∴∠CAB＝∠DBA． ∴OA＝OB．
（3）角旳正确表达
一样在上面证明中，也有同学将角旳符号表达错误 或者漏写． 证明： （2）∵△ABC≌△BAD， ∴AC＝BD． 又∵OA＝OB， ∴ OC＝OD．
∴∠C＝ODC．
2．格式规范 “∵∴” 旳书写和推出符号旳使用应统一． ∵△ABC≌△BAD =〉 AC＝BD． 又∵OA＝OB， =〉 OC＝OD =〉 ∠OCD＝∠ODC．
●经典旳几种证明书写旳规范形式 （全等旳证明）
• • 我们在初中阶段有一些经典旳规范证
明格
• 式，如：全等证明旳书写，我们发觉在教 材
• 中经常有这么旳格式作为规范能够参考．
思索题 已知：如图,△ABC中, ∠ C=90°,
AD是∠BAC旳平分线，DE⊥AB，垂足 为E，F在AC上，BD=DF. 求证：CF=EB． C
初中数学八年级上册《5.6 几何证明举例课件4
3.符号语言：
角平分线的性质定理：∵点P在的平分线BD上 且 PM⊥BA,PN⊥BC
∴PM=PN
角平分线的判定定理：∵ PM⊥BA,PN⊥BC，且 PM=PN
A M
P
N C
典型例题
• 我们通过画图得知三角形三条平分线交于一点， 如何证明这个结论？
• 例:已知：如图，AM，BN，CP是△ABC的三 条角平分线。 求证：AM，BN，CP交于一点。
要证明三角形的三条角平分线交 与一点，只要证明两条角平分线 的交点也在第三条角评分线上就 可以了。
小试身手
• 如图24-79，△ABC中，AB＝AC，M是BC 的中点，MD⊥AB，ME⊥AC， D、E是垂足。 求证：MD＝ME。
N C
交流与发现
你能说出角平分线的性质定理的逆命题吗？ 它是真命题吗？应如何证明它的真实性?
角的内部到角的两边距离相等的点 A
已知在:如这图个,点角P是的∠平AB分C内线的上.
M
一点，PM⊥AB,PN⊥BC,垂足 B 分别是M与N，且PM=PN 求证:点P在∠ABC的平分线上
P
N C
符号语言
• 角平分线的判定定理： ∵ PM⊥BA,PN⊥BC，PM=PN ∴点P在∠ABC的平分线上 （或BP是∠ABC的平分线B）
教学目标
• 1.掌握并证明角平分线的性质 定理及其逆定理；
• 2.会运用角平分线的性质定理 及其逆定理解决有关实际问题。
回顾与思考
1.什么叫角的平分线？ 2.根据本册第二章的学习你知道角
的垂直平分线有什么性质？ 3.这个性质你是怎样得到的？这个
性质是真命题吗？你能用逻辑推
二、精讲点拨
证明:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
几何证明北师大版七年级数学下册习题PPT课件
(2)解：成立，理由如下： ∵∠BDA＝∠BAC＝α， ∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180°－α， ∴∠CAE＝∠ABD， ABD＝CAE, 在△ADB和△CEA中， BDA＝CEA
AB AC, ∴△ADB≌△CEA(AAS)， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.
∴Rt△BDF≌Rt△ADC(SAS)， 如图，直线a和b被直线c所截，下列条件中不能判断a∥b的是( ) C．∠2＋∠4＝180°
∴BE⊥AE； ∵E是CD的中点，∴DE＝EC.
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB于点E， AD＝AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于 点G. 求证：(1)DF∥BC；
7．如图，BE＝FC，∠A＝∠D，∠B＝∠F.
求证：△ABC≌△DFE. 证明：∵BE＝CF，
∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF，
在△ABC和△DFE中，
A D B F BC FE ∴△ABC≌△DFE(AAS)．
8．如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE相交于点 O，连接线段AO，AO恰好平分∠BAC.求证：OB＝OC. 证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，AO平分∠BAC，
(1)证明：∵∠ACB＝∠DCE， ∴∠ACD＝∠BCE， AB＝BC, 在△ACD和△BCE中，ACD BCE
CD CE, ∴△ACD≌△BCE(SAS)；
(2)解：由(1)知：△ACD≌△BCE， ∴AD＝BE＝5，∴AB＝AD＋BD＝5＋2＝7.
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，连 接BE交AD于F，且AD＝BD，DC＝DF.求证：BE⊥AC. 证明：∵AD⊥BC，∴∠BDF＝∠ADC＝90°，
初中几何证明题ppt课件
• 但也有同学会出现如“连接A,B两点，使 得——”，或者“延长——使得…与…平 行”这样的不规范或错误．
10
（2009南京中考模拟题）写出下列命题的已知、
求证，并完成证明过程．
命题：如果一个三角形的两个角相等，那么这两
个角所对的边也相等（简称：“等角对等
边”）．
A
已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C． 求证：AB＝AC．
B AE
F 提示： C 过点B作BF⊥DC交DC的延长
线于点F．证明△BAE≌△BCF, D 四边形BEDF是正方形，BE=3.
13
例3 如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙
上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时
梯子的倾斜角为75°.若梯子底端距离地面的垂
直距离NB为b米，梯子的倾斜角为45°.求房子
4
2．格式规范 “∵∴” 的书写和推出符号的使用应统一． ∵△ABC≌△BAD =〉 AC＝BD． 又∵OA＝OB， =〉 OC＝OD =〉 ∠OCD＝∠ODC．
5
3．步骤规范 这里主要是我们许多同学会疏忽的共性 问题，由于证明的书写要体现严谨的思 路，但基于数学语言的不熟练和思路的 不清晰以及不少同学的粗枝大叶的性格， 经常会出现跳跃步骤的现象．
求证：（1）OA＝OB；（2）AB∥CD． 证明： （1）∵ABC≌BAD， ∴∠CAB＝∠DBA． ∴OA＝OB．
3
（3）角的正确表示
同样在上面证明中，也有同学将角的符号表示错误 或者漏写． 证明： （2）∵△ABC≌△BAD， ∴AC＝BD． 又∵OA＝OB， ∴ OC＝OD． ∴∠C＝ODC．
几何证明题如何书写才算规范
1
●怎样才算规范
1．语言规范 常见的数学语言使用要规范．如： （1）表示逻辑关系的因为、所以的简化符 号不能乱写， 因为用“∵”，所以用 “∴” ；
10
（2009南京中考模拟题）写出下列命题的已知、
求证，并完成证明过程．
命题：如果一个三角形的两个角相等，那么这两
个角所对的边也相等（简称：“等角对等
边”）．
A
已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C． 求证：AB＝AC．
B AE
F 提示： C 过点B作BF⊥DC交DC的延长
线于点F．证明△BAE≌△BCF, D 四边形BEDF是正方形，BE=3.
13
例3 如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙
上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时
梯子的倾斜角为75°.若梯子底端距离地面的垂
直距离NB为b米，梯子的倾斜角为45°.求房子
4
2．格式规范 “∵∴” 的书写和推出符号的使用应统一． ∵△ABC≌△BAD =〉 AC＝BD． 又∵OA＝OB， =〉 OC＝OD =〉 ∠OCD＝∠ODC．
5
3．步骤规范 这里主要是我们许多同学会疏忽的共性 问题，由于证明的书写要体现严谨的思 路，但基于数学语言的不熟练和思路的 不清晰以及不少同学的粗枝大叶的性格， 经常会出现跳跃步骤的现象．
求证：（1）OA＝OB；（2）AB∥CD． 证明： （1）∵ABC≌BAD， ∴∠CAB＝∠DBA． ∴OA＝OB．
3
（3）角的正确表示
同样在上面证明中，也有同学将角的符号表示错误 或者漏写． 证明： （2）∵△ABC≌△BAD， ∴AC＝BD． 又∵OA＝OB， ∴ OC＝OD． ∴∠C＝ODC．
几何证明题如何书写才算规范
1
●怎样才算规范
1．语言规范 常见的数学语言使用要规范．如： （1）表示逻辑关系的因为、所以的简化符 号不能乱写， 因为用“∵”，所以用 “∴” ；
《初中几何证明题》课件
提高练习题
总结词：能力提升
详细描述：提高练习题是在基础练习题的基础上，进一步加深对几何证明题的理解和应用。这些题目 通常涉及多个知识点，需要学生综合运用所学知识进行解答，有助于提高学生的思维能力和解题技巧 。
竞赛练习题
总结词
挑战与突破
VS
详细描述
竞赛练习题是针对初中数学竞赛的几何证 明题，难度较大，对学生的思维能力和解 题技巧提出了更高的要求。这些题目通常 需要学生突破常规思维，寻找独特的解题 方法，有助于培养学生的创新思维和解决 问题的能力。
反证法
总结词
通过假设结论不成立，然后推导出矛盾，从而证明结论成立 。
详细描述
反证法是一种常用的证明方法。首先假设结论不成立，然后 在此基础上进行推理和计算，如果推导出矛盾，则说明假设 不成立，从而证明结论成立。
综合法与分析法
总结词
综合法是从已知条件出发，逐步推导到结论；分析法是从结论出发，逐步推导到已知条 件。
05
几何证明题总结与反思
总结几何证明题的解题思路
明确已知条件和求证目标
在解题前，应仔细阅读题目，明确已 知的条件和需要证明的目标，以便确 定解题方向。
分析图形结构
根据题目的描述，分析图形的结构， 包括角度、线段、平行、垂直等关系 ，为解题提供依据。
选择合适的证明方法
根据图形的结构和已知条件，选择合 适的证明方法，如利用全等三角形、 相似三角形、勾股定理等。
逐步推导
根据选择的证明方法，逐步推导所需 证明的结论，每一步推导都要有明确 的逻辑依据。
反思几何证明题的常见错误与注意事项
常见错误
在解题过程中，容易出现一些常 见的错误，如混淆已知条件和求 证目标、忽略图形的结构、选择 错误的证明方法等。
初中几何证明综合专题练习PPT课件
BG
BG 5, BC 8,求CG
第21页/共51页
第22页/共51页
• .已知：如图，四边形ABCD中AC、BD相于点D，AB=AC，
分且于E，OA=1． • (1)求OC的长；
OE BC
• (2)求证：BO=2CD．
，BD平
第23页/共51页
第24页/共51页
• 如图所示，在正方形ABCD的边CB的延长线上取点F，连结AF，在AF上取点G，
• 求证：AF+BE=DF • 若GE=EF=1,求DF的长度
A
F
D
G
B
E
C
第42页/共51页
第43页/共51页
第44页/共51页
• 如图1，点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，连接CN、DM． （1）判断CN、DM的数量关系与位置关系，并说明理由； （2）如图2，设CN、DM的交点为H，连接BH，求证：BH=BC； （3）将△ADM沿DM翻折得到△A′DM，延长MA′交DC的延长线于点E，如图3， 求cos∠DEM．
• （1）求证：BG=CG；
• （2）当∠BGC=90°时，过点B作BD⊥AC，交GC于H，连接HF，
•
求证：BH=FH+CF.
第33页/共51页
24题图
第34页/共51页
第35页/共51页
第36页/共51页
第37页/共51页
C EG
A
D
B
F
第38页/共51页
P
A
M
ND
B
C
第39页/共51页
度； • （2）连结PP′，求证：△BPP′是等腰直角三角
形； • （3）若PA＝2，PB＝4，∠APB＝135°． • ①求△BPP′的周长； • ②求PC的长．
人教版八年级数学上册：第三部分 专题探究 专题四 几何证明专题 ppt课件
〔2〕解：△ABE是等边三角形. 理由如下. ∵BC是线段AE的垂直平分线， ∴BA=BE,即△ABE是等腰三角形. 又∵∠CAB=60°， ∴△ABE是等边三角形.
5. 如图3-4-10,知：在△ABC中，∠B，∠C的平分线相交 于点D，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，求 证：BE+CF=EF. 证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠EBD=∠DBC. ∵EF∥BC，∴∠EDB=∠DBC. ∴∠EDB=∠EBD. ∴DE=BE. 同理，CF=DF. ∴EF=DE+DF=BE+CF， 即BE+CF=EF.
第三部分 专题探求
专题四 几何证明专题
考点突破
考点一: 证明三角形全等 【例1】如图3-4-1所示，在△ABC中，AD⊥BC， CE⊥AB，垂足分别为点D，E，AD，CE相交于点H， 假设AE=CE，求证：△AEH≌△CEB. 证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEH=∠CEB=90°， ∠EAH=90°-∠B，∠ECB=90°-∠B. ∴∠EAH=∠ECB. 在△AEH和△CEB中， ∴△AEH≌△CEB〔ASA〕.
根底训练
6. 如图3-4-11，AB=CD，BC=DA，点E，F在AC上， 且AE=CF. 试阐明：△BCF≌△DAE. 证明：在△ABC和△CDA中， ∴△ABC≌△CDA〔SSS〕. ∴∠ACB=∠CAD. 在△BCF和△DAE中，
∴△BCF≌△DAE〔SAS〕.
7. 如图3-4-12，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分 ∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点 F. 求证：DE=BF. 证明：∵CD平分∠ACB， ∴∠1=∠2. ∵DE⊥AC，∠ABC=90°,∴DE=BD. 可证△BCD≌△ECD, ∴∠3=∠4. ∵BF∥DE，∴∠4=∠5. ∴∠3=∠5. ∴BD=BF. ∴DE=BF.
《几何证明举例》PPT课件
出要使结论成立所需要的条件，再把这样的“条件”看作“结
论”，一步一步逆推，直至归结为已知条件。
精选课件ppt
21
等腰三角形的判定方法有下列几 种： ①定义，②判定定理 。
等腰三角形的判定定理与性质定理的区别 是 条件和结论刚好相反。 。
运用等腰三角形的判定定理时，应注 意 在同一个三角形中 。
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C 60
A B C 精6选0课件p（pt 等式的性质 ）
17
交流与探索
思考：等边三角形的每个内角都等于600的逆命题是什 么？这个逆命题是真命题吗？
逆命题是真命题： 如果一个三角形的每个内角都等于600 ，那么这个三
角形是等边三角形。
你能把这个逆命题的条件适当减少,使它仍然是真命题吗？
4.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角
为3_5_°__，3_5__°。
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2
学习目标
1.进一步掌握证明的基本步
骤和书写格式。
2.能用“公理”和“已经证
明的定理”为依据，证明等
腰三角形的性质定理和判定
定理。
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3
回顾与思考 ☞
1.我们学习了证明的相关知识，你还记得我们依据
7
Ａ
已知：△ABC中，AB＝AC
求证：∠Ｂ＝ ∠Ｃ
证明：作BC边上的中线 AD
∴ BD = CD (中线定义)
∵在 △BAD与 △CAD中
AB = AC (已知)
Ｂ DＣ
BD = CD （已证） AD = AD (公共边)
∴ △BAD≌△CAD( SSS )
∴ ∠B = ∠ C (全等三角形对应角相等)
符号表示：
中考数学专题三 几何证明(共40张PPT)
BG 2 AE1， AFAE， AB 2 BG AB
又∵∠EAF=∠ABG,∴△AEF∽△BAG,
∴∠AEF=∠BAG,
∵∠BAG+∠EAO=90°,∴∠AEF+∠EAO=90°,
∴∠AOE=90°,∴EF⊥AG.
25
(3)过点O作MN∥AB,交AD于点M,交BC于点N,如图 所示,则MN⊥AD,MN=AB=4, ∵P是正方形ABCD内一点,S△PAB=S△OAB, ∴点P在线段MN上,当P为MN的中点时,△PAB的周长 最小,此时PA=PB,P1 M= MN=2,
15
(3)两头凑法:将分析与综合法合并使用,比较起来,分 析法利于思考,综合法易于表达,因此,在实际思考问 题时,可合并使用,灵活处理,以利于缩短题设与结论 的距离,最后达到证明目的.
16
2.掌握构造基本图形的方法:复杂的图形都是由基本 图形组成的,因此要善于将复杂图形分解成基本图形. 在更多时候需要构造基本图形,在构造基本图形时往 往需要添加辅助线,以达到集中条件、转化问题的目 的.
32
【自主解答】如图,把△ABE逆时针旋转90°得到
△ADG,
∴BE=GD,AE=AG,
∵∠EAF=45°,ຫໍສະໝຸດ ∴∠FAG=90°-45°=45°,
∴∠EAF=∠FAG,
在△AEF和△AGF中,
33
AE AG,
E
A
F
FAG，
A F A F,
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴EF=GF,
即EF=GD+DF,
专题三 几何证明
1
几何证明是平面几何中的一个重要问题,它对培养 学生逻辑思维能力有着很大作用.几何证明有两种基本 类型:一是平面图形的数量关系;二是有关平面图形的 位置关系.这两类问题常常可以相互转化,如证明平行 关系可转化为证明角相等或角互补的问题.
又∵∠EAF=∠ABG,∴△AEF∽△BAG,
∴∠AEF=∠BAG,
∵∠BAG+∠EAO=90°,∴∠AEF+∠EAO=90°,
∴∠AOE=90°,∴EF⊥AG.
25
(3)过点O作MN∥AB,交AD于点M,交BC于点N,如图 所示,则MN⊥AD,MN=AB=4, ∵P是正方形ABCD内一点,S△PAB=S△OAB, ∴点P在线段MN上,当P为MN的中点时,△PAB的周长 最小,此时PA=PB,P1 M= MN=2,
15
(3)两头凑法:将分析与综合法合并使用,比较起来,分 析法利于思考,综合法易于表达,因此,在实际思考问 题时,可合并使用,灵活处理,以利于缩短题设与结论 的距离,最后达到证明目的.
16
2.掌握构造基本图形的方法:复杂的图形都是由基本 图形组成的,因此要善于将复杂图形分解成基本图形. 在更多时候需要构造基本图形,在构造基本图形时往 往需要添加辅助线,以达到集中条件、转化问题的目 的.
32
【自主解答】如图,把△ABE逆时针旋转90°得到
△ADG,
∴BE=GD,AE=AG,
∵∠EAF=45°,ຫໍສະໝຸດ ∴∠FAG=90°-45°=45°,
∴∠EAF=∠FAG,
在△AEF和△AGF中,
33
AE AG,
E
A
F
FAG，
A F A F,
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴EF=GF,
即EF=GD+DF,
专题三 几何证明
1
几何证明是平面几何中的一个重要问题,它对培养 学生逻辑思维能力有着很大作用.几何证明有两种基本 类型:一是平面图形的数量关系;二是有关平面图形的 位置关系.这两类问题常常可以相互转化,如证明平行 关系可转化为证明角相等或角互补的问题.
中考数学二轮复习课件-专题三几何证明
【自主解答】(1)∵AB⊥OM于B,DE⊥ON于E,
∴∠ABO=∠DEA=90°.
在Rt△ABO与Rt△DEA中,
∵
AO AD OB AE，
∴Rt△ABO≌Rt△DEA(HL),
∴∠AOB=∠DAE.
∴AD∥BC.
又∵AB⊥OM,DC⊥OM, ∴AB∥DC. ∴四边形ABCD是平行四边形, ∵∠ABC=90°, ∴四边形ABCD是矩形.
【思考】图2中的四边形ABDE是平行四边形吗?请说明理由. 【发现】当纸片DEF平移到某一位置时,小兵发现四边形ABDE为矩形(如图3).求 AF的长. 活动二:在图3中,取AD的中点O,再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度 (0≤α≤90),连接OB,OE(如图4).
【探究】当EF平分∠AEO时,探究OF与BD的数量关系,并说明理由.
【解析】(1)如图2,连接AM, 由已知得△ABD≌△ACE, ∴AD=AE,AB=AC,∠BAD=∠CAE, ∵MD=ME, ∴∠MAD=∠MAE, ∴∠MAD-∠BAD=∠MAE-∠CAE, 即∠BAM=∠CAM, 在△ABM和△ACM中,
AB AC BAM CAM AM AM，
∴△ABM≌△ACM(SAS),
AE=4,AB=8,将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转(如图3),连接DE,BG.小组 发现:在旋转过程中,DE2+BG2的值是定值,要求出这个定值.
略
∴MB=MC.
(2)MB=MC. 理由如下:如图3,延长DB,AE相交于E′,延长EC交AD于F, ∴BD=BE′,CE=CF, ∵M是ED的中点,B是DE′的中点, ∴MB∥AE′, ∴∠MBC=∠CAE, 同理:MC∥AD,
∴∠BCM=∠BAD, ∵∠BAD=∠CAE,∴∠MBC=∠BCM, ∴MB=MC.
北师大版数学七年级下册专题十四几何证明课件
证明：∵ ∠ = ∠，
∴ ∠ + ∠ = ∠ + ∠，即∠ = ∠.
在△ 和△ 中，
∠ = ∠,
ቐ∠ = ∠,
= ,
∴△ ≌△ ，∴ = .
4.如图，完成下列推理过程：
如图所示，点E在△ ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点
= ,
ቐ = ′ ,
= ′ ,
∴△ ≌△ ′ .
（2）若∠BAC = 100∘ ，求∠DAE的度数.
解：∵△ ≌△ ′，
∴ ∠ = ∠′，∴ ∠ = ∠′ = ∘ ，
∵ 以△ 的边所在直线为对称轴作△ 的轴对称图形△ ′，
∴ ∠ + ∠ = ∘ ，∵ ∠ = ∘ ，
∴ ∠ + ∠ 中，
∠ = ∠ = ∘ ,
ቐ∠ = ∠,
∴△ ≌△ .
= ,
（2）当AD = 3，BE = 1时，求DE的长.
解：∵△ ≌△ ，∴ = = ， = = ，∴ = + =
+ = .
类型二 与轴对称有关的几何证明
8.如图，在△ ABC中，AB = AC，D，E是BC边上的点，连
接AD，AE，以△ ADE的边AE所在直线为对称轴作△ ADE
的轴对称图形△ AD′E，连接D′C，若BD = CD′.
∠ABC交AC于点F，AE ⊥ BF交BF的延长线于点E，AE，BC的
延长线交于点M.
（1）求证：AB = BM；
证明：由题意得 ⊥ ，∴ ∠ = ∠ = ∘ .
∵ 平分∠，∴ ∠ = ∠.
在△ 和△ 中，
∠ = ∠ = ∘ ,
∴ ∠ = ∠′ =
2020安徽中考数学专题复习(七)：几何图形的证明与计算(15张PPT)
DG⊥EF，
∴G为EF的中点，DG＝
1 2
EF.
∴在Rt△CEF中，GC＝ 1 EF.
∴CG＝GD；
2
②解：由①可知，DG＝CG，
∴∠CDG＝∠GCD.
又∵∠CDG＋∠GDH＝∠DCG＋∠DHG
＝90°，
∴∠GDH＝∠GHD.
∴DG＝GH. ∴CG＝GH＝1 CH.
2
∵∠ECF＝90°，G为EF中点， ∴CG＝ 1 EF.
类型三 与全等和相似三角形有关的证明与计算
（2018、2017、2016、2015、2013.23） 例3 如图①，点A在线段BC上，△ABD和△ACE都是等边三角形，F为边AE上 一点，连接DF. (1)连接BE、CD，求证BE＝CD； (2)若F为AE的中点，BA＝1 AC，求证：△ADF是等边三角形； (3)如图②，延长DF交CE于2点P，连接AP，CF交于点G，若DP∥BC， △BFC∽△FPC，求tan∠AGF的值．
(1)证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形， (2)证明：∵△ABD和△ACE都是等
∴AD＝AB，AE＝AC，∠BAD＝∠EAC， 边三角形，
∴∠BAE＝∠DAC.
∴AB＝AD，AE＝AC，∠DAF＝
∵在△BAE和△DAC中，
180°－∠DAB－∠FAC＝60°.
AB＝AD， ∠BAE＝∠DAC， AE＝AC ∴△BAE≌△DAC(SAS)．
QF EF
(2)解：如解图，过点E作EM⊥AC于点M，EN⊥BC于点N.
在Rt△ACB中，
∵∠B＝30°，BC＝4 3 ，
∴AC＝4.
∵∠C＝∠ENB＝90°，
∴EN∥AC. ∵E为AB的中点，
例2题解图
中考数学专题复习课件：题型3 几何证明(共15张PPT)
5.[2017·重庆中考]在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM， 垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC. (1)如图1，若AB＝3 ，BC＝5，求AC的长； (2)如图2，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一 点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中 点，求证：∠BDF＝∠CEF.
2.如图，已知BD是△ABC的角平分线，DE∥AB交BC于点E， EF∥AC交AB于点F. (1)求证：BE＝AF； (2)连接DF，试探究当△ABC满足什么条件时，使得四边形 BEDF是菱形，并说明理由．
解：(1)证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC. ∵DE∥AB，∴∠ABD＝∠BDE. ∴∠BDE＝∠DBC.∴BE＝DE. ∵EF∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形． ∴AF＝DE.∴AF＝BE. (2)当AB＝BC时，四边形BEDF是菱形．理由如下： ∵AB＝BC，∴∠A＝∠C. ∵EF∥AC，∴∠A＝∠BFE，∠C＝∠BEF. ∴∠BFE＝∠BEF.∴BF＝BE. ∵DE＝BE，∴BF＝DE. 又∵DE∥AB，∴四边形BEDF是平行四边形． 又∵BF＝BE，∴平行四边形BEDF是菱形．
【解】证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD＝AB，∠BAD＝90°. ∵MN⊥AF，∴∠AHM＝90°. ∴∠BAF＋∠MAH＝∠MAH＋∠AMH＝90°. ∴∠BAF＝∠AMH. 在△AMN和△BAF中，
∠AMN＝∠BAF， AM＝BA， ∠MAN＝∠ABF
∴△AMN≌△BAF(ASA)．∴AF＝MN.
∵MD⊥DE，MN为⊙O的直径， ∴∠MDE＝∠MEN＝90°. ∵∠NME＝∠DME，∴△MDE∽△MEN.
满分技法►与三角形有关的证明，通常是通过三角形相似进行相 关运算．看到证线段之间成比例，想到三角形相似，是在此问题 当中的一个定性思维．相似三角形有以下6种基本图形(如下图所 示)．
中考数学专题复习课件专题三简单的几何证明与计算(共35张PPT(完整版)5
6．(导学号65244233)(2017·青岛)如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为 AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF. (1)求证：△BCE≌△DCF； (2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是菱形，∴∠B＝∠D， AB＝BC＝DC＝AD.∵点 E，O，F 分别为 AB，AC，AD 的中点，
【思路引导】(1)先计算AM，CM的长，再由勾股定理可得AC的长．(2)延长 EF到点G，使得FG＝EF，先证明△BMD≌△AMC，得AC＝BD，再证明 △BFG≌△CFE，可得BG＝CE，∠G＝∠E，从而得BD＝BG＝CE，即可得 ∠BDG＝∠G＝∠E.
解：(1)∵∠ABM＝45°，AM⊥BM， ∴AM＝BM＝ABcos45°＝3 2× 22＝3. 则 CM＝BC－BM＝5－3＝2，∴AC＝ AM2＋CM2＝ 22＋32＝ 13.
【例2】 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点， EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N. (1)求证：△ABM∽△EFA； (2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．
【思路引导】(1)由两角相等即可证明；(2)由勾股定理求出AM，得出AF， 由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可求解．
5．(导学号65244232)(2017·包头)如图，在△ABC中，∠C＝90°， ∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于 点F，已知CD＝3. (1)求AD的长； (2)求四边形AEDF的周长．(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)
解：(1)∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°. ∵AD 平分∠CAB，∴∠CAD＝12∠CAB＝30°. 在 Rt△ACD 中，∵∠ACD＝90°，∠CAD＝30°，∴AD＝2CD＝6.
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如图，M是△ABC的边BC的中点， AN平分∠BAC，BN垂直AN于点N， 延长BN交AC于点D，已知AB=10， BC=15，MN=3
（1）求证：BN=DN （2）求△ABC的周长.
.
1
如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC， CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若∠ACB＝30 ，菱形OCED 的面积为8 ，3 求
.
21
如图，分别以△ABC的三边为边长，在BC 的同侧作等边三角形ABD，等边三角形 BCE，等边三角形ACF，连接DE，EF。求 证：四边形ADEF是平行四边形。
.
22
如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上 任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG， 线段EB和GD相交于点H．
（1）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；
（2）在（2）的条件下，试确定E点的位置，使得 ∠EFD=∠BCD，并说明理由．
.
7
已知：如图平行四边形ABCD，DE⊥AC， AM⊥BD，BN⊥AC，CF⊥BD 求证： MN∥EF
.
8
已知：如图菱形ABCD，E是BC上一点，AE 、BD交于F，若AE=AB ∠DAE=2∠BAE
.
4
如图，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形， ∠ACB=∠DCE=90°，点E在AB上．求证： △CDA≌△CEB
.
5
如图,在△ABC中,BD、CE分别是AC、AB上 的高。G、F分别是BC、DE的中点,试证明 FG⊥DE
.
6
如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E 是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．
（1）求证：EB=GD；
（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；
（3）若AB=2，AG= 2，求EB的长.23AC的．M.2
如图：在正方形ABCD中，E 为CD边上的一点，F为BC的 延长线上一点，CE＝CF
⑴△BCE与△DCF全等吗？ 说明理由；
⑵若∠BEC＝60，o 求∠EFD。
.
3
已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB 于E， DF∥AB交AC于F．求证：四边形 AEDF是菱形；
.
12
已知：如图，//ABCD，AE=ED，BF=FC， //EMAF交DC于M， 求证：FM=AE。
.
13
已知：如图，⊿ABC中，E、F分别是AB、 BC中点，M、N是AC上两点，EM、FN交 于D，若AM=MN=NC，求证：四边形 ABCD是平行四边形。
.
14
已知：如图，1= 2，AB=3AC，BE⊥AD，
求证：BE=AF
.
9
已知：如图正方形ABCD，P、Q分别是BC、 DC上的点，若∠1=∠2 求证：PB+QD=PA
.
10
已知：如图正方形ABCD，AC、BD交于点 O，E、F分别是BC、OD的中点 求证： AF⊥EF
.
11
已知：如图，，AB=BC，D、E分别是AB、 BC上一点，DM⊥AE交AC于M， BN⊥AE 交AC于N，若BD=BE求证：MN=NC。
.
18
已知：如图，AB//CD， ADC=90o ， BE=EC，求证： AED=2 EDC
.
19
已知:如图，正方形ABCD中，E是DC上一 点，DF⊥AE交BC于F 求证：OE⊥OF
.
20
如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F 分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、 AC的中点，猜一猜EF与GH的位置关系， 并证明你的结论．
求证：AD=DE
.
15
已知：如图，AB//CD， D=90o ， BE=EC=DC，求证： AEC=3 BAE
.
16
已知如图，AB=DC，AE=DE，BF=FC，
FE交BA、CD的延长线于G、H，求证：1= 2。
.
17
已知:如图，正方形ABCD中，E是DC上一 点，DF⊥AE交BC于F 求证：OE⊥OF
（1）求证：BN=DN （2）求△ABC的周长.
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1
如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC， CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若∠ACB＝30 ，菱形OCED 的面积为8 ，3 求
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21
如图，分别以△ABC的三边为边长，在BC 的同侧作等边三角形ABD，等边三角形 BCE，等边三角形ACF，连接DE，EF。求 证：四边形ADEF是平行四边形。
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22
如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上 任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG， 线段EB和GD相交于点H．
（1）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；
（2）在（2）的条件下，试确定E点的位置，使得 ∠EFD=∠BCD，并说明理由．
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已知：如图平行四边形ABCD，DE⊥AC， AM⊥BD，BN⊥AC，CF⊥BD 求证： MN∥EF
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8
已知：如图菱形ABCD，E是BC上一点，AE 、BD交于F，若AE=AB ∠DAE=2∠BAE
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4
如图，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形， ∠ACB=∠DCE=90°，点E在AB上．求证： △CDA≌△CEB
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如图,在△ABC中,BD、CE分别是AC、AB上 的高。G、F分别是BC、DE的中点,试证明 FG⊥DE
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6
如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E 是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．
（1）求证：EB=GD；
（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；
（3）若AB=2，AG= 2，求EB的长.23AC的．M.2
如图：在正方形ABCD中，E 为CD边上的一点，F为BC的 延长线上一点，CE＝CF
⑴△BCE与△DCF全等吗？ 说明理由；
⑵若∠BEC＝60，o 求∠EFD。
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3
已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB 于E， DF∥AB交AC于F．求证：四边形 AEDF是菱形；
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12
已知：如图，//ABCD，AE=ED，BF=FC， //EMAF交DC于M， 求证：FM=AE。
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13
已知：如图，⊿ABC中，E、F分别是AB、 BC中点，M、N是AC上两点，EM、FN交 于D，若AM=MN=NC，求证：四边形 ABCD是平行四边形。
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14
已知：如图，1= 2，AB=3AC，BE⊥AD，
求证：BE=AF
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9
已知：如图正方形ABCD，P、Q分别是BC、 DC上的点，若∠1=∠2 求证：PB+QD=PA
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10
已知：如图正方形ABCD，AC、BD交于点 O，E、F分别是BC、OD的中点 求证： AF⊥EF
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11
已知：如图，，AB=BC，D、E分别是AB、 BC上一点，DM⊥AE交AC于M， BN⊥AE 交AC于N，若BD=BE求证：MN=NC。
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18
已知：如图，AB//CD， ADC=90o ， BE=EC，求证： AED=2 EDC
.
19
已知:如图，正方形ABCD中，E是DC上一 点，DF⊥AE交BC于F 求证：OE⊥OF
.
20
如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F 分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、 AC的中点，猜一猜EF与GH的位置关系， 并证明你的结论．
求证：AD=DE
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15
已知：如图，AB//CD， D=90o ， BE=EC=DC，求证： AEC=3 BAE
.
16
已知如图，AB=DC，AE=DE，BF=FC，
FE交BA、CD的延长线于G、H，求证：1= 2。
.
17
已知:如图，正方形ABCD中，E是DC上一 点，DF⊥AE交BC于F 求证：OE⊥OF