数学和美育

在数学教学中进行美育

望城县第六中学 陈祥

内容提要：

本文首先利用列举法由浅入深地剖析了数学中常见的几种美，然后进一步讨论了数学教学中对学生进行美育的意义，最后结合中学教学实践经验阐述了数学美育的几种方法。

关 键 词：对称美 简洁美 和谐美 美育 数学

一、数学中存在美

哲学家罗素说：“数学，如果正确地看她，不但拥有真理，而且也具有至高的美”。 数学美是蕴藏于数学所特有的抽象概念、公式符号、命题模型、结构系统、推理论证、思维方法……之中的简单、和谐、严谨、奇异等形式，它揭示自然的规律性，是一种真实的科学美。数学中美的因素是多方面的，其主要表现在以下几方面：

（1）简洁美

19世纪以来，数学进一步抽象化和运用公理化方法揭示数学系统或分支的内在规律性，从而使得数学理论具有简洁性、条件性和结构上的和谐性。而中学数学知识系统，原则上也是按公理化和结构思想展开的，因此若能从整体上去理解、把握数学，你会深深地体会出数学的简洁美。

数学是关于空间形式和数量关系的科学，数学中的数、形以及思想方法上无处不体现简洁之美。

数学概念是精炼的。数学概念的内涵历经沧桑，千锤百炼，每一次变化都使概念更加清晰和更具一般性。例如函数概念：1673年，莱布尼兹定义——函数就象曲线上的点的坐标那样随点的变化而变动；1821年，柯西定义——对于X 的每个值，如果Y 有完全确定的值与之对应，则Y 叫做X 的函数；近代定义——设有A 、B 是非空的集合，Ｆ是A 到B 的一个对应法则，则A 到B 的Ｆ映射：A →B 称为A 到B 上的函数。它一步一步更简洁、更具一般性地抓住了实质——数集之间的一种特殊对应，高度抽象而广泛地反映了客观事物及其运动变化。

数学公式是简洁的。例如：欧拉公式x i x e ix sin cos +=把实数域中看不出有任何联系的指数函数和三角函数在复数域中巧妙地联系在一起，其特例01=+πi e 表现形式上是多么的简洁，并且把0、1、i 、e 、π五个重要常数简单而巧妙的结合在一起了。

众所周知的三角形、平行四边形、梯形的面积公式，形式上简洁规整，应用上广泛普遍。在梯形的面积公式()为高）为下底；为上底；（h b a h b a S 2

+=，当a=0时变成三角形的面积公式；当a=b 时，变成平形四边形的面积公式，这种既有区别又有联系、既对立又统一、从量变到质变的辩证方法在数学中处处可见。

分形学科的诞生，使得我们重新审视这个世界。当人们用分形的观点重新审视自然

物时，发现自然界的各种各样自然形态本质上都具有分形的结构。例如，地学方面：海岸线，岛屿，国界，山谷，河流，路面等弯弯曲曲凹凸不平的形状；生物方面：人的肺，血管，人脑，表面形状，大多数树木花草地分岔结构；在宇宙方面：天体在宇宙空间中的分布，月坑的直径分布以及作为月坑成因地陨石和小行星的大小分布，空中的云块边界雪花的表面；在物理化学方面：物体的表面由细微粒子集聚成的凝聚体，闪电，多孔吸附材料的表面，蛋白质高分子的结构……分形学家说，自然界处处有分形，分形无处不在，这从物体形态结构方面说明：世界在本质上是非线性的；数学在描述本质上非线性的世界上又是多么简洁。

请观察下面两幅来自分形学的图片。

它们用简单的形加以明快的重复结构变化出多么漂亮的图案。因此，丘成桐说，数学的简约之美与中国古典文学《诗经》纯朴简洁又韵味无穷的语言美有异曲同工之妙。

（2）对称美

对称美是形式美之一，它给人们一种完美匀称的美感。形体的对称美在自然界中处处可见，数学中的对称美更是其显著的特征之一。例如：二项展开式的系数，正多面体、圆、正弦定理都具有明显的对称性。

解题过程中如能利用对称性，能使解题方法简洁、明快。

例题：已知x, y, z 互不相等，且x+1/y=y+1/z=z+1/x ，求x 2y 2z 2的值。 分析：由x+1/y=y+1/z 可得：

1/(x-y)=yz/(y-z) (1)

由轮换对称性易知：

1/(y-z)=zx/(z-x) (2)

1/(z-x)=xy/x-y) (3)

由(1)(2)(3)三式相乘即得：x 2y 2z 2=1。

（3）奇异美

数学常常把简单的问题上升为有深度的问题，把复杂的问题又化解为容易理解的简单问题，从中我们可以领悟到数学的奇妙与美感。我们来看正面的例子：

在长方形ABCD 中，AB=6，BC=，EF 、GH 是三等分线，它们与BD 分别交于M 、N ，把此图沿EF 、GH 折成正三棱柱AEG-CFH ，求平面AMN 和平面AEG 所成的角。

按常规解

Menger

Sierpinski A E G B N M D F H C F E M G

N H C(D) A(B)

法，需要先作辅助面，确定二面角的平面角，然后进行计算。但是如果我们想到面积的射影定理，逆向思考，便可另辟新途，得到下面的巧妙的解法：ΔAMN 在平面AEG 上的射影就是ΔAEG ，容易算得2,3==∆∆AMN AEG S S ，设所求的角为θ，则有2

3cos ==∆∆AMN AEG S S θ, 故所求角θ=30○。这种解法的简单性和奇异性，简直令人感到有一种美的享受。

再看下面的例子： (生日问题)n 个人中至少有两个人生日相同的概率是多少？设一年为365天，n ≤365,每个人任“取”一天作为自己的生日。

解：按假定，每个人生日有365种可能，因此n 个人共有365n 种可能。至少有两个人有相同的生日的概率为：n n n A P 365

1365-= 看看具体的计算结果：

n 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

P n 0.03 0.12 0.25 0.41 0.57 0.71 0.81 0.89 0.94 0.97 0.99

366人中至少有两人有相同的生日，这是很明显的必然事件；而55离366如此之远，几乎也可以得出同样的结论，大异于直接经验，这也体现了数学思想方法上的奇异美。

（4）和谐美

各种自然形态，特别是动植物的生态以及人类的许多造物形态都有蕴含丰富的数学关系，有丰富的对称美、和谐美。作为反映和研究客观规律的数学科学，集中反映了这种美的特征。数学美的和谐性是指数学内容与结构系统的协调完备和数学所表现出的均衡对称。

例如：黄金分割律这一数学和谐的最佳比例，不仅是构图原则，也是自然生物的最佳条件，在植物叶脉的分布，动物身上的色彩和图案都大体符合黄金分割律的比例。

又如：()⎢⎣⎡⎥⎦

⎤-∈=2,2,sin arcsin ππx x x ， ()][π,0,cos arccos ∈=x x x () ⎝

⎛⎪⎭⎫-∈=2,2,tan arctan ππx x x ， ())(π,0,cot cot ∈=x x x arc 前面的公式出现一种整齐划一的对称美，而后面的自变量所属区间各有差异。若能发现它们的共同内涵----相应的反三角函数的值域，这样来理解整体上就和谐了。

数学中存在着自然的、真实的美，它们都是反映客观世界并能动地改造客观世界的科学美。

二、数学美育的意义

数学是人类文明的结晶，数学的结构、图形、布局和形式无处不体现着数学美。然