八年级数学等腰三角形(1)
八年级等腰三角形数学教案【优秀6篇】
八年级等腰三角形数学教案【优秀6篇】作为一名专为他人授业解惑的人民教师，总归要编写教案，编写教案有利于我们科学、合理地支配课堂时间。
来参考自己需要的教案吧！小编为您精心收集了6篇《八年级等腰三角形数学教案》，如果能帮助到您，小编将不胜荣幸。
等腰三角形篇一9.3章等腰三角形教案（一）、温故知新，激发情趣：1、轴对称图形的有关概念，什么样的三角形叫做等腰三角形？2、指出等腰三角形的腰、底边、顶角、底角。
(首先教师提问了解前置知识掌握情况，学生动脑思考、口答。
)(二) 、构设悬念，创设情境：3、一般三角形有哪些特征？（三条边、三个内角、高、中线、角平分线）4、等腰三角形除具有一般三角形的特征外，还有那些特殊特征？(把问题3作为教学的出发点，激发学生的学习兴趣。
问题4给学生留下悬念。
)（三）、目标导向，自然引入：本节课我们一起研究——9.3 等腰三角形(板书课题) 9.3 等腰三角形(了解本节课的学习内容)(四)、设问质疑，探究尝试：结合问题4请同学们拿出准备好的不同规格的等腰三角形，与教师一起演示（模型）等腰三角形是轴对称图形的实验，引导学生观察实验现象。
[问题]通过观察，你发现了什么结论？（让学生由实验或演示指出各自的发现，并加以引导，用规范的数学语言进行逐条归纳，最后得出等腰三角形的特征）[结论]等腰三角形的两个底角相等。
（板书学生发现的结论）等腰三角形特征1：等腰三角形的两个底角相等在△ ABC中，△AB=AC（）△△B=△C（）[方法]可由学生从多种途径思考，纵横联想所学知识方法，为命题的证明打下基础。
例1：已知：在△ABC中，AB=AC,△B＝80°，求△C和△A的度数。
〔学生思考，教师分析，板书〕练习思考：课本P84 练习2（等腰三角形的底角可以是直角或钝角吗？为什么？）〔继续观察实验纸片图形〕（以下内容学生可能在前面实验中就会提出）[问题]纸片中的等腰三角形的对称轴可能是我们以前学习过的什么线？（通过设问、质疑、小组讨论，归纳总结，培养学生概括数学问题的能力）[引导学生观察]折痕AD是等腰三角形的对称轴，AD可能还是等腰三角形的什么线？[学生发现]AD是等腰三角形的顶角平分线、底边中线、底边上的高。
人教版八年级数学上册等腰三角形1课题学习最短路径问题(含答案)
13.3等腰三角形13.4课题学习最短路径问题专题一等腰三角形的性质和判定的综合应用1．如图在△ABC中，BF、CF是角平分线，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，DE经过点F．结论：①△BDF 和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长=AB+AC；④BF=CF．其中正确的是___________．(填序号)2．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且BE=CF，AD+EC=AB．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？（4）请你猜想：当∠A为多少度时，∠EDF+∠EFD=120°，并请说明理由．3．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D．（1）请你写出图中所有的等腰三角形；（2）请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由．（3）如果BC=10，求AB+AE的长．专题二等边三角形的性质和判定4．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，以O为圆心，OP 长为半径画弧交BC于点D，连接PD，如果PO=PD，那么AP的长是__________．5．如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．6．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12 cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1 cm/s，点N的速度为2 cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．专题三最短路径问题7．如图，A、B两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线a表示输水总管道，直线b表示输煤气总管道．现要在这两根总管道上分别设一个连接点，安装分管道将水和煤气输送到A、B两幢大楼，要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短．图中，点A′是点A关于直线b的对称点，A′B分别交b、a于点C、D；点B′是点B关于直线a的对称点，B′A分别交b、a于点E、F．则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是（）A．F和C B．F和E C．D和C D．D和E8．如图，现准备在一条公路旁修建一个仓储基地，分别给A、B两个超市配货，那么这个基地建在什么位置，能使它到两个超市的距离之和最小? (保留作图痕迹及简要说明)状元笔记【知识要点】1．等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)．2．等腰三角形的判定方法如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)．3．等边三角形的性质和判定方法性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．判定方法1：三个角都相等的三角形是等边三角形．判定方法2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．4．直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．【温馨提示】1．“等边对等角”和“等角对等边”只限于在同一个三角形中，在两个三角形中时，上述结论不一定成立．2．在应用直角三角形的性质时应注意以下两点：(1)必须是在直角三角形中；(2)必须有一个锐角等于30°．【方法技巧】1．等腰三角形的性质是证明两个角相等的重要方法，当要证明同一个三角形的两个内角相等时，可尝试用“等边对等角”．2．等腰三角形的判定是证明线段相等的一个重要方法，当要证明位于同一个三角形的两条线段相等时，可尝试用“等角对等边”．3．利用轴对称可以解决几何中的最值问题，本方法的实质是依据轴对称的性质以及两点之间线段最短和三角形两边之和大于第三边．参考答案:1．①②③解析：∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB．∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，∴∠FBC=∠DBF，∠FCE=∠FCB．∴∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．∴DF=DB，FE=EC，即有DE=DF+FE=DB+EC．∴△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC．综上所述，命题①②③正确．2．解：(1)证明：∵AD+EC=AB，∴BD=CE．∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵BE=CF，∴△BDE≌△CEF．∴DE=EF，即△DEF是等腰三角形．(2)∵∠A=40°，∴∠B=∠C=12(180°－∠A)=12(180°－40°)=70°．∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE=∠CEF．∴∠DEF=180°－∠BED－∠CEF=180°－∠BED－∠BDE=∠B=70°．(3)不能．∵∠DEF=∠B≠90°，∴△DEF不可能是等腰直角三角形．(4)60°．理由：当∠A=60°时，∠B=∠C=60°，由（2）可得∠DEF=60°．∴∠EDF+∠EFD=120°．3．解：（1）△ABC，△ABD，△ADE，△EDC．（2）AD与BE垂直．证明：∵BE 为∠ABC 的平分线，∴∠ABE=∠DBE. 又∵∠BAE=∠BDE=90°，BE=BE ，∴△ABE 沿BE 折叠，一定与△DBE 重合．∴A 、D 是对称点．∴AD ⊥BE ．（3）∵BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BC ，EA ⊥AB ，∴AE=DE ．在Rt △ABE 和Rt △DBE 中，AE =DE BE =BE ⎧⎨⎩，， ∴Rt △ABE ≌Rt △DBE （HL ）．∴AB=BD ．又△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠C=45°．又∵ED⊥BC，∴△DCE为等腰直角三角形．∴DE=DC．即AB+AE=BD+DC=BC=10．4．6 解析：连接OD，∵PO=PD，∴OP=DP=OD．∴∠DPO=60°．∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=60°，AC=AB=9．∵∠OPA=∠PDB=∠DPA－60°．∴△OPA≌△PDB．∵AO=3，∴AO=PB=3，∴AP=6．5．解：（1）△ODE是等边三角形，其理由是：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°．∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°．∴△ODE是等边三角形．（2）BD=DE=EC．其理由是：∵OB平分∠ABC，且∠ABC=60°，∴∠ABO=∠OBD=30°．∵OD∥AB，∴∠BOD=∠ABO=30°．∴∠DBO=∠DOB．∴DB=DO．同理，EC=EO．∵DE=OD=OE，∴BD=DE=EC．6．解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x×1+12=2x，解得：x=12．（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，AM=t×1=t，AN=AB－BN=12－2t，∵三角形△AMN是等边三角形，∴t=12－2t．解得t=4．∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN．（3）当点M 、N 在BC 边上运动时，可以得到以MN 为底边的等腰三角形，由（1）知12秒时M 、N 两点重合，恰好在C 处，如图②，假设△AMN 是等腰三角形，∴AN=AM ．∴∠AMN=∠ANM ．∴∠AMC=∠ANB ．∵AB=BC=AC ，∴△ACB 是等边三角形．∴∠C=∠B ．在△ACM 和△ABN 中，AC AB C B AMC ANB =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∠∠，∠∠， ∴△ACM ≌△ABN ．∴CM=BN．设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，∴CM=y－12，NB=36－2y，CM=NB．y－12=36－2y，解得：y=16．故假设成立．∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．7．A 解析：由轴对称－－最短路线的要求可知：输水分管道的连接点是点B关于a的对称点B′与A的连线的交点F，煤气分管道的连接点是点A关于b的对称点A′与B的连线的交点C．故选A．8．解：如图，作点B关于公路的对称点B′，连接AB′，交公路于点C，则这个基地建在C处，才能使它到这两个超市的距离之和最小.。
等腰三角形课件人教版八年级数学上册
已知：如图，DB=DC，∠ABD=∠ACD，
求证：AB=AC.
A
分析：
由条件得到等腰△BDC，
从结论上看，要证明 △ABC是等腰三角形.
D
B
C
初中数学
初中数学
例题讲解
证明：如图，连接BC，
∵ DB=DC，
A
∴ ∠DBC=∠DCB.
又∵ ∠ABD=∠ACD，
∴ ∠DBC+∠ABD=∠DCB+
D
∠ACD，即∠ABC=∠ACB. B
即△ABC为等腰三角形. ∴∠HAC=∠BCA. 定义：有两边相等的三角形叫等腰三角形. （2）在直线EF上找一点B使得AB=4 cm（以A为圆心，4 cm为半径画弧交EF于点B）. （3）作AB的垂直平分线交直线EF于点C.
等腰三角形（第三课时） 如图，AB=AC，E为CA延长线上一点，作ED⊥BC于D，交AB于点F，求证：△AEF为等腰三角形.
B. 8 D. 6
初中数学
课后作业
2. 如图，AB=AC，E为CA延长线 上一点，作ED⊥BC于D，交AB 于点F，求证：△AEF为等腰三 角形.
初中数学
课后作业
3.已知等腰三角形的腰长a=4 cm，腰上 的高h=3 cm，请画出符合条件的等腰三 角形.
初中数学
同学们，再见！
例题讲解
解：（1）∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C.
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
E
∴∠AEF＝∠AFE.
∴AE＝AF.
B
∴△AEF是等腰三角形．
A
GF C
D
初中数学
人生志气立，所贵功业昌。 母鸡的理想不过是一把糠。
第1讲 等腰三角形八年级数学下册同步讲义(北师大版)
第1讲 等腰三角形 1. 掌握等腰三角形，等边三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．2. 掌握等腰三角形，等边三角形的判定定理．3. 熟练运用等腰三角形，等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算． 知识点01 等腰三角形1.等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，则它叫等腰三角形，其中AB 、AC 为腰，BC 为底边,∠A 是顶角，∠B 、∠C 是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A ＝180°－2∠B ，∠B ＝∠C ＝1802A ︒-∠ . 2.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．3.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．4.等腰三角形是轴对称图形 目标导航知识精讲等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．5.等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.【知识拓展1】根据等边对等角求角度例1．（2021·贵州·思南县张家寨初级中学八年级阶段练习）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D为AC上一点，且AD=BD=BC，则∠A等于多少？例2．（2021·黑龙江省八五一一农场中学八年级期末）如图，△ABC中，AB=AC=CD，BD=AD，求△ABC中∠CAB 的度数例3．（2021·广东·广州市白云区广大附中实验中学九年级阶段练习）已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠C ＝90°，D是BC上一点，且DA＝DB，∠B＝15°．求∠CAD的度数．例4．（2021·广西三江·八年级期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，求∠C的度数．【即学即练1】如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数．【即学即练2】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数．【知识拓展2】利用三线合一求解与证明例1．（2021·湖北武汉·八年级阶段练习）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD ＝CE．⊥，垂足为D，E是BC延长线上的一点，例2．（2021·重庆·八年级期中）如图：已知等边ABC中，BD AC=，且CE CD（1）求证：BD DE=；（2）若M为BE中点，求证：DM平分BDE∠．例3．（2021·河南镇平·八年级阶段练习）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．小明：如图1，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；（3）作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线．简述理由如下：由作图知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，则∠POG＝∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线．小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，（1）分别在射线OA，OB 上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）连接DE，CF，交点为P；（3）作射线OP．射线OP即为∠AOB的平分线．……任务：（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是_______（填序号）．①SSS；②SAS；③AAS；④ASA；⑤HL（2）如图2，连接EF．①求证：△CEF ≌△DFE ；②求证：△PEF 是等腰三角形；③小军作图得到的射线OP 是∠AOB 的平分线吗？请判断并说明理由．例4．（2021·广东广州·八年级阶段练习）如图，在ABC 中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为D ，AB ：AD ：13BD =：12：5，ABC 的周长为36，求ABC 的面积．例5．（2022·黑龙江富裕·八年级期末）已知：在△ABC 中，∠ABC ＝45°，CD ⊥AB 于点D ，点E 为CD 上一点，且DE ＝AD ，连接BE 并延长交AC 于点F ，连接DF ．（1）求证：BE ＝AC ；（2）若AB ＝BC ，且BE ＝2cm ，则CF ＝ cm ．例6．（2021·江苏滨海·八年级期中）如图，厂房屋顶的人字架是等腰三角形，AB＝AC，AD⊥BC，若跨度BC ＝16m，上弦长AB＝10m，求中柱AD的长．【即学即练1】（2021·福建·福州三牧中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC＝80°，BE 平分∠ABC交AC于点E，ED⊥AB于点D，求证：AD＝BD．【即学即练2】（2021·黑龙江五常·八年级阶段练习）已知：以线段AB为边在线段的同侧作△ABC与△BAD，BC与AD交于点E，若AC＝BD，BC＝AD．（1）如图1，求证：CE＝DE；AB的线段．（2）如图2，当∠C＝90°，∠AEB＝2∠AEC时，作EF⊥AB于F，请直接写出所有等于12【即学即练3】（2021·吉林·八年级期末）如图，在ABC 中，AB AC =，AD 为边BC 的中线，E 是边AB 上一点（点E 不与点A 、B 重合），过点E 作EF BC ⊥于点F ，交CA 的延长线于点G ．（1）求证：AD //FG ；（2）求证：AG AE =；（3）若3AE BE =，且4AC =，直接写出CG 的长．【即学即练4】（2021·江苏·扬州市梅岭中学八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，三角形△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ，BC 交x 轴于点D ．（1）若A （﹣8，0），C （0，6），直接写出点B 的坐标 ；（2）如图2，三角形△OAB 与△ACD 均为等腰直角三角形，连OD ，求∠AOD 的度数；（3）如图3，若AD 平分∠BAC ，A （﹣8，0），D （m ，0），B 的纵坐标为n ，求2n ＋m 的值．【知识拓展3】等腰三角形中的分类讨论例1.在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．例2、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．【即学即练】如图，△ABC 中BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACB ，过D 作直线平行于BC ，交AB 、AC 于E 、F ，AB=5，AC=7，BC=8，△AEF 的周长为（ ）A ．13B ．12C ．15D ．20【知识拓展4】等腰三角形性质和判定综合应用例1、已知：如图，ABC △中，45ACB ∠=︒，AD⊥BC 于D ，CF 交AD 于点F ，连接BF 并延长交AC 于点E ， BAD FCD ∠=∠．求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．知识点02 等边三角形1.等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．2.等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.3.等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．【知识拓展4】等边三角形例1、如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．【即学即练】等边△ABC，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．如图，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状.【知识拓展5】在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
八年级《等腰三角形》数学教案4篇
八年级《等腰三角形》数学教案4篇教案，也称课时计划，教师经过备课，以课时为单位设计的具体教学方案，教案是上课的重要依据，通常包括：班级、学科、课题、上课时间、课的类型、教学方法、教学目的、教学内容、课的进程和时间分配等。
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八年级《等腰三角形》数学教案1教学目标(一)教学知识点1.等腰三角形的概念.2.等腰三角形的性质.3.等腰三角形的概念及性质的应用.1.经历作(画)出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点.2.探索并掌握等腰三角形的性质.(三)情感与价值观要求通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯.教学重点1.等腰三角形的概念及性质.2.等腰三角形性质的应用.教学难点等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用.教学方法探究归纳法.教具准备师：多媒体课件、投影仪;生：硬纸、剪刀.教学过程Ⅰ.提出问题，创设情境[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案.这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形.来研究：①三角形是轴对称图形吗?②什么样的三角形是轴对称图形?[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是.[师]那什么样的三角形是轴对称图形?[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形.[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形.Ⅱ.导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形.作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连结AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形.[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点.[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形.现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本P138探究中的方法，•剪出一个等腰三角形.……[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角.同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角.[师]有了上述概念，同学们来想一想.(演示课件)1.等腰三角形是轴对称图形吗?请找出它的对称轴.2.等腰三角形的两底角有什么关系?3.顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?4.底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?•底边上的高所在的直线呢?[生甲]等腰三角形是轴对称图形.它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系.[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等.[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的部分就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线.[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的部分互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴.[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴.[师]你们说的是同一条直线吗?大家来动手折叠、观察.[生齐声]它们是同一条直线.[师]很好.现在同学们来归纳等腰三角形的性质.[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高.[师]很好，大家看屏幕.(演示课件)等腰三角形的性质：1.等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).2.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合(通常称作“三线合一”).[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质.同学们现在就动手来写出这些证明过程).(投影仪演示学生证明过程)[生甲]如右图，在ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，因为所以BAD≌CAD(SSS).所以∠B=∠C.[生乙]如右图，在ABC中，AB=AC，作顶角∠BAC的角平分线AD，因为所以BAD≌CAD.所以BD=CD，∠BDA=∠CDA=∠BDC=90°.[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很规范.下面我们来看大屏幕.(演示课件)[例1]如图，在ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：ABC各角的度数.[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题.[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，•再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A.再由三角形内角和为180°，•就可求出ABC的三个内角.[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉.如果我们在解的过程中把∠A设为x的话，那么∠ABC、∠C都可以用x来表示，这样过程就更简捷.(课件演示)[例]因为AB=AC，BD=BC=AD，所以∠ABC=∠C=∠BDC.∠A=∠ABD(等边对等角).设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.于是在ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°.在ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°.[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识.Ⅲ.随堂练习(一)课本P141练习1、2、3.练习1.如下图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数.答案：(1)72°(2)30°2.如右图，ABC是等腰直角三角形(AB=AC，∠BAC=90°)，AD是底边BC上的高，标出∠B、∠C、∠BAD、∠DAC的度数，图中有哪些相等线段?答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°;AB=AC，BD=DC=AD.3.如右图，在ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数.答：∠B=77°，∠C=38.5°.(二)阅读课本P138～P140，然后小结.Ⅳ.课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用.等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等(等边对等角)，等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高.我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们.Ⅴ.课后作业(一)课本P147─1、3、4、8题.(二)1.预习课本P141～P143.2.预习提纲：等腰三角形的判定.Ⅵ.活动与探究如右图，在ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E.求证：AE=CE.过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质.结果：证明：延长CD交AB的延长线于P，如右图，在ADP 和ADC中ADP≌ADC.∠P=∠ACD.又DE∥AP，∠4=∠P.∠4=∠ACD.DE=EC.同理可证：AE=DE.AE=CE.板书设计§14.3.1.1等腰三角形(一)一、设计方案作出一个等腰三角形二、等腰三角形性质1.等边对等角2.三线合一三、例题分析四、随堂练习五、课时小结六、课后作业八年级《等腰三角形》数学教案2一、教材的地位和作用现实生活中，等腰三角形的应用比比皆是.所以，利用“轴对称”的知识，进一步研究等腰三角形的特殊性质，不仅是现实生活的需要，而且从思想方法和知识储备上，为今后研究“四边形”和“圆”的性质打下坚实的基础.性质“等腰三角形的两个底角相等”是几何论证过程中，证明“两个角相等”的重要方法之一.“等腰三角形底边上的三条重要线段重合”的性质是今后证明“两条线段相等”“两条直线互相垂直”“两个角相等”等结论的重要理论依据.教学重点：1. 让学生主动经历思考和探索的过程.2. 掌握等腰三角形性质及其应用.教学难点：等腰三角形性质的理解和探究过程.二、学情分析本年级的学生已经研究过一般三角形的性质，积累了一定的经验，动手能力强，善于与同伴交流，这就为本节课的学习做好了知识、能力、情感方面的准备.不同层次的学生因为基础不同，在学习中必然会出现相异构想，这也将是我在教学过程中着重关注的一点.三、目标分析知识与技能1.了解等腰三角形的有关概念和掌握等腰三角形的性质2. 了解等边三角形的概念并探索其性质3. 运用等腰三角形的性质解决问题过程与方法1.通过观察等腰三角形的对称性，发展学生的形象思维.2.探索等腰三角形的性质时，经历了观察、动手实践、猜想、验证等数学过程，积累数学活动经验，发展了学生的归纳推理，类比迁移的能力. 在与他人交流的过程中，能运用数学语言合乎逻辑的进行讨论和质疑，提高了数学语言表达能力.情感态度价值观：1.通过情境创设，使学生感受到等腰三角形就在自己的身边，从而使学生认识到学习等腰三角形的必要性.2.通过等腰三角形的性质的归纳，使学生认识到科学结论的发现,是一个不断完善的过程，培养学生坚强的意志品质.3.通过小组合作，发展学生互帮互助的精神，体验合作学习中的乐趣和成就感.四、教法分析根据学生已有的认知，采取了激疑引趣——猜想探究——应用体验——建构延伸的教学模式，并利用多媒体辅助教学.教学过程教学过程设计意图同学们，我们在七年级已研究了一般三角形的性质，今天我们一起来探究特殊的三角形：等腰三角形.等腰三角形的定义有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角.腰和底边的夹角叫做底角.提出问题：生活中有哪些现象让你联想到等腰三角形?首先让学生明确：本学段的几何图形都是按一般的到特殊的顺序研究的.通过学生描述等腰三角形在生活中的应用，让学生感受到数学就在我们身边，以及研究等腰三角形的必要性.剪纸游戏你能利用手中的这个矩形纸片剪出一个等腰三角形吗? 注意安全呦!学情分析：大部分学生会有自己的想法，根据轴对称图形的性质，利用对折纸片，再“剪一刀”就是就得到了两条“腰”;可能还有的同学会利用正方形的折法，获得特殊的等腰直角三角形;可能还有同学先画图，再依线条剪得.在这个过程中，注重落实三维目标.让学生在获取新知的过程中更好的认识自我,建立自信.我不失时机的对学生给予鼓励和表扬，使活动更加深入,课堂充满愉悦和温馨.知其然，更重要的是知其所以然.因此，我力求让学生关注剪法的理性思考.我设计了问题:你是如何想到的? 为的是剖析学生的思维过程：“折叠”就是为了得到“对称轴”，“剪一刀”就是就得到了两条“腰”,由“重合”保证了“等腰”.这样就建立了“操作”与“证明”的中间桥梁.从实际操作中得到证明的方法，也为发现“三线合一”做了铺垫.提出问题：等腰三角形还有什么性质?请提出你的猜想，验证你的猜想?并填写在学案上.合作小组活动规则：1、有主记录员记录小组的结论;2、定出小组的主发言人(其它同学可作补充);3、小组探究出的结论是什么?4、说明你们小组所获得结论的理由.等腰三角形的性质：性质一：等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”).性质二：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称“三线合一”).学情分析：这个环节是本节课的重点，也是教学难点.尽管在教学过程中，因为学生的相异构想，数学猜想的初始叙述不准确，甚至不正确，但我不会立即去纠正他们，而是让同学们不断地质疑﹑辨析、研讨和归纳，逐渐完善结论.让他们真正经历数学知识的形成过程，真正的体现以人为本的教学理念，努力创设和谐的教育教学的生态环境.通过设置恰当的动手实践活动，引导学生经历观察、动手实践、猜想、验证等数学探究活动，这种探究的学习过程，恰恰是研究几何图形性质的一般规律和方法.(1)在此环节中，我的教学要充分把握好“四让”：能让学生观察的，尽量让学生观察;能让学生思考的，尽量让学生思考;能让学生表达的，尽量让学生表达;能让学生作结论的，尽量让学生作结论.这种教学方式，把学习的过程真正还给学生，不怕学生说不好，不怕学生出问题，其实学生说不好的地方、学生出问题的地方都正是我们应该教的地方，是教学的切入点、着眼点、增长点.(2)教师在这个过程中，充分听取和参与学生的小组讨论，对有困难的学生，及时指导.巩固知识1.等腰三角形顶角为70°,它的另外两个内角的度数分别为________;2.等腰三角形一个角为70°,它的另外两个内角的度数分别为_____;3.等腰三角形一个角为100°,它的另外两个内角的度数分别为_____.内化知识1.如图1，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=120°你能求出∠BAD的度数吗?知识迁移等边三角形有什么特殊的性质?简单地叙述理由.等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°.拓展延伸如图2，在△ABC中，AB=AC，点D，E在BC上，AD=AE，你能说明BD=EC?由于学生之间存在知识基础、经验和能力的差异，我为学生提供了层次分明的反馈练习.将练习从易到难，从简到繁，以适应不同阶段、不同层次的学生的需要.让学生拾阶而上，逐步掌握知识，使学困生达到简单运用水平，中等生达到综合运用水平，优等生达到创建水平.畅谈收获总结活动情况，重在肯定与鼓励.引导学生从本课学习中所得到的新知识,运用的数学思想方法,新旧知识的联系等方面进行反思,提高学生自主建构知识网络、分析解决问题的能力.帮助学生梳理知识，回顾探究过程中所用到的从特殊到一般的数学方法，启发学生更深层次的思考，为学生的下一步学习做好铺垫.反思过程不仅是学生学习过程的继续，更重要的是一种提高和发展自己的过程.基础性作业：P65 习题1、2、3、4八年级《等腰三角形》数学教案3教学目标：【知识与技能】1、理解并掌握等腰三角形的性质。
北师大版数学八年级下册1.等腰三角形的特殊性质及等边三角形的性质课件
新课讲授
典例分析
例 如图，已知△ABC，△BDE都是等边三角形． 求证：AE＝CD.
分析：要证AE＝CD，可通过证AE，CD所在的两个三角 形全等来实现，即证△ABE≌△CBD，条件可从 等边三角形中去寻找．
新课讲授
证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形， ∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝60°. AB＝CB， 在△ABE与△CBD中， ABE＝CBD， BE＝BD， ∴△ABE≌△CBD(SAS)． ∴AE＝CD.
第一章 三角形的证明
1 等腰三角形
课时2 等腰三角形的特殊性质及等边三角形的性质
学习目标
等腰三角形中相等的线段 等边三角形的性质.（重点、难点）
新课导入
等腰三角形有哪些性质？
1．等腰三角形的性质：等边对等角. 2．等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角形
顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相 重合.
新课讲授
典例分析
例 求证：等腰三角形两腰上的中线相等．
分析：先根据命题分析出题设和结论，画出图形，写 出已知和求证，然后利用等腰三角形的性质和 三角形全等的知识证明．
新课讲授
解：如图，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分别是AB 和AC上的中线， 求证：CE＝BD.
证明：∵AB＝AC，CE和BD分别是AB 和AC上的中线，
新课讲授
知识点2 等边三角形的性质
1．等边三角形的定义是什么？ 2．想一想
等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角 形的内角有什么特征呢?
新课讲授
定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角 都等于60°.
新课讲授
典例分析
例 已知：如图, 在△ABC中，AB= AC=BC. 求证：∠A= ∠ B = ∠ C = 60°. ∵AB = AC， ∴∠ B = ∠ C (等边对等角). 又∵AC = BC， ∴∠A= ∠ B (等边对等角). ∴∠A= ∠ B = ∠ C. 在△ABC中，∠A+∠ B+∠ C = 180°. ∴∠A= ∠ B = ∠ C = 60°.
人教版八年级数学上册《等腰三角形》(第1课时)课件
底边BC上的高AF，得出AF是顶角∠BAC的
平分线，再证AF∥DE即可. 1
1
2
证明：过点A作AF⊥BC于F，
∵AB＝AC，AF⊥BC于F，
F
∴AF平分∠BAC，∴∠1＝ ∠BAC.
又∵∠BAC＝∠D＋∠AED，AD＝AE， ∴∠D＝∠AED，∴∠AED＝ 1 ∠BAC.
2 ∴∠1＝∠AED， ∴AF∥DE， ∴DE⊥BC.
20cm或22cm
20 36°或90°
70°或40°
解：设∠A＝x， ∵CD＝AD，∴∠ACD＝∠A＝x， 又∵∠BDC=∠A+∠ACD=2x, ∵CD=CB，∴∠B＝∠BDC＝2x， 在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠BCA＝2x， 又∵∠A＋∠B＋∠BCA＝180°， ∴x＋2x＋2x＝180°，x＝36°， ∴∠A＝36°，∠B＝∠BCA＝72°
13.3.1 等腰三角形
（第一课时）
1.了解等腰三角形的概念. 2.掌握等腰三角形的性质. 3.会运用等腰三角形的概念和性质解决有关问题.
重点：等腰三角形的概念和性质及其应用. 难点：等腰三角形的“三线合一”的性质的理解及 其应用.
阅读课本P75-77页内容，了解本节主要内容.
等腰
轴对称 底边上的高（顶角的平分线或底边上的中线） 所在的直线；
例1：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD ＝BC＝AD.求△ABC各角的度数. 解析：根据等腰三角形的性质，两底角相 等，利用三角形内角和定理建立方程. 解：设∠A＝x°，
∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝x°， ∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x°.
∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝2x°.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝2x°. 在△ABC中, ∵∠A+∠ABC+∠C=180°,x°+2x°+2x°=180°， ∴x＝36°，∴∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝72°.
八年级数学人教版(上册)第1课时等腰三角形的性质
证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
又∵BD、CE为底角的平分线，
∴ DBC 1 ABC，ECB 1 ACB，
2
2
∴∠DBC＝∠ECB.
∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F，
∴EC∥DF. 侵权必究
当堂练习
7.A、B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方 形的边长为1，请在图中标出使以A、B、C为顶点 的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置．
侵权必究
当堂练习
✓ 当堂反馈 ✓ 即学即用
侵权必究
当堂练习
1.等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（ B ）
A．30°，60°
B．45°，45°
C．45°，90°
D．20°，70°
2.如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，
若∠1=70°，则∠BAC的大小为（ A ） A．40° B．30° C．70° D．50°
侵权必究
讲授新课
(1)解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD，∴∠BAC＝2∠BAD＝50°.
∵AB＝AC，
∴
∠C＝∠ABC
＝ ＝
112(1(18800°－°－50°)＝∠6A5)°.
2
(2)证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴ED⊥BC，
又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，
B
C
∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
归纳 在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用
方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解.
侵权必究
讲授新课
如图，在△ABC中，AB=AD=DC， ∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数. 解：∵AB=AD=DC
2022秋八年级数学上册第十七章特殊三角形17.1等腰三角形1等腰三角形的性质授课课件新版冀教版
BC AC,
在△PCB和△ECA中，∵
BCP
ACE
,
P C E C ,
∴△PCB≌△ECA（SAS）. ∴∠ABC＝∠CAE，
∴∠ACB＝∠CAE，∴AE∥BC.
知4－练
2 如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，
△ADE是等边三角形，下列结论：①AD⊥BC；
②EF＝FD；③BE＝BD.其中正确结论的个数
总结
知2－讲
证明两条线段相等时，通常利用全等三角形来 证，此种方法先观察要证明相等的两个角分别属于 哪两个三角形，设法证明这两个三角形全等，最后 根据全等三角形的对应边相等可得结论.
知2－练
1 [中考·宿迁]如图，已知AB＝AC＝AD，且AD∥ BC. 求证：∠C＝2∠D.
证明：∵AB＝AC＝AD， ∴∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠D. ∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D. ∴∠ABD＋∠CBD＝2∠D， 即∠ABC＝2∠D.∴∠C＝2∠D.
为( A )
A．3 B．2 C．1
D．0
等腰三角形中求角的度数的“三种方法” (1)利用等边对等角得相等的角. (2)利用三角形外角等于与其不相邻的两内角之和导出
各角之间的关系. (3)利用三角形内角和定理列方程.
1.等腰三角形“三线合一”的性质包含三层含义： (1)已知等腰三角形底边上的中线，则它平分顶角，垂
AB AC(已知)，
∵ 12(角平分线的概念)，
AD AD(公共边)，
∴△ABD≌△ACF(SAS). ∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等).
归纳
知2－导
等腰三角形的两个底角相等.(简称“等边对等角”)
知2－讲
例2 已知：如图，在△ABC中， AB = AC，BD，CE
八年级数学上册 2.5《等腰三角形的轴对称性》等腰三角形要点全析素材 (新版)苏科版
要点全析：等腰三角形1．等腰三角形（isosceles triangle）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．如图14-3-1，△ABC中，AB＝AC，则△ABC是等腰三角形．相等的两条边叫腰，另一条边BC叫底边，两腰所夹的角叫顶角，如∠BAC，底边和腰的夹角∠ABC和∠ACB叫底角．如图14-3-2中，∠C＝90°，AC＝BC，那么，AC、BC为腰，AB边为底，∠A、∠B为底角，∠C为顶角．【说明】要理解等腰三角形的定义，需注意以下几点：（1）等腰三角形的底不一定在下方，而顶角不一定在上方，如图14-3-2中，AB为底，∠C为顶角．它是根据两腰的位置来确定的．（2）等腰三角形的三边仍要满足条件：任意两边之和大于第三边（或任意两边之差小于第三边）．若图14-3-1中，AB＝AC＝m，BC＝a，则2m＞a，即m>a/2时，才能构成三角形，否则不成立．如边长分别为2，2.5的三条线段不能构成三角形，因为2＋2＜5．例如：（1）下列各组数据为边长时，能否组成三角形？①a＝2，b＝3，c＝5；②a＝4，b＝3，c＝2；③a＝1，b＝2，c＝2；④a＝2 005，b＝2 004，c＝2 008．（2）已知等腰三角形的两边为6 cm，7 cm，求其周长．（3）已知等腰三角形的两边长为2 cm，7 cm，求其周长．解：（1）①由于2＋3＝5，即a＋b＝c，而不满足a＋b＞c，∴不能组成三角形．②由于2＋3＝5＞4，即b＋c＞a，所以a、b、c可以组成三角形．③由于1＋2＞2，即a＋b＞c，所以a、b、c可以组成三角形．④由于a＋b＞c，因此a、b、c可以组成三角形．（2）因等腰三角形的两边长分别为6 cm、7 cm当腰长为6 cm时，周长为6＋6＋7＝19（cm）当腰长为7 cm时，周长为6＋7＋7＝20（cm）．∴等腰三角形的周长为19 cm或20 cm．（3）因等腰三角形的两边长分别为2 cm，7 cm，所以腰长为7 cm，而不能是2 cm．若为2 cm，则2＋2＝4＜7，不能组成三角形．因此周长为7＋7＋2＝16（cm），∴等腰三角形的周长为16 cm．2．等腰三角形的性质1等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）如图14-3-3，△ABC中，AB＝AC，则∠B＝∠C证法一：（利用轴对称）过点A作△ABC的对称轴AD．∵AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上．又∵AD为△ABC的对称轴，∴△ABD≌△ACD（轴对称性质）．∴∠B＝∠C证法二：（作顶角平分线）过点A作AD平分∠BAC交BC于D，如图14-3-3，在△ABD和△ACD中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠ADADCADBADACAB＝＝＝∴△ABD≌△ACD（SAS）．∴∠B＝∠C【说明】还可以作底边BC的中线和高来证明．3．等腰三角形的性质2（简称“三线合一”）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合．如图14-3-6，在△ABC中，AB＝AC，AD为顶角的平分线，那么AD既是中线，又是高线，这三条线重合．在使用时，在这三条线段中，只要作出其中一条，另外两条也就可以认为作出来了．即△ABC中，AB＝AC，若AD平分∠BAC，则AD⊥BC，BD＝CD；若BD＝CD，则AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD；若AD⊥BC，则BD＝DC，∠BAD＝∠CAD．因此，等腰三角形中的这条线非常重要，一旦作出，边、角的等量关系就都有了．【说明】（1）“三线合一”仅限于等腰三角形中才有，其他三角形中没有．（2）在一般三角形中，这三条线是不会重合的．如图14-3-7，在△ABC中，AD为高，AE为中线，AF平分∠BAC，因此，这三条线不重合．只有等腰时，三条线才会重合；反过来，若某一三角形中三线重合，则该三角形为等腰三角形．（3）在今后的证明题中，经常会使用“三线合一”进行证明．例如：△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于D，如图14-3-8．求证：∠BAC＝2∠DBC证法一：在△BCD中，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°．∴∠DBC＝90°－∠C．在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∴∠BAC＝180°－（∠ABC＋∠ACB）＝180°－2∠ACB＝2（90°－∠C）．∴∠BAC＝2∠DBC证法二：借助于三线合一的性质，过A作AM⊥BC于M，则AM平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAM＝2∠CAM.又∵BD⊥AC交AC于D，AM⊥BC交BC于M，∴∠DBC＝90°－∠C又∵AM⊥BC，∴∠CAM＝90°－∠C，∴∠DBC＝∠CAM4．等腰三角形的性质3（轴对称性）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线就是它的对称轴．如图14-3-9，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，则△ABC的对称轴为AD所在的直线，△ABD≌△ACD．过D作DE⊥AB，交AB于E，作DF⊥AC，交AC于F．由△ABD≌△ACD可知DE＝DF．同理，过D分别作AB、AC边上的中线和角平分线，它们都相等．因此，得到等腰三角形的一个重要结论．重要结论：过等腰三角形底边的中点向两腰所作的高线、中线以及角平分线，其与两腰所截得的线段都分别对应相等．5．等腰三角形的性质4（两腰上的对应线段相等）等腰三角形两腰上的中线、高线和两底角平分线对应相等．例如：如图14-3-10，△ABC中，AB＝AC，若BD、CE分别为AC、AB边上的高线，则BD ＝CE．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．又∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC＝∠CEB＝90°．在△BCD和△CBE中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，＝，＝CBBCCEBBDCCBEBCD∴△BCD≌△CBE（AAS）．∴BD＝CE．或S△ABC＝0.5×AB·CE＝0.5×AC·BD．∵ AB＝AC，∴BD＝CE．此法较为简便．同样道理，可分别作出两腰上的中线，两底角的平分线，也分别对应相等．6．等腰三角形的判定定理（等角对等边）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．例如：如图14-3-11，△ABC中，若∠B＝∠C，则AB＝AC证明：过点A作AD平分∠BAC，交BC于点D，则∠BAD＝∠CAD．在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（AAS）．∴AB＝AC因此，这一结论可直接利用．【说明】（1）在使用“等边对等角”或“等角对等边”时，一定要注意是在同一个三角形中才有这一对应关系，不在同一三角形中的边、角没有这一对应关系．（2）有了这一结论，为今后证明线段相等又添了一种重要的解题途径．例如：如图14-3-12，△ABC中，AB＝AC，BD、CE相交于O点．且BE＝CD求证：OB＝OC．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．在△BCE和△CBD中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠，＝，＝，＝CBBCDCBEBCCDBE∴△BCE≌△CBD（SAS）．∴∠BCE＝∠CBD，即∠OBC＝∠BCO∴OB＝OC（等角对等边）．【说明】证两条线段相等，若这两条线段在同一个三角形中，可利用等腰三角形的判定定理来证明．7．已知底边和底边上的高，求作等腰三角形已知线段a、b，求作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，高为b．作法：（1）作线段BC＝a；（2）作线段BC的垂直平分线MN与BC交于点D；（3）在MN上截取AD＝b；（4）连接AB、AC，△ABC就是所求的等腰三角形．【说明】（1）由作法知MN为BC的垂直平分线，∴AB＝AC∴△ABC为等腰三角形，如图14-3-13．（2）以前所作的三角形分别为：已知三边，两边夹角，两角夹边和已知斜边、直角边求作三角形，今天又学习了已知底边和底边上的高求作等腰三角形，共有五种情况，今后还将学习一些更为复杂的作法，都是以这五种为基础进行作图的．8．等边三角形（equilateral triangle）（1）定义：三条边都相等的三角形，叫等边三角形．如图14-3-14，△ABC中，AB＝BC ＝CA，则△ABC为等边三角形．（2）性质：①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．如图14-3-14中，若△ABC 为等边三角形，则∠A＝∠B＝∠C＝60°．②除此之外，还具有等腰三角形的一切性质，如三线合一，轴对称等．（3）判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形．②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．下面证明以上两条判定．判定①：如图14-3-15，已知△ABC中，∠A＝∠B＝∠C求证：△ABC是等边三角形．证明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC又∵∠A＝∠B∴AC＝BC∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形．判定②：如图14-3-15，已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°．求证：△ABC是等边三角形．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．又∵∠B＝60°，∴∠B＝∠C＝60°．又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝180°－（∠B＋∠C）＝60°．∴∠A＝∠B＝∠C，∴AB＝BC＝AC．∴△ABC为等边三角形．（4）应用：例如：如图14-3-16，△ABC为等边三角形，D、E为直线BC上的两点，且BD＝BC＝CE，求∠DAE的度数．分析：要求∠DAE的度数，需分开求，先求∠BAC，再求∠DAB和∠CAE，由△ABC为等边三角形知∠BAC＝60°，又∵BD＝BC，而BC＝BA，则BD＝BA，∴△ABD为等腰三角形，∴∠D＝∠DAB＝0.5×∠ABC＝30°．同理可知，∠CAE＝30°．解：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．又∵BD＝BC，∴BD＝BC＝AB．∴∠DAB＝∠D，又∵∠ABC＝∠D＋∠DAB，∴∠ABC＝2∠DAB＝60°，∴∠DAB＝30°．同理，∠CAE＝30°．∴∠DAE＝∠DAB＋∠BAC＋∠CAE＝30°＋60°＋30°＝120°．【说明】本题中用到了等边三角形的性质．再如：如图14-3-17，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别为△ABC三边上的点，且BD＝CE＝AF，直线AD、BE、CF两两相交于点R、Q、P．求证：△PQR是等边三角形．分析：本题既用到了等边三角形的性质，又用到了其判定．要证△PQR为等边三角形，证三边相等难度较大，可考虑证其三角相等．也可先证∠PQR＝60°，而∠PQR＝∠ACQ＋∠QAC，又因为∠ACQ＋∠BCF ＝60°，只需证∠BCF＝∠DAC，由此可联想证△BCF与△CAD全等．证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝CA．又∵BD＝CE＝AF，∴BF＝DC＝AE在△ABE和△BCF和△CAD中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠，＝＝，＝＝，＝＝CDBFAEDCAFBCBAECABCAB∴△ABE≌△BCF≌△CAD（SAS）．∴∠ABE＝∠BCF＝∠CAD．∵∠ACQ＋∠BCF＝60°，∴∠ACQ＋∠CAQ＝60°．∴∠AQF＝∠ACQ＋∠CAQ＝60°，即∠PQR＝60°．同理，∠RPQ＝∠PRQ＝60°．∴△PQR为等边三角形．【说明】（1）此题证明思路比较清晰，只是步骤书写较繁，书写应认真；（2）在证明过程中用到了三个三角形全等的连等形式，可仿照两个三角形全等的方式使用．9．含30°角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．如图14-3-18，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则BC＝0.5×AB，这一性质反过来也成立．即在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝0.5×AB，则∠A＝30°．因此Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30° BC＝AB/2这一性质在解题中经常用到．例如：如图14-3-19，在Rt△ABC中，∠BAC为直角，高AD交BC于D，∠B＝30°，BC ＝12米，求CD，BD的长．解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，∴∠C＝60°，BC＝2AC∴AC＝BC/2＝6（米）．在Rt△ACD中，∵AD⊥BC，∠C＝60°，∴∠CAD＝30°．∴DC＝AC/2＝0.5××6＝3（米）．∴BD＝BC－DC＝9－6＝12－3＝9（米）．【说明】在本题中两次用到直角三角形的这一性质，并且用的方式都一样．。
2022八年级数学上册 第十三章 轴对称13.3 等腰三角形 1等腰三角形第1课时 等腰三角形的性质
考查角度二 运用等腰三角形的性质判断线段间的数量关系与位置关系
13.如图，在等腰三角形ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于点B， CE⊥AD交AD的延长线于点E. (1)求证：CE＝CB； (2)连接BE，请写出BE与AC的位置关系，并证明.
B.AD平分∠BAC
C.AB＝2BD
D.∠B＝∠C
7.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，若△ABC的周长为36， △ABD的周长为30，求AD的长.
解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝CD. ∵△ABC的周长为36，∴AB＋BC＋AC＝36， ∴AB＋BD＝18. ∵△ABD的周长为30， ∴AB＋BD＋AD＝30， ∴AD＝30－18＝12.
∠OPP′的度数为( B )
A.40° B.50°
C.70°
D.80°
3.某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为 48°，若CF与EF的长度相等，则∠C的度数为___2_4_°___.
4.(课本P77练习T3改编)如图，在△ABC中，AD＝BD＝BC，若∠DBC＝ 28°，求∠ABC和∠C的度数. 解：设∠A＝x°.∵AD＝BD， ∴∠ABD＝∠A＝x°，∴∠BDC＝2x°. ∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝2x°. ∵∠DBC＝28°，∠BDC＋∠C＋∠DBC＝180°， ∴2x＋2x＋28＝180，∴x＝38， ∴∠C＝76°，∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝38°＋28°＝66°.
8.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的中线，BE⊥AC于点E.求 证：∠CBE＝∠BAD.
人教版八年级数学上等腰等边三角形及其性质
第1讲 等腰三角形（一）1．等边△ABC 中，D 为AC 的中点，CE ＝CD .求证：BD ＝DE .2．如图，AC ＝AD ，BC ＝BE ，∠DCE ＝045，求证：AC ⊥BC .3．如图，已知AC ＝CD , EF ＝DF ，AF ＝AG ，求∠A.一、全等中的几何画图（一）动态画图，周密思考4．如图，AC ⊥BC ，AC ＝BC ，过G 点任画直线l ，过A 点、B 点分别作l 的垂线AE 、BF ，垂足为E 、F ，试画图探究AE 、BF 与EF 的大小关系.5．如图，1l ∥2l ，∠1＝∠2，∠3＝∠4，过C 点任画直线交1l 、2l 于E 、F ，试探究AE 、BF 、AB 三线段的数量关系，并证明．6．在ABC中，AD，CE为高，两条高所在的直线相交于H点，若CH＝AB，求∠ACB的大小.（二）动态画图，由此及彼7．如图∠B＝2∠C，AD为∠A的平分线交BC于D点(1) 求证：AB＋BD＝AC(2) 如图，若AD为∠A的外角平分线，问上结论是否成立，画图证明45．8．如图AC＝BC，点O为AB的中点，AC⊥BC，∠MON＝0(1) 求证CN＋MN＝AM(2) 若点M在AC上，点N在BC的延长线上，上结论是否成立，画图证明9．已知Rt △ABC ，∠A ＝090，AB ＝AC ，过点B 的直线BF 交直线AC 于D ，CE ⊥BE 于E(1) 当BE 平分∠ABC ，求证：AB ＋AD ＝BC ;(2) BE 转到△ABC 外，平分∠ABC 的一个外角，请画出图形，上述结果是否还成立，若成立请说明理由．（一）直角三角形全等问题10．如图，等腰△ABC ，∠ACB ＝090，D 为CB 延长线上一点，AF ＝AD ，且AE ⊥AD ，BE 交AC 的延长线于点P ．(1) 求证：BP ＝PE ;(2) 若32 BC BD ，求PCAC 的值.（二）延长、截取法运用11．已知：CA ＝CB ，AD 平分∠CAB ，且AB ＝AC ＋CD ，求证：AC ⊥BC12.如图在平面直角坐标系中，A (0，4)，B (4，0)，E 点与A 点关于x 轴对称，B 点与F 点 关于y 轴对称，∠GEP ＝045，交直线AB 于G 点，交直线AF 于P 点，求证：EG 平分 ∠PGB .13.如图1，点A 、B 分别为x 轴、y 轴正半轴上一点，P 为第二象限一点，P A ⊥PB ，P A 交y 轴于点C ，且C 为P A 的中点．(1) 求证：∠PBO ＝∠P AO ;(2) 已知A (a ，0)、C (0，b )，若()02322=-+-b a ，求P 点的坐标； (3) 如图2，若P A ＝PB ，求BCOC 的值.第2讲 等腰三角形(二)1．等腰三角形的性质：(1)等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”；(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．2．等腰三角形的判定：(1)等腰三角形定义；(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”） 基础回顾例1 如图，△ABC 中，AB ＞AC ，AD 平分∠BAC ，EF ⊥AD 交BC 延长线于M .(1) 求证：∠BME ＝21(∠ACB －∠B )； (2) 若EM 平分AD ，求证：∠CAM ＝∠B .分析：(1)由AD 平分∠BAC ，设∠1＝∠2＝α，根据内角和定理及外角与内角关系定理，建立∠BME 、∠B 、∠ACB 与α之间的关系式，消去参数α“即得；(2)由EM 垂直平分AD ，得MA ＝MD ，∠MAD ＝∠MDA ，于是∠2＋∠CAM ＝∠1＋∠B ，得证．证明：点评：(1)问是“设参法”，先建立含有“参数”和相关量的关系式，再消去参数，便得所求证的关系式(2)问则是运用“等边对等角”的性质证明角相等，这种方法是证明角相等的又一方法，例2等腰△ABC 中，过其中一个顶点的直线把这个等腰三角形分成两个等腰三角形，求三内角的度数.分析：按直角、锐角、钝角三角形来分类讨论.解：点评：(1) 当面对的问题情形较多时，应注意分类讨论；(2) 当难以直接计算求角时，可考虑通过建立方程求解.1．若等腰三角形一腰上的高，等于腰长的一半，求这个等腰三角形的顶角.2．如图，过△ABC的顶点A，作直线AE与∠B的内角平分线BE垂直相交于E点，且与∠C的内角平分线交于P点．(1) 直接回答：当∠B与∠C满足什么条件时，点P在△ABC内，在△ABC外，在△ABC 的边上？(2) 若P在△ABC内，过P作PQ∥BC交AB、AC于Q、R．求证：QR＝AQ＋CR例3如图，△ABC中，AB＝7，AC＝11，点M是BC中点，AD平分∠BAC，MF∥AD 交AC于F．求FC的长.分析：“角平分线＋平行线”易构造等腰三角形，对于中点的条件，类比“倍长中线”的方法，移动CF，构造等腰三角形，寻找CF、AB、AC之间的关系。
人教版八年级下册数学专题复习及练习(含解析)：等腰三角形
专题13.3 等腰三角形知识点1：等腰三角形1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．2.等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、 底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．3.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．知识点2：等边三角形1.定义：三条边相等的三角形叫做等边三角形．2.等边三角形的性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
知识点3：直角三角形的一个定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．【例题1】如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度数．【例题2】证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=AB ．【例题7】已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为（ ）A ．B ．C ．D ．不能确定【例题3】如图，已知AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC 与BD 交于点O ，AC=BD.求证：(1)BC=AD ；(2)△OAB 是等腰三角形.一、选择题1.已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为（ ）12C AA．B．C．D．不能确定2.如图所示，点D是△ABC的边AC上一点（不含端点），AD=BD，则下列结论正确的是（）A．AC＞BC B．AC=BC C．∠A＞∠ABC D．∠A=∠ABC3．如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN 为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）A．1个B．2个C．3个D．3个以上4.如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（）A．2+2B．2+C．4 D．3二、解答题5.已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．6.如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E．求证：AE=CE．7.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1=∠2，AD ∥BC （如图）．求证：AB=AC ．8.已知：如图，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ．求证：AB=AD ．9.证明：等腰三角形两底角的平分线相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 是△ABC 的平分线．求证：BD=CE ．10.证明：等腰三角形两腰上的高相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BE 、CF 分别是△ABC 的高．E DCAB11.证明：等腰三角形两腰上的中线相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 分别是两腰上的中线．求证：BD=CE ．12.已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=2a ，∠ABC=∠ACB=15°，CD 是腰AB 上的高．求：CD 的长．13．已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°．求证：BD=AB ．14.已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段．求证：其中一条是另一条的2倍．已知：在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC=2∠C ，BD 是∠ABC 的平分线．1415.已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AB ．求证：∠BAC=30°．16.已知，如图，点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△CBN 是等边三角形．求证：AN=BM ．17．一个直角三角形房梁如图所示，其中BC ⊥AC ，∠BAC=30°，AB=10cm ， CB 1⊥AB ，B 1C ⊥AC 1，垂足分别是B 1、C 1，那么BC 的长是多少？18.如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，AC 的垂直平分线交AB 于E ，D 为垂足，连接EC ．（1）求∠ECD 的度数；（2）若CE=5，求BC 长．12专题13.3 等腰三角形知识点1：等腰三角形1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．2.等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、 底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．3.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．知识点2：等边三角形1.定义：三条边相等的三角形叫做等边三角形．2.等边三角形的性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
数学人教版八年级上册 12.3等腰三角形(第1课时)PPT课件
（简称为”三线合, 点D在AC上, 且 BD=BC=AD求△ABC各角的度数. 解:
∵AB=AC, BD=BC=AD ∴∠ABC=∠C=∠BDC
∠A=∠ABD 设∠A=x,则
∠BDC=∠A+∠ABD=2x 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x 于是在△ABC中, 有
探究
如图12.3-1拿出一张长方形的纸按图中虚线对 折, 并剪去阴影部分, 再把它打开, 得到的三角 形ABC有什么特点?
概念:
有两边相等的三角形叫做等腰三角 形。
(如AB=AC, △ABC为等腰三角形)
A
腰—相等的两边
顶
腰 角 腰 底—除腰外的一边
B 底角 底角 C 顶角—两腰的夹角
底边
底角—腰与底的夹角
想一想
1、上面剪出的等腰三角形是抽对称图形吗? 2、把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折, 找出 其中重合的线段和角。
3、由这些重合的线段和角, 你能发现等腰三角 形的哪些性质呢? 说一说你的猜想。
我们可以发现等腰三角形的性质:
性质1: 等腰三角形的两个底角相等（简写为“等边对 等角”）
性质2: 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底 边上的高线相互重合。
说一说
通过本节课的 学习, 你们都 有哪些收获?
小结
概念: 有两条边相等的三角 形是等腰三角形
1. 等腰三角形
等腰三角形是轴对称图形, 顶角平 分线（或底边中线或底边上的高线 ）所在直线是它的对称轴.
2. 能根据等腰三角形的概念与性质求等腰三 角形的边长、周长及其知道一角求其它两角
【作业设计】
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 解得x=36 在△ABC中, ∠A=36, ∠ABC=∠C=72
人教版数学八年级上册13.3.1等腰三角形(一)-课件
B DC
AD=AD (公共边)
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
方法三：作底边的高线
等腰三角形的两个底角相等。
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
证明：作底边的高线AD，则
(3) ∵AD是角平分线，∴_A__D_ ⊥__B_C_ ，__B_D__ =__C_D__.
知一线得二线
A
“三线合一”可以帮助我
们解决线段的垂直、相等
以及角的相等问题。
B
DC
2、等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为4_0__°___.
3、等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 7_0_°__,_4_0_°__或____5_5_°__,5_5.°
A
B
D
C
性质3 等腰三角形是轴对称图形，其顶角的平分
线（底边上的中线、底边上的高）所在的直线就是
等腰三角形的对称轴。
1. 根据等腰三角形性质2填空, 在△ABC中， AB=AC，
(1) ∵AD⊥BC，∴∠_B_A__D_ = ∠__C_A__D，_B_D__=C__D__.
(2) ∵AD是中线，∴_A_D__⊥_B__C_ ，∠__B_A_D_ =∠__C_A__D.
DF⊥AC于F
E
F 求证：DE＝DF
BD C
(2)如果DE、DF分别是AB,AC上的中线或∠ADB,
∠ADC的平分线，它们还相等吗？由等腰三角形是轴对
称图形，利用类似的方法，还可以得到等腰三角形中哪
些相等的线段？
活动5:反馈练习
练习1:小试牛刀
人教版八年级数学上册课件：1.等腰三角形的判定
A.15° C.20°
A
B.18° D.22.5°
关闭
答案
1
2
3
4
5
2.(2013·湖北宜昌中考)如图,在矩形 ABCD 中,AB<BC,AC,BD 相交于
点 O,则图中等腰三角形的个数是( ).
A.8
B.6
C.4
D.2
∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AO=BO=CO=DO. ∴图中的等腰三角形是△ABO,△BCO,△DCO,△ADO,共 4 个,故选 C.
等腰三角形的判定
关闭
在△ABC 中,∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-36°-72°=72°,
【∴∠例AB题C=】∠C,∴如AB图=A所C. 示,在△ABC 中,∠A=36°,∠C=72°,BD 为∠ABC 的平 分∵B线D 为,分∠A别BC计的算平∠分A线B, D,∠BDC 的度数,并说明图中有哪些等腰三关角闭形. ∴由∠A等BD腰=12三∠A角BC形=3的6°.性质及三角形的内角和,可求出∠ABD,∠BDC 的度
∴∠ABD=∠A.
∴数BD,由=A等D,∠腰BD三C角=∠A形BD的+判 ∠A=定72定°. 理可得出△ABC,△BCD,△ABD 是等腰三 ∴角∠B形DC. =∠C.
∴BD=BC. 综上所述,图中共有三个等腰三角形,分别为△ABC,△BCD,△ABD.
解析 答案
1
2
3
4
5
1.如图,在△ABC 中,点 D 在 AC 上,且 AB=AD,∠ABC=∠C+30°,则 ∠CBD=( ).答案 Nhomakorabea1
2
3
4
5
5.如图所示,AD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是
北师大版八年级数学下册课件：等腰三角形(1)
6.【例3】(人教8上P76改编)如图,在△ABC中,AB＝AC,点D 在线段BC上,AD＝BD. (1)求证:∠BAD＝∠C; (2)若CA＝CD,求△ABC三个内角的度数.
(1)证明:∵AB＝AC,∴∠B＝∠C. ∵AD＝BD,∴∠B＝∠BAD. ∴∠BAD＝∠C.
(2)解:∵CA＝CD,∴∠CAD＝∠CDA, 由(1)得∠B＝∠C＝∠BAD, 设∠B＝x,则∠CDA＝∠B＋∠BAD＝2x, ∴∠CAD＝∠CDA＝2x, ∠BAC＝∠CAD＋∠BAD＝3x,
∴在△ABC中,有∠B＋∠C＋∠BAC＝x＋x＋3x＝180°, 解得x＝36°, ∴在△ABC中,∠BAC＝108°,∠B＝∠C＝36°.
★9.(创新题)如图,在△ABC中,AB＝AC. (1)如果∠BAD＝30°,AD是BC上的高,AD＝AE, 则∠EDC＝ 15° ; (2)如果∠BAD＝40°,AD是BC上的高,AD＝AE, 则∠EDC＝ 20° ; (3)通过以上两题,你发现在AD＝AE的条件下, ∠BAD与∠EDC之间有什么关系?并给予证明.
5.【例2】如图,在△ABC中,AB＝AC,AD是BC边上的中 线,BE⊥AC于点E.求证:∠CBE＝∠BAD. 证明:∵AB＝AC,AD是BC边上的中 线,BE⊥AC, ∴AD⊥BC,∠BAD＝∠CAD. ∴∠CBE＋∠C＝∠CAD＋∠C＝90°. ∴∠CBE＝∠CAD. ∴∠CBE＝∠BAD.
8.(核心教材母题:北师8下P5、)如图,已知AB＝AC,AD＝AE. 求证:BD＝CE.
证明:如图,过A点作AF⊥BC于点F. ∵AB＝AC,∴BF＝CF. 又∵AD＝AE,∴DF＝EF. ∴BF－DF＝CF－EF, ∴BD＝CE.
答案图
核心教材母题:教材是新中考命题的依据,近年来广东省中考 数学卷中都有较多题的素材来源于北师大版和人教版教材. 本书将两个版本重合的教材母题进行汇总,作为课堂例习题 呈现.
优质冀教版初中数学八年级上册 17.1 等腰三角形 教案 (1)
《等腰三角形》教学设计一、教材分析《等腰三角形》是冀教版八年级数学上册第十七章第一节内容。
是在学习了轴对称之后编排的，是轴对称知识的延伸和应用。
等腰三角形的性质及判定是探究线段相等、角相等、及两条直线互相垂直的重要工具，在教材中起着承上启下的作用。
二、学情分析学生已掌握了全等三角形的判定和轴对称知识。
八年级学生的抽象思维趋于成熟，形象直观思维能力较强，具备了一定的独立思考、实验操作、合作交流和归纳概括等能力，能进行简单的推理论证。
三、教学目标知识目标：探究发现等腰三角形的性质,并对性质加以应用；能力目标：学生经历探索的过程,进一步体验轴对称的特征,发展空间感；情感目标：培养学生独立思考与合作交流的好习惯。
四、教学重、难点教学重点：等腰三角形性质的探究和证明。
教学难点：等腰三角形性质的证明。
五、教学方法：谈话法、讨论法、演示法六、教学环境：视频播放器、心意答教学助手、电子白板、希沃白板、几何画板七、教学过程1.情境导入（1）以有趣的小动画引出等腰三角形定义，激发学生学习兴趣。
（2）复习三角形相关概念。
____________________叫做等腰三角形。
另一条边叫做____，两腰所夹的角叫做____，底边与腰的夹角叫做____.2.动手操作把一张长方形纸片按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开.（设计意图：通过折、剪等活动，培养了动手操作能力，同时使学生积累了数学活动经验，为猜想性质做铺垫。
）提出问题：（1）剪出的三角形是等腰三角形吗？指出其中的腰、底边、顶角、底角。
（2）把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，有哪些重合的部分？并指出重合的部分是什么？（结合几何画板中折叠动画）（3）由这些重合的部分，猜想等腰三角形的性质。
等腰三角形是轴对称图形等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合。
（设计意图：培养了学生的观察分析、概括总结能力和合情推理的能力。
小组合作学习，调动学生学习积极性，培养了学生的合作意识。
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