用放缩法证明不等式
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利用放缩法证明数列型不等式
一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用
1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。裂项放缩法
主要有两种类型：
（1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。
例1设数列{}n a 的前n 项的和1412
2333
n n n S a +=-⨯+，1,2,3,
n =。设2n
n n
T S =，1,2,3,
n =，证明：
1
3
2n
i i T =<∑。
证明：易得12(21)(21),3n n
n S +=--11
32311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++==-----， 112231
1
131131111
11
()()221212212121212121
n
n i i i n n i i T ++===-=-+-++
---------∑∑
=
113113()221212
n +-<-- 点评： 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成111
2121
n n +-
--，然后再求和，即可达到目标。 （2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。
例 2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的前n 和为n S ，
2n n n T S S =-； （I ）求证：1n n T T +>； （II ）求证：当2n ≥时，2n S 711
12n +≥
。 证明：（I ）111
111
1()23
2212
2n n T T n n n n n n
+-=
+++
-++++++++ 111
21221n n n =
+-
+++10(21)(22)
n n =>++ ∴1n n T T +>． （II ）
112211222222,n n n n n n S S S S S S S S ---≥∴=-+-+
+-+1221122n n T T T T S --=++
+++
由（I ）可知n T 递增，从而12222n n T T T --≥≥
≥，又11217
,1,212T S T ===，
12211222n n n S T T T T S --∴=++
+++21171711
(1)(1)112212
n n T T S n +≥-++=-++=
即当2n ≥时，2n S 711
12
n +≥
。 点评：此题（II ）充分利用（I ）的结论，n T 递增，将2n S 裂成112211
2222n n n n S S S S S S S ----+-++-+的和，从而找到了解题的突破口。
2、迭乘放缩法：放缩法与迭乘法的结合，用放缩法构造迭乘形式，相乘时消去中间项。用于解决积式
问题。
例3 已知数列{}n a 的首项为13,a =点()1,+n n a a 在直线)(03*
N n y x ∈=-上。
若3*3log 2(),n n c a n N =-∈证明对任意的*
n ∈N
，不等式12
111
(1)(1+)(1+
)n
c c c +
⋅⋅> 证明： 32n c n =-，331313133131(1+
)()323231332
n n n n n n c n n n n n --++=>⋅⋅=---- 所以312
11147
31
[(1)(1+)(1+
)]311
4
32
n n n c c c n ++
⋅⋅>⋅⋅⋅
=+-
即12
11
1
(1)(1+)(1+
)n
c c c +
⋅⋅> 点评：此题是证明积式大于根式，由于左边没有根式，右边是三次根式，立方后比较更容易处理。
33131(1+
)()32
n n c n -=-可以看成是三个假分式的乘积，保持其中一项不变，另两项假分数分子分母同时加1，加2，则积变小，3313133131(
)323231332n n n n n n n n n n --++>⋅⋅=----，而通项式为31
{}32
n n +-的数列在迭乘时刚好相消，
从而达到目标。
3、迭代放缩法：通过放缩法构造递推不等关系，进行迭代，从而求解。
例4 已知数列{}n x 满足，1111,,*21n n x x n N x +=
=∈+，证明：1112
||()65
n n n x x -+-≤⋅。 证明：当1n =时，1211
||||6
n n x x x x +-=-=，结论成立。 当2n ≥时，易知1111101,12,12n n n n x x x x ---<<+<=
>+111115
(1)(1)(1)(1)212
n n n n n x x x x x ----∴++=++=+≥+
1111||11
|||
|11(1)(1)n n n n n n n n x x x x x x x x -+---∴-=-=
++++211112122212
||()||()||()5
5565n n n n n n x x x x x x ----≤-≤-≤≤-=
点评：此题将目标式进行放缩得到递推不等关系，进行迭代，找到解题途径。