实验四 IIR数字滤波器的设计(1) (2)教材
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实验四 IIR 数字滤波器的设计及网络结构
一、实验目的
1．了解IIR 数字滤波器的网络结构。
2.掌握模拟滤波器、IIR 数字滤波器的设计原理和步骤。 3．学习编写数字滤波器的设计程序的方法。
二、实验内容
数字滤波器：是数字信号处理技术的重要内容。它的主要功能是对数字信号进行处理，保留数字信号中的有用成分，去除信号中的无用成分。
1．数字滤波器的分类
滤波器的种类很多，分类方法也不同。
（1）按处理的信号划分：模拟滤波器、数字滤波器 （2）按频域特性划分；低通、高通、带通、带阻。 （3）按时域特性划分：FIR 、IIR
2．IIR 数字滤波器的传递函数及特点
数字滤波器是具有一定传输特性的数字信号处理装置。它的输入和输出均为离散的数字信号，借助数字器件或一定的数值计算方法，对输入信号进行处理，改变输入信号的波形或频谱，达到保留信号中有用成分去除无用成分的目的。如果加上A/D 、D/A 转换，则可以用于处理模拟信号。
设IIR 滤波器的输入序列为x(n)，则IIR 滤波器的输入序列x(n)与输出序列y(n)之间的关系可以用下面的方程式表示：
1
()()()
M N
i j i j y n b x n i a y n j ===-+-∑∑
（5-1）
其中，j a 和i b 是滤波器的系数，其中j a 中至少有一个非零。与之相对应的差分方程为：
10111....()()()1....M
M N
N b b z b z Y z H Z X z a z a z ----++==
++ （5-2）
由传递函数可以发现无限长单位冲激响应滤波器有如下特点： （1） 单位冲激响应h(n)是无限长的。
（2）系统传递函数H(z)在有限z平面上有极点存在。
（3）结构上存在着输出到输入的反馈，也就是结构上是递归型的。
3．IIR滤波器的结构
IIR滤波器包括直接型、级联型和并联型三种结构：
①直接型：优点是简单、直观。但由于系数bm 、a k与零、极点对应关系不明显，一
个bm 或a k的改变会影响H(z)所有零点或极点的分布，所以一方面，bm 、a k对滤波器性能的控制关系不直接，调整困难；另一方面，零、极点分布对系数变化的灵敏度高，对有限字长效应敏感，易引起不稳定现象和较大误差。
Matlab实现：
filter( )函数实现IIR数字滤波器直接形式。格式为： y=filter(b,a,x)
b，a为差分方程输入、输出系数向量（或系统函数的分子、分母多项式，降幂），x 为输入序列，y为输出序列。
其中，传递函数（tf）形式
N
N
M
M
z
a
z
a
z
b
z
b
b
z
H
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
=
1
1
1
1
1
)
(
若
则a=[1 a1 a2… a N]
b=[b0 b1 b2… b M]
②级联型：基于因式分解，将系统函数H(z)分解为因子乘积的形式。
(5-3）级联型结构：
Matlab实现：
tf2zp( )函数用于求系统函数的零、极点和增益常数，zp2sos ( )函数则根据tf2zp( )函数结果求出各基本节系数。格式为：
[z,p,K]=tf2zp(b,a)；
sos=zp2sos(z,p,K)；
b，a为差分方程输入、输出系数向量（系统函数的分子、分母多项式，降幂）。
其中，零极点增益形式（zp）：
∏
∏
-
=
-
-
=
-
-
-
=
1
1
1
1
)
1(
)
1(
)
(
N
k
k
M
i
i
z
z
z z
k
z
H
若
则零点向量z=[z1 z2… z M-1];
极点向量p=[z1,z2,…,z N-1]
00
12
012
12
11
12
1
1
()()
1
1
M
m
N N
m
m k k
k
N
k k k
k k
k
k
b z
z z
H z K K H z
z z
a z
ββ
αα
-
--
=
--
-==
=
++
===
++
+
∑
∏∏
∑
k为系统增益。
二阶分式形式（sos）为：
把H(z)划成二阶因式
∏∏
==
-
-
-
-
+
+
+
+
=
=
N
k
N
k k
k
k
k
k
k
k z
z
z
z
z
H
z
H
11
2
2
1
1
2
2
1
1
)
(
)
(
α
α
α
β
β
β
则其二阶因式为：
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
N
N
N
N
N
b
b
b
b
b
a
a
b
b
b
a
a
b
b
b
sos
2
1
2
1
22
12
22
12
02
21
11
21
11
01
1
1
1
③并联型：基于部分分式展开，将系统函数H(z)分解为部分分式和的形式。
（5-4）并联型结构：
Matlab实现：residue( )函数可以实现并联型结构，有两种格式：
[K,r,p]=residue(b,a);
[b,a]=residue(b,a);
其中，部分分式形式：
)
(
1
)1
(
)1(
)
(
1
)
(
)1(
1
)1(
)
(N
M
n
z
N
M
k
k
z
n
p
n
r
z
p
r
z
H-
-
-
-
+
-
+
+
+
-
+
+
-
=
若
则极点向量 p=[p(1) p(2) … p(n)]
其对应系数向量r=[r(1) r(2) … r(n)]
余数多项式系数向量k=[k(1) k(2) … k(M-N+1)]
【实例5-1】已知三阶IIR数字滤波器的系统函数
00
1
001
00
12
11
12
1
()()
1
1
M
m
N N
m
m k k
k
N
k k k
k k
k
k
b z
z
H z K K H z
z z
a z
γγ
αα
-
-
=
--
-==
=
+
==+=+
++
+
∑
∑∑
∑