人教版高中数学必修4全册

(2k+<<2k+
3
2
,
kZ)
第四象限角:
(2k+
3
2
<<2k+2,
kZ
或
2k-
2
<<2k,
kZ
)
②轴线角
x 轴的非负半轴: =k360º(2k)(kZ);
x 轴的非正半轴: =k360º+180º(2k+)(kZ);
y
轴的非负半轴:
=k360º+90º(2k+
2
)(kZ);
y 轴的非正半轴: =k360º+270º(2k+ 32) 或
（1） 2
（2）
3
评析： 在解选择题或填空题时，
如求角所在象限，也可以不讨论k的
几种情况，如图所示利用图形来判断.
四、什么是1弧度的角？ 长度等于半径长的弧所对的圆心角。
B r
Or A
B
2r
Or A
（3）角度与弧度的换算.只要记住，就可
以方便地进行换算. 应熟记一些特殊角的
度数和弧度数. 在书写时注意不要同时
2
2
则α角属于(C ) A.第－象限; B.第二象限;
2
C.第三象限; D.第四象限.
点评: 本题先由α所在象限确定α/2所在象限,再α/2的 余弦符号确定结论.
例1 求经过1小时20分钟时钟的分针所转过的角度：
解：分针所转过的角度 1 20 360 480
60
例2 已知a是第二象限角，判断下列各角是第几象限角
知识网络结构
任意角的概念
角的度量方法 （角度制与弧度制）
弧长公式与 扇形面积公式
正弦型函数的图象
y Asin x
同角公式
任意角的 三角函数
诱导公式
两角和与差的 三角函数
三角函数的 图形和性质
二倍角的 三角函数
三角函数式的恒等变形 （化简、求值、证明）
已知三角函数值，求角
一、基本概念：
1.角的概念的推广 （1）正角，负角和零角.用旋转的观点定义角， 并规定了旋转的正方向，就出现了正角，负角和 零角，这样角的大小就不再限于00到3600的范围.
混用角度制和弧度制
180 180 1 rad
1
rad
180
.30
1 rad
180
（4）弧长公式和扇形面积公式.
lr
S r2 1 r2 1l r
2
2
2
l
n 360
2
r
n
180
r
S
n 360
r2
n
360
r2
2、角度与弧度的互化
2 360
1弧度 (180) 57.30 5718,
4
4 3 12
例4、 已知扇形的周长为定值100，问扇形的半 径和圆心角分别为多少时扇形面积最大？最大值 是多少？
略解：S 1 lr 1 (100 2r)r r 2 50r (r 25)2 625.
22
r 25,l 50, l 2(rad )扇形面积最大值为625.
r
例7.已知一扇形中心角是α，所在圆的半径是R.
解：（1）设弧长为l，弓形面积为S弓。
60 , R 10,l 10 (cm)
180
1
180
特殊角的角度数与弧度数的对应表
度 0 30 45 60 90120 135 150 180270360
弧度 0
2 3 5
6 4 3 2346
3 2
2
例3．已知角和满足
求角–的范围.
3
4
解：
, 0 . , .
3
3
, 7
（1）、 950 12
（2）、139
129 48
1
3
三、终边相同的角
1、终边相同的角与相等角的区别
终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。
2、象限角、象间角与区间角的区别 y
2k ,2k k Z
O
x
3、角的终边落在“射线上”、“直线上”及“互相
垂直的两条直线上”的一般表示式
y
y
y
O
=k360º-90º(2k-2 )(kZ);
x 轴: =k180º(k)(kZ);
y
轴:
=k180º+90º(k+
2
)(kZ);
坐标轴:
=k90º(
k
2
)(kZ).
例2、（1）、终边落在x轴上的角度集合：
{ | k , k Z}
（2）、终边落在y轴上的角度集合：
{ | k , k Z}
x
O
x
O
x
2k k Z k k Z
k k Z
2
一、角的基本概念
1.几类特殊角的表示方法
(1)与 角终边相同的角的集合: { | =2k+, k∈Z}.
(2)象限角、象限界角(轴线角)
①象限角
第一象限角:
(2k<<2k+
2
,
kZ)
第二象限角:
(2k+
2
<<2k+,
kZ)
第三象限角:
角在内）的集合为. k 360, k Z
（4）角在“到”范围内，指.0 360
一、任意角的三角函数
1、角的概念的推广
的终边
y 的终边
正角
o
x 零角
负角
(,)
一、在直角坐标系内讨论角，角的顶点与 原点重合，角的始边 与 x轴的非负半轴重合。逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。
（2）象限角和轴线角.象限角的前提是角的顶点与 直角坐标系中的坐标原点重合，始边与轴的非负半 轴重合，这样当角的终边在第几象限，就说这个角 是第几象限的角，若角的终边与坐标轴重合，这个 角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角.
（3）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角 叫终边相同的角，所有与角终边相同的角（包含
2
（3）、终边落在象限平分线上的角度集合：
{ | k , k Z}
42
典型例题
例1.若α是第三象限的角，问α/2是哪个象限的 角?2α是哪个象限的角?
各个象限的半角范围可以用下图记 忆，图中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分别指第 一、二、三、四象限角的半角范围；
例1
设α角是第二象限且满足｜cosα｜ cosα，
①若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧
所在的弓形面积.
②若扇形的周长是一定值C(C＞0)，当α为多少
弧度时，该扇形的面积有最大值?并求出这一最大 值?
指导:扇形的弧长和面积计算公式都有角度制和弧度制 两种给出的方式，但其中用弧度制给出的形式不仅易 记，而且好用.在使用时，先要将问题中涉及到的角度 换算为弧度.
二、象限角：角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这 个角是第几象限角。
注：如果角的终边在坐标轴上，则该角不是象限角。
三、所有与角 终边相同的角，连同角 在内，构成集合：
S { | k 360 , k Z} （角度制）
{ | 2k , k Z} （弧度制）
例1、求在 0 到 360（ 0到2）范围内，与下列各角终边相同的角