备战中考数学专题训练---一元二次方程的综合题分类及答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知关于x 的二次函数22(21)1y x k x k =--++的图象与x 轴有2个交点.
（1）求k 的取值范围；
（2）若图象与x 轴交点的横坐标为12,x x ，且它们的倒数之和是32-，求k 的值. 【答案】（1）k ＜-
34 ；（2）k=﹣1 【解析】
试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△= b 2-4ac 的范围可求解出k 的值；
（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k 的值.
试题解析：（1）∵二次函数y=x 2-（2k-1）x+k 2+1的图象与x 轴有两交点，
∴当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0有两个不相等的实数根．
∴△=b 2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k 2+1）＞0．
解得k ＜-34
； （2）当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0．
则x 1+x 2=2k-1，x 1•x 2=k 2+1，
∵=== 32
-， 解得：k=-1或k= 13
-（舍去），
∴k=﹣1
2．已知为正整数，二次方程的两根为，求下式的值：
【答案】
【解析】
由韦达定理，有，．于是，对正整数，有
原式=
3．关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．
（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2．
【解析】
试题分析：（1）本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
试题解析：（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,
x=有一个解；
②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，
△=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k＋8="4(k-1)" ²＋4＞0
方程有两不等根
综合①②得不论k为何值，方程总有实根
（2）∵x ₁＋x ₂＝,x ₁ x ₂=
∴S=++ x1+x2
=
=
=
=
=2k-2=2，
解得k=2，
∴当k=2时，S的值为2
∴S 的值能为2，此时k 的值为2．
考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．
4．沙坪坝区各街道居民积极响应“创文明城区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A ，B 两个社区，B 社区居民人口数量不超过A 社区居民人口数量的2倍． （1）求A 社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查A ，B 两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A 社区有1.2万人知晓，B 社区有1.5万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A 社区的知晓人数平均月增长率为m %，B 社区的知晓人数第一个月增长了45
m %，第二月在第一个月的基础上又增长了2m %，两个月后，街道居民的知晓率达到92%，求m 的值．
【答案】（1）A 社区居民人口至少有2.5万人；（2）m 的值为50．
【解析】
【分析】
（1）设A 社区居民人口有x 万人，根据“B 社区居民人口数量不超过A 社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可；
（2）A 社区的知晓人数+B 社区的知晓人数=7.5×92%，据此列出关于m 的方程并解答．
【详解】
解：（1）设A 社区居民人口有x 万人，则B 社区有（7.5-x ）万人，
依题意得：7.5-x ≤2x ，
解得x ≥2.5．
即A 社区居民人口至少有2.5万人；
（2）依题意得：1.2（1+m %）2+1.5×（1+
45m %）+1.5×（1+45
m %）（1+2m %）=7.5×92%， 解得m =50
答：m 的值为50．
【点睛】
本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程．
5．已知关于x 的一元二次方程()2
20x m x m -++=（m 为常数） （1）求证：不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根是2，求m 的值及方程的另一个根．
【答案】(1)见解析；
(2) 即m 的值为0，方程的另一个根为0.
【解析】
【分析】
（1）可用根的判别式，计算判别式得到△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4＞0，则方程有两个不相等
实数解，于是可判断不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的另一个根为t ，利用根与系数的关系得到2+t=
21
m + ,2t=m,最终解出关于t 和m 的方程组即可.
【详解】
(1)证明：
△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4，
∵无论m 为何值时m 2≥0，
∴m 2+4≥4＞0，
即△＞0，
所以无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根.
(2)设方程的另一个根为t ， ()220x m x m -++=
根据题意得2+t=
21
m + ,2t=m ， 解得t=0，
所以m=0，
即m 的值为0，方程的另一个根为0.
【点睛】
本题考查根的判别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过程中注意对△的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题（2）可先设另一个根为t ，用根于系数关系列出方程组，在求解.
6．关于x 的方程()2204
k kx k x +++=有两个不相等的实数根． ()1求实数k 的取值范围；
()2是否存在实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）1k >-且0k ≠；（2）不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根．
【解析】
【分析】
()1由于方程有两个不相等的实数根，所以它的判别式0>，由此可以得到关于k 的不等
式，解不等式即可求出k 的取值范围. ()2首先利用根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再由方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，可以得出关于k 的等式，解出k 值，然后判断k 值是否在()1中的取值范围内.
【详解】
解：()1依题意得2(2)404k k k =+-⋅>， 1k ∴>-，
又0k ≠，
k ∴的取值范围是1k >-且0k ≠；
()2解：不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，
理由是：设方程()2204
k kx k x +++=的两根分别为1x ，2x ， 由根与系数的关系有：1212214k x x k x x +⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， 又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，
212
k k +∴-=， 43
k ∴=-， 由()1知，1k >-，且0k ≠，
43
k ∴=-不符合题意， 因此不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根．
【点睛】
本题重点考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。

7．已知关于x 的一元二次方程有两个实数x 2+2x+a ﹣2=0，有两个实数根x 1，x 2． （1）求实数a 的取值范围；
（2）若x 12x 22+4x 1+4x 2=1，求a 的值．
【答案】（1）a≤3；（2）a=﹣1．
【解析】
试题分析：（1）由根的个数，根据根的判别式可求出a 的取值范围；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，代换求值即可得到a 的值.
试题解析：（1）∵方程有两个实数根，
∴△≥0，即22﹣4×1×（a ﹣2）≥0，解得a≤3；
（2）由题意可得x 1+x 2=﹣2，x 1x 2=a ﹣2，
∵x 12x 22+4x 1+4x 2=1，
∴（a﹣2）2﹣8=1，解得a=5或a=﹣1，
∵a≤3，
∴a=﹣1．
8．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．
（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？
（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？
【答案】(1)2000；(2)2米
【解析】
【分析】
（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程；
（2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程
【详解】
解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，
根据题意得：4600022000
x
-
﹣
4600022000
1.5x
-
= 4
解得：x=2000，
经检验，x=2000是原方程的解;
答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；（2）设人行道的宽度为x米，根据题意得，（20﹣3x）（8﹣2x）=56
解得：x=2或x=26
3
（不合题意，舍去）．
答：人行道的宽为2米．
9．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0…①
（1）若x＝﹣1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根；
（2）对于任意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由．
【答案】（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析.
【解析】
试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m的值，然后解方程即可求得方程的另一
个根；
（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断．
(1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1
∴2--2=0．
∴
∴另一根是2；
(2)∵，
∴方程①有两个不相等的实数根．
考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程
点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根
10．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a＞0，b＞0时：
∵（a b
-）2=a﹣2ab+b≥0
∴a+b≥2ab，当且仅当a=b时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
（1）请直接写出答案：当x＞0时，x+1
x
的最小值为．当x＜0时，x+
1
x
的最大值
为；
（2）若y=
2710
1
x x
x
++
+
，（x＞﹣1），求y的最小值；
（3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值．
【答案】（1）2；﹣2．（2）y的最小值为9；（3）四边形ABCD面积的最小值为25．【解析】
【分析】
（1）当x＞0时，按照公式a+b ab a=b时取等号）来计算即可；当x＜0
时，﹣x＞0，
1
x
-＞0，则也可以按公式a+b ab a=b时取等号）来计算；
（2）将y
2710
1
x x
x
++
=
+
的分子变形，分别除以分母，展开，将含x的项用题中所给公式
求得最小值，再加上常数即可；
（3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，由三角形面积公式可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，用含x 的式子表示出S △AOD ，再表示出四边形的面积，根据题中所给公式求得最小值，加上常数即可．
【详解】
（1）当x ＞0时，x 1x +≥=2； 当x ＜0时，﹣x ＞0，1x -＞0．
∵﹣x 1x -≥=2，∴则x 1x +=-（﹣x 1x -）≤﹣2，∴当x ＞0时，x 1x +的最小值为 2．当x ＜0时，x 1x +
的最大值为﹣2． 故答案为：2，﹣2．
（2）∵x ＞﹣1，∴x +1＞0，∴y 27101x x x ++=+()2(1)5141
x x x ++++=+=（x +1）
41x +++5=4+5=9，∴y 的最小值为9． （3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9 则由等高三角形可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，∴x ：9=4：S △AOD ，∴S △AOD 36x =
，∴
四边形ABCD 面积=4+9+x 36x +≥=25． 当且仅当x =6时，取等号，∴四边形ABCD 面积的最小值为25．
【点睛】
本题考查了配方法在最值问题中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用．。