钢构件的排料问题

第八届华中地区大学生数学建模邀请赛

承诺书

我们仔细阅读了第八届华中地区大学生数学建模邀请赛的竞赛细则。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

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我们的参赛报名号为： 105141501

参赛队员 (签名) ：

队员1：

队员2：

队员3：

工业与应用数学学会

第八届华中地区大学生数学建模邀请赛组委会

编号专用页选择的题号： A题

参赛的编号：105141501

（以下容参赛队伍不需要填写）

竞赛评阅编号：

题目： 钢构件的排料问题

摘 要

排样问题普遍存在于工业生产的许多领域，一个好的排样方案可以有效提高原材料利用率，降低生产成本，直接给企业带来经济效益。由此本文根据单板规则零件、单板不规则零件和双板规则零件的特点提出了基于矩形包络算法与启发式排样算法的一种优化排样布局的数学模型。

针对问题一，本文首先制定了一套含有定序规则、定位规则、排放规则的排样布局规则，使得在给定的矩形板材上，尽可能多地排放所需的矩形件，然后根据这一规则提出的启发式排样算法，得出了零件的摆放方式，并且求出其板材的利用率为：

11()()max max k

k

i i i

i i

i i l w n s n f LW C LW C ====--∑∑=94.6%，

较好地解决了在满足“一刀切”等约束条件下的数控下料二维矩形件优化排样问题。

针对问题二，本文运用最小矩形包络算法，将不规则图形转化为规则图形。一方面，本文将不规则的凹边形转化为其凸包，然后直接将所有的凸图形进行矩形包络；另一方面，先对不规则图形进行聚合，然后对聚合后的图像进行矩形包络。比较两种情况下，包络矩形产生的废料大小，得出废料较少的最优包络矩形，最后运用启发式排样优化模型对其进行排样，求出其板材的利用率为99.23%，较好的解决了不规则零件排样问题。

针对问题三， 本文改动问题一中模型的相关参数，将单板规则零件下料的排料优化模型转化为双板规则零件下料的排料优化模型，最后求出矩形零件的摆放方式，求出其板材的利用率为96.413%，较好的解决了双板规则图形的排样问题。最后由于板材剩余面积较大，本文进行了探究实验，增加零件的数量，最后得出两块板材的平均利用率为97.5%。

实践证明，增大板材尺寸，有利于提高材料利用率。因此，在生产中如果实际情况允许，尽量将多个任务合并在一起排样，从而增加零件总数，使下料利用率达到理想水平，同时提高生产效率。

关键词：排样布局规则；启发式排样算法；最小矩形包络；零件排样

一、问题重述

在钢构件制造产品的生产过程中，依照产品零件尺寸从板料中截取大小适当的零件过程称之为排料，也称之为下料。排料是钢构件制造的第一道工序。在这道工序中，不同的排料方案具有不同的材料利用率，而原材料的利用率直接影响产品的成本。对于一个年消耗大量钢材的生产单位，若能够提高原料利用率的1%，那么其节约的钢材成本是可观的。因此，降低废料率提高原材料利用率是钢构件生产企业追求的目标。根据实际情况，板材排料又可分为两种：一是规则形状的零件排料，一是不规则形状的零件排料。

规则形状零件是指矩形零件。其描述一般只需用矩形的长和宽。规则形状零件的排料问题的实质是研究如何组合零件摆放问题，使得在整个原料上摆放大量的不同长和宽的零件产生的废料最少、整料和余料的利用率最高。排放时，其零件间的搭接关系的处理相对容易，只需考虑长、宽两个因素（含预留的损耗量）。

不规则零件在这里是指多边形零件（一般的意义是指由直线、圆、弧、孔等的组合形），相对矩形零件排料而言，不规则零件的直接排料要复杂得多。

另外由于切割工艺的要求，切割只能实行“一刀切”的工艺（在整料或余料中，从一边的某点到另外一边某点的连线一次切割，但可以在切割下来的板料中再次切割）。板材的利用率就是所有零件面积之和与在一刀切工艺后继续切割的那部分板材面积的比值。

问题1: 对1板料和若干规则形状零件（板料和零件参数见附件1），如何在板料中摆放零件使其板料的利用率最高。

问题2: 对1板料和若干不规则形状零件（板料和零件参数见附件2），如何在板料中摆放零件使其板料的利用率最高。

问题3: 对2板料和若干规则形状零件（板料和零件参数见附件3），如何在板料中摆放零件使其板料的利用率最高。

二、问题分析

2.1问题一的分析

为了在给定长度和宽度的板材上，尽可能多地排放所需的矩形件，使得所需的板材尽可能的少，本文拟制订一种矩形件排样规则。

由于在数控下料过程中要满足“一刀切”的工艺要求，且为了操作简单易行，速度快且能够融合各种限制条件和具体目标，使得在整个原料上摆放大量的不同长和宽的零件产生的废料最少、整料和余料的利用率最高，故本文拟采用启发式算法排样模型，摆放出不同大小的矩形零件。

2.2问题二的分析

二维不规则多边形零件的排料问题的复杂性主要是由多边形的不规则几何形状和不同次序组合引起的。由于零件形状不规则、排料过程中旋转方向多样、排列组合复杂、以及计算量非常大，所以本文准备将不规则形状零件排料问题转化为矩形排料问题。

为了使不规则形状较易于转化为规则零件，本文欲将凹边形现转化其凸包，在进行求解。

又由于当不规则形状零件的面积和矩形面积相差很大时，会降低板材的利用率，浪费板材，故本文拟采用最小矩形包络法，使得排料结果较优，增加板材利用率。

2.3问题三的分析

由于本文拟做的启发式算法排样优化模型，简单易行，速度快且能够融合各种限制条件和具体目标等特点，因此在解决双板规则零件的优化时，本文将改动相关的参数，也将采用该算法模型。

三、 问题假设

（1）假设切割板料刀片厚度忽略不计，不会对切割后板料面积产生影响。

（2）假设在切割过程中，板料与零件均无磨损边缘。

（3）假设切割时造成板料在被切割中产生的的耗损，而导致原料总面积减少。

（4）假设板材厚度与零件厚度一样，两者表面能够无缝接触。

（5）假设板料不会因为外界环境高温，受潮等产生形变。

四、 符号说明

L ：板材的长

W ：板材的宽

k ：板材的数量足以排下所有要排的矩形件数

i n ：第i 种矩形件的个数

i l ：第i 种矩形件的长度

i w ：第i 种矩形件的宽度

i s ：第i 种矩形件的面积，且i i l w

i n ：第i 类待排矩形件的个数

C ：余料可利用面积

f ：板材利用率

五、 模型的建立与求解

5.1 问题一的建模与求解：单板规则零件下料的排料优化模型

根据如何摆放不同大小的矩形零件，使得在整个原料上摆放大量的不同长和宽的零件产生的废料最少、整料和余料的利用率最高，发现其排样算法主要有：