信度理论

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突出重点，各个击破
2.贝叶斯保费 2.贝叶斯保费 1）问题：对一单位风险保单，已知过去 前 n 年的赔付额分 别 为 { X j , j = 1, 2, 如何来估计该保单下一年的赔付额 ．．．．．．．．．．．．．．．X n +1 。 2）定 义 ：在单位风险 前提 下，为在已知 前 n 年赔付数据 { X j , j = 1, 2, 年赔付额 X n +1 的条件期望，即 贝叶斯 保费为： E ( X n +1 X = x ) 3） 贝叶斯 保费 一般方方法： 一般方方法： E ( X n +1 X = x ) = ∫ xn +1 f X n+1 X ( X n +1 x ) dxn +1
(1 − r )µ ≤ X ≤ (1 + r )µ
∃, P (1 − r )µ ≤ X ≤ (1 + r )µ ≥ p X −µ y p = inf y : P ≤ y ≥ σ n y
2 yp rµ n p ⇔ ≥ y p , 记λ 0 = r σ
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信度理论
第一节 信度理论初步 经验费率 ：用于消除风险的非同质性而发展起来的一种定量化方法，允许保 险人根据过去的经验数据来调整未来保费。投保人缴纳的保费称为 毛保费 ，单位 风险保单所缴纳的毛保费称为 费率 。 1.提出问题 1.提出问题 过去 n 年赔付数据 X 1 , X 2 , , X n 相互独立同分布，且期望值为 µ ，平均赔付额为
−∞ ∞
特别地：当 θ = 0 时， E ( X n +1 X = x ) = ∫ µ n +1 (θ ) π Θ X (θ x ) dθ
0
∞
第三节 信度保费 1.原理 1.原理： 原理：用前 n 年赔付额的线性组合 α 0 + ∑ α j x j 逼近 µn +1 ( Θ ) 。
j =1
n , n ) 使 Q = E µn +1 ( Θ ) − α 0 − ∑ α j x j 达到最小， j =1 2
2
σ和µ 在上面的式子中，是针对每一年赔付额而言；σ 0和µ 0 是针对每一笔赔额。
例 已知总赔付额服从复合泊松分布，每笔赔付额的概率密度函数为
f ( y ) = 5 y −6 , y > 1
对于该总赔付额期望的估计， 完全信度的水平为(5%,0.9)时可以计算得到索赔频率的最 小值。将该条件用于考虑利用索赔次数来估计索赔频率的完全信度时，完全信度的水平 为 ( r ,95% ) 。采用正态分布近似总赔付额及索赔次数分布，计算 r 。 解： µ = E ( y ) = ∫ 5 y −5 dy =
p
p (1 + p ) 2 yp
0.90 0.95 0.99 0.999 0.95 0.975 0.995 0.9995 1.645 1.96 2.576 3.29
1
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3）保单数目 n ： σ n ≥ λ0 µ 记n F 或在复合泊松颁布条件下，
2 λ0 σ 0 1 + n≥ λ µ0
µσ 12 +σ 22 ⋅ n ⋅ x σ 12 σ 22 ⋅ n 结论 2： E θ X = x ＝ = µ + x = Zx + (1 − Z ) µ σ 12 + σ 22 ⋅ n σ 12 + σ 22 ⋅ n σ 12 + σ 22 ⋅ n
其中 信度因子 ： Z =
n n + σ 12 σ 22
{
}
n 根据标准正态分布近似有：Z = min ,1 ，其中 n F 是表示满足完全信度时的 n F 最低保单数目。
例 对某一团体保险，过去每一个体的赔付额的期望值为 175，标准差为 140。某保 险人已承保该团体两年时间， 第 1 年承保个体数为 100 人， 第 2 年承保个体数为 110 人。 经计算得到这两年时间该团体的每个个体的平均赔付额为 150 元。 确定该数据是否满足 水平（0.05,90%）的完全信度；如不满足，计算部分信度因子，且计算下年承保的 125 个个体的保费。 （正态近似）
因为 E (Θ ) =
α ，则 Θ 的条件期望为： β
E [Θ N = k ] =
α +k α k = (1 − Z ) + Z β +n β n
其中 信度因子 ： Z =
n k α （ 为观测到索赔频率， 为先验的索赔频率） 。 n+β n β
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例 某险种的结构参数为 Θ ，每张保单的索赔次数满足定理假定。保险人根据每 张保单的索赔频率 0.148 计算保费，并有 var(Θ ) = 0.0185 。已知接下来的第 1 年 共有 2427 张单位风险保单，总计发生 320 笔赔案。
第二节 贝叶斯保费 本节所运用的基本方法是 Bayes 概率，在理论上讲述 Bayes 保费，利用信度保费逼 近 Bayes 保费，其中运用了信度保费的参数估计方法。 1.条件概率的应用 1.条件概率的应用 1）条件概率公式： P( A B ) =
P( Ai )P(B Ai ) P( A,B ) = P (B ) ∑ P( Ai )P(B Ai )
n µ n = = 0.55 < 1 ，则可判定在水平（0.05,90%） n F σ λ0 ~ 下不满足完全信度。下一年的保费为 C ， ~ C = 125[175(1 − Z ) + 150 Z ] = 20156 σ 解：根据 n F = λ 0 µ ,Z =
2
2
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e − nθ (nθ ) P (N = k Θ = θ ) = , k = 0,1, k!
k
.
根据上面假设，可推出索赔次数 N = k 条件下的参数 Θ 的条件分布。 定理：在条件 N = k 下， Θ ~ Gamma(α + k , β + n ) 的 Γ 分布。条件密度函数为：
β + n )α + k e − (β + n )θ θ α + k −1 ( f Θ N (θ k ) = ,θ > 0 Γ(α + k )
α = 0.148 β
α var(Θ ) = 2 = 0.0185 2 β
解得 β = 432.4, α = 64.0
在给定 k = 320, n = 2427 条件下，
E [Θ N = k ] =
α +k 64.0 + 320 = = 0.134 β + n 432.4 + 2427
~ ~, β ，其中 2）在得到第 2 年的数据后，可知 Θ ~ Gamma α ~ ~ α = 384.0 + 951 + 1335.0; β = 2859.4 + 6982 = 9841.4 ~ α 索赔频率估计为 ~ = 0.136 。
j =1
ˆ j Cov ( X i , X j ), i = 1, 2, Cov ( X j , X n +1 ) = ∑ α
j =1
n
,n
4.定理 4.定理 2：某险种各年风险度量分别记为 ( m j , j = 1, 2,
5
) ，各年度单位风险平均赔付额为
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X j α , β ) ，则
f Θ (θ ) =
β α e − βθ θ α −1 ,θ > 0 Γ(α )
上面假设相应于 NP(α ,1 β ) 的分布。 对于 n 张保单，在一年内总索赔次数记为 N 。假设在给定 Θ = θ 的条件下，各 保单索赔次数相互独立，都服从 Poisson(θ ) ，同时 Θ ~ Gamma(α , β ) 。那么总索赔次 数 N ~ Poisson(nθ ) ：
i
2）条件期望公式：
E [X ] = E [E (X Y )], E [ f (Y )Y ] = f (Y ) E [Xf (Y )] = E [EXf (Y )Y ] = E [ f (Y )E ( X Y )], E [X 1 X 2 Y ] = E [X 1 Y ]E [X 2 Y ]
3）索赔频率修正： 泊松泊松 -伽玛模型 核心问题：对于某一风险，已知获得该风险过去几年的经验数据，考虑如何 估计该风险下一年的索赔频率，即计算该风险下一年索赔次数的期望。 在 Θ = θ 的 条 件 下 ， 某 保 险 每 张 保 单 索 赔 次 数 服 从 Poisson(θ ) ， 而
1 ∞ ∞
5 4 5 48
σ 2 = Var ( y ) = ∫ 5 y −4 dy − E 2 ( y ) =
1
3.部分信度 3.部分信度 当 n ≤ n F 时，在水平 (r , p ), r > 0,0 < p < 1 下，若对 0＜Z＜1 ∃ ：
P Z µ − rµ ≤ X ≤ Z µ + rµ = p
E ( X j Θ) = µ (Θ) Var ( X j Θ ) = w ( Θ ) + n + 1 年信度保费： ZX + (1 − Z ) µ
* 其中 µ = E µ ( Θ ) , a = Var µ ( Θ ) ,v = E v ( Θ ) ,w = E w ( Θ ) ,m = ∑
[1]
{
}
对于完全信度，在水平 (r , p ), r > 0,0 < p < 1 下我们有以下 三种情况 ： 1）赔付额的变异系数 σ µ ：
σ r n n ≤ = µ yp λ0
2）样本方差 σ 2 n ：
Var X = σ 2 n ≤ µ 2 λ0