(完整版)排列组合方法归纳

排列组合方法总结

1、【特殊元素、特殊位置】优先法

在排列、组合问题中，如果某些元素或位置有特殊要求，则一般需要优先满足要求。

例：有0,1,2,3,4,5可以组成没有重复的五位奇数的个数为（ ）

解析：五位奇数的末尾必须是奇数，还有首位不能为0，都应该优先安排，以免不合要求的

元素占了这两个位置，先安排末位共有13C ；然后排首位共计有1

4C ；最后排其他位置共计有

34A ；由分步计数原理得.288341413=A C C 2、【相邻问题】捆绑法

题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.

例：,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排

法种数有（ ）

解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，

3、【相离问题】插空法

元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的

几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

例：七人并排站成一行，如果甲乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数有（ ）

解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有2

6A 种，不同的排法种

数是52563600A A =种 4、【选排问题】先选后排法

从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先选后排法.

例：四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？

解析：先取:四个球中选两个为一组(捆绑法)，其余两个球各自为一组的方法有2

4C 种，再排：

在四个盒中每次排3个有34A 种，故共有2344144C A =种. 5、【相同元素分配问题】隔板法

将n 个相同的元素分成m 份(m,n 均为正整数)，每份至少一个元素，可以用 m-1块隔板插

入n 个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为:1

1--m n C 。

例：（1）10个三好生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？

解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至

少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案

故共有不同的分配方案为为6984C =种 （2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）

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6、【平均分组问题】消序法

平均分成的组，不管他们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要消除顺序（除以n n A ，n 为均分的组数），避免重复计数。

例：6本不同的书平均分成3组，每堆2本的分法数有（ ）种

解析：分三步取书得224426C C C 中分法，但是这里出现重复计数的现象。除去重复计数3

3A ，即共有33224426A C C C 7、【有序分配问题】逐分法

有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组

例：将12名警察分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有( )种

A 、4

441284C C C B 、44412843C C C C 、4431283

C C A

D 、444128433C C C A 答案：A 8、【可重复的排列问题】求幂法（分步）

允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地n 个不同元素排在m 个不同位置的排列数有n m 种方法.

例：把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？

解析：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种

9、【“至少”“至多”问题等用】排除法（也可用分类列举法）

例：从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有（ ）种

解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，

故不同的取法共有33394570C C C --=种,选.C

解析2：正向思考，至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；

甲型2台乙型1台；故不同的取法有2112545470C C C C +=台,选C .

10、【多元问题】分类列举法

例：（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有( )

解析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有

55A ,113113113134

3333323333,,,A A A A A A A A A A A 个，合并总计300个,选B （2）30030能被多少个不同偶数整除？

解析：先把30030分解成质因数的形式：30030=2×3×5×7×11×13；依题意偶因数2必取，

3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为：

01234555555532C C C C C C +++++=个.