浙江省宁波市镇海中学2020-2021学年第一学期期末考试高一数学试卷
2020-2021学年浙江省宁波市高一(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年浙江省宁波市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．集合U＝{1，2，3，4，5}，S＝{1，4，5}，T＝{2，3，4}，则S∩（∁U T）＝（）A．{1，5}B．{1}C．{1，4，5}D．{1，2，3，4，5} 2．“a＞0”是“函数f（x）＝ax+b（a≠0）单调递增”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．已知某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（）A．B．πC．D．4．已知非零实数a，b满足a＞b，则（）A．B．C．2﹣a＜2﹣b D．ln（|a|）＞ln（|b|）5．已知函数，则＝（）A．﹣2B．﹣1C．D．16．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）＝4ax2+4x﹣1，∀x∈（﹣1，1），f（x）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．a＜﹣1C．D．a≤﹣18．已知函数f（x）＝log a（x∈（r，a+2））的值域为（1，+∞），则（）A．B．C．D．二、选择题（共4小题）.9．下列选项不正确的是（）A．既是奇函数又是偶函数的函数一定是f（x）＝0（x∈R）B．函数在定义域内是减函数C．所有的周期函数一定有最小正周期D．函数f（x）＝e lnx和函数有相同的定义域与值域10．如图所示的某池塘中的浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系为：y＝a t．有以下几个判断，正确的是（）A．a＝2B．浮萍从5m2蔓延到15m2只需要经过1.5个月C．在第6个月，浮萍面积超过30m2D．若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1+t2＝t311．根据已给数据：x 1.5 1.53125 1.5625 1.625 1.753x的近似值 5.196 5.378 5.565 5.961 6.839在精确度为0.1的要求下，方程3x＝x+4的一个近似解可以为（）A．﹣1B．1.5C．1.562D．1.712．已知f（x）＝sin2x+sin2（x+α）+sin2（x+β），其中α，β为参数，若对∀x∈R，f（x）恒为定值，则下列结论中正确的是（）A．B．f（x）＝2C．α+β＝πD．满足题意的一组α，β可以是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知sinα＝，则sin（α+β）＝．14．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜），其部分图象如图所示，则f（x）＝．15．已知a，b都是正数，若a+b+ab＝3，则a+b的最小值为．16．已知1＜a＜4，函数f（x）＝x+，使得f（x1）f （x2）≥80，则a的取值范围．四、解答题（共6小题）.17．（Ⅰ）求值：若x log32＝1，求2x+2﹣x的值；（Ⅱ）化简：．18．已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{x|x2+4mx﹣5m2＜0}，其中m∈R．（Ⅰ）若B＝{x|﹣5＜x＜1}，求实数m的值；（Ⅱ）已知命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分条件，且m＞0，求实数m的取值范围．19．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线y＝2x（x≥0）上．（Ⅰ）求cos2α的值；（Ⅱ）若角β满足tan（2α﹣β）＝1，求tan（α﹣β）的值．20．已知函数f（x）＝sin x cos x+cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期，并写出函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再把图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，求满足g（x）≥1的实数x的集合．21．为了预防某流感病毒，某学校对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示，在药物释放的过程中，y与x成正比：药物释放完毕后，y与x的函数关系式为（a为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式．（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？22．已知函数f（x）＝x2+（x﹣1）|x﹣a|．（Ⅰ）若a＝1，解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）若函数f（x）在[﹣2，2]上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅲ）记函数f（x）在[﹣2，2]上最大值为g（a），求g（a）的最小值．参考答案一、选择题（共8小题）.1．集合U＝{1，2，3，4，5}，S＝{1，4，5}，T＝{2，3，4}，则S∩（∁U T）＝（）A．{1，5}B．{1}C．{1，4，5}D．{1，2，3，4，5}解：集合U＝{1，2，3，4，5}，S＝{1，4，5}，T＝{2，3，4}，所以∁U T＝{1，5}，所以S∩（∁U T）＝{1，5}．故选：A．2．“a＞0”是“函数f（x）＝ax+b（a≠0）单调递增”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解：对于一次函数f（x）＝ax+b，（a≠0），若函数f（x）单调递增，则a＞0，反之，“a＞0”能推出“函数f（x）＝ax+b单调递增”，故“a＞0”是“函数f（x）＝ax+b（a≠0）单调递增”的充分必要条件，故选：B．3．已知某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（）A．B．πC．D．解：∵扇形的圆心角α为，弧长l为，∴扇形的半径r＝＝2，∴扇形的面积S＝lr＝×2×＝．故选：A．4．已知非零实数a，b满足a＞b，则（）A．B．C．2﹣a＜2﹣b D．ln（|a|）＞ln（|b|）解：对于A，取a＝，b＝，可得a+＝，b+＝，a+＜b+，故A错误；对于B，若a＞0＞b，则＞，故B错误；对于C，由a＞b，可得﹣a＜﹣b，所以2﹣a＜2﹣b，故C正确；对于D，取a＝，b＝﹣2，则ln（|a|）＜ln（|b|），故D错误．故选：C．5．已知函数，则＝（）A．﹣2B．﹣1C．D．1解：因为函数，所以，故＝f（﹣1）＝（﹣1）2＝1．故选：D．6．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．解：函数的定义域为{x|x≠0}，f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除D，f（1）＝0，排除A，B，故选：C．7．已知函数f（x）＝4ax2+4x﹣1，∀x∈（﹣1，1），f（x）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．a＜﹣1C．D．a≤﹣1解：当a＝0时，f（x）＝4x﹣1＜0，解得，故当x＝时，f（x）＞0，故不符合题意；当a＞0时，则有，无解；当a＜0时，则有①，或②，或△＝16+16a＜0③，解得①无解，②无解，③a＜﹣1，故a＜﹣1，综上所述，实数a的取值范围是a＜﹣1．故选：B．8．已知函数f（x）＝log a（x∈（r，a+2））的值域为（1，+∞），则（）A．B．C．D．解：令，因为函数h（x）在（r，a+2）上单调递增，所以，当a＞1时，函数f（x）在（r，a+2）上单调递增，此时值域不可能为（1，+∞），当0＜a＜1时，函数f（x）在（r，a+2）上单调递减，要使得值域为（1，+∞），则有，解得r＝1，．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．下列选项不正确的是（）A．既是奇函数又是偶函数的函数一定是f（x）＝0（x∈R）B．函数在定义域内是减函数C．所有的周期函数一定有最小正周期D．函数f（x）＝e lnx和函数有相同的定义域与值域解：对于A，若y＝f（x）既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f（x）＝0，但不一定x∈R，只要定义域关于原点对称即可，故A错误；对于B，函数的减区间为（﹣∞，0），（0，+∞），但函数在定义域内不是减函数，故B错误；对于C，若一个函数是周期函数，那么它不一定有最小正周期，例如常数函数f（x）＝1是周期函数，但无最小正周期，故C错误；对于D，函数f（x）＝e lnx定义域为（0，+∞），值域为（0，+∞），函数定义域为（0，+∞），值域为（0，+∞），故D正确．故选：ABC．10．如图所示的某池塘中的浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系为：y＝a t．有以下几个判断，正确的是（）A．a＝2B．浮萍从5m2蔓延到15m2只需要经过1.5个月C．在第6个月，浮萍面积超过30m2D．若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1+t2＝t3解：由题意，浮萍蔓延的面积y（m2）与时间（t月）的关系：y＝a t（a＞0且a≠1），由函数图象可知函数过点（1，2），∴a1＝2，a＝2，故A正确；函数的解析式为：y＝2t，由，得t1＝log25，由，得t2＝log215，而t2﹣t1＝log215﹣log25＝log23＝＞，故B错误；当t＝5 时，y＝26＝64＞30，故第6个月时，浮萍的面积超过30m2，故C正确；由，，，得t1＝1，t2＝2，t3＝6，则t1+t2＝t3成立，故D正确．故选：ACD．11．根据已给数据：x 1.5 1.53125 1.5625 1.625 1.753x的近似值 5.196 5.378 5.565 5.961 6.839在精确度为0.1的要求下，方程3x＝x+4的一个近似解可以为（）A．﹣1B．1.5C．1.562D．1.7解：令f（x）＝3x﹣x﹣4，由已知表格中的数据，可得：f（1.5）＝5.196﹣1.5﹣4＝﹣0.304＜0，f（1.53125）＝5.378﹣1.53125﹣4＝﹣0.15325＜0，f（1.5625）＝5.565﹣1.5625﹣4＝0.0025＞0，f（1.625）＝5.961﹣1.625﹣4＝0.336＞0，f（1.75）＝6.839﹣1.75﹣4＝1.089＞0．∵精确度为0.1，而f（1.5）•f（1.5625）＜0，且|1.5625﹣1.5|＝0.0625＜0.1，f（1.5）•f（1.625）＜0，且|1.625﹣1.5|＝0.125＞0.1，f（1.53125）•f（1.625）＜0，且|1.625﹣1.53125|＝0.09375＜0.1，f（1.53125）•f（1.75）＜0，且|1.75﹣1.53125|＝0.21875＞0.1，∴[1.5，1.625]内的任何一个数，都可以看作是方程3x＝x+4的一个近似解．结合选项可知，B、C成立．故选：BC．12．已知f（x）＝sin2x+sin2（x+α）+sin2（x+β），其中α，β为参数，若对∀x∈R，f（x）恒为定值，则下列结论中正确的是（）A．B．f（x）＝2C．α+β＝πD．满足题意的一组α，β可以是解：＝，由题意，，两式平方相加可得，所以或．当时，2α﹣2β＝符合题意，故选项A，D正确，B，C错误．故选：AD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知sinα＝，则sin（α+β）＝．解：sinα＝，所以cosα＝＝＝，sinβ＝＝＝，所以sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ＝×（﹣）+×＝．故答案为：．14．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜），其部分图象如图所示，则f（x）＝2sin（x+）．解：由图象可知A＝2，＝7﹣3＝4，所以T＝8，所以ω＝＝，所以f（x）＝2sin（x+φ），由五点作图法可得×3+φ＝π，解得φ＝，所以f（x）的解析式为f（x）＝2sin（x+）．故答案为：2sin（x+）．15．已知a，b都是正数，若a+b+ab＝3，则a+b的最小值为2．解：∵a、b都为正数且满足a+b+ab＝3，∴a+b+≥3等号当a＝b时成立．∴（a+b）2+4（a+b）﹣12≥0∴a+b≥2或a+b≤﹣6（舍）a+b的最小值为2故答案为216．已知1＜a＜4，函数f（x）＝x+，使得f（x1）f （x2）≥80，则a的取值范围．解：f′（x）＝1﹣＝，令f′（x）＝0，得x＝±3，所以在（1，3）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（3，4）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，f（1）＝10，f（4）＝6.25，f（3）＝6，若∃x1∈[1，a]，x2∈[a，4]，使得f（x1）f（x2）≥80，只需x1∈[1，a]，x2∈[a，4]，使得[f（x1）f（x2）]max≥80，而f（x1）max＝f（1）＝10，所以f（x2）max≥8，过点B作BC⊥y轴，与函数f（x）的图象交于点C，令x+＝6.25，解得x＝4或2.25，所以当x∈[2.25，4]时，f（x）∈[6，6.25]，所以x2∈（1，2.25），所以a∈（1，2.25），才能使得x2∈[a，4]时，f（x2）max≥8，即f（a）≥8，所以a+≥8，解得a≥4+（舍去）或a≤4﹣，所以1＜a≤4﹣，所以实数a的取值范围为（1，4﹣]，故答案为：（1，4﹣]．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（Ⅰ）求值：若x log32＝1，求2x+2﹣x的值；（Ⅱ）化简：．解：（I）由题意，，得2x＝3，得．（Ⅱ）．18．已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{x|x2+4mx﹣5m2＜0}，其中m∈R．（Ⅰ）若B＝{x|﹣5＜x＜1}，求实数m的值；（Ⅱ）已知命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分条件，且m＞0，求实数m的取值范围．解：（I）由题意，﹣5，1是方程x2+4mx﹣5m2＝0的两根，由韦达定理得：，解得m＝1，经检验符合条件．（Ⅱ）由题意，A＝{x|﹣1＜x＜4}，A⊆B，因为m＞0，则B＝{x|﹣5m＜x＜m}，由A⊆B得，，解得m≥4．所以实数m的取值范围是[4，+∞）．19．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线y＝2x（x≥0）上．（Ⅰ）求cos2α的值；（Ⅱ）若角β满足tan（2α﹣β）＝1，求tan（α﹣β）的值．解：（Ⅰ）由题意，因为α在第一象限，始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线y＝2x（x≥0）上所以，所以．（Ⅱ）由题意，tanα＝2，则tan（α﹣β）＝tan（2α﹣β﹣α）＝．20．已知函数f（x）＝sin x cos x+cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期，并写出函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再把图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，求满足g（x）≥1的实数x的集合．【解答】解（Ⅰ），所以，周期为T＝＝π，令，得，所以，函数f（x）的单调递增区间为：．（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到y＝sin（4x+）+，再把图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，即y＝sin[4（x﹣）+）+]＝sin（4x﹣）+，即，由，得，解得满足条件的x的集合为：．21．为了预防某流感病毒，某学校对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示，在药物释放的过程中，y与x成正比：药物释放完毕后，y与x的函数关系式为（a为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式．（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？解：（1）依题意，当0≤x≤0.1时，可设y＝kx，且1＝0.1k，解得k＝10，∴y＝10x，又由，解得a＝0.1，所以；（2）令，解得x＞0.6，即至少需要经过0.6h后，学生才能回到教室．22．已知函数f（x）＝x2+（x﹣1）|x﹣a|．（Ⅰ）若a＝1，解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）若函数f（x）在[﹣2，2]上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅲ）记函数f（x）在[﹣2，2]上最大值为g（a），求g（a）的最小值．解：（Ⅰ）a＝1时，，（1）当x≥1时，2x2﹣2x+1≤1，解得x＝1，（2）当x＜1时，2x﹣1≤1，解得x＜1，故不等式的解集为{x|x≤1}．（Ⅱ），（1）当，即时，符合条件，（2）当，即时，函数在R上为增函数，符合条件，（3）当，即时，需满足：，解得a≤﹣9；综上：或a≤﹣9．（Ⅲ）解法1：（1）当或a≤﹣9，则f（x）在[﹣2，2]上单调递增，所以g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|；（2）当﹣9＜a≤﹣2，则f（x）＝2x2﹣（a+1）x+a，又对称轴，所以g（a）＝f（2）＝4+|a﹣2|，（3）当﹣2＜a＜﹣1时，g（a）＝max{f（﹣2），f（2）}＝max{4﹣3|a+2|，4+|2﹣a|}＝4+|2﹣a|，（4）当时，g（a）＝max{f（a），f（2）}＝max{a2，4+|2﹣a|}，因a2﹣（4+|2﹣a|）＝a2+a﹣6＝（a+3）（a﹣2）＜0，所以g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|，综上，g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|，当a＝2时，g（a）min＝4．解法2：（1）当a≤﹣2时g（a）＝max{f（2），f（﹣2）}＝f（2）＝4+|2﹣a|，（2）当﹣2＜a＜2时g（a）＝max{f（2），f（﹣2），f（a）}＝max{f（2），f（a）}，又f（a）﹣f（2）＝a2﹣（4+|2﹣a|）＝a2+a﹣6＜0，所以，g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|：（3）当a≥2时，f（x）＝（a+1）x﹣a，所以，g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|，综上，g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|，当a＝2时，g（a）min＝4．。
2020-2021宁波市高中必修一数学上期末一模试题及答案
故 有最大值2，无最小值
故选：D
【点睛】
本题主要考查分段函数的图像及性质，考查对最值的理解，属中档题．
二、填空题
13．【解析】作出函数的图象如图所示当时单调递减且当时单调递增且所以函数的图象与直线有两个交点时有
解析：
【解析】
作出函数 的图象，如图所示，
当 时， 单调递减，且 ，当 时， 单调递增，且 ，所以函数 的图象与直线 有两个交点时，有 ．
22．（1） （2）
【解析】
【分析】
(1)令 ,则可利用换元法将题转化为二次函数值域问题求解;
(2)根据二次函数的性质,分类讨论即可.
【详解】
(1)令 ,则 时, ,
则 ,
故当 时, 有最小值为 ,当 或1时, 有最大值为0,
∴该函数的值域为 ;
(2)由(1)可知 ,
, ,
当 ,即 时,函数 在 单调递减,
解析：
【解析】
【分析】
由题意先确定函数 在 上是增函数，再将不等式转化为 即可求得 的取值范围.
【详解】
函数 是定义在 上的偶函数，且 在区间 上是减函数，
函数 在区间 上是增函数
或
解集为
故答案为：
【点睛】
本题考查偶函数与单调性结合解抽象函数不等式问题，直观想象能力，属于中等题型.
20．0【解析】【分析】根据分段函数的解析式代入求值即可求解【详解】因为则所以【点睛】本题主要考查了分段函数求值属于中档题
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
【详解】
因为函数 若 ,所以 或 ，解得 或 ，即实数的 取值范围是 故选C.
8．A
2020-2021学年浙江省宁波市九校联考高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年浙江省宁波市九校联考高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 设全集U ={0,1，2，3，4}，集合A ={x ∈U||x −2|≥1}，则∁U A =( )A. {x|1<x <3}B. {x|1≤x ≤3}C. {2}D. {1,−2,3}2. 已知a =(13)25，b =(25)25，c =log 2513，则( )A. a <b <cB. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b3. 将函数f(x)的图象沿x 轴向右平移一个单位后，所得图象对应的解析式为y =x 12，若f(x 0)=2，则x 0=( )A. 2B. 3C. 4D. 54. 已知α∈[0,2π]，点P(1,tan2)是角α终边上一点，则α=( )A. 2B. 2+πC. π−2D. 2+π或25. 某药厂为提高医药水平，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2020年全年投入研发资金250万元，之后每年投入的研发资金比上一年增长13%，则该公司全年投入的研发资金超过800万元的第一年是( )(参考数据：lg2≈0.3，lg1.13≈0.053) A. 2027年 B. 2028年 C. 2029年 D. 2030年 6. 函数f(x)=2x4x −a(其中a 为实数)的图象不可能是( )A.B.C.D.7.1sin20∘−tan50°=( )A. √3B. √34C. √2D. 38. 已知定义在(−1,1)上的函数f(x)满足：当x >0时，f(x)>0，且对任意的x ，y ∈(−1,1)，均有f(x +y)[1−f(x)f(y)]=f(x)+f(y).若f(lnx)<f(12)，则x 的取值范围是( )( e 是自然对数的底数)A. (√e √e)B. (1e ,√e) C. (√e,e)D. (1e √e )∪(√e,e)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知a ，b 均为实数，则“a >b ”成立的必要条件可以是( )A. |a|>bB. −a <1−bC. a 3>b 3D. 1a <1b10. 已知函数f(x)=4sin(ωx +φ)−1(ω>0,|φ|≤π)为偶函数，点A(x 1,−1)，B(x 2,−1)是f(x)图象上的两点，若|x 1−x 2|的最小值为2，则下列说法正确的有( )A. ω=π2 B. φ=π2C. f(1)=−1D. f(x)在区间[x 1−1,x 1+1]上单调递增11. 关于函数f(x)={2cosπx,0≤x ≤2−log 2x +2,x >2，下列说法正确的有( )A. 函数f(x)是周期为2的周期函数B. f(2)=2C. 不等式f(x)>1的解集是[0,13)∪(53,2]D. 若存在实数a ，b ，c(a <b <c)满足f(a)=f(b)=f(c)，则a +b +c +16c 的取值范围是[10,19)12. 已知奇函数f(x)的定义域为R ，且满足：对任意的x ∈R ，都有f(x)=−f(x +1).设g(x)=x +f(x)，且当0≤x ≤1时，g(x)的值域为[0,1]，则下列说法正确的有( )A. f(x)的图象关于直线x =−32轴对称 B. f(x)在[0,2]内至少有5个零点 C. f(x)的图象关于点(1,0)中心对称 D. g(x)在[0,3]上的值域为[0,3]三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 计算21+log 23= ______ ．14. 已知sin(π4+α)=35，0<α<π，则cosα= ______ ． 15. 已知a ，b ，c 均为正实数，满足ac +2bc =ab ，则a+b c的最小值是______ ．16. 对于实数m ，若两函数f(x)，g(x)满足：①∀x ∈[m,+∞)，f(x)<0或g(x)<0；②∃x ∈(−∞,m]，f(x)g(x)<0，则称函数f(x)和g(x)互为“m 相异”函数.若f(x)=ax 2+ax −1和g(x)=x −1互为“1相异”函数，则实数a 的取值范围是______ ．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知全集U =R ，集合A ={x|1<2x <4}，集合B ={y|y =ax ,x ∈(1a ,+∞)}．(Ⅰ)当a =1时，求A ∩(∁U B)；(Ⅱ)若A ∩B =A ，且A ∪(∁U B)=U ，求实数a 的值．18. 已知函数f(x)=2sinxcos(x −π6)+cos2x ，x ∈[0,π2]．(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间和最值；(Ⅱ)若函数g(x)=f(x)−a 有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围．19.已知关于x的不等式(kx−k2−4)(x−4)>0(k∈R)的解集为A．(Ⅰ)写出集合A；(Ⅱ)若集合A中恰有9个整数，求实数k的取值范围．20.如图所示，摩天轮的半径为50m，最高点距离地面高度为110m，摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要12min.甲，乙两游客分别坐在P，Q两个座舱里，且他们之间间隔2个座舱(本题中将座舱视为圆周上的点)．(Ⅰ)求劣弧PQ的弧长l(单位：m)；(Ⅱ)设游客丙从最低点M处进舱，开始转动t min后距离地面的高度为Hm，求在转动一周的过程中，H关于时间t的函数解析式；(Ⅲ)若游客在距离地面至少85m的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果．21.已知函数f(x)=ln2−xx ，g(x)=4x+2x+1m−m2+1．(Ⅰ)根据定义证明函数f(x)是减函数；(Ⅱ)若存在两不相等的实数a，b，使f(a+1)+f(b+1)=0，且g(a)+g(b)=0，求实数m的取值范围．22.设函数f(x)=ax2−|x−a|，a∈R．(Ⅰ)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(Ⅱ)当−1≤a≤2时，若对任意的x∈[1,3]，均有f(x)+bx≤0成立，求a2+b的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵U ={0,1，2，3，4}，A ={x ∈U|x ≤1或x ≥3}={0，1，3，4}， ∴∁U A ={2}． 故选：C ．可求出集合A ，然后进行补集的运算即可．本题考查了列举法和描述法的定义，补集及其运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题． 2.【答案】A【解析】解：∵(13)25<(25)25<(25)0=1，log 2513>log 2525=1，∴a <b <c ． 故选：A ．根据指数函数和幂函数的单调性可得出(13)25<(25)25<1，根据对数函数的单调性可得出log 2513>1，然后即可得出a ，b ，c 的大小关系．本题考查了指数函数、幂函数和对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，考查了计算能力，属于基础题． 3.【答案】B【解析】解：将y =x 12的图象沿x 轴向右左移一个单位后，得到f(x)，即f(x)=(x +1)12=√x +1， 由f(x 0)=2得√x 0+1=2，得x 0+1=4，得x 0=3， 故选：B ．根据图象变换关系先求出f(x)，然后解方程即可．本题主要考查函数解析式的求解，结合图象逆推求出函数的解析式是解决本题的关键，是基础题． 4.【答案】D【解析】解：因为点P(1,tan2)是角α终边上一点， 所以tanα=tan2，可得α=2+kπ，k ∈Z ， 因为α∈[0,2π]， 所以α=2+π或2． 故选：D ．利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，即可得解． 本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 5.【答案】D【解析】解：由题意可知，研发资金的投入成等比数列的模型，设第n 年投入的研发资金超过800万， 则250(1+13%)n >800， 即1.13n >165，两边去常用对数得，n >9.43， 故选：D ．由题意分析可知，该函数模型是一个等比数列，利用等比数列的定义即可解决． 本题考查了函数的应用，对数的运算公式，属于基础题． 6.【答案】C【解析】解：根据题意，f(x)=2x 4x −a，当a =0时，f(x)=2x 4x=(12)x ，为指数函数，与D 选项对应， 当a =1时，f(x)=2x 4x −1=12x −2−x，为奇函数，且在(0,+∞)、(−∞,0)上是减函数，与A 选项对应，当a =−1时，f(x)=2x4x +1=12x +2−x，为偶函数，在(0,+∞)上是减函数，(−∞,0)上为增函数，与B 选项对应，对于C ，f(x)为偶函数，必有f(−x)=f(x)，即2x4x −a=2−x4−x −a ，则有2x4x −a =2x1−a⋅4x ，必有a =−1，此时f(0)=12，与图象不符，故选：C ．根据题意，分a =0、a =1和a =−1三种情况讨论，分析f(x)的图象，即可得答案． 本题考查函数的图象分析，涉及函数奇偶性的性质以及应用，属于基础题． 7.【答案】A【解析】解：1sin20∘−tan50°=1sin20∘−sin50°cos50∘=1sin20∘−cos40°sin40∘=2cos20°2sin20∘cos20∘−cos40°sin40∘=2cos20° sin40∘−cos40°sin40∘=2cos(60°−40°)−cos40°sin40∘=2×12cos40°+2×√32sin40°−cos40°sin40°=√3sin40°sin40°=√3..故选：A ．利用三角函数的诱导公式以及两角和差的三角公式进行转化求解即可．本题主要考查三角函数值的化简和求解，利用两角和差的三角公式进行转化是解决本题的关键，是中档题． 8.【答案】B【解析】解：对任意的x ，y ∈(−1,1)，都有f(x +y)[1−f(x)f(y)]=f(x)+f(y)， 令x =y =0，则f(0)[1−f(0)f(0)]=f(0)+f(0)， f(0)[−1−f(0)2]=0，∴f(0)=0，令y =−x ，则f(x −x)=f(0)=f(x)+f(−x)， ∴f(−x)=−f(x)，∴f(x)是奇函数．设x 1，x 2∈[0,1)，且x 1<x 2，则x 1−x 2<0，令y =−x 2， 则f(x 1−x 2)[1−f(x 1)f(−x 2)]=f(x 1)+f(−x 2)，由f(x)是奇函数，可得f(x 1−x 2)[1+f(x 1)f(x 2)]=f(x 1)−f(x 2)， ∵当x >0时，f(x)>0，且x 1，x 2∈[0,1)， ∴1+f(x 1)f(x 2)>0，由函数f(x)是奇函敬，可得当x <0时，f(x)<0，∴f(x 1−x 2)[1+f(x 1)f(x 2)]<0，即f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)， ∴函数f (x)在[0,1)上是增函数， ∴函数f (x)在(−1,1)上是增函数，则不等式f(lnx)<f(12)等价于{−1<lnx <1lnx <12，解得1e <x <√e ，即不等式的取值范围是(1e ,√e).故选：B ．先判断函数的奇偶性，再利用函数的性质解不等式，即可得结论．本题主要考查了抽象函数的奇偶性和单调性，同时考查了转化思想和计算能力，属于中档题．9.【答案】ABC【解析】解：a >b ，当a >b >0时，|a|>b 成立， 当a >0>b 时，|a|>b 成立，当0>a >b 时，|a|>b 成立，故选项A 正确；因为a >b ，则b −a <0，则b −a <1，所以−a <1−b ，故选项B 正确； 因为y =x 3在R 上单调递增，所以a >b ，可推出a 3>b 3，故选项C 正确； 因为a >b ，取a =2，b =−3，1a >1b ，故选项D 不正确．故选：ABC ．要求“a >b ”成立的必要条件，即求“a >b ”可以推出哪个结论，利用列举法排除，利用不等式的性质和函数的单调性可判定．本题主要考查了不等式的性质，以及充分条件、必要条件的判定，同时考查了学生逻辑推理的能力和运算求解的能力，属于基础题． 10.【答案】AC【解析】解：由f(x)=−1，得4sin(ωx +φ)−1=−1，即sin(ωx +φ)=0， ∵|x 1−x 2|的最小值为2， ∴T2=2，即T =4，即2πω=4， 则ω=π2，故A 正确，∵f(x)是偶函数，∴φ=kπ+π2，k ∈Z ，∵|φ|≤π，∴k =0时，φ=π2，k =−1时，φ=−π2，故B 错误，综上f(x)=4sin(π2x +π2)x −1=4cos π2x −1，或f(x)=4sin(π2x −π2)x −1=−4cos π2x −1， 则f(1)=−1，故C 正确， ∵A(x 1,−1)，B(x 2,−1)，∴4cos π2x 1−1=−1，即cos π2x 1=0，即x 1，是函数y =cos π2x 的零点，∵[x 1−1,x 1+1]的区间长度为2，是半个周期，则函数在[x 1−1,x 1+1]上不具备单调性，故D 错误， 故选：AC ．根据三角函数的图象和性质求出函数的解析式，然后分别进行判断即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键，是中档题． 11.【答案】BCD【解析】解：函数f(x)={2cosπx,0≤x ≤2−log 2x +2,x >2，作出图象如图所示， 根据f(x)的图象可知，图象没有重复出现的部分，故函数f(x)不是周期函数，故选项A 错误；f(2)=2cos2π=2，故选项B 正确；当0≤x ≤2时，若f(x)=1，则2cosπx =1，即cosπx =12，解得x =13或x =53，当x >2时，若f(x)=1，则−log 2x +2=1，即log 2x =1，解得x =1， 结合f(x)的图象可得，不等式f(x)>1的解集是[0,13)∪(53,2]， 故选项C 正确；因为存在实数a ，b ，c(a <b <c)满足f(a)=f(b)=f(c)， 则函数f(x)与y =m 的图象有三个不同的交点，其中a 和b 关于f(x)=2cosπx 的对称轴x =1对称，故a +b =2， 当−log 2x +2=−2时，x =16，故c 的取值范围是2<c <16， 所以a +b +c +16c =2+c +16c≥2+2√c ⋅16c=10，当且仅当c =16c，即c =4时取等号，所以a +b +c +16c的最小值为10，当c =2时，a +b +c +16c的值为12，当c =16时，a +b +c +16c的值为19，故a +b +c +16c的取值范围为[10,19)，故选项D 正确．故选：BCD ．利用分段函数的解析式，作出分段函数的图象，利用图象即可判断选项A ，利用函数解析式求出f(2)的值，即可判断选项B ，利用图象即可得到不等式f(x)>1的解集，从而判断选项C ，利用余弦函数的对称性得到a +b =2，再求出c 的取值范围，利用基本不等式和对勾函数的性质求出则a +b +c +16c的取值范围，即可判断选项D ．本题考查了分段函数的应用，涉及了余弦函数和对数函数图象和性质的应用、周期函数图象特征的应用、基本不等式的应用，综合性强，对学生掌握知识的广度和深度都由较高的要求，属于中档题． 12.【答案】ACD【解析】 【分析】本题考查函数的奇偶性，对称性，周期性等性质的综合运用，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题． 先推导出f(x)关于直线x =12对称，且周期为2，进而判断选项A ，C 正误；由f(0)=f(1)=f(2)，判断选项B 错误； 分类讨论可求得当x ∈[0,3]时，g(x)的值域为[0,3]，即选项D 正确．【解答】解：∵f(x)是奇函数， ∴f(−x)=−f(x)， 又∵f(x)=−f(x +1)，∴−f(−x)=−f(x +1)，即f(−x)=f(x +1)， ∴f(x)关于直线x =12对称，又f(x +1)=−f(x +2)，f(x +1)=−f(x)， ∴f(x)=f(x +2)，即函数f(x)的周期为2，∴函数f(x)的图象关于直线x =−32轴对称，且关于点(1,0)中心对称，故A ，C 选项正确； 显然在x ∈[0,2]，f(0)=f(1)=f(2)，故f(x)在[0,2]时至少有3个零点，故选项B 错误； 又g(x)=x +f(x)，故g(x)为奇函数，当0≤x ≤1时，g(x)的值域为[0,1]，则当−1≤x ≤0时，g(x)的值域为[−1,0]，当1≤x ≤2时，−1≤x −2≤0，g(x)=x +f(x)=x −2+f(x −2)+2的值域为[1,2]， 当2≤x ≤3时，0≤x −2≤1，g(x)=x +f(x)=x −2+f(x −2)+2的值域为[2,3]， 综上，当x ∈[0,3]时，g(x)的值域为[0,3]，故选项D 正确． 故选：ACD ．13.【答案】6【解析】解：∵2log23=3，∴21+log23=21⋅2log23=2×3=6，故答案为：6．利用指数幂的运算性质21+log23=21⋅2log23，及对数恒等式2log23=3可得答案．本题考查对数的运算性质，关键是对数恒等式的利用，是容易题．14.【答案】−√210【解析】解：∵0<α<π，∴π4<α+π4<π+π4，∵sin(π4+α)=35∈(12,√22)，∴π6<α+π4<π4(舍)或3π4<α+π4<5π6，即cos(α+π4)<0，即cos(α+π4)=−45，则cosα=cos(π4+α−π4)=cosπ4cos(α+π4)+sinπ4sin(α+π4)=√22(−45+35)=−15×√22=−√210，故答案为：−√210．根据同角三角函数的基本关系，结合两角差的余弦公式进行转化求解即可．本题主要考查三角函数值的计算，涉及同角三角函数基本关系和三角恒等变换，属于基础题．15.【答案】3+2√2【解析】【分析】本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．由ac+2bc=ab，整理可得cb +2ca=1，a+bc=a+bc(cb+2ca)，然后结合基本不等式性质即可求解．【解答】解：∵a，b，c均为正实数，且ac+2bc=ab，∴cb +2ca=1，∴a+bc =a+bc(cb+2ca)=3+ab+2ba≥3+2√ab×2ba=3+2√2，当且仅当a=√2b时取等号，故a+bc的最小值是3+2√2．故答案为：3+2√2．16.【答案】a<−4【解析】【分析】本题考查了函数与不等式的综合应用，涉及了二次函数与一次函数性质的应用，解题的关键是正确理解新定义，将问题转化为不等式恒成立和有解问题进行研究，属于中档题．根据题中给出的新定义可得，∀x ∈[1,+∞)，f(x)<0或g(x)<0，且∃x ∈(−∞,1]，f(x)g(x)<0，又因为g(x)的取值情况确定，从而将问题转化为f(x)<0对∀x ∈[1,+∞)恒成立且f(x)>0在x ∈(−∞,1]上有解，然后利用二次函数的性质进行分析求解即可． 【解答】解：由题意可知，f(x)=ax 2+ax −1和g(x)=x −1互为“1相异”函数， 则∀x ∈[1,+∞)，f(x)<0或g(x)<0， 因为g(x)≥0，不满足恒小于0， 所以f(x)<0对∀x ∈[1,+∞)恒成立， 又∃x ∈(−∞,1]，f(x)g(x)<0， 因为g(x)≤0，所以f(x)>0在x ∈(−∞,1]上有解， 先解：f(x)<0对∀x ∈[1,+∞)恒成立，因为f(x)=ax 2+ax −1，对称轴为x =−12且恒过点(0,−1)， ①a =0时，f(x)=−1<0恒成立，符合题意； ②当a >0时，不符合题意；③当a <0时，f(x)<0在[1,+∞)上恒成立， 故a 的取值范围为a ≤0；再解：f(x)>0在x ∈(−∞,1]上有解，①当a =0时，f(x)=−1<0恒成立，不符合题意；②当a >0时，f(x)>0在x ∈(−∞,1]上有解，符合题意；③当a <0时，则有f(−12)>0，即14a −12a −1>0，解得a <−4， 故a 的取值范围为a <−4或a >0，综上可得，实数a 的取值范围为a <−4． 故答案为：a <−4．17.【答案】解：已知A ={x|1<2x <4}=(0,2)，B ={y|0<y <a 2}， (Ⅰ)当a =1时，B ={y|y =1x ,x ∈(1,+∞)}=(0,1)， 所以C U B ={y|y ≥1或y ≤0}， 所以A ∩C U B =[1,2)；(Ⅱ)B ={y|0<y <a 2}，所以C U B ={y|y ≤0或y ≥a 2}， 由A ∩B =A 且A ∪C UB =U 可得：{a 2≥2a 2≤2，则a 2=2， 所以a =±√2．【解析】先求出集合A ，B ，然后对应各个问题根据交并补的运算性质以及集合间的关系即可求解． 本题考查了交并补的混合运算的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=2sinxcos(x −π6)+cos2x=2sinx(√32cosx +12sinx)+cos2x =√3sinxcosx +sin 2x +cos 2x −sin 2x =√32sin2x +12cox2x +12=sin(2x +π6)+12，令−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ，解得−π3+kπ≤x ≤π6+kπ,k ∈Z ， 因为x ∈[0,π2]，所以当k =0时，f(x)的单调递增区间为[0,π6]．所以当x =π6时，f(x)取得最大值为f(π6)=sin(2×π6+π6)+12=32； (Ⅱ)函数g(x)=f(x)−a 有且仅有一个零点，等价于函数y =f(x)与y =a 的图象只有一个交点， 作出函数f(x)的图象如图所示， 因为f(0)=1，f(π2)=0， 由图可知a ∈[0,1)∪{32}．【解析】(Ⅰ)利用两角和差公式以及二倍角公式化简函数f(x)的解析式，利用正弦函数的单调性以及有界性进行分析求解即可；(Ⅱ)将问题转化为函数y =f(x)与y =a 的图象只有一个交点，作出图象分析求解即可．本题考查了三角函数图象和性质的综合应用，涉及了三角函数的单调性与最值的求解，解题的关键是利用三角恒等式将函数的解析式化简变形，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)当k =0时，不等式(kx −k 2−4)(x −4)>0可化为−4(x −4)>0，解得x <4， 所以不等式的解集为A =(−∞,4)；当k ≠0时，方程(kx −k 2−4)(x −4)=0的两根分别为4和k +4k ，当k >0时，k +4k ≥2√k ⋅4k=4，不等式的解集为A =(−∞,4)∪(k +4k ,+∞)；当k <0时，k +4k <0<4，不等式的解集为A =(k +4k ,4)． (Ⅱ)若集合A 中恰有9个整数，则{k <0−6≤k +4k <−5，即{k <0k 2+6k +4≤0k 2+5k +4>0， 解得−3−√5≤k <−4，或−1<k <0；所以实数k 的取值范围是[−3−√5,−4)∪(−1,0)．【解析】(Ⅰ)讨论k =0和k >0、k <0时，求出不等式的解集即可． (Ⅱ)根据集合A 中恰有9个整数，列出不等式组求出解集．本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)∠POQ =2π×324=π4，由弧长公式可得，l =π4×50=12.5πm ；(Ⅱ)设H =Asin(ωx +φ)+B ，由题意，T =12，∴ω=2πT=π6，A =r =50，B =OM =110−50=60，∴H =50sin(π6x +φ)+60，当x =0时，可得sinφ=−1，∴φ=−π2，得H =50sin(π6x −π2)+60(0≤t ≤12)；(Ⅲ)H=50sin(π6x−π2)+60≥85，∴sin(π6x−π2)≥12，令π6+2kπ≤π6x−π2≤5π6+2kπ，k∈Z，∴4+12k≤x≤8+12k，k∈Z，而甲乙相差324×12=32min，又4−32=52min，∴有52min甲乙都有最佳视觉效果．【解析】(Ⅰ)求出∠POQ，再由弧长公式求l；(Ⅱ)设H=Asin(ωx+φ)+B，由题意求得ω、A与B，得到H=50sin(π6x+φ)+60，当x=0时，可得sinφ=−1，求得φ，则函数解析式可求；(Ⅲ)由H=50sin(π6x−π2)+60≥85，求得x的范围，结合甲乙相差324×12=32min，可得4−32=52min，即可求得甲乙都有最佳视觉效果的时间．本题考查三角函数模型的应用，考查y=Asin(ωx+φ)型函数的图象与性质，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】(Ⅰ)证明：令2−xx>0，解得0<x<2，故函数f(x)的定义域为(0,2)，设0<x1<x2<2，则f(x1)−f(x2)=ln2−x1x1−ln2−x2x2=ln2x2−x1x22x1−x1x2，因为0<x1<x2<2，所以0<2x1<2x2<4，则0<2x1−x1x2<2x2−x1x2，故2x2−x1x22x1−x1x2>1，则ln2x2−x1x22x1−x1x2>0，故f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(0,2)上是减函数；(Ⅱ)解：f(a+1)+f(b+1)=0，即ln(1−a)(1−b)(a+1)(b+1)=0，所以(1−a)(1−b)(a+1)(b+1)=1，展开整理可得a+b=0，因为g(x)=4x+2x+1m−m2+1=(2x)2+2m⋅2x−m2+1，令t=2x>0，则φ(t)=t2+2mt−m2+1，令t1=2a,t2=2b，因为g(a)+g(b)=0，所以φ(t1)+φ(t2)=0，因为a+b=0，所以t1t2=2a+b=1，则φ(t1)+φ(t2)=t12+t22+2m(t1+t2)−m+2=0，即(t1+t2)2+2m(t1+t2)−m=0，因为a +1∈(0,2)，b +1∈(0,2)， 所以a ∈(−1,1)，b ∈(−1,1)， 故t 1∈(12,2)，t 2∈(12,2)， 令μ=t 1+t 2=t 1+1t 1∈[2,52),则有m(2μ−1)=−μ2， 所以m =−μ22μ−1， 令p =μ−12∈[32,2), 则m =−(p+12)22p=−(p 2+18p +12)，由对勾函数的性质可知，m 在[32,2)上单调递减， 故当p =32时，m 取得最大值−43， 所以m 的取值范围为(−2516,−43]．【解析】(Ⅰ)先求出函数的定义域，然后令0<x 1<x 2<2，作差f(x 1)−f(x 2)，然后与0比较大小，再利用函数单调性的定义即可证明；(Ⅱ)由f(a +1)+f(b +1)=0结合对数的运算性质，可得到a +b =0，然后利用换元法令t =2x >0，将g(a)+g(b)=0转化为t 12+t 22+2m(t 1+t 2)−m +2=0， 再令μ=t 1+t 2=t 1+1t 1∈[2,52)，求出m 的表达式，然后利用对勾函数的性质进行分析求解即可．本题考查了函数的综合应用，涉及了函数单调性的证明、换元法的应用、对勾函数的性质，综合性强，对学生掌握知识的广度和深度都有较高的要求，属于难题．22.【答案】解：(Ⅰ)因为函数f(x)=ax 2−|x −a|， 所以f(−x)=ax 2−|x +a|，当a =0时，f(−x)=f(x)，所以f(x)是偶函数；当a ≠0时，f(−x)≠f(x)，f(−x)≠−f(x)，所以f(x)是非奇非偶函数；(Ⅱ)因为当−1≤a ≤2时，若对任意的x ∈[1,3]，均有f(x)+bx =ax 2−|x −a|+bx ≤0成立， 所以令g(x)=ax 2−|x −a|+bx ={ax 2−x +a +bx,x ≥aax 2+x −a +bx,x <a，①当a =0时，g(x)=bx −x =(b −1)x ≤0，对任意的x ∈[1,3]恒成立， 即3(b −1)≤0，解得b ≤1，a 2+b 的最大值为1；②当−1≤a <0时，g(x)=ax 2−(x −a)+bx =ax 2+(b −1)x +a ，x ∈[1,3]， 对称轴为x =1−b 2a，i)1−b 2a≤1，则1−b ≥2a ，(a <0不等号方向改变)，g(1)≤0即a +b −1+a ≤0，所以b ≤1−2a ，则a 2+b ≤a 2−2a +1=(a −1)2，a 2+b 的最大值为1； ii)1−b 2a≥3时，1−b ≤6a ，即b ≥1−6a ，所以g(3)≤0，即b ≤1−103a ，无解；iii)1<1−b 2a<3时，1−2a <b <1−6a ，所以g(1−b2a )≤0，即a ⋅(1−b2a )2+(b −1)×1−b 2a+a ≤0，即4a 2≥(1−b)2，所以1+2a ≤b ≤1−2a 无解；③当0<a ≤1时，g(x)=ax 2−(x −a)+bx =ax 2+(b −1)x +a ，x ∈[1,3]，对称轴为x =1−b 2a，i)1−b 2a≤1，则1−b ≤2a ，g(3)≤0即b ≤1−103a ，无解；ii)1−b 2a≥3时，1−b ≥6a ，即b ≤1−6a ，g(1)≤0，b ≤1−2a ，则b ≤1−6a ，则a 2+b ≤a 2−6a +1=(a −3)2−8， ∵0<a ≤1，∴a 2+b 的最大值为1； iii)1<1−b 2a<3时，1−6a ≤b ≤1−2a ，g(3)≤0，g(1)≤0则b ≤1−103a 且b ≤1−2a ，所以1−6a ≤b ≤1−103a ，则a 2+b ≤a 2+1−103a ，a 2+b 的最大值为1；④当1≤a ≤2时，g(x)={ax 2−x +a +bx,a ≤x ≤3ax 2+x −a +bx,1≤x ≤a ， g(3)≤0，g(1)≤0，g(a)≤0，即{a +1−a +b ≤0a 3+ab ≤09a −3+a +3b ≤0，则{b ≤−1b ≤−a 2b ≤1−10a3，而−1≤a ≤2，∴b ≤1−10a 3，则a 2+b ≤a 2+1−103a ，令p(a)=a 2+1−103a ，−1≤a ≤2，则p′(a)=2a −103，即p(a)在[53,2]上单调递增， p(a)的最大值为p(2)=−53．综上所述：对任意的x ∈[1,3]，均有f(x)+bx ≤0成立， a 2+b 的最大值为−53(所有最大值中的最小值)．【解析】(Ⅰ)直接根据函数奇偶性的定义进行判定，需要讨论a ；(Ⅱ)讨论去绝对值，然后讨论a ，以及对称轴与区间的位置关系，可求出a 与b 的关系式，然后分别求出a 2+b 的最大值，从而可求出所求．本题主要考查了函数奇偶性的判定，以及函数恒成立问题，同时考查了分类讨论的数学思想和转化的能力，属于难题．。
浙江省宁波市九校2020-2021学年高一上学期期末联考数学试题含答案
宁波市九校联考高一数学参考答案 第1页 共5页宁波市一2020学年第学期期末九校联考 高一数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．6 14．21015．3+ 16．(,4)−∞− 四、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．解析：（Ⅰ）{|02}A x x =<<，………………………………………………………1分 1|,,a B y y x x a ⎧⎫⎛⎫==∈∞⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭+表示函数1,,a y x x a ⎛⎫=∈∞ ⎪⎝⎭+的值域， 当1a =时，1y x=在(1,)∞+上单调递减，值域{|01}B y y =<<， ………………3分 {|10}U B y y y =≥≤，或C ，………………………………………………………………4分()[1,2)U AB=C ， (5)分（Ⅱ）由A BA =知AB ⊆，由()U A B U =C 知B A ⊆， 所以(0,2)B A ==，…………………………………………………………………………8分 故0a >，且2(0,)(0,2)a =，即a 分18．解析：（Ⅰ）π()2sin cos()cos 26f x x x x =−+ 212sin sin cos 22cos sin cos 2112cos 222x x x x x x x xx x ⎫++⎪⎪⎝⎭++=++= π1sin(2)62x =++………………………………………………………………………3分 因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ7π2666x ≤+≤，宁波市九校联考高一数学参考答案 第2页 共5页 由πππ2662x ≤+≤得π06x ≤≤， 故单调递增区间为π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦;………………………………………………………………5分 1πsin 2126x ⎛⎫−≤+≤ ⎪⎝⎭， 所以当π6x =时，()f x 取最大值32, 当π2x =时，()f x 取小值0.………………7分 （Ⅱ）设π26t x =+，()sin h t t =，π7π,66t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， “函数()()g x f x a =−有且仅有一个零点”等价于“直线12y a =−与()y h t =有且只有一个交点”，………… …………………………………………………………………10分数形结合可得11111,2222a a −=≤−<或-，即3,012a a =≤<或. 故a 的取值范围为3012a a a ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭或．…………………………………………12分 19．解析：（Ⅰ）当0k =时，不等式为4(4)0x −−>，(,4)A =−∞；…………2分当0k >时，4(,4)(,)A k k =−∞++∞；………………………………………4分 当0k <时，4(,4)A k k=+；…………………………………………………6分 （Ⅱ）由（1）知0k <，且465k k−≤+<−，…………………………………………8分 即22540640k k k k ⎧++>⎪⎨++≤⎪⎩……………………………………………………………………10分 解得k 的取值范围是[35,4)(1,35]−−−−−+…………………………………12分20．解析： （Ⅰ）由题意得23244POQ ππ∠=⨯=，弧长π25π5042l =⨯=；………2分（Ⅱ）以轴心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴建立平面直角坐标系，0t =时，游客在点(0,50)M −，初始位置所对应的角为π2−，角速度ω为π6rad /min ，由题意可得宁波市九校联考高一数学参考答案 第3页 共5页ππ50sin 60,01262H t t ⎛⎫=−+≤≤ ⎪⎝⎭；………………………………………………6分 （Ⅲ）法1：由4POQ π∠=得乙比甲始终落后π4rad ， 故经过t 分钟后，甲乙相对于地面的距离分别为1ππ50sin 6062H t ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，2π3π50sin 6064H t ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，012t ≤≤， 若都要获得最佳视觉效果，应满足50sin 608562t ππ⎛⎫−+≥ ⎪⎝⎭， 且π3π50sin 608564t ⎛⎫−+≥ ⎪⎝⎭， ………………………………………………………8分 化简得1sin 622t ππ⎛⎫−≥ ⎪⎝⎭，π3π1sin 642t ⎛⎫−≥ ⎪⎝⎭， 因为012t ≤≤，所以2622t πππ3π−≤−≤，3ππ3π5π4644t −≤−≤， 由6626t πππ5π≤−≤，6646t ππ3π5π≤−≤得48t ≤≤，22t 1119≤≤， 故解得1182t ≤≤， ……………………………………………………………………11分 所以摩天轮旋转一周能有52分钟使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果．………12分 法2：经过t 分钟后，甲相对于地面的距离为ππ50sin 6062H t ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，012t ≤≤， 若要获得最佳视觉效果，应满足50sin 608562t ππ⎛⎫−+≥ ⎪⎝⎭， ………………………8分 化简得1sin 622t ππ⎛⎫−≥ ⎪⎝⎭， 因为012t ≤≤，所以2622t πππ3π−≤−≤， 由6626t πππ5π≤−≤，得48t ≤≤， ………………………………………………10分 由乙比甲始终落后32min ，知乙在111922t ≤≤时获得最佳视觉效果， 要使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果，则1182t ≤≤，……………………………11分 所以摩天轮旋转一周能有52分钟使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果．…………12分 21．解析：（Ⅰ）函数2()ln x f x x−=的定义域为(0,2)， 任取12(0,2)x x ∈，，且12x x <，宁波市九校联考高一数学参考答案 第4页 共5页21212122()()lnln x x f x f x x x −−−=−1122122ln 2x x x x x x −=−，…………………………2分 因为1202x x <<<，所以112212022x x x x x x <−<−， 从而21()()0f x f x −<，即21()()f x f x <，因此函数()f x 在定义域(0,2)内单调递减.…………………………………………4分（Ⅱ）设函数1()(1)ln 1x h x f x x −=+=+，定义域为(1,1)−， 对于任意的(1,1)x ∈−，1()ln ()1x h x h x x +−==−−+，故()h x 为奇函数， 且由()f x 是减函数可知，()h x 也是减函数，由(1)(1)0f a f b +++=，得()()()h a h b h b =−=−，故a b =−． （也可以列方程直接解出a b =−）………………7分由()()0g a g b +=得442(22)20a b a b m m +++−+=，即442(22)20a a a a m m −−+++−+=，令22a a t −=+，由,(1,1),a b a b ∈−≠得52,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，………………………………9分 即220t mt m +−=在52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内有解， 方法1：由220t mt m +−=得222111212111t m t t t t ===−⎛⎫−−− ⎪⎝⎭， 当5(2,)2t ∈时，2131611,425t ⎛⎫⎛⎫−−∈−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以21254,163111t ⎛⎫∈−− ⎪⎝⎭⎛⎫−− ⎪⎝⎭， 综上所述，m 的取值范围是254,163⎛⎫−− ⎪⎝⎭……………………………………………12分 方法2：设2()2u t t mt m =+−，(2)34u m =+，525()424u m =+ ①5(2)()02u u <即254163m −<<−； ②25(2)0,()02440522u u m m m ⎧>>⎪⎪⎪∆=+≥⎨⎪⎪<−<⎪⎩，无解； ③(2)0,92,4u m =⎧⎪⎨<−<⎪⎩无解；宁波市九校联考高一数学参考答案 第5页 共5页 ④5()0,295,42u m ⎧=⎪⎪⎨⎪<−<⎪⎩无解. 综上所述，m 的取值范围是254,163⎛⎫−− ⎪⎝⎭…………………………………………12分 22．解析：（Ⅰ）当0a =时，()||f x x =−，对于x ∀∈R ，()||()f x x f x −=−=，故()f x 为偶函数；…………………………………………………………………2分 当0a ≠时，(0)||0f a =−≠，故()f x 不是奇函数；(1)|1|,(1)|1|f a a f a a =−−−=−+，由于0a ≠，故|1||1|a a −≠+，即(1)(1)f f ≠−，故()f x 不是偶函数,综上所述，当0a =时，()f x 是偶函数，当0a ≠时，()f x 既不是偶函数又不是奇函数. ………………………………4分 （Ⅱ）（i ）当11a −≤≤时，()0f x bx +≤在[1,3]x ∈恒成立等价于2(1)0ax b x a +−+≤在[1,3]x ∈恒成立，即11b a x x ⎛⎫≤−++ ⎪⎝⎭恒成立，…………………………………5分 若01a ≤≤，则min 110113a x a x ⎡⎤⎛⎫−++=− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以1013b a ≤−， 故2210113a b a a +≤−+≤，当0a =，1b =时，取到1；…………………………7分 若10a −≤<，则min 1112a x a x ⎡⎤⎛⎫−++=− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以12b a ≤−， 故22214a b a a +≤−+≤，当1a =−，3b =时，取到4；…………………………9分（ii ）当12a <≤时，()0f x bx +≤在[1,3]x ∈恒成立等价于10a ax b x+−−≤在[1,3]x ∈恒成立，………………………………………………………………………10分①当1x a <≤时，11b a x x ⎛⎫≤−−− ⎪⎝⎭，2min 11a x a x ⎡⎤⎛⎫−−−=− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦； ②当3a x <≤时，11b a x x ⎛⎫≤−++ ⎪⎝⎭，min 110113a x a x ⎡⎤⎛⎫−++=− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦； 当12a <≤时，21013a a −≥−，故1013b a ≤−，22104133a b a a +≤−+<− 综上所述，2a b +的最大值为4.………………………………………………………12分。
2020-2021宁波市高一数学上期末试卷(带答案)
2020-2021宁波市高一数学上期末试卷(带答案)一、选择题1．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是增函数，若对任意[)x 1,∞∈+，都有()()f x a f 2x 1+≤-恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]2,0- B ．(],8∞-- C ．[)2,∞+ D ．(],0∞- 2．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(2)0B x x x =-+<,则AB =（ ） A ．{}1,0- B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,23．已知奇函数()y f x =的图像关于点(,0)2π对称，当[0,)2x π∈时，()1cos f x x =-，则当5(,3]2x ππ∈时，()f x 的解析式为（ ） A ．()1sin f x x =-- B ．()1sin f x x =- C ．()1cos f x x =-- D ．()1cos f x x =- 4．已知131log 4a =，154b =，136c =，则（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >> 5．若函数()2log ,? 0,? 0x x x f x e x >⎧=⎨≤⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．1e B ．e C ．21e D ．2e6．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为0kt P P e -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数n 的最小值为（ ）（参考数据：取5log 20.43=）A ．8B ．9C ．10D ．147．已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数，则（ ） A ．(1)(2)(0)f f f -<<B ．(1)(0)(2)f f f -<<C ．(0)(1)(2)f f f <-<D ．(2)(1)(0)f f f <-<8．若函数ya >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a56＋log a 485＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．已知函数()ln f x x =，2()3g x x =-+，则()?()f x g x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．若0.33a =，log 3bπ=，0.3log c e =，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >> 11．若函数()[)[]1,1,0{44,0,1x x x f x x ⎛⎫∈- ⎪=⎝⎭∈，则f (log 43)＝( )A ．13B ．14C ．3D ．4 12．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．0a ≥ B ．2a ≥- C ．52a ≥- D ．3a ≥-二、填空题13．已知1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集为______． 14．已知函数241,(4)()log ,(04)x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩．若关于x 的方程，()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是____________．15．已知函数2,1,(){1,1,x ax x f x ax x -+≤=->若1212,,x x R x x ∃∈≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是 ．16．已知f （x ）是定义域在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）上是减函数，如果f （m ﹣2）>f （2m ﹣3），那么实数m 的取值范围是_____.17．函数20.5log y x =________18．已知()f x ､()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()2x f x g x x -=-，则(1)(1)f g +=__________.19．已知函数1()41x f x a =+-是奇函数，则的值为________. 20．已知函数()211x x xf -=-的图象与直线2y kx =+恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________. 三、解答题21．已知函数f (x )＝2x 的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)，(1)求g (x )的解析式及定义域；(2)求函数g (x )的最大值和最小值．22．已知函数()2log f x x =（1）解关于x 的不等式()()11f x f x +->；（2）设函数()()21x g x f kx =++，若()g x 的图象关于y 轴对称，求实数k 的值. 23．已知函数()()4412log 2log 2f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）当[]2,4x ∈时，求该函数的值域；（2）求()f x 在区间[]2,t （2t >)上的最小值()g t .24．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修，排气扇恢复正常．排气4min 后，测得车库内的一氧化碳浓度为64L /L μ，继续排气4min ，又测得浓度为32L /L μ，经检测知该地下车库一氧化碳浓度(L /L)y μ与排气时间(min)t 存在函数关系：12mt y c ⎛⎫= ⎪⎝⎭（c ，m 为常数）。
2020-2021学年浙江省宁波市九校高一上学期期末联考数学试题
绝密★启用前2020-2021学年浙江省宁波市九校高一上学期期末联考数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设全集{0,1,2,3,4}U =，集合{21}A x Ux =∈-≥‖∣则UA（）A ．{13}xx <<∣ B ．{13}xx ≤≤∣ C ．{2} D ．{}1,2,3-答案：C先求出集合A ，再根据补集定义即可求出. 解：{0,1,2,3,4}U =，{}21={1A x U x x U x ∴=∈-≥∈≤或}{}30,1,3,4x ≥=，{}2U A ∴=.故选：C.2．已知2513a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2525b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，251log 3c =，则（） A ．a b c << B ．b a c << C ．b c a << D ．c a b <<答案：A根据幂函数、指数函数和对数函数的单调性可得三者的大小关系. 解：因为25y x =在()0,∞+上为增函数，故25251325⎛⎫<⎛⎫ ⎝⎪⎪⎭⎝⎭即a b <，而25log y x =在()0,∞+上为减函数，故225512log log log 135>=，故1c >， 因为25xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数，故2522155⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1b <，故a b c <<. 故选：A.3．将函数()f x 的图象沿x 轴向右平移一个单位后，所得图象对应的解析式为12y x =，若()02f x =，则0x =（）A ．2B ．3C ．4D ．5答案：B先求出()f x 的解析式，再解方程()02f x =后可求0x 的值. 解：由题设可得()12()1f x x =+，令()1200()12f x x =+=，故03x =， 故选：B.4．已知[0,2]απ∈，点(1,tan 2)P 是角α终边上一点，则α=（） A ．2 B ．2π+C ．2π-D ．2π+或2答案：B根据三角函数的定义求出cos ,sin αα，从而可得α. 解：因为22ππ<<，故cos20<，因为(1,tan 2)P 是角α终边上一点，故11cos 2cos 2OP ===-， 故()1cos cos 2cos 21cos 2απ==-=+-，而()tan 2sin sin 2sin 21cos 2απ==-=+-，故α与2π+的终边相同，而[]20,2ππ+∈，故2απ=+. 故选：B.5．某药厂为提高医药水平，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2020年全年投入研发资金250万元，之后每年投入的研发资金比上一年增长13%，则该公司全年投入的研发资金超过800万元的第一年是（）(参考数据：lg 20.3≈，lg1.130.053≈) A ．2027年 B ．2028年 C ．2029年 D ．2030年答案：D根据题设条件得到从而2020年起第n 年投入的研发资金的表达式，再根据参考数据可得正确的选项.解：设2020年起第n 年投入的研发资金为()f n （2020年为第一年），则()()125010.13n f n -=+，即()12501.13n f n -=⋅，令12501.13800n -⋅>，故16lg5lg 21519.43lg1.13lg1.13n -->=≈，故11n ≥. 故2030年第一次研发资金超过800. 故选：D.6．函数2()4xx f x a=-(其中a 为实数)的图象不可能是（）A ．B ．C ．D ．答案：C取0a =可判断排除D ，再根据图象的对称性可求a 的值，讨论相应的函数性质后可得正确的选项.解：若0a =，则21()402xx x f x ⎛⎫== ⎪-⎝⎭，故D 中图象符合，排除D. AC 中对应的函数的定义域为{}|0x x ≠，故040a -=，故1a =， 此时1()22x x f x -=-，而()1()22x xf x f x --==--，故()f x 为奇函数， 且当0x >时，22x xy -=-为增函数，故()f x 在()0,∞+上为减函数，故A 中图象符合，排除A ，C 中图象不符合.B 中对应的函数的定义域为R ，且为偶函数，故0a <，因为()22()44x x x xf x f x a a---===--，故()()1220x xa -++=，故1a =-， 此时12()2x xf x +-=，当0x >时，21x >，故12222xxx x y -=+=+为()0,∞+上的增函数， 所以12()2x xf x +-=为()0,∞+上的减函数，B 中图象符合，排除B.故选：C.点评：方法点睛：函数图象的识别，一般从函数的定义域，奇偶性、单调性和特殊点处的函数的正负去讨论. 7．1tan50sin 20-︒=︒（）ABCD ．3答案：A根据三角恒等变换对应的公式，将原式逐步化简整理，即可得出结果. 解：11sin 501cos 4020cos 40tan 50sin 20sin 20cos50sin 20sin 402sin 20cos 202cos sin 40︒︒︒︒-︒=-=-=-︒︒︒︒︒︒︒︒()4040cos 4026040cos 4020cos 40sin 40sin 40sin 40sin 12cos 22cos 402cos ︒+︒-︒︒-︒-︒︒︒=-==︒︒⎛⎫ ⎪⎝︒⎭︒40sin 40︒==︒故选：A8．已知定义在(1,1)-上的函数()f x 满足：当0x >时，()0f x >，且对任意的,(1,1)x y ∈-，均有()[1()()]()()f x y f x f y f x f y +-=+.若1(ln )2f x f ⎫⎛< ⎪⎝⎭，则x 的取值范围是（）(e 是自然对数的底数) A． B．1e ⎛ ⎝C． D．1)e e ⎛⋃ ⎝ 答案：B先讨论()f x 在(1,1)-上的单调性，从而得到11ln 2x -<<，求出其解后可得正确的选项. 解：令1,0,2x y ==则102f ⎛⎫> ⎪⎝⎭且111()[1()(0)]()(0)222f f f f f -=+，整理得到21()(0)(0)2f f f -=，若()00f ≠，则21()12f -=，这与21()02f -≤，矛盾，所以()00f =，令y x =-，则(0)[1()()]()()0f f x f x f x f x --=+-=即()()f x f x -=-， 故()f x 为(1,1)-的奇函数， 设1201x x ，故212121()[1()()]()()f x x f x f x f x f x ---=+-，即212121()[1()()]()()f x x f x f x f x f x -+=-，因为2101x x <-<，故21()0f x x ->，而21()0,()0f x f x >>， 故211()()0f x f x +>即21()()0f x f x ->， 所以故()f x 为(1,1)-的增函数，因为1(ln )2f x f ⎫⎛< ⎪⎝⎭，故11ln 2x -<<即1x e <<故选：B.点评：方法点睛：抽象函数的性质，一般依据已有的运算性质来推理，对于奇偶性的探究，需采用赋值法来求()0f 的值，这样才能实现()f x 与()f x -的联系，而单调性的探究，则需根据定义来证明. 二、多选题9．已知a 、b 均为实数，则“a b >”成立的必要条件可以是（） A ．a b > B ．1a b -<- C ．33a b > D ．11a b< 答案：ABC根据必要条件的定义逐项判断可得出合适的选项.解：对于A 选项，由绝对值的性质可知，若a b >，则a a b ≥>，A 选项合乎要求； 对于B 选项，若a b >，则1a b b -<-<-，B 选项合乎要求；对于C 选项，若a b >，则a 、b 不同时为零，可得()()()2233223024b b a b a b a ab b a b a ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，则33a b >，C 选项合乎要求；对于D 选项，若a b >，取0a b >>，则11a b>，D 选项不合乎要求. 故选：ABC.10．已知函数()()()4sin 10,f x x ωϕωϕπ=+->≤为偶函数，点()1,1A x -、()2,1B x -是()f x 图象上的两点，若12x x -的最小值为2，则下列说法正确的有（）A ．2πω=B ．2ϕπ=C ．()11f =-D ．()f x 在区间[]111,1x x -+上单调递增答案：AC求出函数()f x 的最小正周期，可求出ω的值，可判断A 选项的正误；根据函数()f x 为偶函数可求出ϕ的值，可判断B 选项的正误；求出()1f 的值，可判断C 选项的正误；利用余弦型函数的单调性可判断D 选项的正误.解：对于A 选项，点()1,1A x -、()2,1B x -是()f x 图象上的两点， 可得()()12sin sin 0x x ωϕωϕ+=+=，若12x x -的最小值为2，则函数()f x 的最小正周期为224T =⨯=，22T ππω∴==，A 选项正确；对于B 选项，()4sin 12x f x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 由于该函数为偶函数，则()022k k Z ππϕπ⨯+=+∈，可得()2k k Z πϕπ=+∈，πϕπ-≤≤，2πϕ∴=±，B 选项错误；对于C 选项，若2ϕπ=，则()4sin 14cos 1222x x f x πππ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，则()11f =-； 若2πϕ=-，则()4sin 14cos 1222x x f x πππ⎛⎫=--=--⎪⎝⎭，则()11f =-.C 选项正确；对于D 选项，取2ϕπ=，则()4cos12xf x π=-，取11x =，则[][]111,10,2x x -+=，当02x ≤≤时，02xππ≤≤，此时，函数()f x 在区间[]111,1x x -+上单调递减，D 选项错误. 故选：AC.点评：结论点睛：函数()()sin 0y A x A ωϕω=+>>0,的性质：（1）奇偶性：()k k Z ϕπ=∈时，函数()sin y A ωx φ=+为奇函数；()2k k Z πϕπ=+∈时，函数()sin y A ωx φ=+为偶函数；（2）周期性：()sin y A ωx φ=+存在周期性，其最小正周期为2T πω=；（3）单调性：根据sin y t =和()0t x ωϕω=+>的单调性来研究，由()2222k x k k Z πππωϕπ-≤+≤+∈得单调增区间；由()32222k x k k Z πππωϕπ+≤+≤+∈得单调减区间；（2）对称性：对称中心：利用sin y x =的对称中心为()(),0k k Z π∈求解，令()x k k Z ωϕπ+=∈，求得x ；对称轴：利用sin y x =的对称轴为()2x k k Z ππ=+∈求解，令()2x k k Z πωϕπ+=+∈得其对称轴．11．关于函数22cos ,02()log 2,2x x f x x x π≤≤⎧=⎨-+>⎩，下列说法正确的有（）A ．函数()f x 是周期为2的周期函数B ．(2)2f =C ．不等式()1f x >的解集是150,,233⎫⎡⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎝⎦⎭D ．若存在实数,,()a b c a b c <<满足()()()f a f b f c ==，则16a b c c+++的取值范围是[10,19) 答案：BCD根据()f x 函数解析式的形式分段讨论后可得正确的选项. 解：因为当2x >时，()2log 2f x x =-+， 故()22cos2π2f ==，()24log 420f =-+=， 故()f x 不是周期为2的周期函数，故A 错误，且B 正确.()1f x >等价于022cos 1x x π≤≤⎧⎨>⎩或22log 21x x >⎧⎨-+>⎩（无解），解得150,,233x ⎡⎫⎛⎤∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，故C 正确. ()f x 的图象如图所示：在[]0,2上，()f x 的图象的对称轴为1x =，因为()()()f a f b f c ==且a b c <<，故2a b +=且2>c ， 又()2f c >-，故2log 22c -+>-，故216c <<，所以161622c c c c++=++， 由双勾函数的性质可得16817c c ≤+<，故[)1610,19a b c c+++∈，故D 正确. 故选：BCD.点评：思路点睛：分段函数的处理方法有两种：（1）分段处理，因为在不同的范围上有不同的解析式，故可考虑在不同范围上对应的方程、不等式等；（2）数形结合，即画出分段的函数的图像，从而考虑与分段函数相关的范围问题、方程的解等问题.12．已知奇函数()f x 的定义域为R ，且满足：对任意的x ∈R ，都有()(1)f x f x =-+.设()()g x x f x =+，且当01x ≤≤时，()g x 的值域为[0,1]，则下列说法正确的有（）A ．()f x 的图象关于直线32x =-轴对称 B ．()f x 在[0,2]内至少有5个零点 C ．()f x 的图象关于点(1,0)中心对称 D ．()g x 在[0,3]上的值域为[0,3]答案：ACD利用函数的奇偶性，对称性，周期性判断各选项对错. 解：由()f x 为奇函数，()(1)f x f x =-+，(1)()()f x f x f x ∴+=-=-且()(1)[(2)](2)f x f x f x f x =-+=--+=+，故函数关于直线12x =对称，且周期2T =， 故函数关于直线32x =-对称，且关于点(1,0)中心对称，故A 、C 选项正确；即(0)(1)(2)0f f f ===，故()f x 在[0,2]内至少有3个零点，B 选项错误；又()()g x x f x =+，故函数()g x 为奇函数， 当01x ≤≤时，()g x 的值域为[0,1]，所以当10x -≤≤时，()g x 的值域为[1,0]-，当12x ≤≤时，120x -≤-≤，()()()()222g x x f x x f x =+=-+-+的值域为[1,2]， 当23x ≤≤时，021x ≤-≤，()()()()222g x x f x x f x =+=-+-+的值域为[2,3]， 综上当[0,3]x ∈时，()g x 的值域为[0,3]，D 选项正确； 故选：ACD.点评：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性． 三、填空题13．计算21log 32+=___________. 答案：6根据对数的性质可得所求的结果. 解：221log 3log 3222236+==⨯⨯=, 故答案为：6. 14．已知3sin 45πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，0απ<<，则cos α=___________.答案：10-先求出cos 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭，再利用两角差的余弦可求cos α. 解：因为0απ<<，故5444πππα<+<，若442πππα<+≤sin 14απ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭35>， 故442πππα<+≤不成立，而3sin 045πα⎛⎫+=>⎪⎝⎭，故24ππαπ<+<，所以4cos 45πα⎛⎫+==-⎪⎝⎭，所以cos cos sin 442424⎡ππ⎤ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫α=α+-=α++α+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦43252510⎛⎫=-+=-⎪⎝⎭.故答案为：-. 15．已知a ，b ，c 均为正实数，满足2ac bc ab +=，则a bc+的最小值是___________.答案：3+由2ac bc ab +=，得21c c b a +=，再根据基本不等式“1”的代换求得a b c+的最小值. 解：由2ac bc ab +=，得21c cb a+=，22333a b a b c c a b c c c b a b a +⎛⎫⎛⎫∴=+⋅+=++≥+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2a bb a=，即a =时取等号，故答案为：3+点评：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 16．对于实数m ，若两函数()f x ，()g x 满足：①[,)x m ∀∈+∞，()0f x <或()0<g x ；②(,]x m ∃∈-∞，()()0f x g x <，则称函数()f x 和()g x 互为“m 相异”函数.若2()1f x ax ax =+-和()1g x x =-互为“1相异”函数，则实数a 的取值范围是___________.答案：(),4-∞-根据两个函数互为“1相异”函数可得[1,)x ∀∈+∞，有()0f x <恒成立，且()0f x >在(),1-∞上有解，利用参变分离先讨论前者，再结合二次函数的图象和性质可得所求的取值范围. 解：因为当1x >时，()0g x >，当1x =时，()0g x =，当1x <时，()0g x <， 结合()(),f x g x 互为“1相异”函数，故[1,)x ∀∈+∞，有()0f x <恒成立，且()0f x >在(),1-∞上有解. 先考虑[1,)x ∀∈+∞，有()0f x <恒成立，则210ax ax 在[1,)+∞上恒成立，故2+1a x x<在[1,)+∞上恒成立， 因为22+x x ≥，故2+1102x x <≤，故0a ≤. 再考虑()0f x >在(),1-∞上有解，若0a =，则()10f x =-<，故()0f x >在(),1-∞上无解， 若0a <，()f x 的对称轴为12x =-，且开口向下，由()0f x >在(),1-∞上有解可得240a a ∆=+>， 故4a或0a >（舍）.故实数a 的取值范围是(),4-∞-， 故答案为：(),4-∞-.点评：方法点睛：对于新定义背景下的函数性质的讨论，一般是先根据定义得到含参数的函数的性质，对于不等式的恒成立或有解问题，可优先考虑参变分离的方法，也可以结合函数图象的性质处理. 四、解答题17．已知全集U =R ，集合{}124xA x =<<，集合1,,aB y y x x a ⎧⎫⎛⎫==∈+∞⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭.（1）当1a =时，求()UA B ∩；（2）若AB A =，且UA B U ，求实数a 的值.答案：（1）{}12x x ≤<；（2先解不等式化简集合A ，根据反比例函数单调性，得到{}20B y y a=<<；（1）再由1a =，化简集合B ，根据交集和补集的概念，即可得出结果； （2）根据题中条件，得到A B =，进而可求出结果.解：因为{}{}12402xA x x x =<<=<<，ay x =在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，由定义域可得a>0,则{}21,,0a B y y x y y a x a ⎧⎫⎛⎫==∈+∞=<<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭； （1）若1a =，则{}01B y y =<<，所以{0UB x y =≤或}1y ≥，因此(){}12UA B x x ⋂=≤<；（2）因为A B A =，所以A B ⊆；又UABU ，所以B A ⊆，因此A B =，所以有22a =，解得a =a>0，则实数a .18．已知函数()2sin cos cos26f x x x x π⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （1）求()f x 的单调递增区间和最值；（2）若函数()()g x f x a =-有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围.答案：（1）()f x 的单调递增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()()min max 30,2f x f x ==；（2）3[0,1)2⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭（1）利用两角差的余弦公式，二倍角公式和辅助角法，将函数转化为()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求解.（2）将函数()()g x f x a =-有且仅有一个零点，转化为函数()y f x =与y a =有且仅有一个交点，利用数形结合法求解.解：（1）函数()2sin cos cos26f x x x x π⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭，12sin sin cos 22x x x x ⎫=++⎪⎪⎝⎭，2cos sin cos 2x x x x =++，311sin 2cos 222x x =++， 1sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，解得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以函数()f x 的单调递增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()()min max 30,2f x f x ==. （2）因为()()g x f x a =-有且仅有一个零点， 所以()f x a =有且仅有一个零点，即函数()y f x =与y a =有且仅有一个交点， 如图所示：由图象知：32a =或[0,1)a ∈，所以实数a 的取值范围是3[0,1)2⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭.点评：方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式． 2．函数y ＝Asin(ωx＋φ)和y ＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2T ωπ=，y ＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为T πω=. 3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx＋φ，将其转化为研究y ＝sint 的性质．19．已知关于x 的不等式()24(4)0()kx k x k --->∈R 的解集为A . （1）写出集合A ；（2）若集合A 中恰有9个整数，求实数k 的取值范围.答案：（1）见解析；（2）34k --≤<-或13k -<≤-+（1）就0k =、0k <、02k <<、2k =、2k >分类讨论后可得不等式的解集.（2）根据（1）可得0k <，结合解集中整数解的个数可得24650k kk ⎧+-≤<-⎪⎨⎪<⎩，从而可得k 的解. 解：（1）若0k =，则原不等式等价于40x -<，故{}4|=<A x x .若0k <，则原不等式等价于24(4)0k x x k +⎛⎫--< ⎪⎝⎭，因为244k k +<，故24|4k A x x k ⎧⎫+=<<⎨⎬⎩⎭.若02k <<或2k >，则原不等式等价于24(4)0k x x k +⎛⎫--> ⎪⎝⎭，因为244k k +>，故{|4A x x =<或24}k x k+>，若2k =，则原不等式等价于2(4)0x ->，故{}|4A x x =≠.（2）由（1）可得0k <且24|4k A x x k ⎧⎫+=<<⎨⎬⎩⎭，因为集合A中恰有9个整数，故24 65kkk⎧+-≤<-⎪⎨⎪<⎩即22540640k kk kk⎧++>⎪++≤⎨⎪<⎩解得354k--≤<-或135k-<≤-+.点评：思路点睛：含参数的不等式的解，注意先考虑二次项系数的正负，再考虑两个的大小关系，结合不等式的方向可得不等式的解集.20．如图所示，摩天轮的半径为50m，最高点距离地面高度为110m，摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要12min.甲，乙两游客分别坐在P，Q两个座舱里，且他们之间间隔2个座舱(本题中将座舱视为圆周上的点).（1）求劣弧PQ的弧长l(单位：m)；（2）设游客丙从最低点M处进舱，开始转动mint后距离地面的高度为mH，求在转动一周的过程中，H关于时间t的函数解析式；（3）若游客在距离地面至少85m的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果.答案：（1）252mπ；（2）50sin()6062H xππ=-+，其中012t≤≤；（3）5min2.（1）根据弧长的计算公式可求PQ的长度.（2）建立如图所示的平面直角坐标系，利用三角函数的定义可求H关于时间t的函数解析式. （3）利用（2）中所得的解析式并令85H≥，求出不等式的解后可得甲，乙两位游客都有最佳视觉效果的时间长度.解：（1）因为摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，故每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为22412ππ=，故25350122l mππ.（2）建立如图所示的平面直角坐标系，设sin()H A wx Bϕ=++，由题意知，12T =，所以26w T ππ==， 又由50,1105060A r B ===-=，所以50sin()606H x πϕ=++，当0x =时，可得sin 1ϕ=-，所以2πϕ=-，故H 关于时间t 的函数解析式为50sin()6062H x ππ=-+，其中012t ≤≤.（3）令50sin()608562H x ππ=-+≥，即1sin()622x ππ-≥， 令522,6626k x k k Z ππππππ+≤-≤+∈，解得412812,k x k k Z +≤≤+∈， 因为甲乙两人相差3312min 242⨯=， 又由354min 22-=，所以有5min 2甲乙都有最佳视觉效果.点评：三角函数实际应用问题的处理策略： 1、已知函数模型求解数学问题；2、把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题；3、根据实际问题转化为已知条件转化为三角函数的解析式和图象，然后在根据数形结合思想研究三角函数的性质，进而加深理解函数的性质. 21．已知函数2()lnx f x x -=，1()4212x x m g x m +=+-+. （1）根据定义证明函数()f x 是减函数；（2）若存在两不相等的实数a ，b ，使(1)(1)0f a f b +++=，且()()0g a g b +=，求实数m 的取值范围.答案：（1）见解析；（2）254163m -<≤-. （1）利用减函数的定义证明即可.（2）先根据(1)(1)0f a f b +++=得到=-a b 且11a -<<，从而()()0g x g x +-=在()1,1-上有解，利用换元法及参变分离可得221t m t -=-在52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭有解，最后利用基本不等式可求m 的取值范围.解：（1）由题设可得20xx->，故02x <<，故()f x 的定义域为()0,2. 设1202x x <<<，则()122121212112222()lnln ln 2x x x x xf x f x x x x x x ----=-=-， 因为()()212112212220x x x x x x x x ---=->，故21211222x x x x x x ->-， 而()11212220x x x x x -=->，故212112212x x x x x x ->-，所以2121122ln 02x x xx x x ->-，故()12()f x f x >即()f x 在()0,2上为减函数. （2）因为(1)(1)0f a f b +++=，11ln ln 011a ba b --+=++， 所以11111a ba b --⨯=++即=-a b . 又012a <+<，故11a -<<，同理11b -<<.()()0g a g b +=等价于()()0g x g x +-=在()1,1-上有解，又()()0g x g x +-=可整理为()4422220xxx x m m --++-+=+①，令()22,1,1x xt x -=+∈-，则52,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭且①可化为220t mt m +-=， 所以220t mt m +-=在52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭有解，故221tm t -=-在52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭有解，令21s t =-，则12s t +=且[)3,4s ∈，()22111122144s t s t s s +⎛⎫==++ ⎪-⎝⎭， 因为16125234s s ≤++<，故242532116t t ≤<-，故254163m -<≤-. 点评：思路点睛：（1）函数单调性的证明，需结合定义来展开.（2）复杂方程的解的讨论，一般利用换元法将复杂方程转化为含参数的一元二次方程，后者可利用参变分离来求参数的取值范围，换元时注意范围的传递性. 22．设函数2()||f x ax x a =--，a ∈R . （1）判断()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当12a -≤≤时，若对任意的[1,3]x ∈，均有()0f x bx +≤成立，求2a b +的最大值. 答案：（1）当0a =时，()f x 为偶函数；当0a ≠时，()f x 为非奇非偶函数；（2）4.（1）当0a =时，利用定义可得()f x 为偶函数，当0a ≠时，利用反例可得()f x 为非奇非偶函数. （2）原不等式等价于x a b ax x-≤-+在[1,3]恒成立，令()x ag x ax x -=-+，求出()g x 的最小值后可得b 满足的不等式，从而得到2a b +的不等式，由此可求2a b +的最大值. 解：（1）若0a =，则()||f x x =-，此时()()||||f x x x f x -=--=-=， 又()f x 的定义域为R ，故()f x 为偶函数.若0a ≠，则()33(2),f a a f a a a -==-，但()()f a f a ≠-，故()f x 不是偶函数，又(0)||0f a =≠，故()f x 不是奇函数.故当0a =时，()f x 为偶函数；当0a ≠时，()f x 为非奇非偶函数. （2）因为对任意的[1,3]x ∈，均有()0f x bx +≤，故()x a f x b ax x x-≤-=-+在[1,3]上恒成立. 令()x ag x ax x-=-+，[1,3]x ∈， 若11a -≤≤，则()111a g x ax a x x x ⎛⎫=-+-=-++ ⎪⎝⎭， 因为[1,3]x ∈，故11023x x ≤+≤， 当10a -≤≤时，()min 21g x a =-+，故21b a ≤-+， 故22214a a b a -+≤≤+，当且仅当1,3a b ==时等号成立. 若01a <≤，()min 1013g x a =-+，故1013b a ≤-+， 故2210131a b a a +≤+≤-，当且仅当0,1a b ==时等号成立. 当12a <≤时，()[][]1,,31,1,a ax x a xg x a ax x a x ⎧-+-∈⎪⎪=⎨⎪-+-∈⎪⎩，当1x a ≤≤时，()11g x a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，该函数在[]1,a 上为减函数，当3a x ≤≤，()11g x a x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，该函数在[],3a 上为减函数， 故()min 1013ag x =-+， 故1013b a -≤+，所以22251013164393b a a a a ⎛⎫+≤≤--≤- ⎪⎝⎭-+， 当且仅当541,39a b ==-时等号成立， 故2b a +的最大值为4.点评：思路点睛：（1）函数奇偶性的证明，一般依据定义来处理，说明一个函数不是奇函数或偶函数，可通过反例来说明.（2）含绝对值的不等式的恒成立问题，优先利用参变分离的方法，多变量代数式的最值问题，应用通过相等关系或不等式消元转化为一元函数的最值问题.。
浙江省宁波市2021-2022学年高一上学期期末数学试题(含答案解析)
浙江省宁波市2021-2022学年高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{1,2,3,4,5,6},{1,2,3},{3,4,5}===U A B ，则UA B =（ ）A ．{3}B ．{1,2}C ．{1,2,6}D ．{1,2,3,6}2．已知角A 是ABC 的内角，则“sin A =是“4A π=”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A ．1y x=-B ．tan y x =C ．2x y =D ．3y x =4．已知232a =，252b =，233c =，则（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<5．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-，则(2022)f =（ ） A ．2022-B ．0C ．1D ．20226．在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数量指数级增长．当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散．广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数．假设某种传染病的基本传染数为0R ，1个感染者在每个传染期会接触到N 个新人，这N 人中有V 个人接种过疫苗(VN称为接种率)，那么1个感染者新的传染人数为()0R N V N-．已知新冠病毒在某地的基本传染数0 2.5,R ＝为了使1个感染者传染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为（ ） A ．40%B ．50%C ．60%D ．70%7．已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能是（ ）A ．()()22x xf x x -=+ B ．()()22x xf x x -=-C ．()()1222log x xf x x -=+D ．()()222log x xf x x -=+8．已知函数2()f x x mx n =++，则存在,R m n ∈，对任意的R x ∈有（ ） A ．()(2022)<+f x f xB ．2022(())2022≥x f f xC ．()21(2022)-<-f x f xD ．≥⎝⎭ff二、多选题9．若cos tan 0θθ⋅>，则角θ的终边可能落在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限10．已知正实数x ，y ，z 满足2510x y z ==，则下列选项正确的有（ ） A ．x y z += B ．111x y z+=C ．2510>>z y x D ．24xy z >11．设函数()cos 2(R)3π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭f x x x ，则下列结论正确的是（ ）A ．R α∃∈，使得()()1αα=-=f fB ．R α∃∈，使得1()()2αα=-=f f C ．R x ∀∈，都有()03f x f x π⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭D ．R x ∀∈，都有66f x f x ππ-=--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．若实数a ，b 满足3443+=+a b a b ，则下列关系式中可能成立的是（ ） A ．01a b <<< B ．0b a << C ．1a b << D ．a b =三、填空题13．已知扇形的圆心角为23π，半径为3，则扇形的面积是（______）. 14．已知3sin()5απ+=-，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．15．已知函数22,0(),0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，若()2()20f a f a +-<，则a 的取值范围是______．16．已知1x ，2x ，()3123x x x x <<是函数()()()2121(R,0)=++-∈≠x xf x x m m m 的三个零点，则1232--+x x x 的取值范围是______．四、解答题17．已知集合{|||4}=≤A x x ，{55,0}∣=-≤≤+>B x m x m m ． （1）若10m =，求A B ；（2）若命题:p “x A ∀∈，x B ∈”是真命题，求实数 m 的取值范围．18．已知函数()sin cos cos 44ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x x x x x ．（1）求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）在ABC 中，若12A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求sin sin B C +的最大值．19．已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如图．（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图象向左平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间． 20．已知函数()21log 1x f x x -=+． （1）证明：函数()f x 在()1,+∞上为增函数；（2）若对于区间[]3,4上的每一个x 值，不等式()12⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭xf x x m 恒成立，求实数m 的取值范围．21．如图所示，摩天轮的直径为100m ，最高点距离地面高度为110m ，摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要12min ．（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动min t 后距离地面的高度为m H ，求在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式；（2）在甲进座舱后间隔3个座舱乙游客进座舱（如图所示，此时甲、乙分别位于P 、Q 两点，本题中将座舱视为圆周上的点），以乙进座舱后开始计时，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h （单位：m ）关于t 的函数解析式，并求出25≥h 时t 的取值范围．22．已知函数()||f x x x a =-，24()1xg x x =+． （1）当1a =时，函数()f x 在(,1)m m +上不单调，求实数m 的取值范围；（2）对[1,2]∀∈t ，[1,2](1,2)∃∈=i x i ，且12x x ≠，使()()i f x g t =，求实数a 的取值范围．参考答案1．B 【分析】先求出B 的补集，再和A 求交集即可. 【详解】因为{1,2,3,4,5,6},{1,2,3},{3,4,5}===U A B ， 所以UB ={}1,2,6，UAB ={}1,2，故选：B 2．C 【分析】在ABC 中，由sin A =A ，再利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答. 【详解】因角A 是ABC 的内角，则0πA <<，当sin A =4A π=或34A π=，即sin A =4A π=，若4A π=，则sin sin4A π==，所以“sin A =是“4A π=”的必要不充分条件. 故选：C 3．D 【分析】根据奇函数可排除C 选项，由函数为增函数可排除A 、B 选项，得出答案. 【详解】选项A. 函数1y x=-为奇函数，但在定义域内不是增函数，故不正确.选项B. 函数tan y x =为奇函数，但在定义域内不是增函数，故不正确. 选项C. 函数2x y =不知奇函数，不不正确.选项D. 函数3y x =是奇函数且在R 上为增函数. 故正确. 故选：D 4．A【分析】先利用指数函数的性质比较,a b 的大小，再利用幂函数的性质比较,a c 的大小，即得解. 【详解】因为2x y =是单调递增函数，所以232=>a 252b =， 因为()0α=>y xx 是单调递增函数，所以232a =< 233c =，所以b a c <<. 故选：A. 5．B 【分析】求出函数的周期，利用周期和(0)0f =可得答案. 【详解】因为(2)()f x f x +=-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=， 所以()f x 的周期为4，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =， 所以(2)(0)0f f =-=，(2022)(50542)(2)0f f f =⨯+==.故选：B. 6．C 【分析】 由题意列不等式2.5()1N V N-≤，即可求出结果. 【详解】 由题意可得：2.5() 1.51 2.5 2.560%2.5N V V N V N N N -≤⇒-≤⇒≥= 故选：C. 7．D 【分析】分析各选项中函数的定义域、奇偶性及其在()0,1上的函数值符号，由此可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，函数()()22x xf x x -=+的定义域为R ，不满足条件；对于B 选项，函数()()22x xf x x -=-的定义域为R ，不满足条件； 对于C 选项，函数()()1222log x xf x x -=+的定义域为{}0x x ≠，()()()()112222log 22log x x x x f x x x f x ---=+-=+=，函数()f x 为偶函数，当01x <<时，12log 0x >，则()()1222log 0x xf x x -=+>，不满足条件；对于D 选项，函数()()222log x xf x x -=+的定义域为{}0x x ≠，()()()()2222log 22log x x x x f x x x f x ---=+-=+=，函数()f x 为偶函数，当01x <<时，2log 0x <，则()()2022log x xf x x -=+<，满足条件.故选：D. 8．D 【分析】考虑到二次函数2()f x x mx n =++的对称轴的不同情况，结合二次函数的单调性，即可判断每个选项的正确与否. 【详解】对于A,当20222mx +≤-时，有()(2022)f x f x >+，故A 错误； 对于B ，(())f f x 为四次函数，2022x y = 为指数函数，且是单调递增， 当x 取很大的实数时，不存在,R m n ∈，使得2022(())2022≥x f f x ，故B 错误；对于C ，要使 ()21(2022)-<-f x f x ，必须满足2|1()||2020()|22m mx x ---<--- ， 也即恒有2|1||2020|x x -<-，当100x =时，就有2|1||2020|x x ->-，说明C 错误；对于D 2(2022)x +≥ ，此时，若0m ≥ ，则02m-≤ ，那么对任意的R x ∈，≥⎝⎭f f 恒成立，故D 正确； 故选：D. 9．AB 【分析】通过“切化弦”思想，结合各象限内三角函数值的符号即可得结果. 【详解】因为cos tan 0θθ⋅>，所以sin 0cos 0θθ>⎧⎨≠⎩，所以角θ的终边可能落在第一象限或第二象限， 故选：AB. 10．BD 【分析】设()25100===>x y zt t ，所以2510log ,log ,log ===x t y t z t ，利用换底公式25lg lg log log ,lg lg 2lg 5+=+=+=t tx y t t z t 可判断A ； 利用换底公式计算111,+x y z可判断B ；利用换底公式110log 1024=t x ，15log 3125=t y ，12log 100=t z ， 构造函数利用单调性可判定()log 0=>t y x x C ；由()2lg lg 2lg5=⨯t xy ，()2244lg =z t ，利用做差比较大小可判断D.【详解】设2510===x y z t ，所以2510log ,log ,log ===x t y t z t ，因为 ()2510lg lg 2lg 5lg lg lg log log log lg lg 2lg 5lg 2lg 5lg 2lg 5++=+=+==≠==t t t tx y t t z t t ，故A 错误；111log 2log 5log 10,log 10+=+==t t t t x y z ，所以111x y z+=，故B 正确； 210log 111101010log 2log 2log 1024====t t t t x ， 55log 111555log 5log 5log 3125====t t t t y ， 10log 11222log 10log 100===t t t z ， 因为x ，y ，z 是正实数，所以25101===>x y z t ， 所以()log 0=>t y x x 是单调递增函数， 所以log 100log 1024log 3125<<t t t ，所以2105>>z x y，故C 错误；()225lg log log lg 2lg5=⨯=⨯t xy t t ，()22101044log log 4lg =⨯=z t t t ，因为222lg 2lg54lg 2lg5lg 2lg 52lg 2lg5lg 2lg5244+⨯++⨯⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭()222lg 2lg5lg 2lg 52lg 2lg5044----+⨯==<， 所以2lg 2lg51lg 2lg524+⎛⎫⨯<= ⎪⎝⎭，14lg 2lg5>⨯， 所以()()222lg 44lg lg 2lg5=>=⨯t xy z t ，故D 正确.故选：BD. 11．BD 【分析】假设R α∃∈，使得()()1αα=-=f f 推出矛盾可判断A,取特殊值可判断BC ，利用解析式化简可判断D. 【详解】对A ，若R α∃∈，使得()()1αα=-=f f ，即22,22,,33ππαk παn πk n Z +=-+=∈， 所以,66ππαk παn π=-=-+，可得()3πk n π+=，即13k n +=，显然不存在满足此条件的整数，故不存在，A 错误；对B ，当0α=时，1()()2αα=-=f f 成立，故B 正确； 对于C ，取0x =时，11(0)10322f f ⎛⎫-+=+=≠ ⎪⎝⎭π，故C 错误；对于D ，cos 26x f x ⎛⎫= ⎪⎭-⎝π，cos 2cos 2336x x f x ⎛⎫⎛⎫=--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--πππ，故D 正确.故选：BD 12．ABD 【分析】根据题目实数a ,b 满足3443+=+a b a b ,设()34xf x x =+,()43xg x x =+,画出函数图象,逐段分析比较大小即可. 【详解】解：因为实数a ,b 满足3443+=+a b a b .设()34xf x x =+,()43xg x x =+，显然()(),f x g x 在R 上都单调递增，且()()001f g ==，()()117f g ==,作出函数的图像，如图 由图象可知①当0x < 时,()()f x g x <,所以3443+=+a b a b ,即0b a <<,故B 正确 ②当0x = 时,()()f x g x =,所以3443+=+a b a b ,即0a b ,故D 正确 ③当01x << 时,()()f x g x >,所以3443+=+a b a b ,即01a b <<<,故A 正确 ④当1x = 时,()()f x g x =,所以3443+=+a b a b ,即1a b ==,故D 正确 ⑤当1x > 时,()()f x g x <,所以3443+=+a b a b ,即1b a <<,故C 错误. 故选：ABD13．3π 【分析】利用弧长公式先求解弧长，再利用扇形的面积公式求解. 【详解】因为扇形的圆心角为23π，半径为3，所以扇形的弧长2323l π=⨯=π， 所以面积1123322S lr ==⨯π⨯=π.故答案为：3π. 【点睛】本题主要考查扇形的面积求解，明确扇形的面积公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 14．7-或 【分析】首先根据诱导公式求出3sin 5α=，再利用同角三角函数关系式求出cos ,tan αα的值，从而可求出tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】因为3sin()5απ+=-，所以3sin 5α=，所以4cos 5α=-或4cos 5α=，当4cos 5α=-时，3tan 4α=-，tan 1tan 74tan 1πααα-⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭； 当4cos 5α=时，3tan 4α=，tan 11tan 4tan 17πααα-⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭. 故答案为：7-或17-.15．()2,1- 【分析】根据函数的解析式利用定义可判断出函数的单调性和奇偶性，再利用单调性和奇偶性可得答案. 【详解】当0x ≥时，()2f x x =在[)0,+∞上单调递增， 当0x <时，()2f x x =-在(),0-∞单调递增，又因为在()00=f ，所以()f x 在R 上单调递增，当0x >时，0x -<，()()2-=-=-f x x f x ，当0x <时，0x ->，()()2-==-f x x f x ，因为()00=f ，所以()f x 为奇函数，由()2()20f a f a +-<得()()22()22<--=-+f a f a f a ，所以22a a <-+，解得21a -<<. 故答案为：()2,1-. 16．()1,+∞ 【分析】首先判断出()00f =；然后再判断()f x 为奇函数，从而得到31x x =-，3123322x x x x x -=-++，进而根据30x >即可求出答案. 【详解】显然()00f =，即20x =.设()00f x =，即()()00021210x xx m ++-=，则()()00000002112()212122x x x x x x f x x m x m --+--=-++-=-⋅+⋅()()0000212102x x x x m ++-==-，所以()f x 为奇函数，所以31xx =-，且30x >，所以3123322x x x x x -=-++，因为30x >，所以321x >，所以3321x x +>， 所以1232--+x x x 的取值范围是()1,+∞.故答案为：()1,+∞. 17．（1）{44}∣⋂=-≤≤A B x x（2）[)9,+∞ 【分析】（1）根据交集定义即可得解；（2）由命题p 为真命题可得A B ⊆，列不等式组求解即可. （1）由题意{44}∣=-≤≤A xx 当10m =时，{515}∣=-≤≤B x x 所以{44}∣⋂=-≤≤A B x x （2）由题意得A B ⊆，所以[4,4][5,5]-⊆-+m m ，则0,9,54,1,54,0.m m m m m m ⎧>≥⎧⎪⎪-≤-⇒≥-⎨⎨⎪⎪+≥>⎩⎩解得9m ≥．所以实数 m 的取值范围是[)9,+∞. 18． （1）1（2【分析】（1）根据二倍角公式及和差公式化简函数()f x ，然后即可直接求出6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）首先求出角A 的值，然后利用和差公式和辅助角公式把sin sin B C +6B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，从而可求出最大值. （1）11()sin 22cos 22sin 22226 ππ⎛⎫⎛⎫=+==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x x x x x x ，所以sin 21666f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）因为()sin 26 f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以sin 126A f A π⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为0A π<<，所以7666A πππ<+<，所以62A ππ+=，得3A π=，所以2sin sin sin sin 36B C B B B ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当3B π=时，sin sin B C +19．（1）2()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（2）5114,4()33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）直接利用函数的图象求出函数的关系式．（2）利用（1）的结论，进一步利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的单调递减区间． （1）由图可得，2A =又5263πππ⎛⎫=⋅-=⎪⎝⎭T ，得2ω=又当712x π=时()f x 取得最大值， 所以722,122ππϕπ⋅+=+∈k k Z ，得22,3ϕππ=-+∈k k Z 又||ϕπ<，得23ϕπ=-，所以2()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（2）()y f x =的图象向左平移6π个单位后，得到2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到2sin 23x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以，()2sin 23x g x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭令322,2232πππππ+≤-≤+∈x k k k Z ，得51144,33k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以()g x 的单调递减区间为5114,4()33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦． 20．（1）证明见解析 （2）158m < 【分析】（1）由定义法12,(1,)x x ∀∈+∞且12x x <，先得出1111x x -+与2211x x -+的大小，从而得出()1f x 与()2f x 的大小，使得问题得证.（2）由题意，1()2⎛⎫<+- ⎪⎝⎭xm f x x 恒成立，令1()()2⎛⎫=+- ⎪⎝⎭xg x f x x ，先得出函数()g x 的单调性，从而得出()g x 的最小值，从而得出答案. （1）12,(1,)x x ∀∈+∞且12x x <则()()()()()()121212121212121212112110111111+----+-----==<++++++x x x x x x x x x x x x x x x x x x ， 所以121211011--<<++x x x x ，即12221211log log 11x x x x --<++所以()()1212221211log log 011x x f x f x x x ---=-<++ 即()()12f x f x <所以函数()f x 在(1,)+∞上单调递增． （2）由题意，1()2⎛⎫<+- ⎪⎝⎭xm f x x 恒成立令1()()2⎛⎫=+- ⎪⎝⎭xg x f x x ，12,[3,4]∀∈x x 且12x x <则()()()()121211221122⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+--+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦x x g x g x f x x f x x()()2112121122⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x xf x f x x x由（1）得()()120f x f x -<，又120x x -<，2111022x x⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()()120g x g x -<，即()()12g x g x < 所以()g x 是[]3,4上的增函数 则min 15()(3)8g x g == 所以158m <． 21．（1）π50cos 60,0126H t t =-+≤≤（2）ππ50sin 66h t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[0,4][6,10]∈⋃t【分析】（1）建立合适的坐标系，求出H 关于t 的函数解析式；（2）在第一问的基础上，列出不等关系，用三角恒等变换化简，解出解集.（1） 如图，以摩天轮中心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴，建立直角坐标系．由题意，摩天轮的角速度2ππrad /min 126ω== 所以甲所在的位置的纵坐标ππ50sin 62y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭甲则πππ50sin 6050cos 60,012626H t t t ⎛⎫=-+=-+≤≤ ⎪⎝⎭（2）令甲、乙两位游客距离地面的高度为1H 、2H ，则12πππ50cos 6050cos 60636h H H t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-++--+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππ1π50cos 50cos cos 636626t t t t ⎛⎫=-++=+ ⎪⎝⎭ππ50sin 66t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[0,12]t ∈令ππ50sin 2566t ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，得ππ1sin 662t ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭或ππ1sin 662t ⎛⎫+≤- ⎪⎝⎭解得：[0,4][6,10]∈⋃t ． 22．（1）112m -<<；（2）135≤≤a . 【分析】（1）把1a =的值代入函数()f x 的解析式，然后求出函数()f x 的单调区间，从而可求出实数m 的取值范围；（2）首先求出()g x 在()1,2内的值域为8,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦；然后通过分122a <<或12a <<两种情况进行讨论，根据8,2max{(1),(2)},52⎡⎤⎡⎤⎛⎫⊆ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦a f f f 或者8,2[0,min{(1),(2)}]5⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦f f ，即可求出实数a 的取值范围． （1）当1a =时，22,1()1,1x x x f x x x x x x ⎧-≥=-=⎨-+<⎩，所以()f x 在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭递增，1,12⎛⎫⎪⎝⎭递减，(1,)+∞递增因为()f x 在(,1)m m +上不单调，所以1112m m <⎧⎪⎨+>⎪⎩，解得112m -<<．（2） 因为244()11==++t g t t t t，所以()g t 在[1,2]t ∈上单调递减，所以8(),25⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦g t ．而22,(),x ax x af x x x a x ax x a ⎧-≥=-=⎨-+<⎩，当0a ≤时，2()f x x ax =-在[]1,2上单调递增， 所以方程()()f x g t =至多有一个根，不符合题意；当0a >时，()f x 在,2a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦单调递增，在,2a a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在[,)a +∞单调递增，所以符合题意的a 必须满足122a<<或12a <<，即24a <<或12a <<， ①当24a <<时，函数()f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在,22a ⎛⎤⎥⎝⎦单调递减，由题意，对任意的8(),25⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦g t ，方程()()f x g t =在[]1,2上至少有两个不同的解，等价于8,2max{(1),(2)},52⎡⎤⎡⎤⎛⎫⊆ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦a f f f ，则8(1)58(2)522f f a f ⎧≤⎪⎪⎪≤⎨⎪⎪⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，即2815824524a a a ⎧-≤⎪⎪⎪-≤⎨⎪⎪≥⎪⎩，所以135145a a a ⎧≤⎪⎪⎪≤⎨⎪⎪≥⎪⎩，即135≤≤a ．②当12a <<时，函数()f x 在[]1,a 单调递减，在(,2]a 单调递增， 所以8,2[0,min{(1),(2)}]5⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦f f ，则(1)2(2)2f f ≥⎧⎨≥⎩，所以12422a a -≥⎧⎨-≥⎩，即31a a ≥⎧⎨≤⎩，解得a ∈∅．综上所述，实数a的取值范围是135≤a ．。
2023-2024学年浙江省宁波市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省宁波市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合U ＝{x ∈N |1＜x ＜6}，A ＝{3，4，5}，则∁U A ＝（ ） A ．{2}B ．{1，2}C ．{2，6}D ．{1，2，6}2．“α是锐角”是“α是第一象限角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．下列说法中正确的是（ ） A ．若a ＞b ，则1a ＜1bB ．若a ＞b ，则a 2＞b 2C ．若b ＞a ＞0，则a+1b+1＞abD ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣c ＞b ﹣d4．sinα1−cosα=（ ） A ．tan α2B ．1tanαC ．1−sinαcosαD ．1+cosαsinα5．已知实数a ，b 满足2a +a ＝log 2b +b ＝2，则（ ） A ．1＜b ＜aB ．a ＜1＜bC ．b ＜1＜aD ．1＜a ＜b6．定义在R 上的函数f （x +1）的图象关于点（0，2）对称，则下列式子一定成立的是（ ） A ．f （﹣2）+f （0）＝4 B ．f （﹣1）+f （1）＝4 C ．f （0）+f （2）＝4D ．f （1）+f （3）＝47．已知函数f(x)=|x −1−√x|+|x −1+√x|，则f （x ）的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知函数f(x)=sin(ωx −π4)(ω＞0)，若f （x ）在区间(π4，π2)内没有零点，则当ω取最大值时，f(π6)=（ ） A ．−12B ．0C ．12D ．1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．我们把含有限个元素的集合叫做有限集，用card （A ）来表示有限集合A 中元素的个数．已知集合P ＝{x ∈Z |x 2＜4}，集合Q ={x ∈Z|14＜2x ＜4}，则（ ）A ．card （P ）＝card （Q ）B ．card （P ∩Q ）＝3C ．card （P ∪Q ）＝6D ．card （P ∪Q ）＝card （P ）+card （Q ）10．已知f （x ）是定义在R 上且不恒为0的函数，则下列选项正确的是（ ） A ．f （x ）﹣f （﹣x ）为奇函数B ．若f （x ）是奇函数，则y ＝|f （x ）|为偶函数C ．若y ＝|f （x ）|为偶函数，则f （x ）是奇函数D ．若f （x ）为偶函数，则f [f （x ）]为偶函数 11．已知α，β为锐角，则下列选项正确的是（ ） A ．若α+β=π2，则sin α＝cos βB ．若α+β＞π2，则sin α＞cos βC ．若α+β=π2，则tan αtan β＝1D ．若α+β＞π2，则tan αtan β＜112．已知a ，b ，c 均为正实数，则下列选项正确的是（ ） A ．若2a +3b =2，则b a ≥16B ．若a （a +b +c ）+bc ＝1，则2a +b +c ≥2C ．若2a +3b =2，则a a+1+23b≥2D ．若2a +b +c ＝2，则a （a +b +c ）+bc ≥1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021-2022学年浙江省宁波市镇海中学高一上学期期末考试数学试题(解析版)
浙江省宁波市镇海中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．300°化为弧度是（）A．πB．πC．πD．π2．已知角α的终边经过点P（m，﹣6），且cosα＝﹣，则m＝（）A．8B．﹣8C．4D．﹣43．已知sin（θ+π）＜0，cos（θ﹣π）＞0，则下列不等关系中必定成立的是（）A．sinθ＜0，cosθ＞0B．sinθ＞0，cosθ＜0C．sinθ＞0，cosθ＞0D．sinθ＜0，cosθ＜04．要得到函数的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（）A．向左平行移动B．向右平行移动C．向左平行移动D．向右平行移动5．在〖0，2π〗上满足sin x≥的x的取值范围是（）A．B．C．D．6．在△ABC中，•（﹣4）＝0，则cos A的最小值为（）A．B．C．D．7．已知α，β为锐角，且4sin2α+2sin2β＝1，2sin2α﹣sin2β＝0，则cos（2α+2β）＝（）A．﹣B．C．﹣D．﹣8．已知函数f（x）＝x2+x|x﹣a|+a，若函数f（x）恰有2个零点x1，x2，且x1＜x2，则的取值范围是（）A．〖﹣，0〗B．〖﹣，0）C．〖﹣，〗D．〖﹣，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列函数中，周期为1的函数是（）A．y＝cos（2πx）B．y＝sin（2πx）C．y＝tan（2πx）D．y＝sin（2πx）cos（2πx）10．对于任意向量，，，下列命题中不正确的是（）A．若•＝0，则与中至少有一个为B．向量与向量夹角的范围是〖0，π）C．若⊥，则•＝0D．〖（•）﹣（•）〗•＝011．下列各式中值为1的是（）A．B．sin cosC．sin72°cos18°+cos72°sin18°D．（cos2﹣sin2）12．已知函数f（x）＝e|x+4|sin（bx），若存在实数a，使得y＝f（x+a）是奇函数，则sin b的值可能为（）A．B．C．﹣D．﹣三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．一个扇形的弧长与面积的数值都是5，这个扇形圆心角的弧度数是．14．在▱ABCD中，＝，＝，＝3，M为BC的中点，则＝（用a，b表示）．15．如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝60°，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则的最小值是．16．已知函数f（x）＝恰有3个零点，则m的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知θ∈（π，），且sin4θ+cos4θ＝．（1）求sin2θ的值；（2）求tanθ的值．18．（12分）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P （﹣，﹣）．（1）求的值；（2）若角β满足sin（α+β）＝，求cosβ的值．19．（12分）已知||＝2，||＝1，（﹣3）•（+）＝3．（1）求|+|的值；（2）求与﹣2的夹角．20．（12分）已知函数的某一周期内的对应值如表：xf（x）﹣1131﹣1（1）根据表格提供的数据求函数f（x）的〖解析〗式；（2）根据（1）的结果，若函数y＝f（nx）（n＞0）的最小正周期为，当时，关于x的方程f（nx）＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．21．（12分）在如图所示的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，＝2，＝2，求：（1）设＝x+y，求x+y的值；（2）若∥，且＜，＞∈〖，〗，求•的最小值及此时的夹角＜，＞．22．（12分）已知函数f（x）＝2a（sin x﹣cos x+tan x）2+（a﹣1）（sin x﹣cos x+tan x）﹣8，其中a＞0．（1）设g（x）＝sin x﹣cos x+tan x，x∈〖0，〗，求g（x）的值域；（2）若对任意x1，x2∈〖0，〗，|f（x1）﹣f（x2）≤a2+1，求实数a的取值范围．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．B〖解析〗．故选：B．2．B〖解析〗∵角α的终边经过点P（m，﹣6），且cosα＝﹣，∴，解得m＝﹣8．故选：B．3．B〖解析〗因为sin（θ+π）＜0，所以﹣sinθ＜0，即sinθ＞0；又因为cos（θ﹣π）＞0，所以﹣cosθ＞0，即cosθ＜0．故选：B．4．D〖解析〗假设将函数y＝sin2x的图象平移ρ个单位得到y＝sin2（x+ρ）＝sin（2x+2ρ）＝，∴ρ＝﹣，∴应向右平移个单位，故选：D．5．B〖解析〗在〖0，2π〗上满足sin x≥，由三角函数线可知，满足sin x≥，的解，在图中阴影部分，故选：B．6．D〖解析〗设△ABC中，A、B、C对的边分别为a、b、c，由•（﹣4）＝0得•﹣4•＝0得﹣ac cos B﹣4ab cos C＝0，由余弦定理得﹣ac﹣4ab＝0，整理得a2＝c2﹣b2代入cos A＝得cos A＝≥＝，当且仅当b2＝c2即c＝2b时等号成立，∴cos A的最小值为．故选：D．7．A〖解析〗已知α，β为锐角，且4sin2α+2sin2β＝1，2sin2α﹣sin2β＝0，则，整理得2cos2α+cos2β＝2；故4cos22α+4cos2αcos2β+cos22β＝4，①；4sin22α﹣4sin2αsin2β+sin22β＝0，②；①+②得：4+4（cos2αcos2β﹣sin2αsin2β）+1＝4；故cos（2α+2β）＝cos2αcos2β﹣sin2αsin2β＝﹣；故选：A．8．B〖解析〗当x≥a时，f（x）＝x2+x|x﹣a|+a＝2x2﹣ax+a＝2（x﹣）2+a﹣，当x＜a时，f（x）＝x2+x|x﹣a|+a＝ax+a，当a≥0时，当x≥a时，函数f（x）单调递增，即f（x）≥f（a）＝a2+a，当x＜a时，函数f（x）单调递增，即f（x）＜f（a）＝a2+a，∴当a≥0时，函数f（x）单调递增，且函数f（x）单调递增，且当x→+∞时，f（x）→+∞，当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，因此函数有一个零点，不符合题意，当a＜0时，当a＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，故函数有最小值，最小值为a﹣＜0，当x＜a时，函数f（x）单调递减，而f（a）＝a2+a，当f（a）＝a2+a≥0，因为a＜0，所以有a≤﹣1，这时函数有两个零点，且x1+x2＝，x1x2＝，设＝k，∴x2＝kx1，显然k＜0，∴有x1+kx1＝，kx12＝，∴（k+1）x1＝，∴＝，即＝a，而a≤﹣1，∴即≤﹣1，∴2k2+5k+2≥0，∴k≥﹣或k≤﹣2，又k＜0，∴﹣≤k＜0或k≤﹣2，由x1+kx1＝，kx12＝，∴（k+1）x1＝kx22，∴＝x1，而x1＜0，∴＜0，∴k＞﹣1，故k≤﹣2应舍去，∴﹣≤k＜0，当f（a）＝a2+a＜0时，因为a＜0，∴a＞﹣1，即﹣1＜a＜0，当x＜a时，因为f（﹣1）＝0，所以x1＝﹣1，此时x2﹣＜﹣（﹣1），∴x2＜+1，∵﹣1＜a＜0，∴＜+1＜1，因此有0＜x2≤，而＝﹣x2，∴﹣≤﹣x2＜0，综上所述：∈〖﹣，0）．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．AB〖解析〗对于A：y＝cos（2πx）的最小正周期为，故A正确；对于B：函数y＝sin（2πx）的最小正周期为，故B正确；对于C：函数y＝tan（2πx）的最小正周期为，故C错误；对于D：函数y＝sin（2πx）cos（2πx）＝，故函数的最小正周期；故D错误．故选：AB．10．ABD〖解析〗若•＝0，则若与可能垂直，∴A中说法错；向量与向量夹角的范围是〖0，π〗，∴B中说法错；根据平面向量数量积性质可知C中说法对；根据平面向量数量积运算律可知（•）与（•）不一定相等，〖（•）﹣（•）〗与也不一定垂直，∴D中内容错误．故选：ABD．11．ACD〖解析〗＝tan（12°+33°）＝tan45°＝1，选项A正确；sin cos＝sin＝×，选项B错误；sin72°cos18°+cos72°sin18°＝sin（72°+18°）＝sin90°＝1，选项C正确；（cos2﹣sin2）＝cos＝×＝1，选项D正确．故选：ACD．12．AC〖解析〗根据题意，函数f（x）＝e|x+4|sin（bx），f（x+a）＝e|x+a+4|sin（bx+ab），若存在a∈R，使得f（x+a）为奇函数，即f（﹣x+a）＝﹣f（x+a），又f（﹣x+a）＝e|﹣x+a+4|sin（﹣bx+ab），所以﹣e|x+a+4|sin（bx+ab）＝e|﹣x+a+4|sin（﹣bx+ab），即e|x+a+4|sin（﹣bx﹣ab）＝e|﹣x+a+4|sin（﹣bx+ab），所以4+a＝0且ab＝kπ，k∈Z，所以a＝﹣4，b＝﹣，k∈Z，所以sin b＝sin（﹣），k∈Z，当k＝1时，sin b＝sin（﹣）＝﹣；当k＝2时，sin b＝sin（﹣）＝﹣1；当k＝3时，sin b＝sin（﹣）＝﹣；当k＝4时，sin b＝sin（﹣）＝0；当k＝5时，sin b＝sin（﹣）＝；当k＝6时，sin b＝sin（﹣）＝1；当k＝7时，sin b＝sin（﹣）＝﹣；当k＝8时，sin b＝sin（﹣）＝0；所以sin b的值可能为﹣，﹣1，1，0．故选：AC．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．〖解析〗设这个扇形圆心角的弧度数为α，半径为r．∵一个扇形的弧长与面积的数值都是5，∴5＝αr，5＝，解得α＝．故〖答案〗为：．14．﹣+〖解析〗由＝3（+），即＝（+），又∵＝+，∴＝（+）﹣（+）＝﹣+．故〖答案〗为：﹣+.15．﹣〖解析〗∵OA＝OB＝1，∠AOB＝60°，∴△OAB为等边三角形，则AB＝1，设BP＝x，则AP＝1﹣x，（0≤x≤1），∴＝（+）＝+＝||•||cos+||•||cos＜，＞＝1+（1﹣x）•x•cosπ＝＝（x﹣）2﹣，∵0≤x≤1，∴当x＝时，取得最小值为﹣．故〖答案〗为：﹣．16．〖解析〗令|2x﹣1|＝0，得；令，得或，即或，又x∈（0，10〗，所以或或或，因为恰有3个零点，所以，当时，f（x）有3个零点；当时，f（x）有3个零点；所以m的取值范围是，故〖答案〗为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：（1）由sin4θ+cos4θ＝，得（sin2θ+cos2θ）2﹣2sin2θcos2θ＝，即，∴，又θ∈（π，），∴2θ∈（2π，3π），可得sin2θ＝；（2）∵sin2θ＝，∴，即，∴，解得tanθ＝或tan．18．解：（1）∵α的终边过点P（﹣，﹣），且点P在单位圆上，∴sinα＝，cosα＝，∴＝＝；（2）由sin（α+β）＝，得cos（α+β）＝＝，则cosβ＝cos〖（α+β）﹣α〗＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα．当cos（α+β）＝时，cosβ＝＝；当cos（α+β）＝﹣时，cosβ＝﹣＝．19．解：∵||＝2，||＝1，（﹣3）•（+）＝3，∴22﹣3×12﹣2•＝3，解得•＝﹣1．（1）|+|＝＝＝；（2）设与﹣2的夹角θ，则cosθ＝＝＝＝，又∵θ∈〖0，π〗，∴θ＝．20．解：（1）由表格提供的数据知：，且T＝＝﹣（﹣）＝2π，解得A＝2，B＝1，φ＝1，∴f（x）＝2sin（x+φ）+1，把（，1）代入，得：2sin（+φ）+1＝1，解得φ＝﹣，∴f（x）＝2sin（x﹣）+1．（2）y＝f（nx）＝2sin（nx﹣）+1，∵函数y＝f（nx）（n＞0）的最小正周期为，∴T＝＝，解得n＝3，∴y＝f（nx）＝2sin（3x﹣）+1，∵x∈〖0，〗，∴3x﹣∈〖﹣，〗，sin（3x﹣）∈〖﹣，1〗y＝f（nx）＝2sin（3x﹣）+1）∈〖1﹣，3〗，当x＝时，y＝+1，∴实数m的取值范围是〖1+，3）．21．解：（1）因为＝2，＝2，所以＝﹣＝3﹣3＝3＝3（﹣）＝﹣3+3，所以x＝﹣3，y＝3，所以x+y＝0．（2）设＝λ，θ＝＜，＞∈〖，〗，则＝+＝﹣λ+3（﹣）＝（3﹣λ）﹣3，所以•＝〖（3﹣λ）﹣3〗•（﹣λ）＝﹣λ（3﹣λ）2+3λ•＝（λ2﹣3λ）||2+3λ||•||cosθ＝λ2﹣3λ+6λcosθ＝λ2+（6cosθ﹣3）λ，当λ＝﹣时，λ2+（6cosθ﹣3）λ取得最小值，为﹣，又θ∈〖，〗，所以6cosθ﹣3∈〖0，3﹣3〗，所以﹣∈〖，0〗，所以•的最小值为，此时＜，＞为．22．解：（1）g（x）＝sin x﹣cos x+tan x得g′（x）＝cos x+sin x+，∵x∈〖0，〗，∴g′（x）＞0，∴g（x）＝sin x﹣cos x+tan x在x∈〖0，〗时是单调递增函数，而g（0）＝﹣1，g（）＝1，故g（x）的值域为〖﹣1，1〗；（2）令t＝sin x﹣cos x+tan x，x∈〖0，〗，则t∈〖﹣1，1〗，则f（x）＝2a（sin x﹣cos x+tan x）2+（a﹣1）（sin x﹣cos x+tan x）﹣8，a＞0，即为f（t）＝2at2+（a﹣1）t﹣8，t∈〖﹣1，1〗，所以其图象对称轴为t＝＝（﹣1）＞﹣＞﹣1，故f（﹣1）＝a﹣7，f（1）＝3a﹣9，f（）＝﹣8﹣，对任意x1，x2∈〖0，〗，|f（x1）﹣f（x2）|≤a2+1，等价于|f（x1）﹣f（x2）|max≤a2+1，当0＜a＜时，t＝＝（﹣1）＞1，|f（x1）﹣f（x2）|max＝f（﹣1）﹣f（1）＝2﹣2a，令2﹣2a≤a2+1，解得a＞+1或a＜﹣﹣1，与0＜a＜矛盾，故不符合题意；当≤a＜1时，0＜t＝＝（﹣1）＜1，此时，|f（x1）﹣f（x2）|max＝f（﹣1）﹣f（）＝a+1+，令a+1+≤a2+1，整理得≥a，∵a﹣1≤0，故该式无解，不符合题意；当a＞1时，t＝＝（﹣1）＜0，此时，|f（x1）﹣f（x2）|max＝f（1）﹣f（）＝3a﹣1+，令3a﹣1+≤a2+1，整理得≥a﹣2，解得a≥，符合题意；综上所述，实数a的取值范围为〖，+∞）．。
宁波市2020学年第一学期期末高一数学试卷答案
宁波市2020学年第一学期期末试题高一数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案A B A C D C B D第8题提示：令12111)(+-=+-=x x x x h ，由)(x h 函数性质及题意知，),0()(),1,0(a x h a ∈∈，则⎩⎨⎧=+=a a h r )2(1，解得12-=a .二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.题号9101112答案ABCACDBCAD第12题提示：2)22cos(12)22cos(122cos 1)(βα+-++-+-=x x x x f ))2sin 2(sin 2sin )2cos 2cos 1(2(cos 2123αββα+⋅-++⋅-=x x 由题意，⎩⎨⎧=+-=+02sin 2sin 12cos 2cos αββα，两式平方得：21)22cos(-=-βα，所以，.,2322322223)(Z k k k x f ∈+-+=-=ππππβα或，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.653314.)44sin(2ππ+x 15.216.(74,1-第16题提示：（1）当491≤<a ，80)9(10)()1()()(max 2max 1≥+==aa a f f x f x f ，解得(]74,1-∈a ；（2）当449<<a ，80)494(10)4()1()()(max 2max 1≥+⋅==f f x f x f ，不符.四、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由题意，12log 3=x ，得32=x ，得31031322=+=+-x x.……5分（Ⅱ）ααππα2sin )2cos()3cos(--21cos sin 2sin cos -=-=αααα.……10分18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，1,5-是方程05422=-+m mx x 的两根，……2分由韦达定理得：⎩⎨⎧-=--=-55442m m ，解得1=m ，经检验符合条件.……5分（Ⅱ）由题意，}41|{<<-=x x A ，BA ⊆……7分因为0>m ,则}5|{m x m xB <<-=，……9分由B A ⊆得，⎩⎨⎧≥-≤-415m m ，解得4≥m .……12分19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，α在第一象限，,552sin =α……3分所以.53sin 212cos 2-=-=αα……6分（Ⅱ）由题意，2tan =α，则)2tan()tan(αβαβα--=-……9分31tan )2tan(1tan )2tan(-=-+--=αβααβα.……12分20.（本题满分12分）解：（Ⅰ）212cos 2sin 21)(++=x x x f 2142sin 22++=）（πx ，……2分所以，周期为π……3分令,,224222Z k k x k ∈+≤+≤+-πππππ……4分得,,883Z k k x k ∈+≤≤+-ππππ所以，函数)(x f 的单调递增区间为：.,883Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππ，……6分（Ⅱ）由题意，21)44sin(22)(+-=πx x g ，……9分22)44sin(1)(≥-⇔≥πx x g ，得Z k k x k ∈+≤-≤+,2434424πππππ，……11分解得满足条件的x 的集合为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,2428|ππππ……12分21.（本题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，当1.00≤≤x 时，可设kx y =，因k 0.11=，解得10.=k ……2分又由a-=1.0)161(1，解得10.a =，……4分所以⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤=-.1.0,)161(1.00,101.0x x x y x ，……6分（Ⅱ）令25.0)161(1.0<-x ，解得6.0>x ，所以，至少需要经过0.6h 后，学生才能回到教室.……12分22.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）1=a 时，⎩⎨⎧<-≥+-=1,121,122)(2x x x x x x f ，（1）当,112212≤+-≥x x x 时，解得1=x ；（2）当,1121≤-<x x 时，解得1<x .所以，不等式的解集为{}1|≤x x .……3分（Ⅱ）⎩⎨⎧<-+≥++-=ax a x a ax a x a x x f ,)1(,)1(2)(2（1）当31,41==+a a a 即时，符合条件；……4分（2）当31,41><+a a a 即时，函数在R 上为增函数，符合.……6分（3）当31,41<>+a a a 即时，需满足：241-≤+a ，解得9-≤a ；……8分所以，.931-≤≥a a 或（Ⅲ）解法1：（1）当.931-≤≥a a 或，则上单调递增，，在]22[)(-x f 所以|2|4)2()(a f a g -+==；（2）当a x a x x f a ++-=-≤<-)1(2)(,292则，又对称轴|2|4)2()(,041-+==<+=a f a g a x 所以；（3）当12-<<-a 时，|2|4|}2|4|,2|34max{)}2(),2(max{)(a a a f f a g -+=-++-=-=；（4）当311<≤-a 时，|}2|4,max{)}2(),(max{)(2a a f a f a g -+==，因0)2)(3(6|)2|4(22<-+=-+=-+-a a a a a a 所以|2|4)2()(a f a g -+==.综上，，|2|4)2()(a f a g -+==……11分当.4)(2min==a g a 时，……12分解法2:（1）当2-≤a 时|2|4)2()}2(),2(max{)(a f f f a g -+==-=；（2）当22<<-a 时)}(),2(max{)}()2(),2(max{)(a f f a f f f a g =-=，，又06|)2|4()2()(22<-+=-+-=-a a a a f a f ，所以，|2|4)2()(a f a g -+==；（3）当2≥a 此时，a x a x f -+=)1()(，所以，|2|4)2()(a f a g -+==.综上，，|2|4)2()(a f a g -+==当.4)(2min==a g a 时，……12分。
2023-2024学年浙江省宁波市镇海中学高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省宁波市镇海中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．cos2024π3=（ ） A ．−12B ．12C ．−√32D ．√322．已知|OA →|=√2，|OB →|=1，且OA →，OB →的夹角为3π4，则|AB →|=（ ）A ．1B ．√3C ．2D ．√53．为了得到y =sin(5x −π3)的图象，只要将函数y ＝sin5x 的图象（ ）A ．向右平移π15个单位长度 B ．向左平移π15个单位长度C ．向右平移π3个单位长度D ．向左平移π3个单位长度4．已知|a →|=2√3|b →|，且满足〈a →，b →〉=5π6，则a →在b →上的投影向量为（ ）A ．√3b →B ．−√3b →C ．3b →D ．−3b →5．已知tan(α−π4)=12，则cos2α+sin2α+2＝（ ）A ．75B ．85C ．95D ．26．若a =(12)1.2，b =cos 2π12−sin 2π12，c =2tan 3π81+tan 23π8，则（ ）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a7．在△ABC 中，点D 为AC 边上的中点，点E 满足EC →=3BE →，点P 是直线BD ，AE 的交点，过点P 作一条直线交线段AC 于点M ，交线段BC 于点N （其中点M ，N 均不与端点重合）设CM →=mCA →，CN →=nCB →，则m +n 的最小值为（ ） A ．4+√35B ．4+2√35 C ．75D ．1658．已知cos （140°﹣α）+sin （110°+α）＝sin （130°﹣α），求tan α＝（ ） A ．√33B ．−√33C ．√3D ．−√3二、选择题：本题共4小题，每小迻5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，全部选错的得0分.9．已知函数f(x)=2sin(2x +π6)+1，则下列说法正确的是（ ）A ．相位为2x +π6B ．对称中心为(−π12+kπ，0)，k ∈Z C ．函数f （x ）的单调递减区间是(−π3+kπ，π6+kπ)，k ∈ZD ．将函数y ＝f （x ）图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y =2sin(x +π6)+1的图象10．下列说法正确的是（ ）A ．已知a →，b →为平面内两个不共线的向量，则{a →+b →，−a →+3b →}可作为平面的一组基底 B ．若a →∥b →，则存在唯一实数λ，使得a →=λb →C ．两个非零向量a →，b →，若|2a →+3b →|=−2|a →|+3|b →|，则a →与b →共线且反向D ．△ABC 中，AB →⋅AC →=12|AB →||AC →|，(AB →−AC →)⋅(AB →+AC →)=0，则△ABC 为等边三角形11．已知函数f(x)=cos2x +4cosx，则下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）的最小正周期为π B ．f （x ）为偶函数C ．f （x ）的图象关于（π，1）对称D ．f （x ）的值域为（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞）12．已知函数f(x)={|log 2(−x)|，−4＜x ＜04sin(π3x +π6)，0≤x ＜24，若g （x ）＝f （x ）﹣t （t ＞0）有2n 个零点，记为x 1，x 2，…，x 2n ﹣1，x 2n ，且x 1＜x 2＜…＜x 2n ﹣1＜x 2n ，则下列结论正确的是（ ） A ．t ∈（0，2） B ．.x 1+x 2∈（﹣∞，﹣2）C ．x 3x 4∈(12，554)D ．x 3+2（x 4+x 5+…+x 2n ﹣1）+x 2n ＝182三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知一个扇形的面积和弧长均为π，则该扇形的圆心角为 ． 14．设e 1→，e 2→为两个单位向量，且〈e 1→，e 2→〉=2π3，若e 1→+λe 2→与3e 1→+4e 2→垂直，则λ＝ ． 15．已知sin(x 2+5π24)=√55，且x ∈（π，2π），则cos(x +3π4)= ．16．函数f （x ）＝sin （ωx +3φ）﹣2sin φcos （ωx +2φ）（ω＞0，0＜φ＜π），设T 为函数f （x ）的最小正周期，f(T 4)=12，且函数f （x ）在（π，2π）上单调，则ω的取值范围为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．（10分）单位向量a →，b →满足(a →+2b →)⋅(a →−b →)=−23．（1）求a →与b →夹角的余弦值；（2）若ka →+b →与a →+3b →的夹角为锐角，求实数k 的取值范围． 18．（12分）已知f(α)=sin(3π−α)cos(π2+α)cos(2π−α)tan(π−α)cos(π+α)sin(−α)sin(3π2+α)tan(−π−α)． （1）化简f （α）；（2）若α∈(−π2，0)，且满足f(α)+1f(α)=−103，求√2sin(α+π4)的值． 19．（12分）如图所示，镇海中学甬江校区学生生活区（如矩形ABCD 所示），其中O 为生活区入口．已知有三条路AB ，BC ，AD ，路AD 上有一个观赏塘T ，其中AT ＝300m ，路BC 上有一个风雨走廊的入口L ，其中BL ＝200m ．现要修建两条路OT ，OL ，修建OT ，OL 费用成本分别为2λ/m ，3λ/m ．设∠TOA ＝α．（1）当AO ＝600m ，BO ＝200m 时，求张角∠TOL 的正切值；（2）当OT ⊥OL 时，求当α取多少时，修建OT ，OL 的总费用最少，并求出此时总费用．20．（12分）已知向量a →=(1，2)，b →=(cosα，sinα)，c →=(−1，0)． （1）求|b →+c →|的最大值，并求此时α的值；（2）若α∈(0，π3)，求a →⋅b →的取值范围．21．（12分）如图是函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）的部分图象，其中ω＞0，0＜φ＜π．其中B 为图象最高点，C ，D 为图象与x 轴的交点，且△BCD 为等腰直角三角形，|CD |＝2，_____．（从下面三个条件中任选一个，补充在横线处并解答） ①f(x +12)=f(−x +12)；②f(x −12)是奇函数；③f(0)=√22．注：若选择多个条件解答，则按第一个解答计分． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）设g(x)=f(2πx+12)，不等式m sin2x﹣g（x）≤4﹣6m对于∀x∈R恒成立，求m的取值范围．22．（12分）函数f(x)=2sin2x+2|2sin(x+π4)−t|+t+2，最大值为M（t），最小值为m（t）．（1）设g（t）＝M（t）﹣m（t），求g（t）；（2）设s∈R，若|f（x）+s|≤6对x∈R恒成立，求s+t的取值范围．2023-2024学年浙江省宁波市镇海中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．cos2024π3=（ ） A ．−12B ．12C ．−√32D ．√32解：cos2024π3=cos （675π−π3）＝﹣cos π3=−12． 故选：A ．2．已知|OA →|=√2，|OB →|=1，且OA →，OB →的夹角为3π4，则|AB →|=（ ）A ．1B ．√3C ．2D ．√5解：|AB →|=|OB →−OA →|=√OB →2+OA →2−2OB →⋅OA →=√2+1−2×√2×1×(−22)=√5．故选：D ．3．为了得到y =sin(5x −π3)的图象，只要将函数y ＝sin5x 的图象（ ）A ．向右平移π15个单位长度 B ．向左平移π15个单位长度C ．向右平移π3个单位长度D ．向左平移π3个单位长度解：为了得到y =sin(5x −π3)的图象，只要将函数y ＝sin5x 的图象向右平移π15个单位长度得到．故选：A ．4．已知|a →|=2√3|b →|，且满足〈a →，b →〉=5π6，则a →在b →上的投影向量为（ ）A ．√3b →B ．−√3b →C ．3b →D ．−3b →解：|a →|=2√3|b →|，且满足〈a →，b →〉=5π6， 则a →在b →上的投影向量为：|a →|cos ＜a →，b →＞×b→|b →|=2√3×(−√32)b →=−3b →．故选：D ．5．已知tan(α−π4)=12，则cos2α+sin2α+2＝（ ）A ．75B ．85C ．95D ．2解：由tan （α−π4）=tanα−11+tanα=12，解得tan α＝3，所以cos2α+sin2α+2＝2cos 2α+2sin αcos α+1 =3cos 2α+sin 2α+2sinαcosαsin 2α+cos 2α=3+tan 2α+2tanαtan 2α+1=3+9+2×39+1=95．故选：C ．6．若a =(12)1.2，b =cos 2π12−sin 2π12，c =2tan 3π81+tan 23π8，则（ ） A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜a ＜b D ．c ＜b ＜a解：b =cos 2π12−sin 2π12= c os π6=√32，c =2tan 3π81+tan 23π8=2sin 3π8cos 3π8sin 23π8+cos 23π8= s in （2×3π8）＝sin 3π4=√22， 所以a =(12)1.2＜12＜√22＜√32，即a ＜c ＜b ．故选：B ．7．在△ABC 中，点D 为AC 边上的中点，点E 满足EC →=3BE →，点P 是直线BD ，AE 的交点，过点P 作一条直线交线段AC 于点M ，交线段BC 于点N （其中点M ，N 均不与端点重合）设CM →=mCA →，CN →=nCB →，则m +n 的最小值为（ ） A ．4+√35B ．4+2√35 C ．75D ．165解：因为B ，D ，P 三点共线，所以CP →=λCD →+(1−λ)CB →=λ2CA →+(1−λ)CB →，因为A ，P ，E 三点共线，所以CP →=μCA →+(1−μ)CE →=μCA →+34(1−μ)CB →，由平面向量基本定理可得：{λ2=μ1−λ=34(1−μ)，解得{λ=25μ=15， 所以AP →=15CA →+35CB →，因为CM →=mCA →，CN →=nCB →，且0＜m ＜1，0＜n ＜1，所以CA →=1m CM →，CB →=1nCN →，所以CP →=15m CM →+35nCN →， 因为M ，P ，N 三点共线，所以15m+35n=1，所以m+n=(m+n)(15m+35n)=n5m+3m5n+45≥2√n5m×3m5n+45=2√3+45，当且仅当n5m=3m5n，即m=1+√35，n=3+√35时等号成立，所以m+n的最小值为4+2√35．故选：B．8．已知cos（140°﹣α）+sin（110°+α）＝sin（130°﹣α），求tanα＝（）A．√33B．−√33C．√3D．−√3解：因为cos（140°﹣α）+sin（110°+α）＝sin（130°﹣α），所以﹣sin（50°﹣α）+cos（20°+α）＝sin（50°+α），即﹣sin50°cosα+cos50°sinα+cos（20°+α）＝sin50°cosα+cos50°sinα，所以cos20°cosα﹣sin20°sinα＝2sin50°cosα，即（cos20°﹣2sin50°）cosα＝sin20°sinα，所以tanα=cos20°−2sin50°sin20°=cos20°−2sin(30°+20°)sin20°=cos20°−2×12cos20°−2×√32sin20°sin20°=−√3．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小迻5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，全部选错的得0分.9．已知函数f(x)=2sin(2x+π6)+1，则下列说法正确的是（）A．相位为2x+π6B．对称中心为(−π12+kπ，0)，k∈ZC．函数f（x）的单调递减区间是(−π3+kπ，π6+kπ)，k∈ZD．将函数y＝f（x）图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=2sin(x+π6)+1的图象解：函数f(x)=2sin(2x+π)+1，对于A ：相位为2x +π6，故A 正确；对于B ：当x =−π12+kπ，k ∈Z 时，f （−π12+kπ）＝1，故对称中心为（−π12+kπ，1），k ∈Z ．故B 错误；对于C ：令−π2+2kπ≤2x +π6≤2kπ+π2，（k ∈Z ），整理得：−π3+kπ≤x ≤kπ+π6，（k ∈Z ），故函数的单调递增区间为[−π3+kπ，π6+kπ]，（k ∈Z ），故C 错误；对于D ：将函数y ＝f （x ）图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y =2sin(x +π6)+1的图象，故D 正确．故选：AD ．10．下列说法正确的是（ ）A ．已知a →，b →为平面内两个不共线的向量，则{a →+b →，−a →+3b →}可作为平面的一组基底 B ．若a →∥b →，则存在唯一实数λ，使得a →=λb →C ．两个非零向量a →，b →，若|2a →+3b →|=−2|a →|+3|b →|，则a →与b →共线且反向D ．△ABC 中，AB →⋅AC →=12|AB →||AC →|，(AB →−AC →)⋅(AB →+AC →)=0，则△ABC 为等边三角形解：由题意，a →，b →为平面内两个不共线的向量， 设a →+b →=λ(−a →+3b →)=−λa →+3λb →，则有{−λ=13λ=1，λ不存在，所以a →+b →与−a →+3b →不共线，则{a →+b →，−a →+3b →}可作为平面的一组基底，故A 对；只有当b →≠0→时，若a →∥b →，则存在唯一实数λ，使得a →=λb →，故B 错； 因为a →，b →为非零向量，设a →与b →夹角为α， 由|2a →+3b →|=−2|a →|+3|b →|，平方得4a →2+12a →⋅b →+9b →2=4|a →|2−12|a →|⋅|b →|+9|b →|2， 整理得a →⋅b →=−|a →|⋅|b →|，所以cos α＝﹣1，又α∈[0，π]，所以α＝π，则a →与b →共线且反向，故C 对； 在△ABC 中，AB →⋅AC →=12|AB →||AC →|，所以cosA =12，A ∈(0，π)，所以A =π3，由(AB →−AC →)⋅(AB →+AC →)=0，得|AB →|2−|AC →|2=0， 即|AB →|=|AC →|，则△ABC 为等边三角形，故D 对． 故选：ACD ．11．已知函数f(x)=cos2x +4cosx，则下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）的最小正周期为π B ．f （x ）为偶函数C ．f （x ）的图象关于（π，1）对称D ．f （x ）的值域为（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞） 解：对于A ，∵f （x +π）＝cos2（x +π）+4cos(x+π)=cos2x −4cosx≠f （x ），故A 错误；对于B ，由cos x ≠0，得x ≠kπ+π2(k ∈Z)，∴f （x ）的定义域为{x|x ≠kπ+π2，k ∈Z }，且f(−x)=cos2(−x)+4cos(−x)=cos2x +4cosx−f(x)，∴f （x ）是偶函数，故B 正确； 对于C ，∵f （x ）+f （2π﹣x ）＝cos2x +4cosx +cos2（2π﹣x ）+4cos(2π−x)=2f （x ）不是定值，故C 错误；对于D ，f （x ）＝cos2x +4cosx =2cos 2x +4cosx−1， 令t ＝cos x ∈[﹣1，0）∪（0，1]，则g(t)=2t 2+4t −1，g ′(t)=4t −4t 2=4(t 3−1)t 2，当t ∈[﹣1，0）时，g ′（t ）＜0，g （t ）单调递减； 当t ∈（0，1]时，g ′（t ）＞0，g （t ）单调递增， 又g （﹣1）＝2﹣4﹣1＝﹣3，g （1）＝2+4﹣1＝5， 当x →0﹣时，g （t ）→﹣∞； 当x →0+时，g （t ）→+∞，∴g （t ）的值域为（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞），即f （x ）的值域为（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞），故D 正确． 故选：BD ．12．已知函数f(x)={|log 2(−x)|，−4＜x ＜04sin(π3x +π6)，0≤x ＜24，若g （x ）＝f （x ）﹣t （t ＞0）有2n 个零点，记为x 1，x 2，…，x 2n ﹣1，x 2n ，且x 1＜x 2＜…＜x 2n ﹣1＜x 2n ，则下列结论正确的是（ ）A ．t ∈（0，2）B ．.x 1+x 2∈（﹣∞，﹣2）C ．x 3x 4∈(12，554)D ．x 3+2（x 4+x 5+…+x 2n ﹣1）+x 2n ＝182解：将函数y ＝log 2x （0＜x ＜4）的图象沿y 轴对称并将x 轴下方部分翻折到x 轴上方， 即可得到y ＝log 2（﹣x ）（﹣4＜x ＜0）的图象；对于f （x ）＝4sin （π3x +π6）（0≤x ＜24），最小正周期为T =2ππ3=6，故[0，24）上有4个周期，令π3x +π6=k π+π2，k ∈Z ，则可得f （x ）＝4sin （π3x +π6）（0≤x ＜24）的对称轴为x ＝3k +1，k ＝0，1，2， (7)由此作出函数f(x)={|log 2(−x)|，−4＜x ＜04sin(π3x +π6)，0≤x ＜24的图象，如图：则g （x ）＝f （x ）﹣t （t ＞0）的零点问题即为f （x ）的图象与直线y ＝t 的交点问题， 由图象可知，当t ＞4时，f （x ）的图象与直线y ＝t 有1个交点，不合题意； 当t ＝4时，f （x ）的图象与直线y ＝t 有5个交点，不合题意； 当2≤t ＜4时，f （x ）的图象与直线y ＝t 有9个交点，不合题意；当0＜t ＜2，即t ∈（0，2）时，f （x ）的图象与直线y ＝t 有10个交点，符合题意，A 正确； 由题意可知﹣4＜x 1＜﹣1＜x 2＜0，满足|log 2（﹣x 1）|＝|log 2（﹣x 2）|，则log 2（﹣x 1）＝﹣log 2（﹣x 2），即log 2（﹣x 1）+log 2（﹣x 2）＝log 2[（﹣x 1）（﹣x 2）]＝0， 所以（﹣x 1）（﹣x 2）＝1， 所以（﹣x 1）+（﹣x 2）＝（﹣x 1）+1−x 1， 因为﹣4＜x 1＜﹣1，所以1＜﹣x 1＜4， 由对勾函数的性质可知（﹣x 1）+1−x 1∈（2，174）， 所以（﹣x 1）+（﹣x 2）∈（2，174），所以x 1+x 2∈（−174，﹣2），故B 不正确； 由函数图象可得x 3+x 4＝8，2＜x 3＜52， 故x 3x 4＝x 3（8﹣x 3）＝﹣（x 3﹣4）2+16∈（12，554），C 正确； 由图象可知f （x ）的图象与直线y ＝t 有10个交点，即n ＝5，且x 3，x 4关于直线x ＝4对称，故x 3+x 4＝8，同理得x 4+x 5＝14，x 5+x 6＝20，x 6+x 7＝26，x 7+x 8＝32，x 8+x 9＝38，x 9+x 10＝44，故x 3+2（x 4+x 5+x 6+…+x 2n ﹣1）+x 2n＝x 3+2（x 4+x 5+x 6+…+x 9）+x 10＝8+14+20+26+32+38+44＝182，D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知一个扇形的面积和弧长均为π，则该扇形的圆心角为 π2 ．解：设扇形的圆心角为α，半径为r ，则扇形的面积为12αr 2＝π，弧长为αr ＝π，解得r ＝2，α=π2， 所以扇形的圆心角为π2． 故答案为：π2． 14．设e 1→，e 2→为两个单位向量，且〈e 1→，e 2→〉=2π3，若e 1→+λe 2→与3e 1→+4e 2→垂直，则λ＝ −25 ． 解：e 1→，e 2→为两个单位向量，且〈e 1→，e 2→〉=2π3，则e 1→⋅e 2→=1×1×cos 2π3=−12， 若e 1→+λe 2→与3e 1→+4e 2→垂直， 则(e 1→+λe 2→)⋅(3e 1→+4e 2→)=3e 1→2+(4+3λ)e 1→⋅e 2→+4λe 2→2=3+（4+3λ）×(−12)+4λ=0，解得λ=−25． 故答案为：−25． 15．已知sin(x 2+5π24)=√55，且x ∈（π，2π），则cos(x +3π4)= 3+4√310． ． 解：因为x ∈（π，2π），所以x 2+5π24∈(π2+5π24，π+5π24)，则cos （x 2+5π24）＜0， 所以cos （x 2+5π24）=−√1−sin 2(x 2+5π24)=−2√55， 所以cos （x +5π12）＝2co s 2(x 2+5π24)−1=85−1=35，sin （x +5π12）＝2sin （x 2+5π24）cos （x 2+5π24）=−45， 所以cos （x +3π4）＝cos[（x +5π12）+π3 ]＝cos (x +5π12)cos π3−sin(x +5π12)sin π3=35×12−(−45)×√32=3+4√310． 故答案为：3+4√310． 16．函数f （x ）＝sin （ωx +3φ）﹣2sin φcos （ωx +2φ）（ω＞0，0＜φ＜π），设T 为函数f （x ）的最小正周期，f(T 4)=12，且函数f （x ）在（π，2π）上单调，则ω的取值范围为 （0，112]∪[16，712] ． 解：f （x ）＝sin （ωx +3φ）﹣2sin φcos （ωx +2φ）＝[sin （ωx +2φ）+φ]﹣2sin φcos （ωx +2φ）＝sin （ωx +2φ）cos φ+cos （ωx +2φ）sin φ﹣2sin φcos （ωx +2φ）＝sin （ωx +2φ）cos φ﹣cos （ωx +2φ）sin φ＝sin （ωx +φ），因为ω＞0，0＜φ＜π，所以T =2πω， f （T 4）＝f （π2ω）＝sin （π2+φ）＝cos φ=12， 所以φ=π3，f （x ）＝sin （ωx +π3）， 若f （x ）＝sin （ωx +π3）在（π，2π）上单调递增， 则{2kπ−π2≤ωπ+π32ωπ+π3≤2kπ+π2，k ∈Z ，即2k −56≤ω≤k +112，k ∈Z ， 需满足2k −56≤k +112，k ∈Z ，所以k ≤1112，k ∈Z ， 而ω＞0，故k ＝0时，0＜ω≤112； 若f （x ）＝sin （ωx +π3）在（π，2π）上单调递减， 则{2kπ+π2≤ωπ+π32ωπ+π3≤2kπ+3π2，k ∈Z ，即2k +16≤ω≤k +712，k ∈Z ， 需满足2k +16≤k +712，k ∈Z ，所以k ≤512，k ∈Z ， 而ω＞0，故k ＝0时，16≤ω≤712； 故ω的取值范围为：（0，112]∪[16，712]．故答案为：（0，112]∪[16，712]． 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．（10分）单位向量a →，b →满足(a →+2b →)⋅(a →−b →)=−23． （1）求a →与b →夹角的余弦值；（2）若ka →+b →与a →+3b →的夹角为锐角，求实数k 的取值范围．解：（1）因为|a →|=|b →|=1，(a →+2b →)⋅(a →−b →)=−23， 所以a →2+a →⋅b →−2b →2=−23，即1+a →⋅b →−2=−23， 则a →⋅b →=13， 则cos〈a →，b →〉=a →⋅b →|a →||b →|=13， 即a →与b →夹角的余弦值13； （2）因为ka →+b →与a →+3b →的夹角为锐角，所以(ka →+b →)⋅(a →+3b →)＞0且ka →+b →与a →+3b →不共线，当ka →+b →与a →+3b →共线时，有ka →+b →=λ(a →+3b →)，即ka →+b →=λa →+3λb →，由（1）知a →与b →不共线，所以{k =λ1=3λ，解得k =13， 所以当ka →+b →与a →+3b →不共线时，k ≠13， 由(ka →+b →)⋅(a →+3b →)＞0，得ka →2+(3k +1)a →⋅b →+3b →2＞0，即k +(3k +1)×13+3＞0，解得k ＞−53， 所以k ＞−53且k ≠13， 即实数k 的取值范围为(−53，13)∪(13，+∞)． 18．（12分）已知f(α)=sin(3π−α)cos(π2+α)cos(2π−α)tan(π−α)cos(π+α)sin(−α)sin(3π2+α)tan(−π−α)． （1）化简f （α）；（2）若α∈(−π2，0)，且满足f(α)+1f(α)=−103，求√2sin(α+π4)的值．解：（1）f(α)=sin(3π−α)cos(π2+α)cos(2π−α)tan(π−α)cos(π+α)sin(−α)sin(3π2+α)tan(−π−α)=sinα(−sinα)cosα(−tanα)(−cosα)(−sinα)(−cosα)(−tanα)=tanα；（2）若α∈(−π2，0)，则tanα＜0，因为f(α)+1f(α)=−103=tanα+1tanα，所以tanα＝﹣3或tanα=−1 3，√2sin(α+π4)=cos2α−sin2αsinα+cosα=cosα﹣sinα，当tanα＝﹣3，α∈(−π2，0)，则{sinα=−3cosαsin2α+cos2α=1，解得sinα=−3√310，cosα=√1010，则cosα﹣sinα=2√10 5；当tanα=−13时，{cosα=−3sinαsin2α+cos2α=1，解得cosα=3√310，sinα=√1010，则cosα﹣sinα=2√10 5；故√2sin(α+π4)=2√105．19．（12分）如图所示，镇海中学甬江校区学生生活区（如矩形ABCD所示），其中O为生活区入口．已知有三条路AB，BC，AD，路AD上有一个观赏塘T，其中AT＝300m，路BC上有一个风雨走廊的入口L，其中BL＝200m．现要修建两条路OT，OL，修建OT，OL费用成本分别为2λ/m，3λ/m．设∠TOA＝α．（1）当AO＝600m，BO＝200m时，求张角∠TOL的正切值；（2）当OT⊥OL时，求当α取多少时，修建OT，OL的总费用最少，并求出此时总费用．解：（1）设∠LOB＝β，β为锐角，则tanβ=LBOB=1，设∠TOA＝α，则tanα=TAOA=12，故tan∠TOL＝tan[π﹣（α+β）]＝﹣tan（α+β）=−tanα+tanβ1−tanαtanβ=−12+11−12×1=−3；（2）当OT⊥OL时，∠LOB=π2−α，α∈(0，π2)，故OT=300sinα，OL=200sin(π2−α)=200cosα，设修建OT ，OL 的总费用为y ，则y =300sinα×2λ+200cosα×3λ=600λ⋅(1sinα+1cosα)=600λ⋅sinα+cosαsinαcosα， 设t ＝sin α+cos α，则t =√2sin(α+π4)∈(1，√2]， 则sinαcosα=t 2−12， 所以y =600λ⋅sinα+cosαsinαcosα=600λ⋅2t t 2−1=1200λ⋅1t−1t， 因为y =t −1t 在(1，√2]上单调递增，所以0＜t −1t ≤√22，t =√2时取得等号， 所以y =1200λ⋅1t−1t 的最小值为1200λ1√22=1200√2λ，此时t =√2，即α=π4， 故当α=π4时，修建OT ，OL 的总费用最少，最少为1200√2λ． 20．（12分）已知向量a →=(1，2)，b →=(cosα，sinα)，c →=(−1，0)．（1）求|b →+c →|的最大值，并求此时α的值；（2）若α∈(0，π3)，求a →⋅b →的取值范围． 解：（1）∵a →=（1，2），b →=（cos α，sin α），c →=（﹣1，0），∴b →+c →=（cos α﹣1，sin α），∴|b →+c →|=√cos 2α−2cosα+1+sin 2α=√2−2cosα，当cos α＝﹣1时，|b →+c →|最大，此时|b →+c →|=2，α＝π+2k π，k ∈Z ；（2）∵a →=（1，2），b →=（cos α，sin α），∴a →⋅b →=cos α+2sin α=√5sin(α+φ)，tanφ=12，φ∈(0，π2)， ∵α∈(0，π3)，∴α+φ∈(φ，π3+φ)， 设θ＝α+φ，易知θ是第一象限角，故原式转化为f(θ)=√5sinθ，结合正弦函数性质得f （θ）在(0，π2)上单调递增， 当θ＝φ时，tanθ=12，易知θ是第一象限角，故sinθ=√55，a →⋅b →=1， 当θ=φ+π3时，sinθ=2√15+√510，a →⋅b →=√5×2√15+√510=12+√3，故f(θ)∈(1，12+√3)，即a →⋅b →∈(1，12+√3)． 21．（12分）如图是函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）的部分图象，其中ω＞0，0＜φ＜π．其中B 为图象最高点，C ，D 为图象与x 轴的交点，且△BCD 为等腰直角三角形，|CD |＝2，_____．（从下面三个条件中任选一个，补充在横线处并解答）①f(x +12)=f(−x +12)； ②f(x −12)是奇函数； ③f(0)=√22．注：若选择多个条件解答，则按第一个解答计分．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）设g(x)=f(2πx +12)，不等式m sin 2x ﹣g （x ）≤4﹣6m 对于∀x ∈R 恒成立，求m 的取值范围．解：（1）∵△BCD 为等腰直角三角形，|CD |＝2，∴A ＝1，且T 2=2，∴T =2π|ω|=4，又ω＞0，∴ω=π2．则f(x)=sin(π2x +φ)． 选①由f(x +12)=f(−x +12)，得函数f （x ）的图像关于直线x =12对称， 则π2×12+φ=π2+kπ(k ∈Z)，∴φ=π4+kπ(k ∈Z)， ∵0＜φ＜π，∴φ=π4． 故函数f （x ）的解析式为f(x)=sin(π2x +π4)． 选②∵f(x −12)=sin(π2x −π4+φ)是奇函数， ∴−π4+φ=kπ(k ∈Z)，∴φ=π4+kπ(k ∈Z)， ∵0＜φ＜π，∴φ=π4． 故函数f （x ）的解析式为f(x)=sin(π2x +π4)． 选③则f(0)=sinφ=√22，结合图像和0＜φ＜π，可得φ=π4．故函数f（x）的解析式为f(x)=sin(π2x+π4)．（2）由（1），得g(x)=f(2πx+12)=sin(x+π2)=cosx，∴m sin2x﹣g（x）≤4﹣6m⇔m sin2x﹣cos x﹣4+6m≤0，∴m cos2x+cos x﹣7m+4≥0对于∀x∈R恒成立．令t＝cos x∈[﹣1，1]，则mt2+t﹣7m+4≥0对∀t∈[﹣1，1]恒成立，∴m≤−t+4t2−7对∀t∈[﹣1，1]恒成立．∵t2−7t+4=(t+4)2−8(t+4)+9t+4=t+4+9t+4−8，令n＝t+4∈[3，5]，则y=n+9n−8在n∈[3，5]时单调递增，∴y∈[−2，−65]，∴t2−7t+4∈[−2，−65]，∴−t+4t2−7∈[12，56]，∴m≤12，故m的取值范围为(−∞，12 ]．22．（12分）函数f(x)=2sin2x+2|2sin(x+π4)−t|+t+2，最大值为M（t），最小值为m（t）．（1）设g（t）＝M（t）﹣m（t），求g（t）；（2）设s∈R，若|f（x）+s|≤6对x∈R恒成立，求s+t的取值范围．解：（1）f(x)=2sin2x+2|2sin(x+π4)−t|+t+2=4sin x cos x+2|√2（sin x+cos x）﹣t|+t+2，设n=√2（sin x+cos x），则4sin x cos x＝n2﹣2，﹣2≤n≤2，则y（n）＝n2+2|n﹣t|+t，当t≤﹣1时，函数y（n）＝n2+2n﹣t在[﹣2，﹣1]上单调递减，在[﹣1，2]上单调递增，此时M（t）＝y（2）＝8﹣t，m（t）＝y（﹣1）＝﹣1﹣t，g（t）＝M（t）﹣m（t）＝9，当﹣1＜t≤0时，函数y（n）在[﹣2，t]上单调递减，在[t，2]上单调递增，此时M（t）＝y（2）＝8﹣t，m（t）＝y（t）＝t2+t，g（t）＝M（t）﹣m（t）＝﹣t2﹣2t+8；当0＜t≤1时，函数y（n）在[﹣2，t]上单调递减，在[t，2]上单调递增，此时M（t）＝y（﹣2）＝8+3t，m（t）＝y（t）＝t2+t，g（t）＝M（t）﹣m（t）＝﹣t2+2t+8；当t＞1时，函数y（n）在[﹣2，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，此时M（t）＝y（﹣2）＝8+3t，m（t）＝y（1）＝3t﹣1，g（t）＝M（t）﹣m（t）＝9．综上：g（t）={9，t≤−1−t2−2t+8，−1＜t≤0−t2+2t+8，0＜t≤19，t＞1；（2）|f（x）+s|≤6恒成立可化为﹣s﹣6≤y（n）≤﹣s+6，﹣2≤n≤2恒成立．①当t＞1时，M（t）＝y（﹣2）＝8+3t，m（t）＝y（1）＝3t﹣1，所以﹣s﹣6≤3t﹣1且8+3t≤﹣s+6，解得：s+t≤﹣2t﹣2＜﹣4；②当0＜t≤1时，M（t）＝y（﹣2）＝8+3t，m（t）＝y（t）＝t2+t，故﹣s﹣6≤t2+t且8+3t≤﹣s+6，解得：﹣7≤s+t＜﹣2；③当﹣1＜t≤0时，M（t）＝y（2）＝8﹣t，m（t）＝y（t）＝t2+t，故﹣s﹣6≤t2+t且8﹣t≤﹣s+6，解得：﹣7＜s+t≤﹣2；④当t≤﹣1时，M（t）＝y（2）＝8﹣t，m（t）＝y（﹣1）＝﹣1﹣t，故﹣s﹣6≤﹣t﹣1且8﹣t≤﹣s+6，解得：s+t≤﹣4，综上所述：s+t≤﹣2．所以s+t的取值范围为（﹣∞，﹣2]．。
浙江省宁波市镇海中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题(解析版)
（1）求 的值；（2）若 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2） ．
【详解】（1）因为 ，所以 且 ，
所以 ；
（2）因为 ，所以 ，
.
20.已知定义在R上的奇函数 ．
（1）求b的值；（2）若 在 上的最大值为 ，求a的值．
18.已知集合 ，集合 ．
（1）当 时，求 和 ；
（2）若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
【答案】（1） 或 ， ；（2） 或 .
【详解】解：（1）由题可知，当 时，则 ，
或 ，则 ，
所以 .
（2）由题可知， 是 的必要不充分条件，则 ，
当 时， ，解得： ；
当 时， 或 ，
解得： 或 ；综上所得： 或 .
则 在 上成立，所以 ；又 在 上成立，所以 在 上成立，所以 ，综上， 的取值范围为 .
8.已知函数 ，若方程 恰有 个实根，则实数 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D【详解】 ， ，设 .
当 时，由基本不等式可得 ，当且仅当 时，等号成立，
当 时，由基本不等式可得 ，
当且仅当 时，等号成立.所以， .
【答案】D【详解】函数 的图像向左平移2个单位长度后可得，
，与函数 的图象重合，
由 ，所以 时，即 时图象重合，且 最小.
7.若函数 在区间 上单调递增，则a的取值范围（）
A. B. C. D.
【答案】D【详解】令 ，则 ，因为函数 在 上单调递增，函数 在定义域上是减函数，所以函数 在 上单调递减，并且 在 上成立；当 在 上单调递减，
所以 ，解得
15.函数 的值域是____．
【答案】 【详解】设 ，则 ，
浙江省宁波市2020学年高一数学上学期期末考试试卷（含解析）
浙江省宁波市2020学年⾼⼀数学上学期期末考试试卷（含解析）浙江省宁波市2020学年第⼀学期期末考试⾼⼀数学试卷⼀、选择题（本⼤题共10⼩题，共40.0分）1.已知集合，，，则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】故选A2.若幂函数在区间上单调递减，则实数m的值可能为A. 1B.C.D. 2 【答案】C【解析】【分析】由幂函数的单调性结合选项得答案．【详解】幂函数在区间上单调递减，，由选项可知，实数m的值可能为．故选：C．【点睛】本题考查幂函数的单调性，是基础题．3.M是边AB上的中点，记，，则向量A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得，∴．选C．4.函数的零点所在区间是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】且，，，，的零点所在区间为．故选：C．【点睛】本题考查了函数零点的存在性定理，对数运算，属于基础题.5.已知为锐⾓，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利⽤诱导公式变形，结合平⽅关系把根式内部的代数式化为完全平⽅式，开⽅得答案．【详解】为锐⾓，∴．故选：D．【点睛】本题考查三⾓函数的化简求值，考查同⾓三⾓函数基本关系式及诱导公式的应⽤，是基础题．6.函数的图象可能是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利⽤，进⾏排除即可.【详解】，则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D，，排除C，故选：A．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利⽤函数的奇偶性和对称性以及特殊值的符号进⾏排除是解决本题的关键．7.以下关于函数的说法中，正确的是A. 最⼩正周期B. 在上单调递增C. 图象关于点对称D. 图象关于直线对称【答案】B根据三⾓函数的周期性，单调性以及对称性分别进⾏判断即可．【详解】函数的最⼩正周期，故A错误，当时，，，此时函数为增函数，故B正确，，即图象关于点不对称，故C错误，，则图象关于直线不对称，故D错误，故选：B．【点睛】本题主要考查与三⾓函数有关的命题的真假判断，结合三⾓函数的周期性，单调性以及对称性是解决本题的关键．8.若向量，满⾜，，且，则，的夹⾓为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】对两边平⽅计算，再代⼊夹⾓公式即可求出答案．【详解】由可得，即，，，，的夹⾓为．故选：A．【点睛】本题考查了平⾯向量的数量积运算，向量的夹⾓公式，属于基础题．9.设函数的定义域为A，且满⾜任意恒有的函数是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】满⾜任意恒有，则函数关于中⼼对称，由此可得结论．【详解】满⾜任意恒有函数关于中⼼对称的对称中⼼为故选：C．【点睛】本题考查函数的对称性，考查学⽣分析解决问题的能⼒，属于基础题.10.已知函数，的值城是，则A. B. C. 2 D. 0 【答案】D【解析】根据条件判断函数的奇偶性，利⽤奇偶性的性质结合值域得到，即可得到结论．【详解】，即函数是奇函数，得图象关于原点对称，函数的值城是，，则，故选：D．【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据条件判断函数的奇偶性是解决本题的关键．⼆、填空题（本⼤题共7⼩题，共36.0分）11.已知，则______，______．【答案】 (1). 3 (2).【解析】【分析】根据即可得出，从⽽得出，的值，进⽽得出的值．【详解】；；；．故答案为：．【点睛】考查分数指数幂的运算，以及对数的定义，对数的运算性质．12.设，则______，______．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】由已知展开两⾓和的正切求，由同⾓三⾓函数基本关系式化弦为切求．【详解】由，得，．故答案为：；．【点睛】本题考查三⾓函数的化简求值，考查同⾓三⾓函数基本关系式的应⽤及两⾓和的正切，是基础题．13.已知向量，，则______；若，则______．【答案】 (1). (2). 2【解析】【分析】直接由向量模的公式计算；再由向量共线的坐标运算列式求解值．【详解】，；故答案为：；2．【点睛】本题考查向量模的求法，考查向量共线的坐标运算，是基础题．14.已知函数⼀部分图象如图所⽰，则______，函数的单调递增区间为______．【答案】 (1). 2 (2). ，【解析】【分析】根据图象先求出函数的周期，和，利⽤五点对应法求出函数的解析式，结合函数单调性的性质进⾏求解即可．【详解】由图象知，则周期，即，即，即，由五点对应法得，即，则，由，，得，，即函数的单调递增区间为，，故答案为：，．【点睛】本题主要考查三⾓函数的图象和性质，根据条件求出的解析式是解决本题的关键．15.已知⼀个扇形的弧长为，其圆⼼⾓为，则这扇形的⾯积为______．【答案】2【解析】【分析】根据孤长公式求出对应的半径，然后根据扇形的⾯积公式求⾯积即可.【详解】扇形的半径为，圆⼼⾓为，弧长 ,这条弧所在的扇形⾯积为，故答案为 .【点睛】本题主要考査扇形的⾯积公式和弧长公式，意在考查对基础知识与基本公式掌握的熟练程度，属于中档题.16.已知且，函数，满⾜对任意实数，，都有【解析】【分析】根据题意知函数在R上为增函数，利⽤分段函数的单调性列不等式组，从⽽求出a的取值范围．【详解】函数，对任意实数，，都有成⽴，则在R上为增函数；当时，函数为增函数，则有，即；当时，函数为增函数，则有；由在R上为增函数，则，即有；由可得a的取值范围为：故答案为：【点睛】本题考查了分段函数的单调性与应⽤问题，注意各段的单调性，以及分界点的情况，是易错题．17.已知单位向量，，满⾜，向量满⾜，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由题意，不妨设，，，根据可得到点和的距离和为，可得直线AB的⽅程，则表⽰点点到直线直线AB 上点的距离，即可求出范围．【详解】由题意，单位向量，，满⾜，不妨设，，，，，，，即到点和的距离和为，则直线AB的⽅程为，表⽰点点到线段AB上点的距离，，最⼤值为到的距离即为，故的取值范围是，故答案为：.【点睛】本题考查向量的坐标运算，考查两点的距离公式和点到直线的距离公式，向量模的⼏何意义，属于中档题．三、解答题（本⼤题共5⼩题，共74.0分）18.已知集合，．2已知，若，求实数a的取值范围．【答案】（1），（2）.【解析】【分析】（1）由指数不等式、对数不等式的解法得：A=，B=，故A∩B=；（2）由集合的包含关系得：C?B，则：a≥4，得到的范围是．【详解】（1）解不等式x-4≤4，得：3≤x≤6，即A=，解不等式log3（2x+1）＞2，得：x＞4，即B=，故A∩B=，（2）由集合的包含关系得：C?B，则：a≥4，所以的范围是．【点睛】本题考查了指数不等式、对数不等式的解法及集合的包含关系，属简单题．19.已知函数1求函数的最⼩正周期；2现将函数图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，得到函数的图象，求在区间上的值域．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）⾸先利⽤平⾯向量的数量积运算和三⾓函数关系式的恒等变换，把三⾓函数的关系式转换为正弦型函数，进⼀步求出函数的最⼩正周期．（2）利⽤函数的关系式和函数的图象的平移变换的应⽤求出函数的值域．【详解】1函数，，函数的最⼩正周期；2由于，将函数图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，得到函数的图象，由于，故：，所以：，故：的值域为．【点睛】本题考查的知识要点：三⾓函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应⽤，函数图象的平移变换和伸缩变换的应⽤，主要考查学⽣的运算能⼒和转化能⼒，属于基础题型．20.如图所⽰，在等腰梯形ABCD中，已知，，，，动点E和F 分别在线段BC和DC上，且，．1求的值；2求的最⼩值，并求出此时t的值．【答案】（1）3；（2）【解析】【分析】1结合向量的数量积公式即可求出2利⽤等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表⽰为关于的代数式，根据具体的形式求最值．【详解】1，2，，，，故当时，的最⼩值为．【点睛】本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运⽤、基本不等式求最值；关键是正确表⽰所求，利⽤基本不等式求最⼩值．21.如图，在平⾯直⾓坐标系中，⾓，的顶点与原点重合，始边与x轴⾮负半轴重合，⾓，的终边与单位圆分别交、两点．1求的值；2若，，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】1根据三⾓函数的定义求出，和，的值，利⽤两⾓和差的余弦公式进⾏求解2先求出的三⾓函数值，结合两⾓和差的正弦公式求的值即可.【详解】1由、，得，、，，则．．【点睛】本题主要考查三⾓函数值的计算，结合三⾓函数的定义求出对应⾓的三⾓函数值，以及利⽤两⾓和差的公式进⾏求解是解决本题的关键．22.设，其中．1当时，分别求及的值域；2记，，若，求实数t的值．【答案】（1）；（2）或或或【解析】【分析】1当时，求出函数和的解析式，结合⼆次函数的性质进⾏求解即可2根据，得到两个集合的值域相同，求出两个函数对应的最值建⽴⽅程即可【详解】1当时，由，当且仅当时，取等号，即的值域为．设，则，则，当且仅当，即时，取等号，故的值域为．2，，即此时函数的值域为，，，得或，当时，即或，，即，即，则，得或成⽴．当时，即时，，即，即，即或或，或满⾜条件，综上或或或成⽴．【点睛】本题主要考查函数值域的应⽤，结合复合函数值域关系求出的最值是解决本题的关键综合性较强，运算量较⼤，有⼀定的难度．。
浙江省宁波市2020版高一上学期期末数学试卷(I)卷
浙江省宁波市2020版高一上学期期末数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·江门模拟) 设集合，，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高一上·宜丰月考) 已知函数，若，则函数的值域为（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高二上·怀化期中) 等轴双曲线的两条渐近线的夹角是（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°4. （2分）如图，若一个空间几何体的三视图中，直角三角形的直角边长均为1，则该几何体的体积为（）A .B .C . 1D .5. （2分）下列函数中既是奇函数又在区间上单调递减的是（）A .B .C .D .6. （2分）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（）A . 2B . 3C .D .7. （2分）是我们熟悉的无理数，在用二分法求的近似值的过程中，可以构造函数，我们知道，所以，要使的近似值满足精确度为0.1，则对区间至少二等分的次数为（）A . 3B . 4C . 5D . 68. （2分）已知，则=（）A . 2B . 1C . 0D . 49. （2分）若a=0.32 ， b=20.3 ， c=log0.32，则a，b，c由大到小的关系是（）A . a＞b＞cB . b＞a＞cC . b＞c＞aD . c＞a＞b10. （2分）已知、为两条直线，为两个平面，下列四个命题：①∥,∥∥; ②∥③∥,∥∥④∥其中不正确的有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个11. （2分）已知集合A={x|ax﹣1=0}，B={x|1＜log2x≤2，x∈N}，且A∩B=A，则a的所有可能值组成的集合是（）A . ∅B . { }C . { ， }D . { ，，0}12. （2分） (2019高一上·宾阳月考) 已知定义域为的函数在上是减函数, 又是偶函数, 则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2016高一上·铜仁期中) 函数f（x）= 的定义域是________．14. （1分） (2016高一下·珠海期末) 设 =（sinx，sinx）， =（﹣sinx，m+1），若• =m在区间（，）上有三个根，则m的范围为________．15. （2分）直线l1：x+y+2=0在x轴上的截距为________ ；若将l1绕它与y轴的交点顺时针旋转，则所得到的直线l2的方程为________16. （1分） (2016高二上·大庆期中) 若方程所表示的曲线为C，给出下列四个命题：①若C为椭圆，则1＜t＜4；②若C为双曲线，则t＞4或t＜1；③曲线C不可能是圆；④若，曲线C为椭圆，且焦点坐标为；⑤若t＜1，曲线C为双曲线，且虚半轴长为．其中真命题的序号为________．（把所有正确命题的序号都填在横线上）三、解答题 (共6题；共65分)17. （15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA⊥PC，底面ABCD为菱形，G为PC中点，E、F 分别为AB、PB上一点，△BCE的面积为6 ，PB=4PF．（1）求证：AC⊥DF；（2）求证：EF∥平面BDG；（3）求三棱锥B﹣CEF的体积．18. （10分）(2020·湖南模拟) 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与抛物线相交于两点.设直线是抛物线的切线，且直线为上一点，且的最小值为 .（1）求抛物线的方程；（2）设是抛物线上，分别位于轴两侧的两个动点，为坐标原点，且 .求证：直线必过定点，并求出该定点的坐标.19. （10分） (2017高一上·沛县月考) 已知函数为偶函数.（1）求实数的值；（2）试判断函数在上的单调性并给出证明.20. （10分）设函数f（x）= + 的图象关于y轴对称，且a＞0．（1）求a的值；（2）求f（x）在[0，2]的值域．21. （10分）(2017·襄阳模拟) 如图，在直角梯形SABC中，∠B=∠C= ，D为边SC上的点，且AD⊥SC，现将△SAD沿AD折起到达PAD的位置（折起后点S记为P），并使得PA⊥AB．（1）求证：PD⊥平面ABCD；（2）已知PD=AD，PD+AD+DC=6，G是AD的中点，当线段PB取得最小值时，则在平面PBC上是否存在点F，使得FG⊥平面PBC？若存在，确定点F的位置，若不存在，请说明理由．22. （10分） (2017高一上·桂林月考) 对于区间和函数 ,若同时满足：① 在上是单调函数；②函数，的值域还是，则称区间为函数的“不变”区间.（1）求函数的所有“不变”区间.（2）函数是否存在“不变”区间？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
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镇海中学2020学年第一学期期末考试
高一年级数学试卷
一、单选题
1.
已知角θ的终边上一点()1,P a ()0a <，则sin θ=A.a
B.
C.
D.2.
下列式子的互化正确的是
()
13
0y y =<
B.)
13
0x x
-=≠
C.)540x
x -=>
D.()()
12
0x x =->3.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是1，则扇形的周长为A.2 B.4 C.6 D.8
4.
设集合{}02P x x =≤≤，{}
02Q y y =≤≤，给出如下四个图形，其中能表示从集合P 到集合Q 的函数关系的是
5.
已知集合{
2cos A x x =≥，集合{}
220B x x x =+-≤，则A B ⋂=.2,
6π⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦
B.,16π⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
C.[]
2,1
- D.,66ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦6.
将函数()()tan 10y x ωω=->的图象向左平移2个单位长度后，与函数
()tan 3y x ω=+的图象重合，则ω的最小值等于
A.22
π
-
B.1
C.2π-
D.2
7.
若函数()2
12
log 815y ax x =-+在区间()1,2上单调递增，则a 的取值范围
A.[]
0,2
B.1,24⎛⎤
⎥⎝⎦
C.10,4
⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
D.1,24
⎡⎤⎢⎥
⎣
⎦
x
y
2
2
1
x
y 2
21
x
y 1
2
x
y 2
2
°
8.
已知函数()221
,0143,0x x f x x x x x ⎧+<⎪
=-⎨⎪-+≥⎩，若方程
11f x a x ⎛
⎫+-= ⎪⎝
⎭恰有4个实根，则实数
a 的取值范围是
A.()
1,2- B.5,24⎛⎫
⎪⎝⎭
C.()
51,0,24⎛⎫
- ⎪⎝⎭
⋃ D.()5
1,0,24
⎡⎫-⋃⎪
⎢⎣⎭
二、多选题
9.
若“()00,2x ∃∈，使得2
00210x x λ-+<成立”是假命题，则实数λ可能的取值是A.1
B. C.3
D.10.设函数()cos cos 2f x x a x b =+++，,a b R ∈，则
A.()f x 的最小正周期可能为2
πB.()f x 为偶函数
C.当0a b ==时，()f x 的最小值为22
D.存在,a b 使()f x 在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增三、填空题
11.计算：0000cos 75cos15sin 75sin15+=12.
计算：
11281lg 2lg 2252
-=13.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+0,0,22A ππωϕ⎛
⎫
>>-
<< ⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式是
14.
若函数sin 223y x x =++的最小值为1，则正实数a =15.
函数2y x =-+
的值域是
16.已知函数()()2
11
sin sin 222
f x x x ωω=+
-()0,R ωω>∈，若()f x 在区间(),2ππ内没有零点，则ω的取值范围是
17.已知0,0x y >>，且2183x y x y ++≤
+，则2xy
x y
+的最大值为
四、解答题
18.已知集合40+3x A x
x -⎧⎫
=>⎨⎬⎩⎭
，集合{}221B x a x a =-≤≤+（1）当3a =时，求A 和()R C A B
⋃（2）若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围
19.已知1tan 2
α=-
（1）求1sin 2cos 21sin 2cos 2αα
αα
+-++的值
（2）若()1
tan 2
αβ-=，求()tan 32αβ-的值
20.已知定义在R 上的奇函数()2
1x
f x b a =-
+（0a >且1a ≠）（1）求b 的值
（2）若()f x 在[]
1,1-上的最大值为
1
3
，求a 的值
21.已知函数()2
sin 22sin f x x x
=+（1）求()f x 的单调递增区间（2）当0,
2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，关于x 的方程()()()22
210f x m f x m m ⎡⎤-+++=⎣⎦恰有三个不同的实根，求m 的取值范围
22.设函数()()cos 2cos 1cos 1f x a x x x =++--，()()2sin 21sin g x a x a x =-+-，
其中0
a >（1）当2a =时，求函数()f x 的值域
（2）记()f x 的最大值为M ，①求M ；②求证：()2g x M
≤。