偏微分方程数值解期末试题及复习资料
偏微分方程数值解期末试题及标准答案
偏微分方程数值解试题(０6B ）参考答案与评分标准信息与计算科学专业一(10分）、设矩阵A 对称，定义)(),(),(21)(n R x x b x Ax x J ∈-=，)()(0x x J λλϕ+=.若0)0('=ϕ，则称称0x 是)(x J 的驻点(或稳定点).矩阵A 对称(不必正定)，求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是:0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点，对于任意的n R x ∈,令),(2),()()()(2000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+-+=+=, （3分)0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0，则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ，得到b Ax =0． (3分)反之,若n R x ∈0满足b Ax =0,则对于任意的x ,)(),(21)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (４分）评分标准：)(λϕ的展开式3分, 每问3分，推理逻辑性１分二（10分）、 对于两点边值问题:⎪⎩⎪⎨⎧==∈=+-=0)(,0)(),()('b u a u b a x f qu dx du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。
解: 设}0)(),,(|{11=∈=a u b a H u u H E为求解函数空间,检验函数空间．取),(1b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (３分))().(),(v f fvdx dx quv dxdv dx du p v u a b a ba ==+=⎰⎰,),(1b a H v E ∈∀ 即变分问题的Galerkin 形式. （3分)令⎰-+=-=b a dx fu qu dxdu p u f u u a u J ])([21),(),(21)(22，则变分问题的Ritz 形式为求),(1*b a H u E ∈,使)(m in )(1*u J u J EH u ∈= （4分) 评分标准:空间描述与积分步骤３分，变分方程3分，极小函数及其变分问题４分,三(20分)、对于边值问题⎪⎩⎪⎨⎧-====⨯=∈=∂∂+∂∂====x u u u u G y x y u x u y y x x 1||,0|,1|)1,0()1,0(),(,010102222 (１)建立该边值问题的五点差分格式(五点棱形格式又称正五点格式),推导截断误差的阶。
偏微分方程数值解法试题与答案
一．填空（1553=⨯分）1．若步长趋于零时，差分方程的截断误差0→lmR ，则差分方程的解lm U 趋近于微分方程的解lm u . 此结论_______（错或对）； 2．一阶Sobolev 空间{})(,,),()(21Ω∈''=ΩL f f f y x f H y x关于内积=1),(g f _____________________是Hilbert 空间；3．对非线性（变系数）差分格式，常用 _______系数法讨论差分格式的_______稳定性； 4．写出3x y =在区间]2,1[上的两个一阶广义导数：_________________________________， ________________________________________；5．隐式差分格式关于初值是无条件稳定的. 此结论_______（错或对）。
二．（13分）设有椭圆型方程边值问题用1.0=h 作正方形网格剖分 。
（1）用五点菱形差分格式将微分方程在内点离散化； （2）用截断误差为)(2h O 的差分法将第三边界条件离散化； （3）整理后的差分方程组为 三．（12）给定初值问题xut u ∂∂=∂∂ ， ()10,+=x x u 取时间步长1.0=τ，空间步长2.0=h 。
试合理选用一阶偏心差分格式（最简显格式）, 并以此格式求出解函数),(t x u 在2.0,2.0=-=t x 处的近似值。
1．所选用的差分格式是： 2．计算所求近似值：四．（12分）试讨论差分方程()ha h a r u u r u u k l k l k l k l ττ+-=-+=++++11,1111逼近微分方程0=∂∂+∂∂xu a t u 的截断误差阶R 。
思路一：将r 带入到原式，展开后可得格式是在点（l+1/2,k+1/2）展开的。
思路二：差分格式的用到的四个点刚好是矩形区域的四个顶点，可由此构造中心点的差分格式。
偏微分方程总复习和课后习题答案
一、基本概念
1. 偏微分方程的定义P1 2. 偏微分方程的阶数，线性、拟线性、完全非线性 偏微分方程的定义P10 3. 偏微分方程的适定性P23
二、方程的导出，分类与化简
三、公式的直接应用题
1. 2. 3. 4. 5. 达朗贝尔公式P36 公式P42 傅里叶（逆）变换P106 P110例 4.1.7结论 泊松公式P112
1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) ( )d 2 2a x at x a ( t ) 1 t d f ( , )d x a ( t ) 2a 0
1 2 u ( x t ) 3t xt 2
1 1 xa t C f1 ( x at ) ( x at ) ( )d 2 2a x0 2 1 1 xa t C f 2 ( x at ) ( x at ) ( )d 2 2 a x0 2
1 1 xat u [ ( x at ) ( x at )] ( )d 2 2a x a t
1 u ( x t ) x (1 a )t cos x sin at a
2 2 2
1 （ 7）
解：
2
1 22 1 x at x at x u ( x t ) 5 x t a t 2 (e e 2e ) 3 2a
1 （ 6）
解：
2 2u u 2 1 a f ( x , t ), x R ,t 0 2 2 t x u ( x, 0) ( x), u ( x, 0) ( x), x R1. t
1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) ( )d 2 2a x at x a ( t ) 1 t d f ( , )d x a ( t ) 2a 0
偏微分方程数值解法期末考试题答案
偏微分⽅程数值解法期末考试题答案期末考试试题答案及评分标准学年学期：专业：数学与应⽤数学班级：数学课程：偏微分⽅程数值解法教学⼤纲：《偏微分⽅程数值解法》教学⼤纲（⾃编，2006）使⽤教材：《偏微分⽅程数值解法》教材作者：陆⾦甫、关治出版社：清华⼤学出版社⼀、判断题（每⼩题1分，共10分） 1、（O ） 2、（O ） 3、（X ） 4、（X ） 5、（O ） 6、（O ） 7、（O ） 8、（X ）9、（X ） 10、（O ）⼆、选择题（每⼩题2分，共10分） 11、（D ） 12、（A ） 13、（C ） 14、（B ）15、（C ）三、填空题（每⼩题2分，共20分）16、22222212nx x x +++ 17、A=[4 5 9;23 5 17;11 23 1] 18、y=exp(-t/3)*sin(3*t) 19、help 20、zeros(m,n) 21、inva(A)*b 或者A/b 22、A=sym('[cos(x-y),sin(x+y);exp(x-y),(x-1)^3]')23、22221[()]2()()[()]0a s b s s c s '''-+= 24()i xv e d λλλ+∞-∞25、1(,)(,)j n j n u x t u x t τ+-四、计算题：（每⼩题12分，共36分）26、写成对流⽅程0u ua t x+=（,0x R t ∈>）的有限差分⽅程（两层显⽰格式，⽤第n 层计算第n+1层），并把有限差分⽅程改写为便于计算的迭代格式/h λτ=为⽹格⽐。
解：在点(,)j n x t 处，差分⽅程为110n n n nj jj ju u u u ahτ++--+=（0,1,2,j =±±，0,1,2,n =）（8分）便于计算的形式为11()n n n n j j j j u u a u u λ++=--，/h λτ= （4分）27、写出扩散⽅程22u ua t x=的有限差分⽅程（中⼼差分格式，⽤第n 层计算第n+1层），并把有限差分⽅程改写为便于计算的迭代格式，2/h µτ=为⽹格⽐。
偏微分方程之期末重要知识总复习
偏微分方程数值解总复习一、考虑一维经典的初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧=∈=(0)T )(0, ),(0u u t u t f dt du设函数),(u t f 在G ＝R T *],0[中连续，并且是关于u 满足Lipschitez 条件，即存在一个只依赖区域G ，而与变量t ，u 无关的常数L （称为Lipschitez 常数），使得对任意的（t ，u 1）和（t ，u 2）∈G ，都有2121),(),(u u L u t f u t f -≤-，这里的∙表示R 中的任一种范数。
给定等距分割：T t t t t n ≤<<<<= 2100，其中步长m m t t h -=+1，1,,1,0-=n m 。
在],[1+m m t t 上作：),(1m m m m u t hf u u +=+，1,,1,0-=n m这一方法称为Euler 方法。
如果记)(m t u 为微分方程在m t t =处的精确解，m u 为差分方程在m t t =处的精确解。
1、在],[h t t +上，定义算子：))(,()()(]);([t u t hf t u h t u h t u L --+=当2),(]);([≥=p h O h t u L p时，称数值方法是相容的。
2、当0→h 时，若)(m m t u u →，],0[T t m ∈，则称该数值方法是收敛的。
3、如果由初值0u 得到精确解m u ；由初值0v 得到精确解m v ，若存在常数C 和充分小的步长0h ，使得00v u C v u m m -≤-，0h h ≤，T mh ≤。
则称数值方法是稳定的。
证明：Euler 方法是相容的、收敛的、和稳定的。
证明1、 将)(h t u +在t 处做Taylor 展开，得2)(21))](,()([]);([h u h t u t f t u h t u L ξ''+-'=2)(21))](,()([h tuu f t f h t u t f t u t ξ=∂∂∂∂+∂∂+-'= )()))(((2122)(h O h t t,u f uft f t t u =∂∂+∂∂==ξ是微分方程的解所以该数值方法是相容的。
偏微分方程数值分析练习题
一、判断题(判断下列题目是否正确，如果正确请打“√”，错误请打“×”)1、Possion 方程属于椭圆型方程。
( √ )2、所有的对角矩阵、Hermite 矩阵和酉矩阵都是正规矩阵。
( √ )3、一阶双曲型方程并不是每个边界都给定条件，因此差分方程所需的边界条件往往要比微分方程的边界条件要多。
（ ）4、设),(t x u 是定解问题充分光滑的解，对于其差分格式，如果当0,→h τ时，其截断误差趋向于0，则称差分与定解问题是稳定的。
（ x ）5、Von Neumann 条件只是稳定性的必要条件。
( x )6、 如果当时间步长τ和空间步长h 趋于0时，差分格式的截断误差趋于0，就说这个差分格式是与微分方程相容的。
（ √ ）7、 如果当时间步长τ和空间步长h 无限缩小时，差分格式的解能无限逼近到微分方程的解，就说这个差分格式是收敛的。
（ √ ）8、 差分格式的相容性和收敛性是两个完全不同的概念，但是相容的差分格式必定也是收敛的。
（ x ）9、 差分格式的稳定性与差分格式本身有关，而与网格比的大小无关。
（ x ）10、 给定一个适定的线性初值问题，如果逼近它的差分格式是和它相容的，那么差分格式的收敛性是差分格式的稳定性的充分且必要条件。
（ √ ）11、 Von Neumann 条件只是稳定性的必要条件。
（ x ）12、 如果我们得到差分格式的截断误差为)()/(23h O h O +τ，那么差分格式在时间上是三阶精度的，在空间上是二阶精度的。
（ x ）13、 在有限差分数值解法中，无法得到一个无条件相容并且无条件稳定的显示差分格式。
（ √ ）二、填空题1．如果一个定解问题的解的存在性、唯一性和稳定性成立，称定解问题是 适定 的。
2．如果n n C ⨯∈u ，满足 U H U=I ，则u 称为酉矩阵。
3．Lax 等价定理是： 给一个适定的线性初值问题以及与其相容的差分格式，则差分格式的稳定性是差分格式收敛性的充分必要条件4．迎风格式的基本思想是：双曲线方程中关于空间偏导数用在特征线方向一侧的单边差商来代替。
偏微分方程期末考试试题(06)
课程名称：偏微分方程数值解法 课程编号：24014110 适用专业（班级）：数学 共1页 命题人：潘晓丽 教研室主任： 第1页一、（15分）写出三类典型泛定方程并分别说明其名称和特点.二、（10分）求一维波动方程()()()()()22222,,0,0,,0t u u a x t t x u x x u x x ϕψ⎧∂∂=-∞<<+∞>⎪∂∂⎨⎪==⎩的通解. 三、（15分）写出达朗贝尔公式并利用公式求解()()()2,0,,0sin ,0cos tt xx t u a u t x u x xu x x ⎧=>-∞<<+∞⎪=⎨⎪=⎩ 四、（10分）计算积分()32x J x dx -⎰. 五、（15分）设1,1≥≥n m ，证明()()()dx x p x m dx x p x n m n m n m ⎰⎰--=++11111六、（15分）用分离变量法求解()()()()()20,0,0,00,,00,0,,0tt xx t u a u x l t u x u x xu t u l t ⎧-=<<>⎪==⎨⎪==⎩ 七、（10分）解固有值问题()()()''0,''0y y l x l y l y l λ+=-<<⎧⎪⎨-==⎪⎩ 八、（10分）叙述斯图模-刘维尔定理.课程名称：偏微分方程数值解法 课程编号：24014110 适用专业（班级）：数学 共1页 命题人：潘晓丽 教研室主任： 第1页一、解：波动方程：()222,u a u f t x t∂=∆+∂热传导方程：()2,ua u f t x t∂=∆+∂ 位势方程：()u f x ∆= ……………………….5分 其中()12,,,n x x x x =，a 为常数，(),f t x 及()f x 为已知函数，在波动方程及热传导方程中，未知函数u 是时间变量t 和空间坐标变量()12,,,n x x x x =的函数，在位势方程中，未知函数u 是空间坐标变量()12,,,n x x x x =的函数，而与时间t 无关，三类典型方程均为二阶线性偏微分方程。
偏微分方程数值解期末试题及参考答案
《偏微分方程数值解》试卷参考答案与评分标准专业班级信息与计算科学开课系室考试日期 2006.4.14命题教师王子亭偏微分方程数值解试题(06A)参考答案与评分标准信息与计算科学专业一（10分）、设矩阵A 对称正定，定义)(),(),(21)(n R x x b x Ax x J ∈-=，证明下列两个问题等价：(1)求n R x ∈0使 )(min )(0x J x J nRx ∈=;(2)求下列方程组的解：b Ax =解: 设n R x ∈0是)(x J 的最小值点,对于任意的n R x ∈,令),(2),()()()(2000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+-+=+=, (3分)因此0=λ是)(λϕ的极小值点,0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分) 反之,若nR x ∈0满足bAx =0,则对于任意的x ,)(),(21)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分)评分标准:)(λϕ的表示式3分, 每问3分,推理逻辑性1分二（10分）、 对于两点边值问题：⎪⎩⎪⎨⎧==∈=+-=0)(,0)(),()(b u a u b a x f qu dxdu p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。
解: 设}0)()(),,(|{110==∈=b u a u b a H u u H 为求解函数空间,检验函数空间.取),(10b a H v ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分))().(),(v f fvdx dx quv dxdv dx du pv u a b a ba ==+=⎰⎰,),(10b a H v ∈∀ 即变分问题的Galerkin 形式. (3分)令⎰-+=-=b a dx fu qu dxdup u f u u a u J ])([21),(),(21)(22,则变分问题的Ritz 形式为求),(10*b a H u ∈,使)(min )(1*u J u J H u ∈= (4分)评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分,三（20分）、对于边值问题⎪⎩⎪⎨⎧=⨯=∈-=∂∂+∂∂∂0|)1,0()1,0(),(,12222G u G y x yux u （1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截断误差的阶。
偏微分方程考试题
数学物理方程及数值解 复习提要一、偏微分方程的建立 CH1 典型方程和定解条件 【内容提要】1. 方程的建立(步骤:确定物理量;微元法建立等式;化简得方程)主要方法：微元法； 泛定方程:(1) 波动方程(双曲型)：弦振动方程：222222(,)(,)(),()u x t u x t F a a txρ∂∂==∂∂张力单位长度弦质量 传输线方程：222222222221,00i a LCi a a t x t x νν∂∂∂∂-=-=∂∂∂=∂；， 电磁场方程:22222211,,H E H E t t εμεμ∂∂=∇=∇∂∂22222222221(),με标量函数形式:∂∂∂∂=++∂∂∂=∂u u u z a u a t x y (2) 热传导方程/扩散方程（抛物型）:ρ，其中22u Fa u f f t c ∂=∇+=∂ 导热杆（无热源）222u u a t x ∂∂=∂∂， 导热片（无热源）22222()u u u a t x y ∂∂∂=+∂∂∂ (3) 稳恒方程(椭圆型):Poisson 方程：，2u f ∇= Laplace 方程：，20u ∇=2.定解条件：初始条件及边界条件边界条件(1)第一类边界条件(Dirichlet 条件): 1(,)(,)D u M t f M t ∂=(2) 第二类边界条件(Neumann 条件):2Duf n ∂∂=∂ (3) 第三类边界条件(Robin 条件): 3()Duu f n σ∂∂+=∂ 3.定解问题的提法：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩偏微分方程(泛定方程)定解问题初始条件定解条件边界条件()Cauchy ⎧⎨⎩泛定方程(1)初始问题初始条件 ⎧⎨⎩泛定方程(2)边界问题(第一,二,三)边界条件⎧⎪⎨⎪⎩泛定方程(3)混合问题初始条件边界条件4.线性偏微分方程的基本性质（1）.线性迭加原理212,11,,,,,,,:nnij i ij i n i j i i j iL a b c a b c f x x x x x x ==∂∂=++∂∂∂∑∑其中是算子的函数111(1,2)(),nnni i ii ii i i i i i L u f in L c u c L u c f=====⇒==∑∑∑命题：21110(1,2),,()0,nnii i i i i i i i i i k j u Lu i c u c L c u x x ∞===∂==⇒=∂∂∑∑∑一致敛命收题：(2.) 齐次化原理（冲量原理）Duhamel 原理：设(,,)x t ωτ是方程22222,,(,)(,)0,(,),a x t t x x x f x x t ωτωτωττω⎧∂∂=-∞<<+∞>⎪∂∂⎪⎨∂⎪==-∞<<+∞⎪∂⎩的解，⇒0(,,)d ,()t x t u x t ωττ=⎰是方程22222(,),,0(,0)(,0)0,0,u u a f x t x t tx u x u x x t ⎧∂∂=+-∞<<+∞>⎪∂∂⎪⎨∂⎪==-∞<<+∞⎪∂⎩的解。
偏微分方程数值解复习题(2013硕士)
偏微分方程数值解期末复习（2012硕士）一、考题类型本次试卷共六道题目，题型及其所占比例分别为：填空题20%；计算题80% 二、按章节复习内容第一章知识点：Euler法、向前差商、向后差商、中心差商、局部截断误差、整体截断误差、相容性、收敛性、阶、稳定性、显格式、隐格式、线性多步法、第一特征多项式、第二特征多项式、稳定多项式、绝对稳定等；要求: 熟练一元函数的数值微分公式；会辨认差分格式, 计算线性多步法的局部截断误差和阶;第二章知识点：矩形网格、(正则,非正则)内点、边界点、偏向前(向后,中心)差商、五点差分格式、增设虚点法、积分插值法、线性椭圆型差分格式、极值原理、比较定理、五点差分格式的相容、收敛和稳定性等；要求: 熟练多元函数的数值微分公式；会建立椭圆型方程边值问题的差分格式；计算局部截断误差；了解极值原理讨论格式的收敛性和稳定性;第四章知识点：最简显格式、最简隐格式、CN格式、双层加权格式、Richardson 格式、网格比、传播因子法(分离变量法) 、传播因子、传播矩阵、谱半径、von Neumann条件、跳点格式、ADI格式等；要求: 会建立抛物型方程边值问题的经典差分格式；计算局部截断误差;会计算格式的传播因子或传播矩阵；会讨论格式的稳定性；第五章知识点：依赖区域、左偏心格式、右偏心格式、中心格式、LF格式、LW 格式、Wendroff格式、跳蛙格式、特征线、CFL条件等；要求: 建立双曲型方程边值问题的差分格式；计算局部截断误差;会计算格式的传播因子或传播矩阵；讨论格式的稳定性；第七章知识点：单元、线性元、线性基、(单元)刚度矩阵、(单元)荷载向量等；要求: 会用线性元(线性基)建立常微分方程边值问题的有限元格式三 练习题1、 试建立Euler 法(向后Euler 法或梯形法)，并讨论格式的局部截断误差和阶。
P4，6，8+课件2、 已知一个线性二或三步法，试讨论格式的局部截断误差和阶。
偏微分方程期末复习笔记
《偏微分方程》期末考试复习一、颠簸方程（双曲型方程） u tt a 2u xxf ( x, t)（一）初值问题（柯西问题）utta 2u xx f ( x, t)1、一维情况 u t 0(x)u t t 0( x)（ 1）解法（流传波法） ：由叠加原理 ，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，u tta 2u xx 0u tta 2u xx f (x,t )（ I ） u t 0( x)（Ⅱ） u t0 ut t 0( x)ut t 0此中，问题（ I ）的解由 达朗贝尔公式 给出：( x at )( x at )1u( x,t )22au( x, t)t由齐次化原理 ，问题（Ⅱ）的解为：W ( x, t; )dWtta 2W xx此中， W ( x, y, z,t ; ) 是下述初值问题的解：W t 0，W t tf ( x, )x at ( )dx at利用达朗贝尔公式得W ( x, t; )1x a (t ) f ( , )d2a进而问题（Ⅱ）的解为：x a ( t)1t x a (t )u( x, t)f ( , )d d 2a 0 x a( t)综上所述，原初值问题的解为：( x at )(x at )1x at 1u( x, t)2a( )d2x at2at x a(t ) f ( , )d d0 x a (t)（ 2）依靠区间、决定地区、影响地区、特点线：①依靠区间：点 (x , t)的依靠区间为： [x-at , x+at ];②决定地区：区间 [ x 1 , x 2 ] 的决定地区为： {( x,t)| x 1 at x x 2 at }③影响地区：区间[ x1 , x2 ] 的影响地区为：{( x,t)| x1at xx2at④特点线：x x0at（ 3）解的考证：见课本P10, P14u tt a 2 (u xx u yy u zz ) f (x, y, z, t)2、三维情况u t0( x, y, z)u t t0( x, y, z)（1）解法（球面均匀法）：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，utt a2 (u xx u yy u zz) 0utt a2 (u xx u yy（ I）u t 0( x, y, z)（Ⅱ） u t00ut t 0(x, y, z)ut t 00此中，问题（I）的解由泊松公式给出：u( x, y, z, t)1dS1t 4 a2t S M 4 a2 t S Mat att由齐次化原理，问题（Ⅱ）的解为：u( x, y, z,t)W ( x, y, z,t ; )dW tt a2 (W xx W yy W zz )此中， W ( x, y, z,t ; ) 是下述初值问题的解：W t0W t t f (x, y, z, )利用泊松公式得1 f ( , ,, )W ( x, y, z, t; )rdS4 a S M r a (t )a ( t )进而问题（Ⅱ）的解为：}u zz ) f (x, y, z, t)dS，1f ( , ,,t r )u( x, y, z, t)a dV4a2r at r综上所述，原初值问题的解为：111f ( ,, ,t r )u( x, y, z, t )dS dS adV224 a2r t 4 a t S M 4 a t S M r atat at（ 2）依靠区间、决定地区、影响地区、特点锥、惠更斯原理（无后效现象）：①依靠地区（球面）：点 ( x0 , y0 , z0 ,t ) 的依靠地区为( x x)2( y y)2( z z )2a2t2 ；0000②决定地区（锥体）：球面 ( x x0 )2( y y0 )2(z z0 ) 2a2 t02决定地区为：(x x0 ) 2( y y0 ) 2( z z0 )2a2 (t0t) 2(t t0 ) ；③影响地区（锥面）：点 ( x0 , y0 , z0 ,0)的影响地区为：(x x0 ) 2( y y0 ) 2(z z0 )2a2t 2(t0)④特点锥： ( x x0 )2( y y0 )2( z z0 )2a2 (t0t )2惠更斯原理（无后效现象）见课本P35（ 3）解的考证：见课本P29, P32u tt a2 (u xx u yy ) f ( x, y, t)3、二维情况u t 0(x, y)u t t 0( x, y)（1）解法（降维法）：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，u tt a2 (u xx u yy ) 0（ I）u t0( x, y)u t t0(x, y)u tt a2 (u xx u yy ) f ( x, y,t )（Ⅱ） u t00u t t00此中，问题（I）的解由二维泊松公式给出：1(,)d du( x, y, t)222 a t at (at)(x)(y)2M Mu( x, y,t)t由齐次化原理，问题（Ⅱ）的解为：W ( x, y,t ;W tt a2 (W xx W yy )此中， W ( x, y,t;) 是下述初值问题的解：W t0Wt t f (x, y, )( , )d d (at) 2(x) 2(y)2)d，1 利用泊松公式得 W ( x, y, t; )2 a进而问题（Ⅱ）的解为：f ( , , tr )ad dr r 2(x)2 (y)2Mr a (t)1atu( x, y, t )22 aM rf ( , ,tr )ad dr 2 (x) 2 (y) 2r a( t)综上所述，原初值问题的解为：u( x, y,t )1( ,)d d2 atM 2(x)22at( at )(y) 1atf (, ,t r )ad d2 a2 02 22M r(x)(y)rr a (t )（ 2）依靠区间、决定地区、影响地区、特点锥、后效现象：①依靠地区（圆饼） ：点 ( x 0 , y 0 , t) 的依靠地区为( , )d d22at (at )x) 2M( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 a 2 t 02 ；②决定地区（锥体） ：圆饼 ( xx 0 )2 ( y y 0 )2 a 2t 02 决定地区为： (xx 0 ) 2 ( yy 0 )2 a 2 (t t 0 ) 2 (t t 0 ) ；③影响地区（锥体） ：点 ( x 0 , y 0 ,0) 的影响地区为：(x x 0 ) 2 ( y y 0 )2 a 2t 2 (t 0)④特点锥： ( xx 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 a 2 (t 0 t )2后效现象见课本 P35、 36（ 3）解的考证：课本没有，有兴趣的童鞋自己着手饱食暖衣。
偏微分方程数值解试卷
一、（10分)简叙偏微分方程数值解研究的内容。
建立一个偏微分方程数值格式，需要研究和讨论哪些问题？一个好的数值格式应该到达哪些要求？二、(10分）简叙用差分方法求解偏微分方程数值解的方法和步骤。
三、（10分）请解释收敛性、稳定性、相容逼近性三个概念。
它们之间有何区别和联系？四．对如下两点边值问题：⎪⎩⎪⎨⎧==<<=+-,0)1( )0(,10 ,222u u x f u dx ud 将区间[0,1］作剖分：N N x x x x <<<<=-1100 , （1） 在上述网格剖分下建立中心差分格式; （10分） （2） 写出局部截断误差；并问当网格剖分满足什么条件时，上述差分格式的误差阶为2； （10分）（3） 利用极值定理证明解的存在唯一性。
（10分)四、(1）中心差分格式：)()()(2))()()()((21111u R x f x u h x u x u h x u x u h h i i i ii i i i i i i +=+---+--+++ （2）局部截断误差：)(3)(2331h O dx u d hh u R iii i +⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=+ 显然当剖分为等距时,误差阶为2 (3）用极值定理证存在唯一性：只需证明齐次（边值与右端恒零）问题只有平凡解.实际上,设iu 是齐次问题的解，则由极值定理，i u 既不能在区间内部取正的极大,也不能取负的极小，因此0=i u 。
七．已知两点边值问题：⎪⎩⎪⎨⎧==<<=-0)1( )0(10 ,22u u x f dx ud (A) （1） 写出问题（A ）的虚功原理（含证明)； （25分) （2） 写出建立线性有限元方程组h h h b U A =的主要步骤； （10分）（3） 对于线性有限元方程组h h h b U A =，设h A 产生扰动h A ∆,h b 产生扰动h b ∆，由此引起h U 产生扰动h u ∆，说明h u ∆与h A ∆，h b ∆之间的关系.(5分）七． （1）⎪⎩⎪⎨⎧==<<=-0)1( )0(10 ,22u u x f dx u d （A ）检验函数空间为：{}0)1(,0)0(),()()(1==∈=v v I H x v x v V ,]1,0[=I ，本题中检验函数空间与 试探函数空间相同.对V v ∈∀ 有：)(122---⎰dx v f dx ud ⇒0101=-⎰⎰dx v f dx dx vd dx u d dx fv dx dx vd dx u d v u a ⎰⎰==110v)(f, , ),( （2分)从而问题（A ）变分问题可描述为：求V U u =∈使得),(),(v f v u a = 对V v ∈∀ 成立。
偏微分方程期末复习笔记
《偏微分方程》期末考试复习一、波动方程（双曲型方程）),(2t x f u a u xx tt =-（一）初值问题（柯西问题）1、一维情形⎪⎩⎪⎨⎧===-==)()(),(002x u x u t x f u a u t t t xx tt ψϕ（1）解法（传播波法）：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，（I ）⎪⎩⎪⎨⎧===-==)()(0002x u x u u a u t t t xx tt ψϕ （Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧===-==00),(002t t t xx tt u u t x f u a u其中，问题（I ）的解由达朗贝尔公式给出：ξξψϕϕd a at x at x t x u at x atx ⎰+-+++-=)(212)()(),(由齐次化原理，问题（Ⅱ）的解为：ττd t x W t x u t⎰=);,(),(其中，);,,,(τt z y x W 是下述初值问题的解：⎪⎩⎪⎨⎧===-==),(002τττx f W W W a W t t t xx tt ，利用达朗贝尔公式得ξτξτττd f at x W t a x t a x ⎰-+--=)()(),(21);,(从而问题（Ⅱ）的解为：τξτξττd d f a t x u t t a x t a x ⎰⎰-+--=0)()(),(21),(综上所述，原初值问题的解为：τξτξξξψϕϕττd d f ad a at x at x t x u t t a x t a x at x at x ⎰⎰⎰-+--+-++++-=0)()(),(21)(212)()(),(（2）依赖区间、决定区域、影响区域、特征线：①依赖区间：点(x , t )的依赖区间为：[x-at , x+at ];②决定区域：区间],[21x x 的决定区域为：{(x,t )|at x x at x -≤≤+21}③影响区域：区间],[21x x 的影响区域为：{(x,t )|at x x at x +≤≤-21} ④特征线：at x x ±=0 （3）解的验证：见课本P10, P142、三维情形⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++-==),,(),,(),,,()(002z y x u z y x u t z y x f u u u a u t t t zz yy xx tt ψϕ（1）解法（球面平均法）：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，（I ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++-==),,(),,(0)(002z y x u z y x u u u u a u t t t zz yy xx tt ψϕ （Ⅱ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++-==00),,,()(002t t t zz yy xx tt u u t z y x f u u u a u其中，问题（I ）的解由泊松公式给出：⎰⎰⎰⎰+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂=M at M at S S dS t a dS t a t t z y x u ψπϕπ224141),,,(由齐次化原理，问题（Ⅱ）的解为：ττd t z y x W t z y x u t⎰=0);,,,(),,,(其中，);,,,(τt z y x W 是下述初值问题的解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++-==),,,(00)(2τττz y x f W W W W W a W t t t zz yy xx tt ，利用泊松公式得⎰⎰--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=M t a S t a r dS r f a t z y x W )()(),,,(41);,,,(τττζηξπτ 从而问题（Ⅱ）的解为：dV ra rt f a t z y x u atr ⎰⎰⎰≤-=),,,(41),,,(2ζηξπ综上所述，原初值问题的解为：dV ra rt f a dS t a dS t a t t z y x u atr S S M at M at ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤-++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂=),,,(414141),,,(222ζηξπψπϕπ（2）依赖区间、决定区域、影响区域、特征锥、惠更斯原理（无后效现象）：①依赖区域（球面）：点),,,(000t z y x 的依赖区域为202202020)()()(t a z z y y x x =-+-+-；②决定区域（锥体）：球面202202020)()()(t a z z y y x x =-+-+-决定区域为：202202020)()()()(t t a z z y y x x -≤-+-+- )(0t t ≤；③影响区域（锥面）：点)0,,,(000z y x 的影响区域为：22202020)()()(t a z z y y x x =-+-+- )0(>t④特征锥：202202020)()()()(t t a z z y y x x -=-+-+-惠更斯原理（无后效现象）见课本P35（3）解的验证：见课本P29, P323、二维情形⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-==),(),(),,()(002y x u y x u t y x f u u a u t t t yy xx tt ψϕ（1）解法（降维法）：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，（I ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-==),(),(0)(002y x u y x u u u a u t t t yy xx tt ψϕ （Ⅱ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-==00),,()(002t t t yy xx tt u u t y x f u u a u其中，问题（I ）的解由二维泊松公式给出：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----+----∂∂=⎰⎰⎰⎰∑∑M at M at d d y x at d d y x at t a t y x u ηξηξηξψηξηξηξϕπ222222)()()(),()()()(),(21),,( 由齐次化原理，问题（Ⅱ）的解为：ττd t y x W t y x u t⎰=);,,(),,(其中，);,,(τt y x W 是下述初值问题的解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-==),,(00)(2τττy x f W W W W a W t t t yy xx tt ，利用泊松公式得⎰⎰∑-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=M r d d y x r a r t f a t y x W t a r ηξηξηξπττ)(222)()(),,(21);,,( 从而问题（Ⅱ）的解为：⎰⎰⎰∑-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=at t a r M r d d y x r a r t f a t y x u 0)(2222)()(),,(21),,(ηξηξηξπτ综上所述，原初值问题的解为：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑-=∑∑⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----+----∂∂=at t a r Mr M at M at d d y x r a r t f a d d y x at d d y x at t a t y x u 0)(2222222222)()(),,(21)()()(),()()()(),(21),,(ηξηξηξπηξηξηξψηξηξηξϕπτ（2）依赖区间、决定区域、影响区域、特征锥、后效现象：①依赖区域（圆饼）：点),,(00t y x 的依赖区域为2022020)()(t a y y x x ≤-+-；②决定区域（锥体）：圆饼2022020)()(t a y y x x ≤-+-决定区域为：2022020)()()(t t a y y x x -≤-+- )(0t t ≤；③影响区域（锥体）：点)0,,(00y x 的影响区域为：222020)()(t a y y x x ≤-+- )0(>t④特征锥：2022020)()()(t t a y y x x -=-+-后效现象见课本P35、36（3）解的验证：课本没有，有兴趣的童鞋自己动手丰衣足食。
最新偏微分方程数值解试题参考答案
偏微分方程数值解一（10分）、设矩阵A 对称正定，定义)(),(),(21)(n R x x b x Ax x J ∈-=，证明下列两个问题等价：(1)求n R x ∈0使)(min )(0x J x J n Rx ∈=;(2)求下列方程组的解：b Ax = 解: 设n R x ∈0是)(x J 的最小值点,对于任意的n R x ∈,令),(2),()()()(2000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+-+=+=, (3分)因此0=λ是)(λϕ的极小值点,0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分) 反之,若nR x ∈0满足bAx =0,则对于任意的x ,)(),(21)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分)评分标准:)(λϕ的表示式3分, 每问3分,推理逻辑性1分二（10分）、对于两点边值问题：⎪⎩⎪⎨⎧==∈=+-=0)(,0)(),()(b u a u b a x f qu dxdu p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。
解: 设}0)()(),,(|{11==∈=b u a u b a H u u H 为求解函数空间,检验函数空间.取),(10b a H v ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分))().(),(v f fvdx dx quv dxdv dx du p v u a b a ba ==+=⎰⎰,),(1b a H v ∈∀ 即变分问题的Galerkin 形式. (3分)令⎰-+=-=b a dx fu qu dxdup u f u u a u J ])([21),(),(21)(22,则变分问题的Ritz 形式为求),(1*b a H u ∈,使)(m in )(10*u J u J H u ∈= (4分) 评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分,三（20分）、对于边值问题⎪⎩⎪⎨⎧=⨯=∈-=∂∂+∂∂∂0|)1,0()1,0(),(,12222G u G y x yux u （1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截断误差的阶。
偏微分方程的数值解
偏微分方程的数值解当然，请查看以下试题示例：1. 什么是偏微分方程的数值解？- A. 用数值方法求解偏微分方程的方法。
- B. 用解析方法求解偏微分方程的方法。
- C. 用近似方法求解偏微分方程的方法。
- D. 用几何方法求解偏微分方程的方法。
2. 数值解法在解偏微分方程中的作用是什么？- 空格填写：______________。
3. 常见的偏微分方程数值解方法包括哪些？- A. 有限差分法。
- B. 蒙特卡罗法。
- C. 拉格朗日法。
- D. 傅里叶法。
4. 有限差分法（FDM）适用于解决什么类型的偏微分方程？- A. 抛物型。
- B. 椭圆型。
- C. 双曲型。
- D. 超越型。
5. 解偏微分方程的数值方法通常需要进行什么样的数值计算？- 空格填写：______________。
6. 数值解方法的稳定性和收敛性为解偏微分方程的数值解带来什么保证？- 空格填写：______________。
7. 在有限元方法（FEM）中，什么是“元”？- 空格填写：______________。
8. 数值解法中常用的时间步长（time step）是用来控制什么的？- A. 精度。
- B. 稳定性。
- C. 收敛性。
- D. 平滑性。
9. 请列举两种常见的偏微分方程数值解法。
10. 数值解法中常用的空间离散化方法有哪些？11. 解偏微分方程的数值方法中，误差分析如何进行？12. 请简要描述有限元方法（FEM）在解偏微分方程中的应用。
13. 有限差分法和有限元法在解决偏微分方程中有何异同？14. 数值解法如何处理非线性偏微分方程？15. 为什么说数值解法对大规模偏微分方程问题有优势？16. 数值解法的计算效率受哪些因素影响？17. 有限体积法在解偏微分方程中有何特点？18. 数值解法中如何选择合适的网格？19. 如何评估数值解法的稳定性？20. 解偏微分方程的数值方法中，收敛性是如何定义和验证的？希望这些题目能够满足你的需求！。
偏微分方程数值解期末试题及答案
偏微分方程数值解试题（06B ）参考答案与评分标准信息与计算科学专业一（10分）、设矩阵A 对称,定义)(),(),(21)(n R x x b x Ax x J ∈-=，)()(0x x J λλϕ+=。
若0)0('=ϕ，则称称0x 是)(x J 的驻点(或稳定点）.矩阵A 对称（不必正定），求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是：0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点,对于任意的n R x ∈，令),(2),()()()(2000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+-+=+=, （3分)0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈，0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ，得到b Ax =0. （3分）反之,若n R x ∈0满足b Ax =0，则对于任意的x ，)(),(21)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+ϕϕ，因此0x 是)(x J 的最小值点。
（4分）评分标准:)(λϕ的展开式3分， 每问3分，推理逻辑性1分二(10分）、 对于两点边值问题：⎪⎩⎪⎨⎧==∈=+-=0)(,0)(),()('b u a u b a x fqu dxdu p dx d Lu其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈ 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程.解: 设}0)(),,(|{11=∈=a u b a H u u H E为求解函数空间,检验函数空间。
取),(1b a H v E ∈，乘方程两端，积分应用分部积分得到 (3分）)().(),(v f fvdx dx quv dxdv dx du p v u a b a ba ==+=⎰⎰,),(1b a H v E∈∀ 即变分问题的Galerkin 形式. （3分）令⎰-+=-=b a dx fu qu dxdup u f u u a u J ])([21),(),(21)(22,则变分问题的Ritz 形式为求),(1*b a H u E∈，使)(m in )(1*u J u J EH u ∈= (4分) 评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分， 三（20分)、对于边值问题⎪⎩⎪⎨⎧-====⨯=∈=∂∂+∂∂====x u u u u G y x y ux u y y x x 1||,0|,1|)1,0()1,0(),(,010102222 （1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式)，推导截断误差的阶.（2）取3/1=h ,求边值问题的数值解（写出对应的方程组的矩阵形式，并求解) （3）就5/1=h 和N h /1=的一般情况写出对应方程组的系数矩阵（用分块矩阵表示)。
偏微分方程考试题
数学物理方程及数值解 复习提要一、偏微分方程的建立 CH1 典型方程和定解条件 【内容提要】1. 方程的建立(步骤:确定物理量;微元法建立等式;化简得方程)主要方法：微元法； 泛定方程:(1) 波动方程(双曲型)：弦振动方程：222222(,)(,)(),()u x t u x t F a a txρ∂∂==∂∂张力单位长度弦质量 传输线方程：222222222221,00i a LCi a a t x t x νν∂∂∂∂-=-=∂∂∂=∂；， 电磁场方程:22222211,,H E H E t t εμεμ∂∂=∇=∇∂∂22222222221(),με标量函数形式:∂∂∂∂=++∂∂∂=∂u u u z a u a t x y (2) 热传导方程/扩散方程（抛物型）:ρ，其中22u Fa u f f t c ∂=∇+=∂ 导热杆（无热源）222u u a t x ∂∂=∂∂， 导热片（无热源）22222()u u u a t x y ∂∂∂=+∂∂∂ (3) 稳恒方程(椭圆型):Poisson 方程：，2u f ∇= Laplace 方程：，20u ∇=2.定解条件：初始条件及边界条件边界条件(1)第一类边界条件(Dirichlet 条件): 1(,)(,)D u M t f M t ∂=(2) 第二类边界条件(Neumann 条件):2Duf n ∂∂=∂ (3) 第三类边界条件(Robin 条件): 3()Duu f n σ∂∂+=∂ 3.定解问题的提法：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩偏微分方程(泛定方程)定解问题初始条件定解条件边界条件()Cauchy ⎧⎨⎩泛定方程(1)初始问题初始条件 ⎧⎨⎩泛定方程(2)边界问题(第一,二,三)边界条件⎧⎪⎨⎪⎩泛定方程(3)混合问题初始条件边界条件4.线性偏微分方程的基本性质（1）.线性迭加原理212,11,,,,,,,:nnij i ij i n i j i i j iL a b c a b c f x x x x x x ==∂∂=++∂∂∂∑∑其中是算子的函数111(1,2)(),nnni i ii ii i i i i i L u f in L c u c L u c f=====⇒==∑∑∑命题：21110(1,2),,()0,nnii i i i i i i i i i k j u Lu i c u c L c u x x ∞===∂==⇒=∂∂∑∑∑一致敛命收题：(2.) 齐次化原理（冲量原理）Duhamel 原理：设(,,)x t ωτ是方程22222,,(,)(,)0,(,),a x t t x x x f x x t ωτωτωττω⎧∂∂=-∞<<+∞>⎪∂∂⎪⎨∂⎪==-∞<<+∞⎪∂⎩的解，⇒0(,,)d ,()t x t u x t ωττ=⎰是方程22222(,),,0(,0)(,0)0,0,u u a f x t x t tx u x u x x t ⎧∂∂=+-∞<<+∞>⎪∂∂⎪⎨∂⎪==-∞<<+∞⎪∂⎩的解。
偏微分方程数值解（试题）
偏微分⽅程数值解（试题）偏微分⽅程数值解试题1、考虑⼀维的抛物型⽅程：2200, [0,], 0t T (,), (,)(,0)()x x u ux t xu x t u u x t u u x x ππνπ?==??=∈≤≤??=== （1）导出时间离散是⼀阶向前Euler 格式，空间离散是⼆阶精度的差分格式；（2）讨论（1）中导出的格式的稳定性；（3）若时间离散为⼆阶精度的蛙跳格式，112n n n t t u u u t t+-=?-=空间离散是⼆阶精度的中⼼差分，问所导出的格式稳定吗？为什么？2、考虑Poission ⽅程2(,)1, (,)0, in AB and AD (,)0, in BC and CDu x y x y unu x y -?=∈Ω== 其中Ω是图1中的梯形。
使⽤差分⽅法来离散该⽅程。
由于梯形的对称性，可以考虑梯形的⼀半，如图2，图2 从物理空间到计算区域的⼏何变换图1 梯形为了求解本问题，采⽤如下⽅法：将Ω的⼀半投影到正⽅形区域?Ω，然后在?Ω上使⽤差分⽅法来离散该⽅程。
在计算区域?Ω上⽤N N ?个⽹格点，空间步长为1/(1)N ξη?=?=-。
（1）引⼊⼀个映射T 将原区域Ω（带有坐标,x y ）变换到单位正⽅形?Ω（带有坐标,ξη）。
同时导出在新区域上的⽅程和边界条件。
（2）在变换区域，使⽤泰勒展开导出各导数项在区域内部和边界点上的差分格式。
3、对线性对流⽅程0 constant >0u u a a t x+=，其⼀阶迎风有限体积法离散格式为 1?n j u +=?nj u a t x-（?n j u 1?n j u --）（1）写出0a <时的⼀阶迎风有限体积法的离散格式；（2）写出a 为任意符号的常数的⼀阶迎风有限体积法的守恒形式。
（3）使⽤0 u uu t x+=说明⼀阶迎风有限体积法不是熵保持的格式。
4、对⼀维Poission ⽅程, (0,1)(0)(1)0x xx u xe x u u ?-=∈?==? 将[]01，分成(1)n +等分，写出⽤中⼼差分离散上述⽅程的差分格式，并问：（1）该差分格式与原微分⽅程相容吗？为什么？（2）该差分格式稳定吗？为什么？（3）该差分格式是否收敛到原微分⽅程的解？为什么？（4）取(1)6n +=，写出该差分格式的矩阵表⽰。
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偏微分方程数值解试题(06B)参考答案与评分标准信息与计算科学专业一（10分）、设矩阵A 对称，定义)(),(),(21)(n R x x b x Ax x J ∈-=，)()(0x x J λλϕ+=.若0)0('=ϕ,则称称0x 是)(x J 的驻点（或稳定点）.矩阵A 对称（不必正定），求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是：0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点,对于任意的n R x ∈,令),(2),()()()(2000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+-+=+=, (3分)0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分)反之,若nR x ∈0满足bAx =0,则对于任意的x ,)(),(21)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分) 评分标准:)(λϕ的展开式3分, 每问3分,推理逻辑性1分二（10分）、 对于两点边值问题：⎪⎩⎪⎨⎧==∈=+-=0)(,0)(),()('b u a u b a x fqu dxdu p dx d Lu其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈ 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。
解: 设}0)(),,(|{11=∈=a u b a H u u H E为求解函数空间,检验函数空间.取),(1b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分))().(),(v f fvdx dx quv dxdv dx du p v u a b a ba ==+=⎰⎰,),(1b a H v E∈∀ 即变分问题的Galerkin 形式. (3分)令⎰-+=-=b a dx fu qu dxdup u f u u a u J ])([21),(),(21)(22,则变分问题的Ritz 形式为求),(1*b a H u E∈,使)(m in )(1*u J u J EH u ∈= (4分) 评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分, 三（20分）、对于边值问题⎪⎩⎪⎨⎧-====⨯=∈=∂∂+∂∂====x u u u u G y x y ux u y y x x 1||,0|,1|)1,0()1,0(),(,010102222 （1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截断误差的阶。
（2）取3/1=h ，求边值问题的数值解（写出对应的方程组的矩阵形式，并求解） （3）就5/1=h 和N h /1=的一般情况写出对应方程组的系数矩阵（用分块矩阵表示）。
解: (1) 区域离散kh y jh x k j ==,,差分格式为02221,1,2,1,1=+-++-+--+h u u u h u u u k j jk k j kj jk k j (5分)应用Tayloy 展开得到,截断误差为)(][12444442h O y ux u h jk +∂∂+∂∂,其阶为)(2h O (3分)(2) 未知量为T u u u u U ),,,(22211211=,矩阵形式为F AU =,其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------=3/13/53/13/53/13/213/13/21,4110140110410114F A (4分) 求解得到解为 (3分)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=15/5215/215/202/1502/12/152/12L A=[4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4]L =2.0000 -0.5000 -0.5000 0 0 1.9365 -0.1291 -0.5164 0 0 1.9322 -0.5521 0 0 0 1.8516 u= 0.6667 0.3333 0.6667 0.3333(3) 矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----B II B II B,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=4114114 B (5分) 评分标准:第1问8分,格式4分,截断误差4.(2) 7分,方程4分,解3分.(3)5分, 形式3分,B 的形式2分四（20分）、对于初边值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤==<<=≤<<<+∂∂=∂∂T t t u t u x x x u Tt x bu x ua tu 0,0),1(),0(10),()0,(0,10,22ϕ （1）建立向前差分格式（最简显格式），推导截断误差的主项，指出误差阶; （2）写出差分格式的矩阵形式（即F BU AU k k τ+=+1的形式），用矩阵方法分析格式的稳定性（3）建立六点对称格式(Nicolson Crank -格式) 并写出计算形式，应用Fourier 方法（分离变量法）分析格式的稳定性。
解:(1) 区域离散,格式为k j kj x k jk j bu u hau u +=-+2211δτ, (5分) 应用Taylor 展开得到,误差主项为)()(12)(214244222h O x u ah t u kj k j ++∂∂-∂∂ττ,阶为)(2h O +τ (3分)(2) },21,{,r r r diag B E A -==, (4分) 稳定条件为2/1≤r (3分) (3) 格式为)(2))1((11221k j k j kj k j x k jk j u u b u u ha u u ++-+=-+++θθδτ, (3分) 低阶项归入)(τO 中,格式是无条件稳定的. (2分)五（10分）、逼近0=∂∂+∂∂xu t u 的三层差分格式0221111=-+--+-+h u u u u n j n j n j n j τ 分析格式的稳定性解:计算形式为1111)(--+++--=n j n j n j n j u u u r u (2分)此为三层格式,化为两层格式.令n j n j u v =+1,则有⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+-++nj n jnjn j n j n j u v v u u r u 1111)( (4分) 令jhi n n j jh i n n j ew v e w u αα21,==,代入格式,消去公因子,得到 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n n n w w h ir w w 211211011sin 2α (2分) 放大矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=011sin 2hi r G α,特征方程为λαλλ11sin 2||--+=-hi r G E 01sin 22=-+=λαλhi r ,i hr h r 2sin 44sin 2222,1ααλ-±-=121=λλ,1|}||,m ax {|21≤λλ的充要条件为方程有相同的复根或一对共扼复根,即0sin 4422≥-=∆h r α.考虑到α的变化,稳定条件为1≤r (2分)六（10分）、建立波动方程22222xu a t u ∂∂=∂∂的初值问题的显格式，推导截断误差,推导格式稳定的必要条件.解:差分格式为nj x n jn j n j u ha u u u 22221112δτ=+--+, (3分)截断误差为)(121442442244h O h x u a t u njnj ++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ττ,阶为)(22h O +τ (3分) 分析稳定性必要条件 (4分)七（10分）、对于二维抛物型方程)(2222y ux u a t u ∂∂+∂∂=∂∂建立Nicolson Crank -差分格式，指出截断误差阶，分析格式的稳定性。
解: 差分格式为)(121221++++=-n jk y n jk x njkn jk u u ha u u δδτ(4分) 误差阶为)(2h O +τ (3分)放大因子为2sin 42sin 411),,(22hr h r G βατβα++=,恒稳定. (3分)八.用Galerkin Ritz -方法求边值问题 ⎩⎨⎧==<<=+-1)1(,0)0(102"u u x x u u 的第n 次近似)(x u n ,基函数n i x i x i ,...,2,1),sin()(==πϕ解:(1)边界条件齐次化:令x u =0,0u u w -=,则w 满足齐次边界条件,且)1(,0)0(20==-=-=w w x x Lu Lu Lw (3分)第n 次近似n w 取为∑==ni i i n c w 1ϕ,其中),...2,1(n i c i =满足的Galerkin Ritz -方程为n j x x ca j ni iji,...,2,1),(),(21=-=∑=ϕϕϕ (3分)又xd jx ix ij dx x j x i dxx j x i ij dx a j i j i j i ⎰⎰⎰⎰-=+=+=ππππππππϕϕϕϕϕϕ)cos()cos(2)sin()sin()cos()cos()(),(10121''⎰-+πππjx ix sin sin 21 由三角函数的正交性,得到⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=j i j i i a j i ,0,212),(22πϕϕ而]1)1[()(2)sin()1(),(312--=-=-⎰j j j dx x j x x x x ππϕ于是得到⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=为偶数为奇数j j j j a x x c j j j j 0)1()(8),(),(2232ππϕϕϕ最后得到∑+=-+---+=]21[1233])12(1[)12(])12sin[(8)(n k n k k x k x x u ππ (4分)。