向量的数乘运算及其几何意义
第二章 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
2．2.3 向量数乘运算及其几何意义学习目标 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．知识点一 向量数乘的定义实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a |.(2)λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当λ>0时，与a 方向相同；当λ<0时，与a 方向相反.特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0＝0. 知识点二 向量数乘的运算律 1．λ(μa )＝(λμ)a . 2．(λ＋μ)a ＝λa ＋μa . 3．λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 知识点三 向量共线定理 1．向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . 2．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b . 思考 共线向量定理中为什么规定a ≠0?答案 若将条件a ≠0去掉，即当a ＝0时，显然a 与b 共线． (1)若b ≠0，则不存在实数λ，使b ＝λa . (2)若b ＝0，则对任意实数λ，都有b ＝λa .1．若向量b 与a 共线，则存在唯一的实数λ使b ＝λa .( × ) 提示 当b ＝0，a ＝0时，实数λ不唯一． 2．若b ＝λa ，则a 与b 共线．( √ ) 提示 由向量共线定理可知其正确．3．若λa ＝0，则a ＝0.( × ) 提示 若λa ＝0，则a ＝0或λ＝0.题型一 向量的线性运算例1 (1)3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎫a ＋13b ＝________. 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 9a解析 3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎫a ＋13b ＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a . (2)若3(x ＋a )＋2(x －2a )－4(x －a ＋b )＝0，则x ＝______. 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 4b －3a解析 由已知得3x ＋3a ＋2x －4a －4x ＋4a －4b ＝0， 所以x ＋3a －4b ＝0，所以x ＝4b －3a . 反思感悟 向量线性运算的基本方法(1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算． 跟踪训练1 计算：(a ＋b )－3(a －b )－8a . 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算解 (a ＋b )－3(a －b )－8a ＝(a －3a )＋(b ＋3b )－8a ＝－2a ＋4b －8a ＝－10a ＋4b .题型二 向量共线的判定及应用命题角度1 判定向量共线或三点共线 例2 已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)若a ＝12e 1－13e 2，b ＝3e 1－2e 2，判断向量a ，b 是否共线．考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定向量共线 解 ∵b ＝6a ，∴a 与b 共线．(2)若AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线． 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定三点共线证明 ∵AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →， ∴AB →，BD →共线，且有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．反思感悟 (1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用b ＝λa (a ≠0)，还要说明向量a ，b 有公共点．跟踪训练2 已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋2e 2，BC →＝－5e 1＋6e 2，CD →＝7e 1－2e 2，则共线的三个点是________． 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定三点共线 答案 A ，B ，D解析 ∵AB →＝e 1＋2e 2，BD →＝BC →＋CD → ＝－5e 1＋6e 2＋7e 1－2e 2＝2(e 1＋2e 2)＝2AB →， ∴AB →，BD →共线，且有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．命题角度2 利用向量共线求参数值例3 已知非零向量e 1，e 2不共线，欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定k 的值． 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 解 ∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， ∴存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)， 则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，∴k ＝±1.反思感悟 利用向量共线定理，即b 与a (a ≠0)共线⇔b ＝λa ，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值．跟踪训练3 设两个不共线的向量e 1，e 2，若a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，问是否存在实数λ，μ，使d ＝λa ＋μb 与c 共线？ 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 解 d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2) ＝(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2，要使d 与c 共线，则存在实数k ，使得d ＝k c ， 即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2k e 1－9k e 2. 因为e 1与e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ.故存在实数λ和μ，使得d 与c 共线，此时λ＝－2μ. 题型三 用已知向量表示其他向量例4 在△ABC 中，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.13AC →＋23AB → B.53AB →－23AC →C.23AC →－13AB → D.23AC →＋13AB → 考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 D解析 示意图如图所示，由题意可得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →.跟踪训练4 如图所示，四边形OADB 是以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边的平行四边形．又BM＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量解 因为BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )，所以OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b .因为CN →＝13CD →＝16OD →，所以ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )． MN →＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b .向量的综合应用典例 如图，设O 是△ABC 内一点，且满足OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则△ABC 与△AOC 的面积之比为________．答案 3解析 如图所示，分别取BC ，AC 边的中点D ，E ，则OB →＋OC →＝2OD →，① OA →＋OC →＝2OE →，② 由①×2＋②可得OA →＋2OB →＋3OC →＝2(2OD →＋OE →)．又因为OA →＋2OB →＋3OC →＝0， 所以2OD →＋OE →＝0，即OE →＝－2OD →， 所以OD →，OE →共线，且|OE →|＝2|OD →|.所以S △AOC ＝2S △COE ＝2×23S △CDE ＝2×23×14S △ABC ＝13S △ABC ，所以S △ABC S △AOC＝3.[素养评析] 本题主要考查向量共线条件的应用，解题时需充分利用好几何图形，借助几何直观使问题得解，这正体现了数学中直观想象的核心素养.1．下列各式计算正确的有( ) (1)(－7)6a ＝－42a ； (2)7(a ＋b )－8b ＝7a ＋15b ； (3)a －2b ＋a ＋2b ＝2a ； (4)4(2a ＋b )＝8a ＋4b .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 C解析 (1)(3)(4)正确，(2)错，7(a ＋b )－8b ＝7a ＋7b －8b ＝7a －b . 2．在△ABC 中，M 是BC 的中点，则AB →＋AC →等于( ) A.12AM → B.AM → C ．2AM → D.MA → 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 C解析 如图，作出平行四边形ABEC ，因为M 是BC 的中点，所以M 也是AE 的中点，由题意知，AB →＋AC →＝AE →＝2AM →，故选C.3．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则( ) A ．k ＝0B ．k ＝1C ．k ＝2D ．k ＝12考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 答案 D解析 当k ＝12时，m ＝－e 1＋12e 2，n ＝－2e 1＋e 2.∴n ＝2m ，此时m ，n 共线．4．已知P ，A ，B ，C 是平面内四点，且P A →＋PB →＋PC →＝AC →，则下列向量一定共线的是( ) A.PC →与PB → B.P A →与PB → C.P A →与PC →D.PC →与AB →考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定向量共线 答案 B解析 因为P A →＋PB →＋PC →＝AC →， 所以P A →＋PB →＋PC →＋CA →＝0， 即－2P A →＝PB →，所以P A →与PB →共线．5.如图所示，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →.考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 解 OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →.1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的． 2．λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量a|a |表示与向量a 同向的单位向量．3．向量共线定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．一、选择题1．下列说法中正确的是( ) A ．λa 与a 的方向不是相同就是相反 B ．若a ，b 共线，则b ＝λa C ．若|b |＝2|a |，则b ＝±2a D ．若b ＝±2a ，则|b |＝2|a | 考点 向量数乘的定义及运算 题点 向量数乘的定义及几何意义 答案 D解析 显然当b ＝±2a 时，必有|b |＝2|a |. 2．3(2a －4b )等于( ) A ．5a ＋7b B ．5a －7b C ．6a ＋12bD ．6a －12b考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 D解析 利用向量数乘的运算律，可得3(2a －4b )＝6a －12b ，故选D.3．已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋2b ，AC →＝a ＋(λ－1)b ，且A ，B ，C 三点共线，则实数λ的值为( ) A ．－1 B ．2 C ．－2或1D ．－1或2考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 答案 D解析 因为A ，B ，C 三点共线， 所以存在实数k 使AB →＝kAC →. 因为AB →＝λa ＋2b ，AC →＝a ＋(λ－1)b ， 所以λa ＋2b ＝k [a ＋(λ－1)b ]．因为a 与b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2＝k (λ－1)，解得λ＝2或λ＝－1.4．如图，△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，DC →＝3BD →，AE →＝2EC →，则DE →等于( )A ．－13a ＋34bB.512a －34bC.34a ＋13b D ．－34a ＋512b考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 D解析 DE →＝DC →＋CE →＝34BC →＋⎝⎛⎭⎫－13AC → ＝34(AC →－AB →)－13AC →＝－34AB →＋512AC →＝－34a ＋512b ，故选D.5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →等于( )A ．a －12bB.12a －b C ．a ＋12bD.12a ＋b 考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 D解析 连接CD ，OD ，如图所示．∵点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点， ∴AC ＝CD ，∠CAD ＝∠DAB＝12×60°＝30°. ∵OA ＝OD ，∴∠ADO ＝∠DAO ＝30°. 由此可得∠CAD ＝∠ADO ＝30°，∴AC ∥DO . 由AC ＝CD ，得∠CDA ＝∠CAD ＝30°， ∴∠CDA ＝∠DAO ，∴CD ∥AO ， ∴四边形ACDO 为平行四边形， ∴AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .6．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列说法中正确的是( ) ①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ； ③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a ，则m ＝n . A ．②④ B ．①② C ．①③ D ．③④ 考点 向量数乘的定义及运算 题点 向量数乘的运算及运算律 答案 B解析 ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；④中，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误．7．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( ) A.14a ＋12b B.13a ＋23b C.12a ＋14b D.23a ＋13b 考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 D解析 ∵△DEF ∽△BEA ， ∴DF AB ＝DE EB ＝13，∴DF ＝13AB ， ∴AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋13AB →.∵AC →＝AB →＋AD →＝a ，BD →＝AD →－AB →＝b ， 联立得AB →＝12(a －b )，AD →＝12(a ＋b )，∴AF →＝12(a ＋b )＋16(a －b )＝23a ＋13b .二、填空题8．(a ＋9b －2c )＋(b ＋2c )＝________.考点 向量的线性运算及应用题点 向量的线性运算答案 a ＋10b9．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________.考点 向量共线定理及其应用题点 利用向量共线定理求参数答案 12解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又∵向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12. 10．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b表示)考点 向量共线定理及其应用题点 用已知向量表示未知向量答案 14b －14a 解析 如图，MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝－12b －a ＋34AC → ＝－12b －a ＋34(a ＋b )＝14b －14a . 11．若非零向量a 与b 不共线，k a ＋2b 与3a ＋k b 共线，则实数k 的值为________． 考点 向量共线定理及其应用题点 利用向量共线定理求参数答案 ±6解析 ∵k a ＋2b 与3a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使得k a ＋2b ＝λ(3a ＋k b )，∴(k －3λ)a ＋(2－λk )b ＝0，∴(k －3λ)a ＝(λk －2)b .∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －3λ＝0，λk －2＝0，∴k ＝±6. 12．如图，在△ABC 中，延长CB 到D ，使BD ＝BC ，当点E 在线段AD 上移动时，若AE →＝λAB→＋μAC →，则t ＝λ－μ的最大值是________．考点 向量共线定理及其应用题点 向量共线定理在平面几何中的应用答案 3解析 设AE →＝kAD →，0≤k ≤1，则AE →＝k (AC →＋2CB →)＝k [AC →＋2(AB →－AC →)]＝2kAB →－kAC →，∵AE →＝λAB →＋μAC →，且AB →与AC →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2k ，μ＝－k ，∴t ＝λ－μ＝3k . 又0≤k ≤1，∴当k ＝1时，t 取最大值3.故t ＝λ－μ的最大值为3.三、解答题13．计算：(1)6(3a －2b )＋9(－2a ＋b )；(2)12⎣⎡⎦⎤(3a ＋2b )－23a －b －76⎣⎡⎦⎤12a ＋37⎝⎛⎭⎫b ＋76a ； (3)6(a －b ＋c )－4(a －2b ＋c )－2(－2a ＋c )．考点 向量的线性运算及应用题点 向量的线性运算解 (1)原式＝18a －12b －18a ＋9b ＝－3b .(2)原式＝12⎝⎛⎭⎫3a －23a ＋2b －b －76⎝⎛⎭⎫12a ＋12a ＋37b ＝12⎝⎛⎭⎫73a ＋b －76⎝⎛⎭⎫a ＋37b ＝76a ＋12b －76a －12b ＝0. (3)原式＝6a －6b ＋6c －4a ＋8b －4c ＋4a －2c＝(6a －4a ＋4a )＋(8b －6b )＋(6c －4c －2c )＝6a ＋2b .14．在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →和AD →.考点 向量的线性运算及应用题点 用已知向量表示未知向量解 如图，设AB →＝a ，AD →＝b .∵M ，N 分别是DC ，BC 的中点，∴BN →＝12b ，DM →＝12a . ∵在△ADM 和△ABN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD →＋DM →＝AM →，AB →＋BN →＝AN →， 即⎩⎨⎧ b ＋12a ＝c ，①a ＋12b ＝d . ②①×2－②，得b ＝23(2c －d )， ②×2－①，得a ＝23(2d －c )． ∴AB →＝43d －23c ，AD →＝43c －23d .15．已知在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，求证：四边形ABCD为梯形．考点 向量共线定理及其应用题点 向量共线定理在平面几何中的应用证明 如图所示．∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b )＝－8a －2b ＝2(－4a －b )，∴AD →＝2BC →.∴AD →与BC →共线，且|AD →|＝2|BC →|.又∵这两个向量所在的直线不重合，∴AD ∥BC ，且AD ＝2BC .∴四边形ABCD 是以AD ，BC 为两条底边的梯形．。
向量的数乘运算及其几何意义
3. 证明两直线平行的问题
课后思考
ED A
B
F
C
课后思考
D
EC
M
A
B
课后思考
小结:
一、①λa 的定义及运算律
②向量共线定理 (a≠0)
b=λa
向量a与b共线
二、定理的应用：
1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 3. 证明 两直线平行:
A,B,C三点共线
r
r
r
思 与向考量题2ar:
向量 3a 与向量 有什么关系?
a 有什么关系? 向量
3a
r
r
(的1)3向倍量,即3a3的ar 方3向ar .与 a 的方向相同,
向量
r 3a
的长度是
r a
r
r
r
r
(2)向量3a的r方向r与 a 的方向相反, 向量3a的长度是 a
的3倍,即 3a 3 a .
定义:
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，
结 论：
练习P90第4题
1. 有关向量共线问题
例 1.
例 2.
E
C
A
B
D
定理的应用 1. 有关向量共线问题 2. 证明三点共线问题
uuur uuur uuur r
AB BC(BC 0)
A、B、C三点共线 .
2. 证明三点共线的问题 例 3.
ar
r b
定理的应用 1. 有关向量共线问题 2. 证明三点共线问题
数乘向量的运算律：
结合律
a a
第一分配律 a a a
第二分配律 a b a b
例1：计算：
向量数乘运算及几何意义
总结向量数乘的应用
向量数乘在物理学、工程学、计算机图形学等领 域有着广泛的应用，例如在物理中描述速度和加 速度的变化，在工程中实现机器人的运动控制等 。
向量数乘运算及几何 意义
目录
CONTENTS
• 引言 • 向量数乘运算的定义和性质 • 向量数乘运算的几何意义 • 向量数乘运算的应用 • 结论
目录
CONTENTS
• 引言 • 向量数乘运算的定义和性质 • 向量数乘运算的几何意义 • 向量数乘运算的应用 • 结论
01
引言
01
引言
主题简介
向量数乘运算
机器人学
在机器人学中，向量数乘运算用于描述机器人的运动轨迹 和姿态。例如，通过标量积运算可以计算机器人的关节角 度和速度。
图形处理
在计算机图形学中，向量数乘运算用于描述图像的变换和 旋转。例如，通过将像素坐标向量进行数乘运算，可以实 现图像的缩放、旋转和平移等操作。
在工程中的应用
控制系统分析
在工程控制系统中，向量数乘运算用于分析系统的动态特 性。例如，通过标量积运算可以计算系统的传递函数和稳 定性。
其中u、v是向量。
零向量与任意向量数乘结果 仍为零向量，即0 * v = 0。
标量乘法的单位元是1，即1 * v = v。
03
向量数乘运算的几 何意义
03
向量数乘运算的几 何意义
向量数乘的几何表示
标量与向量的点乘
标量与向量点乘的结果是一个标量，表示向量在标量作用下的伸缩倍数。
标量与向量的叉乘
2.2.3向量数乘运算及其几何意义(免费课件)
D
C
B
1 思考： （1）若将条件改为 DC = AB ， 3
（2）若将条件改为 AD
其形状如何？加以证明。梯形
BC ， AB AD ，
其形状如何？加以证明。
矩形
小结:
一、①λ a 的定义及运算律
②向量共线定理 向量a (a≠0)与b共线
二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 且有公共点Ｂ 3. 证明 两直线平行: AB=λCD AB∥CD
C
a
b
3b 2b b A,B,C三点共线
B
小结:
证明三点共线的方法:
A
AB=λBC
且有公共点Ｂ
a
O
例 3、已知四边形 ABCD 满足条件 AB DC ， 试判断其的形状，并证明。
解： AB DC AB DC 且 AB//DC ｜ ｜｜ ｜
ABDC是平行四边形
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
1.向量加法三角形法则:
2.向量加法平行四边形法则: 起点相同,对角为和
B
首尾相接，再连首尾
C
a
ab b
ab
A
b
C
b
A
a
B
O
a
3.向量减法三角形法则:
共起点，连终点，指向前终点
a b
O
b
B
a
BA a b
(3) (a b) a b. 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算 2、计算： 解： （1） (4) 5a ；20a 【 （2） 5(a 5a ；a b) b ； 2、计算： （1） (4) b) 3( 预 a 5b 3a 3b b 5 习 （3） 5(a b) 3(a2(a ) b ；3c) ) b 2b 2a 7b c （2） (3 (5 a (5 1) 3) 3 b 自 （3） (3a b c) 2(a 2b 3c) 测 3a b c 2a 4b 6c 】 (3 2)a (1 4)b (1 6)c a 5b 7c
向量数乘运算及其几何意义 课件
【变式训练 3】
已知向量 a 和向量 b,求作向量:
1
2
(1) − 2a;
(2)2a-b.
解:(1)作 = 2a, =
图1
1
, 连接AB,则
2
=
1
− 2a.如图
2
图2
(2)作 = 2a, =b,连接 AB,则 = 2a-b.
如图 2.
1.
题型四
共线问题
【例 4】 已知非零向量 a,b 不共线.
归纳总结向量 λ(μ1a+μ2b)可以用平行四边形法则作出,如图
, = (1a+μ2b).
(
【做一做 4】 在▱ABCD 中, = 2a, = 3b,则 等于
)
A.a+b
B.a-b
C.2a+3b
D.2a-3b
解析: = + = 2a+3b.
答案:C
共线向量定理的应用
15
15
2 2 4
2 4 26
=
- +
+ - - +
5 3 15
5 3 15
=0·a+0·b=0+0=0.
题型二 用已知向量表示未知向量
【例 2】 已知在▱ABCD 中,M,N 分别是 DC,BC 的中点.若
=e1, =e2,试用 e 1,e 2 表示 , .
1
2
分析:由于 MN , 则用e1 与 e2 表示可得 ; 在△AMN
步骤:
(1)设 ma+nb=λ(ka+pb);
(2)整理,得 ma+nb=λka+λpb,故
21-2.2.3向量数乘运算及其几何意义
2.2.3向量数乘的运算及其几何意义教材分析向量具有丰富的实际背景和几何背景，向量既有大小，又有方向.但是引进向量，而不研究它的运算，则向量只是起到一个路标的作用；向量只有引进运算后才显得威力无穷.本章从第二节开始学习向量的加法、减法运算及其几何意义；本节接着学习向量的数乘运算及其几何意义.向量数乘运算以及加法、减法统称为向量的三大线性运算，向量的数乘运算其实是加法运算的推广及简化.教学时从加法入手，引入数乘运算，充分体现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积仍然是一个向量，既有大小，又有方向.特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理.这样平面内任意一条直线l 就可以用点A 和某个向量aλ表示了.共线向量定理是本章节的重要的内容，应用相当广泛，且容易出错，尤其是定理的前提条件：向量a是非零向量.共线向量的应用主要用于证明点共线或线平行等，且与后学的知识有着密切的联系.课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解向量数乘定义、几何意义及其运算律；向量共线定理.教学目标重点：掌握向量数乘的定义、运算律,理解向量共线定理. 难点：向量共线定理的探究及其应用.知识点：向量数乘定义、几何意义及其运算律；向量共线定理.能力点：理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判断两向量是否平行，进而判定点共线或直线平行.教育点：通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法（从特殊到一般、分类讨论、转化化归、观察、猜想、归纳、类比、总结等）；培养创新能力和积极进取精神；通过具体问题，体会数学在实际生活中的重要作用.自主探究点：向量数乘的运算律及向量共线定理.训练（应用）点：运用两向量共线条件判断两向量是否平行，进而判定点共线或直线平行.考试点：运用向量定义、运算律进行有关计算，运用共线定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题.易错易混点：共线定理中的条件限制.教具准备 尺规、多媒体等 课堂模式 学案导学 一、引入新课：1.复习向量的加法、减法，采用提问的形式. 问题1：向量加法的运算法则？ 问题2：向量减法的几何意义？学生回答完毕后，教师通过多媒体上的图像让学生更直观感受.向量的加法：三角形法则（首尾相连）和平行四边形法则（共起点）.向量的减法：=，= 则 -=。
向量数乘运算及其几何意义(课件)新
在数学中的应用
描述向量的缩放
向量数乘可以用来描述向量的缩放，即通过乘以一个标量 系数来改变向量的长度或方向。这在数学中常用于向量的 标准化和归一化。
解决线性方程组
向量数乘可以用于解决线性方程组。通过将方程组中的向 量进行数乘运算，可以化简方程组的形式，便于求解。
描述向量的旋转
向量数乘可以用于描述向量的旋转。通过乘以一个旋转角 度的余弦值和正弦值，可以将一个向量旋转一定的角度。
负向量的数乘
负向量的数乘结果为该向量 的反方向。
向量数乘的运算规则
结合律
向量数乘满足结合律，即(k1 * k2) * v = k1 * (k2 * v) = k1 * k2 * v。
分配律
向量数乘满足分配律，即k * (v1 + v2) = k * v1 + k * v2。
单位元
任何非零标量都可以作为单位元，即e * v = v * e = v，其中e是单位元。
向量数乘运算及其几 何意义
目录
CONTENTS
• 向量数乘运算的定义与性质 • 向量数乘的几何意义 • 向量数乘的应用 • 向量数乘的扩展知识
01
向量数乘运算的定
义与性质
向量数乘的定义
向量数乘的定义
向量数乘运算是一种线性运算， 通过将标量与向量相乘，得到一 个新的向量。标量可以是实数或 复数。
02
向量数乘的几何意
义
向量数乘的长度变化
01
当数乘的系数为正数时，向量的长度会增大或缩小，但方向 保持不变。
02
当数乘的系数为负数时，向量的长度同样会增大或缩小，但 方向会反向。
03
数乘运算不会改变向量的起点和终点，因此向量数乘的长度 变化是相对的。
向量数乘运算及其几何意义
例1．计算：
（1） 3 4a
-12a
（2）3a b 2a b a
5b
（3）2a 3b c 3a 2b c -a+5b-2c
例2.如图：已知 AD 3 AB，DE 3BC，试判断 AC与 AE
是否共线． 解： AE AD DE
E C
3AB 3 BC
3AB BC
A B
3 AC
D
∴ AC与 AE 共线．
练习： (1)设 e1、e2 是两个不共线向量，已 AB 2e1 Re2 ， CB e1 3e2 ，若A、B、C三点共线，求的R值．
答:R=6
小节:
1、向量数乘运算及其几何意义 2、向量数乘运算的运算律 3、向量共线的判定
作业：
课本P103 9
数乘向量的运算律：
结合律
a a
第一分配律 a a a
第二分配律 a b a b
定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充分必要条件是有
且仅有一个实数 ，使得 b a ．
证明：（1）对于向量 （a a 0) ，如果有一个实数
使 b a
那么，由向量数乘的定义知，a与b共线
（2）已知
向量 a 的
a与b共线
倍，即
，a 0
b
，且向量 b 的长度是
a ，那么当 a与b
同向时，有 b a ；当 a与b 反向时 ， 有 b a
综上，如果 （a a 0) b 与 共线，那么有且只有一个实
数 使 b a
2.2.3 向量数乘运算及 其几何意义
学习目标：
1、向量数乘运算及其几何意义 2、向量数乘运算的运算律
向量数乘运算及其几何意义
向量数乘运算及其几何意义教学目标1．掌握向量的数乘运算及其几何意义．(重点)2．掌握向量共线定理的应用．(难点)3．理解实数相乘与向量数乘的区别．(易混点)[基础·初探]教材整理1向量的数乘运算阅读教材P87～P88例5以上内容，完成下列问题．1．定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa．2．规定：①|λa|＝|λ||a|，②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0．3．运算律：设λ，μ为实数，则(1)λ(μa)＝λμa；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb．特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb．设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有________．①a与－λa的方向相反；②|－λa|≥|a|；③a 与λ2a 方向相同； ④|－2λa |＝2|λ|·|a |.【解析】 由向量数乘的几何意义知③④正确． 【答案】 ③④教材整理2 共线向量与向量的线性运算阅读教材P 88例5以下至P 89例7以上内容，完成下列问题． 1．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa ． 2．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a 、b ，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b ．如图2－2－19，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB→＋AD →＝λAO →，则λ＝________.图2－2－19【解析】 由向量加法的平行四边形法则知AB →＋AD →＝AC →， 又∵O 是AC 的中点，∴AC ＝2AO ， ∴AC →＝2AO →，∴AB →＋AD →＝2AO →， ∴λ＝2. 【答案】 2[小组合作型]数乘向量的定义及其几何意义(1)若两个非零向量a 与(2x －1)a 方向相同，则x 的取值范围为________．(2)若平面内不共线的四点O ，A ，B ，C 满足OB →＝13OA →＋23OC →，则|AB→||BC →|＝________. (3)已知点C 在线段AB 的延长线上(在B 点右侧)，且AB ∶AC ＝2∶3.①用BC →表示AB →； ②用CB→表示AC →. 对数乘运算的理解，关键是对系数λ的作用的认识：λ>0时，λa 与a 同向，模是|a |的λ倍； λ<0时，λa 与a 反向，模是|a |的－λ倍； λ＝0时，λa ＝0.解：(1)由定义可知，2x －1>0，即x >12.(2)因为OB →＝13OA →＋23OC →，所以OB →－OA →＝13OA →＋23OC →－OA →， 即AB →＝23AC →， 所以|AB →|＝23|AC →|， ①同理可得|CB →|＝13|CA →|， ② ①÷②得|AB→||CB →|＝2.【答案】 (1)x >12 (2)2(3)如图a ，因为点C 在线段AB 的延长线上，且AB ∶AC ＝2∶3，所以AB ＝2BC ，AC ＝3BC ．①如图b ，向量AB→与BC →方向相同，所以AB →＝2BC →； ②如图c ，向量AC→与CB →方向相反，所以AC →＝－3CB →. 对向量数乘运算的三点说明： (1)λa 中的实数λ叫做向量a 的系数．(2)向量数乘运算的几何意义是把a 沿着a 的方向或a 的反方向扩大或缩小．(3)当λ＝0或a ＝0时，λa ＝0.注意是0，而不是0. [再练一题]1．已知a ，b 是两个非零向量，判断下列各命题的真假，并说明理由．(1)2a 的方向与a 的方向相同，且2a 的模是a 的模的2倍； (2)－3a 的方向与6a 的方向相反，且－3a 的模是6a 的模的12； (3)－4a 与4a 是一对相反向量； (4)a －b 与－(b －a )是一对相反向量；(5)若a ，b 不共线，则0·a 与b 不共线. 解：(1)真命题．∵2>0，∴2a 与a 同向， ∵|2a |＝2|a |，∴2a 的模是a 的模的2倍． (2)真命题．∵－3<0，∴－3a 与a 方向相反且|－3a |＝3|a |， 又∵6>0，∴6a 与a 方向相同且|6a |＝6|a |， ∴－3a 与6a 方向相反且模是6a 的模的12. (3)真命题．由数乘定义和相反向量定义可知． (4)假命题．∵a －b 与b －a 是相反向量， ∴a －b 与－(b －a )是相等向量． (5)假命题.0·a ＝0，∴0·a 与b 共线． 向量的线性运算(1)化简：(2a ＋3b －c )－(3a －2b ＋c )＝________.(2)已知向量a ，b ，x ，且(x －a )－(b －x )＝x －(a ＋b )，则x ＝________.(1)可类比实数运算中的合并同类项方法化简； (2)可类比解方程方法求解．解：(1)(2a ＋3b －c )－(3a －2b ＋c )＝2a －3a ＋3b ＋2b －c －c ＝－a ＋5b －2c.(2)因为(x －a )－(b －x )＝x －(a ＋b )，所以2x －a －b ＝x －a －b ，即：x ＝0.【答案】 (1)－a ＋5b －2c (2)0 向量数乘运算的方法：(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．[再练一题]2．(2016·枣庄高一检测)化简11[(28)(42)]32a b a b +--的结果是( )A ．2a b -B ．2b a -C ．b a -D ．a b -解：原式＝13(a ＋4b －4a ＋2b )＝13 (6b －3a )＝2b －a . 【答案】 B[探究共研型]向量共线问题探究1 已知m ，n 是不共线向量，a ＝3m ＋4n ，b ＝6m －8n ，判断a 与b 是否共线？【提示】 要判断两向量是否共线，只需看是否能找到一个实数λ，使得a ＝λb 即可．若a 与b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ，即3m ＋4n ＝λ(6m －8n )．∵m ，n 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧6λ＝3，－8λ＝4.∵不存在λ同时满足此方程组，∴a 与b 不共线．探究2 已知e 1，e 2是共线向量，a ＝3e 1＋4e 2，b ＝6e 1－8e 2，则a 与b 是否共线？【提示】 ∵e 1，e 2共线， ∴存在λ∈R ，使e 1＝λe 2.∴a ＝3e 1＋4e 2＝3λe 2＋4e 2＝(3λ＋4)e 2， b ＝6e 1－8e 2＝6λe 2－8e 2＝(6λ－8)e 2， ∴a ＝3λ＋46λ－8b ⎝ ⎛⎭⎪⎫λ≠43，∴a 与b 共线．当λ＝43时，b ＝0，∴a 与b 共线．探究3 设两非零向量e 1和e 2不共线，是否存在实数k ，使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线？【提示】 设k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， ∴存在λ使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)， 则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2. ∵e 1与e 2不共线，∴只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，则k ＝±1.已知非零向量e1，e 2不共线．如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证A 、B 、D三点共线．【精彩点拨】 欲证A 、B 、D 共线，只需证存在实数λ，使BD →＝λAB→即可． 解：证明：∵AB →＝e 1＋e 2， BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2 ＝5(e 1＋e 2) ＝5AB→. ∴AB→，BD →共线，且有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线．1．本题充分利用了向量共线定理，即b 与a (a ≠0)共线⇔b ＝λa ，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值．2．向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．[再练一题]3．设两个非零向量e 1，e 2不共线，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2.问：是否存在实数k ，使得A 、B 、D 三点共线，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【解】 设存在k ∈R ，使得A 、B 、D 三点共线，∵DB →＝CB →－CD →＝(e 1＋3e 2)－(2e 1－e 2)＝－e 1＋4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2.又∵A 、B 、D 三点共线，∴AB→＝λDB →，∴2e 1＋k e 2＝λ(－e 1＋4e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝－λk ＝4λ，∴k ＝－8， 所以存在k ＝－8，使得A 、B 、D 三点共线．[构建·体系]1．下列各式中不表示向量的是( ) A ．0·a B ．a ＋3bC ．|3a |D ．1x －ye (x ，y ∈R ，且x ≠y )解：向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a |不是向量． 【答案】 C2．下列计算正确的个数是( )①(－3)·2a ＝－6a ；②2(a ＋b )－(2b －a )＝3a ；③(a ＋2b )－(2b ＋a )＝0.A ．0B ．1C ．2D ．3解：因为(－3)·2a ＝－6a 故①正确；②中左＝2a ＋2b －2b ＋a ＝3a 成立，故②正确；③中左＝a ＋2b －2b －a ＝0≠0，故③错误．【答案】 C3.⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋12b ＋c －⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋34b －c 等于( )A ．a －14b ＋2cB ．5a －14b ＋2cC ．a ＋54b ＋2cD ．5a ＋54b解：⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋12b ＋c －⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋34b －c ＝(3a －2a )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －34b ＋(c ＋c )＝a －14b ＋2c.故选A ． 【答案】 A4．O 为平行四边形ABCD 的中心，AB →＝4e 1，BC →＝6e 2，则3e 2－2e 1＝________．【解析】 设点E 为平行四边形ABCD 的BC 边中点，点F 为AB 边中点，则3e 2－2e 1＝BE→＋BF →＝BO →＝OD →. 【答案】 OD→(或BO →) 5．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，证明：直线AD ∥BC ．证明：∵AD→＝AC →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b )＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC→，∴AD →与BC →共线． 又AD 与BC 不重合，∴直线AD ∥BC ．学业分层测评[学业达标]一、选择题1．设P 是△ABC 所在平面内一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( ) A ．P A →＋PB→＝0 B ．PC →＋P A →＝0C ．PB→＋PC →＝0 D ．P A →＋PB→＋PC →＝0 解：因为BC →＋BA →＝2BP →，所以点P 为线段AC 的中点，故选项B 正确．【答案】 B2．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D解：BD→＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB→，所以A ，B ，D 三点共线． 【答案】 A3．(2016·北京高一检测)四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，BD→＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 是( ) A ．梯形 B ．平行四边形 C ．菱形D ．矩形解：因为AB→＝a ＋2b ， 又DC→＝BC →－BD →＝－4a －b －(－5a －3b )＝a ＋2b ＝AB →. 又因在四边形ABCD 中，有|AB →|＝|DC →|且AB ∥DC ， 所以四边形ABCD 为平行四边形． 【答案】 B4．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB→＋OC →＝0，那么( )A ．AO →＝OD →B ．AO →＝2OD →C ．AO→＝3OD → D ．2AO→＝OD → 解：由2OA →＋OB →＋OC →＝0，得OB →＋OC →＝－2OA →，又因为OB →＋OC →＝2OD→，所以AO →＝OD →. 【答案】 A5.如图2－2－20，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF→＝( )图2－2－20A ．12AB →－13AD → B ．14AB →＋12AD →C ．13AB →＋12DA →D ．12AB →－23AD →解：EC →＝12AB →，CF →＝23CB →＝－23AD →，所以EF →＝EC →＋CF →＝12AB →－23AD→. 【答案】 D 二、填空题6．(2016·郑州高一检测)已知P 1P →＝23PP 2→，若PP 1→＝λP 1P 2→，则λ等于________．解：因为P 1P →＝23PP 2→，所以－PP 1→＝23(PP 1→＋P 1P 2→)， 即PP 1→＝－25P 1P 2→＝λP 1P 2→， 所以λ＝－25. 【答案】 －257．(2016·南宁高一检测)若AP →＝tAB →(t ∈R )，O 为平面上任意一点，则OP→＝________．(用OA →，OB →表示) 【解析】 AP→＝tAB →，OP →－OA →＝t (OB →－OA →)， OP→＝OA →＋tOB →－tOA →＝(1－t )OA →＋tOB →. 【答案】 (1－t )OA →＋tOB → 三、解答题8.如图2－2－21所示，OADB 是以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边的平行四边形．又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示OM →，ON →，MN→.图2－2－21解：BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )， 所以OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b ， CN →＝13CD →＝16OD →，所以ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD → ＝23OD →＝23(OA →＋OB →) ＝23(a ＋b )＝23a ＋23b .MN →＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b . 9．(2016·绍兴高一检测)设a ，b 是两个不共线的非零向量，记OA →＝a ，OB →＝t b (t ∈R )，OC →＝13(a ＋b )，那么当实数t 为何值时，A 、B 、C 三点共线？解：∵OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )， ∴AB→＝OB →－OA →＝t b －a ， AC →＝OC →－OA →＝13(a ＋b )－a ＝13b －23a ，∵A 、B 、C 三点共线，∴存在实数λ，使AB →＝λAC →， 即t b －a ＝λ⎝⎛⎭⎪⎫13b －23a .由于a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝13λ，－1＝－23λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，t ＝12.故当t ＝12时，A 、B 、C 三点共线．[能力提升]1．设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解：设BC 的中点为M ，则AB →＋AC →＝2AM →，又因为OP →－OA →＝AP →，且由题有OP→－OA →＝λ(AB →＋AC →)，所以AP →＝2λAM →，即AP →与AM →共线，又因为AM 为△ABC 的BC 边上中线，过重心，所以点P 的轨迹通过△ABC 的重心．【答案】 C2．点E ，F 分别为四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的中点，设BC →＝a ，DA→＝b ，试用a ，b 表示EF →. 解：如图：取AB 的中点P ，连接EP ，FP ，在△ABC 中，因为EP 是△ABC 的中位线， 所以PE →＝12BC →＝12a ，在△ABD 中，因为FP 是△ABD 的中位线， 所以PF →＝12AD →＝－12b ， 在△EFP 中，→＝EP→＋PF→＝－12a－12b＝－12(a＋b)．EF。
向量数乘运算及其几何意义
2.2.3向量数乘运算及其几何意义学习目标 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题.知识点一向量数乘的定义思考1向量3a，－3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系？答3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相同.－3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相反.思考2一般地，我们规定：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作λa，该向量的长度与方向与向量a有什么关系？答一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当a＝0时，λa＝0；当λ＝0时，λa＝0.(3)λa几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当|λ|＞1时，表示a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的|λ|倍.知识点二向量数乘的运算律思考类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？答结合律，分配律.(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.知识点三向量共线定理思考若b＝2a，b与a共线吗？答根据共线向量及向量数乘的意义可知，b与a共线.如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b＝λa.类型一 向量数乘的基本运算例1 (1)化简23⎣⎡⎦⎤(4a －3b )＋13b －14(6a －7b )； 解 原式＝23⎝⎛⎭⎫4a －3b ＋13b －32a ＋74b ＝23⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫4－32a ＋⎝⎛⎭⎫－3＋13＋74b ＝23⎝⎛⎭⎫52a －1112b ＝53a －1118b . (2)已知向量为a ，b ，未知向量为x ，y ，向量a ，b ，x ，y 满足关系式3x －2y ＝a ，－4x ＋3y ＝b ，求向量x ，y .解 ⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝a ①，－4x ＋3y ＝b ②，由①×3＋②×2得，x ＝3a ＋2b ，代入①得3×(3a ＋2b )－2y ＝a ，所以x ＝3a ＋2b ，y ＝4a ＋3b .反思与感悟 1.向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.2.向量也可以通过列方程和方程组求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算.跟踪训练1 计算： (1)(a ＋b )－3(a －b )－8a ；解 (a ＋b )－3(a －b )－8a ＝(a －3a )＋(b ＋3b )－8a ＝－2a ＋4b －8a ＝－10a ＋4b .(2)若2⎝⎛⎭⎫y －13a －13(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则未知向量y ＝________. 答案 29a －29b ＋19c解析 2⎝⎛⎭⎫y －13a －13(c ＋b －3y )＋b ＝0， 3y －23a ＋23b －13c ＝0，所以y ＝29a －29b ＋19c .类型二 向量的表示例2 (1)如图，在△ABC 中，D ，E 为边AB 的两个三等分点，CA →＝3a ，CB →＝2b ，求CD →，CE →.解 ∵CA →＝3a ，CB →＝2b ， ∴AB →＝CB →－CA →＝2b －3a ， 又D ，E 为边AB 的两个三等分点， 所以AD →＝13AB →＝23b －a ，所以CD →＝CA →＋AD →＝3a ＋23b －a ＝2a ＋23b ，CE →＝CA →＋AE →＝3a ＋23AB →＝3a ＋23(2b －3a )＝a ＋43b .(2)在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →和AD →.解 如图，设AB →＝a ，AD →＝b .∵M ，N 分别是DC ，BC 的中点， ∴BN →＝12b ，DM →＝12a .∵在△ADM 和△ABN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD →＋DM →＝AM →，AB →＋BN →＝AN →，即⎩⎨⎧b ＋12a ＝c ， ①a ＋12b ＝d . ②①×2－②，得b ＝23(2c －d ).②×2－①，得a ＝23(2d －c ).∴AB →＝43d －23c ，AD →＝43c －23d .反思与感悟 用已知向量表示未知向量的求解思路：(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中；(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量. (3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.跟踪训练2 如图，在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC ＝BA ，在OB 上取点D ，使DB ＝13OB ，DC 与OA 交点为E ，设OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，DC →.解 ∵AC ＝BA ， ∴A 是BC 的中点， ∴OA →＝12(OB →＋OC →)，∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b . ∴DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b .类型三 共线问题例3 (1)已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋2e 2，BC →＝－5e 1＋6e 2，CD →＝7e 1－2e 2，则共线的三个点是________.(2)已知A ，B ，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y ＝________. 答案 (1)A ，B ，D (2)1解析 (1)∵AB →＝e 1＋2e 2，BD →＝BC →＋CD →＝－5e 1＋6e 2＋7e 1－2e 2＝2(e 1＋2e 2)＝2AB →. ∴AB →，BD →共线，且有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线.(2)由于A ，B ，P 三点共线，则AB →，AP →在同一直线上，由共线向量定理可知，必存在实数λ使得AP →＝λAB →即OP →－OA →＝λ(OB →－OA →)，∴OP →＝(1－λ)OA →＋λOB →. ∴x ＝1－λ，y ＝λ，则x ＋y ＝1.反思与感悟 (1)有关三点共线，通常转化为三点构成的其中两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据.(2)已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，A ，P ，B 三点共线⇔m ＋n ＝1.跟踪训练3 (1)设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值. 解 BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2.因为A ，B ，D 三点共线，故存在实数λ，使得AB →＝λBD →，即2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)＝λe 1－4λe 2.由向量相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，k ＝－4λ，所以k ＝－8.(2)已知O 为平面ABC 内任意一点，若存在α，β∈R ，使OC →＝αOA →＋βOB →，α＋β＝1，那么A ，B ，C 三点是否共线？解 共线，因为存在α，β∈R ，使OC →＝αOA →＋βOB →， 且α＋β＝1.∴β＝1－α，∴OC →＝αOA →＋(1－α)OB →， ∴OC →＝αOA →＋OB →－αOB →， ∴OC →－OB →＝α(OA →－OB →)， ∴BC →＝αBA →，∴A ，B ，C 三点共线.1.设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则( ) A.k ＝0 B.k ＝1 C.k ＝2D.k ＝12答案 D解析 当k ＝12时，m ＝－e 1＋12e 2，n ＝－2e 1＋e 2.∴n ＝2m ，此时，m ，n 共线. 2.下列各式计算正确的有( )①(－7)6a ＝－42a ；②7(a ＋b )－8b ＝7a ＋15b ； ③a －2b ＋a ＋2b ＝2a ；④4(2a ＋b )＝8a ＋4b . A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案 C3.已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P ，且P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则( ) A.P 在△ABC 内部 B.P 在△ABC 外部C.P 在AB 边上或其延长线上D.P 在AC 边上 答案 D解析 P A →＋PB →＋PC →＝PB →－P A →， ∴PC →＝－2P A →，∴P 在AC 边上.4.若|a |＝5，b 与a 方向相反，且|b |＝7，则a ＝________b . 答案 －57解析 ∵|a |＝57|b |，且a 与b 方向相反，∴a ＝－57b .5.如图所示，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →.解 OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →.1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的.2.λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍.向量a|a |表示与向量a 同向的单位向量.3.共线向量定理是证明三点共线的重要工具.即三点共线问题通常转化为向量共线问题.一、选择题1.在△ABC 中，如果AD ，BE 分别为BC ，AC 上的中线，且AD →＝a ，BE →＝b ，那么BC →为( ) A.23a ＋43b B.23a －23b C.23a －43bD.－23a ＋43b答案 A解析 由题意，得BC →＝BE →＋EC →＝b ＋12AC →＝b ＋12(AD →＋DC →)＝b ＋12a ＋14BC →，即BC →＝b ＋12a ＋14BC →.解得BC →＝23a ＋43b .2.若AB →＝5e 1，CD →＝－7e 1，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 是( ) A.平行四边形 B.等腰梯形C.菱形D.梯形但两腰不相等答案 B解析 CD →＝－75AB →，∴CD ∥AB ，且CD ≠AB ，而且|AD →|＝|BC →|， ∴四边形ABCD 是等腰梯形.3.在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若AD →＝2 DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A.13B.23C.12D.34答案 B解析 ∵A ，B ，D 三点共线，∴13＋λ＝1，λ＝23.4.已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为( )①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ；③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a ，则m ＝n . A.①④ B.①② C.①③D.③④答案 B解析 ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；④中，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误. 5.设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3 CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案 A解析 AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →.故选A.6.若非零向量a 与b 不共线，k a ＋b 与a ＋k b 共线，则实数k 的值为( ) A.k ＝－1 B.k ＝1 C.k ＝±1D.k ＝12答案 C解析 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线， ∴存在实数λ使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，∴(k －λ)a ＋(1－λk )b ＝0， ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，∴k ＝±1.7.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 B解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴点M 是△ABC 的重心. ∴AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3. 二、填空题8.(a ＋9b －2c )＋(b ＋2c )＝________. 答案 a ＋10b9.在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________(用a ，b 表示). 答案 14b －14a解析 如图，MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝－12b －a ＋34AC →＝－12b －a ＋34(a ＋b )＝14(b －a ). 10.已知向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝5，且a ＝λb ，则实数λ的值是________. 答案 ±3511.设a ，b 是不共线的两个向量，已知AB →＝2a ＋k b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为________. 答案 －1解析 BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ， ∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →∥BD →，则存在实数λ使得： AB →＝λBD →， 2a ＋k b ＝λ(2a －b )，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝2λk ＝－λ得：k ＝－1. 三、解答题12.如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AC ，AB 边上的点，CD DA ＝AE EB ＝12，记BC →＝a ，CA →＝b .试用向量a ，b 表示DE →.解 因为AE →＝13AB →＝13(CB →－CA →) ＝13(－a －b )，AD →＝23AC →＝－23b ， 所以DE →＝AE →－AD →＝13(－a －b )－⎝⎛⎭⎫－23b ＝13(b －a ). 13.设a ，b ，c 为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则b 与a ＋c 是否共线？请证明你的结论. 解 b 与a ＋c 共线.证明如下： ∵a ＋b 与c 共线，∴存在唯一实数λ，使得a ＋b ＝λc . ① ∵b ＋c 与a 共线，∴存在唯一实数μ，使得b ＋c ＝μa . ②由①－②得，a－c＝λc－μa.∴(1＋μ)a＝(1＋λ)c. 又∵a与c不共线，∴1＋μ＝0,1＋λ＝0，∴μ＝－1，λ＝－1，∴a＋b＝－c，即a＋b＋c＝0.∴a＋c＝－b.故a＋c与b共线.。
向量的数乘及几何意义
向量的数乘及几何意义数乘是指将一个向量与一个标量相乘。
数乘运算可以用来改变向量的大小和方向，并且在几何上具有重要的意义。
首先，考虑一个向量v，并将其数乘一个正数k。
当k>1时，数乘会使得向量v的大小增大，但方向不变。
当k=1时，数乘不会改变向量v的大小和方向。
当0<k<1时，数乘会使向量v的大小减小，同时方向保持不变。
当k=0时，结果是一个零向量，其大小为零。
当k<0时，向量v被反向，并且大小也被取绝对值后增大。
因此，数乘可以使向量扩大、缩小、翻转。
在几何中，数乘具有以下几何意义：1.缩放：数乘可以用来缩放一个向量。
当数乘的绝对值大于1时，向量的大小会增大，而当绝对值小于1时，向量的大小会减小，但方向保持不变。
这意味着数乘可以用来缩放一个对象。
2.平行：当数乘为正数时，数乘后的向量与原向量的方向是相同的，它们是平行的。
当数乘为负数时，数乘后的向量与原向量的方向是相反的，它们也是平行的。
这意味着数乘可以用来判断两个向量是否平行。
3.方向：当数乘为负数时，数乘会将向量反转，即改变向量的方向。
这意味着数乘可以用来改变向量的方向。
4.零向量：当数乘为零时，结果是一个零向量，其大小为零。
这意味着数乘可以用来判断向量是否为零向量。
5.反向：当数乘为负数时，数乘会将向量反转，并且大小也会取绝对值后增大。
这意味着数乘可以用来使向量翻转。
6.平面的法向量：考虑一个向量v，它在x轴和y轴上的分量分别为vₓ和vᵧ。
如果将一个向量与一个数乘后的向量相加，结果为零向量，则这个数乘后的向量是由vₓ和vᵧ的相反数构成的。
这表明数乘后的向量是平面上法向量的一种表示方法。
总而言之，数乘在几何中具有重要的意义，它可以用来缩放、改变方向、判断平行性和零向量，以及使向量翻转。
这些几何意义使数乘成为向量运算中的一个重要操作。
向量数乘运算及其几何意义
总结词
向量数乘运算是分析刚体动力学问题的必要手段。
详细描述
在刚体动力学中，向量数乘运算用于描述刚体的旋转运 动。例如，通过向量数乘运算，我们可以求解出刚体在 某个时刻的角速度和角加速度，进而分析刚体的旋转运 动。此外，向量数乘运算也用于描述刚体的振动和波动 等问题。
04
向量数乘运算在数学中的拓 展应用
05
向量数乘运算的实践应用案 例
卫星轨道计算中的向量数乘运算
要点一
卫星轨道计算的背景和意义
卫星轨道计算是航天领域中的重要工作，通过精确计算 卫星的轨道位置和运动状态，可以实现对卫星的监测和 管理。
要点二
向量数乘运算在卫星轨道计算中 的应用
在卫星轨道计算中，向量数乘运算可以用于计算卫星的 位置和速度，通过将多个向量进行数乘运算，可以获得 卫星在空间中的精确位置和速度，从而实现对卫星的精 确控制和监测。
计算机图形学中的向量数乘运算
计算机图形学的背景和意 义
计算机图形学是计算机科学中的重要分支， 通过研究图形的生成、渲染和交互技术，可 以实现对图形的精确显示和控制。
向量数乘运算在计算机图 形学中的应用
在计算机图形学中，向量数乘运算可以用于 计算图形的变换矩阵和向量，通过将多个向 量进行数乘运算，可以实现对图形的精确变
向量数乘的运算性质
1 2
标量与向量的数乘满足 aw，其中a是标量，v和w是 向量。
向量数乘满足结合律
a(bw) = (ab)vw，其中a和b是标量，v和w是向 量。
向量数乘满足交换律
3
av = (ab)v，其中a和b是标量，v是向量。
02
向量数乘运算的几何意义
2023
向量数乘运算及其几何意 义
向量的数乘运算及其几何意义 课件
B
a 2b - (a b) b 2b
A
AC OC OA
a 3b - (a b) 2b
AC 2AB ,且有公共点Ａ
故A, B,C三点共线
b a
O
证明三点共线的方法:
AB=λBC
且有公共点Ｂ
A,B,C三点共线
已知两个非零向量e1和e2不共线，如果 AB 2e1 3e2，BC 6e1 23e2，CD 4e1 8e2， 求证 : A、B、D三点共线.
1.向量加法三角形法则: 2.向量加法平行四边形法则:
特点:首尾相接，首尾连
特点:同一起点,对角线
C
ab b
A
a
B
B
C
b
ab
O
a
A
3.向量减法三角形法则:
特点：共起点，连终点，方向指向被减向量
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
B
b
BC a b
b
O
aA
思考：已知非零向量a, 作出 a a a 和
(a) (a) (a) , 你能说明它们的几何意义吗？
例3.如图：已知 AD 3 AB，DE 3BC，试判断 AC与 AE
是否共线．
E C
解： AE AD DE
A
3AB 3 BC
B
3 AB BC
D
3 AC
∴ AC与 AE 共线．
例4.如图, ABCD的两条对角线相交与点M ,且AB a,
AD b,用a,b表示MA, MB, MC和MD.
解:(1) 原式 (3 4)a 12a
(2) 原式 3a 3b 2a 2b a 5b
(3) 原式 2a 3b c 3a 2b c a 5b 2c
向量的数乘及几何意义
向量的数乘及几何意义首先，数乘可以用于描述向量的数量特征。
对于一个向量A = (a1,a2, ...,an)，它的数乘kA = (ka1, ka2, ..., kan)，其中k是一个数。
数乘可以改变向量的大小，当k > 1时，向量的大小会增大；当k < 1时，向量的大小会缩小；当k = 0时，向量会变为零向量。
这个特性使得数乘可以用于描述向量的缩放效果。
其次，数乘还可以用于推导向量的几何性质。
假设有两个向量A和B，在数学中可以证明以下几何性质：1.数乘的交换律：k(A+B)=kA+kB。
这个性质说明了数乘对向量的线性运算。
即两个向量之和的数乘等于分别对每个向量进行数乘后再相加。
2.数乘的结合律：(k1k2)A=k1(k2A)。
这个性质说明了数乘的运算是可结合的。
即连续进行两次数乘的结果与将两个数乘因子相乘再对向量进行数乘的结果相同。
3. 数乘的单位向量：kį = (ka1, ka2, ..., kan)。
这个性质说明了单位向量与数乘之间的关系。
即单位向量的每个分量等于将数与向量的各个分量相乘后得到的向量。
利用数乘的几何性质，可以帮助我们推导出一些向量的几何意义。
以下是数乘的一些几何意义：1.向量的平移：当数乘k>0时，等式kA可以表示向量A的平移。
向量A的平移kA代表了将向量A移动到离原点O的距离为，k，倍的位置。
2.向量的伸缩：当数乘k>1时，等式kA可以表示向量A的伸缩。
向量A的伸缩kA代表了将向量A的大小按比例增大k倍。
3.向量的反向：当数乘k<0时，等式kA可以表示向量A的反向。
向量A的反向kA代表了将向量A方向反转180°，同时改变其大小。
4.零向量：当数乘k=0时，等式kA可以表示零向量。
零向量是一个特殊的向量，它的大小为0，方向为任意。
虽然向量的数乘在数学中有很多定义和性质，但它们的几何意义可以被统一地描述为向量的平移、伸缩、反向和零向量。
向量的数乘不仅在理论数学中有重要的地位，也在实际应用中起到了至关重要的作用。
向量数乘运算及其几何意义
向量数乘运算及其几何意义
1. 嘿，你知道向量数乘运算吗？就像给向量穿上了超级装备！比如，一辆车本来向前开，速度乘以 2 后，那速度变得超快！这多神奇啊！
2. 向量数乘运算可有意思啦！它就像给向量施了魔法一样，能让向量变大或变小。
想想看，一个力乘以 3，那效果得多厉害呀！
3. 哇塞，向量数乘运算啊，这可是个厉害的家伙！就如同给向量注入了能量，让它发生奇妙的变化。
好比一只鸟的飞行速度乘以 0.5，它的状态就完全不同了呢！
4. 嘿呀，向量数乘运算不简单呢！简直就是改变向量命运的钥匙！像水流的速度乘以 4，那冲击力可就大多了！
5. 你瞧，向量数乘运算多重要啊！它就像给向量开了外挂，能产生意想不到的效果。
比如说一个人的跑步速度乘以 1.5，那跑起来得多带劲！
6. 哎呀，向量数乘运算可太神奇了！就好像给向量赋予了新的生命！比如把灯光的亮度乘以 0.8，整个氛围都不一样了呢！
7. 哇哦，向量数乘运算可有趣了！这不就是让向量七十二变嘛！像风的力度乘以 2，那刮起来得多猛啊！
8. 嘿，想想向量数乘运算，那真的是太酷啦！如同给向量打造了独特的风格！就好比把音乐的音量乘以 1.2，那感觉完全不一样了呀！
9. 哇，向量数乘运算简直了！就像给向量安装了加速器！比如把运动员的爆发力乘以 1.3，那表现得多惊人！
10. 哎呀呀，向量数乘运算，这可是个宝贝啊！它的几何意义就像是给向量打开了新世界的大门！比如说把一个图形的边长乘以 0.5，那形状都变了呢！
我的观点结论：向量数乘运算及其几何意义真的是非常有趣且重要的知识，能让我们看到向量的奇妙变化和作用。
向量的数乘运算及其几何意义
图示：
O.
b b b b b b b b a aa
A
a
a Ba a a-b
a
a
说明：
说 明：
向量的加法，减法的运算并不困难，但运算的途径 很多，十分灵活，如平面任一向量即可以写成两个向量 的和，也可以写成两个向量的差等．通过这种调整来简 化运算．
思考：a若,b平且行满四足边a形 bA BCaD的b 一，组你邻能边确分定别四为边 形ABCD的形状吗？
证明 若 A、B、C 三点共线，则存在 λ∈R，使A→C＝λA→B. ∴O→C－O→A＝λ(O→B－O→A)， ∴O→C＝(1－λ)O→A＋λO→B.
令 1－λ＝α，λ＝β，则 O→C＝αO→A＋βO→B，且 α＋β＝1.
课堂小结
定义
（这种运算叫做向量的数乘）
特别地，
反过来， 向量共线定理：
如何证明三点共线
1. 向量加法：
a a a a a a a a aa
b
b b b bO b
A
B
b
ba+b b
三角形法则
Db C
a a a a a a a a a a a+b
a
B
bb
b
A
b
b
平行四边形法则
向量的加法性质：
一般地，
A0 An
0
口诀： “首尾相接首尾相连”.
2、向量的减法：
b a (b ) .
例 1 如图所示，已知O→A＝a，O→B＝b，O→C＝ c，O→E＝e，O→D＝d，O→F＝f，试用 a，b，c， d，e，f 表示A→C，A→D，A→D－A→B，A→B＋C→F， B→F－B→D，D→F＋F→E＋E→D.
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D 下面四个命题中不正确的是_____. 练习2：
(A)对于实数m和向量a,b,恒有m(a-b)=ma-mb
(B)对于实数m、n和向量a,恒有(m-n)a=ma-na (C)若ma=mb (m R且m 0) ，则a=b (D)若ma=na (m, n R) ，则m=n
牛刀小试： 3.如图平行四边形中。设AB=a，AD=b。试用 a，b表示出: (1)AC.BD
小结：
一、①λ
a 的定义及运算律 ②向量共线定理 a//b
(a≠0) b=λa
二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 共线
A,B,C三点
复习： 共线向量： 方向相同或相反的非零向量。通 常记作 a // b
a c
b
0与任一向量共线。
复习： 1.向量的加法法则: ①三角形法则
ab b a a b ab
②平行四边形法则
2.向量的减法法则:
b a
a b
牛刀小试： 已知非零向量 试作出
a （如图）
( a ) ( a )
方法归纳： 1、要证明向量 a 、 b 是否共线。若其中有一 个为 0 ，则可直接说明它们共线； 若 a 0 ，b 0 ，则只须证明存在实数 ，使
b a 即可。
2、若要证明三点共线，则将三点构造出 两个向量，再证明这两个向量共线即可。
牛刀再试： 练习5： 判断下列题目中的向量a与b是否共线。
试判断AC与AE是否共线。 解：AE=AD+DE =3AB+3BC =3(AB+BC) =3AC ∴AE//AC
E C A B D
变式: 题目条件不变.问题改为:
试判断A、C、E三点是否共线。
此时，该如何解题？
思考讨论：
R
b a
b a
( a 0)
a // b
a // b
共线
(2)MA.MB
1 MA ( a b) 2 1 MB ( a b) 2
思考讨论：
R
b a
b a
( a 0)
a // b
a // b
(1)若a 0,
则只有b ＝ 0 才有b a成立。
( 2)若a 0, 有 唯一λ使 b a成立。
b a
(1)若a b 0
有 无数λ使 b a( R )成立。
( 2)若a 0, b 0 没有 λ使 b a( R )成立。 (3)若a 0, b 0 有 唯一λ使 b a( R )成立。 ( 4)若a 0, b 0 有 唯一λ使 b a( R )成立。
| b || || a |
| |
|b| |a|
思考讨论：
R
b a
b a
( a 0)
与λ相乘的 向量是非零 向量共线定理： 向量! |b| 向量 b 与非零向量 a 共线当且仅 | | 当有唯一一个实数λ，使得 b=λa |a|
这是我们判断共线的一个非常重要的依据!
a a + a=
a
a a 和
2a -2a
+
a =
请问：（1）相加后还是向量吗？
（2）长度与方向有什么变化？
新课讲授：
一般地，实数λ与向量 a的积是一个向量，这种 运算叫做向量的数乘运算，记作 λ a 它的长度和方向规定如下：
| a|| |λa|= λ| (1)大小：
当 0时， a与a方向 相同 (2)方向: 当 0时， a与a方向 相反 当＝ 0时， a＝0
λa实际就是将原向量拉长、缩短 或者是反向后拉长、缩短
根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a为非零向 量)，并进行比较。
a
3(2a )
6a 3(2a ) = 6a
( a ) ( )a
牛刀小试：
练习1
（1）(－3)×4a= -12a . 3a-2b （2）5(3a-2b)+4(2b-3a)=______
a // b
a // b
牛刀再试： 4. 已知任意非零向量 a、 b, OA a b,
OB a 2b, OC a 3b
(1)试作出OA,OB,OC
(2)判断AB.AC是否共线。
(3)判断A.B.C三点是否共线。
3b 2b
a C
B A
b
b
a
O
(1) a 2e, b 2e
共线
( 2)a e1 e2 , b 2e1 e2 不共线
AC 5 且 , 点C在线段AB上， 练习6： CB 2 5 -2
则AC ＝
BC ＝ 7 AB ，
2
7 AB
5 A C 不妨设AC=5,BC=2
Байду номын сангаас
B
例2 如图，已知AD=3AB，DE=3BC，